Algèbres intègres et sans torsion

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
A RTIBANO M ICALI
Algèbres intègres et sans torsion
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 18, no 1 (1964-1965), exp. no 12,
p. 1-6
<http://www.numdam.org/item?id=SD_1964-1965__18_1_A11_0>
© Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres
(Secrétariat mathématique, Paris), 1964-1965, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la collection « Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres »
implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction
pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des nombres)
18e année, 1964/65, n° 12
12-01
8
ALGÉBRES INTÈGRES
février 1965
ET SANS TORSION
par Artibano MICALI
Un
est
anneau
unitaire. De
toujours commutatif à élément unité
plus,
le mot
algèbre
algèbre
veut dire
et
un
module
sur un
tel anneau,
associative.
1. Préliminaires.
Soit
bre
A
L,
où q
un anneau.
Tout
donc 1.’ algèbre
est
un
A-module
M
s’écrit
symétrique (cf. [2])
certain idéal de l’anneau de
de
comme
quotient d’un A-module
li-
s t écrit
M
polyn8mes S ( L) .
{ cf . ~ 3~ ~ ,
Dans certains
problè-
S(M) est in~
tègre. On connaît bien des exemples d’algèbres symétriques non intègres ( cf . ~ ~~ ~ .
Nous donnerons dans ce papier une condition nécessaire et suffisante pour qu’une
algèbre symétrique soit intègre, et nous l’appliquerons aux algèbres symétriques
d’idéaux. En particulier, les algèbres symétriques intègres caractérisent les
points simples sur une variété algébrique. Nous donnerons encore des résultats
analogues pour les algèbres tensorielle et extérieure.
me s, il
s’agit
de savoir si
On remarque que, pour les
bien connu :
q
est
premier
algèbres symétriques,
LEMME 1. -
Soient A un anneau intègre,
symétrique. Alors, S (M) est intègre si et
En
effet,
soient
de torsion de
nous
K
S(M) .
M
on
un
ou encore
a’ le
lemme suivant
A-module et
S(M)
seulement si
le corps de fractions de
A,
et
si
t(S(M))
S (M)
est
qui
son
sans
est
algèbre
torsion.
le sous..A-module
La suite exacte
donne
d’ où le lemme.
2.
Algèbres intègres
Soient
A
muni de la
et
sans
torsion.
noethérien
intègre,
topologie spectrale (cf. [1]).
un anneau
et
S =
Spec(A)
son
spectre premier
PROPOSITION 1. - Soit
B
sion si. et seulement
B
sion pour
.
En
si,
tout p dans S
effet,
A-algèbre.
une
est
c’est évident que, si
A
une
est
B
est une A-algèbye
B
Alors
-algèbre (ou
sans
sans
une
tor-
tor-
torsion, alors B P l’est aussi
idéal premier p de A est contenu
sans
tout p dans S . D’autre part, tout
nous montre qu’on
dans un idéal maximal m de A, et la formule B = (B )
peut se borner aux idéaux maximaux. Le lemme de globalisation nous donne alors que
pour
B
est
sans
torsion.
RemarQue. - La
proposition
1 est encore
simplement
est tout
B
si
vraie,
un
A-
module.
un A-module. L’algèbre tensorielle
extérieure E(M) ) est sans diviseurs de zéro
COROLLAIRE. - Soit
S(M) ,
trique
torsion)
(resp. intègre,
THEOREME
seulement
B
est connexe, et ceci
1
0
et
S,
e
= 0
on a
des p
dans
S
B
pour
ou
équivaut à dire
(cf. [1]). Soit
ep = 1 ,
tels que
e ~
intègre,
e
et si l’on
0
B
dans
désigne
(resp.
sans
B
est
intègre si, et
qu’à démontrer que Spec(B)
pas d’autres idempotents diffédans
un idempotent. Pour tout p
on
n’a
B
que
e st
sans
diviseurs
S.
dans
tout p
une
est localement
B
effet, puisque
rents de
torsion),
A-algèbre noethérienne. Alors
e st intègre pour tout p dans S .
1. - Soit
si,
sans
T(M) re s .
(resp. intègre
(resp. S(M ) , E(M ) )
seulement si. T(M )
si. et
de zéro
En
M
n’a
U~ (resp. Ul)
par
e~~),
l’ensemble
alors
Etant donné que
alors
U~
te la
et
U1
sont des ouverts de
S~
et
comme
S
est connexe, il
en
résul-
proposition.
THEOREME
2. - Soit
FI
un A-module tel
Que
(resp.
S ~M~ ~ E ~M~ ~
soit
(resp. intègre, sans torsion et soit M’ un sous-A-module
de M . Alors T~M~ ~ (resp. S ~M’ ~ ~ E ~M’ j ~ est sans diviseurs de zéro (resp.
est
(resp.
intègre. sans torsion si et seulement si,
sans diviseurs de zéro (resp. intègre, sans torsion) pour tout idéal premier
p
sans
diviseurs de zéro
c ontenant le radical de
M .
On
désigner
va
Rad(M)
par
A
tels
ments
c
est
idéal premier de
un
dans
qu’il
A
existe
un
qui est déjà
et à
M’
~
M
=
zéro. Le théorème
alors
contenant pas
ne
T(M’ ) =
moment
M, c’est-à-dire l’ensemble des éléentier n ~ 1 tel que cn M c M’ . Si p
le radical de
diviseurs de
sans
sy-
et extérieure.
métrique
peut
exemples
donner des
où le théorème 2 n’est pas vérifié. Dans le
l’algèbre symétrique (par exemple) ,
relation
ré-
algèbres
sulte alors du théorème 1. La même démonstration est valable pour les
On
ce
x~=y~
S(A)
gre, donc
et
p
l’est
S(p)
mais
aussi,
un
A
corps,
=
k[x , y]
l’idéal de l’origine. L’anneau A
(x , y)A
=
k
soient
cas
avec
de
la
est intè-
intègre.
n’est pas
T(a:) (resp. S(a) , E(a) ) est
sans diviseurs de zéro (resp. intègre. sans torsion) si, et seulement si~
est sans diviseurs de zéro (resp. intègre, sans torsion)
(resp.
pour tout id éal premier p contenant Rad ( a) .
COROLLAIRE. - Soit
ce
idéal de
un
A . Alors
E(aA ) )
Le corollaire ci-dessus
mier de
A,
intègre,
sans
diviseurs de zéro
sultat
est local
forme
si,
( cf . ~ 3~ )
régulier si, et
plus générale à
et seulement
particulier
anneau
3.
de
point
point
S (m)
si,
de
on
sans
torsion)
V
de
V
donne
un
Sur l’algèbre
Dans tout
ce
A
un anneau
seulement
un anneau
est
pour tout idéal
m
de
A~
est
premier p
T(m)
est
sans
diviseurs de zéro. Un réet extérieure.
local d’idéal maximal
intègre.
noethérien. Alors
intègre
un
On
peut
m , alors
A
alors donner
à savoir :
résultat,
ce
est
S(m)
si,
est
(resp.
si,
si, T (mA ) est sans
les algèbres symétrique
est
pour tout
A
e st
idéal maximal
un anneau
m
de
régulier si.
A .
corps, V une k-variété, k[V] son
et p l’idéal premier d’un point p de V , alors p est
si, et seulement si, S(p) est intègre. En effet, tout
voit que si
coordonnées,
simple
A
que si
THEOREME 3. - Soit
un
sans
et seulement
est vérifié pour
analogue
On sait
En
est
contenant q . Donc, pour tout idéal maximal
A
une
et seulement
(resp. intègre,
diviseurs de zéro
sans
de
torsion) si,
idéal prediviseurs de zéro (resp.
que si q
particulier,
en
(resp. S (~) 3 E (q) )
T(q)
alors
dit,
nous
point fermé
k
est
de
un
Spec(k[V]) .
tensorielle.
paragraphe,
A
désigne
un anneau
commutatif à élément unité.
Soient
a
idéal de
un
A
et
a
o :
-~T(a) l’injection
canonique.
Si
où
x
et
est
un
élément de torsion de
En
sont dans
y
effet, étant donne
IEMME 3. -
Soit
bijectif, alors
M
M
parcourant i ~
y
A
est
un
corps et si
M
local, d’idéal maximal m
A
alors
on a
T ~M) -~ S ~M)
est
localement monogène.
est
D’autre part, soit
Il en résulte que
et
x
pour
A-module. S i l’épimorphisme canonique
un
Ceci est évident si
T(~) .
que
ya(x)
et donc que
.
alors
est
un
espace vectoriel
et de corps de restes
sur
A .
k =
A/m .
donc
M/mM
c’est-à-dire
un
élément
alors que
e
est
dans
M
En
donc,
k-espace
tel que
M
vectoriel de dimension 1 . Il existe alors
=
+
Ae ,
A
un anneau
local d’idéal maximal
de valuation discrète si, et seulement si,
effet,
et le lemme de
Nakayama
nous
A
est
donne
M = Ae .
THEOREME 4. - Soit
neau
un
si
T(m)
par le lemme
est
3, m
sans
est
T(m)
est
m .
Alors
sans
un an-
torsion.
torsion, alors T(m) = S(m) (d’après le lemme 2~ ~
principal. Ceci nous montre que A est un anneau
de valuation discrète.
Réciproquement, si A est un anneau de valuation discrète,
m
est principal, donc T(m) est un anneau de polynômes en une indéterminée à
coefficients dans A ~ donc intègre, c’est-à-dire sans torsion.
Soient A
mier de
un anneau
A. Si
T(p)
noethérien
est
sans
(non nécessairement local) et p
torsion,
il
en
est de même de
un
idéal pre-
relations
est
est
un anneau
pas vraie.
=
un
discrète. Mais la ré-
de valuation
p
Ainsi, soient k un
xy
y2 =0 et p = Ay l’idéal de
idéal premier de A , car A/p = k[[x]]
ciproque n’est
p
A
à dire que
équivaut
et ceci
corps, A == k~ ~ x , y]] avec les
A engendré par y. On voit que
est intègre et pAp = 0 . Puis-
donc c’est
un anneau
degré 1 ~
donc
est
Am
discrète. D’autre part
de la torsion.
a
Toutefois,
la
=
k((x)) ~
contient p
réciproque
en
est vraie si
p
précisément :
est maximal. Plus
THEOREME 5. -
de valuation
A
alors
est le corps de fractions de l’anneau
que
Soit
A
de valuation
un anneau
noethérien. Pour tout idéal maximal
un anneau
T(m)
discrète si, et seulement si,
de
m
est
A s
tor-
sans
sion.
En effet
on
torsion
sans
Dans le
rielles
cas
idéaux,
des
est
torsion,
4. Sur
sur
alors
k
soit
X~
... ~
briquement indépendants
avoir
effet,
A
un anneau
T(M) engendré
pour tout entier
E
q
exemples d’algèbres
on
corps 9
tenso-
considère dans l’an-
donc
... 9
Il suffit alors d e
sont
fm
prendre
m
algé-
> n
pour
1’algèbre extérieure’
M
commutatif,
un
dré par les tenseurs
Si
S ~~~ ,
( cf . ~ 4~ ~ .
est
idéal premier
un
=
un
A , T(m)
de la torsion.
avec
Soient
de
k
de
m
torsion.
sans
il est facile de donner des
A =
sans
est
si,
la torsion. En
polynômes
Si
voir que, pour tout idéal maximal
qu’à
et seulement
si,
ayant de
de
neau
n’a
~M~ ~ 0 ,
x
par les tenseurs
x ~
I
A-module,
x ,
et
x
T(M)
Ir idéal de
parcourent M ,
parcourant M. Il
y
et
J
engen.-
l’idéal
est clair que,
q > 0 ~
alors
on a
donc
c’est-à-dire
pour tout
M
q
T
q (M) alors1
>2s
est localement
n
=
0 . Ceci
nous
T(M) = S(M) ,
monogène.
montre que
et ceci
T
entraîne,
=
S
(M)=0
déjà, que
si E
q
comme on
sait
12-06
A
Soient
e st intègre, les A-modules E (a)
A
A . Si
En effet, soit
THEOREME
6. - Soit
A
un anneau
En
effet,
A
si
est
Supposons que E(m)
donc S(m) T(m) .
anneau
on a
a,
un anneau
soit
Co.ci
sans
nous
local d.’ idéal maximal
A
si,
est
un anneau
montre que
m
m.
degrés supérieurs.
Alors, E(m)
de valuation
discrète, E (m)
de valuation
torsion. Alors
q 2 .
Pour tout vecteur de la
La même démonstration est valable pour des
torsion si, et seulement
sans
dans
y
idéal de
un
sont de torsion pour
l’injection canonique.
et
x
avec
xa(y) = ya(x) .
car
a -~ E (a~
a :
a(x) A a(y)
forme
commutatif à élément unité, et a
un anneau
est
discrète.
est
torsion.
sans
0 pour tout
E
q
(m)
=
est principal, donc que
q
> 2 ~
et
est
un
A
de valuation discrète.
A
Soient maintenant
idéal premier de
A,
un anneau
noethérien
et supposons que
(non
E(p)
nécessairement
soit
torsion.
sans
local), p
un
Alors,
torsion, et ceci équivaut à dire que A est un anneau
n’entraîne pas que E(p)
de valuation discrète. Mais;
A de valuation discrète
soit sans torsion. Pour cela, on prend k un corps A
k[ [x , y]] avec les re= 0 et p
lations xy
Ay . On a déjà vu que A est un anneau de valuation discrète (car c’est un corps), mais E(p) contient p en degré 1 , qui a
de la torsion. Cette réciproque est vraie si p est maximal, c ’ est-à-dire, on a
est aussi
=
sans
=
== y ~
=
le résultat suivant :
THEOREME?. - Soit
est
Am
un anneau
A
un anneau
noethérien. Pour tout idéal maximal
de valuation discrète si, et seulement
si,
E (m)
est
m
de
sans
A,
tor-
sion.
Il suffit de voir que, pour tout idéal maximal
équivaut
à
E (mA )
sans
m
de
A, E(m)
sans
torsion
torsion.
BIBLIOGRAPHIE
[1]
BOURBAKI
(Nicolas). - Algèbre
Chapitres 1 et 2. - Paris, Hermann,
ind., 1290 ; Bourbaki, 27).
CHEVALIEY (Claude). - Fundamental concepts of algebra. - New York, Academic
Press, 1956 (Pure and applied Mathematics, 7).
MICALI (Artibano) . - Sur les algèbres universelles, Ann. Inst. Fourier,
Grenoble, t. 14, 1964, fasc. 2, p. 33-87.
SAUMON (Paolo) . - Sulle algebre simmetriche e di Rees di un ideale. - Genova,
Edizioni scientifiche, 1964.
1961 (Act. scient.
[2]
[3]
[4]
et
commutative.