Etude des fluides visqueux

Etude des fluides visqueux
I Définitions préliminaires :
1. Ecoulement laminaire :
Définition : Un écoulement est laminaire lorsqu’il est régulier (la vitesse de chaque particule de fluide reste
quasiment constante au cours du temps).
Un écoulement est laminaire lorsqu’il peut se poursuivre sans agitation, comme par
couches parallèles glissant les unes sur les autres.
2. Fluide réel :
Lors de l’écoulement laminaire d’un fluide
réel, il existe une force de frottement
interne entre ses différentes couches.
Si on peut négliger ces forces de
frottement, le fluide est dit parfait.
II Viscosité d’un fluide :
1. Profil de vitesse :
Sous l'effet des forces d'interaction entre les molécules
de fluide et des forces d'interaction entre les molécules de
fluide et celles de la paroi, chaque molécule de fluide ne
s'écoule pas à la même vitesse.
La vitesse de chaque couche est une fonction de la
distance z de cette courbe au plan fixe : v = v(z).
On dit qu'il existe un profil de vitesse
Le mouvement du fluide peut être considéré comme
résultant du glissement des couches de fluide les unes sur
les autres.
2. Viscosité dynamique :
Deux couches de fluide circulent parallèlement à des vitesses
différentes.
La force de frottement que chacune exerce l’une sur l’autre est :
F = S
dz
dv
(Loi de Newton)
Le facteur de proportionnalité est le coefficient de viscosité
dynamique du fluide
S : surface commune aux deux lames (m²)
Unité : Dans le système international (SI), l'unité de viscosité est le Pa s ou Poiseuille (Pl) : 1 Pl = 1 kg m-1 s-1
On trouve encore les tables de valeurs numériques le coefficient de viscosité dans un ancien système d'unités
(CGS) : L'unité est le Poise (Po) ; 1 Pl = 10 Po = 1 daPo = 103 cPo.
v
v+dv
z
z+dz
v max
v = 0
dz
dV

Remarque :
Par rapport aux faits expérimentaux, on est conduit à considérer deux types de fluides :
D’une part les fluides newtoniens qui satisfont à la loi de Newton. Ces fluides ont un coefficient de viscosité
indépendant du gradient de vitesse. C’est le cas des gaz, des vapeurs, des liquides purs de faible masse molaire.
D’autre part les fluides non-newtoniens. Ce sont les solutions de polymères, les purées, les gels, les boues, le
sang, la plupart des peintures, etc …
3. Viscosité cinématique :
= où est la masse volumique du fluide (kg/m3)
Unité : Dans le système international (SI), l'unité de viscosité n'a pas de nom particulier : (m2/s).
Dans le système CGS, l'unité est le Stoke (St) : 1 m2/s = 104 St.
4. Influence de la température :
La viscosité des liquides diminue beaucoup lorsque la température augmente.
Ainsi pour l'eau : à 10°C = 1,3 x 10-3 Pl
à 20°C = 1,0 x 10-3 Pl
à 90°C = 0,3 x 10-3 Pl
III Variation de pression en écoulement laminaire : Loi de Poiseuille
1. Débit volumétrique : D ou Q
Définition : C’est le volume de fluide qui traverse une section S par unité de temps.
D =
t
V
V = volume (m3) de fluide traversant la section S (m2) pendant la durée t (s)
D : débit en m3/s
2. Relation entre le débit et la vitesse d’écoulement :
Soit v la vitesse du fluide
Les particules qui vont traverser S pendant le temps t sont toutes celles
situées en amont de S à une distance au plus égale à l = v x t ;
Le volume correspondant est V = S x l d’où D =
t
V
=
tl x S
or l = v x t
D = S x v = section x vitesse
v : vitesse (m/s)
3. Conservation du débit :
Pour les fluides incompressibles, lorsque la vitesse en un point
est constante :
D1 = D2
S1 x v1 = S2 x v2
l = v x t

4. Loi de Poiseuille :
La pression d’un liquide réel diminue tout au long d’une canalisation dans laquelle il s’écoule, même si elle est
horizontale et de section uniforme.
Si le liquide était parfait, on observerait une hauteur de liquide constante dans les colonnes manométriques comme
pour un liquide au repos.
Conclusion :
Un fluide réel, en mouvement, subit des pertes d’énergie dues aux frottements sur les parois de la canalisation
(pertes de charge systématiques) ou sur les « accidents » de parcours (coudes, élargissements ou rétrécissement
de la section, organes de réglage, etc...) (pertes de charge singulières).
Les pertes de charge dépendent de la forme, des dimensions et de la rugosité de la canalisation, de la vitesse
d'écoulement et de la viscosité du liquide.
Loi de Poiseuille : Pour un écoulement laminaire, dans une conduite cylindrique horizontale, le débit d’un fluide
réel est donné par :
l8r
)p(p D 4
21
ou
4
rl8
D p
Autre formulation :
On pose R la résistance à l’écoulement avec R =
4
rl8
La loi de Poiseuille devient :
p = D x R
Remarque : dans le cas d’un fluide parfait (fluide non visqueux : = 0 Pa.s) et pour un écoulement laminaire,
Théorème de Bernoulli
D : débit (m3.s-1)
p1-p2 = pertes de pression ou pertes de
charge notées p
r = rayon intérieur de la canalisation (m)
l = longueur entre les points (1) et (2) (m)
= coefficient de viscosité dynamique Pa s
Ctepgz
2
v2
sens de
l'écoulement
dS1 dS1'
dS2'
dS2
v2
v1
M1
M2
masse
volumique 1
masse
volumique
cote z1
cote z2
pression
P1
pression
P2
z
g

Exercice n°1 :
Un tuyau horizontal de longueur AB = 31 m, de diamètre D = 20 mm, débite de l’eau à l’air libre 0,5 L.s-1 à trvares un
orifice terminal de section SB = 0,5 cm2.
1. En négligeant la viscosité de l’eau, quelle est la pression au robinet ?
2. Si l’on tient compte de cette viscosité = 1 x 10-3 Pa.s, quelle pression supplémentaire p faut-il exercer au
niveau du robinet ?
Exercice n°2 :
Pour réaliser une injection intraveineuse de 2 mL d’un liquide de viscosité 2,1 x 10-3 Pa.s, on utilise une aiguille de 2
cm de longueur et de 0,6 mm de diamètre intérieur. Le corps de la seringue a un diamètre intérieur de 1 cm ;
1. L’injection étant réalisée en 10 secondes, calculer le débit moyen.
2. Quelle est la vitesse moyenne d’écoulement du liquide dans l’aiguille ? Pour la suite, on supposera que cette
vitesse est compatible avec un écoulement laminaire.
3. Dans les conditions d’application de la loi de Poiseuille, calculer la résistance hydrodynamique de l’aiguille, et
en déduire la perte de charge dans cette aiguille.
4. Sachant que la pression veineuse du patient est de 5 mm de Hg, et en négligeant toute force de frottement
mécanique, évaluer l’intensité de la force supposée constante que l’infirmière exerce sur le piston de la
seringue pour réaliser cette injection.