Electromagnétisme

E.N.S. de Cachan Département E.E.A.
M2 FE 3eannée
Physique appliquée 2011-2012
TD de Physique no3 :
Électromagnétisme
Exercice no1 : Champ sur l’axe d’un doublet de charges égales
Deux charges ponctuelles identiques qsont placées en Aet Bsur l’axe
(Ox)à une distance ade part et d’autre du point O. On note ~ E(M)le
champ créé par ces deux charges en un point Mde de l’axe (Ox).
1. Comment est dirigé le champ ~ E(M)? Justifier.
2. Exprimer la composante algébrique ¯ Ede ce champ, en fonction
de q,aet x.
3. Tracer l’allure de la courbe ¯ E(x). La commenter.
4. Déterminer un équivalent à ¯ E(x), lorsque x→ ±∞
Exercice no2 : Champ dans le plan médiateur d’un segment uniformément chargé
Un segment [A, B], situé sur l’axe (Oz)et de milieu O, porte une charge
uniformément répartie sur sa longueur AB = 2l, avec une densité linéique λ.
On note ~ E(M)le champ créé en un point M(x)de l’axe (Ox).
1. Quelle est la direction de champ ~ E(M)? Justifier.
2. En repérant la position d’un point Pde la distribution de charges par
l’angle αindiqué sur le dessin ci-contre, établir l’expression de ~ E(M)en fonction
de λ,let x.
3. En déduire le champ ~ E∞créé par un fil rectiligne infini.
Exercice no3 : Couronne uniformément chargée
On considère une couronne, portion du plan (Oxy)comprise entre les
cercles concentriques de centre Ode rayons aet b > a, portant la charge
totale Quniformément répartie sur sa surface. On s’intéresse au champ ~ E(M)
créé en un point M(z)de l’axe (Oz).
1. Quelle est la direction du champ ~ E(M)? Justifier.
2. En paramétrant la position d’un point Pde la couronne par ses
coordonnées polaires (r, θ), déterminer l’expression de ~ E(M)en fonction de
Q,a,bet z.
3. Quelle est l’expression du champ ~ E∞créé par un plan (Oxy)infini
portant la densité surfacique uniforme σ?
Exercice no4 : Le potentiel électrostatique (cours)
1. Montrer que pour une charge ponctuelle q, il existe un champ scalaire V(M)appelé potentiel élec-
trostatique tel que δC =−dV où δC est la circulation élémentaire du champ électrostatique. Donner son
expression dans le cas où il est pris nul infiniment loin de la charge.
2. Justifier que l’on a également δC =−dV pour toute distribution de charges. Donner les expressions
de V(M)pour les distributions de charges ponctuelles, volumique, surfacique et linéique dans le cas où il est
pris nul infiniment loin de la distribution.
3. Montrer que ~ E=−−−→ grad(V). En déduire l’expression de l’énergie potentielle associée à la force élec-
trostatique qui s’exerce sur une charge qsoumise au champ ~ E.
1

4. Déterminer l’énergie potentielle électrostatique d’interaction entre deux charges ponctuelles q1et q2.
5. On reprend la couronne uniformément chargée de l’exercice no3. Calculer le potentiel électrostatique
au point Mde l’axe (Oz). En déduire l’expression du champ électrostatique.
Exercice no5 : Pression électrostatique
Considérons un morceau de métal de conductivité électrique σechargé électriquement.
1. (Programme de deuxième année) Comment évolue dans le temps la densité volumique de charge à
l’intérieur du métal ? Exhiber un temps caractéristique et faire l’application numérique avec σe= 63.106S.m−1
(cas de l’argent). Que peut-on, à l’équilibre électrostatique et dans le morceau de métal, en conclure sur :
•la répartition des charges,
•la valeur du champ électrostatique,
•le potentiel électrostatique ?
2. Considérons un élément de surface d~ S=dS~next orienté vers l’extérieur du métal et autour du point
Mde l’interface métal-air. Notons σla densité surfacique de charge en M. Montrer que la force électrostatique
qui s’exerce sur l’élément de surface est de la forme :
d~ f=PedS~next
avec Pela pression électrostatique dont on donnera l’expression en fonction de σet 0la permittivité du vide.
Pour cela il est conseillé de décomposer le champ électrostatique comme suit :
~
E=~ Eσ+~ Ea
avec ~ Eσle champ créé par la charge σdS et ~ Eale champ créé par le reste de la distribution de charge. On
rappelle également qu’à la traversée d’une distribution surfacique de charges de densité surfacique σséparant
un milieu 1 et un milieu 2 on a : ~
E2−~ E1=σ
0
~n1→2
3. Soit condensateur plan de capacité C= 10 nF et dont la surface en regard des armatures est S=
0,5cm−2. Déterminer la force électrostatique qui s’exerce sur une armature lorsque le condensateur est soumis
à une tension U= 10 V.
Exercice no6 : Le dipôle électrostatique (cours)
Soit un repère cartésien d’origine O. Un dipôle électrostatique est formé d’une charge −qen M2(0,0,−d/2)
et d’une charge qen M1(0,0, d/2).
1. Rappeler l’expression du moment dipolaire. Déterminer, dans le cadre de l’approximation dipolaire,
l’expression sous sa forme intrinsèque du potentiel électrostatique créé par ce dipôle. Puis donner les compo-
santes du champ électrostatique dans la base des coordonnées sphériques.
2. Déterminer les équations des équipotentielles et des lignes de champ. Tracer les allures correspondantes.
Le dipôle supposé rigide est maintenant plongé dans un champ électrostatique ~ E(M)non uniforme tel que la
distance caractéristique de variation est grande devant d. Enfin Oest maintenant le milieu du segment formé
par les deux charges.
3. Déterminer le moment en Odes actions qui s’exercent sur le dipôle. Comment s’oriente le dipôle ?
4. Quelle l’énergie d’interaction entre le dipôle et le champ extérieur ? En déduire la résultante des actions
qui s’exercent sur le dipôle. Vers quelles zones le dipôle se déplace t-il ?
Exercice no7 : Tapis de dipôles
On considère une population de dipôles identiques, groupés suivant un disque
de centre O, de rayon Ret d’axe (Oz), les moments dipolaires étant tous orientés
suivant ~uz. On définit la densité surfacique de moment dipolaires ~ Ω = d~p
dS , uniforme
sur le disque. On s’intéresse au champ et au potentiel créés en un point Mde l’axe
(Oz).
1. Exprimer le potentiel élémentaire dV créé en Mpar un dipôle de moment
d~p situé au voisinage du point P(r, θ).
2. En déduire le potentiel créé par le tapis de dipôle en M.
3. Exprimer le champ électrostatique ~ Ecréé en Mpar le tapis de dipôles.
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Exercice no8 : Champ dans une cavité creusée dans une boule
Une boule Bde centre O1est creusée d’une cavité sphérique de centre O2. Elle est
chargée avec une densité volumique ρuniforme, exception faite de la cavité qui est vide
de charge. On note ~ Ele champ électrostatique créé par cette distribution Den un point
intérieur à la cavité. Déterminer ~ E.
Exercice no9 : Condensateur cylindrique
Un condensateur est formé par deux cylindres coaxiaux infinis C1et C2, d’axe (Oz), de
rayon R1et R2> R1, chargés en surface avec des densités σ1et σ2uniformes et telles que
le condensateur est globalement neutre. On note ~ E(M)le champ électrostatique créé par ce
condensateur en un point Mde l’espace, repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z).
1. Déterminer l’expression du champ ~ E(M)en tout point Msitué entre les deux cylindres
(R1< r < R2).
2. En déduire la différence de potentiel V1−V2entre les deux armatures du condensateur.
3. Quelle est l’expression de la capacité linéique Cde ce condensateur ? Faire l’application
numérique pour R1= 10 cm et R2= 20 cm.Donnée : 0= 8,85.10−12 F.m−1.
Exercice no10 : Potentiel de Yukawa
On se propose de déterminer la distribution de charges qui crée en tout point Mde l’espace ( ~ OM =r~er,
r=|| ~ OM||) un potentiel électrostatique de la forme :
V=1
4π0
e
rexp −r a
eétant la charge élémentaire (e= 1,6.10−19 C) et aune distance (a= 10−10).
1. Déterminer le champ électrostatique ~ E(M)en tout point M(différent de l’origine O).
2. Calculer le flux de ce champ à travers la surface d’une boule de centre Oet de rayon r, et en déduire
la charge Q(r)contenue dans cette boule. Étudier les cas limites r→ ∞ et r→0: quelles conclusions peut-on
en tirer ?
3. Déterminer la densité de charge volumique ρ(r)répartie dans l’espace autour de O. La distribution de
charges étudiée peut être prise comme modèle électrostatique d’un atome. Qu’en pensez-vous ?
Exercice no11 : Champ sur l’axe d’un solénoïde (cours)
Soit une spire de centre Oet de rayon Rparcourue par
un courant I.
1. Déterminer le champ magnétostatique ~ Bcréé par
cette spire en un point Mde son axe en faisant intervenir
l’angle αdéfini sur le schéma ci-contre.
On considère maintenant un solénoïde d’extrémité O1
et O2parcouru par le courant Iet dont le nombre de spires
par unité de longueur est n. Soit Mun point de l’axe du solénoïde.
2. Déterminer le champ magnétostatique créé en Mpar le so-
lénoïde en fonction de µ0,n,Iet des angles α1et α2définis sur le
schéma ci-contre.
3. Quelle est l’expression du champ magnétique sur l’axe du
solénoïde infini ?
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Exercice no12 : Disque de Rowland
L’expérience de Rowland visait à établir l’identité des électricités statique et
dynamique, en vérifiant que les courants de convection (charges électrostatiques
en mouvement) créaient un champ magnétique. Pour cela, on considère un
disque de centre O, de rayon Ret d’axe (Oz), portant des charges réparties
en surface avec la densité uniforme σ, et mis en rotation autour de (Oz)à la
vitesse angulaire constante ω. Ce dispositif électrostatique est alors équivalent
à une distribution de courants électriques. On note ~ Ble champ créé en un point
M(z)de l’axe (Oz).
1. Exprimer l’intensité dI qui traverse une spire élémentaire comprise
entre les rayons ret r+dr, en fonction de σ,ωet dr.
2. En déduire par intégration l’expression de ~ B.
Exercice no13 : Courants de convection
Une sphère de centre Oet de rayon Rporte une charge totale Quniformément
répartie sur sa surface. Elle est mise en rotation autour de l’axe (Oz)à la vitesse
angulaire constante ω, de telle sorte qu’on peut considérer avoir affaire, dans le ré-
férentiel du laboratoire, à une distribution de courants électriques. On note ~ BOle
champ magnétostatique créé au centre de la sphère. La position d’un point Psur la
sphère est repérée par ses coordonnées sphériques (R, θ, ϕ).
1. Exprimer l’intensité dI dans la "spire élémentaire" comprise entre les angles
θet θ+dθ, en fonction de Q,ω,Ret dθ.
2. En déduire par intégration l’expression du champ ~ BO.
Exercice no14 : Moment magnétique d’une sphère chargée en rotation
Exprimer le moment magnétique de la sphère de l’exercice précédent.
Exercice no15 : Mesure de la composante horizontale du champ magnétique terrestre
Un petit aimant, ou une petite aiguille aimantée, assimilable à un dipôle magnétique de moment ~ M
(rigidement lié à l’aimant) subit, lorsqu’il est plongé dans un champ magnétique ~ B, un couple de moment
~
Γ = ~ M×~ B(O)avec Ole point où est placé l’aimant.
On se propose de mesurer la norme de la composante horizontale ~ BHdu champ magnétique terrestre en
un lieu. À Paris BHest de l’ordre 2.10−5T. Pour cela on dispose d’une petite aiguille aimantée montée sur
pivot, donc mobile autour d’un axe vertical sans frottements. Ce petit aimant est placé au centre Od’une
bobine plate contenant Nspires circulaires de rayon Rchacune (on néglige la section des fils) contenue dans
un plan vertical et alimentée par un courant continu d’intensité Iréglable.
Les rotations éventuelles de l’aiguille sont mesurables sur un cercle gradué, la graduation 0correspondant
à la position de l’aiguille dans le plan de la bobine.
1. Méthode de la boussole des tangentes.
a) Sachant que l’on peut choisir le plan de la bobine, proposer un protocole de mesure de la composante ~ BH
du champ magnétique terrestre.
b) L’expérience a été réalisée avec ~ BHcontenue dans le plan de la bobine. Lorsque l’intensité passe d’une
valeur nulle à la valeur Il’aiguille tourne d’un angle α. En déduire ~ BH.
Données : N= 5,R= 12 cm,I= 0,381 Aet α= 20˚.
2. Méthode des oscillations. On utilise le même matériel que précédemment mais cette fois la position de
référence (ou d’équilibre) de l’aiguille est perpendiculaire à la bobine. On désigne par BCla norme du champ
magnétique créé par ce circuit. On suppose Itel que : BC< BH.
a) Montrer que la position d’équilibre de l’aiguille aimantée n’est pas modifiée par l’existence d’un tel courant
dans la bobine.
b) Montrer que la période des petites oscillations de l’aiguille, préalablement écartée de sa position d’équilibre,
dépend du sens du courant dans le circuit. En désignant par T0et par Tles périodes des oscillations quasi
sinusoïdales observées pour les deux sens (à préciser), établir que :
BH=T2+T02
T02−T2BC
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Exercice no16 : Applications directes du théorème d’Ampère
1. Considérons une nappe de courant infinie dans le plan (xOy)telle que ~ jS=jS~ex. Cette distribution
résulte de la modélisation surfacique d’un ensemble de courants filiformes, rectilignes, infinis, jointifs, d’intensité
I, disposés parallèlement à l’axe (Ox). Nous noterons nle nombre de fils coupant, par unité de longueur, l’axe
(Oy). Déterminer en fonction de n,Iet µ0(la perméabilité du vide) le champ magnétostatique créé par cette
distribution de courants.
2. Considérons une distribution à symétrie cylindrique d’axe (Oz). Le vecteur densité de courant associé
vérifie ~ j=j~ezpour r < R et ~ j=~ 0pour r > R. Cette distribution résulte de la modélisation volumique
d’un ensemble de courants filiformes, rectilignes, infinis, jointifs, d’intensité I, disposés parallèlement à l’axe
(Oz). Nous noterons nle nombre de fils coupant, par unité de surface, le plan (xOy). Déterminer le champ
magnétostatique créé par cette distribution de courants.
Exercice no17 : Solénoïde en forme de tore
Nspires sont enroulées sur un tore de section carrée (coté de
longueur a) et de rayon moyen R. Elles sont parcourues par un
même courant I. On supposera que la distribution de courants est
invariante dans toute rotation d’axe z0z(Ngrand . . .).
1. Donner l’expression du champ magnétique ~ Ben tout point
de l’espace.
2. En déduire l’expression de l’inductance associée à cet en-
roulement.
3. Que deviennent les résultats précédents lorsque Rest très
grand devant a? Commenter.
Exercice no18 : Ligne de champ
Un solénoïde droit présente une section circulaire de rayon a. Sa
longueur 2lest très grande devant aet il possède nspires jointives par
unité de longueur. Il est parcouru par un courant I. On s’intéresse à
la ligne de champ qui coupe le plan z= 0 à une distance r0de l’axe.
Elle ressort en traversant la face avant du solénoïde en un point A.
1. Quelle relation simple relie rAet r0?
2. Dans le cas où r0est petit devant a, déterminer l’expression
donnant l’angle θAdéfini par θA= (~uz,~ B(A)).
Exercice no19 : Déflexion électrostatique dans un condensateur plan
Un condensateur est constitué de deux armatures métal-
liques planes Aet Bparallèles séparées par une distance d(cf
figure ci-contre). Les deux armatures sont carrées et on note L
la longueur de leurs côtés.
Une différence de potentiel U=VA−VB>0appliquée
entre les deux armatures crée un champ électrostatique supposé
uniforme et égal à ~ E=−U
d~eydans l’espace entre les armatures.
Le champ est supposé nul en dehors du condensateur.
Un électron de masse met de charge −epréalablement ac-
céléré pénètre dans le condensateur plan en Oavec la vitesse
initiale ~v0=v0~ex.
1. Déterminer la trajectoire de l’électron dans l’espace entre les deux armatures. On rappelle que dans
ce genre de problèmes le poids de l’électron est parfaitement négligeable devant la force électrique à laquelle il
est soumis.
Un écran plan est placé dans le plan d’équation x=D+L
2(avec D > L 2). On note Ile point d’impact de
l’électron sur l’écran.
2. Montrer que l’ordonnée du point Iest proportionnelle à Uet exprimer la constante de proportionnalité.
3. Citer une application.
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