Electromagnétisme

E.N.S. de Cachan
M2 FE
Physique appliquée
Département E.E.A.
3e année
2011-2012
TD de Physique no 3 :
Électromagnétisme
Exercice no 1 : Champ sur l’axe d’un doublet de charges égales
Deux charges ponctuelles identiques q sont placées en A et B sur l’axe
~
(Ox) à une distance a de part et d’autre du point O. On note E(M
) le
champ créé par ces deux charges en un point M de de l’axe (Ox).
~
1. Comment est dirigé le champ E(M
) ? Justifier.
2. Exprimer la composante algébrique Ē de ce champ, en fonction
de q, a et x.
3. Tracer l’allure de la courbe Ē(x). La commenter.
4. Déterminer un équivalent à Ē(x), lorsque x → ±∞
Exercice no 2 : Champ dans le plan médiateur d’un segment uniformément chargé
Un segment [A, B], situé sur l’axe (Oz) et de milieu O, porte une charge
uniformément répartie sur sa longueur AB = 2l, avec une densité linéique λ.
~
On note E(M
) le champ créé en un point M (x) de l’axe (Ox).
~
1. Quelle est la direction de champ E(M
) ? Justifier.
2. En repérant la position d’un point P de la distribution de charges par
~
l’angle α indiqué sur le dessin ci-contre, établir l’expression de E(M
) en fonction
de λ, l et x.
~ ∞ créé par un fil rectiligne infini.
3. En déduire le champ E
Exercice no 3 : Couronne uniformément chargée
On considère une couronne, portion du plan (Oxy) comprise entre les
cercles concentriques de centre O de rayons a et b > a, portant la charge
~
totale Q uniformément répartie sur sa surface. On s’intéresse au champ E(M
)
créé en un point M (z) de l’axe (Oz).
~
1. Quelle est la direction du champ E(M
) ? Justifier.
2. En paramétrant la position d’un point P de la couronne par ses
~
coordonnées polaires (r, θ), déterminer l’expression de E(M
) en fonction de
Q, a, b et z.
~ ∞ créé par un plan (Oxy) infini
3. Quelle est l’expression du champ E
portant la densité surfacique uniforme σ ?
Exercice no 4 : Le potentiel électrostatique (cours)
1. Montrer que pour une charge ponctuelle q, il existe un champ scalaire V (M ) appelé potentiel électrostatique tel que δC = −dV où δC est la circulation élémentaire du champ électrostatique. Donner son
expression dans le cas où il est pris nul infiniment loin de la charge.
2. Justifier que l’on a également δC = −dV pour toute distribution de charges. Donner les expressions
de V (M ) pour les distributions de charges ponctuelles, volumique, surfacique et linéique dans le cas où il est
pris nul infiniment loin de la distribution.
−→
~ = −−
3. Montrer que E
grad(V ). En déduire l’expression de l’énergie potentielle associée à la force élec~
trostatique qui s’exerce sur une charge q soumise au champ E.
1
4. Déterminer l’énergie potentielle électrostatique d’interaction entre deux charges ponctuelles q1 et q2 .
5. On reprend la couronne uniformément chargée de l’exercice no 3. Calculer le potentiel électrostatique
au point M de l’axe (Oz). En déduire l’expression du champ électrostatique.
Exercice no 5 : Pression électrostatique
Considérons un morceau de métal de conductivité électrique σe chargé électriquement.
1. (Programme de deuxième année) Comment évolue dans le temps la densité volumique de charge à
l’intérieur du métal ? Exhiber un temps caractéristique et faire l’application numérique avec σe = 63.106 S.m−1
(cas de l’argent). Que peut-on, à l’équilibre électrostatique et dans le morceau de métal, en conclure sur :
• la répartition des charges,
• la valeur du champ électrostatique,
• le potentiel électrostatique ?
~ = dS~next orienté vers l’extérieur du métal et autour du point
2. Considérons un élément de surface dS
M de l’interface métal-air. Notons σ la densité surfacique de charge en M . Montrer que la force électrostatique
qui s’exerce sur l’élément de surface est de la forme :
df~ = Pe dS~next
avec Pe la pression électrostatique dont on donnera l’expression en fonction de σ et 0 la permittivité du vide.
Pour cela il est conseillé de décomposer le champ électrostatique comme suit :
~ =E
~σ + E
~a
E
~ σ le champ créé par la charge σdS et E
~ a le champ créé par le reste de la distribution de charge. On
avec E
rappelle également qu’à la traversée d’une distribution surfacique de charges de densité surfacique σ séparant
un milieu 1 et un milieu 2 on a :
~2 − E
~ 1 = σ ~n1→2
E
0
3. Soit condensateur plan de capacité C = 10 nF et dont la surface en regard des armatures est S =
0, 5 cm−2 . Déterminer la force électrostatique qui s’exerce sur une armature lorsque le condensateur est soumis
à une tension U = 10 V .
Exercice no 6 : Le dipôle électrostatique (cours)
Soit un repère cartésien d’origine O. Un dipôle électrostatique est formé d’une charge −q en M2 (0, 0, −d/2)
et d’une charge q en M1 (0, 0, d/2).
1. Rappeler l’expression du moment dipolaire. Déterminer, dans le cadre de l’approximation dipolaire,
l’expression sous sa forme intrinsèque du potentiel électrostatique créé par ce dipôle. Puis donner les composantes du champ électrostatique dans la base des coordonnées sphériques.
2. Déterminer les équations des équipotentielles et des lignes de champ. Tracer les allures correspondantes.
~
Le dipôle supposé rigide est maintenant plongé dans un champ électrostatique E(M
) non uniforme tel que la
distance caractéristique de variation est grande devant d. Enfin O est maintenant le milieu du segment formé
par les deux charges.
3. Déterminer le moment en O des actions qui s’exercent sur le dipôle. Comment s’oriente le dipôle ?
4. Quelle l’énergie d’interaction entre le dipôle et le champ extérieur ? En déduire la résultante des actions
qui s’exercent sur le dipôle. Vers quelles zones le dipôle se déplace t-il ?
Exercice no 7 : Tapis de dipôles
On considère une population de dipôles identiques, groupés suivant un disque
de centre O, de rayon R et d’axe (Oz), les moments dipolaires étant tous orientés
~ = d~p , uniforme
suivant ~uz . On définit la densité surfacique de moment dipolaires Ω
dS
sur le disque. On s’intéresse au champ et au potentiel créés en un point M de l’axe
(Oz).
1. Exprimer le potentiel élémentaire dV créé en M par un dipôle de moment
d~
p situé au voisinage du point P (r, θ).
2. En déduire le potentiel créé par le tapis de dipôle en M .
~ créé en M par le tapis de dipôles.
3. Exprimer le champ électrostatique E
2
Exercice no 8 : Champ dans une cavité creusée dans une boule
Une boule B de centre O1 est creusée d’une cavité sphérique de centre O2 . Elle est
chargée avec une densité volumique ρ uniforme, exception faite de la cavité qui est vide
~ le champ électrostatique créé par cette distribution D en un point
de charge. On note E
~
intérieur à la cavité. Déterminer E.
Exercice no 9 : Condensateur cylindrique
Un condensateur est formé par deux cylindres coaxiaux infinis C1 et C2 , d’axe (Oz), de
rayon R1 et R2 > R1 , chargés en surface avec des densités σ1 et σ2 uniformes et telles que
~
le condensateur est globalement neutre. On note E(M
) le champ électrostatique créé par ce
condensateur en un point M de l’espace, repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z).
~
1. Déterminer l’expression du champ E(M
) en tout point M situé entre les deux cylindres
(R1 < r < R2 ).
2. En déduire la différence de potentiel V1 − V2 entre les deux armatures du condensateur.
3. Quelle est l’expression de la capacité linéique C de ce condensateur ? Faire l’application
numérique pour R1 = 10 cm et R2 = 20 cm. Donnée : 0 = 8, 85.10−12 F.m−1 .
Exercice no 10 : Potentiel de Yukawa
~ = r~er ,
On se propose de déterminer la distribution de charges qui crée en tout point M de l’espace (OM
~ ||) un potentiel électrostatique de la forme :
r = ||OM
V =
r
1 e
exp −
4π0 r
a
e étant la charge élémentaire (e = 1, 6.10−19 C) et a une distance (a = 10−10 ).
~
1. Déterminer le champ électrostatique E(M
) en tout point M (différent de l’origine O).
2. Calculer le flux de ce champ à travers la surface d’une boule de centre O et de rayon r, et en déduire
la charge Q(r) contenue dans cette boule. Étudier les cas limites r → ∞ et r → 0 : quelles conclusions peut-on
en tirer ?
3. Déterminer la densité de charge volumique ρ(r) répartie dans l’espace autour de O. La distribution de
charges étudiée peut être prise comme modèle électrostatique d’un atome. Qu’en pensez-vous ?
Exercice no 11 : Champ sur l’axe d’un solénoïde (cours)
Soit une spire de centre O et de rayon R parcourue par
un courant I.
~ créé par
1. Déterminer le champ magnétostatique B
cette spire en un point M de son axe en faisant intervenir
l’angle α défini sur le schéma ci-contre.
On considère maintenant un solénoïde d’extrémité O1
et O2 parcouru par le courant I et dont le nombre de spires
par unité de longueur est n. Soit M un point de l’axe du solénoïde.
2. Déterminer le champ magnétostatique créé en M par le solénoïde en fonction de µ0 , n, I et des angles α1 et α2 définis sur le
schéma ci-contre.
3. Quelle est l’expression du champ magnétique sur l’axe du
solénoïde infini ?
3
Exercice no 12 : Disque de Rowland
L’expérience de Rowland visait à établir l’identité des électricités statique et
dynamique, en vérifiant que les courants de convection (charges électrostatiques
en mouvement) créaient un champ magnétique. Pour cela, on considère un
disque de centre O, de rayon R et d’axe (Oz), portant des charges réparties
en surface avec la densité uniforme σ, et mis en rotation autour de (Oz) à la
vitesse angulaire constante ω. Ce dispositif électrostatique est alors équivalent
~ le champ créé en un point
à une distribution de courants électriques. On note B
M (z) de l’axe (Oz).
1. Exprimer l’intensité dI qui traverse une spire élémentaire comprise
entre les rayons r et r + dr, en fonction de σ, ω et dr.
~
2. En déduire par intégration l’expression de B.
Exercice no 13 : Courants de convection
Une sphère de centre O et de rayon R porte une charge totale Q uniformément
répartie sur sa surface. Elle est mise en rotation autour de l’axe (Oz) à la vitesse
angulaire constante ω, de telle sorte qu’on peut considérer avoir affaire, dans le ré~ O le
férentiel du laboratoire, à une distribution de courants électriques. On note B
champ magnétostatique créé au centre de la sphère. La position d’un point P sur la
sphère est repérée par ses coordonnées sphériques (R, θ, ϕ).
1. Exprimer l’intensité dI dans la "spire élémentaire" comprise entre les angles
θ et θ + dθ, en fonction de Q, ω, R et dθ.
~ O.
2. En déduire par intégration l’expression du champ B
Exercice no 14 : Moment magnétique d’une sphère chargée en rotation
Exprimer le moment magnétique de la sphère de l’exercice précédent.
Exercice no 15 : Mesure de la composante horizontale du champ magnétique terrestre
Un petit aimant, ou une petite aiguille aimantée, assimilable à un dipôle magnétique de moment M~
~ un couple de moment
(rigidement lié à l’aimant) subit, lorsqu’il est plongé dans un champ magnétique B,
~Γ = M~ × B(O)
~
avec O le point où est placé l’aimant.
~ H du champ magnétique terrestre en
On se propose de mesurer la norme de la composante horizontale B
−5
un lieu. À Paris BH est de l’ordre 2.10 T . Pour cela on dispose d’une petite aiguille aimantée montée sur
pivot, donc mobile autour d’un axe vertical sans frottements. Ce petit aimant est placé au centre O d’une
bobine plate contenant N spires circulaires de rayon R chacune (on néglige la section des fils) contenue dans
un plan vertical et alimentée par un courant continu d’intensité I réglable.
Les rotations éventuelles de l’aiguille sont mesurables sur un cercle gradué, la graduation 0 correspondant
à la position de l’aiguille dans le plan de la bobine.
1. Méthode de la boussole des tangentes.
~H
a) Sachant que l’on peut choisir le plan de la bobine, proposer un protocole de mesure de la composante B
du champ magnétique terrestre.
~ H contenue dans le plan de la bobine. Lorsque l’intensité passe d’une
b) L’expérience a été réalisée avec B
~H.
valeur nulle à la valeur I l’aiguille tourne d’un angle α. En déduire B
Données : N = 5, R = 12 cm, I = 0, 381 A et α = 20˚.
2. Méthode des oscillations. On utilise le même matériel que précédemment mais cette fois la position de
référence (ou d’équilibre) de l’aiguille est perpendiculaire à la bobine. On désigne par BC la norme du champ
magnétique créé par ce circuit. On suppose I tel que : BC < BH .
a) Montrer que la position d’équilibre de l’aiguille aimantée n’est pas modifiée par l’existence d’un tel courant
dans la bobine.
b) Montrer que la période des petites oscillations de l’aiguille, préalablement écartée de sa position d’équilibre,
dépend du sens du courant dans le circuit. En désignant par T 0 et par T les périodes des oscillations quasi
sinusoïdales observées pour les deux sens (à préciser), établir que :
BH =
T 2 + T 02
BC
T 02 − T 2
4
Exercice no 16 : Applications directes du théorème d’Ampère
1. Considérons une nappe de courant infinie dans le plan (xOy) telle que ~jS = jS ~ex . Cette distribution
résulte de la modélisation surfacique d’un ensemble de courants filiformes, rectilignes, infinis, jointifs, d’intensité
I, disposés parallèlement à l’axe (Ox). Nous noterons n le nombre de fils coupant, par unité de longueur, l’axe
(Oy). Déterminer en fonction de n, I et µ0 (la perméabilité du vide) le champ magnétostatique créé par cette
distribution de courants.
2. Considérons une distribution à symétrie cylindrique d’axe (Oz). Le vecteur densité de courant associé
vérifie ~j = j~ez pour r < R et ~j = ~0 pour r > R. Cette distribution résulte de la modélisation volumique
d’un ensemble de courants filiformes, rectilignes, infinis, jointifs, d’intensité I, disposés parallèlement à l’axe
(Oz). Nous noterons n le nombre de fils coupant, par unité de surface, le plan (xOy). Déterminer le champ
magnétostatique créé par cette distribution de courants.
Exercice no 17 : Solénoïde en forme de tore
N spires sont enroulées sur un tore de section carrée (coté de
longueur a) et de rayon moyen R. Elles sont parcourues par un
même courant I. On supposera que la distribution de courants est
invariante dans toute rotation d’axe z 0 z (N grand . . .).
~ en tout point
1. Donner l’expression du champ magnétique B
de l’espace.
2. En déduire l’expression de l’inductance associée à cet enroulement.
3. Que deviennent les résultats précédents lorsque R est très
grand devant a ? Commenter.
Exercice no 18 : Ligne de champ
Un solénoïde droit présente une section circulaire de rayon a. Sa
longueur 2l est très grande devant a et il possède n spires jointives par
unité de longueur. Il est parcouru par un courant I. On s’intéresse à
la ligne de champ qui coupe le plan z = 0 à une distance r0 de l’axe.
Elle ressort en traversant la face avant du solénoïde en un point A.
1. Quelle relation simple relie rA et r0 ?
2. Dans le cas où r0 est petit devant a, déterminer l’expression
~
donnant l’angle θA défini par θA = (~uz , B(A)).
Exercice no 19 : Déflexion électrostatique dans un condensateur plan
Un condensateur est constitué de deux armatures métalliques planes A et B parallèles séparées par une distance d (cf
figure ci-contre). Les deux armatures sont carrées et on note L
la longueur de leurs côtés.
Une différence de potentiel U = VA − VB > 0 appliquée
entre les deux armatures crée un champ électrostatique supposé
~ = − U ~ey dans l’espace entre les armatures.
uniforme et égal à E
d
Le champ est supposé nul en dehors du condensateur.
Un électron de masse m et de charge −e préalablement accéléré pénètre dans le condensateur plan en O avec la vitesse
initiale ~v0 = v0~ex .
1. Déterminer la trajectoire de l’électron dans l’espace entre les deux armatures. On rappelle que dans
ce genre de problèmes le poids de l’électron est parfaitement négligeable devant la force électrique à laquelle il
est soumis.
Un écran plan est placé dans le plan d’équation x = D + L2 (avec D > L2 ). On note I le point d’impact de
l’électron sur l’écran.
2. Montrer que l’ordonnée du point I est proportionnelle à U et exprimer la constante de proportionnalité.
3. Citer une application.
5
~ et B
~ croisés avec vitesse initiale nulle
Exercice no 20 : Champs E
Une particule (q = +e, m) se trouve à l’instant initial à l’origine O du repère trirectangulaire (O; ~ex , ~ey , ~ez )
lié au référentiel R galiléen, avec une vitesse ~v (O) nulle.
~ = E~ey et B
~ = B~ez .
1. Étudier son mouvement ultérieur en présence des champs uniformes et constants E
mE
eB
On posera ωc = m et R0 = eB 2 .
2. Déterminer, en fonction de R0 et ωc , la vitesse de dérive de la particule définie par :
~vD =<
dx
dy
> ~ex + <
> ~ey
dt
dt
~ et B.
~ Nous admettrons le caractère général de cette formule.
3. Exprimer ~vD en fonction de E
Problème : Magnétisme
1. Préliminaires.
a) Soit une spire de centre O, d’axe Oz et de rayon R. Cette spire, orientée corrélativement à l’axe (Oz), est
parcourue par un courant I. Quelle est l’expression de son moment magnétique M~ ?
b) Déterminer, en fonction de M~, le champ magnétostatique créé par cette spire en un point M (z) appartenant
à l’axe (Oz) tel que z >> R (on pourra se référer au résultat de l’exercice n˚11).
c) Retrouver alors, en utilisant le résultat de la question 1 de l’exercice n˚6, les correspondances de l’analogie
de structure entre le dipôle électrostatique et le dipôle magnétique.
d) Une boucle de courant de centre O et de moment magnétique M~ est plongée dans un champ magné~ ext dont les dimensions caractéristiques de variation sont très grandes devant les dimensions
tique extérieur B
caratéristiques de la boucle de courant. Retrouver par analogie avec le dipôle électrostatique :
~ ext sur la boucle de courant,
• ~Γ(O) le moment en O de l’action de B
~ ext et la boucle de courant,
• Ep l’énergie potentielle d’interaction entre B
~
~
• F la résultante de l’action de Bext sur la boucle de courant.
2. Le magnéton de Bohr.
a) Prenons le modèle classique de l’atome dans lequel un électron (masse m, charge −e) tourne autour du
noyau selon une orbite circulaire de rayon R. Déterminer le moment magnétique orbital1 µ
~ orb en fonction de
~ orb son moment cinétique orbital.
m, e et L
~ orb = ~~l où ~l (sans dimension) rend compte des propriétés de
b) La mécanique quantique nous indique que L
~ orb . Mettre µ
quantification de L
~ orb sous la forme −µB~l. Donner l’expression de µB , le magnéton de Bohr, en
fonction de ~, e et m.
c) Faire l’application numérique de µB en J.T −1 avec e = 1, 60.10−19 C, m = 9, 11.10−31 kg et h =
6, 63.10−34 J.s.
Dans la suite, on s’intéresse aux propriétés magnétiques des solides. Pour cela on définit le vecteur aiman~ (P ) au point P par :
tation M
µ
~ (P ) = d~
M
dτ
où d~
µ est la somme vectorielle des moments magnétiques contenus dans le volume mésoscopique dτ centré au
point P . On définit également la suceptibilité χ selon l’axe (Oz) par :
χ=
Mz
Hz
où Mz (resp. Hz ) est la composante du vecteur aimantation (resp. vecteur excitation magnétique imposé par
l’extérieur) suivant l’axe (Oz).
1
L’électron possède aussi un moment magnétique lié à son moment cinétique intrinsèque (i.e. son spin).
6
3. Le diamagnétisme.
~ 0 = B0 ~uz . Déterminer sa trajectoire sachant qu’à t = 0
a) Un électron est plongé dans un champ magnétique B
0
il est à l’origine O et que sa vitesse à t = 0 est ~v0 = v0 ~ux . On posera ωc = eB
m la pulsation cyclotron.
b) Déterminer son moment magnétique µ
~ e en fonction de e, v0 et ωc .
c) Un matériau diamagnétique est un matériau dont les atomes ont, pour des raisons que nous n’aborderons pas,
un moment magnétique nul et dans lequel des porteurs de charge sont susceptibles d’être mis en mouvement2 .
Quel est le signe de la susceptibilité d’un matériau diamagnétique ?
d) Pourquoi les supraconducteurs sont-ils dits diamagnétiques parfaits ?
Les atomes d’un matériau magnétique (paramagnétique ou ferromagnétique) portent un moment magnétique µ
~ . Dans le cas d’un matériau paramagnétique ces moments magnétiques interagissent peu entre eux alors
que dans un matériau ferromagnétique ils interagissent fortement.
4. Le paramagnétisme. Pour simplifier le raisonnement qui va suivre, on se place dans le cas du doublet
magnétique : la projection sur l’axe (Oz) de µ
~ qui d’après la mécanique quantique est quantifiée peut prendre
les valeurs +µB ou −µB . C’est à dire µz = ±µB .
~ = H~uz à ce matériau. Quelle est l’énergie d’interaction magnétique entre un moment
a) Appliquons le champ H
~ dans les cas µz = +µB et µz = −µB .
magnétique µ
~ et le champ H
b) Notons n le nombre de moments magnétiques par unité de volume. Déterminer, à l’aide de la statistique de
Boltzmann, n+ (resp. n− ) le nombre de moments magnétiques par unité de volume dont la projection sur (Oz)
µB H
avec µ0 la perméabilité du vide et k la constante de Boltzmann.
est µB (resp. −µB ). On posera x = µ0kT
c) Exprimer alors la composante suivant (Oz) du vecteur aimantation.
d) Calculer x pour un champ appliqué correspondant à 1 T à T = 300 K. Montrer alors qu’on retrouve la loi
de Curie : χ = C
T . Donner l’expression de C.
5. Le ferromagnétisme. Soit µ
~ j un des moments magnétiques. Dans l’approximation du champ molé~ m = γM
~ . Pour une interaction
culaire, l’action des autres moments sur µ
~ j est décrite par le champ fictif H
ferromagnétique γ est positif.
C
où Tc est la
a) Montrer, à partir de la loi de Curie vue à la question 4, la loi de Curie-Weiss : χ = T −T
c
température de Curie du matériau ferromagnétique considéré. Exprimer Tc .
b) La loi de Curie-Weiss est valable pour T > Tc . En dessous de Tc , χ n’est pas définie parce qu’il existe
une aimantation M non nulle sans champ extérieur appliqué au matériau. Déterminer dans le cas du doublet
magnétique une équation dont M est solution.
M
c) On pose m = nµ
et t = TTc . Quelle relation existe t-il entre m et t ? Déterminer m en fonction de t lorsque
B
t → 0 et lorsque t → 1. Tracer alors l’allure de M (T ).
En réalité les matériaux ferromagnétiques sont constitués de domaines (domaines de Weiss) dans lesquels ce
qui vient d’être fait est valide : en dessous de la température de Curie, l’aimantation dans un domaine de Weiss
est non nulle. Cependant les directions des aimantations des différents domaines sont réparties aléatoirement,
ce qui fait que globalement l’aimantation est nulle. Pour l’aimanter le matériau il faut lui appliquer un champ
~ pour orienter les aimantations des domaines (matériaux durs) ou élargir les domaines dont l’aimantation
H
~ (matériaux doux).
est selon H
2
Le diamagnétisme apparaît dans tous les matériaux magnétiques mais en réalité il est masqué par les effets
bien plus importants du paramagnétisme et du ferromagnétique.
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