COURS 10 Version du 11 octobre 2016. 2.6. Localisation. Soit S un

COURS 10
Version du 11 octobre 2016.
2.6. Localisation. Soit Sun ensemble multiplicativement stable qui
contient 1. (C’est juste pour la commodit´e que l’on demande que 1 PS.)
Soit Aun anneau int`egre. On peut inverser les ´el´ements de S. On le fait
comme on d´efinit les rationnels formellement commes des paires d’en-
tiers, avec une relation d’´equivalence. C’est-`a-dire que l’on consid`ere
les paires dans AˆS, et on met pa, sq „ pb, tqssi at “sb, pour set t
dans S. On d´efinit a{scomme notation pour la classe d’´equivalence de
pa, sq. On d´efinit addition et multiplication exactement comme pour les
fractions. (Je serai un peu plus pr´ecis dans un instant.) Il faut v´erifier
que le r´esultat est bien-d´efini (`a ´equivalence pr`es). L’anneau qui en
r´esulte est appel´e S´1A.
Comme cela, par exemple, on peut inverser xdans krxs, et pro-
duire l’anneau de polynˆomes de Laurent, krx, x´1s. Formellement, x
est repr´esent´e par px, 1q, tandis que x´1est repr´esent´e par p1, xq(ou
px, x2q, etc.). On peut inverser les puissances de 6 dans Z; il en r´esulte
les nombres rationels ayant seulement des puissances de 2 et 3 dans le
d´enominateur. Il est `a souligner que l’on n’a pas besoin d’avoir dans la
tˆete un anneau dans lequel l’inversement aurait du sens – le processus
produit lui-mˆeme l’anneau avec les ´el´ements invers´es, que l’on appelle
un anneau localis´e.
On veut ˆetre un peu plus g´en´eral, en se permettant d’inverser des
´el´ements qui sont des diviseurs de z´ero. Encore, on demande que Ssoit
multiplicativement clos et que Scontient 1.
On d´efinit une relation d’´equivalence sur AˆSen disant que pa, sq „
pb, tqssi il existe uPSavec pat ´sbqu“0. Il faut v´erifier qu’il s’agit
bien d’une relation d’´equivalence. La chose qui n’est pas ´evidente, c’est
que la relation soit transitive, c’est-`a-dire que si pa, sq „ pb, tqet pb, tq „
pc, uq, alors pa, sq„pc, uq. Du fait que pa, sq„pb, tq, on sait qu’il existe
un pPStel que ppat ´bsq “ 0. De la mˆeme mani`ere, il existe rPStel
que rpbu ´ctq “ 0. Or
0“urppat ´bsq ` sprpbu ´ctq “ urpat ´sprct “rptpau ´csq,
et du fait que Sest multiplicativement stable, on obtient que rpt PS,
ce qui implique que pa, sq„pc, uq.
1

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On fait exactement les d´efinitions normales :
pa, sq¨pb, tq“pab, stq
pa, sq`pb, tq“pat `sb, stq
Il faut v´erifier que ces op´erations sont bien-d´efinies. Par exemple,
supposons que pa1, s1q „ pa, sq. On veut v´erifier que pa, sq`pb, tq „
pa1, s1q`pb, tqet pa, sqpb, tq„pa1, s1qpb, tq. (Il suffit de d´emontrer que
changer un de pa, sqet pb, tq`a la fois, ne change pas le r´esultat.)
Supposons que uPSt´emoigne que pa1, s1q „ pa, sq(c’est-`a-dire que,
upa1s´s1aq “ 0. Alors pa1, s1qpb, tq“pa1b, s1tq, tandis que pa, sqpb, tq “
pab, stq. Pour v´erifier qu’ils sont ´egaux, il faut faire les !produits en
croix":pa1bst ´abs1tqet se demander s’il y a un ´el´ement de Squi
l’annule. ´ Evidemment, ul’annule.
Il y a un morphisme de Avers S´1A, qui envoie asur pa{1q. Souli-
gnons que ce morphisme n’est pas forc´ement injectif !
Par exemple, qu’est-ce qui se passe si on commence avec A“Z{x6y
et on met S“ t1,3u. Alors 3 t´emoigne que
p2,1q„p4,1q„p0,1q„p2,3q„p4,3q„p0,3q,
tandis que et
p3,1q„p5,1q„p1,1q„p3,3q„p5,3q„p1,3q.
Le r´esultat est donc isomorphe `a Z{x2y.
Exemples : Si A a un id´eal premier P, l’ensemble AzPest multipli-
cativement stable. (C’est une reformulation du fait mˆeme que Pest
premier). On ´ecrit APpour la localisation aux ´el´ements de AzP.
Si fest un ´el´ement de A, on ´ecrit Afpour la localisation par S“
t1, f, f2, . . .u.
Soulignons que ces deux notations, tous les deux standardes, ne s’ac-
cordent pas tellement : dans le premier cas, on inverse les ´el´ements qui
ne sont pas dans P, tandis que dans le deuxi`eme, on inverse f(et ses
puissances).
Proposition 2.6.1. Soit i:AÑS´1le morphisme correspondant `a
une localisation de A. Soit fun morphisme de Avers un anneau B,
tel que tous les ´el´ements de Ssont envoy´es sur des ´el´ements inversibles
de B. Alors il existe un morphisme unique ˜ fde S´1Avers Btel que
f“˜ fi.

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On veut compl´eter le diagramme :
A
S´1A
B
f
i˜
f
D´emonstration. Unicit´e. ˜ fpa{1qdoit ˆetre ´egal `a fpaq. Ensuite, le fait
que sest inversible dans S´1, nous dit que sp1{sq “ 1, ce qui doit
aussi ˆetre vrai apr`es appliquer ˜ f. Ceci nous dit comment d´efinir ˜ fp1{sq.
Ensuite ˜ fpa{sqdoit ˆetre ´egal `a fpaq{fpsq.
Existence. D´efinissez ˜ fpar fpa{sq “ fpaqfpsq´1. Il faut v´erifier que
c’est bien-d´efini, mais le fait que le diagramme commute est ´evident.
On peut ´egalement localiser un module. Encore, on commence avec S
multiplicativement stable dans A. On d´efinit une relation d’´equivalence
sur les ´el´ements de MˆS, disant que pm, sq„pn, tqsi et seulement
si il existe uPStel que upmt ´nsq “ 0. On ´ecrit m{spour la classe
d’´equivalence de pm, sq, et on note par S´1Ml’ensemble des classes
d’´equivalence. On constate que S´1Madmet une structure de S´1A-
module, avec les op´erations ´evidentes.
Un morphisme φde modules de Mvers Ninduit un morphisme
˜
φde S´1Mvers S´1N. On le d´efinit par ˜ φpm{sq “ φpmq{s. Il faut
v´erifier que ce soit bien-d´efini et que ce soit un morphisme de modules.
(Exercice.)
Proposition 2.6.2. Localisation est exacte, c’est-`a-dire que, si j’ai une
suite de A-modules :
L M N
f g
qui est exacte `a M, alors
S´1L S´1M S´1N
˜
f˜g
le sera `a S´1M.
D´emonstration. Du fait que le morphisme compos´e de Lvers Nest
z´ero, il s’ensuit que le morphisme de S´1Lvers S´1Nest z´ero.
Maintenant, supposons que nous avons x{sPnoyp˜gq, c’est-`a-dire que
˜gpx{sq„p0, tqpour (n’importe quel) tPS. Remarquons que ˜gpx{sq “

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gpxq{s, donc cela veut dire exactement qu’il existe uPStel que ugpxq “
0.
Donc, gpuxq “ 0. Par l’exactitude, il existe yPLtel que fpyq “ ux.
Maintenant ˜ fpy{uq “ ux{u“x{1, et ˜ fpy{suq “ x{s, donc x{sest dans
l’image de ˜ f, tel que voulu. 