Régime libre en mécanique (Ex)

PCSI 2
Régime libre en mécanique
REGIME LIBRE EN MECANIQUE
I Portrait de phase
On considère le portrait de phase d’un oscillateur amorti composé d’une masse m = 500
g soumise à une force
! !de rappel élastique (ressort de raideur k) et à une force de
frottement fluide − fv ( v étant la vitesse de la masse m et x est l’écart à la position
d’équilibre).
L’étude est réalisée dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen.
€
€
1) Déterminer la nature du régime de l’oscillateur.
2) Déterminer par lecture graphique :
- la valeur initiale de la position xo ;
- la valeur finale de la position xf ;
- la pseudo-période T ;
- le décrément logarithmique δ.
3) En déduire la pulsation propre ωo, le facteur de qualité Q de l’oscillateur, la raideur k du ressort et le coefficient de frottement
fluide f.
π
1
Indications : ω = ω 0 1−
et δ ≈ si Q >>1.
2
Q
4Q
Réponse : xo = 3 cm ; xf = 0 ; T = 315 ms ; δ = 0,63 ; ωo = 20,05 rad.s-1 ; Q = 5 ; k = 201 N.m-1 ; f = 2 N.m-1.s
€
€
II Essieu avant d’un véhicule
On modélise l’essieu avant d’un véhicule à l’aide de deux ressorts de
raideur k et de longueur à vide lo.
m/2
Une masse m/2 égale à la moitié de la masse du véhicule est posée dessus.
!
!
On travaille dans le référentiel terrestre Rg(O, ez ) supposé galiléen ( ez
vertical vers le haut).
z
!
Le seul mouvement étudié est le mouvement vertical selon l’axe (0, ez ).
€
On suppose les roues indéformables (de rayons constants).
€
ez
-1
Données : m = 1 t ; k = 19 000 N.m ; lo = 40 cm.
€
1) Montrer que ce dispositif est équivalent à un unique ressort dont on
déterminera les caractéristiques.
roue
O
Rg
2) Le véhicule étant à l’arrêt, on enfonce la masse m/2 de 5 cm (à cet instant z = zo) et on la lâche à t = 0.
a) Ecrire l’équation différentielle du mouvement.
b) Déterminer la solution.
c) Déterminer l’accélération maximale.
Réponse : constante de raideur 2k et longueur à vide lo ; ε˙˙ +
4k
ε = 0 avec ε = z – zeq ; z(t) = zeq + ( zo – zeq ) cos ωot ; 3,8 m.s-2.
m
€
2016 – 2017
1/4
PCSI 2
Régime libre en mécanique
III Etude des vibrations d’élongation de la liaison de covalence O-H dans une molécule d’alcool
1) Molécule isolée
On modélise une molécule d’alcool R-O-H isolée (en phase gazeuse par
exemple) par l’oscillateur ci-contre.
RO
H
Le support fixe représente le groupe R-O, le ressort (de longueur à vide lo = dOH)
représente la liaison de covalence entre les atomes O et H, l’atome H étant
représenté par un point matériel de masse mH. On considère que l’atome H est
mH
k, lo
astreint à se déplacer sur un axe x’x, et on néglige tout phénomène de frottement.
x
a) Quel argument permet de considérer que R-O est fixe ?
b) L’alcool considéré est capable d’absorber une onde électromagnétique dont
la fréquence ν est égale à sa fréquence de résonance νo. Déterminer la raideur
k du ressort en fonction de mH et νo.
Application numérique : calculer k en sachant que la longueur d’onde λo
absorbée est donnée par 1/λo = 3600 cm-1 (cette unité étant celle qui est utilisée habituellement). On donne la célérité de la
lumière dans le vide c = 3,00.108 m.s-1 et mH = 1,67.10-27 kg.
Dans quelle région du spectre électromagnétique se situe cette absorption ?
2) Molécule engagée dans une liaison hydrogène
La molécule précédente est maintenant située à
ROH+
proximité d’une autre molécule identique.
R
On suppose qu’il y a donc une liaison hydrogène
entre l’atome H+ de la molécule précédente et
mH
k, lo
l’atome O- de la molécule voisine. Dans un
x
liaison
Omodèle très simplifié de cette liaison, on ne va
hydrogène
considérer que l’influence électrostatique de
l’atome O- de la molécule voisine, molécule que
H+
l’on supposera fixe. Pour les applications
numériques, on prendra par la suite k = 750 N.m-1
et δ = 5,7.10-20 C.
a) Quel est l’allongement Δl de la liaison de covalence O-H (modélisée par le ressort) dû à la présence de la molécule voisine ?
Application numérique : calculer la valeur de Δl et montrer que cet allongement est négligeable par rapport à la longueur dH =
0,17 nm de la liaison hydrogène. On donne εo = 8,85.10-12 F.m-1.
b) Quelle est la nouvelle valeur de la longueur d’onde λ’o absorbée par l’alcool ? Détailler le raisonnement suivi et préciser les
approximations éventuellement faites, en les justifiant si besoin a posteriori.
Application numérique : donner la valeur 1/λ’o en cm-1. Comparer avec 1/λo.
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
Réponse : k = 4π2mHνo2 ; Δl =
δ2
; 1/λ’o = 3527 cm-1.
4 πε o kd H 2
€ un ressort de masse nulle, de longueur à
IV On considère
vide lo = 25 cm et de constante de raideur k = 80 N.m-1. Il est
placé sur un plan incliné d’un angle α = 60° par rapport à
l’horizontale. L’extrémité supérieure de ce ressort est fixée à
un support immobile ; à l’opposé se trouve un point matériel
M, de masse m = 0,2 kg, se déplaçant sans frottement sur le
plan incliné.
On repère par x l’élongation du ressort par rapport à sa
position d’équilibre sur le plan incliné. On prendra g = 10
m.s-2.
(k, lo)
x
g
M (m)
α
1) Déterminer la longueur du ressort à l’équilibre.
2) Etablir l’équation différentielle du mouvement en x(t).
3) On note respectivement xo et x˙ o l’élongation et la vitesse initiales.
a) Etablir l’équation horaire x(t) = xm cos ( ω t + ϕ ) ; on exprimera xm, tan ϕ et ω en fonction des données du problème.
b) Etablir l’équation horaire x(t) = A cos ωt + B sin ωt ; on exprimera A, B et ω en fonction des données du problème.
1
1
4) Montrer que l’énergie
€ mécanique du système s’écrit E = mx˙ 2 + kx 2 si l’on choisit la constante de telle façon que l’énergie
2
2
2016 – 2017
€
2/4
PCSI 2
Régime libre en mécanique
potentielle soit nulle à la position d’équilibre.
On pourra utiliser ce résultat pour la suite même s’il n’a pas été établi.
5) On considère les conditions initiales suivantes : xo = 0,1 m et x˙ o = - 2 m.s-1.
a) En déduire l’équation horaire x(t).
b) Calculer la vitesse à l’instant où l’élongation s’annule.
6) On considère les conditions initiales suivantes : Eco = 0,5 J et Epo = 0,5 J.
€
Calculer l’élongation maximale par rapport à l’équilibre
dans ce cas (on choisira la constante de telle manière que l’énergie
potentielle soit nulle à la position d’équilibre).
Réponse : le = 27,165 cm ; ˙x˙ +
k
x=0 ; ω=
m
€
€
V Modélisation d’un oscillateur
⎛ x˙ ⎞2
x˙
k
x˙
; x m = x o 2 + ⎜ o ⎟ ; tan ϕ = − o ; A = x o ; B = o ; ± 2,83 m.s-1 ; 15,8 cm.
⎝
⎠
ωx o
ω
m
ω
€
€
€
€
€
!
Soit un point matériel de masse m, en mouvement dans le champ de pesanteur g uniforme.
1) Etude énergétique d’un oscillateur
!
a) Définir l’énergie potentielle associée à une force F . Pour une force de rappel élastique de constante k, déterminer
l’expression de l’énergie potentielle en fonction de l’écart x à €
la position d’équilibre, à une constante additive près.
b) On considère un mouvement conservatif de m sur l’axe horizontal Oy, autour d’une position d’équilibre Yo, avec l’énergie
potentielle Ep(y) = Eo + α (y-Yo)2, où α est une constante positive. Etablir l’équation différentielle du mouvement et en déduire
€
qu’il s’agit d’oscillations harmoniques dont on précisera l’expression de la période.
c) Application : considérons le dispositif horizontal de la figure suivante.
m
y
Les ressorts sont identiques, de raideur k et de longueur à vide Lo, tandis que les points d’attache sont distants de 2Lo.
Exprimer Ep(y) si y désigne l’écart à la position d’équilibre, et calculer la période To des oscillations de m si m = 200 g et k = 40
N/m.
d) On envisage
d’un frottement fluide d’intensité proportionnelle à la vitesse de m par rapport à l’axe du
! l’existence
!
mouvement : F = −βmv où β est une constante positive. Donner la dimension ou l’unité SI de β.
e) Etablir l’équation différentielle du mouvement. Quelle est la valeur numérique maximale de β permettant les oscillations de
m?
€
2) Modélisation
d’un dispositif expérimental
a) On dispose d’un banc à coussin d’air rectiligne (Ox), incliné par une cale de hauteur h d’un angle α par rapport à
l’horizontale, selon la figure ci-dessous. Sur ce banc, un aimant est fixé à l’origine O, et un autre aimant, de masse m, est fixé
sur un palet mobile sans frottement :
Les aimants sont orientés de telle sorte qu’ils se repoussent mutuellement. La possibilité pour m d’osciller
! autour d’une position
d’équilibre résulte de la compétition entre la répulsion électromagnétique, réduite à une force notée F , prépondérante lorsque
les aimants sont proches, et le poids, qui devient prépondérant lorsque la distance augmente.
Faire un bilan des forces à l’équilibre sur un schéma.
b) Sans connaissances préalables en électromagnétisme, on cherche dans la suite à vérifier si la force électromagnétique agissant
€
2016 – 2017
3/4
PCSI 2
Régime libre en mécanique
!
⎛ x ⎞n !
dans cette expérience peut être modélisée par une loi de la forme : F (x) = k ⎜ o ⎟ ex , avec k > 0 et n entier naturel. Exprimer
⎝ x ⎠
dans cette hypothèse la position d’équilibre xe en fonction de xo, k, m, g, L, h et n dans le cas des petits angles (h<<L).
NB : cette approximation sera toujours utilisée dans la suite.
c) On mesure xe pour différentes cales, puis on représente Ln(h) en fonction de Ln(xe/xo). En prenant xo = 1 m, déduire des
mesures ainsi représentées ci-dessous les valeurs de n et k. €
On donne : L = 120 cm ; m = 189 g ; g = 9,81 m.s-2.
valeurs correspondantes :
ln(xe / xo)
ln(h)
– 2,19
– 4,61
– 2,39
– 3,91
– 2,56
– 3,22
– 2,63
– 2,81
– 2,73
– 2,53
– 2,76
– 2,30
– 2,81
– 2,12
d) Exprimer littéralement l’énergie potentielle totale Ep(x) de m, à une constante additive près, en fonction de x, xo, k, m, g, L, h
et n, puis en fonction de x, xo, xe, k et n seulement.
e) Lorsqu’on se limite à des oscillations de faible amplitude autour de la position d’équilibre, on rappelle qu’on peut utiliser
2
2
x − xe ) ⎛ d Ep ⎞
(
⎜
⎟
pour l’énergie potentielle un développement de Taylor d’ordre 2 : E p (x) ≈ E p ( x = x e ) +
.
⎜ dx 2 ⎟
2
⎝
⎠x= x e
1
2
En déduire une expression de E p (x ≈ x e ) sous la forme :
K ( x − x e ) + cste ; le détail de la constante additive n’est pas
2
demandé, mais on exprimera la constante K en fonction de xe, xo, k et n.
€
f) Justifier qu’au voisinage de l’équilibre, la résultante des forces subies par m équivaut à une force de rappel élastique dont on
précisera la constante de
€ raideur équivalente.
g) Toutes choses égales par ailleurs, montrer que la€période T des petites oscillations autour de l’équilibre est proportionnelle à
une puissance de h que l’on déterminera ; en déduire une méthode de mesure de n que l’on décrira succinctement.
m
m
8k
2α
2α
2k
2k
2
; ˙y˙ +
; ˙y˙ + βy˙ +
;
y=
Yo ; E p (y) = k ( y − Lo ) ; T o = 2π
y=
Lo ; β max =
2α
2k
m
m
m
m
m
⎛ x ⎞n kx n 1−n
⎛ kL ⎞1/ n
mgh
kx o n 1−n
n −n−1
-6
;
n
=
4
et
k
=
2.10
N
;
;
E
(x)
=
x
+
x
+
Cte
=
k
xe = xo ⎜
⎜ o ⎟ + o x + Cte ; K = knx o x e
⎟
p
L
n −1
n −1
⎝ mgh ⎠
⎝ xe ⎠
€
€
€
n +1
€
€
€
−
2n
T proportionnelle à h
.
€
€
Réponse : T = 2π
€
2016 – 2017
4/4