Régime libre en mécanique (Ex)

PCSI 2 Régime libre en mécanique
2016 – 2017 1/4
REGIME LIBRE EN MECANIQUE
I Portrait de phase
On considère le portrait de phase d’un oscillateur amorti composé d’une masse m = 500
g soumise à une force de rappel élastique (ressort de raideur k) et à une force de
frottement fluide
€
−f! v
(
€
!
v
étant la vitesse de la masse m et x est l’écart à la position
d’équilibre).
L’étude est réalisée dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen.
1) Déterminer la nature du régime de l’oscillateur.
2) Déterminer par lecture graphique :
- la valeur initiale de la position xo ;
- la valeur finale de la position xf ;
- la pseudo-période T ;
- le décrément logarithmique δ.
-
3) En déduire la pulsation propre ωo, le facteur de qualité Q de l’oscillateur, la raideur k du ressort et le coefficient de frottement
fluide f.
Indications :
€
ω = ω
01−1
4Q2
et
€
δ ≈
π
Q
si Q >>1.
Réponse : xo = 3 cm ; xf = 0 ; T = 315 ms ; δ = 0,63 ; ωo = 20,05 rad.s-1 ; Q = 5 ; k = 201 N.m-1 ; f = 2 N.m-1.s
II Essieu avant d’un véhicule
On modélise l’essieu avant d’un véhicule à l’aide de deux ressorts de
raideur k et de longueur à vide lo.
Une masse m/2 égale à la moitié de la masse du véhicule est posée dessus.
On travaille dans le référentiel terrestre Rg(O,
€
!
e
z
) supposé galiléen (
€
!
e
z
vertical vers le haut).
Le seul mouvement étudié est le mouvement vertical selon l’axe (0,
€
!
e
z
).
On suppose les roues indéformables (de rayons constants).
Données : m = 1 t ; k = 19 000 N.m-1 ; lo = 40 cm.
1) Montrer que ce dispositif est équivalent à un unique ressort dont on
déterminera les caractéristiques.
2) Le véhicule étant à l’arrêt, on enfonce la masse m/2 de 5 cm (à cet instant z = zo) et on la lâche à t = 0.
a) Ecrire l’équation différentielle du mouvement.
b) Déterminer la solution.
c) Déterminer l’accélération maximale.
Réponse : constante de raideur 2k et longueur à vide lo ;
€
˙ ˙
ε +4k
m
ε =0
avec ε = z – zeq ; z(t) = zeq + ( zo – zeq ) cos ωot ; 3,8 m.s-2.
m/2
roue
z
ez
O
Rg

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III Etude des vibrations d’élongation de la liaison de covalence O-H dans une molécule d’alcool
1) Molécule isolée
On modélise une molécule d’alcool R-O-H isolée (en phase gazeuse par
exemple) par l’oscillateur ci-contre.
Le support fixe représente le groupe R-O, le ressort (de longueur à vide lo = dOH)
représente la liaison de covalence entre les atomes O et H, l’atome H étant
représenté par un point matériel de masse mH. On considère que l’atome H est
astreint à se déplacer sur un axe x’x, et on néglige tout phénomène de frottement.
a) Quel argument permet de considérer que R-O est fixe ?
b) L’alcool considéré est capable d’absorber une onde électromagnétique dont
la fréquence ν est égale à sa fréquence de résonance νo. Déterminer la raideur
k du ressort en fonction de mH et νo.
Application numérique : calculer k en sachant que la longueur d’onde λo
absorbée est donnée par 1/λo = 3600 cm
-1 (cette unité étant celle qui est utilisée habituellement). On donne la célérité de la
lumière dans le vide c = 3,00.108 m.s-1 et mH = 1,67.10-27 kg.
Dans quelle région du spectre électromagnétique se situe cette absorption ?
2) Molécule engagée dans une liaison hydrogène
La molécule précédente est maintenant située à
proximité d’une autre molécule identique.
On suppose qu’il y a donc une liaison hydrogène
entre l’atome H+δ de la molécule précédente et
l’atome O-δ de la molécule voisine. Dans un
modèle très simplifié de cette liaison, on ne va
considérer que l’influence électrostatique de
l’atome O-δ de la molécule voisine, molécule que
l’on supposera fixe. Pour les applications
numériques, on prendra par la suite k = 750 N.m-1
et δ = 5,7.10-20 C.
a) Quel est l’allongement Δl de la liaison de covalence O-H (modélisée par le ressort) dû à la présence de la molécule voisine ?
Application numérique : calculer la valeur de Δl et montrer que cet allongement est négligeable par rapport à la longueur dH =
0,17 nm de la liaison hydrogène. On donne εo = 8,85.10-12 F.m-1.
b) Quelle est la nouvelle valeur de la longueur d’onde λ’o absorbée par l’alcool ? Détailler le raisonnement suivi et préciser les
approximations éventuellement faites, en les justifiant si besoin a posteriori.
Application numérique : donner la valeur 1/λ’o en cm-1. Comparer avec 1/λo.
Réponse : k = 4π2mHνo
2 ;
€
Δl=
δ
2
4 πε
okd H
2
; 1/λ’o = 3527 cm-1.
IV On considère un ressort de masse nulle, de longueur à
vide lo = 25 cm et de constante de raideur k = 80 N.m-1. Il est
placé sur un plan incliné d’un angle α = 60° par rapport à
l’horizontale. L’extrémité supérieure de ce ressort est fixée à
un support immobile ; à l’opposé se trouve un point matériel
M, de masse m = 0,2 kg, se déplaçant sans frottement sur le
plan incliné.
On repère par x l’élongation du ressort par rapport à sa
position d’équilibre sur le plan incliné. On prendra g = 10
m.s-2.
1) Déterminer la longueur du ressort à l’équilibre.
2) Etablir l’équation différentielle du mouvement en x(t).
3) On note respectivement xo et
€
˙
x
o
l’élongation et la vitesse initiales.
a) Etablir l’équation horaire x(t) = xm cos ( ω t + ϕ ) ; on exprimera xm, tan ϕ et ω en fonction des données du problème.
b) Etablir l’équation horaire x(t) = A cos ωt + B sin ωt ; on exprimera A, B et ω en fonction des données du problème.
4) Montrer que l’énergie mécanique du système s’écrit
€
E=1
2
m˙ x
2+1
2
kx 2
si l’on choisit la constante de telle façon que l’énergie
RO
k, lo
mH
H
x
RO-δ
k, lo
mH
H+δ
x
O-δ
R
H+δ
liaison
hydrogène
M (m)
x
g
α
(k, lo)

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potentielle soit nulle à la position d’équilibre.
On pourra utiliser ce résultat pour la suite même s’il n’a pas été établi.
5) On considère les conditions initiales suivantes : xo = 0,1 m et
€
˙
x
o
= - 2 m.s-1.
a) En déduire l’équation horaire x(t).
b) Calculer la vitesse à l’instant où l’élongation s’annule.
6) On considère les conditions initiales suivantes : Eco = 0,5 J et Epo = 0,5 J.
Calculer l’élongation maximale par rapport à l’équilibre dans ce cas (on choisira la constante de telle manière que l’énergie
potentielle soit nulle à la position d’équilibre).
Réponse : le = 27,165 cm ;
€
˙ ˙
x +k
m
x=0
;
€
ω =k
m
;
€
xm=xo
2+
˙
x
o
ω
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
2
;
€
tan ϕ =−
˙
x
o
ω xo
;
€
A=xo
;
€
B=
˙
x
o
ω
;
€
±
2,83 m.s-1 ; 15,8 cm.
V Modélisation d’un oscillateur
Soit un point matériel de masse m, en mouvement dans le champ de pesanteur
€
!
g
uniforme.
1) Etude énergétique d’un oscillateur
a) Définir l’énergie potentielle associée à une force
€
!
F
. Pour une force de rappel élastique de constante k, déterminer
l’expression de l’énergie potentielle en fonction de l’écart x à la position d’équilibre, à une constante additive près.
b) On considère un mouvement conservatif de m sur l’axe horizontal Oy, autour d’une position d’équilibre Yo, avec l’énergie
potentielle Ep(y) = Eo + α (y-Yo)2, où α est une constante positive. Etablir l’équation différentielle du mouvement et en déduire
qu’il s’agit d’oscillations harmoniques dont on précisera l’expression de la période.
c) Application : considérons le dispositif horizontal de la figure suivante.
Les ressorts sont identiques, de raideur k et de longueur à vide Lo, tandis que les points d’attache sont distants de 2Lo.
Exprimer Ep(y) si y désigne l’écart à la position d’équilibre, et calculer la période To des oscillations de m si m = 200 g et k = 40
N/m.
d) On envisage l’existence d’un frottement fluide d’intensité proportionnelle à la vitesse de m par rapport à l’axe du
mouvement :
€
!
F =− β m! v
où β est une constante positive. Donner la dimension ou l’unité SI de β.
e) Etablir l’équation différentielle du mouvement. Quelle est la valeur numérique maximale de β permettant les oscillations de
m ?
2) Modélisation d’un dispositif expérimental
a) On dispose d’un banc à coussin d’air rectiligne (Ox), incliné par une cale de hauteur h d’un angle α par rapport à
l’horizontale, selon la figure ci-dessous. Sur ce banc, un aimant est fixé à l’origine O, et un autre aimant, de masse m, est fixé
sur un palet mobile sans frottement :
Les aimants sont orientés de telle sorte qu’ils se repoussent mutuellement. La possibilité pour m d’osciller autour d’une position
d’équilibre résulte de la compétition entre la répulsion électromagnétique, réduite à une force notée
€
!
F
, prépondérante lorsque
les aimants sont proches, et le poids, qui devient prépondérant lorsque la distance augmente.
Faire un bilan des forces à l’équilibre sur un schéma.
b) Sans connaissances préalables en électromagnétisme, on cherche dans la suite à vérifier si la force électromagnétique agissant
m
y

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dans cette expérience peut être modélisée par une loi de la forme :
€
!
F (x)=kxo
x
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
n!
e
x
, avec k > 0 et n entier naturel. Exprimer
dans cette hypothèse la position d’équilibre xe en fonction de xo, k, m, g, L, h et n dans le cas des petits angles (h<<L).
NB : cette approximation sera toujours utilisée dans la suite.
c) On mesure xe pour différentes cales, puis on représente Ln(h) en fonction de Ln(x
e/xo). En prenant xo = 1 m, déduire des
mesures ainsi représentées ci-dessous les valeurs de n et k.
On donne : L = 120 cm ; m = 189 g ; g = 9,81 m.s-2.
valeurs correspondantes :
ln(xe / xo)
ln(h)
– 2,19
– 4,61
– 2,39
– 3,91
– 2,56
– 3,22
– 2,63
– 2,81
– 2,73
– 2,53
– 2,76
– 2,30
– 2,81
– 2,12
d) Exprimer littéralement l’énergie potentielle totale Ep(x) de m, à une constante additive près, en fonction de x, xo, k, m, g, L, h
et n, puis en fonction de x, xo, xe, k et n seulement.
e) Lorsqu’on se limite à des oscillations de faible amplitude autour de la position d’équilibre, on rappelle qu’on peut utiliser
pour l’énergie potentielle un développement de Taylor d’ordre 2 :
€
Ep(x)≈Epx=xe
( )
+x−xe
( )
2
2
d2Ep
dx2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
x=xe
.
En déduire une expression de
€
Ep(x≈xe)
sous la forme :
€
1
2
K x −xe
( )
2+cste
; le détail de la constante additive n’est pas
demandé, mais on exprimera la constante K en fonction de xe, xo, k et n.
f) Justifier qu’au voisinage de l’équilibre, la résultante des forces subies par m équivaut à une force de rappel élastique dont on
précisera la constante de raideur équivalente.
g) Toutes choses égales par ailleurs, montrer que la période T des petites oscillations autour de l’équilibre est proportionnelle à
une puissance de h que l’on déterminera ; en déduire une méthode de mesure de n que l’on décrira succinctement.
Réponse :
€
T=2 π
m
2 α
;
€
˙ ˙
y +2
α
my=2
α
mYo
;
€
Ep(y)=k y −Lo
( )
2
;
€
To=2 π
m
2k
;
€
˙ ˙
y + β
˙
y +2k
my=2k mLo
;
€
β
max =8k
m
;
€
xe=xo
kL
mgh
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1/ n
; n = 4 et k = 2.10-6 N ;
€
Ep(x)=mgh
Lx+kxo
n
n−1x1−n+Cte =kxo xe
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
n
+kxo
n
n−1x1−n+Cte
;
€
K=knxo
nxe −n−1
;
T proportionnelle à
€
h
−n+1
2n
.