ÉM. IV - FORCES ÉLECTROMAGNÉTIQUES 1. Force

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ÉM. IV - FORCES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
1. Force électromagnétique de Lorentz
• Placée dans un champ électrique E et un champ magnétique B , une particule de charge électrique q et de vitesse v est soumise à une force électromagnétique (force de Lorentz) : F = q.( E + v " B ).
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☞ remarque : d'une façon générale
la force magnétique F m = q v " B est
!
!
! donc
! elle ne travaille pas.
perpendiculaire au déplacement,
◊ remarque : dans un conducteur (globalement neutre)
parcouru
par un cou!
!
rant, les forces électriques sur les charges des deux signes se compensent,
mais les forces magnétiques ne se compensent généralement pas ; leur
résultante correspond à une force macroscopique (force de Laplace), subie
par le conducteur, qui est à la base du fonctionnement de nombreux dispositifs électromécaniques.
2. Particules chargées dans un champ électrostatique uniforme
• Une particule de charge q et de masse m (mais de poids négligeable),
soumise à un champ électrostatique E uniforme, subit une force électrique
F = m a = q E constante et son mouvement est uniformément accéléré.
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3. Particules
chargées dans un champ magnétostatique uniforme
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• Soit une particule de charge q < 0 et de masse m (mais de poids négligeable), soumise à un champ magnétique B uniforme et constant, orienté selon
Oz, avec initialement : x = x0, y = 0, z = 0, x• = 0, y• = v0y > 0 et z• = v0z.
! : F = qv " B = qB.[y• ux - x• uy ] dʼoù on
La force de Lorentz peut sʼécrire
déduit : m x•• = qB y• ; m y•• = -qB x• ; m z•• = 0. On en tire en particulier
que vz est constante, et on nʼa plus quʼà étudier la projection sur xOy.
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!
!
2
• Le système dʼéquations différentielles combinées en vx et vy peut se résoudre en intégrant (ou en dérivant) lʼune des équations et en reportant le
résultat dans lʼautre.
Ainsi, compte tenu des conditions initiales : x• =
y•• + ω2 y = 0 avec ω =
qB
y ; donc en reportant :
m
qB
.
m
Compte tenu des conditions initiales, on en déduit : y = Ym sin(ωt). Ceci
v 0y
donne : y• = ωYm!cos(ωt) et les conditions initiales imposent : Ym =
.
!
En reportant on obtient : x• = - v0y sin(ωt)
et compte tenu des conditions initiales,
v 0y
on en déduit : x - x0 =
[cos(ωt) - 1].
!
• Ces projections correspondent (selon
xOy) à un mouvement circulaire de rayon
v 0y
r =
, et dont le centre a pour coor!
données : x1 = x0 - r et y1 = 0.
Ce mouvement projeté est circulaire
uniforme, et le mouvement “total” est
donc hélicoïdal uniforme, à la vitesse de
norme
!
v 0y 2 + v z 2 constante.
◊ remarque : le schéma ci-contre correspond à x1 = 0.
◊ remarque : on peut résoudre le système des deux premières équations avec
la notation complexe Z = x + i y ; on obtient ainsi : m Z•• + i qB Z• = 0.
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◊ remarque : le système dʼéquations différentielles en vx et vy peut aussi se
résoudre sous la forme matricielle : v • = [M] v ; en diagonalisant la matrice
[M] on obtient les “vecteurs propres” (complexes) α = vx + ivy et β = vx - ivy
avec les valeurs propres respectives -i et +i ; on résout alors avec les variables α et β puis on en déduit
x et y.
! v x, v y, !
4. Champs électrique et magnétique uniformes
• Tous les cas avec à la fois un champ électrostatique et un champ magnétostatique uniformes conduisent à des systèmes d'équations dont la résolution
découle des mêmes méthodes.
◊ remarque : on obtient des équations analogues pour un point matériel
soumis à une force de pesanteur uniforme, dans un référentiel tournant autour
d'un axe fixe avec une vitesse de rotation constante, où intervient une force
d'inertie fc = -2m " ⨯ v " ; on obtient aussi des équations analogues pour les
balles en rotation (lift, slice...) pour lesquelles il faut ajouter une force de
Magnus fM = λ " ⨯ v .
! !
!
◊ remarque : l'étude des aurores boréales et australes correspond à une
généralisation
! ! pour des champs non uniformes.
!
& exercices n° I, II et III.