ÉM. IV - FORCES ÉLECTROMAGNÉTIQUES 1. Force

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ÉM. IV - FORCES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
1. Force électromagnétique de Lorentz
• Placée dans un champ électrique
!
E
et un champ magnétique
!
B
, une parti-
cule de charge électrique q et de vitesse
!
v
est soumise à une force électro-
magnétique (force de Lorentz) :
!
F
= q.(
!
E
+
!
v"B
).
☞ remarque : d'une façon générale la force magnétique
!
F
m = q
!
v"B
est
perpendiculaire au déplacement, donc elle ne travaille pas.
◊ remarque : dans un conducteur (globalement neutre) parcouru par un cou-
rant, les forces électriques sur les charges des deux signes se compensent,
mais les forces magnétiques ne se compensent généralement pas ; leur
résultante correspond à une force macroscopique (force de Laplace), subie
par le conducteur, qui est à la base du fonctionnement de nombreux disposi-
tifs électromécaniques.
2. Particules chargées dans un champ électrostatique uniforme
• Une particule de charge q et de masse m (mais de poids négligeable),
soumise à un champ électrostatique
!
E
uniforme, subit une force électrique
!
F
= m
!
a
= q
!
E
constante et son mouvement est uniformément accéléré.
3. Particules chargées dans un champ magnétostatique uniforme
• Soit une particule de charge q < 0 et de masse m (mais de poids négligea-
ble), soumise à un champ magnétique
!
B
uniforme et constant, orienté selon
Oz, avec initialement : x = x0, y = 0, z = 0, x• = 0, y• = v0y > 0 et z• = v0z.
La force de Lorentz peut sʼécrire :
!
F
=
!
qv "B
= qB.[y•
!
ux
- x•
!
uy
] dʼoù on
déduit : m x•• = qB y• ; m y•• = -qB x• ; m z•• = 0. On en tire en particulier
que vz est constante, et on nʼa plus quʼà étudier la projection sur xOy.

2
• Le système dʼéquations différentielles combinées en vx et vy peut se ré-
soudre en intégrant (ou en dérivant) lʼune des équations et en reportant le
résultat dans lʼautre.
Ainsi, compte tenu des conditions initiales : x• =
qB
m
y ; donc en reportant :
y•• + ω2 y = 0 avec ω =
!
q B
m
.
Compte tenu des conditions initiales, on en déduit : y = Ym sin(ωt). Ceci
donne : y• = ωYm cos(ωt) et les conditions initiales imposent : Ym =
v0y
!
.
En reportant on obtient : x• = - v0y sin(ωt)
et compte tenu des conditions initiales,
on en déduit : x - x0 =
v0y
!
[cos(ωt) - 1].
• Ces projections correspondent (selon
xOy) à un mouvement circulaire de rayon
r =
v0y
!
, et dont le centre a pour coor-
données : x1 = x0 - r et y1 = 0.
Ce mouvement projeté est circulaire
uniforme, et le mouvement “total” est
donc hélicoïdal uniforme, à la vitesse de
norme
!
v0y
2+vz 2
constante.
◊ remarque : le schéma ci-contre corres-
pond à x1 = 0.
◊ remarque : on peut résoudre le système des deux premières équations avec
la notation complexe Z = x + i y ; on obtient ainsi : m Z•• + i qB Z• = 0.

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◊ remarque : le système dʼéquations différentielles en vx et vy peut aussi se
résoudre sous la forme matricielle :
!
v
• = [M]
!
v
; en diagonalisant la matrice
[M] on obtient les “vecteurs propres” (complexes) α = vx + ivy et β = vx - ivy
avec les valeurs propres respectives -i et +i ; on résout alors avec les va-
riables α et β puis on en déduit vx, vy, x et y.
4. Champs électrique et magnétique uniformes
• Tous les cas avec à la fois un champ électrostatique et un champ magnétos-
tatique uniformes conduisent à des systèmes d'équations dont la résolution
découle des mêmes méthodes.
◊ remarque : on obtient des équations analogues pour un point matériel
soumis à une force de pesanteur uniforme, dans un référentiel tournant autour
d'un axe fixe avec une vitesse de rotation constante, où intervient une force
d'inertie
!
fc
= -2m
!
"
⨯
!
"
v
; on obtient aussi des équations analogues pour les
balles en rotation (lift, slice...) pour lesquelles il faut ajouter une force de
Magnus
!
f
M
= λ
!
"
⨯
!
v
.
◊ remarque : l'étude des aurores boréales et australes correspond à une
généralisation pour des champs non uniformes.
! exercices n° I, II et III.