Propagation des ondes et optique

Deuxième partie
Propagation des ondes et optique
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7 Résoudre les équations de Maxwell
Lorsque l’espace a une seule dimension, on dispose d’une expression explicite parti-
culièrement simple de la solution générale. Cela n’est pas le cas à trois dimensions (et
encore moins lorsque le champ est vectoriel).
Ce chapitre présente une trousse à outil comportant quelques principes permettant
d’aborder la plupart des problèmes courants.
7.1 Les équations de Maxwell : champs, énergie
Ce chapitre a pour objectif de synthétiser les grandeurs essentielles pour l’étude des
ondes électromagnétismes
7.1.1 Les équations de Maxwell dans le vide
Expression des équations
Les équations de base de l’électromagnétisme dans le vide sont les quatre équations
de Maxwell à laquelle s’ajoute la force de Lorentz qui s’exerce sur une charge électrique
en mouvement :
div ~ E=ρ
ε0
(7.1)
div ~ B= 0 (7.2)
−→
rot ~ E=−∂~
B
∂t (7.3)
−→
rot ~ B=µ0~ j+µ0ε0
∂~ E
∂t (7.4)
~
FL=q~
E+~v ×~ B(7.5)
La relation qui exprime la conservation locale de la charge électrique se déduit ce ces
équations :
A savoir
Retrouver cette équa-
tion de conservation à
partir des équations de
Maxwell
∂ρ
∂t + div ~
j= 0.(7.6)
Il est important de noter aussi les dimensions de chaque terme :
le champ E s’exprime en Volt/mètre ;
le champ H en Ampère/mètre ;
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70 7 Résoudre les équations de Maxwell
ε0en Farad/mètre ;
µ0en Henry/mètre ;
l’induction magnétique B en Tesla ;
la densité de courant j en Ampre/m2et la densité de charges ρen Coulomb/m3.
7.1.2 Ondes electromagnétiques dans l’espace libre
En l’absence de charge électrique et de courant électrique, ces équations prennent la
forme suivante :
div ~ E= 0 (7.7)
div ~ B= 0 (7.8)
−→
rot ~ E=−∂~
B
∂t (7.9)
−→
rot ~ B=µ0ε0
∂~ E
∂t (7.10)
Ondes électromagnétiques dans le vide
Les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday sont des équations aux dérivées
partielles du premier ordre qui couplent le champ électrique ~ Eet le champ magnétique
~
B. L’élimination de l’un des champ conduit à obtenir pour le second une équation du
second ordre :
A savoir
Démontrer ces équa-
tions de propagation à
partir des équations de
Maxwell
∆~ E−µ0ε0
∂2~ E
∂t2= 0,(7.11)
∆~ B−µ0ε0
∂2~ B
∂t2= 0.(7.12)
Ces équations sont des équations de D’ Alembert : le champ électromagnétique se
propage dans le vide à la célérité c.
c=1
√ε0µ0
(7.13)
Énergie électromagnétique
Le champ électromagnétique transporte de l’énergie. La densité locale d’énergie élec-
tromagnétique Uest :
U=ε0~
E
2
2+~
B
2
2µ0
.(7.14)
Le courant d’énergie est donné par le vecteur de Poynting ~ Π:
J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.5

7.2 Les potentiels 71
~
Π = ~
E×~ B
µ0
en W att/m2.(7.15)
La relation de conservation locale s’écrit :
∂U
∂t + div ~
Π = 0.(7.16)
A savoir
Retrouver cette équa-
tion à partir des équa-
tions de Maxwell
Exercice
Que devient cette équa-
tion en présence de
charges et de courants ?
La puissance Pqui traverse une surface Sest le flux du vecteur de Poynting à travers
cette surface :
P=x
Σ
~
Π·d~ S. (7.17)
7.2 Les potentiels
Dans de nombreuses situations, les problèmes d’électromagnétisme sont grandement
simplifiés par l’utilisation de champs supplémentaires : les potentiels scalaire V(~r, t)et
vecteur ~ A(~r, t).
7.2.1 Existence des potentiels
Les équations de Maxwell flux et Maxwell-Faraday ne font intervenir ni la distribution
de charge, ni la distribution de courant. Elles sont ainsi vérifiées en toutes circonstances.
Ces équations ont un double aspect :
– elles rendent compte d’effets physiques : absence de monopole magnétique (Maxwell-
Flux), apparition d’un champ électromoteur lorsqu’un champ magnétique dépend
du temps (Maxwell-Faraday).
– elles explicitent le fait que le champ électrique comme le champ magnétique ne
peuvent pas prendre des valeurs arbitraires.
En d’autres termes, ces deux équations imposent des contraintes sur le champ élec-
trique et le champ magnétique.
Le potentiel vecteur ~ A
L’équation de Maxwell-flux impose au champ magnétique d’avoir une divergence nulle :
div ~ B= 0.(7.18)
C’est une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un champ vectoriel ~ Asolution
à l’équation : −→
rot ~ A=~ B. (7.19)
Le champ ~ Aest appelé potentiel vecteur.
Notes de cours version 0.5 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty