Errata

Physique 3 © Les Éditions de la Chenelière inc.
32 Chapitre 2 Les ondes
Une onde se propageant dans une corde est décrite par
y(x, t) 0,003 27 sin(72,1x2,72t1,05), (2.17)
où les constantes numériques sont en unités SI (0,003 27 m, 72,1 rad/m,
2,72 rad/s et 1,05 rad).
a) Quelle est l’amplitude de cette onde ?
SOLUTION: On utilise le concept clé suivant : l’équation 2.17 a la même
forme que l’équation 2.2,
yymsin(kx ωt ) ; (2.18)
on a donc affaire à une onde sinusoïdale. En comparant les deux
équations, on voit que l’amplitude est
ym0,003 27 m 3,27 mm. (réponse)
b) Quelles sont la longueur d’onde, la période et la fréquence de cette
onde ?
SOLUTION: En comparant les équations 2.17 et 2.18, on voit que le
nombre d’onde et la fréquence angulaire sont
k72,1 rad/m et ω2,72 rad/s.
On relie ensuite la longueur d’onde λà kà l’aide de l’équation 2.5:
λ=2π
k=2πrad 72,1 rad/m
=0,087 1 m =8,71 cm.(réponse)
Ensuite, on relie Tà ωavec l’équation 2.8:
T=2π
ω=2πrad 2,72 rad/s=2,31 s (réponse)
et on a, selon l’équation 2.9,
f=1
T=1 2,31 s =0,433 Hz.(réponse)
c) Quel est le module de la vitesse de cette onde ?
SOLUTION: Le module de la vitesse de l’onde est donné par l’équation 2.12:
v=ω
k=2,72 rad/s 72,1 rad/m=0,037 7 m/s
=3,77 cm/s.(réponse)
Dans l’équation 2.17, la phase comprend la variable de position x, ce
qui indique que l’onde se déplace le long de l’axe des x. De plus,
puisque l’équation d’onde est écrite dans la forme de l’équation 2.2,
le signe négatif précédant le terme ωtindique que l’onde se déplace
dans la direction positive de l’axe des x. (Notez que les quantités
calculées en b) et en c) sont indépendantes de l’amplitude de l’onde
et de la constante de phase.)
d) Quel est le déplacement yà x22,5 cm et t18,9 s ?
SOLUTION: On utilise le concept clé suivant : l’équation 2.17 donne le
déplacement en fonction de la position xet du temps t. En leur
substituant les valeurs données dans l’équation, on obtient
y0,003 27 sin(72,1 0,225 2,72 18,9 1,05)
(0,003 27 m) sin(34,135 5 rad)
(0,003 27 m)(0,409 60)
 0,001 34 m  1,34 mm. (réponse)
Le déplacement est donc négatif. (Assurez-vous de mettre votre
calculatrice en mode radian avant d’évaluer le sinus.)
Exemple 2.1
Exemple 2.2
Dans l’exemple 2.1 d), on a démontré qu’à t18,9 s, le déplacement
transversal yde l’élément de la corde situé à x0,255 m, pour
l’onde décrite par l’équation 2.17, était de 1,34 mm.
a) Quelle est vy,la composante yde la vitesse transversale du même
élément de la corde, à cet instant ? (Cette vitesse, qui est associée à
l’oscillation transversale d’un élément de la corde, est dans la direction
de l’axe des y. Ne la confondez pas avec v, le module de la vitesse
constante auquel le profil de l’onde voyage le long de l’axe des x.)
SOLUTION: On utilise le concept clé suivant : la composante yde la vitesse
transversale vyest le taux de variation du déplacement yde l’élément.
Ce déplacement est généralement donné par
y(x, t) ymsin(kx ωt ). (2.19)
Pour un élément situé à une position xdonnée, on trouve le taux de
variation du déplacement transversal yen prenant la dérivée de l’équa-
tion 2.19 par rapport à t, tout en considérant xcomme une constante.
Une dérivée effectuée alors qu’une ou plusieurs variables sont consi-
dérées comme constantes se nomme une dérivée partielle, et elle est
représentée par le symbole ∂/∂xplutôt que d/dx. On a ici
vy ∂y
∂t ωymcos(kx ωt
). (2.20)
Ensuite, en insérant les valeurs numériques de l’exemple 2.1, on obtient
vy (2,72 rad/s)(3,27 mm) cos(34,135 5 rad)
8,11 mm/s. (réponse)
Donc, à t18,9 s, l’élément de la corde situé à x22,5 cm se
déplace dans la direction positive de l’axe des y,et à une vitesse
ayant un module de 8,11 mm/s.
b) Quelle est, au même instant, la composante yde l’accélération
transversale aydu même élément ?
SOLUTION: On utilise ici ce concept clé: la composante yde l’accélération
transversale ayest le taux de variation de la composante yde
la vitesse transversale vyde l’élément. À l’aide de l’équation 2.20,
en prenant toujours xcomme une constante mais en permettant à t
de varier, on détermine que
ay ∂vy
∂t
ω2ymsin(kx ωt
).
Puisque ymsin(kx ωt
) est égal au déplacement y, selon l’équa-
tion 2.19, on peut écrire que
ay
ω2y.
On voit que la composante yde l’accélération transversale d’un élément
de corde oscillant est proportionnelle à son déplacement transversal,
mais de signe opposé. Cela est tout à fait cohérent avec le type de
mouvement qu’effectue l’élément lui-même : il se déplace de façon
transversale en un mouvement harmonique simple. En insérant
les valeurs numériques, on obtient
ay (2,72 rad/s)2(1,34 mm)
9,91 mm/s2. (réponse)

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44 Chapitre 2 Les ondes
Figure 2.19 a) Une impulsion incidente
partant de la droite est réfléchie
à l’extrémité gauche de la corde,
qui est attachée à un mur. Notez que
l’impulsion réfléchie est inversée
par rapport à l’impulsion incidente.
b) L’extrémité gauche de la corde est
attachée à un anneau qui peut glisser
verticalement et sans frottement
sur la tige. Notez que, dans ce cas,
l’impulsion n’est pas inversée
par la réflexion.
les nœuds adjacents sont distants de λ/2, soit la moitié d’une longueur d’onde.
L’amplitude de l’onde stationnaire de l’équation 2.47 a une valeur maximale
de 2ym, qui se vérifie pour les valeurs de kx qui donnent sin(kx) 1. Ces valeurs sont
kx 
1
2π, 3 2π, 5 2π, ...
n+1
2π,où n0, 1, 2, ... (2.50)
En substituant k2π/λdans l’équation 2.50 et en la réarrangeant, on obtient
xn+1
2λ 2, où n0, 1, 2, ... (les positions des ventres), (2.51)
soit les positions où l’amplitude de l’onde stationnaire de l’équation 2.47 est maximale,
faisant en sorte que l’amplitude d’oscillation des éléments de corde est maximale à ces
positions, ce qui correspond à des ventres. Les ventres sont distants de λ/2, et sont situés
à mi-chemin entre les nœuds.
Les réflexions à une extrémité
On peut produire une onde stationnaire dans une corde tendue en laissant une onde
progressive se réfléchir à l’extrémité éloignée de la corde, de façon à ce qu’elle revienne
dans la direction opposée. L’onde incidente (initiale) et l’onde réfléchie (qui se propage
dans la direction opposée) peuvent alors être décrites par les équations 2.45 et 2.46,
et peuvent se superposer pour former une onde stationnaire.
Dans la figure 2.19, on utilise une seule impulsion pour montrer comment de telles
réflexions se produisent. Dans la figure 2.19 a), la corde est fixée à son extrémité gauche.
Quand l’impulsion arrive à cette extrémité, elle exerce une force vers le haut sur le
support (le mur). D’après la troisième loi de Newton, le support exerce une force dans
la direction opposée (vers le bas) et de même module sur la corde. Cette deuxième force
génère une impulsion dans la corde, comme si on tirait la corde vers le bas, et qui se
propage le long de la corde dans la direction opposée à celle de l’impulsion incidente.
Dans une réflexion de ce type, que l’on nomme réflexion dure, il doit y avoir un nœud
au support, puisque la corde y est fixée. L’impulsion incidente et l’impulsion réfléchie
doivent donc produire une interférence destructive afin qu’elles s’annulent à ce point ; par
conséquent, l’impulsion réfléchie doit être inversée par rapport à l’impulsion incidente.
Dans la figure 2.19 b), l’extrémité gauche de la corde est attachée à un anneau
qui peut glisser sans frottement le long d’une tige. Quand l’anneau se déplace au passage
de l’impulsion, il tire sur la corde, l’étire et produit une impulsion réfléchie non inversée
et de même amplitude que l’impulsion initiale. Donc, dans une telle réflexion, que l’on
nomme réflexion molle, l’impulsion incidente et l’impulsion réfléchie se renforcent
mutuellement, créant un ventre à l’extrémité de la corde ; le déplacement maximal de la
corde est le double de l’amplitude de l’une ou l’autre impulsion.
VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 6: Deux ondes de même amplitude et de même longueur
d’onde interfèrent dans trois situations différentes et produisent des ondes résultantes décrites
par les équations suivantes :
1) y(x, t) 4 sin(5x4t)
2) y(x, t) 4 sin(5x) cos(4t)
3) y(x, t) 4 sin(5x4t).
Dans quelle situation les deux ondes qui interfèrent se propagent-elles a) dans la direction
positive de l’axe des x, b) dans la direction négative de l’axe des xet c) dans des directions
opposées ?
2.12 Les ondes stationnaires et la résonance
Considérez une corde, une corde de guitare par exemple, qui est tendue entre deux
pinces. Supposez qu’on envoie une onde sinusoïdale progressive d’une certaine
fréquence le long de la corde, vers la droite. Lorsque l’onde atteint l’extrémité droite,
elle est réfléchie et retourne vers la gauche. Cette onde chevauche alors celle qui se
propage toujours vers la droite. Lorsque l’onde réfléchie atteint l’extrémité gauche, elle
se réfléchit de nouveau et une nouvelle onde réfléchie amorce son trajet vers la droite,
chevauchant les ondes qui se propagent vers la droite et celles qui se propagent vers la
gauche. En résumé, on aura bientôt de nombreuses ondes progressives qui se chevauchent
et interfèrent les unes avec les autres.
a) b)
✔

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120 Chapitre 5 Les miroirs et les lentilles
Le grandissement transversal mproduit par les lentilles convergentes et divergentes est
donné par les équations 5.5 et 5.6, comme dans le cas des miroirs. Un grandissement
transversal mnégatif indique que l’image Iest renversée par rapport à l’objet O;
si le grandissement mest positif, l’image Ia la même orientation que l’objet O(image
droite).
RÉSOLUTION DE PROBLÈMES
1re stratégie: Confusion des signes avec les miroirs et les lentilles
Faites attention : un miroir dont la surface est convexe a une distance
focale fnégative, contrairement à une lentille dont les surfaces
sont convexes. Un miroir dont la surface est concave a une distance
focale fpositive, contrairement à une lentille dont les surfaces sont
concaves. La confusion entre les propriétés des lentilles et celles
des miroirs est une erreur fréquente.
Figure 5.18 a) Une lentille divergente forme une image virtuelle I, dont l’orientation est la même
que celle de l’objet réel O, que Osoit plus éloigné ou plus rapproché que le foyer image F
de la lentille. b) Pour un objet virtuel O, l’image Iest réelle et de même orientation si l’objet
se trouve entre la lentille et le foyer objet F; c) si l’objet virtuel Ose situe au-delà du foyer
objet F, l’image Iest virtuelle et renversée.
a)
r2
q
C1C2
O
I
I
p
r1
f
F
b)
O
I
p
qp
q
F
c)
O
f
Localiser les images d’objets étendus en traçant
les rayons principaux
La figure 5.19 a) montre un objet réel Oplus éloigné que le foyer objet Fd’une lentille
convergente. On peut localiser graphiquement l’image de tout point hors de l’axe d’un
tel objet (comme la pointe de la flèche dans la figure 5.19 a) en traçant un diagramme
de rayons comprenant au moins deux des trois rayons principaux passant par ce point.
On vous conseille fortement de tracer le troisième rayon, car celui-ci permet de valider
le schéma obtenu. Ces rayons, choisis parmi tous ceux qui traversent la lentille pour
former l’image, sont les suivants.
1. Un rayon incident parallèle à l’axe optique est dévié, pour une lentille convergente,
vers le foyer image F(rayon 1 dans les figures 5.19 a, b et d), et, pour une lentille
divergente, de sorte que son prolongement passe par F(rayon 1 de la figure 5.19 c).
2. Un rayon incident passant par le foyer objet F(rayon 2 dans les figures 5.19 a et d),
ou dont le prolongement passe par F(rayon 2 dans les figures 5.19 b et c), émergera
de la lentille parallèlement à l’axe optique.
3. Un rayon incident dirigé vers le centre de la lentille émergera de la lentille sans
changer de direction (rayon 3 dans toutes les figures 5.19), parce que ce rayon tombe
sur les deux faces de la lentille à l’endroit où elles sont presque parallèles.
L’image du point est localisée au point d’intersection des rayons émergents. Si les rayons
émergents sont convergents, cette image est réelle et la distance image qest alors positive.
Si les rayons émergents sont divergents, la position du point image est déterminée
par les prolongements des rayons émergents vers l’arrière. Ce point commun donne la
position de l’image qui est virtuelle et dont la distance image qest négative. On trouve
l’image de l’objet en localisant les images de deux ou de plusieurs de ses points.
La figure 5.19 b) illustre de quelle façon les prolongements des trois rayons peuvent
servir à localiser l’image virtuelle d’un objet réel plus rapproché que le foyer Fd’une
lentille convergente. Notez que c’est le prolongement du rayon incident 2 vers l’arrière
qui passe par F.

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5.7 L’œil 127
Le concept clé utilisé ici est donc le suivant : on doit déterminer où
se situe l’objet O1des lentilles correctrices qui produit une image
virtuelle I1Vau PP. La figure 5.26 illustre la situation.
On applique de nouveau l’équation des lentilles minces
P
c=1
p+1 qaux lentilles correctrices ayant une puissance P
c
de 0,500 D. Puisque l’image virtuelle I1Vest située au PP de l’œil,
on a q dPP  0,200 m et l’équation des lentilles devient :
−0,500 D =1
p+1 −0,200 m .
L’objet O1est donc à une distance
p22,2 cm, (réponse)
ce qui correspond à sa distance minimale de vision distincte avec ses
verres correcteurs. Remarquez que la personne myope possède avec
ses verres une distance minimale de vision distincte supérieure par
rapport à celle à l’œil nu, ce que démontre, d’ailleurs, la figure 5.26
(l’objet O1Rest plus éloigné de l’œil que le PP). Cette légère perte
de vision nette près de l’œil (environ 2,2 cm dans cet exemple) est
très largement compensée par le très grand gain en vision éloignée
(de 2,00 m à l’infini).
L2 L1
Pc
I2R
I1V, O2R
PP
Accommodation
maximale
O1R
Figure 5.26 Exemple 5.5 La distance
minimale de vision distincte avec
une lentille correctrice est déterminée
en calculant la distance objet p
de la lentille correctrice lorsque
son image est au PP de l’œil.
L’hypermétropie
L’hypermétropie est généralement causée par un globe oculaire qui est trop court par
rapport à la puissance de la lentille équivalente de l’œil. La rétine étant trop rapprochée
de la lentille équivalente, l’œil de l’hypermétrope n’est donc pas assez convergent.
Si la personne hypermétrope n’accommode pas lorsqu’elle observe un objet situé
à l’infini, l’image se forme derrière la rétine (voir la figure 5.27 a). Afin de distinguer
nettement les objets éloignés, l’hypermétrope est donc obligé d’accommoder (d’augmenter
la puissance de son cristallin par l’action de ses muscles ciliaires), ce qui provoque
à la longue une fatigue qui peut se traduire par des maux de tête. Puisque l’œil d’un
hypermétrope débute déjà son accommodation pour des objets éloignés, son accommo-
Pmin
II
Objet éloigné
Sans accommodation
a)
Pmin
dPR  0
OR
PR
Sans accommodation
b)
L2 L1
Pc
I1R, O2V
PR
Sans accommodation
c)
O1 à l’infini
I2R
Figure 5.27 Pour un œil hypermétrope, a) la vision
des objets éloignés sans accommodation n’est
pas nette puisque l’image se forme derrière la rétine
(l’œil n’est pas assez convergent), et b) le PR est
un objet virtuel situé derrière l’œil, dPR 0.
c) On corrige l’hypermétropie à l’aide d’une lentille
correctrice convergente L1qui d’un objet O1à l’infini
produit une image réelle I1Rsituée au PR de l’œil.

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6.2 La nature ondulatoire de la lumière 147
Figure 6.2 La réfraction d’une onde plane
à une interface air-verre, représentée
en fonction du principe de Huygens.
La longueur d’onde dans le verre
est plus petite que celle dans l’air.
Pour simplifier, on n’a pas représenté
l’onde réfléchie. Les parties a)
à c) représentent les trois étapes
successives de la réfraction.
(milieu 2). On pose arbitrairement que la distance séparant les fronts d’onde dans le
faisceau de lumière incidente est λ1, la longueur d’onde dans le milieu 1. Le module
de la vitesse de la lumière est v1dans l’air, et v2dans le verre. On suppose que v2v1,
ce qui est effectivement le cas.
Dans la figure 6.2 a),
1est l’angle formé entre le front d’onde et l’interface ; il a la
même valeur que l’angle formé entre la normale au front d’onde (c’est-à-dire le rayon
incident) et la normale à l’interface.
1est donc l’angle d’incidence.
Lorsqu’une onde se propage dans l’air, une onde secondaire de Huygens au point e
s’étend et passe par le point c, à une distance λ1du point e. L’intervalle de temps requis
par cette expansion est cette distance divisée par le module de la vitesse de la petite
onde, ou λ1/v1. Notez que, durant ce même intervalle de temps, une petite onde au point
hs’étendra et passera par le point g, à la vitesse de module moins grand v2et avec une
longueur d’onde λ2. Cet intervalle de temps doit donc aussi être égal à λ2/v2. Si on met
en équation ces temps de parcours, on obtient la relation
λ1
λ2=v1 v2
, (6.1)
qui démontre que les longueurs d’onde de la lumière dans les deux milieux sont propor-
tionnelles aux modules de la vitesse de la lumière dans ces milieux.
D’après le principe de Huygens, le front d’onde réfracté doit être tangent à un arc
de rayon λ2dont le centre est h(au point g, par exemple). Le front d’onde réfracté doit
également être tangent à un arc de rayon λ1dont le centre est e(au point c, par exemple).
Le rayon réfracté doit alors être orienté tel qu’il est représenté. Notez que
2, l’angle
entre le front d’onde réfracté et l’interface, est réellement l’angle de réfraction.
En se référant aux triangles rectangles hce et hcg de la figure 6.2 b), on peut écrire
sin
1λ1
hc (relativement au triangle hce)
et sin
2λ2
hc (relativement au triangle hcg).
En divisant la première de ces équations par la seconde, et en utilisant l’équation 6.1,
on détermine que
sin θ1
sin θ2=λ1 λ2=v1 v2
.(6.2)
L’indice de réfraction nde chaque milieu peut être défini comme le rapport entre
le module de la vitesse cde la lumière dans le vide et le module de la vitesse vde la
lumière dans le milieu. Donc,
nc
v(l’indice de réfraction). (6.3)
Dans le cas des deux milieux de la figure 6.2, on a donc
n1c
v1
et n2c
v2
. (6.4)
Si on combine les équations 6.2 et 6.4, on détermine que
sin θ1
sin θ2=c/n1 c/n2=n2 n1
(6.5)
ou n1sin
1n2sin 2(la loi de la réfraction), (6.6)
qu’on a présentée dans le chapitre 4.
sin
1
sin
2
sin
1
sin
2
Onde incidente
Air
Verre
v1
a)
λ 1
b)
λ 1
c
e
h
g
λ 2
θ 1
θ 2
c)
Onde réfractée
v2
λ 2
θ 1