1 Grandeurs sinusoïdales

Les circuits électriques en régime permanent sinusoïdal
1 Grandeurs sinusoïdales
Dans un circuit fonctionnant en régime sinusoïdal, tous les courants et toutes les tensions dans le
circuit sont sinusoïdaux, de même pulsation que la source d’alimentation.
1.1 Définitions
1.1.1
Expression analytique
Une grandeur s(t) variant sinusoïdalement en fonction du temps avec une période T est
représentée par l’expression générale :
s(t) = Sm sin( 2ð t + ϕ )
[1]
T
où Sm est l’amplitude, ϕ la phase initiale (t = 0) appelée aussi angle de phase, et ( 2ð t + ϕ) la
T
phase instantanée.
Pour définir une telle grandeur, il suffit de connaître les trois paramètres Sm, T et ϕ :
s(t)
Sm
-ϕ
T
1.1.2
Fréquence
On appelle fréquence, et l’on dénote usuellement par f, l’inverse de la période :
f= 1
[f] = [Hertz] = [Hz] = [s-1 ]
[2]
T
1.1.3
Pulsation
On appelle pulsation la grandeur :
ω = 2π f = 2ð
[ω] = [rad.s-1 ]
T
1.1.4
[3]
Valeur crête
La plus grande valeur d’une grandeur s(t) dans un intervalle de temps spécifié est appelée valeur
de crête et dénotée par Ŝ .
Pour une grandeur périodique, l’intervalle est égal à la période et la valeur crête est égale à
l’amplitude : Sm = Ŝ .
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1.1.5
Valeur moyenne
On appelle valeur moyenne d’une grandeur périodique de période T le résultat :
T
S = <s(t)> = 1 ∫ s(t)dt
T0
[4]
On déduit immédiatement de la définition ci-dessus que la valeur moyenne d’une grandeur
sinusoïdale est nulle.
1.1.6
Valeur efficace
On appelle valeur efficace d’une grandeur périodique la racine moyenne du carré de cette
grandeur calculée sur une période :
T
S=
1 2(t)dt
T ∫0 s
[5]
Lors de l’utilisation des appareils de mesure, on retrouvera le terme en anglais pour la valeur
efficace : « root-mean-square» ou en abrégé « rms» .
Pour une grandeur sinusoïdale en introduisant [1] dans [5], on obtient :
S = Ŝ
2
[6]
La notion de valeur efficace est directement liée à celle de puissance moyenne. On obtient la
même puissance moyenne dissipée dans une résistance R avec un courant continu I ou un courant
sinusoïdal de valeur efficace I.
1.2 Représentation complexe
1.2.1
Définition
En électrotechnique, on appelle valeur instantanée complexe d’une grandeur sinusoïdale s(t) =
Ŝ sin(ωt + ϕ), et l’on dénote conventionnellement par s, l’expression complexe :
j(ωω t+ ϕϕ )
s = Ŝ exp [j( ω t + ϕ )] = Ŝ e
[7]
En régime sinusoïdal, tous les éléments du circuit varient avec la même pulsation, par
conséquent le terme ejωt est commun à la représentation de toutes les grandeurs sinusoïdales du
circuit et peut donc être simplifié. On appelle par définition phaseur la grandeur complexe :
jϕϕ
jϕϕ
Ŝ = Ŝ e ou S = Se
[8]
Le phaseur contient l’information essentielle de la valeur efficace et du déphasage par rapport à
une origine du temps choisie arbitrairement.
1.2.2
Opérations élémentaires
Dérivation
ds
= jω s
dt
[9]
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Intégration
∫sdt
= 1 s
jù
[10]
autres
j = exp(jπ/2) = ejπ/2
1 = - j = exp(-jπ/2) = e-jπ/2
j
1.2.3
Représentation de Fresnel
Puisque les phaseurs sont des nombres complexes, il est possible de les représenter
graphiquement dans le plan complexe sous forme de demi-droites partant de l’origine si et
seulement si ils ont la même pulsation.
Ce mode de représentation, appelé diagramme de Fresnel, permet de mettre en évidence les
déphasages relatifs des différentes grandeurs sinusoïdales et d’effectuer des opérations
élémentaires (addition, soustraction).
Les valeurs instantanées complexes de la tension v = V̂ exp[(jωt + α)] et du courant i =
Î exp[(jωt + β)] ont pour diagramme de Fresnel :
Im
α
V = Vej
β
I = Iej
Re
1.2.4
Remarque
On appelle déphasage ϕ la différence entre les phases de la tension et du courant :
ϕ =α -β
[11]
L’angle ϕ étant défini à ±2kπ près (avec k entier), on le ramènera toujours à sa valeur
principale comprise dans l’intervalle (- π, +π). Lorsque ϕ > 0, on dit que la tension est en
avance sur le courant et lorsque ϕ < 0, la tension est en retard par rapport au courant.
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2 Impédance et Admittance
2.1 Définitions
2.1.1
Définitions de l’impédance et de l’admittance
L’impédance complexe Z d’un dipôle en régime permanent sinusoïdal est le quotient de la
tension complexe v = V̂ exp[(jωt + α)] par le courant complexe i = Î exp[(jωt + β)] :
já
ˆ já
V
Z=
= Vejâ = Vejâ = V e j(á − â) = Ze jϕϕ
[12]
ˆIe
I
I
Ie
Avec Z le module mesuré en Ohms et ϕ le déphasage.
L’admittance complexe Y est l’inverse de l’impédance, ou en d’autres termes :
Y= 1 = I
[13]
Z
V
2.1.2
Définitions de la résistance et de la réactance
La partie réelle de l’impédance complexe est appelée la résistance R du dipôle correspondant :
R = Re(Z) = V cos ϕ
[14]
I
La partie imaginaire de l’impédance complexe est appelée la réactance X du dipôle
correspondant :
X = Im(Z) = V sinϕ
[15]
I
L’impédance complexe peut donc s’écrire sous les formes équivalentes :
Z = Ze jϕϕ = R + jX
[16]
Avec les équations de transformation :
R = Zcosϕ
X = Zsinϕ
[17]
ϕ = arctan X
Z = R 2+ X2
[18]
R
Le diagramme de Fresnel est le suivant:
Im
Z
X
ϕ
R
Re
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2.2 Impédances complexes des dipôles élémentaires
2.2.1
Application à l’élément R
La relation en valeurs instantanées v = Ri entre la tension et le courant dans une résistance R se
traduit pour le régime sinusoïdal en valeurs complexes par :
V = RI
[19]
On en déduit que l’impédance d’une résistance pure est donnée par :
ZR = R et ϕ R = 0
[20]
L’impédance d’une résistance est indépendante de la fréquence.
L’admittance est YR = 1
R
[21]
Le diagramme de Fresnel est le suivant:
Im
R
2.2.2
Re
Application à l’élément L
Pour une inductance, la relation en valeurs instantanées entre la tension et le courant est donnée
par v = Ldi/dt qui se traduit pour le régime sinusoïdal en valeurs complexes par :
V = jLω I
[22]
L’impédance complexe d’une inductance est donnée par :
ZL = jLω et ϕ L = + π /2
[23]
Elle est purement imaginaire, le diagramme de Fresnel est le suivant :
Im
jLω
+π /2
Re
L’admittance est YL =
1
jLù
[24]
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On constate que le module de l’impédance d’une inductance varie linéairement avec la
fréquence. Ainsi, à fréquence nulle (courant continu), l’impédance ZL est également nulle
(court-circuit). Lorsque la fréquence tend vers l’infini, cette impédance se comporte de plus en
plus comme un circuit ouvert.
2.2.3
Application à l’élément C
Pour un condensateur, la relation en valeurs instantanées entre le courant et la tension est
donnée par i = Cdv/dt qui se traduit pour le régime sinusoïdal en valeurs complexes par :
I = jCω V
[25]
L’impédance complexe d’un condensateur est donnée par :
ZC = 1 et ϕ C = - π /2
jCù
[26]
Elle est purement imaginaire, le diagramme de Fresnel est le suivant :
Im
- π /2
Re
-j/Cω
L’admittance est YC = jCω
[27]
On constate donc que le module de l’impédance d’un condensateur varie de manière
inversement proportionnelle à la fréquence. A l’inverse du cas de l’inductance c’est maintenant
lorsque la fréquence tend vers l’infini que l’impédance ZC tend vers zéro et se comporte
pratiquement comme un court-circuit. A la fréquence zéro, l’impédance d’un condensateur est
infinie (circuit ouvert).
3 Lois d’Ohm et de Kirchhoff en régime sinusoïdal
3.1 Lois
L’introduction, en régime sinusoïdal permanent, du concept d’impédance permet de généraliser
la loi d’Ohm pour les circuits contenant des éléments linéaires résistifs, inductifs et capacitifs
en utilisant la notation complexe :
V = Z.I
[28]
Comme la loi d’Ohm reste valable dans la représentation complexe d’un circuit, toutes les lois
d’électricité utilisées en régime continu restent valables dans ce modèle.
Les lois de Kirchhoff s’expriment de la manière suivante :
∑ Ik = 0
[29]
k
∑
Vk = 0
[30]
k
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3.2 Impédances (admittances) en série et parallèle
L’application des relations ci-dessus à des circuits composés d’impédances connectées en série
ou en parallèle permet d’énoncer les résultats suivants
3.2.1
Mise en série
L’impédance d’un dipôle constitué par la mise en série de plusieurs impédances est égale à la
somme (complexe) de celles-ci :
Zs = ∑ Zk
[31]
k
Z1
Z2
Zn
L’admittance étant égale à l’inverse de l’impédance, on a pour un circuit série :
Ys = 1 = 1
[32]
Zs
∑ Zk
k
3.2.2
Mise en parallèle
L’admittance d’un dipôle constitué par la mise en parallèle de plusieurs admittances est égale à
la somme (complexe) de celles-ci :
Yp = ∑ Yk
[33]
k
Y1
Y2
Yn
L’impédance correspondante vaut :
Zp = 1 = 1
YP
∑ Yk
[34]
k
3.2.3
Exemple 1
On considère le circuit suivant :
a
R
L
C
b
En appliquant [31], on obtient :
Zab = R + jLω +
1 = R + j(Lω - 1 )
Cù
jC ù
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On obtient le diagramme de Fresnel suivant :
Im
jLω
R
ϕ
Re
-j/Cω
Z
Le module de l’impédance Zab est le suivant :
2
Zab = R 2+ ( Lù −
1)
Cù
Le déphasage ϕ est le suivant :
Lù − 1
Cù
ϕ = arctan
R
3.2.4
Exemple 2
On considère le circuit suivant :
a
R
L
C
b
En appliquant [33], on obtient :
Yab = 1 + 1 + jC ω = 1 + j(C ω - 1 )
R jLù
R
Lù
Il est plus judicieux de travailler avec les admittances pour les circuits parallèles.
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4 Puissance et facteur de puissance
4.1 Puissance instantanée en régime sinusoïdal
4.1.1
Définition
La valeur instantanée de la puissance est par définition le produit des valeurs instantanées de la
tension v(t) = V̂ cos(ωt + α) et du courant i(t) = Î cos(ωt + β), on obtient :
p(t) = V̂ Î cos(ωt + α)cos(ωt + β) = 1 V̂ Î [cos(α - β) + cos(2ωt + α + β)]
2
p(t) = VI [cos ϕ + cos(2ω t + α + β )]
[35]
La puissance instantanée comprend une composante constante VIcosϕ et une composante
fluctuante sinusoïdale d’amplitude VI et de fréquence double de celle du courant et de la
tension.
Le graphe de p(t) est représenté ci-dessous :
v(t)
4.1.2
i(t)
p(t)
Remarque
En introduisant l’identité trigonométrique suivante :
cos(2ωt + 2α - ϕ) = cosϕcos(2ωt + 2α) + sinϕsin(2ωt + 2α)
L’expression [35] devient :
p(t) = VIcosϕ[1 + cos(2ωt + 2α)] + VIsinϕsin(2ωt + 2α)]
[36]
Le premier terme est une composante pulsée, toujours positive, qui oscille autour de la valeur
moyenne de VIcosϕ. Il traduit un échange d’énergie unidirectionnel entre une source et une
charge.
Le deuxième terme est une composante alternative qui varie sinusoïdalement avec une
amplitude VIsinϕ et une valeur moyenne nulle. Il traduit un échange oscillatoire et réversible
d’énergie entre la source et la charge.
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4.2 Puissance active
4.2.1
Définition
On appelle puissance active P la valeur moyenne de la puissance instantanée. En régime
sinusoïdal, la puissance active vaut :
T
P = 1 ∫ p(t)dt = VIcos ϕ
T 0
4.2.2
[P] = [Watt]
[37]
Remarque
La puissance active, mesurable à l’aide d’un wattmètre, correspond à une fourniture réelle
d’énergie convertible en travail ou en chaleur.
4.3 Puissance réactive
4.3.1
Définition
On appelle puissance réactive Q, l’amplitude de la composante alternative de puissance
instantanée:
Q = VIsinϕ
4.3.2
[Q] = [VAR]
[38]
Remarque
C’est une puissance fictive, qui ne répond pas à une véritable définition physique, mais qui
permet de caractériser l’échange d’énergie non convertible apparaissant dans le cas d’une
charge réactive.
La notion de puissance réactive est utile pour caractériser la nature d’un utilisateur. Pour une
charge inductive (X > 0), le déphasage ϕ est positif, de même que sinϕ, et la puissance
absorbée par la charge est conventionnellement positive. Pour une charge capacitive (X < 0), le
déphasage ϕ est négatif, de même que sinϕ, et la puissance réactive absorbée est aussi
négative : on dit que la charge capacitive fournit de la puissance réactive.
4.4 Puissance apparente
4.4.1
Définition
L’amplitude des fluctuations de la puissance instantanée par rapport à sa valeur moyenne est
appelée puissance apparente S:
S = VI
[S] = [VA]
[39]
Cette grandeur est liée aux puissances actives et réactives par la relation:
S = VI = P2 + Q 2
[40]
Les puissances apparentes, correspondant à un module, ne peuvent pas être additionnées
algébriquement !
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4.4.2
Remarque
Le produit VI est apparemment une puissance mais il ne fournit pas nécessairement un travail,
d’où son nom de puissance apparente.
La puissance apparente est une mesure pratique de l’importance d’un équipement alternatif ou
d’une installation électrique.
4.5 Puissance dans un circuit élémentaire
4.5.1
Résistance pure
En régime sinusoïdal, le courant et la tension sont en phase, le déphasage est égal à zéro.
On peut donc écrire :
2
- P = VIcosϕ = VI = V > 0
R
- Q = VIsinϕ = 0
Le signe positif de la puissance active est lié au fait physique que la résistance absorbe de
l’énergie électrique qu’elle convertit, par effet Joule, en énergie calorifique.
4.5.2
Inductance pure
En régime sinusoïdal, le courant et la tension sont déphasés de 90°, le déphasage est égal à
+90° (on a choisi précédemment, pou compter positivement le déphasage ϕ du courant par
rapport à la tension, un sens opposé au sens trigonométrique).
On peut donc écrire :
- P = VIcosϕ = 0
- Q = VIsinϕ = VI = LωI2 >0
Par convention, on considère que la puissance réactive est fournie par la source à l’inductance
qui la consomme. Cet échange d’énergie correspond à l’accumulation puis à la libération
d’énergie électromagnétique dans le circuit magnétique embrassé par l’enroulement inductif.
La valeur moyenne de la puissance active est nulle, il ne se produit aucun transfert net
d’énergie entre une inductance et la source.
4.5.3
Capacité pure
En régime sinusoïdal, le courant et la tension sont déphasés de - 90°, le déphasage est égal à 90°.
On peut donc écrire :
- P = VIcosϕ = 0
- Q = VIsinϕ = - VI = -CωV2 < 0.
La puissance réactive Q est ici négative, ceci conduit à assimiler le condensateur à un
générateur de puissance réactive et à considérer, par convention, que la puissance réactive est
fournie par le condensateur à la source qui la consomme.
Cet échange d’énergie correspond à la libération puis à l’accumulation d’énergie électrostatique
dans le diélectrique du condensateur ou, en d’autres termes, à sa décharge puis à sa recharge.
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4.6 Aspect énergétique
4.6.1
Puissance complexe
On appelle puissance complexe S l’expression :
S = P + jQ = VIcos ϕ + jVIsinϕ = VIe jϕϕ
[41]
Elle permet de réunir les différentes puissances précédemment définies en faisant de sa partie
réelle la puissance active P, de sa partie imaginaire la puissance réactive, de son module la
puissance apparente et de son argument le déphasage ϕ entre la tension et le courant.
En introduisant le conjugué complexe du phaseur correspondant au courant :
I* = Ie -jββ = Ie -jϕϕ si α = 0 (V origine des phases)
[42]
4.6.2
On peut exprimer la puissance complexe par le produit :
S = V.I*= VIe +j ϕϕ
[43
On peut alors exprimer les autres puissances :
P = Re{S} = VIcos ϕ
Q = Im{S} = VIsinϕ
[44]
[45]
Facteur de puissance
Le rapport entre la puissance active et la puissance apparente est appelé facteur de puissance :
Fp = P
[46]
S
En régime sinusoïdal, le facteur de puissance est égal au facteur de déplacement cosj.
Le facteur de puissance est toujours compris entre zéro et un, il caractérise l’efficacité d’un
réseau de distribution de l’énergie. Pour un distributeur d’énergie électrique, il est souhaitable
d’avoir un facteur de puissance aussi proche que possible de 1.
Il est possible d’améliorer le facteur de puissance en branchant des condensateurs en parallèle
avec la charge.
4.6.3
Théorème de Boucherot
Dans un réseau fonctionnant en régime sinusoïdal la puissance active et la puissance réactive se
conservent.
P=
∑
Pk
[47]
∑
Qk
[48]
k
Q=
k
La puissance réactive, à condition qu’il n’y ait pas de changement de fréquence, se conserve au
même titre que la puissance active.
Ce théorème permet d’introduire une méthode nouvelle de calcul des circuits électriques.
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4.6.4
Exemple
Un petit commerce est alimenté par le réseau national V = 240 V et f = 50 Hz. Il comprend
associés en parallèle :
- 20 lampes de 100 W ;
- un chauffage résistif de 2,2 kW ;
- deux moteurs monophasés de 0,75 kW (puissance mécanique), de rendement
0,78 et de facteur de puissance cosϕm = 0,75 en pleine charge.
Calculer, lorsque l’ensemble fonctionne simultanément, la puissance active et réactive
absorbées par le petit commerce, l’intensité du courant et le facteur de puissance de l’ensemble.
On détermine la puissance active et réactive absorbée par un moteur :
Pmécanique
- P moteur = Pélectrique =
= 0,75 = 0,96 kW ;
rendement
0,78
- Qmoteur = Ptanϕm = 0,96.0,882 = 0,85 kVAR.
On effectue un bilan de puissance à l’aide du théorème de Boucherot :
- Pensemble = 20 × 100 + 2200 + 2 × 960 = 6120 W = 6,12 kW ;
- Qensemble = 20 × 0 + 0 + 2 × 850 = 1700 VAR = 1,7 kVAR,
- Sensemble = 61202 +17002 = 6352 VA = 6,352 kVA.
On détermine ensuite le facteur de puissance et le courant :
- Fp = P = 6120 = 0,963 ;
S
6352
- I = S = 6352 = 26,46 A
V
240
La méthode de Boucherot simplifie l’étude des circuits complexes en régime sinusoïdal.
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4.7 Coefficient de qualité
4.7.1
Définition
A fréquence constante, un coefficient (sans dimension), traduisant la qualité du circuit en terme
de rapport entre l’énergie emmagasinée (stockée) par les éléments réactifs et l’énergie dissipée
dans les résistances du circuit sur une période, est défini par l’expression suivante :
Q = 4.π.
énergie moyenne emmaga sin éee sur une période
énergie moyenne dissipée sur une période
Q = 4.π . W
PT
[49]
Si Q >> 1, le circuit est de très bonne qualité, car cela traduit que ses pertes par effet Joule sont
négligeables.
4.7.2
Eléments simples associés en série
Pour des circuits simples de type RL ou RC, le coefficient de qualité est égal à la valeur
absolue du rapport :
Q=
Partie imaginaire de Z
=
Partie réelle de Z
Im{Z}
Re{Z}
[50]
Pour un circuit RL, on a :
Q = Lù
R
Pour un circuit RC, on a :
Q= 1
RCù
4.7.3
Eléments simples associés en parallèle
Pour des circuits simples de type R//L ou R//C, le coefficient de qualité est égal à la valeur
absolue du rapport :
Q=
Partie imaginaire de Y
Partie réelle de Y
=
Im{Y}
Re{Y}
[51]
Pour un circuit R//L, on a :
Q= R
Lù
Pour un circuit R//C, on a :
Q = RC ω
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