1 Grandeurs sinusoïdales

Les circuits électriques en régime permanent sinusoïdal
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1 Grandeurs sinusoïdales
Dans un circuit fonctionnant en régime sinusoïdal, tous les courants et toutes les tensions dans le
circuit sont sinusoïdaux, de même pulsation que la source d’alimentation.
1.1 Définitions
1.1.1 Expression analytique
Une grandeur s(t) variant sinusoïdalement en fonction du temps avec une période T est
représentée par l’expression générale :
s(t) = Smsin( T
2ðt + ϕϕ) [1]
où S
m est l’amplitude, ϕ la phase initiale (t = 0) appelée aussi angle de phase, et ( T
ð2 t + ϕ) la
phase instantanée.
Pour définir une telle grandeur, il suffit de connaître les trois paramètres Sm, T et ϕ :
-
ϕ
Sm
s(t)
T
1.1.2 Fréquence
On appelle fréquence, et l’on dénote usuellement par f, l’inverse de la période :
f = T
1 [f] = [Hertz] = [Hz] = [s-1] [2]
1.1.3 Pulsation
On appelle pulsation la grandeur :
ωω = 2ππf = T
2ð [ω] = [rad.s-1] [3]
1.1.4 Valeur crête
La plus grande valeur d’une grandeur s(t) dans un intervalle de temps spécifié est appelée valeur
de crête et dénotée par S
ˆ
.
Pour une grandeur périodique, l’intervalle est égal à la période et la valeur crête est égale à
l’amplitude : Sm = S
ˆ
.

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1.1.5 Valeur moyenne
On appelle valeur moyenne d’une grandeur périodique de période T le résultat :
S = <s(t)> = ∫
T
0s(t)dt
T
1 [4]
On déduit immédiatement de la définition ci-dessus que la valeur moyenne d’une grandeur
sinusoïdale est nulle.
1.1.6 Valeur efficace
On appelle valeur efficace d’une grandeur périodique la racine moyenne du carré de cette
grandeur calculée sur une période :
S = ∫
T
0
2(t)dt
s
T
1 [5]
Lors de l’utilisation des appareils de mesure, on retrouvera le terme en anglais pour la valeur
efficace : «root-mean-square» ou en abrégé «rms».
Pour une grandeur sinusoïdale en introduisant [1] dans [5], on obtient :
S = 2
S
ˆ [6]
La notion de valeur efficace est directement liée à celle de puissance moyenne. On obtient la
même puissance moyenne dissipée dans une résistance R avec un courant continu I ou un courant
sinusoïdal de valeur efficace I.
1.2 Représentation complexe
1.2.1 Définition
En électrotechnique, on appelle valeur instantanée complexe d’une grandeur sinusoïdale s(t) =
S
ˆ
sin(ωt + ϕ), et l’on dénote conventionnellement par s, l’expression complexe :
s = S
ˆ
exp [j(ωωt + ϕϕ)] = S
ˆ
ej(ωω t+ ϕϕ) [7]
En régime sinusoïdal, tous les éléments du circuit varient avec la même pulsation, par
conséquent le terme e
jωt est commun à la représentation de toutes les grandeurs sinusoïdales du
circuit et peut donc être simplifié. On appelle par définition phaseur la grandeur complexe :
S
ˆ
= S
ˆ
ejϕϕ ou S = Sejϕϕ [8]
Le phaseur contient l’information essentielle de la valeur efficace et du déphasage par rapport à
une origine du temps choisie arbitrairement.
1.2.2 Opérations élémentaires
Dérivation
dtsd = jωωs [9]

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Intégration
∫dts = jù
1s [10]
autres
j = exp(jπ/2) = ejπ/2
j
1 = - j = exp(-jπ/2) = e-jπ/2
1.2.3 Représentation de Fresnel
Puisque les phaseurs sont des nombres complexes, il est possible de les représenter
graphiquement dans le plan complexe sous forme de demi-droites partant de l’origine si et
seulement si ils ont la même pulsation.
Ce mode de représentation, appelé diagramme de Fresnel, permet de mettre en évidence les
déphasages relatifs des différentes grandeurs sinusoïdales et d’effectuer des opérations
élémentaires (addition, soustraction).
Les valeurs instantanées complexes de la tension v = V
ˆexp[(jωt + α)] et du courant i =
I
ˆ
exp[(jωt + β)] ont pour diagramme de Fresnel :
Re
Im
I = Ie
jβ
V = Ve
jα
1.2.4 Remarque
On appelle déphasage ϕ la différence entre les phases de la tension et du courant :
ϕϕ = αα - ββ [11]
L’angle ϕ étant défini à ±2kπ près (avec k entier), on le ramènera toujours à sa valeur
principale comprise dans l’intervalle (-π, +π). Lorsque ϕϕ > 0, on dit que la tension est en
avance sur le courant et lorsque ϕϕ < 0, la tension est en retard par rapport au courant.

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2 Impédance et Admittance
2.1 Définitions
2.1.1 Définitions de l’impédance et de l’admittance
L’impédance complexe Z d’un dipôle en régime permanent sinusoïdal est le quotient de la
tension complexe v = V
ˆexp[(jωt + α)] par le courant complexe i =
I
ˆ
exp[(jωt + β)] :
Z = I
V = e
Ie
Vjâ
já
ˆ
ˆ = e
Ie
Vjâ
já = e
I
Vâ)j(á− = Zejϕϕ [12]
Avec Z le module mesuré en Ohms et ϕ le déphasage.
L’admittance complexe Y est l’inverse de l’impédance, ou en d’autres termes :
Y = Z
1 = V
I [13]
2.1.2 Définitions de la résistance et de la réactance
La partie réelle de l’impédance complexe est appelée la résistance R du dipôle correspondant :
R = Re(Z) = I
Vcosϕϕ [14]
La partie imaginaire de l’impédance complexe est appelée la réactance X du dipôle
correspondant :
X = Im(Z) = I
Vsinϕϕ [15]
L’impédance complexe peut donc s’écrire sous les formes équivalentes :
Z = Zejϕϕ = R + jX [16]
Avec les équations de transformation :
R = Zcosϕ X = Zsinϕ [17]
Z = XR22+ ϕ = arctan R
X [18]
Le diagramme de Fresnel est le suivant:
ϕ
X
R Re
Im
Z

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2.2 Impédances complexes des dipôles élémentaires
2.2.1 Application à l’élément R
La relation en valeurs instantanées v = Ri entre la tension et le courant dans une résistance R se
traduit pour le régime sinusoïdal en valeurs complexes par :
V = RI [19]
On en déduit que l’impédance d’une résistance pure est donnée par :
ZR = R et ϕϕR = 0 [20]
L’impédance d’une résistance est indépendante de la fréquence.
L’admittance est YR = R
1 [21]
Le diagramme de Fresnel est le suivant:
R Re
Im
2.2.2 Application à l’élément L
Pour une inductance, la relation en valeurs instantanées entre la tension et le courant est donnée
par v = Ldi/dt qui se traduit pour le régime sinusoïdal en valeurs complexes par :
V = jLωωI [22]
L’impédance complexe d’une inductance est donnée par :
ZL = jLωω et ϕϕL = + ππ/2 [23]
Elle est purement imaginaire, le diagramme de Fresnel est le suivant :
jLω
Re
Im
+π/2
L’admittance est YL = jLù
1 [24]