Lois de base de l`écoulement

CHAPITRE 2
Lois de base de l’écoulement
2.1 INTRODUCTION
Ce chapitre présente les principales lois de l’écoulement et les concepts fondamentaux. Il trai-
tera de l’équation de Darcy qui est le fondement de toutes les théories d’écoulement, de l’équa-
tion de la continuité et la solution de quelques problèmes simples d’écoulement.
2.2 ÉQUATION DE DARCY
Dans le cadre de ses expérimentations pour améliorer la qualité des filtres utilisés à la purifica-
tion des eaux d’alimentation de la ville de Dijon en France, Henry Darcy fut lepremier à obser-
ver en 1856 la relation entre le débit à travers le sable et la perte de charge qui lui était associée.
Quoique expérimental au début, les observations subséquentes en ont fait une loi de portée
générale qui porte son nom. Le débit au travers d’un matériel poreux présenté à la figure 2.1
s’exprime :
[2.1]
Q= − K∆H
∆LA= − K∆φ ∆LA
Q= débit (m
3
/j)
K= coefficient de proportionnalité appelé conductivité hydraulique du
sol (m/j)
H= charge hydraulique (m)
L= longueur de l’écoulement (m)
A= section d’écoulement (m
2
)
Le débit est proportionnel à la perte de charge par unité de longueur et proportionnel à la sec-
tion de l’écoulement. Le débit est aussi proportionnel à un coefficient dépendant du type de
sol, coefficient qui a été appelé conductivité hydraulique. La charge hydraulique est synonyme
de potentiel dans le monde de l’hydraulique.

28
LOIS DE BASE DE L’ÉCOULEMENT
Figure 2.1 Schéma représentant l’écoulement au travers d’un matériel poreux.
Sol
Q
Réf.
Potentiel
H
1
H
2
∆φ
∆L
La figure 2.1 présente aussi le diagramme des potentiels. À l’entrée de l’échantillon, la pres-
sion est H
1
et le potentiel d’élévation est nul si le bas de l’échantillon est considéré comme
référence. À la sortie de l’échantillon, la pression est H
2
et le potentiel d’élévationest aussi nul.
Ainsi, les potentiels totaux ou charges hydrauliques à l’entrée et à la sortie de l’échantillon sont
respectivement H
I
et H
2
.
L’équation de Darcy montre que la perte de charge ou de potentiel varie linéairement dans un
milieu de section constante. Ainsi, si le potentiel est connu en deux points, il variera linéaire-
ment entre ces deux points et le diagramme des potentiels peut être facilement tracé comme
montré à la figure 2.1.
La rapport de la perte de charge ou de potentiel par unité de longueur est appelé gradient
hydraulique ”i”:
[2.2]
i=∆H
∆L=∆φ ∆L
2.3 VITESSE RÉELLE, VITESSE APPARENTE, FLUX
Le flux est la vitesse apparente d’écoulement, la vitesse de déplacement du fluide dans l’es-
pace comme s’il n’y avait pas de matériel poreux. Le flux ou vitesse apparente s’exprime
alors :
[2.3]
q=Q
A= − K∆H
∆L= − K∆φ ∆L
q= flux ou vitesse apparente d’écoulement (m/j)
La vitesse réelle est la vitesse de circulation de l’eau dans les pores du sol. Cette vitesse
moyenne réelle est obtenue en divisant la vitesse apparente par la porosité.

PERMÉABILITÉ INTRINSÈQUE
29
Édition 2016
2.4 PERMÉABILITÉ INTRINSÈQUE
La conductivité hydraulique à saturation apparaissant dans l’équation de Darcy est une mani-
festation de la résistance à l’écoulement que provoquent les forces de frottement. La conducti-
vité hydraulique est fonction de la perméabilité intrinsèque du sol ”κ”, de la masse volumique
du liquide ”ρ
w
”, de la viscosité dynamique du liquide ”η
w
” et de la gravité comme le montre
l’équation suivante :
[2.4]
K=
w
g
η
w
La perméabilité intrinsèque représente l’effet de la matrice solide face à un liquide. Elle est
fonction des caractéristiques du sol comme la granulométrie, la structure du sol, la distribution
porale, la tortuosité, etc. La perméabilité représente les caractéristiques intrinsèques d’un
milieu à laisser circuler tout liquide alors que la conductivité hydraulique représente cette
capacité pour un liquide en particulier, l’eau.
2.5 LOI DE DARCY GÉNÉRALISÉE
La généralisation de la loi de Darcy en milieu saturé s’effectue en prenant la limite de l’équa-
tion [2.3] :
[2.5]
q
→
=lim
∆L→0
−K∆H
∆L= − KdH
dl = − Kdφ dl
Le long de l’axe des “x”, le flux s’exprime :
[2.6]
q
→
x
= − Kdφ
dx
Le flux est directionnel et son expression vectorielle est la suivante :
[2.7]
q
→
=q
x
i
→
+q
y
j
→
+q
z
k
→
[2.8]
q
→
= − K
x
dφ
dx i
→
−K
y
dφ
dy j
→
−K
z
dφ
dz k
→
Pour un milieu homogène et isotrope, l’équation s’écrit :
[2.9]
q
→
= − Kdφ
dx i
→
+dφ
dy j
→
+dφ
dz k
→
[2.10]
q
→
= − K<dφ>{i}= − K∇φ
→

30
LOIS DE BASE DE L’ÉCOULEMENT
2.6 MILIEU HÉTÉROGÈNE -- NOTION DE TENSEUR
En milieu hétérogène et anisotrope, les flux selon les axes orthogonaux sont :
[2.11]
q
→
x
= − K
xx
dφ
dx −K
xy
dφ
dy −K
xz
dφ
dz
[2.12]
q
→
y
= − K
yx
dφ
dx −K
yy
dφ
dy −K
yz
dφ
dz
[2.13]
q
→
z
= − K
zx
dφ
dx −K
zy
dφ
dy −K
zz
dφ
dz
[2.14]
q
→
== − [K] ∇φ
→
2.7 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ
L’équation de Darcy ne permet pas de solutionner les problèmes complexes puisqu’elle ne per-
met pas d’évaluer le potentiel aux différents points du domaine. L’équation de Darcy nécessite
plutôt la connaissance des potentiels pour estimer le flux.
L’équation de la continuité permet d’évaluer les potentiels. La figure 2.2 permet de définir le
bilan sur un élément de référence infinitésimal.
Figure 2.2 Bilan des flux d’eau au travers d’un élément infinitésimal.
x
y
z
q
x
q
y
q
z
Compte tenu que le milieu est saturé et que le fluide (l’eau) est incompressible, la somme des
débits entrants et sortants de cet élément est nul.
[2.15]
∆Q
x
+∆Q
y
+∆Q
x
=0
Le débit est le produit du flux (q) par la section d’écoulement (A) :
[2.16]
Q
x
=q
x
A

ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ
31
Édition 2016
La variation de débit selon l’axe x est :
[2.17]
∆Q
x
=Q
x+
∆x
2
−Q
x−
∆x
2
= q
x+
∆x
2
−q
x−
∆x
2
∆y∆z
En utilisant l’expansion de Taylor, cette équation peut s’écrire :
[2.18]
∆Q
x
= q
x
+1
2d
dx (q
x
)∆x − q
x
−1
2d
dx (q
x
)∆x
∆y∆z
[2.19]
∆Q
x
=
d
dx (q
x
) ∆x∆y∆z
La loi de Darcy [éq. 2.6] permet d’estimer le flux (q
x
) :
[2.20]
q
x
= − K
x
∂φ
∂x
En introduisant l’équation de Darcy [2.20] dans l’équation [2.19], cette équation peut s’écrire :
[2.21]
∆Q
x
=d
dx −K
x
∂φ
∂x∆x∆y∆z=
−K
x
∂
2
φ
∂x
2
∆x∆y∆z
Les variations de débit selon les axes “y” et “z” sont dérivées de la même façon et s’écrivent :
[2.22]
∆Q
y
=d
dy −K
y
∂φ
∂y∆x∆y∆z=−K
y
∂
2
φ
∂y
2
∆x∆y∆z
[2.23]
∆Q
z
=d
dz −K
z
∂φ
∂z∆x∆y∆z=
−K
z
∂
2
φ
∂z
2
∆x∆y∆z
En utilisant les différentes expressions de la variation des débits, l’équation [2.15] devient
l’équation de la continuité qui s’écrit :
[2.24]
−K
x
∂
2
φ
∂x
2
−K
y
∂
2
φ
∂y
2
−K
z
∂
2
φ
∂z
2
∆x∆y∆z=0
[2.25]
K
x
∂
2
φ
∂x
2
+K
y
∂
2
φ
∂y
2
+K
z
∂
2
φ
∂z
2
=0
Si le sol est isotrope, (K
x
= K
y
= K
z
), l’équation de la continuité devient l’équation de Laplace :
[2.26]
∂
2
φ
∂x
2
+∂
2
φ
∂y
2
+∂
2
φ
∂z
2
=0
En coordonnées cylindriques, l’équation de la continuité s’écrit :
[2.27]
1
r∂φ
∂r+∂
2
φ
∂r
2
+1
r
2
∂
2
φ
∂θ
2
+∂
2
φ
∂z
2
=0