Cohérence quantique et dissipation - Département de Physique

Coh´erence quantique et dissipation
Magist`ere de Physique
Septembre-novembre 2003

Table des mati`eres
Introduction 5
1 Coh´erence quantique et interf´erences `a deux ondes 7
1 L’exp´erience des trous d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Fonctions d’onde macroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Le brouillage de la coh´erence dans une exp´erience d’Young . . . . . . . . . 14
2 Champs quantiques et bains d’oscillateurs 17
1 Comment caract´eriser un photon ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Quantification du mouvement d’une corde vibrante . . . . . . . . . . . . . 22
3 Interf´erences `a plusieurs particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 L’op´erateur densit´e 29
1 Etatspurs.................................... 31
2 M´elangesstatistiques.............................. 33
3 Exemples d’op´erateurs densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Syst`emesintriqu´es ............................... 38
5 Intrication non locale et paradoxe EPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Le mouvement brownien classique 45
1 Force de friction et force de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 Propri´et´es statistiques de la force de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Evolution de la vitesse de la particule brownienne . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Distribution de probabilit´e pour la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3

4TABLE DES MATI ` ERES
5 Le refroidissement d’atomes par laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 L’´equation pilote 59
1 Mod`eles de relaxation pour un spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2 Couplages en jeu dans le probl`eme g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 Evolution de la matrice densit´e du petit syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Relaxation et thermalisation d’un spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6 Le mouvement brownien quantique 71
1 Couplage harmonique “particule brownienne-fluide” . . . . . . . . . . . . . 71
2 L’´equationpilote ................................ 73
3 Equation de Fokker-Planck-Kramers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 La fragilit´e des ´etats (( chats de Schr¨odinger )) ................ 77
7 Fonctions d’onde Monte-Carlo 83
1 La d´esexcitation d’un niveau instable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2 Lam´ethodeg´en´erale .............................. 87
3 Coh´erente et dissipation pour un syst`eme `a deux niveaux . . . . . . . . . . 89
8 Ondes de mati`eres coh´erentes 93
1 La distribution de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2 Gaz de Bose `a une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3 Gaz de Bose `a 3 dimensions et condensation . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4 Interf´erences de condensats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Introduction g´en´erale
Un des principes les plus importants de la th´eorie quantique est sans conteste le prin-
cipe de superposition. Si un syst`eme donn´e peut ˆetre pr´epar´e dans chacun des deux
vecteurs d’´etats |Ψ1iet |Ψ2i, alors les vecteurs
α1|Ψ1i+α2|Ψ2i(1)
sont ´egalement des ´etats accessibles au syst`eme. Ce principe de superposition intervient
dans de nombreuses exp´eriences de physique quantique. L’interf´erence observ´ee dans un
dispositif de trous d’Young, par exemple, s’interpr`ete en disant que la particule est dans
un ´etat qui est la superposition du passage par le trou 1 et du passage par le trou 2.
On retrouve ces superpositions coh´erentes d’´etats quantiques en r´esonance magn´etique
nucl´eaire, en physique de la mati`ere condens´ee (jonctions Josephson, squids), ou encore
dans les exp´eriences de collisions.
Quand on s’int´eresse `a un objet microscopique isol´e (atome, photon,...), ces super-
positions coh´erentes d’´etats n’ont a priori rien d’exceptionnel. Si un atome d’hydrog`ene
peut ˆetre pr´epar´e dans l’´etat |1siou dans l’´etat |2si, pourquoi ne pourrait-il pas exister
´egalement dans l’´etat (|1si+|2si)/√2 ? Si l’objet microscopique qu’on consid`ere n’est pas
isol´e, mais coupl´e `a un environnement, la physique devient beaucoup plus compliqu´ee.
L’´etat du syst`eme global, objet+environnement, sera g´en´eralement intriqu´e et s’´ecrira
sous la forme : X
j
αj|Ψ(j)
objeti ⊗ |Φ(j)
envir.i.(2)
De cette intrication, naissent des corr´elations entre l’objet et l’environnement, ainsi qu’une
modification des propri´et´es de coh´erence de l’objet, telles qu’elles se manifestent par
exemple dans une exp´erience d’interf´erence. Le syst`eme physique compos´e par l’objet
forme d´esormais un syst`eme ouvert, coupl´e `a d’autres syst`emes, et il ne peut donc pas
ˆetre d´ecrit par un vecteur d’´etat |Ψobjeti.
Le but de ce cours est d’abord de pr´esenter les bases de l’´etude de tels syst`emes
ouverts en m´ecanique quantique, c’est-`a-dire d´efinir les outils bien adapt´es pour d´ecrire
l’´evolution d’un objet quantique simple quand il est coupl´e `a son environnement. Nous
´etudierons souvent des situations physiques qui peuvent avoir un ´equivalent classique, mais
les conclusions seront radicalement diff´erentes. Prenons l’exemple du mouvement d’une
particule ponctuelle libre, et int´eressons-nous `a la modification entraˆın´ee par l’existence
d’un environnement constitu´e par un fluide dilu´e. Classiquement, la premi`ere cons´equence
`a laquelle on songe est l’apparition d’une force de friction F=−γP, o`u Pd´esigne
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