Mécanique C6 Mouvement dans un champ de force centrale

Lycée Kerichen
MPSI 2
2013-2014
Mécanique
C6 Mouvement dans un champ
de force centrale conservatif
Dans ce chapitre, nous allons réinvestir ce qui a été vu au cours des trois chapitres précédents de
mécanique pour traiter le cas des mouvements à force centrale newtonienne.
Ces mouvements font partie des mouvements les plus « communs » de la physique : mouvement
d'un satellite autour d'une planète, déviation d'une particule chargée par une ou des particule(s)
de charge identique...
I- Rappels généraux :
1. Cadre de l'étude : force centrale conservative:
Soit un point M en mouvement dans ℜ et soumis à l'action d'une force ⃗
F dite « centrale »
c'est-à-dire qui passe à tout instant par un point fixe de ℜ . Ce point est appelé « centre de
force ».
On choisit de prendre l'origine du référentiel confondue avec le centre de force .
Attention ! On ne considère que des forces CONSERVATIVES ! C'est-à-dire …...................................
…................................................................................. autrement dit, auxquelles on peut associer..................
…............................................ qui ne dépend que de …...............................................................
Pourquoi se limiter à ce cadre d'étude ?
Deux interactions fondamentales : …............................................
vérifient ces propriétés.
et
…...............................................
2. Rappels concernant l'énergie potentielle:
δW = …................................................................................ de la force ⃗
F au cours du déplacement élémentaire
d⃗
OM
= ….................................................................................................................................................
Une force est dite « conservative » si elle vérifie :
δ W (⃗
F )=⃗
F .d⃗
OM =
Dans le cas d'une force centrale,
3. Lois de conservation dans les mouvements à force centrale conservative :
a) Conservation ….........................................
Appliquons la loi du moment cinétique par rapport à un point O fixe.
b) Conservation de …................................................................: intégrale première du mouvement:
En utilisant le théorème de l'énergie mécanique :
On peut donc décomposer l'énergie mécanique en :
4. Exemple de forces centrales conservatives: les forces newtoniennes :
a) Définition:
−k
F= 2 ⃗
ur
Une force qualifiée de "newtonienne" est une force telle que ⃗
r
ALGEBRIQUE .
On a donc: Ep =
où k est une constante
Choix d'origine de l'énergie potentielle:
b) Exemple: interaction gravitationnelle:
Soit un point O de masse m' et M de masse m.
On considère que M est uniquement soumis à l'action de la force gravitationnelle exercée par O de
masse m'.
F (O−M ) =
On a ⃗
Par identification: k =
et Ep =
c) Exemple: interaction électrostatique:
On considère un point M de charge q uniquement soumis à l'action de la force électrostatique
exercée par une particule de charge q' placée en O.
F (O−M ) =
On a ⃗
Deux cas se présentent:
et Ep =
II- Etude des forces newtonniennes:
1. Discussion qualitative du mouvement:
−k
⃗
F= 2 ⃗
u r et Ep =
r
On en déduit l'expression de Em: Em =
qui se met sous la forme:
L'intégrale première du mouvement donne accès aux limites du mouvement radial de M; c'est-àdire dans quel intervalle r varie au cours du temps.
Les valeurs accessibles sont celles qui vérifient :
a) Premier cas : force répulsive: k
Pour tout r, Epeff = ............................ 0
0
b) Force attractive: k
Epeff =
Etudions les limites de Epeff :
0:
On en déduit qu'il existe un point où Ep eff est minimale.
Pour déterminer ce point, ..............................
4 cas se présentent pour Em:
1.
2.
3.
4.
2. Nature des trajectoires :
a) Trajectoire fermée: La trajectoire d'un état lié (champ de force attractif) est une
ellipse dont le centre de la force est un des foyers.
Le mouvement est ................................
• On appelle "périastre" le point où la distance entre le centre attracteur et le point M est
la plus ..........., "apoastre" le point où la distance entre le centre attracteur et le point M
est la plus ...........,
• Dans le cas où le centre attracteur est la Terre, les deux points précédents portent les
noms de ........................ et ................................
• Dans le cas où le centre attracteur est le Soleil, les deux points précédents portent les
noms de ........................ et ................................
Exemple:
Remarque: Le mouvement circulaire est un cas particulier d'ellipse où le demi-grand axe et le
demi-petit axe ont la même valeur et où les foyers coïncident.
b) Trajectoire des états de diffusion:
• Ce sont des branches d'hyperbole(ou des paraboles) dont le centre de force est l'un des
foyers.
• Selon la nature du mouvement, le centre de force est contourné par le point matériel
( force .............................) ou "évité" (force .........................)
Exemples:
III- Cas du mouvement circulaire:
Les résultats que nous allons établir ci-dessous vont également être applicables au cas des
mouvements elliptiques; la démonstration de l'égalité n'étant plus attendue.
1. Énoncé des lois de Kepler dans le cadre général:
1ère loi: (1605):
2e loi: (1604):
3e loi: (1618):
2. Établissement des lois:
•
•
•
Généralisation au cas de l'ellipse:
3. Étude d'un mouvement circulaire particulier: le satellite géostationnaire
http://www.pedagogie.ac-nantes.fr/1257337468405/0/fiche___ressourcepedagogique/&RH=1309459107744
4. Énergie mécanique :
Généralisation au cas du mouvement elliptique:
5. Vitesses cosmiques et ordres de grandeur:
a) Vitesse de satellisation:
C'est la vitesse d'un satellite en orbite basse ( d'altitude h négligeable devant R T); c'est-à-dire la
vitesse nécessaire pour le satelliser.
On a donc:
b) Vitesse de libération:
C'est la vitesse minimale (radiale) à communiquer à un point matériel à la surface de la Terre pour
qu'il s'échappe de l'attraction terrestre et qu'il atteigne un état de diffusion.
On a :
Remarques:
1. On se rend bien compte que si le satellite vient de s'arracher à l'attraction terrestre, il
"retombe" dans la zone d'attraction du Soleil.
2. On peut comparer ces vitesses à la vitesse d'un point à la surface de la Terre à l'équateur:
Conclusion:
c) Différents types d'orbites géocentriques: (d'après Wikipédia)
On ne place pas n'importe où les satellites: cela dépend de l'utilisation que l'on souhaite en faire.
• Les orbites basses se situent juste au-dessus de l'atmosphère terrestre à une altitude où
la traînée ne freine pas trop la vitesse du satellite (par convention l'orbite basse se situe à
une altitude inférieure à 2 000 km). Une fusée a besoin de moins de puissance pour placer
un satellite sur ce type d'orbite. Elle est utilisée par les satellites scientifiques qui
explorent l'espace lointain. Le télescope Hubble, par exemple se situe sur une orbite de
610 km. On trouve également sur ce type d'orbite les satellites de radioamateur et les
constellations de téléphonie mobile ou de télédétection terrestre.
• Les orbites moyennes culminent généralement à une altitude de 20 000 km avec une
période de 12 heures. L'orbite située en dehors de l'atmosphère terrestre est très stable.
Les signaux envoyés par le satellite peuvent être reçus sur une grande partie de la surface
du globe terrestre. C'est l'altitude retenue pour les satellites de navigation comme le
système GPS. Un peu plus bas, à 8,063 km, est prévue la constellation des satellites O3b
pour la distribution d'Internet.
• Les orbites hautes possèdent un apogée qui se situe à une altitude supérieure à l'orbite
géostationnaire. La Russie utilise ce type d'orbite pour certains de ses satellites de
télécommunications : l'orbite de Molniya se caractérise par une orbite très excentrique
avec un apogée de 40 000 km pour un périgée de 500 km. L’inclinaison de 63,4° permet
d'échapper aux perturbations d'orbite découlant de l'aplatissement du globe. L'orbite de
Molniya permet une couverture 24h sur 24 du territoire de la Russie avec une constellation
de trois satellites. Cette orbite est utilisée car la Russie ne peut lancer de satellites
géostationnaires depuis ses bases spatiales toutes situées à des latitudes trop élevées et
les satellites géostationnaires ne peuvent pas couvrir la fraction du territoire russe située
à une latitude supérieure à 81°.
La trace au sol d'un satellite est la projection au sol de sa trajectoire selon une verticale qui
passe par le centre du corps céleste autour duquel il tourne. Sa forme détermine les portions de
surface balayées par les instruments du satellite et les créneaux de visibilité du satellite par les
stations terrestres.
Le dessin de la trace résulte à la fois du déplacement du satellite sur son orbite et de la rotation
de la Terre. Cette dernière entraîne une déformation vers l'ouest de la trace par rapport à la
trajectoire:
• lorsque l'orbite est circulaire, la déformation est d'autant plus forte que l'orbite est
haute.
• Dans le cas particulier d'un satellite géostationnaire la trace se réduit à un point .