Mécanique C6 Mouvement dans un champ de force centrale

Lycée Kerichen
MPSI 2
2013-2014
Dans ce chapitre, nous allons réinvestir ce qui a été vu au cours des trois chapitres précédents de
mécanique pour traiter le cas des mouvements à force centrale newtonienne.
Ces mouvements font partie des mouvements les plus « communs » de la physique : mouvement
d'un satellite autour d'une planète, déviation d'une particule chargée par une ou des particule(s)
de charge identique...
I- Rappels généraux :
1. Cadre de l'étude : force centrale conservative:
Soit un point M en mouvement dans
ℜ
et soumis à l'action d'une force
⃗
F
dite « centrale »
c'est-à-dire qui passe à tout instant par un point fixe de
ℜ
. Ce point est appelé « centre de
force ».
On choisit de prendre l'origine du référentiel confondue avec le centre de force .
Attention ! On ne considère que des forces CONSERVATIVES ! C'est-à-dire …...................................
…................................................................................. autrement dit, auxquelles on peut associer..................
…............................................ qui ne dépend que de …...............................................................
Pourquoi se limiter à ce cadre d'étude ?
Deux interactions fondamentales : …............................................ et …...............................................
vérifient ces propriétés.
2. Rappels concernant l'énergie potentielle:
δW = …................................................................................. de la force
⃗
F
au cours du déplacement élémentaire
d
⃗
OM
= ….................................................................................................................................................
Une force est dite « conservative » si elle vérifie :
δW(
⃗
F)=
⃗
F.d
⃗
OM
=
Dans le cas d'une force centrale,
Mécanique
C6 Mouvement dans un champ
de force centrale conservatif

3. Lois de conservation dans les mouvements à force centrale conservative :
a) Conservation ….........................................
Appliquons la loi du moment cinétique par rapport à un point O fixe.
b) Conservation de …................................................................: intégrale première du mouvement:
En utilisant le théorème de l'énergie mécanique :

4. Exemple de forces centrales conservatives: les forces newtoniennes :
a) Définition:
Une force qualifiée de "newtonienne" est une force telle que
⃗
F=−k
r2
⃗
ur
où k est une constante
ALGEBRIQUE .
On a donc: Ep =
Choix d'origine de l'énergie potentielle:
b) Exemple: interaction gravitationnelle:
Soit un point O de masse m' et M de masse m.
On considère que M est uniquement soumis à l'action de la force gravitationnelle exercée par O de
masse m'.
On a
⃗
F(O−M)
=
Par identification: k = et Ep =
On peut donc décomposer l'énergie mécanique en :

c) Exemple: interaction électrostatique:
On considère un point M de charge q uniquement soumis à l'action de la force électrostatique
exercée par une particule de charge q' placée en O.
On a
⃗
F(O−M)
=
Deux cas se présentent:
et Ep =
II- Etude des forces newtonniennes:
1. Discussion qualitative du mouvement:
⃗
F=−k
r2
⃗
ur
et Ep =
On en déduit l'expression de Em: Em =
qui se met sous la forme:
L'intégrale première du mouvement donne accès aux limites du mouvement radial de M; c'est-à-
dire dans quel intervalle r varie au cours du temps.
Les valeurs accessibles sont celles qui vérifient :
a) Premier cas : force répulsive: k 0
Pour tout r, Epeff = ............................ 0

b) Force attractive: k 0:
Epeff =
Etudions les limites de Epeff :
On en déduit qu'il existe un point où Epeff est minimale.
Pour déterminer ce point, ..............................
4 cas se présentent pour Em:
1.
2.
3.
4.
2. Nature des trajectoires :
a) Trajectoire fermée: La trajectoire d'un état lié (champ de force attractif) est une
ellipse dont le centre de la force est un des foyers.
Le mouvement est ................................
•On appelle "périastre" le point où la distance entre le centre attracteur et le point M est
la plus ..........., "apoastre" le point où la distance entre le centre attracteur et le point M
est la plus ...........,
•Dans le cas où le centre attracteur est la Terre, les deux points précédents portent les
noms de ........................ et ................................
•Dans le cas où le centre attracteur est le Soleil, les deux points précédents portent les
noms de ........................ et ................................