Révisions mécanique des fluides et conduction thermique

Révisions mécanique des fluides et conduction thermique TSI2_2015_2016
Exercice 1 :
On considère l’atmosphère terrestre comme un gaz parfait
isotherme (de température  et de masse molaire  . Donner
l’expression de la pression  en référentiel terrestre
galiléen (le champ de pessanteur est considéré uniforme et
vertical). On utilisera le repérage ci-contre et une pression au
niveau du sol donnée par  .
Avec la loi de la statique des fluides et un axe ascendant :
Et la loi des gaz parfait donne alors : 
Ainsi :
Soit  .
Exercice 2 :
On observe un écoulement axial de symétrie cylindrique dans une conduite cylindrique de
rayon . Calculer le débit volumique et la vitesse moyenne de l’écoulement (appelée aussi
vitesse débitante) si :
-  avec vitesse  constante
-   avec  vitesse en 
Si le champ des vitesses est uniforme alors le débit est évident (et ne nécessite pas de calculer la
surface !!!!) : 
Avec le profil Poiseuille, on a :
Soit une vitesse moyenne donnée par
Exercice 3
Soit un écoulement dont le champ des vitesses, en repérage cylindrique, vérifie (avec 
constante positive) : 
1) Dessiner quelques lignes de champ
2) Cet écoulement est-il incompressible ? Est-il tourbillonnaire ?
On donne l’expression de l’opérateur divergent et rotationnel en repérage cylindrique :
, 
Avec le formulaire  . Avec une analyse locale :
 soit 
Exercice 4 :
Soit un écoulement orthoradial à symétrie cylindrique et tel que :  si  et
si  . Avec  et  constantes. Déterminer le vecteur tourbillon en fonction
de .
- Si  :  donc le vecteur tourbillon est 
- Si  : et le vecteur tourbillon est nul

Révisions
Exercice 5 :
On considère un écoulement stationnaire et homogène dans une canalisation de section
variable. Comment augmenter, sans machine, d’un facteur 4 la vitesse de l’écoulement
Sachant que l’écoulement est stationnaire et homogène, on a donc conse
volumique :
Donc diviser par 4 la section
revient à multiplier par 4 la vitesse de l’écoulement
Exercice 6 :
Soit un champ stationnaire  tel que  et 
et tel que
soient des droites parallèles. Montrer que  est uniforme.
Si  alors avec   et 
impose 
Exercice 7 :
1) Donner l’expression de la pression 
au fond d’un
récipient contenant une hauteur 
de fluide
incompressible de masse volumique . On note 
la
pression atmosphérique.
2)
On considère un écoulement parfait, stationnaire, homogène et irrotationnel
une conduite cylindrique horizontale d’axe 
tel que le champ des vitesses soit
.
a) Montrer que  est une constante
b) La pression peut-elle être considérée uniforme ?
3)
On considère l’écoulement d’un liquide incompressible, parfait et irrotationnel dans
un réservoir percé. La situation est maintenue stationnaire par une alimentation
mécanique des fluides et conduction thermique
On considère un écoulement stationnaire et homogène dans une canalisation de section
variable. Comment augmenter, sans machine, d’un facteur 4 la vitesse de l’écoulement
?
Sachant que l’écoulement est stationnaire et homogène, on a donc conse
rvation du débit
revient à multiplier par 4 la vitesse de l’écoulement
et tel que
les lignes de champ
ce qui
au fond d’un
de fluide
la
On considère un écoulement parfait, stationnaire, homogène et irrotationnel
dans
tel que le champ des vitesses soit
On considère l’écoulement d’un liquide incompressible, parfait et irrotationnel dans
un réservoir percé. La situation est maintenue stationnaire par une alimentation
continue en eau et l’eau évacuée se retrouve à la sortie du dispositif à la pression
atmosphérique  .
1)
Il s’agit de a loi de la statique des fluides
2)
Les hypothèses permettent d’écrire que
- 
: le champ ne dépend pas de
- 
: le champ ne dépend pas de
L’écoulement est stationnaire et uniforme donc d’après Ber
une constante de l’espace.
Plus réellement
, il y a des effets de viscosité et l’écoulement est localement
tourbillonnaire.
Si les lignes de courants sont des droites parallèles à
encore stationnaire alors 
(si on néglige l’un des effets de bords)
centre de masse de la particule est animée d’un mouvement rectiligne uniforme.
Avec la RFD : 
a)
Donner la pression dans le tuyau d’évacuation
à la profondeur
qu’en statique
b)
Exprimer la vitesse
en sortie est bien plus faible que la section du
réservoir
TSI2_2015_2016
continue en eau et l’eau évacuée se retrouve à la sortie du dispositif à la pression
Il s’agit de a loi de la statique des fluides
: 
Les hypothèses permettent d’écrire que
 et  et donc que :
: le champ ne dépend pas de
: le champ ne dépend pas de
 et de 
L’écoulement est stationnaire et uniforme donc d’après Ber
noulli, la pression est aussi
, il y a des effets de viscosité et l’écoulement est localement
Si les lignes de courants sont des droites parallèles à
 et l’écoulement
(si on néglige l’un des effets de bords)
: donc le
centre de masse de la particule est animée d’un mouvement rectiligne uniforme.
Donner la pression dans le tuyau d’évacuation
à la profondeur
. Le résultat est-il le même
qu’en statique
?
Exprimer la vitesse
 d’éjection si la section
en sortie est bien plus faible que la section du

Révisions mécanique des fluides et conduction thermique TSI2_2015_2016
Donc, on retrouve la loi de la statique en ce qui concerne l’évolution de la pression
verticale :  soit  et donc donc, nous pourrons parler
de la pression d’une tranche de conduite : 
3) La remise à la pression atmosphérique impose une isobare dans le tuyau de
vidange : c’est fondamentalement différent du cas statique. L’eau s’écoule sous
l’action de son propre poids et Bernoulli donne alors :  comme dans le
cas de la chute de corps.
Exercice 8 :
On considère le siphon ci-dessous. L’écoulement est supposé parfait, stationnaire et
incompressibles. Le siphon est de faible diamètre par rapport à celui du réservoir.
Donner la vitesse de l’écoulement à la sortie du siphon en appliquant Bernoulli entre A et
S. Préciser la situation pour laquelle le siphon ne peut plus fonctionner.
Sur une ligne de courant, on a :
Or, la remise à l’air du liquide impose :  et les sections permettent d’écrire :
soit   ce qui impose d’avoir 
Exercice 9 :
Montrer que chaque système peut constituer un débitmètre. Les écoulements seront
tous supposés parfaits, stationnaires et incompressibles et parfaitement axiaux.
′ ′
On applique Bernoulli
sur la ligne de
courant axiale : .
Verticalement, le champ des pressions
évolue comme dans le cas statique :
Donc 
On applique Bernoulli sur la ligne de
courant axiale : .
Verticalement, le champ des pressions
évolue comme dans le cas statique :
et la conservation du
débit volumique donne alors : 
soit :
On applique Bernoulli sur la ligne de
courant axiale :
′ ′
 et la
conservation du débit volumique donne
alors :  soit :
Expérimentalement
′ ′
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Révisions mécanique des fluides et conduction thermique TSI2_2015_2016
Exercice 10 :
Une pompe P alimente un château d’eau à partir d’un puits à travers une conduite de
rayon unique R= 100 mm. L’écoulement est stationnaire, parfait et incompressible.
On donne :
- les altitudes :Z2=10 m, Z1= - 10 m,
- les pressions P1=P2=1 bar ;
- la vitesse d’écoulement V = 10 m/s, !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
- l’accélération de la pesanteur g=10 m/s2
.
1) Calculer le débit volumique Qv de la pompe en l/s.
2) Calculer la puissance utile Pu de la pompe.
3) En déduire la puissance Pa absorbée par la pompe sachant que son rendement
est de 50%.
Par définition  . L’équation de Bernoulli donne
 et 
Exercice 11 :
On considère un régime d’écoulement laminaire d’un fluide Newtonien dans une conduite
cylindrique de section S constante. L’expérience montre que dans ces conditions l’énergie
massique linéique dissipée par les effets visqueux est donnée par  où  est une
constante et  la vitesse débitante (ou moyenne sur une section)
Donner l’expression de la résistance hydraulique  du tuyau de longueur  pour un
régime d’écoulement stationnaire et incompressible
Par analogie avec la loi d’Ohm, on trouve la
résistance hydraulique 
Exercice 12 :
On considère une conduite de radiateur de longueur  de diamètre . La
perte de charge singulière (énergie massique) sur chaque coude est donnée par 
avec  et les pertes de charge régulières sont données par
. Comparer les deux pertes.
Le rapport entre ces deux pertes donne :  les pertes régulières
sont ici plus importantes.

Révisions mécanique des fluides et conduction thermique TSI2_2015_2016
Exercice 13
On considère un régime stationnaire et une conduction unidirectionnel (aucun effet de
bords). L’intérieur d’une pièce est séparé de l’extérieur par une paroi vitrée de surface
, orthogonale à l’axe Ox (axe dirigé vers l'extérieur de la pièce), et dont le verre a une
conductivité thermique  . L’intérieur de la pièce et l’extérieur sont respectivement aux
températures  et  avec  .
1. Simple vitrage : La vitre a une épaisseur  . Évaluer le flux thermique  sortant
de la pièce à travers cette paroi. Donner l’expression de la résistance
thermique  de la vitre.
2. Double vitrage : La paroi est un ensemble de 2 vitres de même épaisseur  ,
séparées par une épaisseur  d’air de conductivité  . On ne tient
compte que de la conduction.
• Etablir le nouveau flux thermique  pour ce double vitrage puis
l'expression de .
• Représenter l’allure de .
3. En plus de la conduction, on veut tenir compte des échanges superficiels entre
le verre et l’air. Soit un simple vitrage de surface  en verre à la température
de surface  . On donne la relation de Newton traduisant le transfert
conducto-convectif  (avec  constante positive).
• Donner l’expression de la résistance thermique associé au transfert
conducto-convectif.
• Est-il utile de tenir compte de cette résistance ?
Te = 270K ; T
i
= 290K ; e
v
= e
a
= 3mm; 
v
= 1W.m
−1
.K
−1
; 
a
= 0,01W.m
−1.
K
−1
et h=
10W.m
−2
.K
−1
1. D'après la théorie des états stationnaires pour la conductivité thermique :
donc la résistance est
2. Il s'agit de l'association de 3 résistances thermiques en série, d'où la
résistance équivalente :
d'où : 
On comprend l'intérêt du double vitrage
Le double vitrage nous permet d'écrire 3 équations :
T(x) est une fonction affine par morceaux (loi de Fourier + vecteur densité de flux
thermique à flux conservatif)
Rq :
On en déduit les 2 inconnues T1 et T2 :
3. Dans le cas du simple vitrage, le flux thermique total est donc :
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Le phénomène de conduction !!!!!!!! peut donc être négligé en première approche pour
l'étude des échanges thermiques dans le cas du simple vitrage
Exercice 14 :
On considère un matériau conducteur compris entre deux cylindres coaxiaux, de rayon 
et  , de conductivité . Les parois cylindriques de ce matériau sont maintenues
constantes à la température  pour  et à la température  pour  . On se
place en régime stationnaire, on néglige les effets de bords et le système présente un
profil des températures à symétrie cylindrique.
Donner la résistance thermique  entre deux cylindres de hauteur  en fonction de
et . Etudier le cas particulier où  et  sont très proches.
Les invariances de la température sont celles du vecteur densité de courant qui est
radial :  . En régime stationnaire le flux est conservatif et :
Donc :   et 