Révisions mécanique des fluides et conduction thermique

Révisions
mécanique des fluides et conduction thermique
Exercice 1 :
Exercice 3
isotherme (de température et de masse molaire ) . Donner
constante positive) :
TSI2_2015_2016
Soit un écoulement dont le champ des vitesses, en repérage cylindrique, vérifie (avec /
On considère l’atmosphère terrestre comme un gaz parfait
l’expression de la pression () en référentiel terrestre
0(1) = / 2
33330
galiléen (le champ de pessanteur est considéré uniforme et
niveau du sol donnée par .
vertical). On utilisera le repérage ci-contre et une pression au
Avec la loi de la statique des fluides et un axe ascendant :
Et la loi des gaz parfait donne alors : =
Ainsi :
()
+
=0
Soit () = exp −
()
= −
1)
Dessiner quelques lignes de champ
2)
Cet écoulement est-il incompressible ? Est-il tourbillonnaire ?
On donne l’expression de l’opérateur divergent et rotationnel en repérage cylindrique :
&450(1) =
6 789
7
+
6 78:
7;
A
+ , 3333330
=>50(1) = @
7
78<
6 78<
7;
789
7
6 78:
?
.
7
−
−
78:
7
78<
−
D
C
7
6 789
7;
B
Exercice 2 :
rayon . Calculer le débit volumique et la vitesse moyenne de l’écoulement (appelée aussi
On observe un écoulement axial de symétrie cylindrique dans une conduite cylindrique de
vitesse débitante) si :
-
= avec vitesse constante
= (1 −
) avec vitesse en
surface !!!!) : !" = # $
=0
Avec le profil Poiseuille, on a :!" = %( (1 −
!" = 2# *
Soit une vitesse moyenne donnée par
"
$
) & &'
6 E = 2/. Avec une analyse locale :&40&F = 0. &H0 =
( + & )( + & )&'& − ( ) &'&
&40&F =
"
& &'& soit &40 =
6 "
= 2/
Exercice 4 :
Si le champ des vitesses est uniforme alors le débit est évident (et ne nécessite pas de calculer la
Avec le formulaire &40 =
,
r$
# $
−
. =
2 4 $ 2
Soit un écoulement orthoradial à symétrie cylindrique et tel que : 0 = 33330
2I si
0 = K 33330
2I si <
de K.
-
Si
-
Si
>
et
. Avec / et K constantes. Déterminer le vecteur tourbillon en fonction
: 3333330
=>0(1) = 2K2
33330 donc le vecteur tourbillon est K2
33330
30
3333330
> : =>0(1) = 0 et le vecteur tourbillon est nul
<
E
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atmosphérique .
continue en eau et l’eau évacuée se retrouve à la sortie du dispositif à la pression
Exercice 5 :
On considère un écoulement stationnaire et homogène dans une canalisation de section
variable. Comment augmenter, sans machine, d’un facteur 4 la vitesse de l’écoulement ?
a)
volumique :6 H6 = $ H$ = !"
Sachant que l’écoulement est stationnaire et homogène, on a donc conse
conservation du débit
à la profondeur R. Le résultat est-il le même
Donner la pression dans le tuyau d’évacuation
Exprimer la vitesse d’éjection si la section
qu’en statique ?
b)
en sortie est bien plus faible que la section du
Donc diviser par 4 la section revient à multiplier par 4 la vitesse de l’écoulement
réservoir
Exercice 6 :
30 et tel que les lignes de champ
Soit un champ stationnaire 50 tel que &450 = 0 et 3333330
=>50 0
soient des droites parallèles. Montrer que 50 est uniforme.
Si 50 5M, O, P3330Q alors avec &450 0
impose 50 5P3330Q
0 5O, P3330Q
78
30 78 33330
et 3333330
=>50 0
2 33330
2T ce qui
7T
7
Donner l’expression de la pression au fond d’un
contenant
une
hauteur
R
de
une conduite cylindrique horizontale d’axe SM tel que le champ des vitesses soit
0 Q M, O, , >2
33330.
Q
b)
Montrer que Q est une constante
La pression peut-elle être considérée uniforme ?
M
3)
&4 0 7"U
7Q
0 : le champ ne dépend pas de M
0
7"
30 V7 W : le champ ne dépend pas de O et de 3333330
=>0 0
7"
7T
tourbillonnaire. Si les lignes de courants sont des droites parallèles à SM et l’écoulement
Plus réellement,, il y a des effets de viscosité et l’écoulement est localement
On considère un écoulement parfait, stationnaire, homogène et irrotationnel dans
a)
30 et donc que :
Les hypothèses permettent d’écrire que &40 0 et 3333330
=>0 0
une constante de l’espace.
fluide
pression atmosphérique.
2)
-
Il s’agit de a loi de la statique des fluides : R
L’écoulement est stationnaire et uniforme donc d’après Bernoulli,
Ber
la pression est aussi
incompressible de masse volumique . On note la
récipient
2)
-
Exercice 7 :
1)
1)
On considère l’écoulement d’un liquide incompressible, parfait et irrotationnel dans
un réservoir percé. La situation est maintenue stationnaire par une alimentation
encore stationnaire alors 0 Q 2
33330Q (si on néglige l’un des effets de bords) : donc le
centre de masse de la particule est animée d’un mouvement rectiligne uniforme.
33333333330
30
Avec la RFD : 5& 0 X∆0 0
Z
Z$
AZM D
0
0
X $
Z
Z
C
@
@ZO C [ 0\ V 0 W [0\
@ C
0
Z
0
? Z B
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= − soit ∆ = ∆ et donc
=
≈ 10
Donc, on retrouve la loi de la statique en ce qui concerne l’évolution de la pression
verticale :
7
7
∆
de la pression d’une tranche de conduite : a ≈ b
3)
]∆
_`
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Exercice 9 :
donc, nous pourrons parler
La remise à la pression atmosphérique impose une isobare dans le tuyau de
l’action de son propre poids et Bernoulli donne alors : = c2ℎ comme dans le
vidange : c’est fondamentalement différent du cas statique. L’eau s’écoule sous
cas de la chute de corps.
Montrer que chaque système peut constituer un débitmètre. Les écoulements seront
tous supposés parfaits, stationnaires et incompressibles et parfaitement axiaux.
On applique Bernoulli sur la ligne de
courant axiale :
=
j
]
k
]
+
"k
$
.
Verticalement, le champ des pressions
évolue comme dans le cas statique :
Exercice 8 :
On considère le siphon ci-dessous. L’écoulement est supposé parfait, stationnaire et
a − b = ℎ Donc b = c2ℎ
incompressibles. Le siphon est de faible diamètre par rapport à celui du réservoir.
On applique Bernoulli sur la ligne de
courant axiale :
j
]
+
"j
$
=
k
]
+
"k
$
.
Verticalement, le champ des pressions
a − b = ℎ et la conservation du
évolue comme dans le cas statique :
débit volumique donne alors : a Ha =
b Hb soit : b = l o 6_n kp
$m
oj
On applique Bernoulli sur la ligne de
courant axiale :
Donner la vitesse de l’écoulement à la sortie du siphon en appliquant Bernoulli entre A et
S. Préciser la situation pour laquelle le siphon ne peut plus fonctionner.
Sur une ligne de courant, on a :
d$ a
a$
d
+ d +
= + a +
2
2
Or, la remise à l’air du liquide impose : d = a et les sections permettent d’écrire :
a ≪ d soit d = c2f ce qui impose d’avoir f > 0
a a$
b b$
+ + a =
+ + b
2
2
b − a = b′ − b − ha′ − a i et la
alors : a Ha = b Hb soit :
conservation du débit volumique donne
b = g−
2hb′ − a′ i
1−
Hb $
Ha
Expérimentalement a′ > b′ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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Exercice 10 :
Exercice 11 :
Une pompe P alimente un château d’eau à partir d’un puits à travers une conduite de
rayon unique R= 100 mm. L’écoulement est stationnaire, parfait et incompressible.
On donne :
- les altitudes :Z2=10 m, Z1= - 10 m,
- les pressions P1=P2=1 bar ;
- la vitesse d’écoulement V = 10 m/s, !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
- l’accélération de la pesanteur g=10 m/s2
.
On considère un régime d’écoulement laminaire d’un fluide Newtonien dans une conduite
massique linéique dissipée par les effets visqueux est donnée par −z où z est une
cylindrique de section S constante. L’expérience montre que dans ces conditions l’énergie
constante et la vitesse débitante (ou moyenne sur une section)
Donner l’expression de la résistance hydraulique m du tuyau de longueur w pour un
régime d’écoulement stationnaire et incompressible
∆| ]
+
∆| " $
+ ∆d =
∆| ]
= −zw = −z
résistance hydraulique m =
]€
(
}~
(
wPar analogie avec la loi d’Ohm, on trouve la
Exercice 12 :
On considère une conduite de radiateur de longueur w = 10t de diamètre ! = 20tt. La
1)
2)
3)
Calculer le débit volumique Qv de la pompe en l/s.
Calculer la puissance utile Pu de la pompe.
En déduire la puissance Pa absorbée par la pompe sachant que son rendement
perte de charge singulière (énergie massique) sur chaque coude est donnée par d‚ƒ =
−
E" $
avec
/ = 0,3
€ = −0,02366 €
}
"
$
et
les
pertes
de
charge
régulières
sont
données
par
. Comparer les deux pertes.
est de 50%.
Par définition q" = H = 10 × 3 × 10_$ = 0,3t` /v = 300w/v. L’équation de Bernoulli donne
x = !" ($ − 6 ) = 60z{ et 8 = 120z{
Le rapport entre ces deux pertes donne :
sont ici plus importantes.
66∗…|†‡ˆ
…‰
=
,`∗66
‰
,$`ŠŠ‹
= 0,07 les pertes régulières
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Exercice 13
On considère un régime stationnaire et une conduction unidirectionnel (aucun effet de
bords). L’intérieur d’une pièce est séparé de l’extérieur par une paroi vitrée de surface
H, orthogonale à l’axe Ox (axe dirigé vers l'extérieur de la pièce), et dont le verre a une
conductivité thermique " . L’intérieur de la pièce et l’extérieur sont respectivement aux
températures ‚ et Ž avec Ž < ‚ .
1.
2.
Simple vitrage : La vitre a une épaisseur P" . Évaluer le flux thermique 6sortant
de la pièce à travers cette paroi. Donner l’expression de la résistance
thermique m de la vitre.
Double vitrage : La paroi est un ensemble de 2 vitres de même épaisseur P" ,
séparées par une épaisseur P8 = P" d’air de conductivité 8 ≪ " . On ne tient
compte que de la conduction.
•
Etablir le nouveau flux thermique $ pour ce double vitrage puis
3.
‘
‘’
•
Représenter l’allure de (M).
En plus de la conduction, on veut tenir compte des échanges superficiels entre
le verre et l’air. Soit un simple vitrage de surface H en verre à la température
de surface d . On donne la relation de Newton traduisant le transfert
conducto-convectif “330d = ℎ(d − Ž )2
33330Q (avec ℎ constante positive).
•
Donner l’expression de la résistance thermique associé au transfert
conducto-convectif.
•
Est-il utile de tenir compte de cette résistance ?
l'expression de
.
Te = 270K ; Ti= 290K ; ev= ea= 3mm; v = 1W.m−1.K−1; a = 0,01W.m−1.K−1et h=
10W.m−2.K−1
1.
2.
D'après la théorie des états stationnaires pour la conductivité thermique :
‚_Ž
Ž
”1 =
H" donc la résistance est ~
Ž~
(•~
Il s'agit de l'association de 3 résistances thermiques en série, d'où la
résistance équivalente :
P"
P8
P"
P"
"
P"
m =
+
+
=
(2 + ) ≈
" H 8 H " H " H
8
8 H
d'où :
4 − P 4 − P
”2 =
=
H8 .
m
P"
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”2 8
= ~0.01
”1 "
On comprend l'intérêt du double vitrage
Le double vitrage nous permet d'écrire 3 équations :
P"
P8
P"
1 − P =
” ; 2 − 1 =
” ; 4 − 2 =
”
" H
8 H
" H
T(x) est une fonction affine par morceaux (loi de Fourier + vecteur densité de flux
thermique à flux conservatif)
P" + P8 + 48
28 + "
Rq : On en déduit les 2 inconnues T1 et T2 :
1 =
2 =
3.
P8 + 48 + 4"
28 + "
Dans le cas du simple vitrage, le flux thermique total est donc :
6
~ !!!!!!!!!!!!!!!!!!
m(
Le phénomène de conduction !!!!!!!! peut donc être négligé en première approche pour
l'étude des échanges thermiques dans le cas du simple vitrage
Exercice 14 :
On considère un matériau conducteur compris entre deux cylindres coaxiaux, de rayon 6
et $ > 6 , de conductivité . Les parois cylindriques de ce matériau sont maintenues
constantes à la température 6 pour
= 6 et à la température $ pour
= $ . On se
place en régime stationnaire, on néglige les effets de bords et le système présente un
profil des températures à symétrie cylindrique.
Donner la résistance thermique m entre deux cylindres de hauteur f en fonction de
, 6 , $ et f. Etudier le cas particulier où 6 et $ sont très proches.
radial : “0 = ˜( )2
33330.
En régime stationnaire le flux est conservatif et :
Les invariances de la température sont celles du vecteur densité de courant qui est
Donc : & =
_
$™•š
 et ∆ =
 = ˜( ) × 2# f = −
6
$™•š
›œ
’
׏
&
2# f
&
Révisions
Donc : m =
mécanique des fluides et conduction thermique
6
$™•š
›œ
’
Soit :
Z $ 2ℎ
( − Ž )
=
ZM $ 5
Si les deux rayons sont proches alors :
Et : m =
Ž
›œ
$™•’ š
P
P
6 + P
= ›œ n1 + p ≈
6
6
6
et on retrouve une résistance analogue à celle d’une plaque d’épaisseur P
parallélépipédique de température Soit un transistor de puissance assimilé à une forme
température extérieure Ž constante également. Pour
supérieure à la
faciliter le transfert thermique vers l’extérieur du
longueur ›, de rayon 5 et de conductivité thermique . Ce
transistor, on le munit d’un radiateur cylindrique de
ne dépende que de la variable M compté dans le sens de sa
barreau est suffisamment mince pour que sa température
longueur. On prendra en considération le transfert
conducto-convectif de cette ailette avec l’extérieur dont
ℎ((M) − Ž ) avec ℎ constante. On donne 5 = 0,40tt,  =
le vecteur densité de flux de chaleur est donné par
200{. t_6 . / _6 , ℎ = 100{. / _6 . t_$ , › = 20t.
1.
Déterminer l’équation différentielle vérifiée par (M) pour ce régime supposé
En déduire une distance caractéristique ž de variation de la température.
stationnaire.
2.
3.
Z$ Ž
−
=− $
ZM $ ž $
ž
D’où une distance de variation donnée par ž = ¡
•8
$m
Proposer une expression de (M)
Calculer le rapport X =
‘Ÿ
‘|
avec, et sans le radiateur.
, rapport des puissances évacuées à travers H = #5$,
Pour un élément de longueur &M, le bilan enthalpique donne :

Z
Z
Z
= 0 = n− n p +  n p
p #5$ + ℎ((M) − Ž )2#5&M
ZM Q
ZM Q Q
Z>
= 2t ≪ 20t
Donc (M) = ¢P _£ + Ž avec la condition aux limites : (M) = ( − Ž )P _£ + Ž
U
Exercice 15 :
TSI2_2015_2016
Le flux traversant la tige est donnée par : 8 = −
Et sans la tige :d = ℎ( − Ž )H
Donc X =
•
¥m
=¡
$•
m8
= 100
7
7Q Q¤
U
H = ( − Ž )H
•
¥