Signaux physiques Sommaire 1 Dualité onde

Lycée Newton - PTSI S7 - Ouverture sur la physique quantique
Signaux physiques
Chapitre 7 : Ouverture sur la physique quantique
Sommaire
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1 Dualité onde-corpuscule 1
1.1 Natureondulatoiredelalumière ....................................... 1
1.2 L’effetphotoélectrique ............................................. 3
1.2.1 Descriptiondel’expérience ...................................... 4
1.2.2 Observations expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Interprétation du potentiel d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4 Incohérences de l’interprétation classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.5 L’hypothèse d’Einstein sur la quantification du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.6 Le photon pour expliquer l’effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Retour sur l’expérience des fentes d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Lesondesdematière.............................................. 7
2 Notion de fonction d’onde 8
2.1 Définition .................................................... 8
2.2 description quantique d’une particule : le paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Relation d’indétermination de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Puitsrectangulaireinfini............................................ 10
2.4.1 Situationclassique ........................................... 10
2.4.2 Approche quantique qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A la fin du xixesiècle, les phénomènes physiques sont décrits par deux théories : la mécanique de Newton (1687)
et l’électromagnétisme de Maxwell (1864). Elles constituent ce que l’on appelle la physique classique. Les lois de la
physique sont alors déterministes : étant donné un ensemble de conditions initiales, l’évolution d’un système physique
est parfaitement déterminée et à un ensemble de causes correspond toujours les mêmes conséquences.
Un ensemble de faits expérimentaux sont venus remettre en cause la vision alors acceptée. On peut citer l’ef-
fet photoélectrique, le spectre du rayonnement du corps noir ou encore les raies de l’hydrogène. Pour expliquer ces
phénomènes, il a fallu remettre en cause les paradigmes de l’époque et élaborer une nouvelle théorie : la physique
quantique.
1 Dualité onde-corpuscule
1.1 Nature ondulatoire de la lumière
Les physiciens ont longtemps débattu de la nature de la lumière : tandis que certains la représentaient constituée
de corpuscules de lumière parfaitement localisés, d’autres la décrivait comme une onde se répartissant continuement
dans l’espace. Au xviiiesiècle, les phénomènes de diffractions et d’interférences ont clairement mis en évidence le
caractère ondulatoire de la lumière :
•lorsqu’on essaie de limiter l’étendue spatiale d’une onde en la faisant passer par un trou ou une fente, l’onde a
tendance à s’étaler spatialement : c’est le phénomène de diffraction :
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Huygens est le premier à avoir émis l’hypothèse de la nature ondulatoire de la lumière et sa description permet
d’expliquer le phénomène de diffraction : chaque point d’une surface d’onde peut être considéré comme une
source secondaire, et la surface d’onde à un instant postérieur est l’enveloppe des surfaces d’onde provenant de
cette infinité de sources secondaires. Ceci est illustré par le schéma suivant (a) :
Quand l’onde plane arrive sur une ouverture de taille d, une partie des sources secondaires est supprimée. Il
y en aura d’autant moins que la longueur dsera petite par rapport à λ. Un calcul de deuxième année nous
permettra d’estimer l’angle θcaractérisant la divergence de l’onde plane après le passage d’une fente de largeur
d:
sin θ'λ
d(1)
•lorsqu’on envoie une onde sur une paroi séparée de deux fentes assez fines, l’onde diffracte au travers des deux
fentes. Dans le cas d’ondes lumineuses, on distingue dans la zone atteinte par les deux ondes issues des deux
fentes une alternance de franges sombres et claires. C’est le phénomène d’interférences.
Cette obeservation expérimentale peut se comprendre en considérant les amplitudes a1(M)et a2(M)des ondes
émises par les deux fentes et considérées en un point M:
a1(M) = A0cos(ωt −φ1M)(2)
a2(M) = A0cos(ωt −φ2M)(3)
où φ1Met φ2Msont les déphasages résultant de la propagation des deux ondes vers le point M. L’onde résultante
a(M)en un point Ms’écrit alors comme la somme des deux ondes qui sont passées par chacun des fentes :
a(M) = a1(M) + a2(M)(4)
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En optique, les détecteurs sont sensibles non pas à l’amplitude a(M)mais à la moyenne temporelle de son carré
appelée intensité lumineuse I(M), définie à partir de a(M)de la façon suivante :
I(M)=2ha(M)2i(5)
On peut donc écrire :
I(M)=2h(a1(M) + a2(M))2i= 2ha1(M)2i+ 2ha2(M)2i+ 4ha1(M)a2(M)i(6)
I(M)=2I0+I12(M)(7)
avec I0(M)l’intensité observée si une seule fente laissait passer la lumière. Le terme I12(M), appelé terme
interférentiel, rend compte du phénomène ondulatoire. Un calcul simple de deuxième année montre qu’il est
directement relié au déphasage entre les deux ondes :
I12 = 2I0cos(φ2M−φ1M)(8)
si bien que :
I(M)=2I0(1 + cos(φ2M−φ1M)) (9)
Si les deux ondes sont en opposition de phase en M(φ2M−φ1M=π), la somme des deux ondes est nulle :
on parle d’interférences destrutives et on n’observe aucune lumière en ce point, ce qui correspond à une frange
sombre (intensité nulle). En revanche, si elles sont en phase (φ1M=φ2M), les deux ondes s’ajoutent, et on
obtient des interférences contructives, ce qui correspond aux franges brillantes (intensité 4I0) :
t
t
t
a1(M, t)
a2(M, t)
a(M, t)
t
t
t
a1(M, t)
a2(M, t)
a(M, t)
+
=
+
=
Les travaux de Maxwell ont ensuite conduit à considérer la lumière comme une onde électromagnétique. Là
encore, il apparaît comme clairement établi que la lumière correspond à un phénomène ondulatoire. A la fin du
xixesiècle pourtant, deux expériences ne pouvaient pas être expliquées dans ce cadre : il s’agit du rayonnement
produit par un four chauffé à haute température (rayonnement du corps noir) ainsi que l’effet photoélectrique.
1.2 L’effet photoélectrique
En 1886, le physicien Hertz met en évidence un nouveau phénomène : des électrons peuvent être arrachés d’une
plaque métallique lorsque celle-ci est soumise à un rayonnement électromagnétique : c’est l’effet photoélectrique.
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1.2.1 Description de l’expérience
Figure 1 – Dispositif d’étude de l’effet photoélectrique et résultats expérimentaux
L’expérience de base pour l’étude de cet effet est schématisée à gauche de la figure précédente. Un vide poussé
est réalisé dans une enceinte renfermant une cathode C, constituée d’un matériau que l’on veut étudier et d’une
anode A. Un rayonnement lumineux monochromatique est introduit dans le dispositif sur la cathode (aussi appelée
photocathode). Une différence de potentiel V=VC−VAest appliquée entre la cathode et l’anode, et le dispositif
est construit de telle sorte que Vpuisse varier et prendre des valeurs positives ou négatives. On constate alors,
dans certaines configurations, l’apparition d’un courant idans le circuit : la lumière peut, dans certains cas, extraire
des électrons (aussi appelés photoélectrons) de la cathode qui sont captés ensuite par l’anode. En faisant varier la
différence de potentiel, on peut tracer la caractéristique i(V)du dispositif.
1.2.2 Observations expérimentales
•En variant la différence de potentiel V, on fait les constatations suivantes :
– Si V > 0, le potentiel de l’anode est supérieur au potentiel de la cathode. Un champ électrique Eest créé,
dirigé de l’anode vers la cathode. Les électrons sont donc soumis à une force F=−eEdirigée vers l’anode.
A partir d’une certaine tension V, tous les électrons émis atteignent l’anode et on est alors dans une situa-
tion de saturation : une augmentation de la tension ne modifiera pas le courant créé. Le nombre d’électrons
arrachés au métal dépend de l’intensité lumineuse I. Les deux caractéristiques représentées sur la figure (1)
correspondent à deux intensités lumineuses distinctes I2> I1.
– Si V= 0, malgré l’absence de forces s’exerçant sur les électrons émis, certains d’entre eux ont une énergie
cinétique suffisante à l’extraction pour atteindre l’anode. Un courant s’installe dont l’intensité ne dépend que
de l’intensité du rayonnement lumineux.
– Si V < Vs<0, plus aucun courant ne circule. Le potentiel d’arrêt Vsne dépend pas de l’intensité lumineuse.
•Il existe un seuil en fréquence. En 1914, Robert Millikan montra expérimentalement qu’en dessous d’une
fréquence limite ν0, il n’y a pas d’effet photoélectrique et qu’au delà le potentiel d’arrêt est une fonction affine
de la fréquence :
Vs=α(ν−ν0)(10)
•L’effet est immédiat. On constate qu’il n’y a pas de décalage temporel entre l’arrivée de la lumière et l’éjection
des photoélectrons. En fait, on constate expérimentalement que, s’il existe, ce retard est inférieur à 10−9s.
1.2.3 Interprétation du potentiel d’arrêt
Le potentiel V=Vsest négatif, la force qu’il exerce sur les électrons (de charge q=−enégative) fournit un
travail résistant qui tend à les freiner : leur vitesse décroît depuis leur départ de la cathode, tout comme leur énergie
cinétique Ec. En négligeant leur poids devant la force électrostatique qu’ils subissent, l’énergie potentielle Epde chaque
électron est purement électrostatique, leur énergie mécanique Em=Ec+Epest conservée car il n’y a pas de forces
dissipatives. Au départ de la cathode, l’énergie cinétique est maximale, et l’énergie potentielle minimale, nulle si l’on
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prend l’origine en ce point. Au niveau de la cathode, nous avons donc Em=Ec. Le fait que le courant s’annule dès que
V < Vsindique que dans cette limite, les électrons sont suffisamment ralentis sur leur trajet pour qu’ils rebroussent
chemin avant de pouvoir atteindre l’anode. Le potentiel Vscorrespond donc à la situation où les électrons les plus
rapides atteignent l’anode avec une vitesse nulle. Ces électrons sont donc ceux qui ont été émis avec la plus grande
vitesse que l’on notera vmax, leur énergie cinétique initiale est donc :
Ec,max =1
2mv2
max (11)
Cette valeur est donc aussi celle de leur énergie mécanique tout au long de leur trajet :
Em=1
2mv2
max (12)
Parvenant à l’anode, ces électrons n’ont plus d’énergie cinétique et leur énergie potentielle est exactement :
Ep=−eVs>0(13)
La conservation de l’énergie mécanique implique donc :
−eVs=1
2mv2
max (14)
On a ainsi :
Vs=−mv2
max
2e=−Ec,max e(15)
Le potentiel Vsest donc directement relié à l’énergie cinétique maximale que peut avoir un électron émis par la
cathode lorsque celle-ci est soumise au flux lumineux.
1.2.4 Incohérences de l’interprétation classique
L’interprétation classique du phénomène considérait que sous l’influence du rayonnement, les électrons se mettent
à vibrer et peuvent alors s’échapper lorsqu’ils possèdent assez d’énergie pour s’échapper. Cette explication a très
rapidement montrer ses limites en mettant à jour des incohérences importantes. En effet, l’interprétation classique
est :
•incapable d’expliquer pourquoi le potentiel d’arrêt est indépendant de l’intensité lumineuse :
Si l’intensité lumineuse augmente, l’énergie communiquée aux électrons augmente. Une partie ce cette énergie
sera utilisée pour extraire les électrons, et une autre sera communiquée à ces électrons arrachés, augmentant
ainsi leur énergie cinétique. L’interprétation du potentiel d’arrêt indique donc, dans le raisonnement classique,
que celui-ci doit augmenter avec l’intensité lumineuse, en contradiction avec l’observation.
•incapable d’expliquer la fréquence de seuil :
La fréquence de la lumière ne joue aucun rôle dans la description classique de l’effet photoélectrique : il suffit
que l’intensité soit suffisante pour communiquer l’énergie nécessaire à l’électron afin qu’il soit arraché.
•incapable d’expliquer l’émission instantanée :
Dans un raisonnement classique conférant une surface à l’électron, supposons qu’il absorbe de l’énergie à travers
la petite suface qu’il présente à a lumière incidente. Si l’intensité de la lumière devient faible, il suffira d’attendre
suffisamment longtemps afin qu’il puisse absorber l’énergie nécessaire pour pouvoir être arraché.
1.2.5 L’hypothèse d’Einstein sur la quantification du rayonnement
C’est en 1905 qu’Einstein proposa son hypothèse sur la quantification du rayonnement, c’est-à-dire 9 ans avant
les expériences de Millikan.
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