TD S_05 - Lycée Henri Poincaré PCSI 1 année 2016-2017

Travaux Dirigés – S5
Correction
PCSI 2016 – 2017
T RAVAUX D IRIGÉS DE S5
Exercice 1 : Catastrophe ultra-violette et loi de Planck
Un satellite artificiel, placé en orbite haute pour ne pas être sensible aux effets atmosphériques,
examine le rayonnement électromagnétique qu’il reçoit du Soleil. Il relève notamment la puissance reçue en fonction de la longueur d’onde : on parle de densité spectrale.
2
1 où E0 = 8.10−20 J est une
La densité spectrale mesurée est proportionnelle à F (λ) = hλc5
hc
exp
énergie liée à la température en surface du Soleil (5800 K).
1. Vérifier que
hc
λ
λ E0
−1
est une énergie. De quelle énergie s’agit-il ?
2. Comment, simplement en examinant la loi F (λ) (qui est la loi de Planck pour le Soleil,
établie en 1900), peut-on déceler (a posteriori !) une origine quantique à cette loi ?
3. Montrer néanmoins que pour λ ≫ λqu (où λqu est à déterminer), le caractère quantique de
cette loi “disparaît". On obtient alors la loi de Rayleigh 1 -Jeans 2 , connue bien avant la loi
de Planck.
4. Tracer sur un même graphe la loi de Planck et la loi de Rayleigh-Jeans.
5. Expliquer pourquoi cette dernière loi a conduit Ehrenfest 3 (et bien d’autres après lui !) à
parler de “catastrophe ultraviolette".
D ONNÉES :
— constante de Planck : 6,63.10−34 J.s
— célérité de la lumière dans le vide : c = 3,0.108 m.s−1
— approximation : x ≪ 1 ⇒ exp(x) ∼ 1 + x
1. h est en J.s ; c/λ = ν a pour dimension l’inverse d’un temps donc
s’agit de l’énergie d’un photon.
hc
λ
est bien une énergie. Il
2. La réponse attendue par l’énoncée était « car la constante h intervient ». Cette réponse ne
me satisfait pas pleinement, mais vous pouvez rencontrer de tels énoncés. . .
3. On utilise la formule donnée. On peut faire l’approximation si
2 µm :
cE0
1
hc2
≃ 4
F (λ) ≃ 5
hc
λ 1 + λE0 − 1
λ
hc
λE0
≪ 1 d’où λqu =
hc
E0
=
Il n’y a alors plus de h dans la formule. D’où la disparition du caractère quantique (...selon
l’énoncé).
1. John Rayleigh, plus connu sous son titre Lord Rayleigh (1842 - 1919), physicien anglais, lauréat du prix Nobel
de physique de 1904 “pour ses études de la densité des gaz les plus importants et pour la découverte de l’argon en
lien avec ces études".
2. James Jeans (1877 - 1946), physicien, astronome et mathématicien britannique, qui a beaucoup contribué aux
progrès de la cosmologie.
3. Paul Ehrenfest (1880 - 1933), physicien théoricien autrichien, qui a en particulier travaillé en physique statistique.
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F (λ) (u.a.)
0
1
2
3
4
λ (µm)
4.
5. Dans la théorie classique, la densité spectrale diverge dans l’ultraviolet. Or, expérimentalement, ce n’était pas le cas et la densité spectrale mesurée dans l’UV tend vers 0 ! D’où le
terme de catastrophe ultraviolette.
b
Exercice 2 : Dimension de l’atome d’hydrogène
On considère un atome d’hydrogène sphérique de taille caractéristique a. On admet l’approximation suivante pour l’énergie de l’électron dans l’atome :
e2
h̄2
−
E≃
2ma2 4πǫ0 a
1
où e = 1,60.10−19 C et 4πǫ
= 9,00.109 USI. On rappelle que h̄ = 1,05.10−34 J.s et la masse de
0
l’électron est me = 9,11.10−31 kg.
1. Que réprésente le premier terme dans cette expression ? D’où provient-il ? Que représente
le deuxième terme ?
2. Déterminer la valeur amin de a qui minimise cette expression. Faire l’application numérique. Ce calcul donne l’ordre de grandeur de la taille de l’atome d’hydrogène.
3. Déterminer la valeur minimale de l’expression approchée de E. La calculer numériquement.
4. En mécanique classique, pour un électron en orbite circulaire de rayon a autour du noyeau,
e2
on trouve une énergie mécanique E = − 8πǫ
. De plus, l’électron qui tourne autour du
0a
noyau a une accélération non nulle et perd donc de l’énergie par rayonnement électromagnétique (émission d’une onde). Expliquer la phrase suivante : « C’est l’inégalité de
Heisenberg qui est à la base de la stabilité des atomes. ».
1. C’est l’énergie cinétique liée au confinement. Elle provient de l’inégalité de Heisenberg. Le
2e terme est l’énergie potentielle.
2. On dérive E par rapport à a.
dE h̄2
e2
4πǫ0 h̄2
= 5,3.10−11 m
= 0 ⇔ −2
+
=
0
⇔
a
=
min
da a=amin
2ma3min 4πǫ0 a2min
me2
3. Emin = E(amin ) = −2,1.10−18 J = −14 eV. Correspond à peu près au niveau fondamental
de l’atome d’hydrogène (à la fois pour a et pour E, mais on a de la chance car les approximation sont grossières.
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4. Avec l’expression classique, l’électron perd continuellement de l’énergie et donc son énergie tend vers −∞ et donc a tend vers 0. L’électron devrait finir par s’écraser sur le noyau.
L’inégalité de Heisenberg lui « interdit » cela puisque lorsque sa distance au noyau diminue, son énergie cinétique augmente et permet donc l’existence d’un minimum d’énergie,
c’est-à-dire une position stable.
b
Exercice 3 : Niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène
Dans un modèle classique de l’atome d’hydrogène, les électrons décrivent des orbites circulaires
de rayon r autour du proton. Pour qu’un tel état puisse exister quantiquement, il faut que l’onde
associée à l’électron revienne en phase avec elle même lorsque l’électron fait un tour autour du
proton.
1. À l’aide du principe d’incertitude de Heisenberg (et de vos connaissances en ordre de grandeur), estimer l’ordre de grandeur de la vitesse d’un électron dans un atome d’hydrogène.
2. Quel lien peut-on établir entre la longueur d’onde associée à l’électron et le rayon de l’orbite ?
3. En déduire la condition (dite de Bohr) qui relie le rayon r de l’orbite, la quantité de mouvement p de l’électron et la constante de Planck réduite et un entier n
4. Un calcul classique montre que la quantité de mouvement d’un électron en rotation autour
d’un proton avec une orbite de rayon r possède une quantité de mouvement proportionnelle à √1r . En déduire comment varie le rayon rn d’une orbite de Bohr en fonction de
l’entier n.
5. Par un raisonnement simple, dire comment les niveaux d’énergie En de l’électron dans
l’atome dépendent de n. Le résultat est-il correct ?
1. h̄ ≤ ∆x∆p ≃ amv d’où v ≃ h̄/(am) ≃ 10−34 /(10−10 10−30 ) ≃ 106 m/s
2. En un tour, l’électron parcourt une distance 2πr. Pour que l’onde revienne en phase, il faut
que cette distance soit un multiple entier de la longueur d’onde, donc 2πr = nλ
3. On utilise la relation de de Broglie : λ = h/p, on en déduit que 2πr = nh/p ⇒ rp = nh̄
√
√
4. p ∝ 1/ r ⇒ rp ∝ r/ r ∝ nh̄ ∝ n Donc le rayon croit comme le carré de n.
5. Si l’on considère l’énergie cinétique, elle est en p2 /(2m) ∝ 1/r ∝ 1/n2 . De même l’énergie
potentielle de ce phénomène est en 1/r comme on le verra en mécanique, donc les niveaux
d’énergie sont en 1/n2 ce qui correspond bien aux expériences de spectroscopie qui mesure
les différences d’énergies entre deux niveaux grâce à la longueur d’onde.
b
Exercice 4 : Manipulation des ordres de grandeurs. Faites les ordres de grandeurs d’abord sans
calculatrice 4 , puis à la calculatrice.
1. (a) Déterminer la longueur d’onde d’une personne de masse m = 70 kg, se déplaçant à
la vitesse v = 6 km.h−1 . Observera-t-on un phénomène d’interférences avec un flot
d’individus se précipitant vers les deux portes d’entrées d’un grand magasin un jour
de soldes ?
(b) Déterminer la longueur d’onde d’un neutron de masse m = 1,67.10−27 kg, et d’énergie
cinétique Ec = 8,43 meV. Justifier que l’on peut observer le comportement ondulatoire
de ces neutrons en les envoyant sur un cristal dont les atomes sont distants de a =
398 pm.
4. Parmi les compétences que vous développerez cette année, c’est peut-être la capacité à faire des calculs approximatifs rapidement qui vous resservira le plus pour estimer la faisabilité ou non d’un projet.
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2. Au sol, le rayonnement solaire transporte une puissance surfacique Ps ≈ 5.102 W.m−2.
(a) Estimer l’énergie E reçue par un œil regardant pendant ∆t = 0,1 s le Soleil au travers
d’un filtre ne laissant passer que η = 10−3 % de l’énergie. La pupille a alors un diamètre
D ≈ 2 mm.
(b) Estimer le nombre N de photons atteignant l’œil pendant cette durée.
(c) Les étoiles visibles les plus faibles du ciel émettent un rayonnement possédant au niveau de la Terre une puissance surfacique Pe ≈ 1.10−14 W.cm−2 . Combien l’œil reçoit-il
de photons chaque seconde d’une telle étoile, la pupille étant dilatée au maximum 5
(D ′ ≈ 7 mm).
(d) Pour une perception continue de la lumière, les cellules de l’œil doivent être excitées
tous les τ ≈ 0,1 s. Commenter.
3. Un émetteur radio émet un signal de fréquence 105,5 MHz et de puissance 100 kW. Évaluer
le nombre de pohtos émis par seconde.
4. La lumière d’un faisceau laser est émise par des atomes effectuant une transition entre
deux niveaux d’énergie distant de 2,28 eV. Quelle est la couleur de ce laser
5. Longueur d’onde de de Broglie ;
(a) Quelle énergie, en électronvolts, doit-on communiquer à des électrons (me = 9,11 ×
10−31 kg) pour que leur longueur d’onde de de Broglie soit égale à 0,1 nm ?
(b) Calculer les longueurs d’onde de de Broglie pour un électron et un proton (mp = 1,67 ×
10−27 kg dont les énergies cinétiques valent toutes 100 eV
6. Inégalité de Heisenberg
(a) Quelle est l’indétermination quantique minimale sur la vitesse d’un adénovirus dont la
masse vaut 2,4 × 10−16 g et dont la position est connue à 10 nm près (soit un dixième de
sa taille) ?
(b) Un radar autoroutier « flashe » une voiture de masse m = 1,3 t roulant à 150 km/h.
L’éclair du flash dure 0,01 s. Quelle est l’indétermination sur la position de la voiture 6
En déduire une minoration de l’indétermination quantique de la vitesse. Conclure.
1. (a) λ = 5,7 × 10−36 m : pas d’interférence même s’ils courent beaucoup plus vite.
(b) λ = 311 pm, du même ordre de grandeur que a = 398 pm et les effets de diffractions
vont apparaitre.
2. (a) E = 1,6 × 10−9
(b) 4,7 milliards de photons
(c) Environ un photon par seconde.
(d) aucun problème pour voir le soleil dans le cas précédent, par contre pour l’étoile, même
si le rendement de l’œil est de 100% (tout les photons reçus excitent l’œil), la condition
n’est pas vérifiée et on risque donc de voir l’étoile « clignoter » puisque la perception
ne sera pas continue.
3. 1,4 × 103 0 photons émis par seconde.
4. λ = 543 nm ; c’est donc un laser jaune-vert.
5. (a) 150 eV
(b) λe = 123 pm et λp = 2,86 pm
5. Ce maximum diminue avec l’âge pour ne plus être que d’environ 4 mm chez une personne âgée.
6. L’énoncé sous-entend ici que la durée du flash est la durée de la mesure, ce qui est a priori faux.
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6. Inégalité de Heisenberg
(a) 44 nm/s
(b) incertitude sur x : 0,4 m. incertitude sur v : 2 × 10−37 m/s. Ridiculement faible.
Exercice 5 : Etude d’un puits de potentiel infini
Une particule quantique est confinée dans la zone comprise entre les plans x = 0 et x = l dans un
puits infini. On donne sa fonction d’onde :
ψ(x,t) = A sin(kx) exp(−iωt)
où A, k et ω sont des constantes réelles positives.
1. A l’aide du principe d’incertitude d’Heisenberg, estimer son énergie minimale.
2. Déterminer les valeurs possibles de k en fonction de l et d’un entier n positif quelconque.
3. Quelle est la signification physique de |ψ(x,t)|2 dx ? Justifier la condition de normalisation
Rl
2
0 |ψ(M,t)| dx = 1. Normaliser la fonction pour obtenir l’expression de A en fonction de l.
4. Tracer |ψ(x,t)|2 en fonction de x pour les cas n=1 et 2. Commenter et comparer au cas d’une
particule classique.
1. E ≥
2. k =
h̄
.
2ml
nπ
.
l
3. A =
q
2
.
l
4. A faire.
Exercice 6 : Mécanique quantique des gaz et température
1. On considère tout d’abord des grains de sables qui se déplace à quelques mètres par secondes. Évaluer la longueur d’onde de de Broglie. La mécanique quantique est elle nécessaire pour décrire les ce que l’on appelle les gaz granulaires ? (ensemble de nombreux
grains de sables qui ont des vitesses quasi-aléatoires)
2. Et pour un atome d’hélium (Hélium 4) à température ambiante ? On admettra que l’énergie cinétique d’un atome est reliée à la température par la relation suivante : Ec = 32 kB T ?
(On donne kB = 1,38.10−23 J/K la constante de Boltzmann et la masse d’un nucléon :
1,67.10−27 kg )
3. On se propose maintenant de trouver un ordre de grandeur de température limite au-delà
de laquelle les effets quantiques ne jouent pas
(a) En utilisant l’équation d’état des gaz parfait pV = nRT , exprimer la densité d’un gaz
parfait en fonction de la température, de la pression et de la masse molaire du gaz.
(b) En déduire un ordre de grandeur de la distance interparticulaire (c’est-à-dire la distance
moyenne entre une particule et sa plus proche voisine). On pourra supposer que toutes
les particules sont séparées par la même distance et qu’elles sont réparties de façon
régulières.
(c) À partir des questions précédentes, trouvez la température en deça de laquelle il faut
prendre en compte les effets quantiques.
(d) Vérifiez l’homogénéité du résultat précédent.
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1. grain de sable : typiquement 100 µm= 10−4 m. Masse volumique : celle du verre a priori,
de l’ordre de 2500 kg/m3 , donc masse m ≃ 10−9 kg (peu importe le 2 vu que l’incertitude
sur la taille du grain de sable est bien plus grande et en plus élevée au cube). On a donc
λ ∼ 6.10−34 /1.10−9 ∼ 10−25 m donc on se moque complètement de la mécanique quantique
(et on a tellement de marge que même si on s’est trompé de plusieurs ordre de grandeur
c’est encore bon)
q
√
−34
h
6.10−34
≃ √6.10
2. v = 3kB T /m ⇒ p = 3mkB T donc λ = √3mk
≃
≃√
−27
−23
80.10−50
BT
3×4×1,6.10
×1,38.10
×300
≃ 0,7.10 = 7.10
m donc typiquement la taille d’un atome. On pourrait avoir des
effets quantiques ... si on était dans un solide, mais là, les parois ou les autres particules sont
plus loin.
6.10−34
9.10−25
−9
−10
3. (a) pV = nRT = mRT /M donc ρ = m/V = pM/RT
(b) si on considère que les particules sont sur un réseau cubique et sont distante de a, alors
le volume propre d’une particule est a3 et donc la masse volumique est mHe /a3 (masse
d’un atome sur le volume propre de l’atome) d’où mHe /a3 = ρ = pM/RT ⇒ a3 =
mHe RT /pM = RT /pNA = kB T /p
(c) C’est la température pour laquelle la distance entreqles particules est de l’ordre de la
h6
h
2
3
k
longueur d’onde de de Broglie a ≃ λ ⇔ √3mk
=
B T /p ⇔ (3mkB T )3 = (kB T /p) ⇔
T
B
6 2
q
6 2
h p
(kB T )5 = 3h3 mp 3 donc T = k1B 5 27m
3 = 3 K Cette limite n’est pas à prendre au pied de la
lettre, mais on observe bien des effets quantique dans l’hélium à ces températures, mais
l’approximation du gaz parfait n’est probablement plus valide !
(d) Homogénéité : [h] = ML2 T −1 ; [p] = [F/S] = ML−1 T −2 ; [m] = M; [kB T ] = [Ec ] =
6 12 −6
2 −2 −4
ML2 T −2 donc à gauche on a M 5 L10 T −10 et à droite : M L T MM3 L T = M 5 L10 T −10
(Attention, mauvaise notation : desfois m =masse d’un atome d’hélium et dans 3B, c’est la
masse d’une particule fluide.
6