MPSI-PCSI-PTSI

VUIBERT
MPSI
PCSI
PTSI
PHYSIQUE
MPSI-PCSI-PTSI
MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES
SOMMAIRE
1. Oscillateurs harmoniques – 2. Propagation d’un signal – 3. Optique géométrique
4. Introduction au monde quantique – 5. Circuits dans l’ARQS – 6. Circuits linéaires
du premier ordre – 7. Oscillateurs amortis – 8. Filtrage linéaire – 9. Cinématique du
point – 10. Loi de la quantité de mouvement – 11. Énergétique du point matériel
12. Mouvement de particules chargées – 13. Loi du moment cinétique – 14. Mouvement dans le champ d’une force centrale conservative – 15. Description macroscopique de la matière – 16. Description microscopique de la matière – 17. Premier
principe de la thermodynamique – 18. Second principe de la thermodynamique
19. Machines dithermes – 20. Statique des fluides – 21. Champ magnétique – 22. Forces
de Laplace – 23. Lois de l’induction – 24. Induction de Neumann – 25. Induction de Lorentz.
Les auteurs :
Frédéric Bruneau est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Victor
Grignard à Cherbourg.
Marc Cavelier est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Joliot-Curie à
Rennes.
Yann Lozier est enseignant dans le secondaire, détaché en classes préparatoires scientifiques.
Marc Strubel est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Albert Schweitzer
à Mulhouse.
PHYSIQUE
– des synthèses de cours et méthode pour acquérir les connaissances indispensables
et réviser efficacement,
– de nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner et se mettre en situation
d’épreuve : exercices guidés, exercices d’application et problèmes.
MÉTHODES
EXERCICES
PROBLÈMES
Des ouvrages pour faire la différence :
VUIBERT
MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES
PHYSIQUE
MPSI - PCSI - PTSI
To
prog ut le
ramm
e
➔ Rappels de cours
➔ Conseils de méthode
➔ Exercices guidés
➔ Exercices d’approfondissement
➔ Problèmes de synthèse
➔ Tous les corrigés détaillés
F. Bruneau
M. Cavelier
Y. Lozier
ISBN : 978-2-311-40225-4
www.
Physique MPSI-PCSI-PTSI-9782311402254.indd Toutes les pages
.fr
M. Strubel
24/07/15 11:51
Table des matières
Chapitre 1. Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1. Tension exercée par un ressort ; allongement 5 – 2. Équation de l’oscillateur harmonique 6 – 3. Solutions de l’équation de l’oscillateur harmonique 7 – 4. Les fonctions
sinus et cosinus en physique 8 – 5. Énergie mécanique de l’oscillateur harmonique 10 –
6. Portrait de phase 11 – Exercices 12 – Corrigés 17
Chapitre 2. Propagation d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1. Exemples de signaux – spectre 27 – 2. Onde progressive 28 – 3. Onde progressive
sinusoïdale 30 – 4. Interférences entre deux ondes de même fréquence 31 – 5. Battements 34 – 6. Ondes stationnaires mécaniques 34 – 7. Diffraction à l’infini 35 –
8. Polarisation rectiligne de la lumière (PCSI) 36 – Exercices 37 – Corrigés 44
Chapitre 3. Optique géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1. Lumière dans les milieux 51 – 2. Lumière et miroirs 53 – 3. Les lentilles minces 54 –
Exercices 56 – Corrigés 60
Chapitre 4. Introduction au monde quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1. Aspect corpusculaire de la lumière : introduction du photon 69 – 2. La dualité ondecorpuscule 70 – 3. Fonction d’ondes et probabilités 71 – 4. Relation d’indétermination
de Heisenberg (PCSI, PTSI) 71 – 5. Quantification de l’énergie d’une particule confinée 72 – Exercices 73 – Corrigés 79
Chapitre 5. Circuits dans l’ARQS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1. Généralités sur le courant électrique 85 – 2. Dipôles et courant 86 – Exercices 90 –
Corrigés 94
Chapitre 6. Circuits linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1. Mise en équation des circuits 103 – 2. Décharge en régime libre 106 – 3. Portrait de
phase 107 – Exercices 109 – Corrigés 112
Chapitre 7. Oscillateurs amortis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
1. Circuit oscillant 121 – 2. Régime sinusoïdal forcé 125 – Exercices 126 – Corrigés 130
Chapitre 8. Filtrage linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
1. Période et fréquence 139 – 2. Filtre RC série 140 – 3. Les différents filtres 142 –
Exercices 145 – Corrigés 149
Chapitre 9. Cinématique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
1. Description du mouvement 159 – 2. Repérages classiques 160 – 3. Vitesse d’un point
dans un référentiel 162 – 4. L’accélération d’un point 163 – 5. Choix du repérage 164 –
6. Mouvements fondamentaux 164 – 7. Mouvement des solides 164 – Exercices 166 –
Corrigés 171
1
Table des matières
Chapitre 10. Loi de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
1. Éléments cinétiques 179 – 2. Les lois de Newton et leurs conséquences 179 – 3. Résolution d’un problème de mécanique du point 181 – 4. Les forces usuelles 181 –
Exercices 183 – Corrigés 190
Chapitre 11. Énergétique du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
1. Puissance et travail d’une force 197 – 2. Théorème de la puissance et de l’énergie
cinétique 197 – 3. Forces conservatives et énergie potentielle 198 – 4. Énergie mécanique 199 – 5. Mouvement conservatif à une dimension 199 – Exercices 201 –
Corrigés 205
Chapitre 12. Mouvement de particules chargées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
1. Force de Lorentz et champ électromagnétique 213 – 2. Mouvement d’une particule
chargée dans un champ électrique uniforme et indépendant du temps 214 – 3. Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme et indépendant du
temps 215 – 4. Produit vectoriel 216 – Exercices 218 – Corrigés 223
Chapitre 13. Loi du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
1. Moment cinétique 229 – 2. Moment d’une force 230 – 3. Loi du moment cinétique pour un point matériel 232 – 4. Solide en rotation autour d’un axe fixe ∆ 233 –
5. Approche énergétique pour un solide en rotation et un système déformable 233 –
Exercices 235 – Corrigés 240
Chapitre 14. Mouvement dans le champ d’une force centrale conservative . . . . 249
1. Force centrale conservative 249 – 2. Force centrale et conservation du moment cinétique 250 – 3. Force centrale conservative et conservation de l’énergie 251 – 4. Cas
particulier du mouvement dans un champ newtonien 252 – Exercices 254 – Corrigés 258
Chapitre 15. Description macroscopique de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
1. Systèmes et variables d’état 265 – 2. État physique et équation d’état 267 – Exercices 271 – Corrigés 276
Chapitre 16. Description microscopique de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
1. Les trois échelles 283 – 2. Distribution des vitesses dans un gaz 284 – 3. Pression
cinétique 286 – 4. Température cinétique 287 – 5. Énergie interne 287 – Exercices 289
– Corrigés 294
Chapitre 17. Premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
1. Transformation thermodynamique d’un système 303 – 2. Échange d’énergie mécanique avec l’extérieur 304 – 3. Échange d’énergie par transfert thermique avec l’extérieur 305 – 4. Premier principe de la thermodynamique 306 – 5. Enthalpie 308 –
Exercices 310 – Corrigés 314
Chapitre 18. Second principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
1. Réversibilité-Irréversibilité 321 – 2. Deuxième principe 322 – 3. La fonction entropie 323 – 4. Bilan entropique 324 – Exercices 325 – Corrigés 330
2
Force de Lorentz et champ électromagnétique
Définition 12.1. Force de Lorentz et champ électromagnétique
Soit, en un point M à un instant t , une particule ponctuelle de charge q , de
−
→
masse m et de vitesse v R (M , t ) par rapport à un référentiel R. On nomme force de
−
→
Lorentz FL la résultante des forces auxquelles elle est soumise du fait de sa charge.
−
→
−
→
• La composante de FL indépendante de la vitesse est la force électrique FE
−
→
FE
−→
qui définit le champ électrique en M à l’instant t dans R , E R (M , t ) =
.
q
−
→
−
→
• La composante de FL dépendante de la vitesse est la force magnétique FB
−→
qui définit le champ magnétique en M à l’instant t dans R, B R (M , t ) tel que
−
→
FB
−→
−
→
v R (M , t ) ∧ B R (M , t ) =
.
q
−→
−→
L’ensemble des champs E R (M , t ) et B R (M , t ) constitue le champ électromagnétique dans le référentiel R.
La force de Lorentz est donc donnée par :
−→
−
→
−→
−
→
FL = q E R (M , t ) + v R (M , t ) ∧ B R (M , t ) .
Propriété 12.1. Champ électrique
• Le champ électrique est produit par les charges et sa structure dépend de
leur répartition spatiale.
• En appliquant une différence de potentiel U entre deux plaques planes ...
parallèles et distantes de d , on obtient un champ électrique perpendiculaire
213
E
1.
D
Mouvement
de particules chargées
O
H
ÉT
M
12
Chapitre
Physique MPSI-PCSI-PTSI
U
aux plans, dirigé dans le sens des potentiels décroissants et de norme E = .
d
−→
• Le champ électrique E R (M , t ) s’exprime en V.m−1 .
Propriété 12.2. Champ magnétique
• Le champ magnétique est produit par le mouvement des charges et sa structure dépend de celle du mouvement.
−→
• Le champ magnétique B R (M , t ) s’exprime en Tesla : T avec 1 T= 1 kg.A−1 .s−2 .
Propriété 12.3. Une approximation utile
On peut toujours négliger le poids d’une particule chargée devant la force de
Lorentz.
Propriété 12.4. Puissance de la force de Lorentz
La puissance de la force de Lorentz dans le référentiel R est donnée par :
−
→
−→
−
→
PR ( FL ) = q E R (M , t ) · v R (M , t ).
Elle est donc égale à la puissance dans R de la force électrique. La puissance dans
R de la force magnétique est nulle.
Conséquence 12.5.
• Seul un champ électrique peut modifier l’énergie cinétique d’une particule
chargée.
• Un champ magnétique permet de courber la trajectoire d’une particule sans
modifier son énergie cinétique.
2. Mouvement d’une particule chargée dans un champ
électrique uniforme et indépendant du temps
−
→
−
→
−
→
Force électrique uniquement : FE = q E . On note v 0 la vitesse initiale.
Propriété 12.6. Nature du mouvement
L’application du principe fondamental de la dynamique (PFD) à la particule
chargée en mouvement dans R galiléen, permet de montrer que le mouvement est
uniformément accéléré.
214
D
O
H
ÉT
M
Chapitre 12 – Mouvement de particules chargées
E
Propriété 12.7. Types de trajectoires
L’intégration des équations du mouvement obtenues par application du PFD
dans R permet d’obtenir le type de la trajectoire en fonction des conditions initiales :
−
→
−
→
• Si la vitesse initiale v 0 de la particule est parallèle au champ électrique E ,
la trajectoire est rectiligne.
−
→
• Si la vitesse initiale v 0 de la particule n’est pas parallèle au champ électrique
−
→
−
→
E , la trajectoire est une parabole d’axe colinéaire à E .
Définition 12.2. Potentiel et énergie potentielle électrostatique
−
→
La force électrique est conservative. Dans un champ électrique E , une particule
de charge q acquiert une énergie potentielle définie par :
Ep = q V + c s t e
−
→
où V est le potentiel électrostatique associé à E au point où se trouve la particule.
Propriété 12.8. Potentiel électrostatique dans un champ uniforme
−
→
−
→
Supposons un champ uniforme de la forme E = E u x , l’énergie potentielle d’une
particule de charge est :
E p (x ) = −q E x + c s t e .
−
→
−
→
Le potentiel électrostatique associé au champ uniforme E = E u x est donc :
V (x ) = −E x .
Définition 12.3. Électron-volt
1 eV = 1, 6.10−19 J correspond à l’énergie qu’acquiert un électron accéléré dans
une différence de potentiel de 1 V.
3. Mouvement d’une particule chargée dans un champ
magnétique uniforme et indépendant du temps
−
→
→
−
→ −
−
→
Force magnétique uniquement : FB = q v ∧ B . On note v 0 la vitesse initiale.
Propriété 12.9. Mouvement et pulsation cyclotron
Le mouvement d’une particule chargée de charge q et de masse m dans un
−
→
champ magnétique B uniforme et stationnaire est dans le cas où la vitesse initiale ...
−
→
−
→
v 0 de la particule est orthogonale au champ magnétique B , un mouvement circu-
215
Physique MPSI-PCSI-PTSI
laire uniforme à la vitesse angulaire ω = −
à la pulsation cyclotron ωc =
|q |B
.
m
qB
. La valeur absolue de ω correspond
m
Propriété 12.10. Trajectoire
Le cercle suivi par la particule est telle que :
−
→
• il est inscrit dans la plan perpendiculaire à B ;
• le sens de parcours dépend du signe de q ;
m v0
• son rayon est donné par R =
.
|q |B
Méthode : étude du mouvement
• L’application du théorème de l’énergie cinétique permet de montrer que le
mouvement est uniforme : la norme de la vitesse reste constante.
• On admet que la trajectoire est circulaire. On écrit le principe fondamental de
−
→ −→
la dynamique et on projette sur le repère des coordonnées polaires (u r , u θ )
−→
définies dans le plan du cercle. La projection suivant u θ permet de montrer
−
→
l’uniformité, la projection suivant u r permet d’obtenir l’expression de la
qB
vitesse angulaire ω = −
.
m
4. Produit vectoriel
Méthode : calcul du produit vectoriel : méthode 1
−
→
C
−
→
−
→−
→
C est perpendiculaire au plan ( A , B ).
−
→
La direction de C est donnée par la règle du tournevis :
O
−
→
−
→
−
→
−
→
B un tournevis tournant de A vers B progresse dans le sens de C .
−
→
−
→ −
→
−
→
k C k = k A kk B k sin θ .
A
Propriété 12.13.
Le produit vectoriel est :
• nul si et seulement si l’un des vecteurs est nul ou si les deux vecteurs sont
colinéaires ;
−
→ −
→
−
→ −
→
• anticommutatif : A ∧ B = − B ∧ A ;
...
→ −
−
→ −
→ −
→ −
→
• distributif à gauche et à droite sur l’addition : A ∧ B + C = A ∧ B +
216
217
E
Š−
Š−
−
→ −
→
−
→ −
→ €
→
−→ €
→
A ∧ B = − B ∧ A = A y B z − A z B y u x + (A z B x − A x B z ) u y + A x B y − A y B x u z .
D
Méthode : calcul du produit vectoriel : méthode 2
−
→ −→ −
→ −
→ −
→ −→ −→ −
→ −
→
Dans la base cartésienne on a : u x ∧ u y = u z et u z ∧ u x = u y et u y ∧ u z = u x .
−
→
−
→
−
→
−→
−
→
−
→
Ainsi pour un vecteur A = A x u x + A y u y + A z u z et un vecteur B = B x u x +
−→
−
→
B y u y + B z u z on obtient :
O
→ −
→ −
→ −
−
→ −
→ −
→ −
→ −
→ −
→
A ∧ C et B + C ∧ A = B ∧ A + C ∧ A ;
−
→ −
→ −
→
−
→
−
→ −
→
• pour tout réel n : (n A ) ∧ B = A ∧ (n B ) = n( A ∧ B ).
H
ÉT
M
Chapitre 12 – Mouvement de particules chargées
Exercices
Mouvement de particules chargées
On donne : masse de l’électron : m = 9.10−31 kg ; charge élémentaire e = 1, 6.10−19 C ;
intensité de la pesanteur g = 9, 81 ms−1 ; masse du proton m p = 1, 67.10−27 kg.
Dans tous les exercices le référentiel d’étude est le référentiel du laboratoire supposé
galiléen.
Exercices guidés
Exercice A
(10 min.)
En chauffant par effet Joule un filament de matériau réfractaire à suffisamment haute
température, une faible fraction de ses électrons peuvent acquérir l’énergie nécessaire
pour quitter le filament (effet thermoélectronique). Ainsi, pendant des décennies, la
source d’électrons habituellement utilisée était constituée par un filament de tungstène
porté à 2 500°C.
On suppose qu’un électron quitte le filament avec une vitesse initiale nulle et qu’il
est accéléré vers une plaque portée au potentiel Vf = 100 volts, le filament étant au
potentiel nul. La distance entre le filament et les plaques est d = 1 cm. On fera comme
si le champ électrique entre le filament et la plaque était uniforme. Montrer qu’on peut
négliger le poids devant la force électrique. Quelle est en joules puis en électron-volts,
l’énergie cinétique E c f de l’électron sur la plaque ? Quelle est la durée du trajet entre le
filament et la plaque ?
Exercice B
(20 min.)
−
→
Un électron ayant une vitesse initiale v 0 faisant un angle α avec l’horizontale, pénètre
en O dans une région de l’espace délimité par deux plaques horizontales de longueur
L = 5 cm, séparées d’une distance d = 2 cm. Le champ électrique entre les plaque est
−
→
−→
E = E 0 u y avec E 0 = 103 V.m−1 .
y
−
→
v0
O
α
d
I
|
x
L
Figure 12.1. Mouvement d’un électron dans un champ électrique
218
Chapitre 12 – Mouvement de particules chargées
1) Déterminer un encadrement de la norme de la vitesse initiale v 0 pour que l’électron ne touche aucune des plaques.
2) Quelle vitesse initiale v 0 doit-on donner pour que l’électron passe en sortie au
milieu des deux plaques ?
Exercice C
(15 min.)
1) On considère deux situations pour une particule chargée positivement se dépla−
→
çant dans le plan horizontal xOy à la vitesse v . Dans la situation 1, sa vitesse
−
→
v 1 faisant un angle α = 45° avec l’axe Ox . Elle subit alors une force magnétique
−
→
−
→
−
→
F1 dirigée suivant u z . Dans la situation 2, sa vitesse v 2 , de même norme qu’en
−
→
situation 1, est suivant Oy et elle subit une force magnétique F2 dirigée suivant
−
→
−u z . Les deux forces ont exactement la même norme. Déterminer l’orientation
du champ magnétique.
z
z
−
→
F1
−
→
uz
−
→
uz
O
O
−
→
v2
y
α
x
−
→
v1
x
Situation 1
y
−
→
F2
Situation 2
Figure 12.2. Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique
EX
219
ER
CI
C
ES
2) On considère désormais une particule de charge q = −10e avec une vitesse
v 0 = 106 m.s−1 dans le plan xOy faisant un angle α = 45° avec l’axe Ox . Le champ
magnétique uniforme et stationnaire a une intensité de B 0 = 0, 05 T.
−
→
−
→
(a) On choisit B = B 0 u z , décrire la force agissant sur la particule.
−→
−
→
(b) On observe une force magnétique Fm = F u z avec F = 2.10−14 N, décrire le(s)
champ(s) magnétique(s) possible(s).
Physique MPSI-PCSI-PTSI
Exercices
Exercice 1
(20 min.)
Q
P
Q’
−→
uy
•
−
→
uz
−
→
ux
T1
T2
−
→
v1
T3
UP 0Q 0
UPQ
P’
Figure 12.3. Filtre sélectif
37
−
−
1) On fait arriver avec une vitesse négligeable, des ions 35
17 C l de masse m 1 et 17 C l
de masse m 2 en un point T1 . Ils sont accélérés sous une différence de potentiel
UPQ = VP −VQ = U0 = 100 V. Déterminer les vitesses v 1 et v 2 au point T2 . On donne :
− M = 35 g.mol−1 , masse molaire de l’ion 37 C l −
masse molaire de l’ion 35
1
17 C l
17
−1
M 2 = 37 g.mol , nombre d’Avogadro N A = 6, 02.1023 mol−1 .
2) Entre les deux plaques parallèles P 0 et Q 0 distantes de d = 5 cm on impose une
différence de potentiel UP 0Q 0 = VP 0 − VQ 0 = U1 = 200 V et un champ magnétique
−
→
−
→
B = B 0 u z uniforme. Déterminer la valeur que doit avoir B 0 pour que seules les
35
ions 17C l − aient un mouvement rectiligne uniforme et sortent par le trou T3 .
3) On conserve la valeur précédente de B 0 . Quelle valeur U2 faut-il imposer à UP 0Q 0
−
pour que seuls les ions 37
17 C l aient un mouvement rectiligne uniforme et sortent
par le trou T3 . Comment agir sur UPQ , pour obtenir le même résultat en conservant
les valeurs U1 et B 0 ?
Exercice 2
(15 min.)
Dans l’expérience de Millikan, on pulvérise finement un liquide pour obtenir des
gouttelettes supposées sphériques de rayon r . Les gouttelettes pénètrent entre deux
plaques planes horizontales placées dans l’air. On envoie pendant un bref instant un
faisceau de rayons X pour fixer des charges électriques sur les gouttelettes. On considère
une gouttelette portant une charge q . On effectue deux manipulations :
• On impose un champ électrique uniforme E entre les plaques pour obtenir l’équilibre de la gouttelette.
• On supprime le champ E et on mesure la vitesse limite v l de chute de la gouttelette.
Montrer que ces deux manipulations permettent d’obtenir la valeur de la charge q
en fonction de η viscosité de l’air, v l , ρ la masse volumique du liquide, ρa la masse
volumique de l’air, g intensité de la pesanteur et E . On donne le loi de Stockes pour le
frottement F = 6πηr v avec v vitesse de la gouttelette de rayon r .
220
Chapitre 12 – Mouvement de particules chargées
Exercice 3
(15 min.)
−
→
v0
•
−
→
B
−→
uy
5
4
•
−
→
uz
1
−
→
ux O
2
3
Figure 12.4. Trajectoires dans un champ magnétique uniforme
Tous les ions sont soit de charge −e soit de charge +e et sont injectés en O avec la même
−
→
−
→
−
→
vitesse initiale v 0 . Le champ magnétique est uniforme et stationnaire B = B u z . La
trajectoire 1 correspond à un ion Li + de masse m 1 = 6, 9 u.m.a (1 u.m.a= 1, 66.1027 kg.
Après avoir déterminé le rayon du cercle pour une particule de charge q et de masse m ,
calculer la charge et la masse des particules des trajectoires 2, 3, 4 et 5.
Exercice 4
(20 min.)
Un cyclotron est formé de deux demi-cylindres, appelées "Dees", à l’intérieur desquels
−
→
règne un champ magnétique uniforme B perpendiculaire au plan des demi-cylindres.
Une tension U , de fréquence f , appliquée entre les deux "Dees", permet d’accélérer le
proton à chaque passage dans l’espace entre les "Dees". Les protons sont injectés au
centre S.
•
−
→
B
−→
uy
•
−
→
uz
•
S
•
−
→
B
−
→
ux
Figure 12.5. Cyclotron
On veut obtenir un faisceau de proton de E c m a x = 1 MeV sur une dernière trajectoire
circulaire de rayon égal à rm a x = 50 cm après après avoir effectué 100 tours dans le
cyclotron.Déterminer l’intensité du champ magnétique, la valeur de U et le fréquence
f.
Exercice 5
(20 min.)
EX
221
ER
CI
C
ES
Une particule de masse m , de charge électrique q est introduite sans vitesse initiale à
l’origine O d’un référentiel galiléen (O, x , y , z ). Dans l’espace règnent un champ élec−
→
−
→
−→
−
→
trique uniforme E = E u y et un champ magnétique uniforme B = B u z . Déterminer
x (t ), y (t ) et z (t ).
Physique MPSI-PCSI-PTSI
Exercice 6
(15 min.)
Un proton sans vitesse initiale est accéléré par une différence de potentiel de 103 V
puis pénètre dans une région de l’espace où règne un champ magnétique uniforme. Sa
trajectoire est d’abord un cercle de rayon r1 = 10 cm. Après 20 tours le rayon n’est plus
que de r2 = 9, 5 cm. Évaluer la force de frottement produite par les molécules de gaz qui
frappent le proton le long de sa trajectoire.
Exercice 7
(20 min.)
POUR ALLER PLUS LOIN
Dans le cadre de la mécanique relativiste, pour une particule de masse m et de vitesse
1
−
→
−
→
−
→
v la quantité de mouvement a pour expression p = γm v où γ = Ç
, l’énergie
v2
1− 2
c
cinétique est donnée par E c = (γ − 1)m c 2 enfin l’énergie totale vérifie E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 .
En mécanique relativiste, le principe fondamentale de la dynamique s’écrit dans un
−
→
d p
−
→
référentiel galilléen comme en mécanique classique
= F . Nous allons établir la loi
dt
de vitesse relativiste pour une particule de charge q et de masse m placée avec une vitesse
−
→
−
→
initiale nulle dans un champ électrique E = E u x
1) Montrer que : p = q E 0 t ou γm v = q E 0 t . La présence du terme γ dans l’expression de
la quantité de mouvement nous empêche d’intégrer une seconde fois directement.
2) En utilisant l’équation précédente et l’expression de l’énergie totale de la particule
donnée dans le texte, trouver la loi de la vitesse v (t ).
3) Montrer que dans le cas des champs électriques faibles on retrouve la loi classique
du mouvement uniformément accéléré.
222
Corrigés
Mouvement de particules chargées
Corrigés des exercices guidés
Exercice A
Vf − 0
eE
= 104 . Calculons
=
d
mg
14
1, 8.10 . Le poids de l’électron est bien négligeable devant la force électrique.
La force électrique est conservative, l’énergie mécanique E m = E c + E p = E c − e V de
l’électron est constante. L’électron quitte le filament avec une énergie mécanique nulle
car sa vitesse initiale est nulle et le potentiel du filament est nul. On a donc :
On considère le champ uniforme donné par E =
E c f − e Vf = 0 soit E c f = e Vf = 1, 6.10−17 J = 100 eV.
Choisissons le champ électrique uniforme suivant un axe Ox avec O point de départ
Vf −
−
→
→
de l’électron sur le filament : E = − u x . Le signe − est dû au fait que le champ
d
électrique est dans le sens des potentiels décroissants donc de la plaque vers le filament.
L’application du principe fondamentale de la dynamique à l’électron nous donne :
e Vf
−
→ e Vf −
→
ma =
u x soit en projection sur Ox : ẍ =
.
d
md
On intègre deux fois en tenant compte des conditions initiales x (0) = 0 et ẋ (0) = 0 et on
obtient :
r
e Vf t 2
2m d 2
x (t ) =
ainsi la durée pour avoir x = d : t f =
= 3, 35 ns.
2m d
e Ve
Exercice B
−
→
−→
1) Appliquons le principe fondamental de la dynamique à l’électron : m a = −e E 0 u y .
−→
−
→ −e E 0 u y
Le mouvement est uniformément accéléré avec a =
. Projetons sur Oy puis
m
intégrons en tenant compte des conditions initiales y (0) = 0 et ẏ (0) = v 0 sin α :
ÿ =
−e E 0
−e E 0 t
−e E 0 t 2
soit ẏ =
+ v 0 sin α et ainsi y =
+ v 0 t sin α.
m
m
2m
Projetons sur Ox puis intégrons en tenant compte des conditions initiales x (0) = 0 et
ẋ (0) = v 0 cos α :
CO
223
RR
I
G
ÉS
ẍ = 0 soit ẋ = v 0 cos α et ainsi x = v 0 t cos α.
Physique MPSI-PCSI-PTSI
En éliminant le temps on obtient comme dans l’étude de la chute libre l’équation de la
trajectoire qui est une parabole :
y =−
e E 0x 2
2m v 02 cos2 α
+ x tan α.
En x = 0, 05 m, il existe deux positions
r extrêmes de passages en y = +0, 01 m et y = −0, 01
e E 0x 2
associées au passage par
m. Déterminons les vitesses v 0 =
2
2m cos α x tan α − y
ces points à l’aide de l’équation de la trajectoire. On obtient pour le point (0, 05, 0, 01)
v 01 = 3, 23.106 m.s−1 et pour le point (0, 05, −0, 01) v 01 = 3, 17.106 m.s−1 . L’électron ne
touchera aucune des deux plaques si v 02 < v 0 < v 01 .
Ç
e E 0x
2) Pour passer en (0, 05, 0) il faut imposer une vitesse v 0 =
= 3, 20.106
2m cos α sin α
m.s−1 .
Exercice C
−
→
1) Utilisons la méthode 1 du calcul du produit vectoriel. Notons θ1 l’angle entre v 1
−
→
−
→
−
→
et le champ magnétique B et θ2 l’angle entre v 2 et le champ magnétique B . On a
d’après le texte :
−
→
−
→
→
→
−
→ −
−
→ −
k F1 k = k F2 k soit k v 1 kk B k sin θ1 = k v 2 kk B k sin θ2 .
Les vitesses étant de même norme, les angles θ1 et θ2 sont nécessairement égaux et
−
→
−
→ −
→
le champ magnétique B est donc la bissectrice de l’angle compris entre v 1 et v 2 . Le
−
→
champ magnétique B fait donc un angle de 67, 5° avec l’axe Ox .
2) (a) Utilisons la méthode 2 du calcul du produit vectoriel.
€
€
−
→
→
−
→ −
−
→
−
→Š
−
→
−→
−
→Š
F = q v 0 ∧ B = −10e v 0 cos αu x + v 0 sin αu x ∧ B 0 u z = 10e v 0 B 0 cos αu y − sin αu x .
La force fait un angle de 135° par rapport à l’axe Ox et son intensité est de 8.10−14 N.
(b) La force étant suivant Oz le champ magnétique doit être dans le plan xOy . Si on
→
−
→ −
note θ l’angle entre v 0 et B , on a : F = 10e v 0 B 0 sin θ . On obtient sin θ = 0, 25 soit deux
valeurs possibles de θ : 14, 5° ou 165, 5°.
−
→
Si on choisit la première valeur, le champ magnétique B est donc à 30, 5° de l’axe Ox .
Corrigés des exercices
Exercice 1
−
1) La charge des ions est q = −e . La masse d’un ion 35
17 C l est donnée par m 1 =
Par conservation de l’énergie mécanique entre les plaques P et Q, on a :
Ç
1
2e N A U0
m 1 v 12 + q VP = q VQ soit v 1 =
= 23, 5.103 m.s−1 .
2
M1
224
M1
.
NA
Chapitre 12 – Mouvement de particules chargées
−
3
−1
De même pour les ions 37
17 C l on trouve v 2 = 22, 8.10 m.s .
U1 −→
−
→
2) Un ion va être soumis à la somme de la force électrique FE = q
u y et de la force
d
→
−
→ −
−
magnétique FB = q v ∧ B . La mouvement des ions 35
17 C l sera rectiligne uniforme s’il y
a compensation exacte entre l’action des forces électrique et magnétique :
q
U1 −→
U1 −→
U1
−
→ −
→
−→
u y + q v1 B0u x ∧ u z ⇔ q
u y − q v 1 B 0 u y soit B 0 =
= 0, 17 T.
d
d
d v1
3) De même qu’à la question précédente, il faut U2 = B 0 d v 2 = 194 V.
Si on souhaite conserver les réglages de la question mais obtenir une trajectoire
−
rectiligne pour les ions 37
17 C l , il faut modifier UPQ pour changer la vitesse v 2 et l’amener
m 2 v 12
à la valeur de v 1 . On doit imposer U00 =
= 106 V.
2e
Exercice 2
Écrivons l’équilibre des forces subies par la gouttelette dans la première manipulation
(on suppose q positif) :
−
→
qE +
4
−
→
πρr 3 g
3
| {z }
−
poids de la gouttelette
4
−
→
πρa r 3 g
3
| {z }
−
→
= 0.
poussée d’Archimède
On en déduit la charge :
q=
4πr 3 ρ − ρa
.
3E
Il faut donc obtenir le rayon de la gouttelette et c’est l’objet de la deuxième manipulation.
−
→
Écrivons le principe fondamental de la dynamique en absence de champ E :
m
−
→
d v
=
dt
4
−
→
πρr 3 g
3
| {z }
−
poids de la gouttelette
4
−
→
−
→
πρa r 3 g − 6πηr v .
| {z }
3
| {z }
poussée d’Archimède
force de Stockes
−
→
En régime permanent on atteint la vitesse limite v l telle que :
−
→ 4
−
→ 4
−
→
−
→
0 = πρr 3 g − πρa r 3 g − 6πηr v l soit r =
3
3
r
9ηv l
.
2 ρ − ρa g
En reportant dans l’expression de q , on obtient :
r
η3 v l3
225
RR
I
G
ÉS
.
2 ρ − ρa g
CO
18π
q=
E
Physique MPSI-PCSI-PTSI
Exercice 3
Appliquons le principe fondamental de la dynamique à une particule de charge q et
→
−
→
−
→ −
de masse m : m a = q v ∧ B . La trajectoire et un demi cercle de centre C de rayon R.
−
→ −→ −
→
Projetons sur un repère polaire de centre C dans le plan du demi-cercle. (C , u r , u θ , u z
forment un trièdre direct. On a :
v2−
m v0
−
→
→
−
→
m a = −m 0 u r = q v 0 B u r et donc R =
.
R
|q |B
La force magnétique en O est :
−
→
−→
−
→
−
→
F0 = q v 0 u y ∧ B u z = q v 0 B u x ,
les ions positifs vont vers la droite (ce qui est cohérent avec la trajectoire 1 pour l’ion
Li + ), les ions négatifs vers la gauche.
On peut donc conclure sur les charges : +e pour 2 et 3 −e pour 4 et 5. On obtient les
masses en comparant le rayon R 1 de 1 avec le rayon R i de i . Ainsi :
mi = m1
Ri
.
R1
On trouve ainsi : m 2 = m 4 = 1, 5m 1 et m 3 = 3m 1 et enfin m 5 = 2, 5m 1 .
Exercice 4
r
2E c m a x
. Nous savons que le rayon
mp
= 0.5 m et nous avons vu dans l’exercice précédent
Les protons ont en sortie une vitesse v m a x =
de la trajectoire est alors R m a x
m p vm a x
Rm a x =
.
eB
p
2m p E c m a x
On obtient ainsi B =
= 0.29 T.
e rm a x
Les protons doivent être accélérés à chaque demi-tour quand ils passent dans l’espace
entre les « Dees ». À chaque passage la variation d’énergie cinétique est par le théorème
de l’énergie cinétique ∆E c = eU . On a 200 passages donc E c m a x = 200eU et U = 5 kV.
Pour accélérer le proton il faut inverser le sens du champ avec la même pulsation que
eB
la pulsation cyclotron du mouvement soit une fréquence f =
= 4, 4 MHz.
2πm p
Exercice 5
Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la particule dans le référentiel
−
→
→
−
→
−
→ −
galiléen du laboratoire : m a = q E +q v ∧ B . Projetons suivant les axes Ox , Oy et Oz
et on doit donc résoudre le système différentiel 1 :

ẍ = ωc ẏ

E
ÿ = ωc − ωc ẋ .

B
z̈ = 0
226
Chapitre 12 – Mouvement de particules chargées
Une première intégration sur le temps (en tenant compte des conditions initiales (ẋ (0) =
0, ẏ (0) = 0, ż (0) = 0) en (0, 0, 0) nous donne le système 2 :

ẋ = ωc y

Et
ẏ = ωc
− ωc x .

B
ż = 0
La dernière équation du système 2 montre que z = 0 quelque soit t : le mouvement
s’effectue dans le plan xOy . Combinons la première relation du système 2 avec la
deuxième relation du système 1, on obtient une équation en y :
ÿ + ω2c y = ωc
E
E
(1 − cos ωc t )
= 0 qui donne y (t ) =
B
ωc B
On intègre alors :
ẋ = ωc y =
E
Et
E
(1 − cos ωt ) on obtient : x (t ) =
−
cos ωt .
B
B
Bω
Exercice 6
Voici un exemple de solution possible.
Estimons tout d’abord la longueur du parcours effectué par le proton. Le rayon moyen
des cercles est de rm = 9, 25 cm. On peut donc estimer la longueur à l = 20.2πrm = 11, 62
m.
Déterminons la vitesse initiale sur la trajectoire de rayon r1 . Accélérés sous 103 V
les protons
de charge e acquièrent une énergie cinétique de E c 1 = 1 keV. On a donc
r
2E c 1
v1 =
= 4, 38.105 m.s−1 .
mp
Estimons la vitesse sur la trajectoire de rayon r2 . Nous avons vu dans l’exercice 6 que
v1 v2
r2
mv
R=
. On a donc :
=
et ainsi v 2 = v 1 = 4, 15.105 m.s−1 .
qB
r1
r2
r1
On suppose que le frottement est une force constante F et opposée au mouvement.
Son travail sur les 20 tours est résistant et environ égal à W = −l F .
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre l’état initial et l’état final, on
obtient :
1
1
−l F = m p v 22 − m p v 21 soit F = 1, 3.10−18 N.
2
2
Exercice 7
CO
227
RR
I
G
ÉS
1) Appliquons le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel galiléen
du laboratoire en projection sur la direction Ox puis intégrons en tenant compte du fait
que la vitesse, et donc la quantité de mouvement, soit nulle à l’instant initial.
Physique MPSI-PCSI-PTSI
−
→
d p
−
→
= q E 0 u x soit p = q E 0 t ou γm v = q E 0 t .
dt
La présence du terme γ dans l’expression de la quantité de mouvement nous empêche
d’intégrer une seconde fois directement.
2) Nous allons donc passer par l’énergie. On a en utilisant la formule du texte et le
résultat de la question 1 :
E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 = q 2 E 2 c 2 t 2 + m 2 c 4 soit E 2 = q 2 E 2 c 2 t 2 + τ2 .
comme on a p =
Ev
, on obtient avec l’équation de la question 1 :
c2
Ev
qE p 2
ct
=
t + τ2 = q E t soit v = p
d’où v =
2
c
c
t 2 + τ2
Ȃ
m
qEt
Œ
qEt 2
1+
mc
3) Si le champ E tend vers zéro, on peut faire un développement limité de v ; On
obtient ainsi :
‚
Œ
qEt
1 qEt 2
v'
1−
.
m
2 mc
Pour les champs faibles on retrouve bien l’expression classique du mouvement rectiligne
qEt
uniformément accéléré : v '
.
m
228
VUIBERT
MPSI
PCSI
PTSI
PHYSIQUE
MPSI-PCSI-PTSI
MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES
SOMMAIRE
1. Oscillateurs harmoniques – 2. Propagation d’un signal – 3. Optique géométrique
4. Introduction au monde quantique – 5. Circuits dans l’ARQS – 6. Circuits linéaires
du premier ordre – 7. Oscillateurs amortis – 8. Filtrage linéaire – 9. Cinématique du
point – 10. Loi de la quantité de mouvement – 11. Énergétique du point matériel
12. Mouvement de particules chargées – 13. Loi du moment cinétique – 14. Mouvement dans le champ d’une force centrale conservative – 15. Description macroscopique de la matière – 16. Description microscopique de la matière – 17. Premier
principe de la thermodynamique – 18. Second principe de la thermodynamique
19. Machines dithermes – 20. Statique des fluides – 21. Champ magnétique – 22. Forces
de Laplace – 23. Lois de l’induction – 24. Induction de Neumann – 25. Induction de Lorentz.
Les auteurs :
Frédéric Bruneau est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Victor
Grignard à Cherbourg.
Marc Cavelier est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Joliot-Curie à
Rennes.
Yann Lozier est enseignant dans le secondaire, détaché en classes préparatoires scientifiques.
Marc Strubel est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Albert Schweitzer
à Mulhouse.
PHYSIQUE
– des synthèses de cours et méthode pour acquérir les connaissances indispensables
et réviser efficacement,
– de nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner et se mettre en situation
d’épreuve : exercices guidés, exercices d’application et problèmes.
MÉTHODES
EXERCICES
PROBLÈMES
Des ouvrages pour faire la différence :
VUIBERT
MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES
PHYSIQUE
MPSI - PCSI - PTSI
To
prog ut le
ramm
e
➔ Rappels de cours
➔ Conseils de méthode
➔ Exercices guidés
➔ Exercices d’approfondissement
➔ Problèmes de synthèse
➔ Tous les corrigés détaillés
F. Bruneau
M. Cavelier
Y. Lozier
ISBN : 978-2-311-40225-4
www.
Physique MPSI-PCSI-PTSI-9782311402254.indd Toutes les pages
.fr
M. Strubel
24/07/15 11:51