201-DUA-05 — Probabilités et statistique 1. Soit la variable aléatoire
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201-DUA-05 — Probabilités et statistique 1. Soit la variable aléatoire X de densité de probabilité f (x) = 2/15 2/15 · (10 − x) 0 si 4 ≤ x < 7 si 7 ≤ x < 10 ailleurs (a) Tracez le graphe de f (x) et vérifiez que l’aire sous la courbe est bien égale à 1. (b) Trouvez l’espérance et la variance de la variable aléatoire X. (c) Trouvez la fonction de répartition et tracez son graphe. (d) Calculez la probabilité que X prenne une valeur comprise entre 5,5 et 8,5 de deux façons différentes : avec la fonction de densité et avec la fonction de répartition. (e) Calculez Pr(X < 8 | X > 6,3) en utilisant la fonction de répartition. (f) Trouvez la médiane de la distribution. 2. Soit la variable aléatoire T de fonction de répartition F définie par F (t) = 0 1 − (9/t)2 si t < 9 si t ≥ 9 (a) Tracez le graphe de F (t). (b) Vérifiez par un calcul de limite que F (t) tend bien vers 1 quand t → ∞. (c) Vérifiez, à l’aide de la définition, que F est bien continue en t = 9. (d) Trouvez la fonction de densité et tracez son graphe. (e) Vérifiez que l’aire sous la courbe de la densité est bien égale à 1. (f) Trouvez l’espérance de la variable aléatoire. (g) Trouvez la variance de la variable aléatoire, si elle existe. (h) Calculez Pr(T > 16 | T > 11). (i) Trouvez la médiane de la distribution. 3. On prélève huit nombres réels au hasard de l’intervalle [0; 9]. On range ces nombres par ordre croissant. La variable aléatoire T désigne la position du quatrième nombre. (a) Faites une simulation avec Maple pour approximer Pr(6 < T < 7). (b) Faites une simulation avec Excel pour approximer Pr(6 < T < 7). (c) Utilisez Maple pour calculer Pr(6 < T < 7). (d) Avec Maple, trouvez la répartition, la densité et l’espérance de T . 4. Pour chacune des variables aléatoires discrètes, donnez la fonction de probabilité, vérifiez que la somme des probabilités sur le support est bien égale à 1, faites calculer l’espérance et la variance par Maple. (a) La variable binomiale X de paramètres n = 65 et p = 0,20. (b) La variable géométrique X de paramètre p = 0,20. (c) La variable de Pascal X de paramètres r = 6 et p = 0,20. La variable X désigne le nombre d’épreuves quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne r succès. (d) La variable binomiale négative (on dit aussi de Polya) X de paramètres r = 6 et p = 0,20. La variable X désigne le nombre d’échecs obtenus quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne r succès. Hiver 2009 Travail Maple & Excel 2 — 3% 201-DUA-05 — Probabilités et statistique 1. Soit la variable aléatoire X de densité de probabilité f (x) = 101 – 1 – Audrey Bouffard 2/5 1/10 · (5 − x) 0 si 1 ≤ x < 3 si 3 ≤ x < 5 ailleurs (a) Tracez le graphe de f (x) et vérifiez que l’aire sous la courbe est bien égale à 1. (b) Trouvez l’espérance et la variance de la variable aléatoire X. (c) Trouvez la fonction de répartition et tracez son graphe. (d) Calculez la probabilité que X prenne une valeur comprise entre 2 et 4 de deux façons différentes : avec la fonction de densité et avec la fonction de répartition. (e) Calculez Pr(X < 3,5 | X > 2,8) en utilisant la fonction de répartition. (f) Trouvez la médiane de la distribution. 2. Soit la variable aléatoire T de fonction de répartition F définie par F (t) = 0 1 − (1/t)7 si t < 1 si t ≥ 1 (a) Tracez le graphe de F (t). (b) Vérifiez par un calcul de limite que F (t) tend bien vers 1 quand t → ∞. (c) Vérifiez, à l’aide de la définition, que F est bien continue en t = 1. (d) Trouvez la fonction de densité et tracez son graphe. (e) Vérifiez que l’aire sous la courbe de la densité est bien égale à 1. (f) Trouvez l’espérance de la variable aléatoire. (g) Trouvez la variance de la variable aléatoire, si elle existe. (h) Calculez Pr(T > 10 | T > 5). (i) Trouvez la médiane de la distribution. 3. On prélève sept nombres réels au hasard de l’intervalle [0; 9]. On range ces nombres par ordre croissant. La variable aléatoire T désigne la position du deuxième nombre. (a) Faites une simulation avec Maple pour approximer Pr(5 < T < 7). (b) Faites une simulation avec Excel pour approximer Pr(5 < T < 7). (c) Utilisez Maple pour calculer Pr(5 < T < 7). (d) Avec Maple, trouvez la répartition, la densité et l’espérance de T . 4. Pour chacune des variables aléatoires discrètes, donnez la fonction de probabilité, vérifiez que la somme des probabilités sur le support est bien égale à 1, faites calculer l’espérance et la variance par Maple. (a) La variable binomiale X de paramètres n = 77 et p = 0,46. (b) La variable géométrique X de paramètre p = 0,46. (c) La variable de Pascal X de paramètres r = 5 et p = 0,46. La variable X désigne le nombre d’épreuves quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne r succès. (d) La variable binomiale négative (on dit aussi de Polya) X de paramètres r = 5 et p = 0,46. La variable X désigne le nombre d’échecs obtenus quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne r succès. Hiver 2009 Travail Maple & Excel 2 — 3% 201-DUA-05 — Probabilités et statistique 1. Soit la variable aléatoire X de densité de probabilité f (x) = 101 – 2 – Audrey Charest 7/30 3/20 · (9 − x) 0 si 4 ≤ x < 7 si 7 ≤ x < 9 ailleurs (a) Tracez le graphe de f (x) et vérifiez que l’aire sous la courbe est bien égale à 1. (b) Trouvez l’espérance et la variance de la variable aléatoire X. (c) Trouvez la fonction de répartition et tracez son graphe. (d) Calculez la probabilité que X prenne une valeur comprise entre 5,5 et 8 de deux façons différentes : avec la fonction de densité et avec la fonction de répartition. (e) Calculez Pr(X < 7,8 | X > 6,4) en utilisant la fonction de répartition. (f) Trouvez la médiane de la distribution. 2. Soit la variable aléatoire T de fonction de répartition F définie par F (t) = 0 1 − (1/t)5 si t < 1 si t ≥ 1 (a) Tracez le graphe de F (t). (b) Vérifiez par un calcul de limite que F (t) tend bien vers 1 quand t → ∞. (c) Vérifiez, à l’aide de la définition, que F est bien continue en t = 1. (d) Trouvez la fonction de densité et tracez son graphe. (e) Vérifiez que l’aire sous la courbe de la densité est bien égale à 1. (f) Trouvez l’espérance de la variable aléatoire. (g) Trouvez la variance de la variable aléatoire, si elle existe. (h) Calculez Pr(T > 5 | T > 2). (i) Trouvez la médiane de la distribution. 3. On prélève cinq nombres réels au hasard de l’intervalle [0; 9]. On range ces nombres par ordre croissant. La variable aléatoire T désigne la position du premier nombre. (a) Faites une simulation avec Maple pour approximer Pr(5 < T < 7). (b) Faites une simulation avec Excel pour approximer Pr(5 < T < 7). (c) Utilisez Maple pour calculer Pr(5 < T < 7). (d) Avec Maple, trouvez la répartition, la densité et l’espérance de T . 4. Pour chacune des variables aléatoires discrètes, donnez la fonction de probabilité, vérifiez que la somme des probabilités sur le support est bien égale à 1, faites calculer l’espérance et la variance par Maple. (a) La variable binomiale X de paramètres n = 90 et p = 0,79. (b) La variable géométrique X de paramètre p = 0,79. (c) La variable de Pascal X de paramètres r = 5 et p = 0,79. La variable X désigne le nombre d’épreuves quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne r succès. (d) La variable binomiale négative (on dit aussi de Polya) X de paramètres r = 5 et p = 0,79. La variable X désigne le nombre d’échecs obtenus quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne r succès. Hiver 2009 Travail Maple & Excel 2 — 3% 201-DUA-05 — Probabilités et statistique 1. Soit la variable aléatoire X de densité de probabilité f (x) = 101 – 3 – Benoît Dupont 2/15 2/15 · (9 − x) 0 si 3 ≤ x < 6 si 6 ≤ x < 9 ailleurs (a) Tracez le graphe de f (x) et vérifiez que l’aire sous la courbe est bien égale à 1. (b) Trouvez l’espérance et la variance de la variable aléatoire X. (c) Trouvez la fonction de répartition et tracez son graphe. (d) Calculez la probabilité que X prenne une valeur comprise entre 4,5 et 7,5 de deux façons différentes : avec la fonction de densité et avec la fonction de répartition. (e) Calculez Pr(X < 6,2 | X > 5,1) en utilisant la fonction de répartition. (f) Trouvez la médiane de la distribution. 2. Soit la variable aléatoire T de fonction de répartition F définie par F (t) = 0 1 − (9/t)6 si t < 9 si t ≥ 9 (a) Tracez le graphe de F (t). (b) Vérifiez par un calcul de limite que F (t) tend bien vers 1 quand t → ∞. (c) Vérifiez, à l’aide de la définition, que F est bien continue en t = 9. (d) Trouvez la fonction de densité et tracez son graphe. (e) Vérifiez que l’aire sous la courbe de la densité est bien égale à 1. (f) Trouvez l’espérance de la variable aléatoire. (g) Trouvez la variance de la variable aléatoire, si elle existe. (h) Calculez Pr(T > 14 | T > 10). (i) Trouvez la médiane de la distribution. 3. On prélève six nombres réels au hasard de l’intervalle [0; 6]. On range ces nombres par ordre croissant. La variable aléatoire T désigne la position du troisième nombre. (a) Faites une simulation avec Maple pour approximer Pr(2 < T < 4). (b) Faites une simulation avec Excel pour approximer Pr(2 < T < 4). (c) Utilisez Maple pour calculer Pr(2 < T < 4). (d) Avec Maple, trouvez la répartition, la densité et l’espérance de T . 4. Pour chacune des variables aléatoires discrètes, donnez la fonction de probabilité, vérifiez que la somme des probabilités sur le support est bien égale à 1, faites calculer l’espérance et la variance par Maple. (a) La variable binomiale X de paramètres n = 75 et p = 0,56. (b) La variable géométrique X de paramètre p = 0,56. (c) La variable de Pascal X de paramètres r = 6 et p = 0,56. La variable X désigne le nombre d’épreuves quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne r succès. (d) La variable binomiale négative (on dit aussi de Polya) X de paramètres r = 6 et p = 0,56. La variable X désigne le nombre d’échecs obtenus quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne r succès. Hiver 2009 Travail Maple & Excel 2 — 3% 201-DUA-05 — Probabilités et statistique 1. Soit la variable aléatoire X de densité de probabilité f (x) = 101 – 4 – Jeffrey Labranche 7/20 3/5 · (5 − x) 0 si 2 ≤ x < 4 si 4 ≤ x < 5 ailleurs (a) Tracez le graphe de f (x) et vérifiez que l’aire sous la courbe est bien égale à 1. (b) Trouvez l’espérance et la variance de la variable aléatoire X. (c) Trouvez la fonction de répartition et tracez son graphe. (d) Calculez la probabilité que X prenne une valeur comprise entre 3 et 4,5 de deux façons différentes : avec la fonction de densité et avec la fonction de répartition. (e) Calculez Pr(X < 4,8 | X > 3,1) en utilisant la fonction de répartition. (f) Trouvez la médiane de la distribution. 2. Soit la variable aléatoire T de fonction de répartition F définie par F (t) = 0 1 − (6/t)8 si t < 6 si t ≥ 6 (a) Tracez le graphe de F (t). (b) Vérifiez par un calcul de limite que F (t) tend bien vers 1 quand t → ∞. (c) Vérifiez, à l’aide de la définition, que F est bien continue en t = 6. (d) Trouvez la fonction de densité et tracez son graphe. (e) Vérifiez que l’aire sous la courbe de la densité est bien égale à 1. (f) Trouvez l’espérance de la variable aléatoire. (g) Trouvez la variance de la variable aléatoire, si elle existe. (h) Calculez Pr(T > 13 | T > 8). (i) Trouvez la médiane de la distribution. 3. On prélève sept nombres réels au hasard de l’intervalle [0; 6]. On range ces nombres par ordre croissant. La variable aléatoire T désigne la position du troisième nombre. (a) Faites une simulation avec Maple pour approximer Pr(3 < T < 5). (b) Faites une simulation avec Excel pour approximer Pr(3 < T < 5). (c) Utilisez Maple pour calculer Pr(3 < T < 5). (d) Avec Maple, trouvez la répartition, la densité et l’espérance de T . 4. Pour chacune des variables aléatoires discrètes, donnez la fonction de probabilité, vérifiez que la somme des probabilités sur le support est bien égale à 1, faites calculer l’espérance et la variance par Maple. (a) La variable binomiale X de paramètres n = 98 et p = 0,53. (b) La variable géométrique X de paramètre p = 0,53. (c) La variable de Pascal X de paramètres r = 7 et p = 0,53. La variable X désigne le nombre d’épreuves quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne r succès. (d) La variable binomiale négative (on dit aussi de Polya) X de paramètres r = 7 et p = 0,53. La variable X désigne le nombre d’échecs obtenus quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne r succès. Hiver 2009 Travail Maple & Excel 2 — 3% 201-DUA-05 — Probabilités et statistique 1. Soit la variable aléatoire X de densité de probabilité f (x) = 101 – 5 – Julie Marois 1/8 1 · (9 − x) 0 si 4 ≤ x < 8 si 8 ≤ x < 9 ailleurs (a) Tracez le graphe de f (x) et vérifiez que l’aire sous la courbe est bien égale à 1. (b) Trouvez l’espérance et la variance de la variable aléatoire X. (c) Trouvez la fonction de répartition et tracez son graphe. (d) Calculez la probabilité que X prenne une valeur comprise entre 6 et 8,5 de deux façons différentes : avec la fonction de densité et avec la fonction de répartition. (e) Calculez Pr(X < 8,5 | X > 7,9) en utilisant la fonction de répartition. (f) Trouvez la médiane de la distribution. 2. Soit la variable aléatoire T de fonction de répartition F définie par F (t) = 0 1 − (6/t)10 si t < 6 si t ≥ 6 (a) Tracez le graphe de F (t). (b) Vérifiez par un calcul de limite que F (t) tend bien vers 1 quand t → ∞. (c) Vérifiez, à l’aide de la définition, que F est bien continue en t = 6. (d) Trouvez la fonction de densité et tracez son graphe. (e) Vérifiez que l’aire sous la courbe de la densité est bien égale à 1. (f) Trouvez l’espérance de la variable aléatoire. (g) Trouvez la variance de la variable aléatoire, si elle existe. (h) Calculez Pr(T > 11 | T > 9). (i) Trouvez la médiane de la distribution. 3. On prélève six nombres réels au hasard de l’intervalle [0; 6]. On range ces nombres par ordre croissant. La variable aléatoire T désigne la position du cinquième nombre. (a) Faites une simulation avec Maple pour approximer Pr(3 < T < 5). (b) Faites une simulation avec Excel pour approximer Pr(3 < T < 5). (c) Utilisez Maple pour calculer Pr(3 < T < 5). (d) Avec Maple, trouvez la répartition, la densité et l’espérance de T . 4. Pour chacune des variables aléatoires discrètes, donnez la fonction de probabilité, vérifiez que la somme des probabilités sur le support est bien égale à 1, faites calculer l’espérance et la variance par Maple. (a) La variable binomiale X de paramètres n = 67 et p = 0,48. (b) La variable géométrique X de paramètre p = 0,48. (c) La variable de Pascal X de paramètres r = 6 et p = 0,48. La variable X désigne le nombre d’épreuves quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne r succès. (d) La variable binomiale négative (on dit aussi de Polya) X de paramètres r = 6 et p = 0,48. La variable X désigne le nombre d’échecs obtenus quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne r succès. Hiver 2009 Travail Maple & Excel 2 — 3% 201-DUA-05 — Probabilités et statistique 1. Soit la variable aléatoire X de densité de probabilité f (x) = 101 – 6 – Joël Poulin 1/20 8/45 · (11 − x) 0 si 4 ≤ x < 8 si 8 ≤ x < 11 ailleurs (a) Tracez le graphe de f (x) et vérifiez que l’aire sous la courbe est bien égale à 1. (b) Trouvez l’espérance et la variance de la variable aléatoire X. (c) Trouvez la fonction de répartition et tracez son graphe. (d) Calculez la probabilité que X prenne une valeur comprise entre 6 et 9,5 de deux façons différentes : avec la fonction de densité et avec la fonction de répartition. (e) Calculez Pr(X < 8,5 | X > 7,6) en utilisant la fonction de répartition. (f) Trouvez la médiane de la distribution. 2. Soit la variable aléatoire T de fonction de répartition F définie par F (t) = 0 1 − (1/t)4 si t < 1 si t ≥ 1 (a) Tracez le graphe de F (t). (b) Vérifiez par un calcul de limite que F (t) tend bien vers 1 quand t → ∞. (c) Vérifiez, à l’aide de la définition, que F est bien continue en t = 1. (d) Trouvez la fonction de densité et tracez son graphe. (e) Vérifiez que l’aire sous la courbe de la densité est bien égale à 1. (f) Trouvez l’espérance de la variable aléatoire. (g) Trouvez la variance de la variable aléatoire, si elle existe. (h) Calculez Pr(T > 8 | T > 3). (i) Trouvez la médiane de la distribution. 3. On prélève huit nombres réels au hasard de l’intervalle [0; 5]. On range ces nombres par ordre croissant. La variable aléatoire T désigne la position du premier nombre. (a) Faites une simulation avec Maple pour approximer Pr(2 < T < 3). (b) Faites une simulation avec Excel pour approximer Pr(2 < T < 3). (c) Utilisez Maple pour calculer Pr(2 < T < 3). (d) Avec Maple, trouvez la répartition, la densité et l’espérance de T . 4. Pour chacune des variables aléatoires discrètes, donnez la fonction de probabilité, vérifiez que la somme des probabilités sur le support est bien égale à 1, faites calculer l’espérance et la variance par Maple. (a) La variable binomiale X de paramètres n = 78 et p = 0,59. (b) La variable géométrique X de paramètre p = 0,59. (c) La variable de Pascal X de paramètres r = 8 et p = 0,59. La variable X désigne le nombre d’épreuves quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne r succès. (d) La variable binomiale négative (on dit aussi de Polya) X de paramètres r = 8 et p = 0,59. La variable X désigne le nombre d’échecs obtenus quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne r succès. Hiver 2009 Travail Maple & Excel 2 — 3%
