201-DUA-05 — Probabilités et statistique 1. Soit la variable aléatoire

201-DUA-05 — Probabilités et statistique
1. Soit la variable aléatoire Xde densité de probabilité f(x) = 
2/15 si 4 ≤x < 7
2/15 ·(10 −x) si 7 ≤x < 10
0 ailleurs
(a) Tracez le graphe de f(x) et vérifiez que l’aire sous la courbe est bien égale à 1.
(b) Trouvez l’espérance et la variance de la variable aléatoire X.
(c) Trouvez la fonction de répartition et tracez son graphe.
(d) Calculez la probabilité que Xprenne une valeur comprise entre 5,5 et 8,5 de deux façons dif-
férentes : avec la fonction de densité et avec la fonction de répartition.
(e) Calculez Pr(X < 8|X > 6,3) en utilisant la fonction de répartition.
(f) Trouvez la médiane de la distribution.
2. Soit la variable aléatoire Tde fonction de répartition Fdéfinie par F(t) = 0 si t < 9
1−(9/t)2si t≥9
(a) Tracez le graphe de F(t).
(b) Vérifiez par un calcul de limite que F(t) tend bien vers 1 quand t→ ∞.
(c) Vérifiez, à l’aide de la définition, que Fest bien continue en t= 9.
(d) Trouvez la fonction de densité et tracez son graphe.
(e) Vérifiez que l’aire sous la courbe de la densité est bien égale à 1.
(f) Trouvez l’espérance de la variable aléatoire.
(g) Trouvez la variance de la variable aléatoire, si elle existe.
(h) Calculez Pr(T > 16 |T > 11).
(i) Trouvez la médiane de la distribution.
3. On prélève huit nombres réels au hasard de l’intervalle [0; 9]. On range ces nombres par ordre croissant.
La variable aléatoire Tdésigne la position du quatrième nombre.
(a) Faites une simulation avec Maple pour approximer Pr(6 < T < 7).
(b) Faites une simulation avec Excel pour approximer Pr(6 < T < 7).
(c) Utilisez Maple pour calculer Pr(6 < T < 7).
(d) Avec Maple, trouvez la répartition, la densité et l’espérance de T.
4. Pour chacune des variables aléatoires discrètes, donnez la fonction de probabilité, vérifiez que la somme
des probabilités sur le support est bien égale à 1, faites calculer l’espérance et la variance par Maple.
(a) La variable binomiale Xde paramètres n= 65 et p= 0,20.
(b) La variable géométrique Xde paramètre p= 0,20.
(c) La variable de Pascal Xde paramètres r= 6 et p= 0,20. La variable Xdésigne le nombre
d’épreuves quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne rsuccès.
(d) La variable binomiale négative (on dit aussi de Polya)Xde paramètres r= 6 et p= 0,20. La
variable Xdésigne le nombre d’échecs obtenus quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à
ce que l’on obtienne rsuccès.
Hiver 2009 Travail Maple & Excel 2 — 3%

201-DUA-05 — Probabilités et statistique 101 – 1 – Audrey Bouffard
1. Soit la variable aléatoire Xde densité de probabilité f(x) = 
2/5 si 1 ≤x < 3
1/10 ·(5 −x) si 3 ≤x < 5
0 ailleurs
(a) Tracez le graphe de f(x) et vérifiez que l’aire sous la courbe est bien égale à 1.
(b) Trouvez l’espérance et la variance de la variable aléatoire X.
(c) Trouvez la fonction de répartition et tracez son graphe.
(d) Calculez la probabilité que Xprenne une valeur comprise entre 2 et 4 de deux façons différentes :
avec la fonction de densité et avec la fonction de répartition.
(e) Calculez Pr(X < 3,5|X > 2,8) en utilisant la fonction de répartition.
(f) Trouvez la médiane de la distribution.
2. Soit la variable aléatoire Tde fonction de répartition Fdéfinie par F(t) = 0 si t < 1
1−(1/t)7si t≥1
(a) Tracez le graphe de F(t).
(b) Vérifiez par un calcul de limite que F(t) tend bien vers 1 quand t→ ∞.
(c) Vérifiez, à l’aide de la définition, que Fest bien continue en t= 1.
(d) Trouvez la fonction de densité et tracez son graphe.
(e) Vérifiez que l’aire sous la courbe de la densité est bien égale à 1.
(f) Trouvez l’espérance de la variable aléatoire.
(g) Trouvez la variance de la variable aléatoire, si elle existe.
(h) Calculez Pr(T > 10 |T > 5).
(i) Trouvez la médiane de la distribution.
3. On prélève sept nombres réels au hasard de l’intervalle [0; 9]. On range ces nombres par ordre croissant.
La variable aléatoire Tdésigne la position du deuxième nombre.
(a) Faites une simulation avec Maple pour approximer Pr(5 < T < 7).
(b) Faites une simulation avec Excel pour approximer Pr(5 < T < 7).
(c) Utilisez Maple pour calculer Pr(5 < T < 7).
(d) Avec Maple, trouvez la répartition, la densité et l’espérance de T.
4. Pour chacune des variables aléatoires discrètes, donnez la fonction de probabilité, vérifiez que la somme
des probabilités sur le support est bien égale à 1, faites calculer l’espérance et la variance par Maple.
(a) La variable binomiale Xde paramètres n= 77 et p= 0,46.
(b) La variable géométrique Xde paramètre p= 0,46.
(c) La variable de Pascal Xde paramètres r= 5 et p= 0,46. La variable Xdésigne le nombre
d’épreuves quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne rsuccès.
(d) La variable binomiale négative (on dit aussi de Polya)Xde paramètres r= 5 et p= 0,46. La
variable Xdésigne le nombre d’échecs obtenus quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à
ce que l’on obtienne rsuccès.
Hiver 2009 Travail Maple & Excel 2 — 3%

201-DUA-05 — Probabilités et statistique 101 – 2 – Audrey Charest
1. Soit la variable aléatoire Xde densité de probabilité f(x) = 
7/30 si 4 ≤x < 7
3/20 ·(9 −x) si 7 ≤x < 9
0 ailleurs
(a) Tracez le graphe de f(x) et vérifiez que l’aire sous la courbe est bien égale à 1.
(b) Trouvez l’espérance et la variance de la variable aléatoire X.
(c) Trouvez la fonction de répartition et tracez son graphe.
(d) Calculez la probabilité que Xprenne une valeur comprise entre 5,5 et 8 de deux façons différentes :
avec la fonction de densité et avec la fonction de répartition.
(e) Calculez Pr(X < 7,8|X > 6,4) en utilisant la fonction de répartition.
(f) Trouvez la médiane de la distribution.
2. Soit la variable aléatoire Tde fonction de répartition Fdéfinie par F(t) = 0 si t < 1
1−(1/t)5si t≥1
(a) Tracez le graphe de F(t).
(b) Vérifiez par un calcul de limite que F(t) tend bien vers 1 quand t→ ∞.
(c) Vérifiez, à l’aide de la définition, que Fest bien continue en t= 1.
(d) Trouvez la fonction de densité et tracez son graphe.
(e) Vérifiez que l’aire sous la courbe de la densité est bien égale à 1.
(f) Trouvez l’espérance de la variable aléatoire.
(g) Trouvez la variance de la variable aléatoire, si elle existe.
(h) Calculez Pr(T > 5|T > 2).
(i) Trouvez la médiane de la distribution.
3. On prélève cinq nombres réels au hasard de l’intervalle [0; 9]. On range ces nombres par ordre croissant.
La variable aléatoire Tdésigne la position du premier nombre.
(a) Faites une simulation avec Maple pour approximer Pr(5 < T < 7).
(b) Faites une simulation avec Excel pour approximer Pr(5 < T < 7).
(c) Utilisez Maple pour calculer Pr(5 < T < 7).
(d) Avec Maple, trouvez la répartition, la densité et l’espérance de T.
4. Pour chacune des variables aléatoires discrètes, donnez la fonction de probabilité, vérifiez que la somme
des probabilités sur le support est bien égale à 1, faites calculer l’espérance et la variance par Maple.
(a) La variable binomiale Xde paramètres n= 90 et p= 0,79.
(b) La variable géométrique Xde paramètre p= 0,79.
(c) La variable de Pascal Xde paramètres r= 5 et p= 0,79. La variable Xdésigne le nombre
d’épreuves quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne rsuccès.
(d) La variable binomiale négative (on dit aussi de Polya)Xde paramètres r= 5 et p= 0,79. La
variable Xdésigne le nombre d’échecs obtenus quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à
ce que l’on obtienne rsuccès.
Hiver 2009 Travail Maple & Excel 2 — 3%

201-DUA-05 — Probabilités et statistique 101 – 3 – Benoît Dupont
1. Soit la variable aléatoire Xde densité de probabilité f(x) = 
2/15 si 3 ≤x < 6
2/15 ·(9 −x) si 6 ≤x < 9
0 ailleurs
(a) Tracez le graphe de f(x) et vérifiez que l’aire sous la courbe est bien égale à 1.
(b) Trouvez l’espérance et la variance de la variable aléatoire X.
(c) Trouvez la fonction de répartition et tracez son graphe.
(d) Calculez la probabilité que Xprenne une valeur comprise entre 4,5 et 7,5 de deux façons dif-
férentes : avec la fonction de densité et avec la fonction de répartition.
(e) Calculez Pr(X < 6,2|X > 5,1) en utilisant la fonction de répartition.
(f) Trouvez la médiane de la distribution.
2. Soit la variable aléatoire Tde fonction de répartition Fdéfinie par F(t) = 0 si t < 9
1−(9/t)6si t≥9
(a) Tracez le graphe de F(t).
(b) Vérifiez par un calcul de limite que F(t) tend bien vers 1 quand t→ ∞.
(c) Vérifiez, à l’aide de la définition, que Fest bien continue en t= 9.
(d) Trouvez la fonction de densité et tracez son graphe.
(e) Vérifiez que l’aire sous la courbe de la densité est bien égale à 1.
(f) Trouvez l’espérance de la variable aléatoire.
(g) Trouvez la variance de la variable aléatoire, si elle existe.
(h) Calculez Pr(T > 14 |T > 10).
(i) Trouvez la médiane de la distribution.
3. On prélève six nombres réels au hasard de l’intervalle [0; 6]. On range ces nombres par ordre croissant.
La variable aléatoire Tdésigne la position du troisième nombre.
(a) Faites une simulation avec Maple pour approximer Pr(2 < T < 4).
(b) Faites une simulation avec Excel pour approximer Pr(2 < T < 4).
(c) Utilisez Maple pour calculer Pr(2 < T < 4).
(d) Avec Maple, trouvez la répartition, la densité et l’espérance de T.
4. Pour chacune des variables aléatoires discrètes, donnez la fonction de probabilité, vérifiez que la somme
des probabilités sur le support est bien égale à 1, faites calculer l’espérance et la variance par Maple.
(a) La variable binomiale Xde paramètres n= 75 et p= 0,56.
(b) La variable géométrique Xde paramètre p= 0,56.
(c) La variable de Pascal Xde paramètres r= 6 et p= 0,56. La variable Xdésigne le nombre
d’épreuves quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne rsuccès.
(d) La variable binomiale négative (on dit aussi de Polya)Xde paramètres r= 6 et p= 0,56. La
variable Xdésigne le nombre d’échecs obtenus quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à
ce que l’on obtienne rsuccès.
Hiver 2009 Travail Maple & Excel 2 — 3%

201-DUA-05 — Probabilités et statistique 101 – 4 – Jeffrey Labranche
1. Soit la variable aléatoire Xde densité de probabilité f(x) = 
7/20 si 2 ≤x < 4
3/5·(5 −x) si 4 ≤x < 5
0 ailleurs
(a) Tracez le graphe de f(x) et vérifiez que l’aire sous la courbe est bien égale à 1.
(b) Trouvez l’espérance et la variance de la variable aléatoire X.
(c) Trouvez la fonction de répartition et tracez son graphe.
(d) Calculez la probabilité que Xprenne une valeur comprise entre 3 et 4,5 de deux façons différentes :
avec la fonction de densité et avec la fonction de répartition.
(e) Calculez Pr(X < 4,8|X > 3,1) en utilisant la fonction de répartition.
(f) Trouvez la médiane de la distribution.
2. Soit la variable aléatoire Tde fonction de répartition Fdéfinie par F(t) = 0 si t < 6
1−(6/t)8si t≥6
(a) Tracez le graphe de F(t).
(b) Vérifiez par un calcul de limite que F(t) tend bien vers 1 quand t→ ∞.
(c) Vérifiez, à l’aide de la définition, que Fest bien continue en t= 6.
(d) Trouvez la fonction de densité et tracez son graphe.
(e) Vérifiez que l’aire sous la courbe de la densité est bien égale à 1.
(f) Trouvez l’espérance de la variable aléatoire.
(g) Trouvez la variance de la variable aléatoire, si elle existe.
(h) Calculez Pr(T > 13 |T > 8).
(i) Trouvez la médiane de la distribution.
3. On prélève sept nombres réels au hasard de l’intervalle [0; 6]. On range ces nombres par ordre croissant.
La variable aléatoire Tdésigne la position du troisième nombre.
(a) Faites une simulation avec Maple pour approximer Pr(3 < T < 5).
(b) Faites une simulation avec Excel pour approximer Pr(3 < T < 5).
(c) Utilisez Maple pour calculer Pr(3 < T < 5).
(d) Avec Maple, trouvez la répartition, la densité et l’espérance de T.
4. Pour chacune des variables aléatoires discrètes, donnez la fonction de probabilité, vérifiez que la somme
des probabilités sur le support est bien égale à 1, faites calculer l’espérance et la variance par Maple.
(a) La variable binomiale Xde paramètres n= 98 et p= 0,53.
(b) La variable géométrique Xde paramètre p= 0,53.
(c) La variable de Pascal Xde paramètres r= 7 et p= 0,53. La variable Xdésigne le nombre
d’épreuves quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à ce que l’on obtienne rsuccès.
(d) La variable binomiale négative (on dit aussi de Polya)Xde paramètres r= 7 et p= 0,53. La
variable Xdésigne le nombre d’échecs obtenus quand on répète une épreuve de Bernouilli jusqu’à
ce que l’on obtienne rsuccès.
Hiver 2009 Travail Maple & Excel 2 — 3%