MODILISATION SCHRÖDINGER-POISSON DE LA POLARISATION
publicité
République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique ______ UNIVERSITE D'ORAN FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE ______ MEMOIRE Présenté par Mademoiselle BELMILOUD NAWAL Pour obtenir LE D IPLOME DE MAGISTER Spécialité : PHYSIQUE Option : Micro- Opto-E lectronique ______ Intitulé : MODILISATION SCHRÖDINGER-POISSON DE LA POLARISATION PIEZO-ELECTRIQUE & SPONTANEE DANS LES NANOSTRUCTURES DE GaN/AlGaN et GaN/InGaN Soutenu le 11 Juin 2008 M. SEBBANI K.ZITOUNI M. FERHAT A.KADRI N. MOKDAD Professeur, Professeur, Professeur, Professeur, C.C.Docteur, devant le Jury composé de MM. : Université d’Oran, Université d’Oran, U.S.T.M.B.Oran, Université d’Oran, Université d’Oran, Président Rapporteur Examinateur Examinateur Co-encadreur Remerciements _______ L’élaboration de ce travail de thèse de magister a été menée sous la direction de Madame le Professeur K. ZITOUNI au Laboratoire d’Etudes des Matériaux, Optoélectronique et Polymère (LEMOP). Je la remercie vivement pour avoir accepté d’encadrer ce travail ainsi que pour son aide et ses conseils concernant la rédaction de ce manuscrit. J’adresse mes remerciements les plus sincères au Professeur A. KADRI qui a veillé à ce que ce travail se déroule dans de bonnes conditions. Je souhaite également lui témoigner ma reconnaissance pour m’avoir guidé durant ces années et avoir fait naître en moi la passion de la physique. Je souhaite remercier Madame N. MOKDAD, Maître de Conférence de l’Université d’Oran d’avoir accepté de co-encadrer ce travail, malgré son programme très chargé. Je tiens aussi à remercier le professeur M. SEBBANI de l’Université d’Oran d’avoir accepté de présider le jury présent. Mes remerciements vont aussi au Professeur M. FERHAT de l’Université de U.S.T.M.B. Oran qui a accepté d’examiner ce travail. J’aimerai exprimer ma reconnaissance à mes parents, mon frère Mouloud et mes soeurs en particulier Maryeme et Asma d’avoir contribué à l’aboutissement de ce mémoire en m’encourageant et en croyant en moi, et pour leurs aider tout au long des mes études. Je remercie aussi mon oncle Belmiloud Hamou et toute sa famille qui a accepté de m’héberger pendant toutes années. Je lui adresse ma profonde reconnaissance. Je tiens à remercier ma tante et la famille de mon oncle Benkhaira Chiekh. Je remercie mon ami intime Maryeme Benbakhti, pour sa grande humanité. Mes remerciements vont aussi à mes amis et à mes collègues du laboratoire LEMOP en particulier, F.Benharaht, K.Hebali, S.Hammar, F.Mahi, N. Tourabi, M. Ayat, F, Bahi, A. Djalale, F. Djali, A. Djalale, F. Djali, F. Mami, et K. Rakrak, avec qui j’ai partagé mon expérience durant ces trois années. Merci à tous ! Merci également à Z. Belgarna, S. Benourdja, H. Bouchama, H. Bouchikhaoui, K. Lekhel, et N. Sediki, pour leur gentillesse. Un très grand merci à tous mes profs de toutes les années des mes études. A mes parents A mes profs A mon frère A mon paye Algérie BELMILOUD Nawal Magister de Physique option : MICRO-OPTO-ELECTRONIQUEJuin 2008 Intitulé : Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation piézo-électrique et spontanée dans les nano-structures de GaN/AlGaN et de GaN/InGaN Résumé : Dans ce travail, nous étudions la polarisation piézo-électrique et spontanée dans les nanostructures à base de nitrures III-V GaN/AlGaN et GaN/InGaN et ce, en procédant à une modélisation de ses effets par la méthode de Schrödinger-Poisson. L’étude de ces effets de polarisation dans ces hétérostructures à base de nitrures consitute un problème d’actualité d’une importance capitale, car ces effets qui sont très difficiles à traiter théoriquement et présentent un intérêt fondamental et appliqué très important : Ils jouent un rôle très important dans les matériaux massifs à grande largeur de bande interdite & conditionnent non seulement l’ensemble de leurs propriétés physiques, mais également physico-chimiques, lors de la croissance de ces matériaux ; Ils jouent aussi un rôle très important dans les hétérostructures fabriquées sur la base de ces matériaux. Ils conditionnent en particulier les propriétés du gaz bidimensionnel (2DEG) qui apparaît à l’interface des couches actives, dans les puits quantiques. Ils y introduisent un champ de polarisation interne non self consistent. Ils conditionnent de manière décisive les propriétés des composants électroniques (transistors bipolaires HBT et à effet de champs FET) et opto-électroniques (diodes électroluminescentes et Lasers). Le champ de polarisation interne modifie le potentiel vu par les porteurs, leur symétries, leur fonctions d’ondes et provoque un effet Stark bi-dimensionnel dont les effets peuvent être aussi bien bénéfiques que néfastes ; Au chapitre I, nous présentons les différents propriétés physiques, physico-chimiques et structurales des matériaux semiconducturs de nitrures : GaN, AlN, InN, AlGaN, InGaN. Au chapitre II, nous étudions la méthode de modélisation des effets de polarisation basée sur les fonctions d’Airy. Nous l’applications à nos systèmes et en discutons les résultats. Au chapitre III, nous étudions une autre méthode de modélisation des effets de polarisation basée sur les Matrice de transfert. Les résultats obtenus sur nos systèmes sont comparés à ceux de la méthode des fonctions d’Airy et discutés. Au chapitre IV, nous étudions les effets de polarisation en développant une modélisation basée sur la méthode de Schrödinger-Poisson proprement dite. Les résultats obtenus sur nos systèmes sont là aussi discutés et comparés à ceux obtenus par les deux méthodes précédentes. Mots clés : Polarisation piézo-électrique, polarisation spontanée, modélisation, Schrödinger-Poisson, Nanostructures, GaN, AlGaN, InGaN, Puits quantiques, GaN/AlGaN, GaN/InGaN. Post-graduation de Micro-Opto-Electronique, Laboratoire d’Etude des Matériaux, Optoélectronique et Polymères, LEMOP, Département de Physique Faculté des Sciences Université d’Oran Table des matières Modélisation Schrödinger Poisson de la polarisation piézo-électrique et spontanée dans les nanostructures de GaN/AlGaN et de GaN/InGaN Table des matières Introduction .................…………………………………………………………………...1 Chapitre I : Propriétés des matériaux nitrures GaN, AlN, InN, AlGaN et InGaN….4 I.1. Introduction……………………………………………………………………….......5 I.2. Propriétés des matériaux binaires GaN, AlN et InN………………….........................7 I.2.1. Structures cristallines des matériaux binaires…………………………….....8 I.2.2. Structures des bandes des matériaux binaires………………………………10 I.3. Propriétés des matériaux ternaires AlGaN, et InGaN……………………………….. .14 I.4. Polarisation spontanée et piézoélectrique dans les nitrures……………………………17 I.5. Hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN………………………………………...20 I.5.1. Polarisation dans GaN/AlGaN et GaN/InGaN…………………………........21 I.6. Effet du champ électrique interne dans les puits quantiques de GaN/AlGaN et de GaN/InGaN ………………………………………………………………….24 I.7. Effet de la polarisation dans la structure GaN/AlGaN et GaN/InGaN……………....26 I.8. Conclusion……………………………………………………………………...........28 Références…………………………………………………………………………………29 Chapitre II : Approximation des fonctions d’Airy…………………………………...31 II.1. Introduction…………………………………………………………… ……………..3 2 II.2. Approximation de la fonction d’Airy………………………………………………..33 II.21. Propriétés générales des fonctions d’Airy……………………………………..33 II.2. Application des fonctions d’Airy aux hétérostructures de GaN/AlGaN et de GaN/AlGaN……………………………………………………….......37 II.3. Approximation des fonctions d’ondes variationnelles……………………………...41 II.3.1. Calcul de l’énergie cinétique……………………………………...................42 II.3.2. Calcul de l’énergie potentielle……………………………………………….43 II.3.2. Calcul de l’énergie totale…………………………………………………….45 II.4. Conclusion…………………………………………………………………………..47 Références……………………………………………………………………………….48 Chapitre III : Méthode de la matrice de transfert ……………………………………49 III.1. Introduction…………………………………………………………………………50 III.2. Puits quantique triangulaire………………………………………………………..50 III.3. Modèle de calcul………………………………………………………...................54 III.3.1. Puits quantique isolé……………………………………………… …….......57 Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Table des matières III.3.2. Double puits quantiques……………………………………………………..60 III.4. Applications………………………………………………………………………...61 III.4.1. Puits quantique de profondeur infinie… ……………………………….........61 III.4.2. Puits quantique de profondeur finie…………………………………………64 III.5. Applications au puits quantique de GaN/AlGaN……. …………………………….67 III.6. Conclusion………………………………………………………………………….69 Références……………………………………………………………………………….70 Chapitre IV : Modèle de Schrödinger-Poisson………………………………………71 IV.1. Introduction………………………………………………… ……………………….72 IV.2. Gaz bidimensionnel d’électrons à l’interface GaN/AlGaN et GaN/InGaN………..73 IV.3. Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent …………………………………..75 IV.3.1. Equation de Schrödinger…………………………………………………....82 IV.3.1. Equation de Poisson………………………………………………………...85 IV.4 Résultats par le modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent…………………...86 IV.5. Application du modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent au GaN/AlGaN de dopage de type delta………………………………………………………………………93 IV.6. Conclusion…………………………………………………………………………96 Références………………………………………………………………………………..97 Conclusion ……………………………………………………………...........................98 Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Introduction 1 Introduction L’objectif de ce travail est de modéliser la polarisation piézoélectrique et spontanée dans les nanostructures de GaN/AlGaN et de GaN/InGaN. La réalisation des dispositifs optoélectroniques et électroniques à base de nitrures (GaN, AlN et InN) traduit par leurs propriétés particulières, ces semiconductures à grand valeur de gap, très dure, très résistant, très bon conductivité thermique et d’une propriété spécifique de ces matériaux l’existence une polarisation spontanée et piézoélectrique qui crée un champ électrique interne très important [1]. Les hétérostructures de GaN/AlGaN et de GaN/InGaN sont caractérisées par la présence d’une forte polarisation (spontanée et piézoélectrique) à l’interface, a cause de non centrosymétrie de matériau nitrure et de la désaccorde de maille entre GaN et l’alliage AlGaN ou InGaN. La polarisation spontanée est un phénomène existant dans le matériau nitrure a phase würtzite en l’absence de champ ou contrainte externe, dans ce cas les barycentres des charges positives et négatives ne coïncident pas, donc le matériau possède un moment dipolaire permanent. Sous l’action d’une contrainte biaxiale exercée dans le plan, cette contrainte brise la symétrie de matériau, donc les barycentres des charges positives et négatives ne coïncident plus, ce phénomène connu sous le nom de piézoélectricité [2]. Dans les hétérostructures de GaN/AlGaN et de GaN/InGaN, la piézoélectricité est due à la contrainte interne dans le plan, cette contrainte est due à la discontinuité de paramètre de maille entre les deux matériaux puits/barrière [3]. Sous l’effet de champ piézoélectrique dans les puits quantiques GaN/AlGaN et GaN/InGaN on a modification des fonctions d’ondes d’électrons et des trous, donc on a amplification des transitions excitoniques. Le calcul de polarisation dans le cas de GaN intéresse dans des élaborations des dispositifs optoélectroniques qui sont fonctionnés sous l’effet de l’optique non linéaire. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran 2008 Introduction 2 La polarisation dans les nanostuctures GaN/AlGaN et GaN/InGaN traduit par l’amplification de gaz bidimensionnel d’électrons 2DEG à l’interface AlGaN/GaN et InGaN/GaN. La densité des charges d’électrons est en fonction de l’énergie potentielle V (z) , qui est en fonction de la solution de l’équation de Schrödinger, donc reliée à la fonction d’onde électroniquei (r) . Mais la densité de charge liée ài (r ) . Pour résoudre le problème, on étudie l’approximation de Hartree, on constate que les interactions électron-électron très importantes, donc la densité d’électrons dans le puits quantique triangulaire est élevée. La présence de la polarisation dans les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN crée un champ électrique interne intense. Sous l’effet de champ électrique interne les électrons sont confinés au voisinage de l’interface AlGaN/GaN et InGaN/GaN, dans un puits de potentiel triangulaire, donc leurs états d’énergie sont quantifiés, ce champ électrique modifié la distribution des charges de gaz bidimensionnel d’électrons à l’interface, et la nouvelle distribution des charges provoqué un nouvel champ électrique. Question est-ce que le champ provoqué la charge ou la charge provoqué le champ. Pour résoudre le problème, on compare trois méthodes de calcule : la méthode des fonctions d’Airy, la méthode de la matrice de transfert et modèle de Schrödinger Poisson selfconsistent. - Dans le chapitre I, nous étudions les propriétés des matériaux binaires GaN, AlN et InN et des matériaux ternaires AlGaN et InGaN. -Dans le chapitre II, nous expliquons la méthode des fonctions d’Airy et l’approximation des fonctions variationnelles, nous fait le calcul de champ effectif dans les hétérostructures GaN/InGaN. -Dans le chapitre III, nous expliquons la méthode de la matrice de transfert, nous fait le calcul des niveaux d’énergie dans les puits quantiques GaN/AlGaN et GaN/InGaN. - Dans le chapitre IV, nous expliquons le modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent, nous étudions les effets de champ piézoélectrique dans les puits quantiques GaN/AlGaN et GaN/InGaN. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran 2008 Introduction 3 Référence [1] H.Morkoç, R.Gingolani and B.Gil. Solid State Electroncs. 43. 1753 (1999). [2] A. Helman. Puits et boîtes quantiques de GaN/AlN pour les applications en optoélectronique à λ ≈1,55 μm. Thèse. Paris XI Orsay. (2004). [3] N. Vellas. Etudes expérimentales de transistors HFET de la filière nitrure de gallium pour des applications de puissance hyperfréquences. Thèse doctorat. Lille 1(2003). Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran 2008 Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 4 Chapitre I Les matériaux GaN, AlN, InN, AlGaN et InGaN I. Introduction II. Propriétés des matériaux binaires : GaN, AlN et InN II.1. Structure cristalline des matériaux binaires II.2. Structure de bande des matériaux binaires III. Propriétés des matériaux ternaires : AlGaN et InGaN IV. Polarisation spontanée et piézoélectrique dans les nitrures V. Hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN V.1. Polarisation dans les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN VI. Effet du champ électrique interne dans les puits quantiques GaN/AlGaN et GaN/InGaN VII. Effet de la polarisation dans la structure GaN/AlGaN et GaN/InGaN VIII. Conclusion Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 5 I. Introduction Les nitrures GaN, AlN et InN sont des semiconducteurs qui sont à la base dans les composants optoélectroniques. Ces composants sont caractérisés par un régime hyperfréquence > GHz, forts champs électriques, hautes tensions de claquages et bonne tenue thermique [1]. A cause de leurs propriétés, les nitrures sont utilisés pour réaliser des composants électroniques fonctionnant à hautes températures, à hautes puissances et à hautes fréquences [2]. Tableau.1 : Eléments des colonnes III-V de la table de Mendeleïev. Période 2 3 4 5 Colonne III Colonne IV Colonne V B C N Al Si P Ga Ge As In Sn Sb 6 Les nitrures Pb cristallisent sous deux formes, la structure zinc blende (cubique), et la structure würtzite (hexagonale). La gamme spectrale varie du rouge à l’ultraviolet. L’énergie de gap du nitrure varie entre les valeurs suivantes 1.95 eV pour InN à 3.4 eV pour GaN et 6,2 eV pour AlN [3]. En général dans la recherche et l’industrie les composants à base de GaN sont utilisés pour des applications optoélectroniques dans le visible et ultraviolet : diodes électroluminescentes (LEDs), diodes laser [2]. L’application en électronique, notamment de haute puissance et à haute température, tel que les diodes tunnel résonantes, les transistors bipolaires, les Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 6 émetteurs et détecteurs à puits quantiques [4]. Figure.I.1 : Gaps et paramètres de maille des composés à grand gap [2]. Les composants à base de nanostructures d’une dimension d < 100 nm, tels que les transistors à l’effet de champ à base de nanostructures GaN/AlGaN qui sont caractérisés par un régime hyperfréquence > GHz. La croissance des nanostructures à base des nitrures élaboré par épitaxie en phase vapeur par pyrolyse d’organo métalliques (EPVOM), et épitaxie par jet moléculaire (MBE-Moleculaire Beam Epitaxie) [5]. Les hétérostructures à base de GaN présentent des fortes polarisations piézoélectriques et spontanées à l’interface de GaN/AlGaN et de GaN/InGaN, la polarisation est le moment Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 7 dipolaire par unité de volume. La polarisation dans l’optoélectronique utile ou non? La polarisation est néfaste dans les composants qui ont une transition directe car le champ interne dans les hétérostructures nitrures a deux effets négatifs dans les applications optoélectroniques : diminution de la force d’oscillateur et les raies de luminescence sont modifie d’une façon inhomogène [5]. L’intégrale de recouvrement des fonctions d’ondes est diminuée, donc l’amplitude de l’absorption diminue, dans ce cas la polarisation augmente et le gain du matériau diminue. La polarisation est utile dans les composants optoélectroniques qui ont des transitions indirectes car : dans ce cas les transitions optiques sont dues à l’exciton, sous effets non linéaire. Le champ électrique est faible et les énergies de confinement importantes, donc la force de liaison excitonique est forte, on a plus d’absorption donc le gain de matériau augmente. Le but de calcul de polarisation dans GaN est de modifier les l’effets négatifs au sens positive pour l’utilisation des composants fonctionné sous l’effet de l’optique non linéaire. II. Propriétés des matériaux binaires GaN, AlN, InN GaN nitrure de gallium, AlN nitrure d’aluminium et InN nitrure d’indium sont des semiconducteurs III-V aux propriétés particulières [1, 2,3, 23]. - grande valeur de gap : 1.9 eV pour InN à 3.4 eV pour GaN, et 6.2 eV pour AlN ; - fortement polaire (symétrie, anisotropie et non centrosymétrie de la phase würtzite) ; - large gamme spectrale qui est de visible à ultraviolet ; - très résistant ; - très dure, dans le plan la dureté des nitrures binaires à phase würtzite est isotrope ; - coefficient de compression très faible ; - très bonne conductivité thermique. Dans les nitrures sous effet d’une contrainte bi-axiale (ou long de plan, qui est perpendiculaire à l’axe z), les centres de graviter des charges négatives et positives et ne pas la même, donc les nitrures sont des matériaux piézoélectriques. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 8 II.1. Structure cristalline Il y a deux types de structure cristalline des nitrures d’éléments III, la structure würtzite (hexagonale) et la structure zinc blende (cubique). La structure würtzite consiste deux réseaux hexagonaux l’un composé par les atomes de Ga, Al ou In l’autre par les atomes N et décalés suivant l’axe c de 5/8ième. La structure zinc-blende est arrangée par deux réseaux cubiques faces centrées l’un composé par les atomes de la colonne III (Ga, Al, In) l’autre par les atomes de la colonne V (N) et déplacés d’un quart de la diagonale principale de la maille (¼, ¼, ¼) [5]. Figure.I.2 : Structure cristalline de GaN de type würtzite [6]. Figure.I.3 : Structure cristalline de GaN de type zinc blende [7]. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN (a) 9 (b) Figure.I.4 : Zone de Brillouin des nitrures. (a) : Würtzite. (b) : Zinc blende [8]. Tableau.2 : Paramètres de maille des nitrures binaires en phase hexagonale et cubique. Paramètre de réseau a(A°) Phase hexagonale Phase cubique GaN 3.189 (1 ) AlN 3.112(1) InN c(A°) 5.185 (1 ) 4.982(1) 5.703 (1) c/a (cal) 1.6336(2) 1.6190(2) 1.6270(2) a(A°) 4.511 (3 ) 4.38(3) 4.980(3) 3.545 (1) (1) : Vurgaftman, J. R. Meyer. J.Appl.Phy.94, 3675 (2003). (2) : N. Vellas. Etudes expérimentales de transistors HFET de la filière nitrure de gallium pour des applications de puissance hyperfréquences. Thèse doctorat. Lille 1(2003) (3) : M. J. Reed. Light emitting diodes and dilute magnetic semiconducteurs in the III-nitride materials system. Thèse. North Carolina State. (2005). Une propriété spécifique de la structure würtzite de nitrure de gallium est l’existence deux arrangements possibles des atomes de gallium et d’azote suivant les directions de croissance, alors on a une polarité de gallium si la liaison de Ga à N orienté vers la surface suivant c [0001] , et on a une polarité d’azote si la liaison de N à Ga orienté vers la surface suivant c [000 1 ] [9], voir la figure (I.5). Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 10 Figure. I.5 : Polarité Ga et N [9]. PPS Figure. I.6: Polarisation spontanée dans GaN [10]. II.2. Structure de bande Une des propriétés spécifiques des nitrures leurs valeurs de gap, qui prendre 1.9 eV pour InN, 3.4 eV pour GaN et 6.2 eV pour AlN. Dans la phase hexagonale, les semiconducteurs, GaN et InN sont à gap direct, AlN à phase würtzite à gap direct, mais AlN à phase zinc blende à gap indirect. La structure würtzite et zinc- blende à des axes polaires, dans la direction [0001] pour würtzite et la direction [111] pour zinc-blende, la Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 11 gamme spectrale dans ce cas est du rouge à l’ultraviolet [2]. L’énergie de gap de GaN, InN et AlN en fonction de la température est (loi de Varshni) [7]: T E g (T ) E g (0) T I.1 Avec et sont des constantes. GaN hexagonale [5] GaN cubique [7] Figure. I.7 : Structure de bande de GaN. GaN hexagonale GaN cubique Figure. I.8: Les extrêmes de la bande de valence et de la bande de conduction de GaN deviennent au point Γ[7]. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN AlN cubique [7] 12 AlN hexagonale [5] Figure. I.9 : Structure de bande de AlN. InN cubique [7] InN hexagonale [5] Figure. I.10 : Structure de bande de InN. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 13 Tableau.3 : Propriétés physiques des nitrures binaires en phase hexagonale et cubique. Paramètre physique Eg(eV) GaN AlN InN 3.39(1) 6.28(1) 1.95(1) (2) (2) me 0.25 m e 0.11 m te 0.18 (2) m ez 0.33(2 ) met 0.11(2) m *h / m 0 z mhh 1.1 z mhh 3.53 m *h 1.68 r 10.4 z Phase (2) m e 0.2 * e m / m0 hexagonale (3) (4) t (3) 9 .14 1 3.2(5) Eg(eV) z (4) 14.6(4) 4.8(5) mez 0.11 (10) (6) m*e / m0 Phase cubique * h m / m0 (6) 0.15 0.25 mso* mso* mh 0.86(7) mhh 1.47(7) 10.69(9) 8.5(8) 0.29(6 ) * r , me 0.1(10) t 0.47 (6 ) * 8.4(1) Eg est l’énergie de gap. m *e est la masse effective d’électrons. m *h est la masse effective des trous. m *hh est la masse effective des trous lourds. m *so est la masse effective des trous de la bande spin-orbite. r est la constante diélectrique relative. (1) : H.Mathieu, physique des semiconducteurs et des composants électroniques. ed, Dunod, Paris, (2004). (2) : J. Piprek et S. Nakamura. J. IEE Proc-Optoelectron. 149, N°4, (2002). (3) : S. Kalliakos, P. Lefebvre, and T. Taliercio. Physical Review B. 67. 205307 (2003). Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I (4) : (5) Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 14 L. Guo, X. Wang, H. Xiao et B. Wang. Crystal Growth. 298, 522-526 (2007). : S. Fanget. Matériaux et hétérostructures à base de nitrures d’éléments III en phase cubique et hexagonale pour l’optoélectronique. Thèse. Joseph Fourier Grenoble. (2002). (6) : Vurgaftman, I.Meyer, J.R., and Ramm-Mohan. J. Applied Physics. 89, n°11, 8815 (2001). (7) : C.R.Abernathy ; Growth of group III nitrides from molecular beams in GaN and relted materials. ed, S.J.Pearton, (1997). (8) : S.H.Park, S.L.Chuang, J.App.Phys, 87(1), (2000). (9) : P.Perlin, E.Litwin-Staszewska, B.Suchannek, W.Knap, J.Kamassek, T.Suski, R.Piotrzkowski, S.Grzergory, E.Porowski, E.Kaminska and J.C.Chervin, Appl.Phys.Lett. 86 (8) 1114 (1996). (10) : M.M.Y.Leung, A.B.Djurisic, E.H.Li, J. Applied Physics. 84(11) (1998). III. Propriétés des ternaires AlGaN et InGaN Les ternaires AlGaN et InGaN sont des matériaux aux propriétés physiques particulières, ces ternaires sont étudiés pour la réalisation des hétérostructures à base de GaN. L’effet de localisation des porteurs augmente avec la concentration en aluminium et en indium dans l’alliage AlGaN et InGaN respectivement. Les paramètres de maille d’AlGaN et d’InGaN sont approximés par une interpolation linéaire des paramètres de GaN et AlN, de GaN et InN respectivement. C’est la loi de Végard [11]. a Alx Ga 1x N xa AlN (1 x) aGaN I.2 a InxGa 1 x N xa InN (1 x)aGaN I.3 c Alx Ga 1x N xc AlN (1 x )cGaN I.4 c Inx Ga 1x N xc InN (1 x )cGaN Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique I.5 Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 15 Figure. I.11 : Paramètre de maille a(x) de AlGaN et InGaN [12]. Figure. I.12: Paramètre de maille c(x) de AlGaN et InGaN [12]. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 16 Les masses effectives, les coefficients mécaniques et les coefficients de Varshni d’AlxGa1-xN et d'InxGa1 -x N peuvent généralement être donnés par interpolation linéaire des coefficients de GaN, AlN et InN. Par contre, la variation de l’énergie de bande interdite de l’alliage en fonction de la composition est quadratique [7.13] : Eg Al xGa1x NxEg ( AlN) (1 x)Eg (GaN) bx(1 x) eV I.6 Eg Inx Ga1x N xE g (InN ) (1 x )E g (GaN ) bx(1 x ) eV I.7 Avec b est le paramètre de non linéarité, l’énergie de gap de AlGaN varie entre 3.5 à 2.6 eV en fonction de la composition Al, et de InGaN varie entre 1.9 à 3.5 eV en fonction de la composition In. La polarisation spontanée de InGaN et AlGaN, par l’utilisation de la loi de Vegard est donnée par [14, 15] : SP SP PInpsxGa1 x N xPInN (1 x) PGaN PS PS PAlPSxGa1 x N xPAlN (1 x) PGaN Cm 2 I.8 Cm 2 I.9 Figure. I.13 : Polarisation dans InGaN et AlGaN [9]. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 17 IV. Polarisation spontanée et piézoélectrique dans les nitrures Dans des matériaux, un tel atome ou une telle molécule possède un moment dipolaire, on définit le vecteur de polarisation P comme la moyenne volumique de ce moment dipolaire [16]. Figure. I.14 : Polarisation spontanée et piézoélectrique dans les binaires GaN, AlN et InN [2]. Cette polarisation (spontanée et piézoélectrique) crée elle-même un champ électrique interne F. La polarisation spontanée est un phénomène existant dans le matériau nitrure en l’absence de tout contrainte externe, dans ce cas les barycentres des charges positives et négatives ne coïncident pas voir Bernardini et Fiorentini [17-18]. Les matériaux GaN, AlN, InN à phase hexagonale (würtzite), sont caractérisés par : les barycentres des charges positives et négatives ne coïncident plus, donc l’absence de centre de symétrie, à cause de l’anisotropie et non centrosymétrie de la phase würtzite, donc la distribution des charges positives et négatives n’est pas la même autour des différents atomes, cela donne lieu dans le matériau à une polarisation spontanée [18]. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 18 Dans les matériaux nitrures, la déformation induite sous l’action d’une contrainte biaxiale, la contrainte brise la symétrie de matériau, les atomes dont il est constitué sont déformés de telle manière que les barycentres des charges positives et négatives qui les composent ne coïncident plus, ce phénomène connu sous le nom de piézoélectricité [18], apparaît dans les semiconducteurs III-V à phase würtzite et zinc-blende [19]. Les nitrures sont noncentrosymétriques, la piézoélectricité est très importante car la liaison III-N est fortement polarisée [18]. Les nitrures sont caractérisés par des constantes piézoélectriques très grand par apport à des composés III-V et II-VI [19]. Tableau.4 : Polarisation spontanée, constantes élastiques et coefficients piézoélectriques des nitrures binaires. Paramètres physiques 2 P0 [C/m ] C11(Gpa -1 ) C12(Gpa -1 ) C33(Gpa -1 ) Phase hexagonale Phase cubique GaN (1) -0.029 AlN InN (1) -0.081 -0.032(1) e3 3(C/m2) e31(C/m2) 390(2) 145(2) 398(2) 0.73(1) -0.49(1) 396(2) 137(2) 373(2) 1.46(1) -0.60(1) 223(2) 115(2) 224(2) 0.97(1) -0.57(1) [e31 -(C 31/C33) e33 ] -0.68(1) -0.86(1) -0.90(1) A1 A2 A3 A4 A5 A6 -7.21 (3) -0.44 (3) 6.68 (3) -3.46 (3) -3.40 (3) -4.90 (3) -3.86 (3 ) -0.25 (3 ) 3.58 (3 ) -1.32 (3 ) -1.47 (3 ) -1.64 (3 ) -8.21 (3) -0.68 (3) 7.57 (3) -5.23 (3) -5.11 (3) -5.96 (3) C11(Gpa -1 ) C12(Gpa -1 ) 296(4) 154(4) 348(4) 168(4) 184(5) 116(5) e 14(C/m2) -1.110(6) 0.526(6) P0 est la polarisation spontanée. Cij sont les constantes élastiques. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 19 eij sont les coefficients piézoélectriques Ai sont les paramètres de Luttinger. (1) : H.Morkoç, Solid State Electronics. 46. 157-202, (2002). : Vurgaftman et J. R. Meyer. Appl. Phys. 94, 3675, (2003). (3) : M. J. Reed. Light emitting diodes and dilute magnetic semiconducteurs in the III-nitride materials system. Thèse. North Carolina State. (2005). (4) : K.Kim, R.L.Lambrecht et S.Segall, Phys.Rev. B. 53, 16310 (1996). (5) : A.F.Wright. App. Phys. 82 (6), (1997). (6) : S.H.Park et S.L.Chuang. App. Phys, 87 (1), (2000). (2) Les nitrures présentent un effet piézoélectrique quand la contrainte suivant la direction 0001pour la phase würtzite, et suivant la direction 111 pour la phase zinc-blende. Structure GaN hexagonale à l’équilibre Structure GaN cubique à l’équilibre Structure GaN hexagonale sous contrainte bi-axiale Structure GaN cubique sous contrainte bi-axiale Figure.I.15: Polarisation spontanée et piézoélectrique dans GaN a phase hexagonale et cubique [20]. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 20 La polarisation dans les nitrures dépend à la polarité, dans le cas de polarité Ga la liaison de Ga-N pointe suivant la direction 0001 , et dans le cas de polarité N la liaison de N-Ga pointe suivant la direction 000 1[9]. On peut définir le domaine d’inversion de polarité : Figure.I.16: Le domaine d’inversion de polarité [21]. V. Hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN Les hétérostructures à base de GaN sont élaborées par l’épitaxie en phase vapeur par pyrolyse d’organo métalliques (EPVOM), et épitaxie par jet moléculaire (MBE-Moleculaire Beam Epitaxie) [5]. Les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN sont utilisées pour la réalisation des transistors HFET, comme les MODFET, et des composants optoélectroniques de courte longueur d’onde, comme les lasers bleus à puits quantiques [19]. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 21 Les hétérostructures à base de GaN présentent des fortes polarisations piézoélectriques et spontanées à l’interface de GaN/AlGaN et de GaN/InGaN. V.1. Polarisation spontanée et piézoélectrique dans GaN/AlGaN et GaN/InGaN L’existence d’un champ électrique interne dans les hétérostructures à base de GaN est due à l’existence d’une polarisation macroscopique (spontanée et piézoélectrique) entre GaN et les alliages AlGaN et InGaN. Le champ électrique interne est dû à la superposition du champ piézoélectrique et du champ de la polarisation spontanée [22]. Dans les hétérostructures à base de GaN, la déformation induite sous l’action d’une contrainte interne biaxiale, qui existe dans le plan à l’interface. A l’interface GaN/AlGaN et GaN/InGaN la contrainte interne biaxiale existe dans le plan est due à la discontinuité de paramètre de maille a entre les matériaux puits/barrière. La contrainte bi-axiale appliquée dans le plan perpendiculaire à l’axe c[0001] dans le cas des nitrures à phase würtzite, et la contrainte bi-axiale appliquée dans le plan perpendiculaire à l’axe c[111] dans le cas des nitrures à phase zinc-blende. Sous l’effet de cette contrainte le matériau présente un effet piézoélectrique [22]. Pour GaN/AlGaN : le puits GaN et la barrière AlGaN. Pour GaN/InGaN : le puits InGaN et la barrière GaN. La polarisation totale est la somme de la polarisation spontanée et piézoélectrique [14]: PTot Pz piézo PPS I.10 La polarisation piézoélectrique est en fonction de la contrainte [23] : Pi z d ij j I.11 j Avec d ij sont les modules piézoélectriques, j sont les contraintes, i=1, 2, 3,…et j=1…6. Soit [23] : Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN C1333 j j C C 2 12 11 C33 22 I.12 Avec j est la déformation et Cij sont les constantes élastiques. La polarisation piézoélectrique est donne par [23] : Pi z eijj I.13 j Avec eij sont les coefficients piézoélectriques, cette polarisation dépendre de la direction de croissance z, donc la seul composante de polarisation suivant z ne pas nulle [23]. Pendant la croissance des couches de AlGaN sur GaN ou de InGaN sur GaN il y a une contrainte biaxiale due de la discontinuité de paramètre de maille entre GaN et AlGaN ou GaN et InGaN. Dans ce cas les couches sont sous pression soit de tension dans le cas de AlGaN sur GaN où de compression dans le cas de InGaN sur GaN. La contrainte est en fonction de la composition d’alliage Al pour l’hétérostructure GaN/Alx Ga1 -xN et de la composition d’alliage In pour l’hétérostructure GaN/InxGa1-xN, quand varie la composition x d’alliage en modifie la contrainte donc en modifie la piézoélectricité. Dans le cas des nitrures d’éléments III à phase würtzite, le produit tensoriel qui relie la polarisation piézoélectrique et la contrainte s’écrit [14] : xx yy Px 0 0 0 0 e15 0 zz Py 0 0 0 e15 0 0 yz P e e e 0 0 0 z 31 31 33 zx xy Où Pi Avec I.14 , eij et ij sont la polarisation, le coefficient piézoélectrique et la déformation. y z z x x y 0, Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique 2C z z 13 x x , C 33 a a InGaN x x y y GaN , a InGaN et Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 23 a a AlGaN x x y y GaN [14]. a AlGaN Pour une contrainte bi axiale, la seule composante Pzpiézo est non nulle, donc la polarisation piézoélectrique est donnée par [21] : Pz piézo e31 C31 / C33 e 33 I.15 La contrainte dans le plan xy xx yy . Pour GaN/AlGaN, la différence de la polarisation spontanée entre Al xGa1 -x N et GaN soit proportionnelle à x et également par [21]: P spon 0 . 052 x C / m 2 I.16 La polarisation spontanée est négative, or opposite à la direction (0001) de la croissance. Dans le cas de l’hétérostructure AlGaN(sous tension)/GaN(relaxe), la contrainte soit proportionnelle au x. Soit la contrainte est 2(aGaN a AlGaN ) / a AlGaN , dans ce cas l'amplitude de la contrainte réduit à 0,00495x (employant 3.112 A° le paramètre de réseau pour le AlN, et 3.189 A° le paramètre de réseau pour le GaN. Ici x est dans la gamme de 0 – 1 et analysé la fraction de mole d'AlN dans l'alliage). La polarisation piézoélectrique repère à la direction 000 1 , est donnée par [21] : Pzpiézo 2 aGaN a AlGaN e31 C31 / C33 e33 a AlGaN Pz poézo 4.26 x10 2 C / cm 2 I.17 I.18 Pour GaN/InGaN, la situation est donnée la différence correspondante dans la polarisation spontanée entre InxGa1-xN et GaN également par [21] : P spon 0 .003 x C / m 2 I.19 Dans le cas de l’hétérostructure InGaN(sous compression)/GaN(relaxe), 0,195 x, avec 3.533 A° et 3.189 A° les paramètres de réseau pour InN et GaN respectivement. Ici x est dans la gamme de 0 – 1 et analysé la fraction de mole d'InN dans l'alliage, la polarisation Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 24 piézoélectrique repère dans la direction 0001[21-14] : P zpiézo 2 Pz a GaN a InGaN e 31 C 31 / C 33 e 33 a InGaN piézo 0.176 x C / cm 2 I.20 I.21 La polarisation interne dans les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN amplifie le gaz bidimensionnel d’électrons à l’interface. La direction de la polarisation piézoélectrique dépend à la contrainte (tension, compression). Soit le puits quantique est sous tension la polarisation piézoélectrique est négative, et dans le cas d’un puits quantique sous compression la polarisation piézoélectrique est positive [21]. VI. Effet du champ électrique interne dans les puits quantiques GaN/AlGaN et InGaN/GaN Dans le puits quantique GaN/AlGaN et InGaN/GaN la polarisation macroscopique totale (spontanée et piézoélectrique) crée un champ électrique interne, dans le puits sous l’effet du champ électrique on a l’effet Stark quantique confine, qui est un effet Stark bidimensionnel avec un largueur de puits est inférieur à celle Si le champ électrique de rayon de Bohr de l’excitant [19]. est faible ceci donne lieu à un confinement par un potentiel triangulaire, l’énergie de liaison des excitons est augmentée par le confinement quantique, donc l’amplitude de l’absorption augmente. En générale les puits quantiques GaN/AlGaN et GaN/InGaN de type würtzite caractérisés par l’existence sont d’un fort champ électrique interne, qui est traduit par le davantage spécifique dans l’optique nonlinéaire [24]. Le vecteur de déplacement électrique D donne par [7] : D p 0 F p P p b 0 F b P b I.22 Avec : les constantes diélectriques dans le puits p et dans la barrière b . Le champ électrique dans le puits F p et dans la barrière Fb . Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 25 La polarisation totale est proportionnelle au champ électrique, donc la discontinuité du champ électrique à l’interface (barrière-puits) est définie par [7] : F F b F p P p Pb P I.23 Le champ électrique dans le puits et dans la barrière [7]. Lb P p Pb F p 0 ( b L p p Lb ) I.24 Lp Pb Pp Fb 0 (b L p p L b ) I.25 Ce champ électrique modifie les états électroniques dans le puits quantique. Il y a un champ électrique piézoélectrique dû à la polarisation piézoélectrique, et un champ spontané dû à la polarisation spontanée dans les nitrures. Le champ piézoélectrique défini par [11] : FPz,z 2C132 x x 2d31 C C 12 11 C 33 0 r V /m I.26 - Puits quantique GaN/AlGaN La polarisation dans le puits quantique GaN/AlGaN crée un champ électrique interne, sous l’effet de champ électrique interne les électrons et les trous sont confinés (l’effet Stark quantique confine), ce champ est de l’ordre de MV/cm. La liaison excitonique est très importante dans le puits quantique GaN/AlGaN [24]. Figure.I.17 : Polarisation dans le puits quantique GaN/AlGaN [24]. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 26 -Puits quantique GaN/InGaN Pour le puits quantique InGaN/GaN, l’apparition d’une transition excitonique (paire électron-trou) dans ce puits causé par la présence d’une forte polarisation piézoélectrique et spontanée. Le champ électrique interne dans le puits quantique GaN/InGaN donne lieu un confinement d’électrons et des trous (effet Stark quantique confine), ce champ est de l’ordre de MV/cm [13-25]. Figure.I.18 : Polarisation dans le puits quantique GaN/InGaN [10]. Dans les nanostructures GaN/AlGaN la polarisation spontanée est importante, ceci est dû à la large différence dans la polarisation spontanée entre GaN et AlN. Dans les nanostructures GaN/InGaN la polarisation piézoélectrique est importante, puisque la différence de la polarisation spontanée entre GaN et InN est petite, tandis que la différence de paramètre de maille est large, donc une petite contrainte appliqué gène la piézoélectricité, qui traduit par la large coefficients piézoélectriques des nitrures. VII. Effet de la polarisation dans la structure N-MODFET est un transistor à effet champ avec modulation de dopage, la technique de modulation de dopage consiste à crée un gaz bidimensionnel de porteurs (électrons ou trous) dans un puits quantique triangulaire. La structure de bande de conduction de N-MODFET définit comme (figure I.19 et I.20), cette figure illustre l’accumulation d’électrons dans GaN/AlGaN traduit par la formation d’un gaz bidimensionnel d’électrons, causé par la présence d’une polarisation spontanée et piézoélectrique [21]. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 27 (b) (a) Figure.I.19 : (a) formation d’un gaz bidimensionnel d’électrons. (b) formation d’un gaz bidimensionnel des trous dans GaN/AlGaN MODFET [21]. 0001 Polarité Ga (b) (a) Figure.I.20: (a) formation d’un gaz bidimensionnel d’électrons dans HEMT à base de InGaN [26]. (b) formation d’un gaz bidimensionnel d’électrons dans MODFET à base de InGaN [21]. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 28 VIII. Conclusion A cause de leurs propriétés les nitrures d’éléments III (GaN, AlN et InN) sont très largement utilisés dans les applications optoélectroniques, tel que les transistors à effet de champ : comme le MODFET… Dans ce chapitre on a étudié les propriétés structurale, les propriétés cristalline, la polarisation macroscopique (spontanée et piézoélectrique), et les hétérostructures à base de GaN. Une des propriétés spécifiques des nitrures la présence d’une polarisation spontanée et piézoélectrique a cause de non centrosymétrie et l’anisotrope de la phase würtzite, et de la désaccorde de maille. Le champ électrique interne dans GaN/AlGaN et GaN/InGaN modifie la distribution des charges de gaz bidimensionnel d’électrons à l’interface, et pour déterminer la distribution des charges de gaz bidimensionnel d’électrons on doit résoudre l’équation de SchrödingerPoisson. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 29 Références [1] C. Charbonniaud. Caractérisation et modélisation électronique non linéaire de transistors à effet de champ GaN pour l’amplification de puissance micro-onde. Thèse doctorat. Limoges. (2005). [2] M. Kocan. AlGaN/GaN MBE 2DEG Heterostructures : Interplay between SurfaceInterface and Device-Properties. Thèse. Technishen Hochschule Aachen. (2003). [3] R. M. Chu, Y. D. Zheng, Y. G. Zhou, S. L. Gu, B. Shen, R. Zhang. Optical Materials. 23. 207-210 (2003). [4] : Y. Cordier. Epitaxie et transport vertical dans les hétérostructures GaN/AlGaN. CNRS-CRHEA. (2007). [5] F. Enjalbert. Etude des hétérostructures semiconductrices III-nitrures et application au laser UV pompé par un cathode à micropointes. Thèse doctorat. Joseph Fourier-Grenoble1 (2004). [6] J. D Simon. Transport and electrostatics of polarisation-induced and p-type carriers in III-V nitrures possibility of a novel HBT. Thèse. Notre Dame. (2005). [7] S. Fanget. Matériaux et hétérostructures à base de nitrures d’éléments III en phase cubique et hexagonale pour l’optoélectronique. Thèse. Joseph Fourier Grenoble. (2002). [8] A. Philippe. Caractérisation électrique et optique du nitrure de gallium hexagonal et cubique en vue de l’obtention d’émetteurs bleus. Thèse doctorat. INSA de Lyon. (1999). [9] M. Stutzmann, O. Ambacher, M. Eickhoff, U. Karrer, A. Lima Pimenta, R. Neuberger, J. Schalwig, R. Dimitrov, P. J. Schuck and R. D. Grober. Phys. Stat. Sol. (b) 228, N°2, 505-512 (2001). [10] S. Li, Growth and characterization of cubique InGaN and InGaN/GaN quantun wells. Thèse. Paderborn. (2005). [11] P. Barletta. Study of GaN-based materials for light-emitting applications. Thèse, North Carolina State (2006). [12] O. Ambacher, J. Majewski, C. Miskys, A. Link, M. Hermann, M. Eickhoff, M. Stutzmann, F. Bernardini, V. Fiorentini, V. Tilak, B. Schaff et L. F. Eastman. Physics Condensed Matter. 14. 3399-3434 (2002). Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre I Les propriétés des matériaux GaN, AlN et InN 30 [13] O. Mayrock, H-J. Wünsche, and F. Henneberger. Physical Review B. 24. 16870-16880 (2000). [14] L. Guo, X. Wang, H. Xiao, B. Wang. Crystal Growth. 298, 522-526 (2007). [15] K. S. Lee, D. H. Yoon, S. B. Bae, M. R. Park, and G. H. Kim. J. ETRI, 24, N° 4 (2002). [16] C. Kittel. Introduction à la physique de l’état solide. Ch 13.P449. ed, Dunod, Paris (1972). [17] F. Bernadini, V. Fiorentini, Physical Review B. 64. 85207 (2001). [18] A. Helman. Puits et boîtes quantiques de GaN/AlN pour les applications en optoélectronique à λ ≈1,55 μm. Thèse. Paris XI Orsay. (2004). [19] H. Mathieu. Physique des semiconducteurs et des composants électroniques. ed. Dunod, Paris (2004). [20] H.Morkoç, Solid State Electronics. 46. 157-202, (2002). [21] H.Morkoç, R.Gingolani and B.Gil. Solid State Electroncs. 43. 1753 (1999). [22] S. Anceau. Etude des propriétés physiques des puits quantiques d’alliages quaternaires (Al, Ga, In)N pour la conception d’émetteurs ultraviolets. Thèse doctorat. Montpellier II. (2004). [23] N. Vellas. Etudes expérimentales de transistors HFET de la filière nitrure de gallium pour des applications de puissance hyperfréquences. Thèse doctorat. Lille 1(2003). [24] S. Kalliakos, P. Lefebvre, and T. Taliercio. Physical Review B. 67. 205307 (2003). [25] L. Zhang, Y. M. Chi, J. J. Shi. Physics Letters A. 366. 256-261 (2007). [26] J. Kuzmik. Semiconductor Science and Technology. 17. 540-544 (2002). Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy Chapitre II L’approximation des fonctions d’ondes d’Airy I. Introduction II. Approximation des fonctions d’ondes d’Airy II.1. Propriétés générales des fonctions d’ondes d’Airy II.2. Applications des fonctions d’ondes d’Airy aux hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN III. Approximation des fonctions d’onde variationnelle (fonctions d’essai) III.1. Calcul de l’énergie cinétique III.2. Calcul de l’énergie potentielle III.3. Calcul de l’énergie totale IV. Conclusion Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran 31 Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy 32 I. Introduction Les nanostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN sont utilisées pour la réalisation des transistors FET, comme le MODFET, HFET qui sont caractérisés par une grande mobilité de gaz bidimensionnel d’électrons. Le champ électrique interne dans les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN est très intense et a une valeur de l’ordre du MV/cm [1]. Dans le cas des hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN le changement de polarisation spontanée et de polarisation piézoélectrique amplifie le gaz bidimensionnel d’électrons 2DEG à l’interface, les électrons libres sont confinés au voisinage de l’interface GaN/AlGaN et GaN/InGaN dans un puits de potentiel triangulaire, donc leurs états d’énergie sont quantifiés [2]. La densité des charges de ces porteurs est en fonction de l’énergie potentielle V (z) , qui est reliée à la solution de l’équation de Schrödingeri (r) , et donc après la résolution de cette équation on trouve les fonctions d’ondes et les énergies. Mais la densité des charges est liée à i (r ) après la résolution de l’équation de Poisson ; donc la détermination de la densité de gaz bidimensionnel d’électrons est liée à la résolution de l’équation de Schrödinger et l’équation de Poisson. Pour simplifier le problème, on utilise l’approximation de Hartree. Le calcul des énergies et des fonctions d’ondes des états dans les hétérostructures de GaN/AlGaN et GaN/InGaN, exige l’utilisation des approximations : fonction d’onde variationnelle et fonction d’Airy. Equation de Schrödinger : H ( z) E ( z) II.1 Le confinement de porteurs est dans un puits de potentiel triangulaire, pour résoudre l’équation de Schrödinger on utilise : - approches analytiques (fonction variationnelle) - approches numériques (fonction d’Airy) Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy 33 II. Approximation des fonctions d’Airy II.1. Propriétés générales des fonctions d’Airy Le calcul auto-cohérent exige des fonctions d’ondes sous forme numérique, car dans l’approximation du potentiel triangulaire, on a recours aux fonctions d’Airy. Mathématiquement la fonction d’Airy Ai (z) est la solution de l’équation de la forme suivante [3] : d 2 Ai ( z) zAi ( z) 0 dz 2 II.2 Figure.II.1 : La fonction d’Airy [3]. D’après l’approximation de la masse effective la fonction d’onde dans le puits quantique triangulaire est définie comme étant le produit d’une fonction enveloppe par une fonction de Bloch [4]: i (r ) f i (r )( r) Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran II.3 Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy 34 Avec (r ) est la fonction de Bloch, dans le cas des hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN les électrons sont confinés dans un puits quantique triangulaire suivant la direction z. Les fonctions enveloppes s’écrire sous la forme f i ( r ) i ( z ) e i k ( x , y ). r [4]. L’équation de Schrödinger [4]: 2 2i ( z) * V ( z)i ( z ) Ei ( z) 2m z 2 II.4 La fonction (z) satisfaire les conditions aux limites suivantes : ( z 0) 0 ( z ) 0 II.5 L’énergie potentielle [5] : V ( z) eF z II.6 D’après l’approximation du potentiel triangulaireV ( z) Vdep ( z) Vinv ( z) , la solution de l’équation de Poisson est de la forme [6] : e 2 N dep z e2 ' 2 ' ' V (z ) z N i z ( z z )i ( z )dz s s i 0 II.7 Dans un puits quantique triangulaire des nitrures les énergies et les fonctions d’ondes sont très perturbées par le champ électrique interne. L’équation de Schrödinger devient [4]: d 2 i ( z) 2m * 2 ezF Ei i ( z) 0 dz 2 II.8 D’après le calcul les fonctions d’Airy prendre la forme suivant [4] : 1/ 3 2m* eF Ei i ( z) Ai z 2 eF II.9 Les niveaux d’énergie [5]: 1/ 3 2 3eF Ei 2m* 2 (i 3 / 4) 2 /3 II.10 Avec i 0, 1, 2, ... et F champ électrique, après l’approximation du puits triangulaire le potentiel est linéaire, donc le champ F prendre la valeur de champ effectif Feff [5]. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy e N dep fn Feff ( n) 35 II.11 Où N dep est la densité des donneurs ou des accepteurs ionisés, n est la densité d’électrons et est la constante diélectrique de matériau puits. La valeur f 0.5 quand n N dep , f 1 quand n N dep [5]. Schrödinger-Poisson Fonction d’Airy Figure.II.2 : Calcul de champ effectif par l’utilisation deux modèles. Schrödinger-Poisson qui donne le champ de chaque sous-bande, fonction d’Airy qui donne le champ à la surface et le champ globale [5]. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy 36 Figure.II.3 : Potentiel de déplétion étudie par le modèle de SchrödingerPoisson. Potentiel linéaire étudie par le modèle des fonctions d’Airy [5]. Les fonctions d’Airy s’annulent au voisinage de l’interface, les fonctions d’ondes correspondent aux trois premiers niveaux de la bande de conduction (voir la figure II.4). Figure.II.4 : Les fonctions d’ondes des trois premiers niveaux de la bande de conduction [6]. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy 37 II.2. Application des fonctions d’Airy aux hétérostructures de GaN/AlGaN et GaN/InGaN Dans les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN la présence de champ électrique est due à la présence de la polarisation spontanée et piézoélectrique, dans ce cas les électrons sont confinés dans un puits quantique triangulaire à l’interface GaN/AlGaN et GaN/InGaN. La polarisation totale Ptot Ppz Pps , avec Pps est la polarisation spontanée causée par la non centrosymétrie de la phase würtzite de nitrure, et Ppz est la polarisation piézoélectrique due de l’absence de symétrie de matériau nitrure sous l’application d’un contrainte biaxial, soit de tension dans le cas de la couche de AlGaN sur la couche de GaN, ou de compression dans le cas de la couche de InGaN sur la couche de GaN. Le vecteur de déplacement électrique D donné par : D 0 F P II.12 Le champ électrique F dans le puits quantique triangulaire prend la valeur de champ électrique effectif Feff . D’après l’équation de Schrödinger (II.8), le champ électrique effectif et la densité e N dep fn . d’électrons défini par Feff (n ) Considérons en f 0 le champ Feff pendre la valeur de champ dans la zone de déplétion, en f 0.5 le champ Feff prendre une valeur moyenne dans la couche d’inversion, et en f 1 le champ Feff prendre la valeur de champ à l’interface, ce champ est en fonction de la densité de 2DEG n(z) qui varie entre 1012 1013 cm 2 et de la densité de déplétion N dep . Dans les figures suivantes nous représentons les valeurs calculées par la méthode d’Airy du champ effectif: la variation de l’énergie de trois premiers niveaux, la variation de l’énergie en fonction de la densité d’électrons pour f=1, f=1/2 et f=0 dans GaN/InGaN. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy Figure.II.5 : La variation de champ effectif en fonction de la densité d’électrons pour f=1, f=1/2 et f=0 dans GaN/InGaN. Figure.II.6 : La variation de l’énergie de trois premiers niveaux en fonction de la densité d’électrons pour f=1 dans GaN/InGaN. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran 38 Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy 39 Figure.II.7 : La variation de l’énergie en fonction de la densité d’électrons pour f=1, f=1/2 et f=0 dans GaN/InGaN. D’après ces résultats la variation de champ effectif en fonction de la densité d’électrons est une variation linéaire, figure II.5, la variation de l’énergie des trois premiers niveaux en fonction de la densité d’électrons est une variation linéaire, figure II.6. La variation de l’énergie de premier niveau en i=0 en fonction de la densité d’électrons pour différentes valeurs de champ effectif est une variation linéaire, figure II.7. Les nitrures sont caractérisés par l’existence d’une forte polarisation interne spontanée et piézoélectrique, la relation qui donne la polarisation en fonction de champ électrique interne [7]: P FP II.13 Cette polarisation induite à l’interface GaN/Al xGa1-xN et GaN/In xGa1-x N est en fonction de la composition des alliages x. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy Figure. II.8 : La variation de la polarisation spontanée et piézoélectrique en fonction de la composition de Al dans GaN/AlGaN [8]. Figure. II.9: La variation de la polarisation spontanée et piézoélectrique en fonction de la composition de In dans GaN/InGaN [8]. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran 40 Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy 41 Les Figures (II-8) et (II-9) illustrent la variation de la polarisation spontanée et piézoélectrique en fonction de la composition de Al et In dans GaN/AlGaN et GaN/InGaN respectivement. Comme on peut le voir dans l’hétérostructure GaN/AlGaN la polarisation spontanée est très importante, mais l’hétérostructure GaN/InGaN caractérisé par la présence d’une forte polarisation piézoélectrique, dans ce cas une petite variation de la contrainte modifié la piézoélectricités. III. Approximation des fonctions d’ondes variationnelles L’approximation de fonction d’onde variationnelle permet d’exprimer les fonctions d’ondes sous forme analytique. La fonction variationnelle est souvent utilisée pour décrire le confinement des porteurs suivant z dans un puits quantique triangulaire, parce que cette fonction donne de bonnes valeurs des niveaux d’énergie et est facile à introduire dans les calculs, spécialement analytique. La forme de la fonction d’essai est [6]: 1/ 2 b 3 b z / 2 0 ( z) 2 ze II.14 On choisir des fonctions d’essai sous la forme (II.14) par ce que elle donne des résultats rapprochés aux autres résultats étudie par d’autre méthode de calcul. La résolution de l’équation de Schrödinger donne l’énergie total de la première sousbande de puits quantique triangulaire: E0 T Vd Vi II.15 Où T est l’énergie cinétique, V d est l’énergie potentielle des charges de la zone de déplétion, V i est l’énergie potentielle des charges de la zone d’inversion. Dans le cas des hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN le confinement d’électrons est dans un puits quantique triangulaire voir les figures (II.10 et II.11). . Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy 42 . Figure.II.10 : Diagramme de bande de conduction de l’hétérojonction GaN/AlGaN [9]. FigureII.11 : Diagramme de bande de conduction de l’hétérojonction GaN/InGaN [10]. III.1. Calcul de l’énergie cinétique Le champ électrique interne dans GaN/AlGaN et GaN/InGaN modifie les états d’énergie, ce champ donne lieu à un confinement d’électrons par un potentiel triangulaire, donc on a amplification du gaz bidimensionnel d’électrons à l’interface [11]. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy 43 L’équation de Schrödinger : T V (r) E(r) Pour calculer l’énergie II.16 totale E T V , il faut d’abord calculer les termes de l’Hamiltonien (l’énergie cinétique T et de l’énergie potentielle V ). Pour GaN/AlGaN, le puits GaN à une bande interdite inférieure à celle de la barrière AlGaN, dans ce cas on a génération d’un gaz bidimensionnel d’électrons. Pour GaN/InGaN, le puits est InGaN et la barrière GaN, dans ce cas on a génération d’un gaz bidimensionnel d’électrons. Les électrons proviennent de la surface à l’interface AlGaN/GaN ou InGaN/GaN, on prend la surface comme l’origine des énergies, et on fait l’intégrale. L’énergie cinétique à une valeur propre [6]: T 0 ( z ) 2 d 2 0 ( z ) 2 m * dz 2 II.17 D’après le calcul la valeur propre de l’énergie cinétique devient [6]: T 2 b 2 8m * II.18 III.2. Calcul de l’énergie potentielle Dans les nanostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN à cause de la polarisation les porteurs libres sont confinés dans un puits de potentiel triangulaire, au voisinage de l’interface, on a génération d’un gaz bidimensionnel d’électrons (2DEG), pour calculer l’énergie potentielle de ces porteurs libres on fait l’approximation de fonction variationnelle. On constate que le champ électrique interne modifie la charge d’espace, qui est en fonction de l’énergie potentielle, donc liée à la fonction d’onde de l’équation de Schrödinger. La fonction variationnelle est généralement utilisée pour déterminer les énergies de confinement des porteurs suivant z dans un puits quantique triangulaire [12]. Pour GaN/AlGaN soit les électrons sont accumulés dans un puits quantique triangulaire (2DEG), où les trous sont accumulés dans un puits quantique triangulaire (2DHG). Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy 44 Pour GaN/InGaN soit les électrons sont accumulés dans un puits quantique triangulaire (2DEG), où les trous sont accumulés dans un puits quantique triangulaire (2DHG). Au niveau d’interface sous l’effet de champ électrique interne on a amplification de gaz bidimensionnel d’électrons, puis le 2DEG résulte de la discontinuité des bandes, de la différence de la polarisation spontanée entre GaN et AlGaN ou InGaN, et de la polarisation piézoélectrique entre GaN et AlGaN ou InGaN [13]. La charge d’espace s’écrite: em* 2 ( z ) 2 kT Ln 1 e EF Ei / kT i ( z ) i II.19 Dans les nanostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN, on a des charges mobiles qui sont soumises à une énergie potentielle V (z) . L’équation de Poisson [14] : d 2 ( z ) 2 dz II.20 L’énergie potentielle associé à la grande densité d’électrons dans la couche d’inversion si le semiconducteur est de type p, ou d’accumulation si le semiconducteur est de type n [6]: z ' e ' 2 ' Vi ( z) ni z (z z)i (z ) dz i 0 II.21 L’énergie potentielle de la couche de déplétion [6] : e 2 N dep Vd ( z ) z 1 2z dep II.22 Dans l’approximation de fonction variationnelle, on calculer la valeur propre de l’énergie potentielle, qui a donnée par [6]: V 0 ( z) V ( z) 0 ( z) II.23 Au niveau de l’interface, on écrit la valeur propre de l’énergie potentielle de la couche d’inversion sous la forme [6]: z ' 2 b3 e 3 z ( z z ) i ( z ' ) dz ' z 2 e bz dz Vi n i 2 0 i 0 II.24 Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy 45 Ce qui donne 33 e 2 n Vi 16 b II.25 La valeur propre de l’énergie potentielle de la couche de déplétion est donnée par [12] : 2 b 3 e N dep z Vdep z 1 2 0 2z dep 2 bz z e dz II.26 Soit : Vdep 3 e 2 N dep b II.27 Figure. II. 12. L’énergie potentielle et les fonctions d’onde dans un puits quantique triangulaire [15]. III.3. Calcul de l’énergie totale Dans la première sous bande l’énergie totale est donnée par [6]: 1 E T Vdep V i 2 II.28 Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy 46 2 2 b 2 3e N dep 1 2e 2 n E * 8m b 2 b II.29 2 b 2 3 e 2 E * N n / 3 8m b dep II.30 Après la dérivation de cette énergie on a : dE 2 b 3 e 2 * 2 N dep n / 3 db 4m b Pour calculer la valeur de b , on prend II.31 dE 0 [6]. db 2 b 3e 2 N dep n / 3 4 m* b 2 II.32 1/3 12 e 2 m * N dep n / 3 b 2 II.33 Dans le domaine expérimental, le calcul de la valeur de b demande des valeurs de la densité de charges de déplétion et de densité d’électrons. On détermine la valeur de b pour différents densité de 2DEG qui varie entre 1012 1013 cm 2 et avec une densité de déplétion N dep . D’après le calcul de b on peut déterminé la variation de la fonction d’onde d’essai pour différents valeur de b , l’énergie potentielle de déplétion et l’énergie potentielle d’inversion. En déduit l’énergie du bas de la première sous-bande de conduction [6]: 1/ 3 2 /3 2 2 3e2 (Ndep 2n / 3) 12m* e2 E0 ( N n / 3 ) dep 2 8me 12 m e ( N n / 3 ) e dep II.34 2/ 3 n << N dep e 2 E 0 2 N dep 1 / 2 * m II.35 Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy 47 2 /3 n >> N dep e 2 E 0 2 *1 / 2 n m II.36 IV. Conclusion Dans ce chapitre, nous avons présenté le modèle de la fonction d’Airy pour déterminer les fonctions d’ondes, les niveaux d’énergie et la distribution de gaz bidimensionnel d’électron, le 2DEG confiné dans un puits quantique triangulaire sous l’effet de polarisation dans les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN. La densité de 2DEG est modifiée par la polarisation spontanée et piézoélectrique donc par le champ électrique interne. L’application du modèle de la fonction d’Airy donne la relation entre le champ électrique et la densité de 2DEG. La fonction d’Airy s’annule au niveau d’interface, la possibilité de simplifier le problème exige l’utilisation l’approximation des fonctions d’ondes variationnelles. La méthode de la fonction d’Airy n’est pas valable pour le puits quantique triangulaire étroit, donc quand le champ électrique interne très fort. Dans ce chapitre on a étudié la variation de champ effectif en fonction de la densité d’électrons, l’énergie de premier niveau en i=0 en fonction de la densité d’électrons pour différentes valeurs de champ effectif et l’énergie des trois premiers niveaux en fonction de la densité d’électrons dans l’hétérostructure GaN/InGaN. Dans le cas des hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN le champ électrique interne est très fort, l’application de cette approximation donne des résultats pour le niveau d’énergie fondamentale, et ne donne pas des résultats pour les niveaux d’énergie supérieurs et les états excités. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre II Méthode des fonctions d’ondes d’Airy 48 Références [1] Y. Wang, X. Pei, Z. Xing, L. Guo, H. Jia, H. Chen, J. Zhou. Appied Physics. 46, N°7A, 4079-4084 (2007). [2] E. J. Miller and E.T. Yua .J. Applied. Physics Letters. Vol 78, N°16 (2001). [3] E. Rosencher et B. Vinter. Optoélectronique. P 278. éd. Dunod, Paris, (2002). [4] A. Helman. Puits et boîtes quantiques de GaN/AlN pour les applications en optoélectronique à λ ≈1,55 μm. Thèse. Paris XI Orsay. (2004). [5] M. Ferrier. R. Clerc, G. Ghibaudo, F. Bœuf, T. Skotnicki. Solid State Electronics. 50. 69-77 (2006). [6] H.Mathieu, physique des semiconducteurs et des composants électroniques. ed, Dunod, Paris, (2004). [7] L. Guo, X. Wang, H. Xiao et B. Wang. Crystal Growth. 298, 522-526 (2007). [8] H. M. Eng, Y. J. Sun. Growth and characterization of M-plane GaN and (In, Ga)N/GaN multiple quantum wells. Berlin (2004). [9] H. Morkoç. Solid State Electronics. 46. 157-202 (2002). [10] O. Jani, C. Honsberg, Y. Huang, J-O.Song, I. Ferguson, G. Namkoong, E. Trybus, A. Doolittle, S. Kurtz. IEEE, 20-25 (2006). [11] N. Okamoto, K. Hoshino, N. Hara, M. Takikawa. Y. Arakawa. Crystal Growth. 272, 278-284 (2004). [12] F. Prégaldiny, C. Lallement, D. Mathiot. Solid Stats Electronics. 48, 781-787 (2004). [13] J. Kuzmik. Semiconductor Science and Technology. 17, 540-544 (2002). [14] S. Kalliakos, P. Lefebvre et T. Taliecio. Physical Review B. 67, 205307 (2003). [15] A. M. Cruz Serra et H. Abrei Santos. Applied Physics. 70. n°5 (1991). Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 49 Chapitre III Méthode de la matrice de transfert I. Introduction II. Puits quantique triangulaire III. Modèle de calcul III.1. Puits quantique isolé III.2. Double puits quantiques IV. Applications IV. 1. Puits quantique de profondeur infinie IV. 2. Puits quantique de profondeur finie V. Applications au puits quantique de GaN/AlGaN VI. Conclusion Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 50 I. Introduction Dans les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN une des propriétés spécifiques, l’existence une forte polarisation interne, cette polarisation crée un champ électrique interne. Sous l’effet de champ électrique interne les électrons sont confinés dans un puits de potentiel triangulaire à l’interface GaN/AlGaN et GaN/InGaN, donc les niveaux d’énergie dans ce puits sont quantifiés [1]. La génération d’un gaz bidimensionnel d’électrons (2DEG) à l’interface est causée par l’alignement de bande entre le puits et la barrière, mais sous l’effet de polarisation on a une amplification de ce 2DEG. Dans ce chapitre on étudie la méthode de la matrice de transfert, on divise le puits quantique triangulaire en des puits quantiques rectangulaires (système de multi-puits). Pour calculer les niveaux d’énergie de système de multi-puits on résoudre l’équation de Schrödinger-Poisson, on utilise l’approximation de la masse effective où la fonction d’onde est une fonction enveloppe [2]. II. Puits quantique triangulaire Dans les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN, la présence de la polarisation induit l’amplification de gaz bidimensionnel d’électrons à l’interface, le 2DEG est confiné dans un puits quantique triangulaire, donc les états d’énergie sont quantifiés et la fonction d’onde d’électrons caractérisée par la longueur d’onde de Broglie. Dans les puits quantique GaN/AlGaN et GaN/InGaN le champ piézoélectrique provoque une modification des fonctions d’ondes d’électrons et des trous et des états d’énergie, sous l’effet de ce champ les porteurs sons confinés dans un puits quantique triangulaire. Dans l’approximation de la masse effective les fonctions d’ondes sont données par la résolution de l’équation de Schrödinger [2]. 2 2( z) * V ( z)( z) E( z) 2m ( z) z 2 III.1 Avec m * ( z ) est la masse effective, V ( z) Vacc (z ) Vim ( z) Vdep ( z) est l’énergie potentielle et E est l’énergie totale. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 51 Avec Vacc (z ) est l’énergie potentielle de la zone d’accumulation, Vim (z) est l’énergie potentielle image, et V dep (z) est l’énergie potentielle de la zone de déplétion [2]. Figure. III.1 : Les fonctions d’ondes dans un puits quantique triangulaire [3]. Les états électroniques dans le puits quantique triangulaire sont donnés par la résolution de l’équation de Schrödinger, d’après l’approximation du potentiel triangulaire le potentiel image est négligeable, on peut négligés le potentiel de déplétion on a [2] : 1/ 3 2 E i 2m* 2 /3 3e 2 .n 4 (i 3 / 4) III.2 Avec E i est l’énergie de niveau i , n est la densité totale d’électrons dans le puits quantique triangulaire et i 1, 2, 3... Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 52 Figure.III.2 : Les états d’énergie dans un puits de potentiel triangulaire. Sous l’effet de la polarisation totale dans les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN les électrons sont confinés à l’interface dans un puits quantique triangulaire, cette polarisation est en fonction de la composition x de l’alliage Al et In dans AlGaN et InGaN respectivement. Figure. III.3 : Polarisation piézoélectrique en fonction de x dans GaN/AlGaN et GaN/InGaN [4]. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 53 Dans GaN/AlGaN et GaN/InGaN la densité de 2DEG est modifiée par la différence de la polarisation spontanée et de la polarisation piézoélectrique, donc la densité de 2DEG varie en fonction de l’alliage x de Al et In de ternaire AlGaN et InGaN respectivement. Figure. III.4 : La variation de la densité de 2DEG en fonction de x pour différents largeurs de la barrière (100, 200, 300 A°) dans GaN/AlGaN [5]. Figure. III.5 : La bande de conduction et la distribution de 2DEG dans GaN/InGaN [6]. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 54 Figure. III.6 : La bande de conduction et la distribution de 2DEG dans GaN/AlGaN, n2D (z)(pointilles), 1 ere fonction d’onde (ligne plin), 2eme fonction d’onde (petits traits) et 3 eme (petits traits-pointilles), pour x=0.3 [7]. III. Modèle de calcul Dans le cas des hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN les électrons sont confinés dans un puits de potentiel triangulaire. On considère que le puits quantique triangulaire est divisé en N puits quantique rectangulaire, donc on suppose que l’on a un système de multi-puits quantiques. L’équation de Schrödinger utilisée dans l’approximation de la fonction enveloppe [8]: 2 d2 . f ( z) E. f ( z) 2m * ( z) dz 2 V ( z) III.3 La résolution de l’équation de Schrödinger se fait en utilisant la méthode de la matrice de transfert, qui donne les coefficients finaux en fonction de coefficients initiaux de système de multi-puits. Les fonctions d’ondes sont sous la forme d’ondes planes et des fonctions évanescentes. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 55 Figure. III.7 : Puits quantique triangulaire divisé en N puits rectangulaires. Pour déterminer les états électroniques et la fonction enveloppe d’un puits quantique, on applique la méthode de la matrice de transfert. Cette méthode consiste à calculer la fonction enveloppe dans chaque zone où le potentiel possède un valeur constante [8]. Figure.III.8 : Bande de conduction d’un puits quantique complexe, les états d’énergie peuvent être calculés par la méthode de matrice de transfert [9]. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 56 La fonction d’onde [8]: f n ( z ) An e ik n z A ' n e ik n z III.4 Où An et An' sont des constantes à déterminer. A l’interface et après les conditions de continuité de la fonction d’onde et du courant de probabilité on a le système des équations suivant [8]: An eikn z An' ei kn z An1eikn1 z An' 1eikn1 z kn A eikn z kn A' eikn z kn1 A eikn1z kn1 A' eikn1z n n 1 n 1 m n m m m n n n 1 n 1 ik n zn ikn1zn ikn1zn ' 2 A e ( 1 ) e A ( 1 ) e An1 n n n 1 n ' iknzn ikn1zn ikn1zn ' 2 A e ( 1 ) e A ( 1 ) e An1 n n 1 n n III.5 III.6 m*n k n 1 . m*n 1 k n Avec : k n 2m*n ( E V n ) / 2 , et n La matrice de transfert qui donne la relation entre les coefficients amplitudes A1 , A1' An , An' et les devient [8] : Aj 1 A1 j A' M n A' 1 n 1 j 1 III.7 A chaque interface n la matrice de transfert s’écrit sous la forme [8] : ik n ik n zn ik n ik n zn 1 zn 1zn (1 ) e e ( 1 ) e e 1 n n Mn ik z ik z ik z ik z n 1n n 1n 2 (1 e n n (1 e nn n) e n) e III.8 Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 57 Enfin, la matrice de transfert résultante M d’une multi-puits reliant les coefficients initiaux A1 , A1' aux coefficients finaux A f , A 'f des fonctions enveloppes décrivant la particule dans le multi-puits, est égale au produit des matrices de transfert M n de chacune des interfaces n de multi-puits [8]. j M M12 M M 21 22 MMn 11 n 1 III.9 Les coefficients de réflexion r et de transmission t sont donnés par les formules suivantes [10] : M r 21 M 11 III.10 1 t M 11 III.11 III.1. Puits quantique isolé On considère un simple puits quantique de largeur L, avec m1* et m*2 les masses effectives du matériau SC1 et SC2 respectivement. Figure. III.9: Simple puits quantique. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 58 Dans le cas de simple puits quantique où l’origine de potentiel est au centre du puits, la fonction enveloppe f n (z ) est une combinaison linéaire d’ondes planes : f I ( z ) A1 e z A1' e z fn ( z ) f II ( z ) A2 e ik z A2' e ik z f ( z ) A e z A' e z 3 3 III région I région II régionIII III.12 Avec et k sont les vecteurs d’ondes : 2 (E) 2m*(V0 E) / dans ce E V et cas l’onde évanescente du type du type f ( z) A cos(k z) A ' sin(k z) . k (E ) 2 m* E / 2 dans ce cas E V et l’onde propagative f ( z) Ach(k z) A' sh(k z) . Figure. III.10: La fonction enveloppe d’un électron dans un simple puits quantique [8]. La matrice de transfert qui donne les coefficients A1 et A1' en fonction de A3 et A3' devient : Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert A1 M A ' 1 A A 3 3 ' 59 III.13 A l’interface n° 1(z=-L/2) L L ~ ik L2 L2 ik ~ 1 (1) e e (1) e 2 e 2 M1 L L 2 ~ ik L2 L2 ~ ik 2 2 (1) e e (1) e e III.14 A l’interface n° 2 (z=+L/2) L L ~1 ik L2 L2 ~1 ik 2 2 1 (1 )e e (1 )e e M2 L L L L 2 ~1 ik 2 2 ~1 ik 2 2 (1 )e e (1 )e e III.15 k m1* ~ ~ ~ ~ Où: * , i , 1 . m2 Les éléments de la matrice sont donnés par le système suivant : 1 ~ M 11 cos(kL) isin(kL) e L 2 III.16 i ~ M 12 sin(kL) 2 III.17 i ~ M 21 sin( kL) 2 III.18 1 ~ L M 22 cos( kL) i sin(kL) e 2 III.19 Dans un simple puits quantique les énergies des niveaux confinés obéissent aux lois k m* suivantes A1' A3' 0 et 1* , donc les solutions du simple puits quantique définit m2 par M 22 0 : 1 cos( k L) (1 ) sin(k L) 0 2 III.20 Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 60 Les solutions de cette équation nous donnent les niveaux d’énergie quantifiés du simple puits quantique. III.2. Double Puits quantique On considère un système de double puits quantique formé par deux puits quantiques identiques séparé par une barrière de potentiel. Pour déterminer les états d’énergie et les fonctions d’ondes dans le système de double puits quantique on applique la méthode de la matrice de transfert. Figure. III.11 : Double puits quantique. Dans le système de double puits quantique et en utilisant l’approximation de la masse effective la fonction enveloppe s’écrit : fI (z ) A1 e z A1' e z ik z ' i k z fII (z ) A2 e A2 e f n (z ) fIII (z ) A 3 e z A'3 e z f (z ) A e ik z A ' ei k z 4 4 IV z ' z fV (z ) A 5 e A5 e région I région II région III III.21 région IV région V On fait le calcul pour déterminer les éléments de la matrice 2 2 : 1 ~ ~ M11 4 cos(kL1 ) 2i sin(kL1 ) 4 cos(kL2 ) 2i sin(kL2 ) 16 ~ 4() 2 e 2h sin(kL1 ) sin(kL2 ) e ( L1 L2 ) III.22 Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 61 i ~ ~ M 12 e h sin( k L 2 ) 4 cos( kL1 ) 2 i sin( kL1 ) 8 III.23 ~ h ( L2 L1 ) e sin( k L1 ) 4 cos( k L 2 ) 2 i sin( k L2 ) e i ~ ~ M 21 e h sin( k L1 ) 4 cos( kL 2 ) 2i sin( kL 2 ) 8 ~ ( L L ) e h sin( k L 2 ) 4 cos( k L1 ) 2i sin( k L1 ) e 2 1 III.24 1 ~ ~ M 22 4 cos(kL1 ) 2i sin(kL1 ) 4 cos(kL2 ) 2isin(kL2 ) 16 ~ 4() 2 e 2h sin(kL1) sin(kL2 ) e ( L1 L2 ) III.25 La solution de la fonction enveloppe dans les régions I et V est une onde stationnaire qui s’annule à l’infini. Avec les conditions A1' 0 et A5 0 on a M 22 0 , ce qui donne : 2 cos( k L Les solutions 1 ~ ~ ) i sin( k L 1 ) 2 cos( k L 2 ) i sin( k L 2 ) III.26 ~ ( ) 2 sin( k L 1 ) sin( k L 2 ) e 2 h de cette équation nous donnent les niveaux d’énergie quantifiés d’un double puits quantique IV. Applications Nous allons calculer les énergies de confinement pour un simple puits quantique de GaN/AlGaN et de GaN/InGaN, dans le cas d’un puits de profondeur infinie et un puits de profondeur finie en fonction de la largeur du puits. IV. 1. Puits quantique de profondeur infinie Le puits quantique de profondeur infinie est un matériau SC1 de largeur L entre deux continuums de SC2. Dans ce puits il y a un confinement d’électrons. On fait le calcul des énergies pour le puits quantique GaN/AlGaN et le puits quantique GaN/InGaN avec d=L, d=L/2, d=L/4 et d=L/10. Le potentiel prend les valeurs suivantes [12]: V(z)=0 dans l’intervalle 0<z<L V(z)= dans l’intervalle z<0 et z>L Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 62 L’équation de Schrödinger : d 2 f ( z) k 2 f ( z) 0 2 dz III.27 Avec k 2m* E / 2 . D’après la résolution de l’équation de Schrödinger l’énergie E de l’électron dans le puits quantique de profondeur infinie donné par : .2 2 E n 2m* L2 2 III.28 Dans nos calculs nous prendrons L=100A°, la masse de GaN m=0.2.m0 pour le puits quantique GaN/AlGaN et la masse de InxGa1-x N m=0.15m0 pour x=0.5 pour le puits quantique GaN/InGaN. On détermine la variation des énergies des trois premiers niveaux quantifiés en fonction de la larguer de puits L pour les puits quantiques rectangulaires GaN/AlGaN et GaN/InGaN de profondeur infinie, d’après ces résultats l’énergie varie inversement proportionnelle à L. D’après la figure on remarque que pour les largeurs de puits supérieures à 60A° les 3 niveaux sont confondus. 2,0 Puits infini GaN/AlGaN E1 E2 E3 E(eV) 1,6 1,2 0,8 0,4 0,0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 L(A°) Figure.III.12: L’énergie en fonction de la largeur L de puits quantique infini GaN/AlGaN. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 63 2,0 Puits infini GaN/AlGaN E1 E2 E3 1,6 E(eV) 1,2 0,8 0,4 0,0 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 1/L(A°) Figure.III.13 : L’énergie en fonction de 1/L de puits quantique infini GaN/AlGaN. 2,4 Puits infini GaN/InGaN E1 E2 E3 2,0 E(eV) 1,6 1,2 0,8 0,4 0,0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 L(A°) Figure.III.14: L’énergie en fonction de la largeur L de puits quantique infini GaN/InGaN. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 64 2,8 Puits infini GaN/InGaN 2,4 E1 E2 E3 2,0 E(eV) 1,6 1,2 0,8 0,4 0,0 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 1/L(A°) Figure.III.15 : L’énergie en fonction de 1/L de puits quantique infini GaN/InGaN. IV. 2. Puits quantique de profondeur finie Le puits quantique de profondeur finie est un matériau SC1 de largeur L entre deux barrières de potentiel du SC2. Pour calculer les niveaux d’énergie dans les puits quantiques GaN/AlGaN et GaN/InGaN des profondeurs finies, on résoudre l’équation de Schrödinger. Les donnés de ce calcul sont la masse de GaN est m=0.2m0 pour le puits quantique GaN/AlGaN, et la masse de InxGa 1-xN m=0.19m0 pour le puits quantique GaN/InGaN. Le potentiel dans le puits de profondeur finie est [12] : V(z)=0 dans l’intervalle 0<z<L. V(z)=V 0 dans l’intervalle z<0 et z>L L’équation de Schrödinger d 2 f ( z) k 2 f ( z) 0 2 dz dans le puits III.29 Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert d 2 f ( z) 2 f ( z) 0 2 dz extérieur de puits 65 III.30 2m* (V0 E ) 2m* E Avec k et . L’énergie E de l’électron dans le puits quantique fini donné par : 2m1* E L n2 Arc sin E m1* m V0 E 1 * m m2 * 1 * 2 III.31 On fait le calcul des niveaux d’énergie quantifiés des puits quantiques rectangulaire GaN/AlGaN et GaN/InGaN en fonction de larguer de puits quantique L qui varie de 0 a 100 A°. L’équation (III.31) donne des résultats graphiques. On prendre comme des donnes pour le puits quantique GaN/AlGaN V0 E c 0.38 eV pour x=0.3 [13], les masses effectives m1* (GaN ) 0.2m0 et m*2 ( AlGaN ) 0.23m0 . On prendre comme des donnes pour le puits quantique GaN/InGaN V0 E c 0.27 eV pour x=0.09 [14], les masses effectives m1* ( InGaN ) 0.19 m0 et m*2 (GaN ) 0.2m0 . L’offset de bande Ec pour GaN/AlGaN est en fonction de l’énergie de gap de GaN et de AlGaN [13] : E c 0.63 E gAlGaN ( x) E gGaN ( 0) III.32 L’offset de bande Ec pour GaN/InGaN est en fonction de l’énergie de gap de GaN et de InGaN [15]: E c 0.75 E gInGaN ( x ) E GaN (0) g III.33 On détermine la variation des énergies du trois premiers niveaux quantités en fonction de la larguer de puits L pour les puits quantiques rectangulaires GaN/AlGaN et GaN/InGaN de profondeur finie. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert Puits fini GaN/AlGaN 0,36 66 E1 E2 E3 0,32 E(eV) 0,28 0,24 0,20 0,16 0,12 0,08 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 L(A°) Figure.III.16 : L’énergie en fonction de la largeur de puits L du puits quantique fini GaN/AlGaN. 0,28 Puits fini GaN/InGaN E1 E2 E3 0,24 E(eV) 0,20 0,16 0,12 0,08 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 L(A°) Figure.III.17: L’énergie en fonction de la largeur de puits L du puits quantique fini GaN/InGaN. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 67 D’après les figures (III-16 et III-17) le calcul ne donne pas des résultas pour les niveaux d’énergie supérieurs quand la largeur de puits quantique est petite. V. Applications au puits quantique de GaN/AlGaN Sous l’effet de champ piézoélectrique dans les puits quantiques GaN/AlGaN et GaN/InGaN on a modification des états d’énergie (puits quantique triangulaire). On applique la méthode de la matrice de transfert pour déterminer l’énergie de transition dans le puits quantique triangulaire GaN/AlGaN à la présence d’un champ piézoélectrique. Figure.III.18 : L’énergie de transition en fonction de l’épaisseur L du puits quantique GaN/AlGaN à la présence d’un champ piézoélectrique [16]. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 68 A la présence d’un champ piézoélectrique l’énergie de transition dans le puits quantique GaN/AlGaN diminue quand la largeur de puits quantique augmente. On résulte que quand le champ piézoélectrique élever E=700 KV/cm l’énergie de transition diminue très vite, donc le gap diminue (figure.III.18). D’après ces résultats on remarque que pour des valeurs de largeur de puits quantique inférieur de 12 A° il ne pas des résultats concerne les transitions, donc la méthode de la matrice de transfert ne donne pas des résultats pour de largeur de puits quantique est de quelque A°. Figure.III.19 : Le champ piézoélectrique et le champ total en fonction de la composition d’alliage Al dans le puits quantique GaN/AlGaN [16]. Dans le puits quantique GaN/AlGaN le champ piézoélectrique augmente quand la composition d’alliage Al augmente, et le champ total augmente plus quand la composition d’alliage Al augmente (figure.III.19). Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 69 VI. Conclusion En général, la méthode de la matrice de transfert appliquée pour déterminer les états d’énergie et les fonctions d’onde d’un puits quantique simple, d’un système de double puits quantique et d’un système de multipuits quantique. Dans le cas des hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN sous l’effet de polarisation spontanée et piézoélectrique les électrons sont confinés dans un puits quantique triangulaire. La détermination des états d’énergie et des fonctions d’onde dans le puits quantique triangulaire fait par l’application de méthode de la matrice de transfert. On divisera le puits quantique triangulaire en n puits quantique rectangulaire, mais certains états d’énergie sont négligés. On fait le calcul des énergies des transitions d’un puits quantique GaN/AlGaN à la présence d’un champ piézoélectrique par l’application la méthode de la matrice de transfert. Cette méthode ne donne pas un bon résultat quand le champ électrique interne est très intense (cas des nitrures), dans ce cas le puits triangulaire est étroit, et la fonction d’onde se propage très vite ce ne pas cas de la fonction enveloppe qui est propage lentement. Pour résoudre l’équation de Schrödinger –Poisson il faut faire un calcul selfconsistent. Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre III La méthode de la matrice de transfert 70 Références [1] H. Morkoç. Solid State Electronics. 46. 157-202 (2002). [2] N. Vellas. Etudes expérimentales de transistors HFET de la filière nitrure de gallium pour des applications de puissance hyperfréquences. Thèse doctorat. Lille 1 (2003). [3] A. M. Cruz Serra et H. Abrei Santos. Applied. Physics. 70. n°5 (1991). [4] O. Ambacher, J. Majewski, C. Miskys, A. Link, M. Hermann, M. Eickhoff, M. Stutzmann, F. Bernardini, V. Fiorentini, V. Tilak, B. Schaff et L. F. Eastman. Physic. Condens. Matter. 14, 3399-3434 (2002). [ 5] M. C. J. C. M. Krämer. Thèse. Technische Unverisiteit Eindhoven (2006). [6] R. M. Chu, Y. D. Zheng, Y. G. Zhou, S. L. Gu, B. Shen, R. Zhang. Optical Materials. 23. 207-210 (2003). [7] J. Antonio, C. Pérez. Solid State Electroncs. 94. 612-617 (2005). [8] S. Anceau. Etude des propriétés physiques des puits quantiques d’alliages quaternaires (Al, Ga, In)N pour la conception d’émetteurs ultraviolets. Thèse doctorat. Montpellier II. (2004). [9] L. Grenouillet. Spectroscopie optique de nouveaux a base de (Ga, In)(N,As) pour la réalisation de composants a cavité verticale émettant a 1,3 μm sur substrat GaAs. Thèse. L’INSA de Lyon. (2001). [10] J. Coraux. Etude par spectroscopie diffraction X de la croissance et de l’encapsulation de boites quantiques GaN/AlN. Thèse. U. Joseph Fourier Grenoble (2004). [11] J. Cibert. Nanostructures. Joseph Fourier. (2004). [12] H.Mathieu, physique des semiconducteurs et des composants électroniques. ed, Dunod, Paris, (2004). [13] O. Ambacher, J. Majewski, C. Miskys, A. Link, M. Hermann, M. Eickhoff, M. Stutzmann, F. Bernardini, V. Fiorentini, V. Tilak, B. Schaff et L. F. Eastman. Phys. Condens. Matter. 14, 3399-3434 (2002). [14] H. Zhang, E. J. Miller, E. T. Yu, C. Pobeng et J. S. Speck. Applied. Physics. Letters. 84, 4644 – 4646 (2004). [15] R. M. Chu, Y. D. Zheng, Y. G. Zhou, S. L. Gu, B. Shen, R. Zhang. Optical Materials. 23. 207-210 (2003). [16] N. Mokdad. Thèse doctorat. Oran (2006). Belmiloud Nawel Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Magister de Micro-Optoélectronique Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 71 Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson Self-consistent I. Introduction II. Gaz bidimensionnel d’électrons à l’interface GaN/AlGaN et GaN/InGaN III. Modèle de Schrödinger-Poisson Self-consistent III.1. Equation de Schrödinger III.2. Equation de Poisson IV. Résultats par le modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent V. Application du modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent au GaN/AlGaN de dopage de type delta VI. Conclusion Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 72 I. Introduction La polarisation interne dans les nanostructures de GaN/AlGaN et de GaN/InGaN crée un champ électrique interne, ce champ électrique amplifie la densité de charges du gaz bidimensionnel d’électrons à l’interface et donc modifie la charge d’espace dans le puits quantique triangulaire. Sous l’application d’un champ électrique externe on a modification de la distribution des charges, le champ électrique externe est redistribué avec le champ électrique interne, et donne une modification de la charge d’espace. Cette nouvelle distribution des charges crée un nouveau champ électrique. Dans le cas des hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN la variation de la distribution des charges avec le champ électrique externe est instable à cause de l’existence de champ piézoélectrique. Le problème qui est posé est est-ce que le champ électrique modifie la distribution des charges à l’interface GaN/AlGaN et GaN/InGaN ou la distribution des charges modifie le champ électrique ? On présente un calcul self consistent pour déterminer la distribution des charges, en utilisant un formalisme de Schrödinger-Poisson. La charge d’espace (z) Champ électrique F L’équation de Poisson donne la relation entre la charge d’espace (z) et l’énergie potentielle V (z) , ce dernier est un terme dans l’équation de Schrödinger, on doit donc résoudre le problème par l’utilisation d’un calcul self-consistent. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 73 II. Gaz bidimensionnel d’électrons La génération de gaz bidimensionnel d’électrons à l’interface GaN/AlGaN et GaN/InGaN causé par l’existence d’une dissemblance de polarisation spontanée Pps , les grands coefficients piézoélectriques et la discontinuité des bandes entre les deux matériaux puits/barrière. La présence d’une polarisation interne dans les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN, induit la présence une densité des charges de polarisation à l’interface p (z) [1]. p .P IV.1 Avec p (z ) est la densité des charges du polarisation résultants à l’interface. (a) (b) Figure. IV.1 : Polarisation et le 2DEG : (a) dans GaN/AlGaN [2] et (b) dans GaN/InGaN [3]. Sous l’effet de champ électrique interne dans les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN on a modification de la distribution des charges à l’interface dans le puits de potentiel triangulaire, donc on a amplification de la densité du gaz d’électrons bidimensionnel. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 74 Les nitrures sont soit sous tension, soit sous compression d’où modification de la piézoélectricité. La densité de gaz bidimensionnel d’électrons donné par l’équation de Poisson [4] : d D( z) e p( z) N d n ( z) N a dz IV.2 Avec D(z) est le déplacement électrique. Les électrons à une énergie potentielle V (z) , qui est une terme dans l’équation de Schrödinger [5]: 2 d 2 * i (z ) V ( z) E i i ( z) 0 2 m ( z) dz 2 IV.3 Avec m* ( z) est la masse effective d’électron. Les électrons ont une énergie potentielle de Hartree donnée par [5] : d d ( z ) VH e 2 ( z) dz dz IV.4 Avec la densité des charges totale ( z) ( z)( z zi ) p ( z) N D n( z) N A , où (z ) est la densité des charges de polarisation et zi est la position de l’interface [5]. La densité de gaz bidimensionnel d’électrons dans GaN/AlGaN et GaN/InGaN est en fonction de la polarisation totale : une petite contrainte appliquée génère la piézoélectricité, qui modifie le potentiel du puits quantique triangulaire, et aussi la polarisation spontanée crée des charges positives à l’interface, qui jeu un rôle dans l’amplification de gaz bidimensionnel. L’existence d’un champ électrique interne dans les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN, induit par la présence une densité des charges de polarisation à l’interface [1] P P F P IV.5 Avec FP le champ électrique de polarisation et P la densité des charges due de la polarisation. Une des propriétés spécifiques de l’hétérostructure GaN/InGaN est la présence d’un fort coefficient piézoélectrique, une petite variation de la contrainte modifié la piézoélectricité, donc modifie la densité des charges. Mais dans l’hétérostructure GaN/AlGaN la polarisation spontanée est très importante. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 75 Sous l’effet de champ interne dans les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN le gaz bidimensionnel d’électrons confinés dans un puits quantique triangulaire [1]. La distribution des charges de gaz bidimensionnel d’électrons a une variation instable, donc pour déterminer cette distribution des charges il faut résoudre l’équation de Schrödinger et Poisson par un calcul self-consistent. III. Modèle de Schrödinger-Poisson Self-consistent Les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN sont caractérisées par la présence d’une polarisation spontanée et piézoélectrique. Sous l’effet de cette polarisation on a amplification du gaz bidimensionnel d’électrons à l’interface. Dans les puits quantiques GaN/AlGaN et GaN/InGaN la présence d’un champ piézoélectrique induit le confinement des porteurs dans un puits quantique triangulaire, c’est l’effet Stark quantique confiné. Sous l’effet d’un champ électrique on a la diminution de l’intégrale de recouvrement des fonctions d’ondes, donc le temps de recombinaison radiative dans les dispositifs optoélectroniques à base des nitrures croît [6]. Dans la structure GaN/AlGaN et GaN/InGaN, sous l’effet d’un champ piézoélectrique la variation de la distribution des charges du gaz bidimensionnel d’électrons en fonction du champ électrique appliqué est instable. La présence du champ piézoélectrique dans les puits quantiques GaN/AlGaN et GaN/InGaN induit la modification des niveaux des énergies et des fonctions d’ondes d’électrons et des trous. Pour déterminer le potentiel, la densité du 2DEG, les niveaux d’énergie et l’énergie de transition dans les puits quantiques GaN/AlGaN et GaN/InGaN on doit résoudre l’équation Schrödinger- Poisson par un calcul self-consistent. La densité des charges du gaz bidimensionnel d’électrons est en fonction de l’énergie potentielle V (z) , qui est en fonction de la solution de l’équation de Schrödinger, donc reliée à la fonction d’onde électroniquei (z) . Mais la fonction d’onde i (z) est liée à la densité des charges du gaz bidimensionnel d’électrons par l’équation de Poisson. La résolution se fait suivant le schéma suivant [7]. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 76 Densité des charges de polarisation La densité de 2DEG à l’interface GaN/AlGaN et GaN/InGaN ( z ) en( z ) L’équation de Poisson d d ( z) ( z) P( z) (z ) dz dz La densité n ( z ) ni i ( z ) 2 i Faire un calcul self consistent L’énergie potentielle V ( z ) (z) liée à la densité de 2DEG L’équation de Schrödinger 2 d 1 d( z) V ( z)( z) E( z) 2 dz m*( z ) dz Figure.IV.2 : La relation entre la densité des charges de polarisation, la densité de 2DEG et le calcul de Schrödinger-Poisson self consistent. L’équation de Schrödinger [8]: 2 d 1 d( z) V ( z)( z) E( z ) 2 dz m* ( z) dz IV.6 Avec m* ( z) est la masse effective d’électron, E est l’énergie et V (z ) est l’énergie potentielle qui donne par la relation suivant [8]: V ( z) e( z) Vc ( z) Vex ( z) IV.7 (z) est le potentiel électrostatique, qui donné par la résolution de l’équation de Poisson IV.10, l’énergie potentielle Vc ( z) E c ( z) résulte de la discontinuité de bande à l’interface. L’énergie potentielle d’échange-corrélation V ec (z) est donnée par [5] : Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 0.7734rs 21 2E R Vec ( z) 1 ln 1 21 rs rs Dans ce cas 4 / 9 , et 1/ 3 77 IV.8 1 /3 4 * 3 rs a n( z) est le rayon de sphère contenir un 3 électron. L’énergie effective de Rydberg donné par : e2 ER 8a * IV.9 Avec a * est le rayon effectif de Bohr. Figure. IV.3 : L’énergie potentielle due par le calcul self- consistent. Les fonctions d’ondes pour les trois premiers niveaux d’énergie [9]. L’équation de Poisson nous donne le potentiel électrostatique [4]: d d ( z) ( z) Ptot ( z) e p (z ) N d n( z) N a dz dz IV.10 Avec (z ) est la constante diélectrique du matériau puits, et Ptot (z) est polarisation totale. On remplace la polarisation par son expression, on trouve [8] : d d ( z) (z ) e N d p( z) n(z) Na (N sd N sa)(z) (z)( z z ' ) dz dz z' Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique IV.11 Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 78 Avec p(z) est la densité des trous, n(z) est la densité d’électrons, N d est la densité des donneurs ionisés, N a est la densité des accepteurs ionisés, N sd est la densité des donneurs ionisées à la surface, N sa est la densité des accepteurs ionisées à la surface, et (z) est la densité des charges de polarisation résultant à l’interface. Dans les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN et à l’interface on a génération d’un gaz bidimensionnel d’électrons dans un puits de potentiel triangulaire, la densité d’électrons n (z ) donne par [5] : n( z) ni i ( z) 2 IV.12 i La densité d’électrons dans la sous-bande i s’écrit [5] : m* k B T E F E i ni ln 1 exp 2 k T B IV.13 En général la densité de donneurs ionisés est définie par la relation suivante : N d ( z ) N d ( z) f d (z ) IV.14 Où N d (z) la densité de donneurs et f d(z) la probabilité d’ionisation [5]. 1 f d( z) 1 1 E ( z) E F 1 exp d 2 k BT IV.15 Donc la densité de donneurs ionisés: N d ( z) N d( z) E E d 1 2 exp F k BT IV.16 On détermine la densité d’accepteurs ionisés par la relation : N a ( z) N a ( z ) f a ( z) IV.17 Où N a (z) est la densité d’accepteurs et f a(z ) la probabilité d’ionisation de gagne un électron [5]. Donc la densité des accepteurs ionisés : Na E E F 1 1 exp a 4 kB T N a IV.18 La densité des donneurs ionisés à la surface : Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent N sd N sd E E sd 1 g d exp f kB T 79 IV.19 La densité des accepteurs ionisées à la surface donné par : N sa N sa E sa E f 1 g a exp kB T IV.20 Où E f est le niveau de Fermi, E sd est l’énergie d’ionisation des donneurs à la surface, et E sa est l’énergie d’ionisation des accepteurs à la surface. Dans les hétérostructures GaN/AlGaN la densité des charges de polarisation résultant à l’interface est donnée par l’expression suivante [8] : ( z) 2 a0 a( x ) C ( x) sp sp e 31 ( x) e 33 ( x ) 13 PAlGaN PGaN a( x) C33 ( x) IV.21 Avec a0 est le paramètre de maille de GaN et a (x ) est le paramètre de maille d’alliage Alx Ga1-xN. Dans les hétérostructures GaN/InGaN la densité des charges de polarisation résultant à l’interface est donnée par l’expression suivante [1]: ( z) 2 a0 a( x ) C ( x) sp sp e 31 ( x) e 33 ( x ) 13 PInGaN PGaN a ( x) C33 ( x ) IV.22 Avec a 0 est le paramètre de maille de GaN et a (x) est le paramètre de maille d’alliage InxGa 1-xN. On fait le calcul par la résolution de l’équation de Poisson qui donne le potentiel que l’on injecte dans l’équation de Schrödinger qui donne les niveaux d’énergie et les fonctions d’ondes. La détermination de la distribution des charges du gaz bidimensionnel d’électrons est donnée par la statistique de Fermi [5]: m * (z ) k B T n2 D ( z) 2 (z ) i i 2 E f Ei ln 1 exp k T B IV.23 Avec m* est la masse effective d’électron, k B est la constante de Boltzmann, h est la constante de Planck, T est la température, i (z) est la fonction d’onde, E f est l’énergie de Fermi et E i est l’énergie de subbande. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 80 La densité des charges de polarisation résultant à l’interface GaN/AlGaN est en fonction de la polarisation spontanée et piézoélectrique, donc en fonction de la composition de Al dans l’alliage Alx Ga1-xN [8] : sp sp ( z ) Pz piézo PAlGaN PGaN IV.24 La valeur propre de cette densité est : ( z ) 9. 46 x. 10 2 C /m 2 IV.25 La densité des charges de polarisation résultant à l’interface GaN/InGaN est en fonction de la polarisation spontanée et piézoélectrique, donc en fonction de la composition de In dans l’alliage InxGa 1-xN [1]. sp sp ( z ) Pz piézo PInGaN PGaN IV.26 La valeur propre de cette densité est : ( z ) 0.173 x C / m2 10 IV.27 GaN/AlGaN 2 I (z)I [10 C/m ] 8 -2 6 4 2 0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 composition de Al Figure. IV.4: La densité des charges de polarisation à l’interface GaN/AlGaN en fonction de la composition d’alliage Al. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 81 GaN/InGaN 2 I(z)I [C/m ] 0,15 0,10 0,05 0,00 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Composition de In Figure. IV.5 : La densité des charges de polarisation à l’interface GaN/InGaN en fonction de la composition d’alliage In. Les densités des charges de polarisation à l’interface GaN/AlGaN et GaN/InGaN en fonction de la composition d’alliage de Al et de In sont reportées sur les figures IV.4 et IV. 5 respectivement. Nous remarquons que la variation de la densité des charges de polarisation augmente avec l’alliage dans les deux cas étudiés. - Détermination du potentiel Pour déterminer le potentiel nous allons utiliser un calcul self consistent qui est représenté par le schéma IV.6 en utilisant l’équation de Poisson et en utilisant l’équation de Schrödinger [10]. Cette première étape de calcul nous permet de calculer le potentiel avec une précision imposée. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 82 La densité des charges initiale ( z ) en (z ) Résoudre l’équation de Poisson pour obtenir V (z) . d d (z) Ptot (z) ( z) dz dz V (z ) e(z ) Résoudre l’équation de Schrödinger pour obtenir( z) , E . 2 d 2 * 2 (z) V ( z)(z) E( z) 2m dz ( z ) , E Le résultat ( z) en2 D ( z ) remplacé dans l’équation de Poisson pour obtenir V (z) Le calcul converge ( n) ( n 1) V V Figure. IV.6 : Le chemin de calcul self-consistent [10]. III.1. Equation de Schrödinger Pour résoudre l’équation de Schrödinger et de déterminer ainsi les niveaux d’énergie et les fonctions d’ondes dans le puits quantique triangulaire GaN/AlGaN et GaN/InGaN. Nous avons utilisé la méthode de différence finie voir figure (IV.7). On utilise cette méthode parce que la distribution des charges du gaz bidimensionnel d’électrons est Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 83 inhomogène à cause de l’existence de champ piézoélectrique. D’après cette méthode le puits potentiel est divisé en des mailles hi et on calcule le potentiel effectif. Figure. IV.7 : Représentation des différentes mailles hi dans la bande de conduction d’une hétérojonction GaN/AlGaN [11]. Pour des différents de maille hi l’équation de Schrödinger devient [11]: ' ( zi1 ) ' ( zi1 ) * 2 * d 1 d( zi ) m ( zi12 ) m ( zi12 ) . * hi hi 1 dz m ( z ) dz i 2 2 IV.28 Où hi est la maille entre les points adjacents xi et xi 1 . Soit : d( zi 1 ) 1 1 ( zi 1 ) ( zi ) 2 . * . * m ( z i1 ) dz m ( z i1 ) hi IV.29 d( zi1 ) 1 1 ( zi ) ( zi1 ) 2 . * . * m ( zi 1 ) dz m ( zi 1 ) hi 1 IV.30 2 2 2 2 D’après ces résultats, l’équation (IV.28) s’écrit : Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) d 1 d(z i ) 2 i 1 i i 1 . . *i * * dz m ( zi ) dz hi hi1 m ( zi 1 ).hi m (z i1 ).hi 1 2 2 84 IV.31 Par substitution de (IV.31) dans (IV.6), l’équation de Schrödinger devient 2 hi 1 hi (z i1 ) ( zi ) ( zi ) ( zi 1 ) V ( z ).(z ) E.( z ) . i i i * * hi .m ( zi 1 ) hi1 .m ( z i1 ) 2 2 IV.32 Les fonctions d’onde ( z1 ) et ( zN ) satisfont aux conditions aux limites, on a : H i1, j 1 . ( zi ) E . ( zi ) IV.33 Les nombres i et j prendre les valeurs 2, 3…N-1. La solution est : ( z2 ) ( z3 ) ( z i ) . . (z N 1 ) IV.34 Avec N est le nombre de points de maille et pour N 2 points on a N 2 équations. L’Hamiltonien H i 1, j1 est une matrice tridiagonale nonsymétrique (N-2)×(N-2), avec i 1 est le nombre de ligne, j 1 est le nombre de colonne [11]. 1 1 hi si i 1j hi 1 . m*( z 1 ) hi 1 i 2 2 1 1 1 1 h i . V(zi ) si i j m* (z 1 ) h i m* (z 1 ) h i 1 Hi1, j 1 hi1 i i2 2 2 . 1 1 si i 1j h ihi1 m* (zi12 ) hi 0 extérieur 2 IV.35 La matrice H i1, j 1 est symétrique dans le cas des mailles hi uniforme. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 85 III.2. Equation de Poisson On applique la méthode de différence finie pour résoudre l’équation de Poisson qui donne le potentiel électrostatique (z) . Par l’utilisation de trois points différents où des mailles nonuniformes, on suppose que la polarisation totale P (z) est constante dans les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN. Dans ce cas l’équation de Poisson devient [11]: d d q. p ( z) n( z) N d(z ) N a( z ) ( z ) . ( z ) r dz dz 0 IV.36 La dérivation de l’équation de Poisson (IV.36) devient [11]: ' ' d( zi ) r ( zi12 ).( zi12 ) r (z i12 ).( z i12 ) d . r ( zi ) hi hi1 dz dz 2 IV.37 Soit r ( zi 1 ). 2 r ( zi 1 ). 2 d( zi1 ) 2 dz ( zi1 ) (z i ) hi IV.38 r ( zi1 ). ( z i ) ( zi 1 ) hi IV.39 2 d(z i1 ) 2 dz r ( zi 1 ). 2 D’après ces résultats, l’équation (IV.37) s’écrit : ( zi1 ) ( z i ) ( zi ) ( zi 1 ) d d(z i ) 2 (z ) hi hi1 dz r i dz hi hi1 r ( zi 1 ) r ( zi1 ) 2 2 IV.40 Par substitution de (IV.40) dans (IV.36), l’équation de Poisson devient : Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 2 hi hi 1 ( zi ) ( zi ) ( zi 1 ) ( zi ) h h h h i1 i 1 i i r ( zi 1 ) r ( zi 1 ) r ( zi 1 ) r ( zi12 ) 2 2 2 86 IV.41 e N d( z i ) N a( zi ) p ( zi ) n( zi ) 0 0 Les potentiels électrostatiques ( z1 ) et ( z N ) satisfaisants les conditions aux limites, on pose Bi N d(z i ) N a( zi ) p ( zi ) n ( zi ) , la matrice des l’équations s’écrit [11]: 0 e Ai1, j 1 .( z i ) Bi IV.42 Avec : 2 r (zi12 ) hihi1 . hi1 2 r (zi 1) r (zi 1) 2 hihi1 .hi1 hi 2 Ai1, j 1 2 r (zi12 ) hihi1 . hi 0 si i 1j si i j si i 1j IV.43 extérieur Soit le nombre des lignes est i 1 et le nombre des colonnes est j 1 , cette matrice est tridiagonale nonsymétrique. IV. Résultats par le modèle de Schrödinger-Poisson selfconsistent Le champ piézoélectrique à un effet très important dans les puits quantiques GaN/AlGaN et GaN/InGaN. On applique le modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent pour déterminer l’énergie de transition Ec-Eh, l’énergie de la bande de conduction E c et l’énergie de sous-bande des trous lourds Ehh dans les puits quantiques GaN/AlGaN et GaN/InGaN. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 87 Figure.IV.8 : champ piézoélectrique dans le puits quantique GaN/AlGaN [12]. Figure.IV.8 : champ piézoélectrique dans le puits quantique GaN/InGaN [13]. Sous l’effet de champ piézoélectrique dans les puits quantiques GaN/AlGaN et GaN/InGaN l’intégrale de recouvrement des fonctions d’ondes diminue, donc l’énergie de transition interbande diminue. Ce champ modifie la distribution des charges et donne un confinement d’électrons et des trous dans un puits quantique triangulaire (l’effet Stark quantique confine). L’énergie de transition [12] : Eij E g E i E j eF p Lp IV.44 Avec Eg est l’énergie de gap de puits, Ei est l’énergie de confinement d’électrons de niveau i, Ej est l’énergie de confinement des trous de niveau j, Fp est le champ électrique dans le puits et Lp est la largeur de puits. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 88 Figure.IV.9 : La variation de l’énergie de transition en fonction de la largeur de puits pour un champ piézoélectrique E=0 et E=0.6 MV/cm dans le puits quantique GaN/InGaN. Figure.IV.10 : La variation de l’énergie de bande de conduction en fonction de la largeur de puits pour un champ piézoélectrique E=0 et E=0.6 MV/cm dans le puits quantique GaN/InGaN. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 89 D’après ces résultats, sous l’effet de champ piézoélectrique dans le puits quantique GaN/InGaN l’énergie de transition diminue quand la largeur de puits augmente (figure IV.9), et l’énergie de bande de conduction diminue quand la largeur de puits augmente (figure IV.10). Ces énergies sont inférieures à des énergies en l’absence de champ piézoélectrique. Figure.IV.11 : La variation de l’énergie de sous-bande des trous lourds en fonction de la largeur de puits pour un champ piézoélectrique E=0 et E=0.6 MV/cm dans le puits quantique GaN/InGaN. Dans le puits quantique GaN/InGaN le premier niveau d’énergie de sous bande des trous lourds se décalé vers le bas à la présence d’un champ piézoélectrique et son énergie augmente quand la largeur de puits varie entre 20-32.5 A° et puis cette énergie prend une valeur constante (figure IV.11). Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 90 Figure.IV.12 : La variation de l’énergie de bande de conduction et de sous-bande des trous lourds en fonction de champ piézoélectrique dans le puits quantique GaN/InGaN. Figure.IV.13 : La variation de l’énergie de transition en fonction de champ piézoélectrique dans le puits quantique GaN/InGaN. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 91 L’énergie de bande de conduction et de sous bande des trous lourds diminue quand le champ piézoélectrique augmente (voir la figure IV.12), et l’énergie de transition diminue très rapide quand le champ piézoélectrique augmente dans le puits quantique GaN/InGaN (figure IV.13). Dans ce cas le puits quantique GaN/InGaN est sous compression et la diminution de l’énergie de gap est traduite par l’émission dans le spectre de rouge (effet Stark quantique confine). Les résultats d’un puits quantique de GaN/Al 0.4Ga0.6N est sous compression et le champ piézoélectrique est dans le puits GaN F p 1.4 MV / cm et dans la barrière AlGaN Fb 0.77 MV / cm [14]. Figure.IV.14 : La variation de l’énergie de transition en fonction de la largeur de puits quantique GaN/Al 0.4Ga 0.6 N. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 92 Figure.IV.15: La variation de l’énergie de bande de conduction et de sousbande des trous lourds en fonction de la largeur de puits dans le puits quantique GaN/Al 0.4Ga0.6N. D’après ces résultats, sous l’effet de champ piézoélectrique dans le puits quantique GaN/AlGaN l’énergie de transition diminue rapidement quand la largeur de puits varie entre 1-2 nm puis cette énergie diminue lentement quand la largeur de puits augmente (figure. IV.14). L’énergie de bande de conduction diminue quand la largeur de puits augmente et l’énergie de bande de valence augmente quand la largeur de puits augmente dans le puits quantique GaN/AlGaN (figure. IV.15). Dans ce cas le puits quantique GaN/Al0.4Ga0.6 N est sous compression et le champ piézoélectrique est dans le puits GaN Fp 1.4 MV / cm et dans la barrière AlGaN Fb 0.77 MV / cm [14]. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 93 Les résultats d’un puits quantique de GaN/Al0.2Ga0.8N avec un champ piézoélectrique E 700 KV / cm . Figure.IV.16 : La variation de l’énergie de transition en fonction de la largeur de puits quantique GaN/Al0.2Ga 0.8N. V. Application du modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent au GaN/AlGaN de dopage de type delta Le modèle de Schrödinger Poisson self-consitent applique pour déterminer la densité de 2DEG de l’hétérojonction GaN/AlGaN avec un dopage de type delta, cette hétérojonction est caractérisée par la présence d’une densité des charges positives de polarisation à l’interface AlGaN/GaN suivant la polarité Ga, et génération d’un gaz bidimensionnel d’électrons à l’interface [15]. On considère l’hétérojonction GaN/AlGaN avec un dopage delta où la densité d’accepteurs p( z) 0 et la densité d’accepteurs ionisés N a 0 . L’équation de Poisson [15] : 0 d d r ( z) (V H V P ) e 2 ( z z 0 ) N d n( z) dz dz e Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique IV.45 Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 94 Où 0 r ( z) est la constante diélectrique, est la densité des charges de polarisation à l’interface, N d est la densité des donneurs ionisés et z0 est la position de l’interface. La variation de 2DEG est en fonction de la polarisation, donc en fonction la composition de Al dans l’alliage Al xGa1-xN. Figure. IV.17: La variation de 2DEG en fonction de dopage pour différentes compositions de Al pour la structure GaN/AlGaN avec un dopage delta [15]. La figure déterminé la variation de 2DEG dans GaN/AlGaN avec un dopage delta en fonction de dopage, d’après ces résultats la densité de 2DEG varié entre 6.41 et 5.24×1012 cm-2, avec la composition de Al prendre 0.10 x 0.50 [15]. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 95 Figure. IV.18 : La bande de conduction de la structure GaN/AlGaN avec un dopage delta suivant la polarité Ga [15]. En général le modèle de Schrödinger Poisson appliqué pour déterminé les niveaux d’énergie, les fonctions d’ondes et la distribution des charges dans les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN, donc la densité de 2DEG d’un puits quantique triangulaire GaN/AlGaN et GaN/InGaN. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 96 VI. Conclusion Dans ce chapitre, nous avons déterminé la polarisation spontanée et piézoélectrique dans les hétérostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN en utilisant le modèle de SchrödingerPoisson par un calcul self-consistent. Sous l’effet de polarisation dans GaN/AlGaN et GaN/InGaN il y a création des charges positives à l’interface et des charges négatives à la surface. Ces charges joue un rôle important dans l’amplification de gaz bidimensionnel d’électrons à l’interface GaN/AlGaN et GaN/InGaN. Sous l’effet de champ piézoélectrique dans les puits quantiques GaN/AlGaN et GaN/InGaN l’énergie de transition diminue, l’énergie de bande de conduction diminue et la sous bande des trous lourds est décalée vers le bas. Cet effet de champ piézoélectrique a deux conséquences : négatives et positives dans les applications optoélectronique et électronique. Sous l’effet de champ piézoélectrique dans GaN/AlGaN et GaN/InGaN on a une réduction de la force d’oscillateur et une diminution de l’intégrale de recouvrement des fonctions d’ondes, cet effet est négatif dans les composants optoélectroniques qui ont une transition directe, mais cet effet est positif dans les composants optoélectroniques qui fonctionnent en régime non linéaire, car sous effet de ce champ on a une variation de l’indice de réfraction et une augmentation de pic de spectre d’absorption. Dans le domaine électronique, sous effet de champ piézoélectrique on a une amplification de gaz bidimensionnel d’électrons, donc on a une grande densité et grande mobilité d’électrons, cet effet est très important dans les applications électroniques, tel que HEMT. Ce champ est un effet néfaste dans les applications électroniques, car dans les transistors à effet de champ on peut à voir un courant de fuite d’électrons dans la grille, donc on a un dQ(t) qui rémanent. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Chapitre IV Modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent 97 Références [1] L. Guo, X. Wang, H. Xiao et B. Wang. Crystal Growth. 298. 522-526 (2007). [2] N. Vellas. Etudes expérimentales de transistors HFET de la filière nitrure de gallium pour des applications de puissance hyperfréquences. Thèse doctorat. Lille 1(2003). [3] H. M. Eng, Y. J. Sun. Growth and characterization of M-plane GaN and (In, Ga)N/GaN multiple quantum wells. Berlin (2004). [4] Y. Chang. K. Y. Tong et C. Surya. Semiconductor Science and Technology. 20. 188192 (2005). [5] K. S. Lee, D. H. Yoon, S. B. Bae, M. R. Park, et G. H. Kim. ETRI. 24. n°4 (2002). [6] S. Kalliakos, P. Lefebvre, and T. Taliercio. Physical Review B. 67. 205307 (2003). [7] K. A. Mkhoyan, J. Silcox, Z. Yu, W. J. Schaff et L. F. Eastman. Applied. Physics. 95. n°4 (2004). [8] X. Han, J. Li, J. Wu, G. Cong, X. Liu, Q. Zhu, Z. Wang. Physica E. 28. 230-236 (2005). [9] M. Ferrier. R. Clerc, G. Ghibaudo, F. Bœuf, T. Skotnicki. Solid State Electronics. 50. 69-77 (2006). [10] L. Wang, D. Wang, P. M. Asbeck. Solid State Electronics. 50, 1732-1739 (2006). [11] M. Kocan. AlGaN/GaN MBE 2DEG Heterostructures : Interplay between SurfaceInterface and Device-Properties. Thèse. Technishen Hochschule Aache (2003). [12] S. Fanget. Matériaux et hétérostructures à base de nitrures d’éléments III en phase cubique et hexagonale pour l’optoélectronique. Thèse. Joseph Fourier Grenoble. (2002). [13] L. Guo, X. Wang, H. Xiao, B. Wang. Crystal Growth. 298, 522-526 (2007). [14] S. Kalliakos, P. Lefebvre, and T. Taliercio. Physical Review B. 67. 205307 (2003). [15] I. Saidi, L. Bouzaïene, M. H. Gazzah, H. Mejri et H. Maaref. Solid State Communications. 140. 308-312 (2006). Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Conclusion 98 Conclusion Une des particularités des hétérostructures de GaN/AlGaN et de GaN/InGaN est la présence d’une forte polarisation interne (spontanée et piézoélectrique). Sous l’effet de la polarisation les porteurs sont confinés dans un puits quantique triangulaire, donc on a une amplification du gaz bidimensionnel d’électrons à l’interface. Cette amplification du gaz bidimensionnel d’électrons joue un rôle important dans les applications électroniques. Dans les hétérostructures de GaN/AlGaN et de GaN/InGaN la polarisation spontanée et piézoélectrique crée un champ électrique interne, ce champ électrique est redistribue avec le champ électrique externe et donne une modification de la charge d’espace du 2DEG, cette nouvelle charge d’espace provoque un nouvel champ électrique. A cause des effets d’un champ piézoélectrique dans les puits quantiques de GaN/AlGaN et de GaN/InGaN on a le confinement d’électrons et des trous, et la réduction des énergies des transitions interbande, cet effet de champ appel effet Stark quantique confiné, qui est traduit par le décalage de la gamme spectral d’émission vers le grand longueur d’onde (rouge). On modélise la polarisation dans les hétérostructures de GaN/AlGaN et de GaN/InGaN par le contrôle de la densité de gaz bidimensionnel et par la mesure de décalage de Stark des bandes d’énergie, donc par la détermination de l’énergie de transition. Pour donner le décalage de Stark et la densité de gaz bidimensionnel d’électrons, il faudra résoudre l’équation de Schrödinger-Poisson par l’utilisation des modèles de calcule : des fonctions d’Airy, de la matrice de transfert et de Schrödinger-Poisson self-consistent. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Conclusion 99 Le modèle non self-consistent (les fonctions d’Airy et la matrice de transfert) ne donne pas des bons résultats, car dans l’approximation des fonctions d’Airy les fonctions d’ondes s’annule à l’interface et ne détermine pas les énergies des niveaux supérieurs et des états excités. La méthode de la matrice de transfert ne donne pas des résultats quand le puits triangulaire est étroit, qui est le cas des puits quantiques GaN/AlGaN et GaN/InGaN où le champ électrique interne est très intense. Le modèle de Schrödinger-Poisson consiste un calcul self-consistent, par ce que la variation de la densité des charges en fonction de champ électrique est instable dans les hétérostructures de GaN/AlGaN et de GaN/InGaN. Dans le modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent, la résolution de l’équation de Schrödinger-Poisson a été fait par la méthode de différence finie. A cause de la présence de champ piézoélectrique dans GaN/AlGaN et GaN/InGaN la distribution des charges est inhomogène, donc nous avons étudie la méthode de différence finie pour résoudre l’équation de Schrödinger-Poisson. Le modèle de Schrödinger-Poisson self-consistent applique pour déterminer les énergies des transitions, l’énergie de bande de conduction, l’énergie de sous bande des trous lourds et la densité du gaz bidimensionnel d’électrons dans les nanostructures de GaN/AlGaN et de GaN/InGaN. Ce modèle donne de très bons résultats. La polarisation dans GaN/AlGaN et GaN/InGaN à un effet très important dans l’amplification de gaz bidimensionnel d’électrons, qui est recherché dans les applications électroniques, tel que le HEMT, HFET et HBT… Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran Conclusion 100 Sous l’effet d’un champ piézoélectrique dans les puits quantiques GaN/AlGaN et GaN/InGaN les électrons et les trous sont confinés dans un puits quantique triangulaire, cet effet est appelé effet Stark quantique confine où le spectre d’émission de puits quantique est décalé vers le rouge. Les nanostructures GaN/AlGaN et GaN/InGaN sont utilisés pour fabriquer des dispositifs optoélectroniques qui émient dans le visible et ultraviolet, tel que les diodes électroluminescentes et les diodes laser. Le champ piézoélectrique dans les puits quantiques GaN/AlGaN et GaN/InGaN a un effet sur l’énergie des transitions excitoniques à la présence d’un champ électrostatique, donc on a modification de l’amplitude de pic d’absorption, et la variation de l’indice réfraction (effet électro-optique non-linéaire). L’effet de champ piézoélectrique traduit par un effet d’optique non-linéaire, cet effet concerne les applications de GaN dans l’optique non-linéaire. Belmiloud Nawel Magister de Micro-Optoélectronique Modélisation Schrödinger-Poisson de la polarisation dans les nanostructures Département de Physique. Université d’Oran
![[15] Le courant d`absorption](http://s1.studylibfr.com/store/data/004310016_1-9971ebf5a048f7776bee65f04c2cee27-300x300.png)
