Propriétés Optiques - Université de Toulon

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Propriétés Optiques
2003 – 2004
Université de Toulon-Var
Faculté des Sciences et Techniques
Maîtrise de Sciences-Physiques
[email protected]
Après un bref rappel sur les bases de l'électromagnétisme dans les solides (partie A),
ce cours abordera les propriétés diélectriques des solides isotropes (partie B) en décrivant la
polarisation des solides et les conséquences qui en résultent sur les propriétés (en négligeant
l'éventuelle anisotropie) enfin, la dernière partie sera consacrée à l’optique cristalline (partie
C), dans laquelle nous étudierons les propriétés optiques des solides anisotropes.
Table des Matières :
Partie A.
Interaction d’un solide avec une onde électromagnétique................................. 2
I. Rappel des lois de l’électromagnétisme..................................................................... 2
II. Polarisation statique et constante diélectrique ........................................................... 4
III.
Champ réel en un point d’un diélectrique.............................................................. 6
IV.
Constante diélectrique complexe ........................................................................... 8
V. Mesure du tenseur ij .................................................................................................. 9
Partie B.
Propriétés diélectriques d’un solide isotrope ................................................... 12
I. Origine de la polarisation : cas d’un dipôle permanent ........................................... 12
II. Polarisabilité ionique ............................................................................................... 20
III.
Polarisabilité électronique.................................................................................... 34
Partie C.
Notions d’optique cristalline anisotrope .......................................................... 45
I. Introduction.............................................................................................................. 45
II. Propriétés du tenseur constante diélectrique............................................................ 47
III.
Interférence produite par les lames cristallines.................................................... 57
IV.
Applications des interférences en lumière polarisée............................................ 68
V. Polarisation rotatoire................................................................................................ 76
1
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Partie A. Interaction d’un solide avec une onde électromagnétique
Nous nous proposons, dans ce cours, d'étudier les propriétés optiques d'un solide, au
sens large du terme, c'est à dire les propriétés dues à l'interaction d'un solide avec une onde
électromagnétique de fréquence variable. Nous insisterons particulièrement sur la gamme de
fréquences dites optiques. Rappelons rapidement l'étendue du spectre électromagnétique, en
introduisant non seulement les fréquences et les longueurs d'ondes, mais aussi les nombres
d'ondes (utilisés principalement en spectroscopie) et l’énergie des photons associées.
Fréquence Nombre
( 1013 c s- d'ondes
(cm-1 )
1)
Energie
(eV)
Longueur
d'ondes
0.0001
0.033
4 x 10-6
30 cm
0.05
17
0.002
600µm
0.4
133
0.017
75µm
40
13 x 103
1.7
0.75µm
70
23 x 103
2.9
0.43µm
2000
0.67 x 106
83
150Å
Radio
Micro-ondes
Infrarouge lointain
Infrarouge
Visible
Ultra-violet
Rayons X
Dans les interactions de ces ondes avec les solides nous serons plus particulièrement
intéressés par l'infrarouge et l'ultraviolet, qui donnent de nombreux renseignements sur les
structures électroniques des corps, et, bien sûr, par le visible qui a, en plus, de nombreuses
applications regroupées sous le nom d'optique.
I.Rappel des lois de l’électromagnétisme
r
r
Le champ électrique E et le déplacement électrique D sont liés par la relation :
r
r r
D = 0E + P
r
dans laquelle P est le vecteur polarisation, c'est à dire le moment polaire par unité de volume,
1
et 0 la permittivité du vide ( 0 =
= 8,8542 × 10 12 F / m )
9
36 .10
On introduit souvent :
2
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r
P=
r
d’où
D=
r
et donc D =
r
E
e
0
r
0 (1 +
e )E
r
r
E
0 rE =
(
e
: susceptibilité électrique, sans dimension)
(
r
: permittivité relative, sans dimension)
(
: permittivité du solide considéré,
ou constante diélectrique, sans dimension)
Remarque : nous noterons la susceptibilité électrique e quand on ne pourra la confondre
avec la susceptibilité magnétique m .
Cette relation sera vraie pour un solide isotrope, c'est à dire quand toutes les
r
directions seront équivalentes. Dans ce cas, et r sont des scalaires et la polarisation P est
r
r
parallèle au champ E , ainsi que D .
Dans le cas général, , r ou sont des tenseurs, avec 9 composantes, et on devra
D1
E1
11
12
13
écrire :
D2 = 21
E2
22
23
D3
E3
31
32
33
d’où
Di =
ij
Ej
j
soit
Di=
ij
Ej
(avec la convention de sommation sur les indices répétés)
On aurait de même : Pi =
0
ij
Ej
j
r
r
r
L'important, c'est que, dans ce cas là, P ou D ne sont plus parallèles à E .
Le tenseur (ou , ou r ) est une propriété du matériau cristallin considéré. Il ne
sera scalaire que si : ij = 0 pour i j et 11 = 22 = 33 (ce qui arrive heureusement pour un
certain nombre de corps).
r r
Une onde électromagnétique est composée de 2 champs E et B , régis par les
équations de Maxwell :
r r r
div D = D =
r r r
B
rot E =
E=
t
r r r
div B = . B = 0,
r r
D
H=j+
rot H =
t
avec
: la densité volumique de charge
et
j : la densité de courant électrique
r
r
Nous devrions écrire les relations entre B (induction magnétique) et H (champ magnétique) :
B = µ0 ( H + M )
avec M le vecteur magnétisation. On peut introduire la susceptibilité magnétique
M = µ0
m
m
par :
H
Néanmoins, dans tout ce cours, nous supposerons (ce qui est presque toujours vrai)
que les corps dont les propriétés diélectriques sont intéressantes ont une susceptibilité
3
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magnétique négligeable :
m
<< 1
r
M ~0
r
r
B = µ0 H
II.Polarisation statique et constante diélectrique
Depuis longtemps (1770, Cavendish), on sait que l'introduction d'une substance
solide entre les pôles d'un condensateur augmente les possibilités de celui-ci en ce qui
concerne le stockage des charges, ceci est dû à la polarisation du milieu : quand un solide est
r
mis dans un champ électrique E , il va apparaître un certain nombre de dipôles dans le milieu,
pour des raisons que nous examinerons en détail plus loin :
i
-
i
+
i
E
En première approximation, disons que le solide étant composé de charges (+) et (-),
l'existence de ce champ va entraîner des déplacements, d'où l'apparition de dipôles. Le milieu
reste globalement neutre, mais on peut définir des dipôles élémentaires Pi (produit de la
charge positive par la séparation).
-
l
+
pi
r
| Pi | = l q.
r
Sur un petit volume dV on définira la polarisation P par :
r
P dV =
pi sur d
i
r
en choisissant dV assez grand pour avoir un grand nombre de vecteurs Pi , mais assez petit
r
pour définir P sur tout le volume. Ces déplacements de charge, vont induire l’apparition de
densités de charge (volumique et superficielle). On montre aisément, qu'on doit avoir :
r
i
=-div P
r
i
= P . n̂
où n est le vecteur unitaire normal à la surface et orienté vers l'extérieur.
On voit immédiatement que dans un diélectrique homogène et un champ homogène,
r
div P = 0 = i
Néanmoins si reste. On pourra donc décrire de deux façons un diélectrique dans un champ E
uniforme (donné par un condensateur plan).
4
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i
+
-
- - - - - ++++++
- - - - - ++++++
- - - - - ++++++
i
P
+
i
-
i
- -
- -
-
- -
- -
-
E
+
+ + + + + + + + +
Pour bien préciser ces choses, et nous rappeler quelques notions élémentaires
d'électrostatique, examinons de près ce condensateur sans, puis avec, un diélectrique.
1 / On charge un condensateur plan sans diélectrique, on a alors :
S
E=
0
+
=
V
d
(où
est la densité superficielle de charge, induite par la tension V)
S
d
-
s
E
V
S
2/ On supprime alors V, et l’on introduit un diélectrique entre les plaques du
V'
(c'est-à-dire que E et V décroissent).
condensateur, on aura alors, E’ = S =
d
+
S
E’
V’
- S
Il est apparu une densité superficielle induite i et par conséquent, la densité effective a
r
r
diminué. En effet P est parallèle et de même sens que E , la normale en haut est donc de sens
r
opposé à P et i est de signe opposé à s , d'où diminution.
3/ On aurait pu, aussi bien, garder la liaison avec la batterie, donc maintenir V. Dans
5
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ce cas, le champ E =
+
S
'
S
=
V
est toujours le même (= V/d)
d
’
E
-
S
V
’
C'est donc s qui a dû changer : la batterie fournit une charge supplémentaire, pour
compenser la polarisation du diélectrique et l'apparition des charges i. D'où une plus grande
capacité de stockage de charge.
III.Champ réel en un point d’un diélectrique
r
Appelons Elocal le champ local en un point A. Nous aurons besoin de connaître sa
valeur pour tous les calculs faits à l'échelle microscopique. Ce champ peut être décrit comme
dû à 4 contributions :
r
r r
r
r
Elocal = E 0 + E1 + E 2 + E 3
+
+
+
+
+
+
-
P
-
E1
-
-
E0
r
E 0 : Champ extérieur appliqué (dû aux charges extérieures).
r
E1 : Champ de dépolarisation, du aux densités de charge induites ( i) sur la
r
r
surface extérieure de l'échantillon. "Dépolarisation", car en sens inverse de P et de E 0 .
La somme de ces 2 termes est le champ macroscopique, qui sert à définir la
polarisation.
r
E 2 : Champ de Lorentz : Nous rajoutons maintenant les contributions dues aux
dipôles dans le solide : si ceux-ci sont assez loin du point où l'on fait le calcul, (distance > 10
paramètres cristallins), leur contribution peut être remplacée par une densité superficielle de
charge sur une cavité fictive entourant le point considéré. On prendra une cavité sphérique
6
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pour simplifier les calculs.
P
-
-
z
E2
+
O
-
+
+
+
+
r
r
Calcul pour P uniforme : Oz // P alors = -P cos (Attention : l'intérieur du matériau est
l'extérieur de la sphère !)
r
E 2 sera parallèle à Oz de toute évidence, calculons donc seulement Ez :
Ez =
dS
cos( + ) =
2
0r
4
+
P cos 2
sin
4 0r 2
d
d
r2
u = cos
Ez =
+1
P 2
4 0
u 2 du =
1
P
3 0
r
P
E2 =
3 0
r
E 3 : Champ du aux dipôles élémentaires situés à l’intérieur de la cavité. On peut montrer
r
que ce champ E 3 est nul pour un environnement cubique et une cavité sphérique. Pour d'autres
structures, il a été calculé et tabulé. Nous le supposerons nul pour tout ce qui suit.
On aura donc la relation de Lorentz (initialement dû à Mossotti) :
r P
r
E local = E +
3 0
r
r
qui relie le champ local, en un site cubique, et le champ macroscopique ( E 0 + E1 ),. Elle va
nous permettre de relier la susceptibilité
(grandeur macroscopique) à la polarisabilité
atomique i (grandeur microscopique). On la définit par :
r
pi = i E local
r
où p i est le moment dipolaire induit sur l'atome i par le champ local Elocal , on a alors :
r
P = N i pi
i
où Ni est la densité volumique d'atomes de type i :
r r
P = Elocal
Ni
i
i
7
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Il est important de noter que le terme
Ni
i
r
est défini microscopiquement alors que P est
i
défini macroscopiquement
!
r r
r
P
E = E local = E local 1
3 0
Ni
i
i
3
0
r
r
On rappelle que, par définition, P = 0 e E , d’où :
r
r
!
Ni i
r
P
P
1 i
E=
=
3 0
Ni i
0 e
i
Ni
d’où
0
i
i
e=
Ni
1
i
i
3
0
Si on revient à la constante diélectrique relative :
Mossotti:
r
r
1
=
+2
Ni
r
i
i
3
= 1+ e, on trouve la relation de Clausius
(structures cubiques)
0
Si l’on n'a qu'un seul type d'atomes (ou de molécules), on aura :
N
N i i =N = A
M
i
d'où
M
r
r
1
=NA
+2
3
0
qui permet de mesurer la polarisabilité molaire.
IV.Constante diélectrique complexe
Jusqu'à présent, nous avons traité toutes les quantités , e ou r comme des
quantités réelles. Ceci revient à dire que P suivait instantanément les éventuels changements
de E. Pour un champ E statique, c'est peu important. Si maintenant, E varie sinusoïdalement,
cela à une grande importance :
r r i"t
E = E0 e
r
r
r i" t
D = E = E0 e
r
r
r
Si est réel, D est en phase avec E , ainsi que P . Néanmoins, cela semble peu
réaliste, il y aura souvent des pertes et des effets d'inertie et on imagine assez bien que la
8
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r
r
polarisation (ou D ) ne suivra pas instantanément E . Il y aura souvent un déphasage et, par
conséquente, des pertes.
Écrivons : = 1-i 2
r
r r i ( "t # )
D = E = D0 e
1
–i
1=
2
=
D0
E0
e
D0
cos #
E0
i#
=
D0
(cos # - i sin #)
E0
et
= tan#
2
1
Montrons que 2 est lié aux pertes dans le diélectrique. Nous dirons que les pertes sont liées à
l'existence du courant de déplacement (en l'absence de courant, pas de perte).
Les équations de Maxwell permettent de définir le courant de surface j comme suit :
D
t
j=
d’où
(
j=
1
i
)
2
r
E0
e i"t =(i "
1
+"
2)
r
E0
e i"t
t
La puissance moyenne dissipée par ce courant, par unité de volume du diélectrique est :
r
P =< j . E >temps
[Attention, produit, donc ne pas utiliser la représentation complexe]
j ="
1
r
E0
e
i "t +
2
+"
2
r
E0
e i"t
r
r
Re( j ) = -" 1 E 0 sin "t + " 2 E 0 cos "t
r
j . E sera en : sin "t . cos "t & 0
(comme on fait la moyenne sur le temps)
cos2"t &
et :
" 2 E0 2
1
2
( idem )
"E 0 D0
sin #
2
2
L'existence du déphasage implique l'existence de pertes. Ceci sera vu plus en détail.
donc
P=
=
V.Mesure du tenseur
ij
Quand on écrit les composantes ij du tenseur , cela sous-entend qu'on s'est défini
un système d'axes. Si on change de système les ij vont changer. Donnons tout de suite sans
démonstration une propriété intéressante : si ij = ji alors est un tenseur symétrique. Si l’on
veut mesurer les composantes on va faire des mesures de capacité pour des plaquettes
(d'orientation différente) du diélectrique. Soit n la normale :
ni xˆ i
n̂ = n1 x̂1 + n2 x̂ 2 + n3 x̂3 =
i
On la met dans un condensateur dont les plaques sont supposées infinies et parfaitement
équipotentielles.
9
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1/ Regardons d'abord ce qui se passe quand le condensateur est vide : on a toujours :
E=
S
=
0
V
d
S
=
V
d
0
et la capacité par unité de surface est
C0 =
S
V
=
0
d
r
2/ Si maintenant, on met le diélectrique, E est toujours perpendiculaire aux plaques
r
r
r
mais D (et P ) ne sont pas parallèles à E pour le cas général ( n̂ quelconque). Néanmoins, on
r
aura (théorème de Gauss : le flux du vecteur D sortant d’une surface fermée S(v) est égal à
l’ensemble des charges comprises à l’intérieur de ce volume v) :
r
D . n̂ = S '
r
soit
(attention, est un tenseur, il influe le produit scalaire).
S ' = n̂ . E
r
V
E =E. n̂ = n̂
Pour un condensateur plan :
d
' n̂ V
C nˆ nˆ
n̂
on a alors :
C= S =
et
=
V V d
C0
0
Explicitons un peu : n̂ est un vecteur de coordonnées :
ij
n j , donc (si le tenseur
est
j
symétrique
ij= ji)
:
n̂ . n̂ = n1
1i
ni + n2
n̂ . n̂ =
11
n12 +
2j
n j + n1
j
i
22
n22 +
3k
nk
k
33
n32 +2
12
n1n2 +2
13
n1n3 + 2
23
n2n3
Il sera astucieux de choisir 6 directions de coupe pour la plaquette, de façon à
simplifier les calculs. Un exemple serait :
10
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n = (1,0,0)
11
n = (0,1,0)
22
= n̂ . n̂ =
0
C
C0
n = (0,0,1)
= n̂ . n̂
33 = n̂ . n̂
n = ( 1 , 1 ,0)
12
1
= n̂ . n̂ - (
2
11 + 22)
n = ( 1 ,0, 1 )
13
1
= n̂ . n̂ - (
2
11 + 33)
n = ( 0, 1 , 1 )
23
1
= n̂ . n̂ - (
2
22 + 33)
2
2
2
2
2
2
Cela dit, lorsqu'on connaît les symétries d'un corps on simplifie beaucoup le
problème en choisissant astucieusement les axes. On peut montrer que :
11
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Partie B. Propriétés diélectriques d’un solide isotrope
Passons maintenant à l'étude d'un solide que l’on supposera isotrope (dans ce
chapitre) et qui interagit avec une onde électromagnétique de fréquence ' ou de pulsation ".
r
Nous avons donc à résoudre l'équation de propagation de E déjà décrite dans le cours de
licence et qui est, dans l’approximation linéaire (pour une dépendance exponentielle
imaginaire en temps) :
r "2
r r
( E + 2 ( 1 – i 2) E = 0
c
et qui donne une solution de la forme :
r r i ("t kr rr )
"2
E = E0 e
avec
k2 = 2 ( 1 – i 2 )
c
c
c
soit : V =
=~
( 1 i 2) n
~ = – i est la constante diélectrique complexe (relative). En optique nous introduirons
1
2
l'indice complexe :
n~ = ~
Le problème principal consiste à calculer ~ et étudier sa dépendance en fréquence.
I.Origine de la polarisation : cas d’un dipôle permanent
Origine de la polarisation diélectrique
La matière est formée de charges électriques les ions (+ ou -, lourds) et des électrons
(-, légers). Sous l'effet d'un champ électrique, ces charges vont réagir de façons diverses.
Considérons tout d'abord des molécules asymétriques : si les atomes qui les composent ont
une différence importante d'électronégativité, on aura un moment dipolaire permanent pour
chaque molécule :
H
Cl
pHCl
On aura une molécule avec un charge - sur le Cl et + sur H, séparée par le distance entre les 2
atomes. Le moment dipolaire | p HCl | est de 3.33 x 1030 C.m soit 1.0 Debye (ou 0.21 e .Å )
Connaissant la distance entre H et Cl on peut en déduire l'ionisation de Cl et de H
Autre exemple, la molécule d'eau :
± 0,18.
12
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H
O
pH2O
H
ici on trouve | p H 2O | = 1.9 Debye, ce qui correspond à une ionisation de -0,8 pour l'oxygène
et de 0,4 pour chaque atome d'hydrogène.
Une autre réponse qui, elle, concernera tous les corps est la création de dipôles
induits: quelle soit la symétrie des corps, les charges + auront tendance à se déplacer dans le
sens du champ appliqué tandis que les charges - se déplaceront dans le sens inverse. Si petits
que soient ces déplacements, ils suffiront à rompre l'équilibre qui existait entre les charges +
et les charges - et à créer des dipôles.
Nous serons donc amenés à définir trois sortes de polarisation à l'échelle atomique,
pour un solide soumis à un champ électrique :
a) Alignement (partiel ou complet) des moments dipolaires permanents (existant
avant l'application du champ électrique). Rappelons qu'un champ électrique provoque
r
l'apparition d'un couple qui fera tourner le dipôle pour essayer de l'aligner avec E . Nous
appellerons ce processus la polarisation orientationnelle. Il sera évidemment plus ou moins
facile dans un solide où les voisins risquent de freiner les rotations. Il sera aussi freiné par
l'agitation thermique et la polarisation obtenue va évidemment dépendre de la température
(contrairement aux autres polarisations).
b) Dans les composés partiellement ioniques, les ions + et -, qui étaient dans des
sites symétriques, vont se déplacer : on aura donc des dipôles induits, tandis que les ions vont
osciller sous l'effet du champs électrique. Cette polarisation ionique est évidemment liée aux
oscillations possibles du réseau (voir cours de licence).
c) Enfin le troisième type de contribution, qui est la seule qui intervienne dans tous
les solides, est la polarisation électronique : en l'absence de champ électrique, les électrons
forment un nuage autour du noyau (charge positive). L'ensemble est donc non seulement
neutre, mais le moment dipolaire est nul. Sous l'influence du champ électrique, le noyau,
lourd, se déplacera peu mais les électrons se déplaceront plus, et en sens inverse. Il va donc
en résulter l'apparition d'un moment dipolaire sur chaque atome.
13
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Courbe de dispersion
Si nous considérons un solide qui contient des dipôles permanents, les 3
phénomènes contribueront à la polarisabilité ( et donc à e), aux basses fréquences (champ
variant lentement). Aux fréquences plus hautes, la constante diélectrique n'aura de
contribution que à partir des phénomènes qui arrivent à suivre un champ qui varie de plus en
plus vite. Les autres auront des difficultés à suivre, se déphaseront, puis n'existeront plus. On
va donc voir apparaître une partie imaginaire dans la constante diélectrique.
= (Re , Im )
(Re
polarisation en phase)
(Im
pertes dans le diélectrique, liées au déphasage)
Pour un solide ionique, contenant des dipôles permanents, on obtiendra une courbe
caractéristique, schématisée ci-dessous :
µ-ondes
UV
IR
P1+ P2+ P3
optique
1
P2+ P3
P3
1
2
Vide
( =1)
'
Dans le premier domaine, les trois sources de polarisation contribuent, tout d'abord
sans problème. Puis la composante de P due à l'orientation des dipôles n'arrive plus à suivre
les changements rapides du champ pour des fréquences supérieures à une limite autour de
1010 Hz (l = 30 mm). Aussi la partie réelle de e va diminuer considérablement dans cette
région. Parallèlement, on voit apparaître une partie imaginaire de e dans toute la gamme de
processus où les dipôles tournent encore, mais sont de plus en plus déphasés par rapport au
champ. Lorsque la fréquence augmente encore un peu, l'amplitude de rotation des dipôles
permanents est négligeable : ne contribuent plus à la polarisation que les polarisations
induites.
Une seconde diminution de la constante diélectrique réelle accompagnée d'une
contribution d'une partie imaginaire (pertes) apparaît vers 1013 Hz (l~30m) pour les solides
partiellement on complètement ionisés. Le même phénomène se produit : les dipôles
oscillants induits n'oscillent plus en phase, des pertes apparaissent, c'est à dire que les
amplitudes des ondes diminuent. On aura absorption des ondes électromagnétiques dans
toute cette région située dans l'I.R.
Au dessus de ces fréquences, les ions ne bougent plus et seule existe la polarisation
électronique (les électrons sont plus légers !) : c'est elle qui est responsable de l'existence
14
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d'une constante diélectrique supérieure à 1 pour l'optique proprement dite.
Puis, même les électrons abandonnent ! Après une région troublée vers ' = 1015 Hz
() = 3000Å), i.e. dans l'U.V., où apparaît de nouveau un constante imaginaire et beaucoup
d'absorption, la constante diélectrique, pour des fréquences bien supérieures à 1015 Hz peut
être considérée comme égale à l'unité.
Polarisation orientationnelle : approche simplifiée
Nous allons commencer par raisonner d'une manière qui n'est réellement justifiée
que pour un gaz ou un liquide, car dans un solide, les molécules polaires ne sont pas libres de
tourner en réponse à un champ électrique. Pour le moment, nous allons supposer qu'elles
peuvent tourner. (cf. paramagnétisme)
r
Nous avons N dipôles permanents/unité de volume; soit p un de ces dipôles. Sans le
r
champ E , ils seront orientés de façon aléatoire et leur somme sera nulle. Si on leur applique
r
un champ E , on obtiendra une orientation, et on aura :
r
P=
p cos =N p < cos > avec = angle que fait le dipôle avec le champ E
N
r
Combien de dipôles dans une direction formant un angle avec le champ E ?
r
r r
Ceci est lié à l'énergie du dipôle dans E (U=- p . E =-p.E cos ) et à l'agitation thermique,
qu'on peut décrire par une distribution de Boltzmann.
On aura donc
cos
sin
=
d
d
e
sin d
u / kT
d
e
cos
u / kT
U ne dépendant que de , on peut réécrire ceci :
sin
cos
=
d
u / kT
e
cos
0
sin
d
e
u / kT
0
Posons: w =
pE
= constante
kT
Donc: sin d = - d (cos ) = - dy/w
Pour = 0 y = w
et
pour
d'où
cos
=
1
w
u
= w cos
kT
y=
et
y = -w
=a
+w
y e y dy
w
+w
e y dy
w
+w
y e dy = [y e ]
y
le numérateur donne
w
+w
y +w
y
w - e dy
w
15
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d’où cos
1 ! w ew + w e
=
w
ew e w
w
cos
= coth (w) -
1
= L(w)
w
C'est la fonction de Langevin, représentée ci-dessous :
L(w)
L(w)&1
1,0
0,6
w/3
0,8
0,4
0,2
w
lorsque " & ,
e" + e
e" e
lorsque " & 0
e" + e
e" e
=
1
"
"
"
1+
L (") ~
2" +
"2
3
"
3
6
"
"2
" 1+
=
1
"
1+
&0
L(")=1
2
=
3
"2
1
2
"
1+
2 +"2
-
"
1
&1
"
"2
6
"2
3
+"4
(en négligeant des termes en " 3 )
Remarque : cette approximation est excellente jusqu'à des champs (à température ambiante)
supérieurs aux champs de claquage ! Aussi l'utiliserons-nous toujours.
"
pE
=
On a donc : cos =
3
3kT
or P=Np cos
P=
Np 2 E
=
3kT
dp
dp
=
=
0
dp
0 dpE
(« dp » pour dipôle permanent)
E
Np 2
3 0 kT
est faible pour un gaz (N faible) mais
dp
~ 1 pour des liquides ou des solides polaires.
Application numérique : {N = 1028 m-3 , p = 1 Debye} &
dp
=
300
T
16
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Rappelons nous qu'il y a toujours une contribution des dipôles induits et que la constante
diélectrique doit s'écrire :
=1+
i
: contribution ionique
e
+
e
i
+
dp
: contribution électronique
Mais comme i et e n'ont pas de raison de varier avec la température l'étude de la
constante diélectrique (à basses fréquences) en fonction de la température permet d'avoir des
renseignements sur dp.
Exemple : le sulfure de dihydrogène (H2S)
On observe bien une augmentation de quand la température décroît, donc une augmentation
de dp, mais il est évident que cette augmentation n'est pas régulière. La courbe ci-dessus
montre un saut, et ceci semble plutôt correspondre à des possibilités de saut d'une orientation
à une autre : on concevrait assez bien qu'il n'y ait que quelques orientations permises dans un
solide, et non pas une possibilité de rotation quelconque.
Remarquons qu'à partir de 103 K, il n'y a plus de possibilité orientationnelle : il y a
une transition de phase cristalline, qui donne une nouvelle structure où les molécules H2S
sont orientées.
Polarisation orientationnelle : approche quantique
Ce qui précède montre qu'une théorie "Langevin" ne rend pas compte avec précision
de ce qui se passe. Considérons une molécule polaire dans un cristal. Quand aucun champ
extérieur n'est appliqué, l'énergie de la molécule a la forme montrée ci-dessous.
17
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On voit que 2 orientation 1 et 2 sont favorisées : pour passer de l'une à l'autre, le système
doit franchir la barrière de potentiel Y. On caractérise le taux de saut entre les 2 orientations
par un temps de relaxation :
y
e kT
=
2 'D
où la fréquence intrinsèque de saut ('D) est liée à la limite supérieure de vibration de réseau :
'D ~
k
D
( D : température de Debye).
h
'D ~ 1011 à 1013 Hz (infrarouge), mais peut être >> 10-11 s si Y >> kT (ce qui arrivera
souvent). A l'équilibre, les populations des 2 orientations sont équivalentes.
Appliquons maintenant un champ électrique, on obtient alors la courbe du bas : un
des minima est plus bas que l'autre, sa population sera donc favorisée. Si le champ est
appliqué suffisamment longtemps (très important) pour permettre l'établissement d'un état
stable, on aura:
pE
(cos
N1
= e kT
N2
1
cos
2
)
L'existence d'une différence N2-N1 suffit à faire apparaître une polarisation.
Augmentons la fréquence du champ électrique, jusqu'à des valeurs comparables à -1
qui sont nettement inférieures aux valeurs où les polarisations induites ont des problèmes.
Debye a montré (1929) qu'il faut maintenant écrire :
18
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B
1 + i"
A ces fréquences, les contributions dues aux dipôles induits ne dépendent pas de la
fréquence (les dipôles induits suivent sans problème le champ électrique). C'est donc la
contribution écrite comme A ( A-1 en fait !). Par contre, la contribution "freinée" des
rotations de dipôles permanents en dépend. C'est le terme en B. On en déduit les équations de
Debye :
B
i" B
et
1 = A+
2 =
2 2
1+ "
1+ "2 2
La première équation décrit la première "chute" de Re( ) dans la courbe (") que nous avions
tracée, couplée avec un premier pic dans 2, qui sont tous les deux centrés sur -1 . Se rappeler
que dépend de la température ( augmente quand la température diminue). Donc, à " fixé, 1
va décroître avec T, et 2 existera pour certaines températures. Nous verrons cela dans un
petit problème.
Dernière remarque : on ne parle pas de polarisabilité ici, c'est un processus un peu à part.
= 1 – i 2 = A+
19
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II.Polarisabilité ionique
1. Généralités :
Dans tout ce qui précède, nous avions décidé que les ions ou noyaux ne bougeaient
pas : ceci est vrai si le solide n'a pas de liaison ionique ou si les fréquences sont suffisamment
grandes pour que le réseau ne puisse pas suivre. Dans le cas de solides ioniques (et la plupart
des oxydes le sont) pour des fréquences pas trop hautes il faudra tenir compte de ceci : nous
avons vu que, par exemple pour NaCl, la constante diélectrique peut être nettement supérieure
pour des fréquences très basses BF.5,62, à la valeur « optique » : optique(NaCl) .2,25
Là aussi, lorsque les fréquences augmentent, on obtient une bande de fréquence très
dispersive et absorbante.
La figure ci-dessus montre les constantes optiques mesurées pour NaCl.
(nr – i ni)2 =
On voit apparaître les variations caractéristiques de nr liées à une forte augmentation de ni.
[Attention : les coordonnées sont logarithmiques, et les abscisses sont des longueurs d’ondes]
Remarquons que l'absorption résultante est très forte: au maximum () - 60 µm), on a ni ~ 6,
k 0 ni z
2
(avec k 0 =
)
ce qui revient à une absorption en e
)0
2 ×6
= 2 × 10 3 = 6300 cm-1 = 0,63 µm-1
4
60 × 10
Par exemple, pour une épaisseur de 10 µm, l'amplitude de l'onde est déjà divisée par e6,3 =
544. L'intensité est donc divisée par le carré !
Soit :
k 0 ni =
20
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On rappelle la loi de Beer-Lambert : I = I 0 e
z
=
, (avec
4 ni
)
=
4 k
)
)
Le processus est, en première approximation, assez comparable au précédent. Considérons
une chaîne d'ions qui interagissent entre eux, et approximons comme d'habitude
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
leurs interactions par des ressorts (approximation linéaire). A l'équilibre, les ions sont
supposés équidistants. Sous l'action d'un champ E, ils vont se mettre en mouvement, les
charges + dans un sens et les charges - dans l'autre. On voit tout de suite apparaître des
différences suivant la direction relative de E et de la chaîne d'atomes : mouvement
transversal, ou longitudinal, ou quelconque.
E
+
+
+
+
-
-
+
-
-
-
exemple mouvement transversal : de l'alternance des charges résulte évidemment une
opposition de phase.
Néanmoins, ignorons ceci pour le moment et considérons l'existence de dipôles oscillants
dans le solide, un dipôle étant évidemment constitué d'un ion + et d'un ion - . La seule
différence est que maintenant la partie - et la partie + sont en mouvement. On aura donc (en
notant µ ,la masse réduite) :
µ
d 2x
dx
= µ"T2 x µ/ i
+ qEloc
2
dt
dt
Avec le terme µ"T2 x qui représente la force de rappel (et "T = pulsation propre)et le terme
dx
µ/ i
qui représente les forces de frottements (et /i = coefficient de frottements)
dt
La formule de Claudius Mosotti devra maintenant tenir compte des 2 polarisations possibles
(pour '>>'µ-O)
r
r
1
=
+2
Ni
i
3
i
devient : N e
0
e
+ Ni
i
=3
0
1
+2
On a l'habitude d'appeler
la constante diélectrique "optique" (en dehors de l’absorption)
c'est à dire due uniquement à la polarisabilité électronique. On peut toujours la mesurer et on
aura :
21
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,
3
0
,
et donc
i
=
1
= Ne
+2
2 0
Ni
e
1
+2
,
,
1
+2
qui permet de mesurer la polarisabilité ionique.
Exemple : La mesure donne pour NaCl, h = 2,25 et = 5,62. Sachant que le paramètre de
maille a = 5,63 Å, calculer la polarisabilité ionique i de NaCl
(On trouve : Ni = 2,2 * 1028 m-3 d'où i = 3,8 * 10-40 F.m2 , ce qui donne un bon ordre de
grandeur pour les solides ioniques)
La solution de l'équation ci-dessus donnera une solution qui sera complexe pour les
fréquences proches de "T. On aura, après utilisation de Clausius Mosotti et un petit calcul
identique au cas de la polarisabilité électronique (mais en tenant compte des deux.) :
=
avec " 02 = " t2
,
+
(
0
,
)"T2
" 02 " 2 + i"/
qui donne l’allure
N i e( , + 2 )
qµ 0
et e0 et eh les valeurs de dans les limites où w devient très petit ou très grand.
2. Modes de vibration d'un réseau diatomique linéaire :
Les considérations précédentes ne sauraient évidemment suffire. Il nous faut retourner aux
possibilités de vibration d'un réseau. Nous allons donc reprendre, en explicitant un peu, ce qui
a été fait l'an dernier (dans le cours Ondes et Vibrations)
M
a
m
u2n
u2n+1
Soit un réseau linéaire composé de 2 sortes d'atomes de masse m et M. Nous appelons m la
plus petite des 2. La période est évidemment 2a. Nous affecterons les indices pairs aux
masses m et les indices impairs aux masses M. On suppose enfin que les interactions peuvent
être considérées comme élastiques (on est loin du point de fusion). On cherche à exprimer la
fréquence angulaire " en fonction de K (constante de raideur du système, en supposant
vérifiée la loi de Hooke), de k (vecteur d’onde), m et M.
Pour un petit déplacement u2n suivant a, on aura :
22
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d 2u 2n
= K (u 2 n u 2 n +1 ) K (u 2 n u 2 n 1 )
dt 2
Pour un petit déplacement u2n+1 suivant a, on aura :
m
d 2u 2n
M
= K (u 2 n +1
dt 2
m" u 2 n
2
u 2 n + 2 ) K (u 2 n +1
d 2 u 2n
=m
= K (u 2 n +1
dt 2
u 2n )
2u 2 n + u 2 n
1
)
d 2 u 2 n +1
M" u 2 n +1 = M
= K (u 2 n + 2 2u 2 n +1 + u 2 n )
dt 2
On cherche des solutions de la forme de deux ondes progressives, u2n et u2n+1,
2
) pour les deux sortes d’atomes qui peuvent présenter des
déphasées de /2 ( k =
a
amplitudes de déplacement différentes :
u 2 n+1 = B e i ("t k (2 n+1)a )
u 2 n = A e i ("t k 2 na ) et
2
d'où :
-m"2A = KB (e-ika + eika) - 2KA
-M"2B = KA (e-ika + eika) - 2KB
soit :
A [2K - m"2] = 2KB cos ka
B [2K - M"2] = 2KA cos ka
d'où
(2K - m"2) (2K - M"2) = 4 K2cos2ka
mM"4 - 2K (m + M) "2 + 4K2 (1 - cos2ka)=0
(' = K 2
m+M
mM
2
! 1 1
4 K 2 sin 2 ka
= K2
+
mM
M m
1 1
+
±K
" =K
M m
2
d'où :
Remarque :
Si
ka & ka + B
1 1
+
M m
2
2
4 K 2 sin 2 ka
mM
4 sin 2 ka
mM
c'est identique
et +
comme zone de Brillouin.
2a
2a
C'est normal, car la période est 2a et la zone de Brillonin est 2B/période
spatiale. De plus c'est symétrique pour ± k.
Soit un zone comprise entre
Sinon, il apparaît évidemment 2 valeurs de " (correspondant au ±) pour une valeur
23
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donnée de k. On aura donc une courbe comme celle donnée ci-dessous (il faut lire µ 1 K).
Regardons d'abord les fréquences basses, elles ressemblent à celles qui apparaissent pour des
solides monoatomiques "branche acoustique".
k=0 &
"=0
k=
Puis ça augmente jusqu'à :
où
"12 = K
"12 =
On a :
1 1
+
m M
2K
M
K
1
m
2
1
M
ne dépend pas de m.
A 2 K cos ka
=
B 2 K m" 2
" & "1
ka =
2a
"2 3
2K 2K
<
M
m
A
>0
B
A&0
la petite masse ne bouge pas.
2a
On a ensuite une bande de fréquences interdites où aucune valeur réelle de k ne peut
donner de solutions. Puis apparaît la seconde bande permise de fréquences : cette seconde
branche de la relation de dispersion est appelée branche optique pour des raisons qui vont
apparaître.
Quand
k&
Rappelons enfin que pour un cristal fini (ce qui est évidemment presque toujours le
cas), si on a N périodes, on aura en fait discontinuité de k et donc de w, et qu'il apparaîtra N
24
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valeurs de k possibles (N grand, sinon c'est en fait N+1!) donnant les N modes acoustiques (et
aussi les N modes optiques) possibles.
3. Branche optique : (ou mode optique)
Elle est ainsi appelée parce qu'elle ne peut être excitée que par des ondes
électromagnétiques, de fréquence appropriée, pour des solides ioniques. Cela se comprend
B
aisément si l’on regarde le rapport .
A
Regardons d'abord le spectre de fréquences permises :
Solutions en
"2 = K
k=0
" 2 = 2K
k=
2
a
"2 = K
1 1
+
+K
M m
1 1
+
M m
2
4 sin 2 ka
mM
1 1
= "32
+
m M
1 1 1
+
+
m M m
1
2k
=
= " 22 < "32
M
m
d'où l'aspect montré sur la figure précédente.
On a alors :
A 2 K M" 2
=
B 2 K cos ka
avec
"2 5
2K 2K
>
m
M
A
est toujours négatif : 2 ions voisins bougent en opposition de phase, ce qui est
B
nécessaire en cas d'interaction avec un champ électrique.
Regardons de plus près une comparaison des 2 branches.
Remarquons tout d'abord que ce qui a été dit serait aussi bien valable pour des
modes transversaux que pour des modes longitudinaux : seule la valeur de K changerait (voir
cours de l'an dernier) ce qui changerait toutes les pulsations limites "1, "2 et "3.
donc
25
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On voit clairement sur ce dessin les différences entre les 2 branches, et pourquoi la
branche acoustique ne saurait être excitée par un champ électrique. On comprend, en
particulier, qu'il faut plus d'énergie pour un mode optique (où les forces de rappel sont plus
fortes car deux voisins sont plus éloignés) que pour un mode acoustique, où les voisins sont
relativement proches.
Regardons de plus près la borne supérieure du spectre :
k& 0
et
" & "3
"
k
=v &,
en effet 2" d " =
de plus
K
2
A
=
B
d"
= vg & 0
dk
et
8a
sin ka cos ka
mM
1
1
+
M
m
2
4 sin 2 ka
mM
2K
2K
m 2K
1
1
+
M m
=
dk donc k& 0
1
1 1
m
M
=
d"
&0
dk
M A
=
m B
Regardons maintenant la borne inférieure du spectre,
26
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k&
a
2
" & "2 .
A 2 K M" 2
=
&,
B 2 K cos ka
i.e.
(là aussi v g & 0 )
B& 0
Les atomes lourds ne bougent plus, d'où une limite qui ne dépend que de la masse légère)
Résumé :
"2
2K
M
2K
m
2K
m
2K
M
2K
M
Le rapport des masses
2ème bande (optique) permise :
2K
1
1
3 " 2 3 2K
+
m
m M
bande interdite :
2K
2K
3 "2 3
M
m
1ère bande (acoustique) permise :
0 3 " 2 3 "12 =
2K
M
m
détermine donc et la largeur de la bande interdite et la largeur de
M
la bande optique :
- quand m et M ne sont pas trop différents, la bande interdite est peu large et la
bande optique est plutôt large.
- quand M devient nettement plus grand que m, la bande interdite est large et les
2K
fréquences optiques sont dans une bande étroite aux alentours de " 2 .
.
m
Généralisons enfin tout ce que nous venons d'écrire à un milieu "réel", c'est à dire à
trois dimensions. On peut montrer qu'il va correspondre 2 modes transverses à un mode
longitudinal. Si on a un cristal monoatomique de N mailles, on aurait alors (conditions aux
limites) :
27
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N modes longitudinaux
2N modes transversaux
( w groupés dans une bande )
Si maintenant la maille n'est pas monoatomique, mais comprend p atomes (il s'agit,
bien sûr, de la maille primitive), on aura toujours :
N modes acoustiques longitudinaux
2N modes acoustiques transversaux
mais en plus on aura :
(p-1)N modes optiques longitudinaux
2(p-1)N modes optiques transversaux
Si p grand (composé organique par exemple) il y aura beaucoup plus de modes
optiques que de modes longitudinaux. Le spectre g(") sera en général très compliqué (il y a
beaucoup de manières différentes de faire vibrer des atomes en opposition à l'intérieur de
chaque maille de base). De plus, il faut bien comprendre que, suivant la direction de
propagation, les relations de dispersion seront différentes.
Les courbes ci-dessus montrent la dispersion obtenue dans un cristal de NaI. Deux directions
importantes ont été étudiées ([100] et [111] ). Rappelons que Na I a 8 atomes par base
cubique, mais c'est un fcc et la maille primitive contient deux atomes M(I ) >> m(Na)
On remarque que les " des TO et LO sont très différents, un point commun à tous
les cristaux (partiellement) ionisés. C'est un point très important sur lequel nous reviendrons.
28
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Pour être complet, montrons l'exemple d'un corps non ionisé, mais dont la base comprend 2
atomes = le diamant :
On voit en particulier que l'égalité des masses fait disparaître la bande interdite (du
moins dans la directions [100] ).
Remarquons aussi la quasi dégénérescence des modes à grande longueur d'onde (k
petit) pour les modes optiques, qui est très caractéristique de corps non ioniques.
Nous nous occupons maintenant des corps ioniques, en nous rappelant qu'on a une forte
interaction entre ondes électromagnétiques et vibrations du réseau pour des fréquences
comprises dans une bande définie par les relations de dispersion : interaction implique
absorption des ondes électromagnétiques.
4. Reststrahlen (raies résiduelles) :
Considérons donc un cristal ionique sur lequel on envoie une onde
électromagnétique de pulsation w. On observe expérimentalement l'intensité transmise : on
voit apparaître pour des fréquences dans le lointain infrarouge, (typiquement 1012 rad/s) une
absorption qui passe par un pic très prononcé, en particulier aux basses températures. Sur
l'exemple ci-dessous, il s'agit de films très minces (~ 1m) et on voit qu'on a des transmissions
très faibles pour certaines valeurs.
Pourquoi ?
29
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Lorsque les fréquences sont relativement basses, le champ E de l'onde
électromagnétique force un mouvement des ions, dont l'amplitude est relativement faible et
qui est en phase. Les équations de tout à l'heure deviennent :
m=
d 2u 2 n
= K (u 2 n+1
dt 2
2u 2 n + u 2 n
1
)
eE
d 2u 2 n+1
= K (u 2 n 21 2u 2 n+1 + u 2 n ) + eE
dt 2
en ayant supposé le cation plus lourd que l'anion. Nous cherchons des solutions de la forme :
m=
u 2 n = Ae i"t
et
u 2 n+1 = Bei"t
avec E = E0 e i"t nous avons supposé k nul car le moment associé aux ondes incidentes
électromagnétiques est très faible (conservation du moment).
"
5 × 1013
= 1,7 × 10 5 rad s
Typiquement on aura pour un photon : k = =
8
10
c 3 × 10 × 10
alors que k(acoustique) varie de 0 à
2a
1
c'est à dire 1 rad.Å-1 pour a = 1.6 Å
m" A = K (2 B 2 A) eE0
2
M" 2 B = K (2 A 2 B ) + eE0
On en tire :
A
=
B
M
m
30
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et
d'où :
(
)
A 2K
m" 2
A 2K
m" 2 + 2 K
A=
2 KB = eE0
m
M
E0
e
2
m "T " 2
2 KB = eE0
de même
B=
E0
e
2
M "T " 2
1
1
qu'on peut montrer être la pulsation de la branche optique
+
m M
correspondant à k = 0.
eE
A B= 0
2K
On a un phénomène de résonance : tant que w est très en dessous de wT, A et B
restent faibles, mouvement forcé. En se rapprochant de la pulsation de résonance, on va avoir
une interaction très forte, le cristal absorbe beaucoup d'énergie. Puis lorsque w devient très
grand, A et B tendent vers 0, le cristal ne suit "plus".
où "T2 = 2 K
Voyons, sur ce modèle simplifié ce que donne la polarisation : une maille (dans un modèle à
2 atomes par maille) donne un dipôle : e (A - B)
pour un volume Vm
Soit (P , la contribution due à la polarisation ionique (pour "<<") : (P =
Or
Donc
P
0 E0
= 1+
( =
e 2 E0
2 KVm
,
P
=
e2
(P
=
2 K 0Vm
P E0
(" petit)(" grand)/ "T
P
,
=
e2
2
0Vm"T µ
Théorie un peu simplifiée mais qui donne déjà une bonne idée du phénomène.
Pour des pulsations intermédiaires on retombe sur la formule empiriquement établie
au début en sachant néanmoins que "T2 est la pulsation correspondant au mode optique
transversal.
31
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Reprenons la formule :
(" ) =
1 (" ) =
,
,
+
(
,
0
)"T2
"T2 " 2 + i/"
+
(
,
0
("
)"T2 ("T2 " 2 )
" 2 ) + / 2" 2
2
2
T
devient négative pour une région de " au delà de "T:
1
<0
-> nr “ ni
n est imaginaire pur = forte absorption d'où forte réflexion.
Si nous examinons maintenant l'effet des modes longitudinaux (toujours à k très faible), nous
avons vu que "L est toujours au dessus de "T.
Une relation intéressante a été établie par Lyddane, Sachs und Teller ( relation LST ) :
"L
"T
2
=
P
,
On doit avoir pour "L :
1 (" L ) =
,
+
(
P
("
2
T
,
)"T2 ("T2 " L2 )
" L2 ) + / 2" L2
2
et en négligeant le terme en / 2" L2 en :
1 (" L ) =
,
+
(
0
,
)"T2
"T2 " L2
=
,
,
=0
32
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A la fréquence "L, la partie réelle repasse par 0 pour devenir positive.
Elle augmente ensuite régulièrement, passant par 1 pour une pulsation "R.
1
(" ) = 1
n . 1,
donc la réflectivité doit être très basse.
Toujours en négligeant le terme en /, on aura :
(" R ) = 1 =
d'où
(
0
,
)"T2
" R2 "T2
" R2 "T2
=
"T2
(
" R2
=
"T2
1
1
0
,
,
+
=
,
(
,
,
)"T2
"T2 " R2
1
,
0
0
)
1
(/
<< "T )
On observera bien une réflectivité très variable dans cette région du reststrahlen.
33
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III.Polarisabilité électronique
1. Considérations simples :
Nous allons schématiser un atome par un noyau, de charge +Ze et une distribution
Ze
sphérique uniforme de rayon R, de densité volumique de charge : =
4 3
R
3
R
-Ze
-Ze
R
d
d
+Ze
+Ze
r
En général, la polarisation d'un atome sous l'effet d'un champ E sera de la forme
r
pi = e E (+ des termes ordre supérieur). La polarisation résulte du déplacement du centre de
la distribution de charge négative par rapport au noyau. Appelons d ce déplacement. Si d était
(Ze )2
très grand ( d>>R ), on aurait alors une force de rappel :
4 0d 2
Ceci n'est absolument pas le cas : la force de rappel apparaît très vite et les
déplacements d sont très petits (d<<R). Typiquement d ~10-15cm alors que R ~10-8cm. Dans
cette approximation, on peut considérer que seules les charges dans la petite sphère de rayon
d (pour lesquelles le noyau est à l'extérieur) contribuent à la force de rappel. Ces charges sont
4 3
Zed 3
d =
égales à :
3
R3
la force de rappel est alors :
(Ze )2 d
4
0
R3
r
Cette force doit compenser la force due au champ appliqué E :
d
2
ZeE = (Ze )
4 0 R3
34
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Zed = 4 B 0R3E
soit :
[ ]= [ i] =
rappel : (4a 0) ~ 10-10SI
Q L
= C.L2
pi = Zed = eE
1
E
V L
d'où, un ordre de grandeur : e = 4B 0R3
R ~ 1Å e ~ 10-40 SI (F.m2) tout à fait
raisonnable comme ordre de grandeur par rapport aux valeurs expérimentales.
le dipôle induit sera alors :
Considérons maintenant un champ oscillant et un électron lié. A un instant t, la distance entre
le centre des charges négatives et le noyau sera x(t) (le d statique précèdent), mais il se
développera une force de rappel, qu'en première approximation nous pouvons écrire :
(Ze )2 d
4
On aura alors : m
0
R3
x= -6 x
(Ze )2 d
en posant 6 =
4
0
R3
d 2x
+ 6x = eE0 e i"t
2
dt
x = x0 ei"t
- m"2x0 + 6x0 = -e E0
eE 0
x0 =
m(" 02 " 2 )
On cherche une solution de la forme :
Reportons dans l'équation :
soit, en posant
6/m = "0 2. :
soit encore :
p = e(-x0 )
tant que " << "0 ,
=
e2
m(" 02
"2 )
e2
.
est quasi-constant et égal à
m" 02
Par contre, pour "="0 ,
et donc
ou vont diverger : il y a résonance.
Cherchons quelques ordres de grandeur à partir de données expérimentales. Utilisons d'abord
Clausius-Mosotti, dans le cas où on n'a qu'une sorte d'atomes :
N
=
3 0
1
+2
=
-- = --
3 0 n2 1
N n2 + 2
a = -- ---
où nous avons remplacé par l'indice de réfraction (au carré) puisque nous utilisons des
fréquences optiques lorsque le seul processus d'ionisation est électronique.
1
n = 1.7
N ~ 1029 m-3
0 =
36 10 9
1
3 1
1
=
=
~ 10-40 F.m2
9
29
36 10 10 3 + 2 6 5 10 38
(cf la valeur trouvée dans notre modèle simpliste)
Si on reporte, on a :
(1.6) 10 38 = (1.6)2.1032
e2
=
m
10 30 10 40
"0 ~ 1.6 *1016 rad.s-1
('0 = "/2 ~ 3.1015 Hz).
" 02 =
2
35
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La longueur d'onde correspondante serait de l'ordre de 1100 Å, i.e. l'U.V (vide). Les
fréquences optiques sont donc <<"0.
2. Influence des pertes : équation plus complète
Pour w = w0 nous avons obtenu des valeurs infinies évidemment peu raisonnables
physiquement. Nous avions négligé les pertes de toute sorte : un électron qui oscille a
toujours une accélération, une charge accélérée émet des radiations à un taux proportionnel à
dx
dx
. On peut décrire tout ceci par un terme de frottement, proportionnel à
, caractérisé par
dt
dt
une constante / que nous définissons pour qu'elle ait les dimensions d'une fréquence :
d 2x
dx
+ m/
+ 6x = eE0 e i"t
2
dt
dt
-eE0 = -"2mx0 + i " m /x0 + 6 x0
On cherche encore x = x0 ei"t
m
eE0
d'où :
=
Revenons à la fonction diélectrique par
N
=
3 0
x0 =
(
m " 02
" 2 ) + im"/
soit encore (N ) ( + 2) = 3
0
(
" 2 ) + im"/
m " 02
1
+2
( - 1)
= 1+
= 1+
d'où :
e2
(3
3N
3
-N )=2N +3
0
N
= 1+
N
0
0
N
3
0
Ne 2
(
" 2 + i"/ )
Ne 2
3
2
Remarque n°1 : la prise en compte des électrons ( Ne ) polarisables fait varier la valeur de la
pulsation de résonance. Même si / était nul, on aurait une valeur non infinie pour "0.
2
0 m "0
(
"12 )
2
0m "
Ne 2
= 0 & "12 = " 2
3
Ne 2
3m 0
e2
m 0
" 2 + i"/
N
Portons "1 dans :
= 1+
"12
("
On aura alors :
=
1
–i
2
avec :
1
= 1+
2
2
("
= 1+
)
e2
" N
m 0
2
1
" 2 ) + " 2/ 2
2
2
1
("
2
1
e2
"/N
m 0
" 2 ) + " 2/ 2
2
On peut également introduire l'indice de réfraction :
36
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n2 = =
On aura donc :
1
-i
2=
(nr. – i ni)2 = nr2 - nI2 – 2 ininr.
nr2 - ni2 =
1
et
2 ninr =
2
Remarque n°2: explicitons, en termes d'ondes, la présence d'une partie imaginaire de n; on a
un champ électrique qui va se propager à travers le solide : (à 1 D pour simplifier)
E 0 e i ( "t
Soit l'onde :
E0 e
kz )
ni k 0
= E0 e
e i ( wt
i" ( t
z
)
v
= E 0 e i ( "t
k 0 nz )
k 0 nr z )
c
: c'est donc nr qui intervient dans les
nr
mesures habituelles en optique. Par contre, nous voyons que l'amplitude de l'onde n'est pas
constante : elle diminue au fur et à mesure que l'onde progresse dans le solide (z augmente).
Cela n'a rien d'étonnant : ni est lié à 2 qui est lié à / qui est lié aux pertes. L'énergie dissipée
sous forme de frottements est évidement empruntée à l'onde électromagnétique qui se
propage. Nous voyons ici apparaître la manifestation physique de ces pertes diélectriques.
Cette onde se propage, avec une vitesse de phase
3. Dispersion et absorption :
(ou n) restait constant lorsqu'on était loin de "2. Si
c
cela était strictement vrai, la vitesse de phase ( ) ne varierait pas avec " et par conséquent le
n
milieu serait non dispersif. Aux alentours de "0, ceci n'est évidemment pas vrai, et le milieu
sera dispersif; on voit qu'une forte absorption est liée à cette forte dispersion. On aura des
courbes ayant l'allure donnée sur la figure ci-contre.
Nous avons dit, un peu rapidement, que
37
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Si nous raisonnons en termes d'optique (domaine de fréquence où seule cette
polarisation intervient), nous pourrons dire que :
& pour " << "1 :
alors "1 - " >> / d’où
et 2 ~ 0
1>1
le cristal est transparent avec un indice supérieur à 1.
& quand on approche de "1,: la partie imaginaire 2 commence à prendre de l'importance et
peut devenir très grande.
& quand " = "1 : on voit que 1 = 1, 2 est maximum et l'indice n peut être très différent de 1
(puisque :n2= 1+n2 =1+n2)
& pour " >> "1 :
alors
1
& 1 et
2
& 0.
Nous verrons tout ceci plus en détail dans un problème.
Voyons simplement la dispersion dans le visible, si faible soit-elle, pour un corps ayant une
bande d'absorption forte dans l'ultraviolet : Si nous supposons ni = 2 = 0, nous aurons donc :
("
2
1
n2 =
1
=
1
= 1+
("
2
1
" 2 )N
e2
m 0
" 2 ) + " 2/ 2
2
Passons tout d'abord en ), car en optique c'est ce qu'on utilise d'habitude : ) =
posons )1 =
c
'
=
c 2
"
c 2
"1
On peut négliger "2/2 devant ("12
"2)
2
38
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N
n = 1+
2
r
"12
n r2 = 1 +
Posons D =
e2
m 0
Ne 2
1
= 1+
2
2 2
2
"
m 0 4 c )1 )
2
)12 ) 2
Ne 2
m 0 4 2 c 2 ) 2 )12
Ne 2 )12
, on aura la formule:
4 2m 0c 2
n r2 = 1 +
D)2
)
D
nr2 = 1 +
)
2
2
1
)12
)2
1
)12
)1 est dans l'ultra violet donc : )1 < )visible , par conséquent : 2 <<1
)
)12
n = 1+ D 1 2
)
1
2
r
)12 )14 )16
. 1+ D 1+ 2 + 4 + 6
) ) )
Nous le réécrivons sous la forme :
n2 = A +
B
)
2
+
C
(avec A=1+D, B=D)2 et C=D)4)
)4
C'est la formule de Cauchy qui représente très bien la dispersion des verres utilisés en
optique, dans le spectre visible. A, B et C sont mesurés expérimentalement. C donnant déjà
une contribution très faible, on le négligera souvent, ce qui donnera :
B
n2 = A + 2
)
ou encore :
n = 1+ D +
D)12
On a déjà négligé des termes en
n = A7 +
)2
=
A
D )12
1+
A )2
)14
, donc ceci s'écrit :
)4
B7
)2
Remarque n°1 : Si on reprend le solide précédemment vu, on avait trouvé :
)~110 nm
)1 1
3
) 4
)1
)
4
3 4 10
3
ce qui n'est pas si mauvais.
Remarque n°2 : On voit pour les deux formules, que si ) augmente (bleu&rouge), n diminue,
39
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dn
<0, ce qui sera en général le cas et que l’on appelle "dispersion normale".
d)
On voit néanmoins que près des bandes d'absorption, on aura quelques
dn
(petits) domaines où
>0, domaines dits de "dispersion anormale", parce que moins
d)
courante.
ou encore
4. Nature quantique des solides : couleurs.
Notre modèle, permettant de calculer a (w), est un peu simpliste. En fait, tous les
états possibles des électrons doivent être calculés dans le cadre de la mécanique quantique, et
des structures de bandes. On obtient des résultats assez voisins, sauf que les pulsations
propres du système sont liées à des transitions entre états, et qu'il faudra sommer sur toutes les
transitions possibles, en pondérant par les probabilités de transition entre ces états. On aurait
donc plutôt une expression de la forme :
Ne 2
n = 1+
m 0
fl
2
l
"
2
0l
" 2 + i/ l "
où f l serait proportionnel à la probabilité de transition de l'état 0 vers l'état l.
Dans la pratique, l'absorption ne devient importante que quand les électrons des
bandes remplies peuvent "sauter" vers les bandes vides, c'est à dire quand l'énergie apportée
par l'onde électromagnétique est suffisante pour compenser l'énergie du gap entre la bande de
valence et la bande de conduction.
Le visible correspond à des ondes électromagnétiques ayant des énergies comprises
entre 1,65 eV (rouge) et 3,1 eV (violet). On peut donc dire que des corps ayant une énergie de
gap supérieure à 3 eV n'auront, en général, pas d'absorption dans le visible et seront donc
transparents; c'est le cas des isolants. Exemple : beaucoup d'oxydes simples sont de bons
isolants et sont transparents, des halogénures d'alcalins, etc.
Les corps ayant une énergie de gap dans le visible vont absorber une partie des
radiations visibles mais pas toutes, ils laisseront donc passer certaines longueurs d'onde, mais
pas d'autres. En particulier, si on envoie de la lumière blanche sur ces corps, certaines
longueurs d'onde seront transmises mais pas les autres et nous obtiendrons, à la sortie du
solide, une lumière colorée : le corps sera considéré comme ayant une couleur. Ce sera le cas
de certains semi-conducteurs.
Ceci est, encore, une vue très simplifiée : dans la pratique, d'autres caractéristiques
que la valeur du gap vont intervenir. Citons simplement les défauts, ou l'existence d'impuretés
qui vont modifier considérablement le spectre d'énergie, et partant, les propriétés optiques des
solides (cf rubis, saphir).
Enfin, disons quelques mots du coefficient de réflexion qui est lié à l'indice de
40
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réfraction. Dans le cas des réflexions normales, on aura :
2
2
n
n 1
R=
= r
n +1
nr
I réfléchi
ini 1
=
ini + 1
I inscident
(nr 1)2 + ni2
R=
(nr + 1)2 + ni2
=1
4n r
(1 + nr )2 + ni2
Si on est dans une zone de longueurs d'onde où le corps est transparent alors, ni ~0 et
on revient à la formule habituelle.
Par contre dans un région de forte absorption, ni devient beaucoup plus important et
R devient proche de 1. On a forte réflexion pour les longueurs d'onde absorbées. Donc, si on
envoie de la lumière blanche sur un corps qui présente une zone d'absorption dans le spectre
visible, la lumière sera fortement réfléchie pour les longueurs d'onde correspondant à
l'absorption : la lumière réfléchie apparaîtra colorée. Remarquons que la lumière transmise
qui aura eu une forte absorption pour un domaine de l sera aussi colorée, mais de la couleur
complémentaire de la lumière réfléchie.
Rappel :
Jaune +
violet =
"blanc"
rouge +
vert
=
"blanc"
bleu
+
orange =
"blanc"
5. Cas de métaux :
Ce ne sont évidement pas des diélectriques, mais il est difficile de les passer sous
silence en étudiant l'interaction d'un solide avec une onde électromagnétique.
La théorie que nous avons faite pour calculer le nouveau champ reste valable à ceci
près que, les métaux étant conducteurs, les électrons peuvent être considérés comme quasi
libres à l'intérieur (quand on applique un champ électrique aux bornes d'un métal, il passe un
courant, c'est à dire que les électrons se déplacent bien, même si le champ est faible).
Dans notre théorie cela revient à écrire que la force de rappel qui liait l'électron au
noyau (ou à l'ion) est nulle.
F = -m"2x = 0
soit "0 = 0
Par contre nous gardons la force -m/v de frottement qui représente la résistance
(mécanique et électrique, liées) au mouvement de l'électron due aux collisions avec les autres
atomes. Le reste étant des maths nous appliquons directement "0 =0 dans la formule et nous
obtenons :
n2 = 1+
Ne 2
m 0
1
" + i/"
2
Remarque : C'est la contribution due aux électrons de conduction (les électrons quasi libres)
mais nous admettrons que c'est la plus importante.
41
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i) Cas où " est faible : (à
Rappelons nous que :
n=
i=e
préciser) "2
i
Ne 2
Ne 2
<< /" alors n = 1 i
. i
m 0 /"
m 0 /"
2
et
i =e 4 =
1 i
2 2
nk 0 z )
Ne 2
k0 z
2 m 0/"
i "t
2
i
Ne 2
(1 i )
2m 0 /"
e i ("t
et l'onde dans le métal s'écrit :
=e
e
Ne 2
k0
2 m 0/"
On a une onde qui s'atténue très fortement. Se rappeler qu'on l'a déjà vu, c'est l'effet de peau.
2
(avec : conductivité )
Se rappelant que l'épaisseur de peau était : # =
µ0 "
1
r
et J =
On rappelle que :
=
Nous écrivons :
Ne 2 k 02
=
2m 0 /"
r
E
µ0 "
2
Ne 2 k 02
= µ0 "
m 0 /"
/ =
Ne 2 k 02
1 Ne 2 Ne 2
=
=
m
m
m 0 µ 0" 2
Le facteur /, que nous avions introduit comme décrivant les effets de frottement, est donc
proportionnel à la résistivité, comme on pouvait s'y attendre (du moins à ce que / varie
comme la résistivité ).
Qu'est ce que veut dire " faible ?
Nous avons négligé "2 devant /"
et nous avons négligé
1 <<
Ne 2 k 02
m 0 /"
" << / =
Ne
m
" <<
0
Application numérique :
On mesure pour le cuivre, Cu = 6 x 107 (8 m)-1 et dCu = 8.9 g.cm-3 (MCu = 63.5 g.mol-1), en
déduire la longueur d’onde au delà de laquelle on peut considérer " faible ("2<</") sachant
qu’il y a un électron libre par atome dans le cuivre métallique
(Réponse : N=8.5 x 1028 at.m-3 d’où /=3.6 x 1013 s-1 et / 0=7 x 1018 s-1 donc )>>50µm)
42
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ii) Cas où " est fort
On néglige maintenant /" devant "2, par conséquent :
n2 = 1
Ne 2
m 0" 2
L'indice devient réel, ou imaginaire pur, et inférieur à 1, pour un métal à haute fréquence.
c c k
=
Revenons à la relation de dispersion : n =
v
"
ck
"
2
=1
Ne 2
m 0" 2
" 2 = c2k 2 +
Ne 2
m 0
relation de dispersion d’un plasma
Normal, c'est toujours des gaz d'électrons libres.
Posons :
" P2 =
Ne 2
m 0
"P: “fréquence de plasma”
Application numérique :
On mesure pour le cuivre, Cu = 6 x 107 (8 m)-1 et dCu = 8.9 g.cm-3 (MCu = 63.5 g.mol-1), en
déduire en déduire la longueur d’onde de plasma (c'est-à-dire la longueur d’onde en deçà de
laquelle on peut considérer " fort ("2>>/") sachant qu’il y a un électron libre par atome dans
le cuivre métallique
(Réponse : "2p : = 2.46 x 1032 rad.s-1 , 'P=2.5 x 1015 Hz et )P=0.1 µm)
En résumé :
Pour ">"P : (pour le Cu : ) < 0,1 µm) :
le métal devient transparent
(cf RX)
Pour "<"P : (pour le Cu : ) > 0,1 µm) :
indice imaginaire pur& ondes évanescentes - réflexion totale.
) Exp (nm)
Li
155
Na
210
K
315
Rb
340
155
209
287
322
(métal
transparent)
)p Calc (nm)
iii) Cas où " est ni fort ni faible :
43
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Dans cette situation intermédiaire, l'indice a une partie réelle et une partie
imaginaire ; l'onde s'atténue dans le métal. Mais si celui-ci est suffisamment mince, il sera
traversé par des fréquences optiques.
Exemples d’applications : les lunettes de glacier ou bien celles utilisées par le
personnel des haut fourneaux: Elles sont obtenues par évaporation d’un film mince d'or sur du
verre : le visible passe bien (vert).
44
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Partie C. Notions d’optique cristalline anisotrope
I. Introduction
Nous nous intéressons désormais aux propriétés dues à l'anisotropie des cristaux. Nous
avons supposé, dans tout ce qui précède, que la constante diélectrique (et donc l'indice de
réfraction) était isotrope, ce qui ne sera évidemment pas vrai pour beaucoup de cristaux.
L'existence de propriétés optiques anisotropes est liée à la symétrie des cristaux.
r
La constante diélectrique (ou permittivité) relie le déplacement électrique D au champ
r
r
r
électrique E . Si est un scalaire, D est parallèle à E et de longueur proportionnelle. Pour
beaucoup d'applications on aura tendance à confondre (à près) les deux quantités. Si par
contre, le milieu est anisotrope, c'est à dire si les propriétés dépendent de l'orientation
considérée, est un tenseur de rang 2 et on écrira :
r
r
D =[ ] E
D1 = L11 E1 + L12 E 2 + L13 E3
et de même pour D2 et D3, soit :
Dk =
kj
Ej
j
r
r
Le résultat est que D ne sera pas, en général, parallèle à E .
Regardons, par exemple, le problème des surfaces d'ondes :
prenons, pour simplifier, un plan d'ondes d’une onde
rr
r
v
v v
r
plane e i ("t k r ) : le vecteur Pointing = E H est // à k .
E
Nous avons toujours déduit des équations de Maxwell que la
configuration d'une onde plane était la suivante : le plan
r
r
d'ondes contient E et H , l'énergie se propage suivant les
rayons (par définition des rayons), qui sont perpendiculaires
au plan d'ondes. Ceci, en fait, si l'on regarde la
démonstration de ces propriétés, n'est valable que pour le
vide, ou pour les milieux matériels linéaires (isotropes).
r
r
Si D n'est plus parallèle à E , les équations de Maxwell
r
r
D
montrent que c'est D qui est dans le plan d'onde ( rot H =
) et que par conséquent en
t
r
général E ne le sera pas.
De même, les rayons (trajectoire de l'énergie), qui
r
sont perpendiculaires à E , ne le seront
en général
v
v v
pas au plan d'ondes. Le vecteur Pointing = E H
r
r
r
n’est plus // à k . On aura alors une configuration
E
D
très spéciale : C'est un premier point important dans
r
x
k
les milieux anisotropes.
r
H
r
k
r
R
x
r
c
, la grandeur n est un
R
n
tenseur (déduit de ), donc v est anisotrope. Un
second point est donc que la vitesse de propagation des ondes (qui dépend de ) n'est plus la
Dans l’expression v =
45
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même dans toutes les directions. On imagine aisément que ceci va introduire de nouvelles
perturbations (en particulier, les différences d'indice) d'où des nouvelles propriétés dont on
tire parti pour faire des analyses et des mesures sur des matériaux.
Nous commencerons dans un premier chapitre, par essayer de caractériser les propriétés
anisotropes définies par le tenseur , de rang 2. Nous aborderons ensuite, les propriétés
d'optique cristalline en étudiant les polarisations de la lumière et les modifications apportées
par la traversée de la matière cristalline.
11
La matrice du tenseur est
12
13
1
99 9 99& 0
0
0
0
2
0
0
3
diagonalisation
21
22
23
31
32
33
[système d’axe quelconque]
[axes principaux]
ij
= i # ij
46
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II. Propriétés du tenseur constante diélectrique
Changements d’axe
r
Nous avons écrit : Dk = : kjEj où Dk est la composante de D suivant un certain axe. Si nous
r
r
faisons un changement d'axes, les composantes de D et celles de E ne seront plus les
mêmes, et leur relation (les coefficients kj ) changera aussi. Soit x1, x2, x3 les anciens axes et
x'1, x'2, x'3 , les nouveaux. Nous les supposerons orthogonaux.
On aura :
où
)
)
)
)
x'i = a i1 x 1 + a i2 x 2 + a i3 x 3
) )
a i1 = x i . x 1 = cos (angle entre x'i . x1)
r
r
r
r
D'k = D x' k = a k1D x 1 + a k2 D x 2 + a k3 D x 3
D' k =
a kj D j
j
r
On aura la même chose pour E :
E 'j =
a jl El
l
On aurait de même :
x i = x'1 a'i1 + x' 2 a'i2 + x'3 a'i3
avec :
) )
a'i1 = cos (x i . x'1 ) = a 1i
donc
x'i = : aij xj
d'où
El = : ajl E'j
et
xi = : aji xj
On aura alors :
D'k = : 'kj E'j
par définition de 'kj
D'k = : akj Dj = : akj :
jlEl
= : :akj
jl : amr
E'm
On aura alors :
'km = : : akj
jl amr
qui est la loi de transformation, caractéristique, d'un tenseur d'ordre 2 par un changement
d'axes.
Le tenseur constante diélectrique est symétrique, c'est à dire que :
ij = ji
On peut montrer sur la formule ci-dessus, que cette propriété ne dépend pas du
système d'axes, c'est à dire que si elle est vraie pour un système d'axes, elle est vraie pour
tous. C'est une propriété caractéristique du tenseur , qui est liée à l'énergie électrique du
cristal.
Parmi tous les changements d'axes possibles, il est un changement important qui
nous conduit à simplifier considérablement le tenseur et à définir les axes principaux d'un
cristal.
Quadrique représentative : axes principaux
r r
Les trois axes principaux sont les trois directions de l’espace pour lesquelles D // E .
47
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Di =
ij
E j or
ij
j
D1 =
= i # ij
r
Si, par exemple, on choisit E // à l’axe 1 on aura :
donc : D2 =
D1 =
1
E1
E2
3 E3
2
E
v
E 0 , par conséquent :
0
Si, par exemple,
r r
électrique D // E
1= 2
E
r 1
r
r
D 0 et donc D // à l’axe 1 (et à E )
0
r
, alors tout champ E dans le plan (1,2) conduira à un déplacement
x x 'j = 1
' '
ij i
Considérons l'équation :
ij
1=
x +
'
'2
11 1
'
22
x 2'2 +
x +2
'
'2
33 3
x x +2
'
' '
12 1 2
'
23
x 2' x3' + 2
'
' '
13 1 3
xx
C'est l'équation d'une quadrique. Si tous les coefficients sont donnés, on peut déterminer la
nature de cette quadrique, ellipsoïde ou hyperboloïde. Choisissons plutôt un système d'axes
astucieux : le tenseur est représenté par une matrice et on peut, en général, trouver un système
d'axes où la matrice sera diagonale. Dans ce système xi, caractérisé par ij, le tenseur n'aura
plus que 3 composantes,
si
ilj
ij = 0
ij
=
si
i
i=j
i = 1, 2 ou 3
L'équation de la quadrique s'écrit alors :
2
1 1
x +
2
2 2
2
3 3
x +
x =1
qui représente un ellipsoïde car i> 0 en général pour les corps transparents. si on compare à
l'équation classique :
x2 y2 z 2
+
+
=1
a2 b2 c2
On voit que les longueurs des demis axes seront :
1
,
1
1
et
2
1
.
3
x3
1
3
1
1
2
x2
1
x1
On appelle ces 3 axes orthogonaux, les axes principaux.
Attention, nous n'avons pas réduit par magie le nombre de paramètres indépendants : il ne
reste que 3 nombres 1, 2 et 3 mais nous devons déterminer les directions des axes
principaux : par exemple 2 paramètres pour fixer x1, un paramètre pour fixer x2 qui est
48
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perpendiculaire à x1, x3 est alors fixé, soit de nouveau 6 paramètres indépendants.
r
r
Regardons ce que devient, dans ce système d'axes, la relation entre D et E :
Dk =
kj
Ej =
kk
Ek
j
r
Si E est parallèle à xki, on aura :
r
D=
Dk xˆ k =
k
ˆ
kk E k x k =
ˆ
i Ei x i =
r
E
i
k
x2
r
D
D2
E2
r
E
E1
D1
x1
O
r
r
r
r
D sera parallèle à E . Il existera donc 3 directions pour lesquelles D sera parallèle à E .
r
r
Si 1 l 2 l 3, dons toutes les autres directions, D ne sera pas parallèle à E . Cela se voit
r
aisément sur la figure ci contre, où un champ E , dans le plan x1x2 pour simplifier peut
toujours être considéré comme la somme du champ E1// x1 et du champ E2 //x2.
r
>
D
//
E
1
2
La symétrie du cristal doit apparaître dans la quadrique. On aura alors, très
simplement, les propriétés de la quadrique pour les différentes classes.
Système cubique : possède quatre axes ternaires. le seul ellipsoïde à posséder quatre axes
r
ternaires est une sphère. On a alors 1 = 2 = 3. Quelle que soit la direction de E , le vecteur
r
D lui sera parallèle. On a isotropie des cristaux cubiques (un seul paramètre).
Système quadratique, hexagonal ou rhomboédrique :
Il doit exister un axe d'ordre 4, 6 ou 3. Ceci n'est vrai que pour un ellipsoïde de révolution
autour de cet axe (d'ordre supérieur à 2). On aura donc une coupe suivant x1x2 (si on prend x3
comme cet axe, ainsi qu'il est souvent admis) un cercle, soit encore 1 = 2 (mais 3 est
r
r
r
différent). Pour un vecteur E perpendiculaire à x3, le vecteur D est parallèle à E . Pour toute
r
r
direction différente, D ne sera pas parallèle à E . 2 paramètres : Ces systèmes seront dits
optiquement uniaxes.
Si l’on considère un cristal possédant un axe de symétrie d’ordre 4, on peut tourner le cristal
de 2 = sans changer les propriétés. Si l’on fait tourner l’ellipsoïde de , ont retrouve la
4
2
2
même chose si 2 indices sont égaux (par rapport à un axe principal) :
un axe principal x3
les deux autres indices sont égaux 1= 2
Si l’on considère un cristal possédant un axe de symétrie d’ordre 3, on peut tourner le cristal
49
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2
sans changer les propriétés. On aura la même chose :
3
On aura un axe principal x3
Les deux autres indices sont égaux 1= 2
Système orthorhombique : 3 axes d'ordre 2, qui sont les axes cristallographiques et les axes
principaux. Mais 1 l 2 l 3 Trois paramètres.
de
Système monoclinique : un axe d'ordre 2 (généralement pris comme b du système) qui sera
un des axes principaux. Les 2 autres ne sont pas fixés à priori, donc un rotation autour de (b,
x2) laissée libre. quatre paramètres.
Système triclinique : rien, 6 paramètres, c'est le cas général.
Quelques propriétés de la quadrique représentative
a) Intensité de la constante diélectrique dans une direction.
r
Nous parlerons souvent de la constante diélectrique dans une direction u : il faut définir de
r
r
quoi on parle car le vecteur D et le vecteur E n'étant en général pas parallèles, cette
r
expression risque de n'avoir pas de sens. On peut par contre toujours définir D comme la
r r
r r
somme d'un vecteur parallèle à E , D// et d'un vecteur perpendiculaire à E , D<
r
D
r
D<
r
u
r
E
r
D//
r
r
r
Nous définissons dans la direction u comme le rapport de D// et de E
u
=
D//
0E
r
r
est la quantité que l'on peut mesurer en appliquant un champ E dans la direction u sur un
condensateur contenant le diélectrique étudié.
Exprimons cette permittivité relative, en supposant que
x3
nous utilisions le système des axes principaux. On a alors
r
un vecteur u de cosinus directeurs l 1 , l 2 et l 3
r
u
( l 12 + l 22 + l 22 =1)
x2
l1E
r
r
E l 2 E et donc, dans le système d’axes principaux : D
x1
l E
u
3
l1 1E
l2 2E
l 3 3E
Le produit scalaires :
r r
D E = D cos E = D// E = l12 1 E 2 + l 22 2 E 2 + l32 3 E 2
50
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d'où
u
(l
=
D//
=
0
0 u
2
1 1
E
+ l22
2
+ l32
3
)
0
= l12
1
+ l22
+ l32
2
3
b) Propriétés d'un point P de la quadrique rayon vecteur OP .
Considérons un point P quelconque, c'est à dire pouvant ne pas être sur les axes. L'équation
générale de la quadrique est
2
1 1
2
2 2
x +
2
3 3
x +
x =1
Posons OP = r. , les cosinus directeurs l 1 , l 2 et l 3 de OP seront tels que :
x1 p = rl 1 ,
x 2 p = rl 2
2 2
2 2
r l1 +
On aura donc :
1
soit encore :
2
1 1
l +
2
2
r l2 +
l 22 +
3
x 3 p = rl 3
et
2 2
3
r l3 = 1
1
l 23 =
2
=
( OP )
2
= nOP
Donc le rayon vecteur OP est égal à l'inverse de l'indice dans la direction OP.
Ceci constitue une généralisation de ce que nous avions vu pour les axes où les
1
1
1
.
,
et
longueurs des demi axes étaient :
1
3
2
Rayon normal.
Avant de définir un rayon normal, il faut se rappeler l'équation d'un plan tangent à
une surface en un point (X1, X2, X3). Ce plan a comme équation :
X1 1 x1 + X2 2 x2 + X 3 3 x3 = 1
(On a aisément que (X1, X2, X3).est une point de la quadrique).
La normale en ce point a donc des cosinus directeurs proportionnels à X1 1, X2 2 et X3 3.
r
Considérons un point P de la quadrique tel que OP soit parallèle à E , champ électrique
appliqué.
Posons :
l1E
r
E = l2E
rl 1
OP = rl 2
ou
rl 3
l 3E
Le vecteur déplacement sera donc :
r
D=
l E
1 1
r
2l 2 E = E
3l 3 E
l
1 1
l2
3l 3
2
La normale en P à la quadrique aura des cosinus directeurs proportionnels à X1P 1… soit :
51
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rl 1
nP =
rl 2
rl 3
r
Elle est donc parallèle à D .
l1
1
2
=
r
1
l2
l3
3
2
3
r
D
r
n
P
r
O+
r
r
La direction de D pour une direction de E donnée est obtenue en menant d'abord un rayon
r
vecteur OP parallèlement à E puis en traçant la normale en P à la quadrique représentative.
Recherche des axes principaux
Il serait temps de montrer comment on peut déterminer les axes principaux d'une
quadrique quelconque.
r
D = [ ]E
Repartons de l’expression :
r
r
Aux points de la quadrique situés sur les axes principaux, le vecteur D est parallèle à E .
soit :
r
E=E
l1
donc un système d'axes quelconques
l2
l3
r
!
D=E
1i
i
l i,
2j
j
l j,
3k
k
lk
r
r
r
Le parallélisme de D et E quand E est parallèle à un axe principal implique que,
pour certaines valeurs de l 1 , l 2 et l 3 on aura :
im
m
l m = )l i
i = 1, 2 ou 3.
Soit trois équation linéaires homogènes en l i , pour qu'on ait une solution différente de
l 1 = l 2 = l 3 = 0 (solution triviale non intéressante) on devra avoir le déterminant des
coefficients nuls.
Écrivons le une fois in extenso :
52
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(
) )l 1 +
11
l +(
21 1
l +
31 1
22
32
12
l2 +
) )l 2 +
l2 + (
33
13
l3 = 0
23
l3 = 0
) )l 3 = 0
On doit avoir :
)
11
12
21
soit encore :
)
22
31
13
=0
23
32
33
)
)# ij = 0
ij
Cette équation, dite séculaire, est du 3e degré. Elle est en général difficile à résoudre. Mais,
sauf dans le cas du triclinique, il n'est pas interdit d'être astucieux et de se servir des symétries
du cristal : on choisira alors comme axes le maximum d'axes symétriques. Le système sera
donc dans la plupart des cas facile à résoudre.
On obtient ainsi trois racines )', )", )"'. On peut démontrer qu'elles sont réelles quand les ij
sont réels (ce qui sera presque toujours le cas désormais. On ne fait pas d'optique cristalline
en général près d'un pic d'absorption). A chacune de ces racines, est associé un trio de valeurs
( l 1 , l 2 et l 3 ) défini à une constante près. Montrons que les trois directions correspondantes
sont perpendiculaires entre elles. On a :
l 7 = ) 7li7
pour une des directions
im m
m
l 77 = ) 77li77
et
im m
m
l 7 l 77 = ) 7
soit :
li7l i77
im m i
i ,m
i
l 77 l 7 = ) 77
et
l i7li77
im m i
i ,m
i
Comme im = mi les premiers membres de ces deux équations sont identiques. En
soustrayant membre à membre les deux équations, on aura donc :
0 = () 7 ) 77)
li7li77
i
li7li77 = 0 , d'où le résultat annoncé.
Si )' l )" on aura alors
i
Par contre si )' = )", on ne peut rien dire. Mais toute combinaison linéaire des (l'1, l'2, l'3) et
(l"1,l"2,l"3) sera aussi solution. On pourra donc choisir deux vecteurs perpendiculaires : ceci
se produira quand on aura des cristaux ayant un axe d'ordre supérieur à 2. Il sera axe
principal, et les deux autres axes principaux seront choisis dans le plan perpendiculaire à cet
axe. Comme l'ellipsoïde est alors de révolution, la section dans le plan perpendiculaire à l'axe
de symétrie sera un cercle : il est bien connu que tout rayon d'un cercle est normal au cercle,
quelque soit la direction de ce rayon.
Il est évident d'après ce que nous avons dit précédemment que les trois valeurs propres
trouvées sont les valeurs 1, 2 et 3 introduites au début de ce chapitre.
53
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Ellipsoïde des indices
Nous avons introduit l'ellipsoïde représentatif du tenseur d'ordre 2 ij. Une autre surface
intéressante, liée à ce même tenseur, sera l'ellipsoïde, qui, rapporté aux axes principaux, aura
comme équation :
x12
1
+
x 22
+
x32
2
=1
3
qui définie la surface d’un ellipsoïde caractéristique du cristal étudié et dont les demis axes
ont pour longueurs :
1 ,
2 et
3 .
Un raisonnement identique à celui fait pour l'ellipsoïde représentatif montre que les rayons
vecteurs de cet ellipsoïde sont proportionnels à
, c'est à dire à n l'indice. Cet ellipsoïde
sera donc appelé ellipsoïde des indices.
x3
u
3
r
u
2
x2
1
x1
r
Soit un plan d’onde qui va couper l’ellipsoïde des indices selon la direction u . On aura
(généralement) une ellipse dont les axes auront des longueurs différentes, qui sont les indices
de réfraction pour les deux directions correspondantes n' et n".
Lors que le milieu présente des indices différents suivant les directions de propagation on
observe alors un phénomène de biréfringence, puisque le passage du vide au milieu peut se
faire de deux façons différentes. Nous verrons toute l'importance de ce phénomène par la
suite.
D'une façon générale, on définira un milieu par les biréfringences relatives aux axes
principaux. Ainsi par exemple, on donnera :
( 23 = n2
n3
où n2 et n3 sont respectivement les indices principaux sur x2 et x3 : il s'agirait donc de la
biréfringence pour une onde de plan d'ondes (x2, x3).
Exemple : le titanate de baryum BaTiO3 est quadratique pour une température inférieure à
106°C et cubique pour une température supérieure. On a donc comme ellipsoïde des indices
un ellipsoïde de révolution autour de x3. On aura la courbe suivante :
54
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(n
T
Tc=106°C
tant qu'il est quadratique le titanate de baryum est biréfringent avec n2 < n3. Dès qu'il devient
cubique, il est optiquement isotrope et par conséquent la biréfringence devient nulle. Dans la
pratique, les valeurs de (n sont très faibles (cf. tableau ci-dessous)
Définissons, enfin, la notion d'axe optique. Même pour un ellipsoïde non de révolution, il y
aura toujours deux sections qui seront des cercles : ceci veut dire qu'il existe toujours deux
directions de propagation de la lumière pour lesquelles on n'observera pas de biréfringence.
Ces directions seront appelés axes optiques du cristal.
Dans le cas des cristaux orthorhombiques, monocliniques ou tricliniques (pas d'axes de
symétrie d'ordre supérieur à 2) on aura deux axes optiques (ces cristaux seront dits biaxes), et
qui seront différents des axes principaux.
Dans le cas des autres cristaux, où l'ellipsoïde est de révolution, il n'y a qu'une section
circulaire qui est évidemment perpendiculaire à l'axe de révolution qui est aussi un axe
principal : il n'y a qu'un axe optique qui est l'axe de symétrie (d'ordre supérieur à 2) du cristal.
Ces cristaux seront dits uniaxes : un tel cristal se comporte comme un milieu isotrope pour
les ondes normales à l'axe optique, avec un seul indice qui est dit indice ordinaire no et que
nous appellerons désormais n0. Le cristal est alors entièrement connu si on se donne, de plus,
la valeur du rayon vecteur le long de l'axe optique, que nous appellerons l'indice
extraordinaire ne. Deux cas sont alors possibles :
ne > n0 ellipsoïde allongécristal positif
(cf. quartz)
ne < n0 ellipsoïde aplati cristal négatif
Composé
Quartz
Zircon
Apophyllite
Calomel
Spath
Azotate de Na
(cf. calcite).
Formule
chimique
Si O2
SiO2ZrO2
Symétrie
no
ne
hexagonale
1,5442
1,5533
quadratique
1,92
1,97
(K2h2)2CaSi2O7
Hg2Cl2
quadratique
1,534
1,537
quadratique
1,9732
2,6559
CaCO3
NaNO3
rhomboèdrique 1,6584
1,4865
rhomboèdrique 1,5874
1,3361
rhomboèdrique 1,639
1,620
Tourmaline
Émeraude
Gl3Al2Si6O18
hexagonale
1,582
1,576
Apatite
Ca5(PO4)3F
hexagonale
1,639
1,635
Remarque : on représente toujours des ellipsoïdes fortement déformés. Dans la pratique, les
55
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différences d'indice sont toujours très faibles. Citons quelques exemples dans le cas des
cristaux uniaxes : le quartz est en général le type des cristaux positifs et le spath (d'Islande)
celui des types négatifs. les quartz est hexagonal et se présente sous forme de prismes
hexagonaux terminés par des pyramides plus ou moins tronquées :
l'axe optique est évidemment parallèle à l'axe hexagonal et donc parallèle aux arêtes latérales
du prisme.
Le spath est rhomboédrique et se présente sous forme de rhomboèdres et l'axe optique sera
parallèle à l'axe ternaire qui est la grande diagonale du rhomboèdre.
56
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III. Interférence produite par les lames cristallines
Lumière polarisée
Dans toute l'optique faite dans les cours précédents, il n'avait pas été nécessaire de tenir
compte de la direction de la vibration lumineuse : nous l'avions toujours considérée comme
scalaire. D'après ce que nous venons de voir, il va maintenant falloir tenir compte de la
r
r
direction de vibration, soit de E soit de D , puisque les propagations ne se feront pas de la
même manière dans toutes les directions.
r
r
Dans un milieu isotrope, la distinction entre E et D a peu de sens puisque les 2 vecteurs sont
parallèles et proportionnels. Dans un milieu anisotrope, la résolution des équations de
Maxwell montre que, parmi les solutions possibles, il existe toujours des ondes planes, c'est à
dire dont les surfaces d'ondes sont des plans, qui ont la structure suivante :
r
H
r
D
avec comme solution :
r
r
avec D0 perpendiculaire à n
r r
D = D0 e
r #D
( rot H =
#t
r
n
z
rr
nr
i" t
v
et
r
divD = 0 )
r
On convient de représenter la vibration lumineuse par D . On peut alors en déduire, en chaque
r
r
point, H ou E par le tenseur [ ]/
r
r
r
r
r r
#B
E est alors dans le plan ( D , n ) et reste perpendiculaire à H , car rot E =
#t
r
r
et nous pouvons écrire B . µ 0 H . Le vecteur de Poynting, qui décrit la propagation de
l'énergie ou encore les rayons, reste même dans un milieu anisotrope :
r r r
P=E H
r
r
r
Mais E n'est pas dans le plan d'ondes (il est facile de montrer que div E l 0 quand div D = 0)
r
r
et par conséquent l'onde n'est pas transversale / E . De même P n'est plus perpendiculaire
aux plans d'ondes.
Dans tout ce qui suit, nous appellerons vibration lumineuse (ou vecteur de Fresnel) le
r
vecteur déplacement électrique D . Les ondes qui se propagent dans un milieu anisotrope sont
des ondes transversales, c'est à dire transportent une vibration située dans le plan d'onde.
Nous appellerons vitesse (ou vitesse normale) le rapport entre la distance entre 2 plans
57
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d'ondes et le temps mis pour passer de l'un à l'autre.
r
Nous avons considéré le cas très particulier d'une lumière telle que D ait une direction
constante. Fixons Oz comme direction de propagation (n = z), on aura :
D x = D0 x cos " t
z
v
D y = D0 y cos " t
z
v
y
D0
r
D0
y
Dx
= cste dans le temps ou l'espace.
O
Dy
D0x
r
L'extrémité de D décrit un segment de droite quand on se
déplace dans l'espace ou quand le temps varie. On dira qu'on a une lumière polarisée
rectilignement (ou polarisée tout court, malheureusement).
Le cas le plus général, pour une onde plane, est représenté par :
C'est à dire que
D x = D0 x cos " t
z
v
D y = D0 y cos " t
z
v
x
avec
x
y
y
r
Dans ce cas, l'extrémité du vecteur D va se déplacer lorsque t (ou z) varie, et va décrire une
r
ellipse. On parlera alors de vibration elliptique (et D changera de direction au cours de la
propagation).
r
r
Remarque : Dans un milieu isotrope, ça ne sera pas très ennuyeux car E , parallèle à D ,
restera dans le plan d'ondes et le rayon gardera la même direction. Par contre, dans un milieu
anisotrope, le rayon ne gardera pas la même direction, et deviendra impossible de parler de
propagation dans le cas général.
Définissons, le cas particulier où D0 x = D0 y et où
=
: l'ellipse devient alors un
2
cercle, et on parlera de vibration circulaire. Nous y reviendrons dans le chapitre sur la
polarimétrie rotatoire.
Il reste enfin à considérer le cas de la lumière naturelle: celle-ci est émise par des atomes
qui émettent pendant des temps très courts de l'ordre de 10-9s pour des sources très
monochromatiques. les temps de mesure sont, bien sur, beaucoup plus longs et les mesures
sont donc faites sur un grand nombre de vibrations émises de façon aléatoire dans le temps, et
sans aucune relation entre elles. On mesure donc, en fait, des moyennes dans le temps : la
lumière naturelle émise par une source pourra donc être considérée comme fournie par deux
vibrations incohérentes perpendiculaires et de mêmes intensités. Il n'y a aucune direction
préférentielle.
x
y
Propagation d’une onde plane dans un cristal uniaxe
Les équations de propagation, déduites des équations de Maxwell, dans un cristal anisotrope,
sont différentes de celles obtenues dans un cristal isotrope. Rappelons, par exemple, que pour
r
r
obtenir la relation de propagation (simple) de E on se servait de div E = 0 qui était déduite de
58
x
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r
div D = 0. Ce n'est plus le cas ici. Disons simplement, que pour une onde plane incidente, de
plan d'ondes donné, on obtiendra une solution en ondes planes que pour deux directions de
r
D bien fixées.
Pour une orientation donnée de plan d'ondes, il n'existe dans ce plan que deux vibrations
rectilignes D' et D", perpendiculaires entre elles, qui peuvent se propager sans altération dans
le milieu anisotrope. Nous admettrons sans démonstration que ces directions correspondent
aux grands axes de l'ellipse intersection du plan d'onde passant par le centre de l'ellipsoïde et
de l'ellipsoïde des indices et que les indices (ou vitesse de propagation) correspondants sont n'
c
c
et n" (ou = v' et
= v 77 )
n'
n77
Regardons de plus près cette section dans le cas des cristaux uniaxes auxquels nous
restreindrons désormais notre étude. On a donc un ellipsoïde des indices qui est de
révolution.
59
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1er cas simple : la direction de
propagation est parallèle à l'axe
optique, le plan d'ondes est donc
perpendiculaire à cet axe de révolution
et la section est un cercle : il n'y a pas
de direction privilégiée (toutes les
directions sont "axes de l'ellipse") et
un seul indice de réfraction n0. Pour
cette direction de propagation tout se
passe comme si le cristal était
isotrope, quelle que soit la polarisation
de l'onde incidente.
Axe optique
r
n
Cas général : la direction de
r
propagation n , n'est plus parallèle à
l'axe, et la section est une ellipse. On démontre facilement que cette ellipse a un axe dans le
plan équateur de l'ellipsoïde : une vibration se propageant sans déformation dans le cristal
sera donc parallèle à cette direction, c'est à dire perpendiculaire à l'axe optique. Elle se
propagera avec l'indice n0 et sera appelée vibration ordinaire. L'autre vibration lui sera
perpendiculaire et est parallèle à la projection de l'axe optique sur le plan d'ondes : elle se
propage avec un indice n compris entre n0 et ne, le cas limite étant obtenu pour une direction
de propagation perpendiculaire à l'axe optique. Cette vibration sera appelée vibration
extraordinaire.
r
Regardons
d'abord
la
vibration
ordinaire
:
D
0 est dans le
Axe optique
plan perpendiculaire à l'axe où toutes les vibrations se
c
; C'est d'autre part un plan
propagent à la même vitesse
n0 '
r
où toutes les directions sont principales, c'est à dire que E
r
r
est parallèle à D , le rayon est perpendiculaire au plan
n
d'onde. La vibration ordinaire, perpendiculaire à l'axe
optique, se propage (quelque soit le plan d'onde auquel elle
appartient) suivant les mêmes lois que dans un milieu
isotrope d'indice égal à l'indice ordinaire n0.
r
Di
De
r
Do
La vibration extraordinaire est perpendiculaire à la
vibration ordinaire ; elle ne sera pas, sauf cas particulier,
r
parallèle à un axe principal et donc E ne sera pas dans le
plan d'onde ; le rayon extraordinaire ne sera donc pas
perpendiculaire au plan d'onde. D'autre part, la vitesse de
propagation dépendra du plan d'ondes considéré.
Si on envoie donc sur un cristal une onde plane, polarisée
r
rectiligne ment dans une direction Di , on pourra toujours
r
découper cette direction Di , en deux directions
correspondant aux vibrations ordinaires ou extraordinaires
obtenues en faisant l'intersection du plan d'ondes incident
avec l'ellipsoïde des indices.
60
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r
r
r
Di = D0 + De
L'onde incidente donnera donc deux ondes réfractées, l'une ordinaire qui obéira aux lois de
Descartes, l'autre extraordinaire pour laquelle le rayon n'obéira pas aux lois de Descartes1,
mais pour laquelle la normale au plan d'ondes obéira toujours aux lois de Descartes, comme
nous allons le voir par la construction de Huyghens.
Si l'onde incidente est de la lumière naturelle, le raisonnement précédent reste valable, mais
r
r
on aura des composantes égales suivant Do et De , puisque la lumière naturelle peut être
considérée comme D x2 = D y2 c'est à dire sans direction privilégiée.
Traversée d’une lame biréfringente par la lumière
a. Rappel sur la construction de Huyghens :
si on connaît une surface d'onde à un instant t0, la construction de Huyghens permet de
construire la surface d'onde à l'instant t0 + (t :
Soit S(t0) la surface d'onde en t0
S(t0 + (t) correspond à l’enveloppe des ondelettes
émises par chaque point de la surface d'onde en t0.
A
En particulier si le milieu est anisotrope, les
ondelettes ne seront pas sphériques. Dans notre
cas, nous savons que la vitesse de propagation
r
VB (t varie comme 1 (c'est à dire 1 ). L'ondelette sera
n
donc ellipsoïdale.
Rappelons également pour mémoire que la
construction de Huyghens permet de démontrer les
lois de Descartes quand on passe d'un milieu
(isotrope) d'indice n1 à un milieu (isotrope)
d'indice n2 :
B
C
D
Soit un plan d'ondes P0 incident, à l'instant t0. A
l’instant t0 + (t : le point A a émis une ondelette
c
c
(t
de rayon
(t dans le milieu 2 et de rayon
n1
n2
c
c
dans le milieu 1 ( v 2 = , v1 = ). D'autre part le
n2
n1
S(t0)
S(t0+(t)
point B qui était à la distance v1 (t =
c
(t est arrivé en C à la surface de séparation.
n1
Plan d’onde à t0
n1
n2
A
C
i1
i2
Le plan d'ondes réfracté, dans le milieu 2,
est donc tangent à l'ondelette dans le milieu
2 et passe par C, c'est P1. Il en résulte
immédiatement que :
r
V 2 (t
t0+(d’incidence,
t0
1e : le rayon réfracté sePlan
trouved’onde
dans leàplan
2e : il existe un rapport constant entre les sinus des angles
d’incidence et de refraction
1
61
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v 2 (t
v (t
et sin i1 = 1
AC
AC
sin i2 sin i1
soit encore :
ou encore n 2 sin i 2 = n1 sin i1
=
v2
v1
sin i2 =
b. Onde lumineuse arrivant sous incidence normale sur une lame biréfringente.
Soit une lame à faces parallèles biréfringente uniaxe. L'axe optique (quelconque) de la lame et
la normale aux faces définissent un plan que nous prendrons comme plan de figure. On
suppose que la lame baigne dans un milieu isotrope, que nous supposerons être l'air (n = 1).
Une onde plane, de plans d'ondes parallèles à la lame (donc sous incidence normale) arrive
r
sur la lame. Elle est caractérisée par sa vibration lumineuse Di que nous décomposons en 2
r
r
r
composantes : Di = D0 + De
r
r
r
où DO est perpendiculaire à l'axe optique et De est perpendiculaire à DO . Remarquons que si
la lumière est naturelle, on a : D0 = De
A un instant, que nous prenons comme t = 0, on a un plan d'ondes, P0, confondu avec la
surface de la lame : tous les points de cette lame vont donc émettre des ondelettes :
Prenons d'abord la partie de l'onde
A
B
P0 incidente correspondant à Dr (vibration
O
ordinaire). Celle-ci se propage avec une
P
c
vitesse , quelque soit la direction considérée
n0
: les ondelettes seront donc des sphères, et le
rayon
plan d'ondes ordinaire à l'instant t ultérieur, P
sera parallèle à la surface et tangent aux sphères ; on voit que dans ce cas, les rayons seront
parallèles aux normales aux plans d'ondes (ceci est évident puisque la vibration ordinaire,
r
r
DO est suivant un axe principal et donc parallèle à E ).
r
D
Le rayon ordinaire est donc parallèle au rayon incident, c'est à dire qu'il obéit aux lois de
Descartes (i1= 0 entraîne i2 = 0).
Regardons maintenant le propagation de la vibration extraordinaire : nous devons
c
reporter dans chaque direction une distance égale à
t où n varie maintenant avec la
n
direction. Rappelons que dans le cas de la quadrique représentative du tenseur [ ] nous avions
(cas uniaxe) :
A
1
1
B
P0
= .
OP
proportionnel
à
:
n
Maintenant nous voulons porter une
1
longueur proportionnelle à , mais pas
n
Pe
r
suivant E , suivant la direction de
Rayon extraordinaire
propagation (qui est perpendiculaire à
r
E):
62
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on obtiendra donc un ellipsoïde, ayant subi une rotation de
dessiné ci dessus (
1
=
e
2
. C'est à dire que, dans le cas
1 1
= , soit ne > n0 ) on aura comme ondelette émise par A, une
ne n 0
ondelette ellipsoïde comme dessiné ci-contre. Même chose en B et pour tous les points. Le
plan d'ondes correspondant à la vibration extraordinaire, Pe, sera tangent à tous ces ellipsoïdes
: il sera donc parallèle à la surface et à P0. Mais le rayon correspondant sera dévié et n'est pas
r
r
perpendiculaire au plan Pe. Ceci est normal, puisque, ici, E n'est pas parallèle à De .
On aura donc à partir d'un rayon incident, deux rayons réfractés, correspondant à la vibration
ordinaire (perpendiculaire à l'axe optique) et la vibration extraordinaire (perpendiculaire à la
vibration ordinaire). La surface d'onde totale est une surface à deux nappes.
Cas particuliers :
Cas d’une lame taillée avec ses faces perpendiculaire à l'axe optique. : La construction de
montre alors que le rayon ordinaire et le rayon extraordinaire sont confondus et se propagent
à la même vitesse. La surface d'ondes se réduit à la nappe sphérique : tout se passe comme si
le milieu était isotrope. C'est le cas de la propagation parallèle à l'axe optique.
Cas d’une lame taillée avec ses faces parallèles à l'axe optique. la construction de montre
alors que le rayon ordinaire et le rayon extraordinaire sont de nouveau confondus mais se
c
c
v0 =
propagent à des vitesses différentes :
et v e =
.
n0
ne
c. Sortie de la lame biréfringente :
Le même phénomène se produit à la sortie, les ondes restent planes et parallèles. On a donc,
le milieu extérieur étant isotrope, reformation d'un faisceau de rayons parallèles. Mais, il faut
r
bien voir qu'on a un retard entre les 2 composantes de D , car les 2 vibrations ne se sont pas
transmises à la même vitesse. Néanmoins, il n'y a pas interférence car les 2 vibrations sont
perpendiculaires et ne peuvent donc interférer. Si à l'entrée, on avait une vibration polarisée
rectilignement, on pouvait écrire :
D = Di e i ("t
kz )
en appelant Oz la normale à la lame.
r
r
Le champ D est toujours parallèle à Di dans le milieu isotrope.
r
r
r
r
Dans la lame, on est amené à décomposer Di suivant : Di = D0 + De
A la sortie de la lame, on aura maintenant :
où
0
=
2
)
D = D0 e i ("t
n0 e
et
kz
e
0
=
)
+ De e i ("t
2
)
kz
e
)
ne
où ) est la longueur d'onde (dans le vide) incident, e l'épaisseur de la lame et n l'indice
correspondant à la vibration extraordinaire qu'est compris entre n0 et ne et qui dépend de
l'angle que fait l'axe optique avec les faces de la lame (et le plan d'onde incident).
= e
On aura donc un déphasage :
0
=
2n
)
e(n n0 )
entre les vibrations ordinaire et extraordinaire.
63
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Dans le cas général, la vibration à la sortie sera donc elliptique.
Cas particuliers :
= (2l + 1)
soit e(n n0 ) = l +
1
)
2
On appellera cette lame un lame demi-onde. Dans ce cas, on a à la sortie :
D = D0 e i ("t
kz
0
)
+ De e i ("t
kz
0
D = D0 e i ("t
kz
0
)
De e i ("t
kz
0
D = Ds e i ("t
kz
0
)
r
r
D S = D0
où on a posé :
)
)
r
De
On a donc de nouveau une vibration polarisée rectilignement, mais de direction différente
r
r
r
(sauf si le champ incident Di était parallèle à DO ou De ).
= (2l + 1)
2
soit
e(n n0 ) = l +
1 )
2 2
On appellera cette lame une lame quart d'onde. Si on l'oriente convenablement par apport à
(ou cas de lumière naturelle)
l'onde incidente, on peut obtenir : D0 = De
r
c'est à dire que Di est à 45° des axes de l'ellipse. Dans ce cas, à la sortie, on aura (en
repassant en réel) :
r D cos("t kz
0)
D 0
± D0 sin ("t kz
0)
c'est à dire que la vibration à la sortie sera polarisée circulairement, l'extrémité du
r
vecteur D décrivant un cercle lorsque t ou/et z varient. Ce cercle sera décrit dans le sens
trigonométrique ou dans le sens opposé suivant le cas.
Interférences produites par des lames biréfringentes
a) Polarisateurs :
Il serait temps de préciser comment nous pouvons produire de la lumière polarisée
rectilignement à partir de lumière quelconque. Nous avons vu que tout corps biréfringent ne
laisse se propager que deux directions d'ondes planes. On va donc utiliser cette propriété et
éliminer une des vibrations. L'autre se propagera et, étant seule, donnera, après le corps
biréfringent, une vibration polarisée rectilignement parallèlement à la vibration qui n'a pas été
éliminée.
Comment éliminer une vibration ? Citons en exemple encore utilisé en laboratoire, le nicol :
on prend un cristal de calcite (spath Islande), on le coupe en 2 et on le recolle à l'aide d'une
colle spéciale d'indice bien choisi (Baume du Canada). Les indices correspondant aux deux
rayons étant différents, l'angle limite de réfraction sera différent. On choisit donc l'angle dans
l'interface que l'angle d'incidence des rayons soit compris entre l'angle limite correspondant
au rayon extraordinaire et celui correspondant au rayon ordinaire. On aura alors réflexion
totale pour le rayon ordinaire, et seul le rayon extraordinaire sera transmis. A la sortie, on
r
aura donc une vibration polarisée rectilignement parallèlement à De .
64
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Dans la pratique, on utilise
actuellement des polaroïdes qui sont
des
corps constitués par des chaînes de
Re
molécules orientées parallèlement les
unes aux autres. Lorsque la vibration
et
dirigée suivant la direction prise par
les
molécules, la lumière est absorbée.
Rappelons enfin que sans incidence
de
Brewster, seule la composante de la
n
lumière naturelle perpendiculaire au plan d'indice est réfléchie ( tg i = 2 )
n1
Ces corps sont également utilisés comme analyseur de lumière :
du fait qu'il ne laisse passer qu'une direction de vibration, on
peut, en les tournant, analyser la lumière incidente. En
particulier, si elle est polarisée rectilignement, on obtiendra,
i
pour une orientation de l'analyseur à 90° de la vibration
n1
incidente, une extraction.
r r
n2
En effet envoyons une vibration D = D0 e i ("t kz ) sur un
polariseur / analyseur. Celui-ci ne laisse passer que les
r
vibrations parallèles à une direction A .
r
r
r
On peut toujours écrire :
D = D A + DB e i ("t kz )
r
r
r
où D A est parallèle à A et DB est perpendiculaire à A .
r
D A = DB cos
Si est l'angle entre DO et A, on aura :
r
r
A la sortie du polariseur, DB aura été éliminé et il restera : D A e i ("t kz )
(
)
Si =90°, D A = 0 , aucune vibration n'est transmise.
b) Interférences à la sortie d'une lame :
A la sortie d'une lame biréfringente, on a 2 vibrations déphasées, comme nous l'avons vu,
mais perpendiculaires entre elles, et de plus incohérente si elle proviennent de lumière
naturelle : ces deux vibrations ne peuvent donc interférer. Il
faut donc ruser.
Considérons une lame biréfringente, dont les faces sont
taillées parallèlement à l'axe (les deux rayons ordinaires et
lumièr
extraordinaires sont alors superposés) et mettons devant un
polariseur : la lumière naturelle devient alors polarisée
r
rectilignement suivant une direction Di avant la lame :
r r
D = Di e i ("t kz )
r
Dans la lame, on décompose Di en vibrations ordinaire et extraordinaire qui sont maintenant
cohérentes ente elles, mais bien sûr toujours perpendiculaires.
Mettons alors un autre polariseur P2 à la sortie qui ne laisse passer que les vibrations
parallèles à une direction A. Les deux vibration D0 et De incidentes sur P2 ne donneront donc
que leurs composantes parallèles à A : à la sortie de l'analyseur on aura donc deux vibrations
parallèles (à A), cohérentes (grâce à P1) et déphasées (grâce à la lame). On aura donc
65
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interférence.
Faisons maintenant le calcul, avec un peu
plus de précision. Appelons 0x la direction
de la vibration ordinaire et Oy celle de la
vibration extraordinaire : ces direction sont
appelées les lignes neutres de la lame.
lumièr
P1
P2
y
y
r
Di
ŷ
O
Soit la vibration incidente:
on aura à l'entrée de la lame:
A la sortie, on aura :
r
D = Di cos
e i ("t
r r
D = Di e i ("t kz ) ,
r
D = [(Di cos )xˆ + (Di sin
kz knoe )
ei ("t
xˆ + Di sin
x
x̂
) yˆ ]e i ("t
kz knee )
O
kz )
yˆ
Ces deux vibrations tombent alors sur l'analyseur qui fait un angle 6 avec Ox.
i ("t kz kno e )
Di cos
xˆ
e
i ("t kz kno e )
Di cos cos 6 A e
ne laisse alors passer que :
r
(en appelant A le vecteur unitaire dans la direction de l'analyseur).
r
sin 6 A e i ("t
Di sin
L'autre vibration ne laisse passer que:
et la vibration après l'analyseur sera donc :
r
D f = Di cos cos 6 + sin sin 6 e i ("t
(
L'intensité sera :
qui dépendra du déphasage :
I = Df
kz kne )
r
kz kne e )
)Ae (
i "t kz kne )
2
= k (ne
n0 )e
Examinons le cas où les interférences seront les « plus belles », c'est à dire quand les
amplitudes des deux ondes sont égales. Ceci sera obtenu pour :
deux vibrations ordinaires ou extraordinaire seront Di
=
4
où l'amplitude des
2
.
2
66
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Considérons le cas des polariseurs croisés,
c'est à dire que A est perpendiculaire à Di.
D
D f = i cos 6 + sin 6 e i Ae i ( )
2
(
r
Di (ou P1)
r
A
6 = -45° (ou 135°, ça doit donner la même
chose).
2
2
Di 1
Di
i 2
I=
1 e
=
sin2
2 2
4
2
On aurait de même, si les deux polariseurs
sont parallèles :
45°
O
)
- 45°
Di2
cos 2
4
2
Suivant les valeurs de , on observera une variation de l'intensité.
2
(ne no )e
=
I // =
)
Ceci va varier en fonction de la nature de la lame (ne no ) , de son épaisseur ou, en fin, de la
longueur d'onde. En particulier l'utilisation en lumière blanche sera très intéressante.
L'observation donc de l'intensité obtenue sera très intéressante et permettra de mesurer des
valeurs importantes. Nous verrons quelques applications dans le chapitre suivant.
67
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IV. Applications des interférences en lumière polarisée
Nous donnons ici quelques exemples d'applications des interférences étudiées dans le chapitre
précédent. Ces applications sont très nombreuses : en minéralogie, le microscope polarisant
permet d'étudier les cristaux optiquement anisotropes et de mesurer leurs épaisseurs et leur
biréfringence. L'étude de biréfringence accidentelles permet de mesurer les effets des
contraintes appliquées : c'est la photoélasticimétrie. Les microscopes interférentiels à
polarisation se développent de plus en plus. Enfin, la lumière polarisée intervient dans de
nombreux appareils, modulateurs de lumière, lasers, phénomènes d'optique non linéaire etc.
Nous restreindrons notre étude à quelques exemples.
Microscope polarisant
Nous avons vu qu'un faisceau de rayons parallèles, traversant une lame cristalline à faces
parallèles, donne à la sortie deux ondes planes parallèles ente lesquelles existe une certaine
différence de marche #. Nous ne l'avons vu que pour une onde parallèle à la surface, mais ceci
est généralisable à d'autres angles d'incidence. Pour observer ces ondes, il faut utiliser une
lunette visant à l'infini : elles convergent alors dans le plan focal image de l'objectif, où
chaque point correspond à une incidence. On utilise alors un microscope polarisant qui est
composé principalement d'un condenseur permettant d'éclairer l'objet étudié en lumière
convergente ou en lumière parallèle, deux polariseurs, l'un placé avant l'objet, l'autre après, et
une lunette constituée d'un objectif et d'un oculaire. On a, de plus, toutes les graduations
nécessaires pour mesurer les angles dont on peut faire tourner l'analyseur ou la lame étudiée.
Un certain nombre d'études peuvent être faites.
d. Lumière incidente parallèle blanche :
Nous négligerons l'éventuelle variation des indices avec ). Reprenons l'expression de
l'intensité entre polariseurs (croisés à 45°).
!
I = I 0 ) cos 2 (6
croisé à 45° :
I = I 0 ) sin 2
(n0
)
)
sin 2
sin 2 6 sin 2
(n0
ne )e
)
ne )e
En fonction de la longueur d'ondes, certaines radiations seront plus ou mains affaiblies à peu
près également sur le spectre, et on observera une sorte de blanc d'ordre supérieur.
(n ne )e
(n0 ne )e = p)
)p = 0
p
Si (n0
ne )e >> )optique , p sera grand, et p & p+1 fera varier )p lentement.
Par contre, si (n0 ne )e est faible (lame mince), seules certaines longueurs d'onde seront
affaiblies, dans le domaine optique, et on verra donc apparaître des colorations très vives ; ce
phénomène est appelé polarisation chromatique.
Les couleurs observées sont évidemment fonction de la valeur de # = (n0 ne )e . Pour une
lame dans une matière donnée, (no - ne) fixé, elles vont permettre d'obtenir très rapidement
des mesures d'épaisseur de la lame par comparaison avec une échelle donnée appelée échelle
des teintes de Newton. La variation de la couleur observée avec l'épaisseur est
68
http://jcvalmal.univ-tln.fr/enseignement/MSP1.pdf
particulièrement rapide (donc la mesure sensible) lorsqu'on est proche d'une teinte sensible
correspondant à l'extinction du jaune moyen ()~0,55 µm).
Exemple : Le cas d’une lame de quartz :
e = 120 µm & (n0 ne ) e =1,1 µm = 2 x 0,55 µm teinte sensible d'ordre 2.
Si e varie légèrement, la couleur change très vite.
e = 1mm & (n0 ne ) e = 9 µm, on aura extinction, entre polariseurs
!
croisés (6
)=
2
, des variations telles que :
9
9
= 0,75µm jusqu'à ) =
= 0,41µm
12
22
11 longueurs d'onde éteintes : blanc supérieur (une variation légère ne change rien), donnant
un spectre cannelé si on l'examine avec spectroscope (la mesure de ces ) par un spectroscope
permet alors de remonter à #, donc à (n0 ne ) e ).
)=
e. Lumière incidente parallèle monochromatique :
Si la lame est parfaite, d'épaisseur uniforme et parfaitement homogène, on va observer tout
simplement une teinte plate uniforme. Mais supposons maintenant que la lame ait une
épaisseur variable. En lumière normale, on n'observera rien, car, si on éclaire par une onde
plane, on obtiendra à la sortie une onde déformée mais avec un déphasage. Comme les
récepteurs (œil, plaque photo ou autre) ne sont sensibles qu'à l'intensité (module au carré) le
déphasage n'apparaîtra pas (si on suppose la lame parfaitement transparente, c'est à dire sans
absorption) et on ne verra par la différence d'épaisseur.
Par contre, si on observe cette lame entre
deux polariseurs, par exemple croisés,
toutes les régions où (n0 ne )e = p)
apparaîtront noires. En une région voisine
telle que (n0 ne )e '=(p+1)), on aura de
nouveau du noir. Entre les deux on aura vu
apparaître de la lumière. Ce qui revient à
dire qu'on aura mis en évidence des
variations d'épaisseur très faibles de l'ordre
de
P
(n0
)
ne )
L
f. Lumière convergente blanche :
Pour mémoire, mentionnons l'utilisation en lumière convergente, c'est à dire avec un
faisceau présentant des incidences différentes. On peut toujours le considérer comme une
superposition d'ondes planes, de directions de plans d'onde différentes. Disons sans
démonstration que le motif obtenu dans le plan focal permet de distinguer sans ambiguïté des
cristaux uniaxes de cristaux biaxes, et permet aussi de voir l'orientation de l'axe par rapport
aux faces de la lame.
Exemple : cas d’un cristal uniaxe
69
http://jcvalmal.univ-tln.fr/enseignement/MSP1.pdf
Axe optique< aux faces de la lame
Axe
optique
légèrement
oblique
Disons simplement qu'on peut, par toutes ces méthodes obtenir de nombreux renseignement
sur les lames utilisées.
Photoélasticimétrie
a. Biréfringence par compression :
Jusqu'ici nous avons considéré des milieux qui possédaient une certaine anisotropie
à cause de leur structure propre : nous avons vu que, à part les cubiques qui sont tous
optiquement isotropes (ils ne le sont pas pour d'autres propriétés !), les cristaux ont en général
une anisotropie de structure, due à l'existence de directions privilégiées.
Considérons maintenant un corps isotrope : par définition, toutes les directions sont
équivalentes, il n'y a aucune direction privilégiée. Mais on peut utiliser des causes extérieures
pour provoquer l'apparition de dissymétrie et d'une (ou plusieurs) directions privilégiées.
Exemple : considérons un cube d'un matériau
r
initialement isotrope (verre, Plexiglas, bref des
F
amorphes) et appliquons sur deux des faces
opposées une compression uniforme :
r
x
F est parallèle à Ox. Le cube acquiert alors des
propriétés différentes dans la direction Ox. Par
contre les direction Oy et Oz restent équivalentes
: dans le cas considéré, le cube, initialement
isotrope, est devenu anisotrope, avec une
O
symétrie de révolution autour de Ox. Il se
y
comportera alors comme un cristal uniaxe d'axe
z
70
http://jcvalmal.univ-tln.fr/enseignement/MSP1.pdf
optique parallèle à la direction de la compression.
Il est évident qu'on peut faire la même chose avec un cristal cubique : on le rendra alors
uniaxe. Si on part d'un cristal uniaxe, une compression parallèle à l'axe optique changera
simplement les valeurs de ne et no, mais le cristal restera uniaxe. Une compression
perpendiculaire à l'axe optique va par contre introduire une seconde direction privilégiée et
transformer le milieu uniaxe en un milieu biaxe. Quand à une compression appliquée à un
cristal biaxe …
Dans ce qui suit nous nous occuperons uniquement de ce qui est utilisé, c'est à dire la
compression de corps initialement isotropes et qui deviennent donc uniaxes : les propriétés
optiques sont alors entièrement définies par la connaissance de ne et no.
r
F
On mesure la biréfringence par les méthodes
habituelles, en interposant des lames connues
après le verre. Le polariseur est placé à 45° de
la direction de compression, l'analyseur est en
position croisée. Lorsqu'on met le morceau de
verre, sans aucune compression, on n'observe
aucune lumière après l'analyseur : la lumière
polarisée rectilignement est maintenant
polarisée elliptiquement et présente donc une
composante parallèle à l'analyseur, donc qui
passe à travers celui-ci :
r r
Avant le bloc de verre : D = Di e i ("t kz )
verre
r
D
D
A l'entrée du bloc, on écrit : Di = i xˆ + i yˆ
r
2
2
P
lames A
F
(angle de 45° avec x̂ ,direction de compression
connues
donc axe optique).
c
Après le bloc la composante parallèle à x̂ s'est propagée avec une vitesse
et la
ne
c
composante perpendiculaire avec une vitesse
donc :
no
e
Ds =
Ds =
avec
# = (ne
Di
2
Di
2
e i ("t
kz kne e )
e i ("t
kz kne e )
xˆ +
Di
2
e i ("t
kz kno e )
yˆ
[xˆ + e yˆ ]
ik#
no ) e le retard que l'on va mesurer.
Dans la pratique, toute compression suivant Ox, va entraîner une légère dilatation suivant les
directions perpendiculaires (élasticité, module de Poisson), donc en fait, ce qu'on va mesurer
c'est # = (ne no ) e7 , mais e7 e peut se calculer par les formules de l'élasticité.
Les résultats montrent que (ne
no ) est proportionnelle à la pression p appliquée (c'est à dire
71
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[ ]L F2
=1
L
à --). On écrira ne no = ) p o ù est
(par exemple)
L m
[ ]=
F N
On aura typiquement pour le verre des de l'ordre de -5.10-6 m/N (cristal uniaxe négatif) ce
qui donnerait :
(ne no ) =-5 x 10-6 x 0,6.10-6 x 105 = -3.10-7
pour une pression de 1 atm et pour le jaune. Il faudra de fortes pressions pour faire apparaître
quelque chose. La matières plastiques par contre (Bakélite, Celluloïd,…) sont beaucoup plus
actives du point de vue de la biréfringence, car elles se déforment beaucoup plus facilement.
Signalons enfin qu'on peut mesurer
les variations absolues d'indice, c'est
à dire les valeurs:
ne n
et
no n
avant comp
ression
où n est l'indice du corps isotrope
(non comprimé). On utilise en
Ex particulier un prisme qu'on comprime
O
parallèlement
à
l'arête
et
l'augmentation de n se traduit par une
déviation différente.Si on était au
minimum de déviation, on aurait :
D+ A
A
sin
= n sin
2
2
Les variations de n étant faibles, on peut calculer les variations de d en résultat par
différentiation :
1
D+ A
A
cos
dD = dn sin
2
2
2
A
soit encore
2 sin
2 (n
(D =
D+ A
cos
2
On trouve des (D très petits et on est donc amené à utiliser plusieurs prismes couplés. Nous
n'entrerons pas dans les détails.
(A.N. : (n=3.10-5 ; n=1,5 ; A=60° ; (D=4,5.10-5)
b. Applications :
Nous n'avons étudié que le cas simple de la compression unilatérale d'un bloc. On
imagine assez bien que la traction unilatérale
donnerait des effets inverses, mais le principe reste
le même. On peut également observer les effets de
compression et de dépression alternatives en
induisant un système d'ondes longitudinales
stationnaires dons une longue tige de verre :
Vibrations & Système d'ondes stationnaires, c'est à
72
P
A
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dire une succession de nœuds et de ventres. Aux nœuds de vibrations correspondent des
maxima de compression ou de dilatation, et c'est donc là qu'on a intérêt à faire passer le
faisceau de lumière polarisée.
Dans la pratique, l'observation en lumière polarisée montre que la plupart des glaces et
lentilles que l'on trouve dans le commerce présentent des phénomènes de biréfringence qui
peuvent être importants. Ceci est dû à la trempe qui suit le coulage de la glace : le
refroidissement s'accompagne d'une diminution de volume. Mais lorsque l'extérieur est
solidifié, l'intérieur qui est encore liquide ne peut subir ces diminutions de volume du fait de
l'étau constitué par les couches extérieures déjà solides. Aussi, les parties internes de la coulée
seront soumises à des tensions internes suffisamment élevées pour produire des variations
d'indice de quelques 10-5. D'où nécessité, en général, d'un recuit lent pour réduire ces tensions
internes. On comprend aussi la difficulté de faire de grands miroirs ou lentilles (cf : Mont
Palomar, rayon=2m).
On arrive alors à réduire suffisamment (n pour que la perfection des images obtenues
(appareil photo, microscope, etc.) soit suffisante. Mais, si on observe entre 2 polariseurs, on
verra apparaître ces tensions. Aussi dans toutes mesure polarimétrique, on évitera de disposer
les glaces ou lentilles entre les polariseurs.
On peut surtout étudier la transmission des contraintes ou leur répartition, lors de l'application
d'une force. Prenons l'exemple de l'expérience de Brewster : une lame de verre repose sur 2
r
supports A1 et A2. On applique une force verticale F ; sous l'effet de cette force, la pièce va
subir des contraintes qui vont se répartir d'une façon qui est évidemment surtout fonction de
la géométrie de la pièce et des supports.
r
F
N1
N2
A1
A2
L'observation entre polariseurs croisés permet de visualiser aisément ces contraintes. Cens le
cas montré, on observera une frange noire suivant la ligne neutre N1N2 et puis des franges
colorées correspondant aux points où les différences de marche ont la même valeur.
On peut généraliser à des pièces de forme plus compliquée qui reproduiront des organes de
machine, des éléments de construction d'un pont, d'un barrage, etc. On fait donc des modèles
(en utilisant plutôt les plastiques modernes, transparents bien sûr) et on mesure en chaque
point la différence de marche, l'orientation des vibrations privilégiées, etc. Ceci permet, en se
servant des lois de la similitude mécanique, de déduire la répartition des efforts supportés par
la pièce réelle. Cette méthode dite de photoélasticimétrie est très utilisée pour étudier la
répartition des contraintes à l'intérieur d'une pièce mécanique.
Biréfringence électrique
a. Faits expérimentaux :
Dans un champ électrique, la plupart des liquides deviennent anisotropes : la
73
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direction du champ est évidemment une direction privilégiée et le milieu va se comporter
comme un milieu uniaxe. On parlera de biréfringence électrique ou encore phénomène de
Kerr.
V
r
E
d
A
P
l
On fait le montage représenté ci-dessus : la mesure du V et de d permet de connaître E. On
observe en lumière polarisée, sur une longueur l. On aura une direction extraordinaire
parallèle à E et le long de la propagation l'indice ordinaire no. Le retard entre les deux
vibrations sera alors :
# = (ne no ) l
On obtiendra à la sortie une vibration elliptique, en général très aplatie ( ne
n’est pas trop grand pour éviter les décharges).
L'expérience montre que :
(ne
no petit car E
no ) = B)E 2
où B est la constante de Kerr pour la radiation de la longueur d'onde ). Remarquons que
l'inversion de E ne change pas la biréfringence. La constante B est positive pour la plupart des
liquides (qui se comportent donc comme des cristaux uniaxes positifs) ; quelques exceptions,
bien sûr, dont l'éther ordinaire.
Un gros problème expérimental se pose, pour la mesure de B, c'est l'échauffement éventuel du
liquide par effet Joule si le liquide n'est pas parfaitement isolant. On arrive néanmoins à
mesurer B. On obtiendra typiquement des mesures de ne no de l’ordre de 10-6.
La constante de Kerr diminue nettement quand la température s'élève de l'ordre de 1% par
degré. D'autre part, elle varie avec la longueur d'onde, augmentant lorsqu'on passe du rouge
au violet dans des proportions importantes. Une formule représente assez bien cette variation
:
B)n
= cste
(formule de Havelock)
2
n2 1
(
)
b. Théorie de l'orientation moléculaire :
La biréfringence électrique semble due à une action directrice exercée par le champ électrique
sur les molécules du liquide.
Les molécules de la plupart des liquides présentent des dissymétries électriques, et on conçoit
bien qu'un champ électrique va tendre à les orienter. S'il n'y avait l'agitation thermique, on
obtiendrait alors une forte biréfringence. Du fait de l'agitation thermique on a un grand
74
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nombre de chocs entre molécules, qui détruisent à chaque fois l'orientation obtenue.
L'orientation globale reste donc faible, d'où une biréfringence faible. On conçoit aisément que
plus la température est forte, plus la biréfringence est faible.
Cette théorie marche fort bien avec les résultats expérimentaux : elle fournit la formule de
Havelock et elle conduit à prévoir que la somme des trois indices principaux ne doit pas être
modifiée par l'établissement du champ.
Avant E, si on avait un milieu isotrope on avait n pour les trois indices principaux. Après E,
on a un milieu uniaxe donc deux fois no et une fois ne. On doit donc avoir :
ne + 2no = 3n
d'où le rapport des variations d'indice :
=
ne n 2(n no )
=
= 2
no n
no n
que l'on peut mesurer. Signalons que les autres théories possibles (action de E sur les
électrons par exemple) prévoient = +3, ce qui conduit à les rejeter.
La biréfringence électrique est donc liée à l'anisotropie de la molécule ; elle est très variable
d'un corps à l'autre. Des règles empiriques ont été établies pour indiquer comment B varie
lorsqu'on substitue certains radicaux les uns aux autres dans les corps organiques.
On peut donc dire que la valeur de la constante de Kerr mesure l'anisotropie de la molécule.
Biréfringence magnétique
Mentionnons pour mémoire l'existence d'une biréfringence magnétique qui s'explique
également par la théorie de l'orientation moléculaire. La formule d'Havelock reste valable,
ainsi que la variation du phénomène avec la température.
75
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V. Polarisation rotatoire
Il nous reste à étudier un dernier phénomène qui, lui aussi, donne lieu à de nombreuses
applications en analyse.
Phénomènes généraux de la polarisation rotatoire
a. Faits expérimentaux
Di
P
r
A7
r
A
Considérons des lames bicristallines
taillées perpendiculairement à l’axe
optique. Si on les place entre deux
polariseurs croisés, on ne doit observer
DS
aucune lumière puisque la propagation
L
le long de l’axe se fait comme dans un
milieu isotrope. Ceci est effectivement
vérifié pour certains cristaux (la calcite
A par exemple) mais ne l’est pas pour
d’autre dont le quartz.
L’expérience montre que l’on a de la
lumière si la lame est en quartz et que
r
l’on peut obtenir l’extinction à condition
DS
de tourner l’analyseur d’un certain angle
(après le quartz)
: la vibration qui sort de la lame de
quartz est donc encore rectiligne, mais
tournée d’un angle par rapport à celle
r
qui est entrée dans la lame. Le fait de
Di
P
r
tourner la lame de quartz dans son plan
ne change rien (ce qui est heureux au vu
DS (après la calcite)
de la symétrie de révolution autour de
l’axe optique).
Si on compare des lames d'épaisseurs e différentes, on constate que la rotation
proportionnelle à l'épaisseur traversée :
= .e
est
où est une constante qui peut dépendre de ).
= 21°7/mm.
Exemples : pour le quartz, pour la raie D:
On voit ainsi qu'il s'agit d'un phénomène important.
Pour le quartz, est constant en valeur absolue, mais peut changer de signe : la
rotation peut se faire dans un sens ou dans l'autre. Précisons tout de suite les conventions.
L'observateur reçoit la lumière : s'il doit tourner l'analyseur dans le sens des aiguilles
d'une montre (de sa gauche vers sa droite), on dira que le quartz est dextrogyre; il a fait
tourner la vibration vers la droite pour l'observateur. Sinon, le quartz sera lévogyre (ou quartz
gauche).
76
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L
P
A
Remarque importante : des substances isotropes, ne présentant donc pas de biréfringence,
peuvent aussi présenter des phénomènes de polarisation rotatoire : citons en particulier un
grand nombre de substances organiques soit liquides purs, soit en solution (sucre ou acide
tartrique par exemple). Là aussi, l'angle de rotation dépend de la longueur traversée et de la
dilution ; il existe des substances lévo ou dextrogyres et beaucoup existent sous les deux
formes.
b. Description :
Comment peut-on décrire ce phénomène ? Fresnel, le premier, a montré qu'on
pouvait utiliser une analogie avec la biréfringence : pour celle-ci, on utilise le fait que la lame
biréfringente transmet deux vibrations privilégiées sans altération mais avec des vitesses
différentes. De même, ici, une vibration circulaire est transmise sans modification ; elle peut
être droite ou gauche. On aura donc, dans le cas de la polarisation rotatoire, des lames pour
lesquelles les vibrations privilégiées transmises sans altération sont des vibrations circulaires.
Ces deux vibrations sont transmises avec des vitesses différentes ou encore avec des
indices différents correspondant à leur sens de circulation. On aura donc à l'entrée de la lame
une vibration rectiligne : celle-ci peut être décomposée en deux vibrations circulaires, l'une
droite, l'autre gauche, qui sont en phase à l'entrée de la lame -cf fig. 1 -.
r
DG
r
Di
x
r
DD
77
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r
DG
x
2
r
DD
r
Di
Fig. 1
Fig. 2
Elles se transmettent à des vitesses différentes et vont donc être déphasées à la sortie, d'un
déphasage :
2
=
(nG nD ).l
)
en appelant nG et nD les indices correspondants à chacune des vibrations.
Supposons nG > nD, donc vG < vD. La vibration gauche est retardée et, à la sortie, on aura la
figure 2. La composition de DG et de DD redonnera une droite mais qui aura tourné de /2
vers la droite de la direction initiale. L'angle de rotation est bien proportionnel à l et dépend
de ).
Remarquons que nous n'avons pas expliqué mais décrit. Nous pouvons simplement
en conclure qu'il s'agit d'un phénomène lié à l'orientation du milieu.
c. Dispersion rotatoire :
Dernier fait caractéristique, la rotation du plan de vibration dépend très fortement de
la longueur d'onde. En première approximation, on peut écrire que :
A
= 2
)
(Rappel, n = A +
B
)2
formule de Cauchy)
Ceci est énorme : quand on passe du rouge () = 0,75 µ) au bleu ()=0,4 µ), la rotation est
multipliée par 3,5. Signalons que c'est ce phénomène de dispersion rotatoire qui a été
découvert, avant la polarisation rotatoire ! Pour des lames assez épaisses, on va avoir des
rotations qui peuvent varier de 2 .
Par exemple : Lame de quartz de 10 cm.
1265° < < 4259°
(7 + 5° à 23 + 119°)
Comme on a annulation, entre polariseurs croisés, chaque fois que = m , on aura de
nouveau un spectre cannelé ou du blanc d'ordre supérieur.
Ce phénomène de coloration sera très utilisé. Ici aussi, on pourrait faire une théorie
de la dispersion en faisant intervenir des longueurs d'onde d'absorption, et on observerait les
phénomènes vus dans le débit de ce cours. Nous n'y reviendrons pas.
78
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Structure des milieux actifs :
a. Dissymétrie :
Les milieux actifs ne peuvent présenter de centre ou de plan de symétrie puisqu'on peut y
distinguer une vibration gauche d'une vibration droite. Cette dissymétrie peur se décrire en
disant qu'un milieu actif n'est pas superposable à son image dans une glace. L'exemple
classique est celui d'une hélice, mais on pourrait tout aussi bien prendre un tétraèdre
irrégulier.
Ces deux corps sont strictement identiques et leurs
propriétés sont identiques aussi sauf en ce qui
concerne la polarisation rotatoire.
Tout corps actif possède une structure caractérisée
par l'absence de plan de symétrie : il peut exister
sous deux formes différentes, images l'une de
l'autre par rapport à un plan. L'une sera appelée
dextrogyre, l'autre lévogyre et la plupart de leurs
propriétés physiques ou chimiques seront
identiques.
Cette dissymétrie peut exister à deux échelles
différentes : dans une solution (ou un liquide), ce
ne peut être l'arrangement des molécules qui est
dissymétrique puisqu'il est fluctuant. C'est la
molécule elle même qui doit être dissymétrique :
on parlera de dissymétrie moléculaire.
P
Dans un solide cristallisé par contre (SiO2,
NaClO3), les éléments constitutifs du cristal n'ont
pas
dissymétrie : si on fond le quartz ou qu'on
A
A
dissout du NaClO3, on n'obtiendra aucun pouvoir
D
D
C
C
rotatoire. C'est l'arrangement des éléments dans le
réseau cristallin qui est dissymétrique.
B
B
b. Racémique :
Imaginons maintenant qu'on dissolve des quantités égales de corps à dissymétrie moléculaire
dextrogyre et lévogyre. On obtient bien sûr une solution inactive. Si on fait recristalliser cette
solution, on obtiendra un cristal qui se comporte comme une espèce pure mais qui n'a pas de
pouvoir rotatoire : c'est, en fait, un mélange. On appellera ça un racémique.
Quand on synthétise artificiellement un corps, on obtiendra en général le racémique : on part
en général de produits inactifs, le procédé ne présente pas de dissymétrie et on a donc des
probabilités égales d'obtenir les formes dextrogyre ou lévogyre du composé. Si on veut
obtenir une forme optiquement active, on doit soit utiliser des agents dissymétriques (par
exemple vivants : bactéries, moisissures ou autres), soit réaliser la séparation du racémique en
ses deux constituants. Ce qui n'est pas facile à réaliser, car ils ont très souvent les mêmes
propriétés physiques et chimiques.
c. Stéréochimie :
79
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L'activité optique est donc liée à l'existence de dissymétrie dans la molécule. On peut dès lors
en tirer des connaissances sur la disposition dans l'espace des atomes d'une molécule. En
particulier, cette activité a permis de passer des formules planes à des formules dans l'espace :
d'où le terme de stéréochimie. Les cas les plus importants sont rencontrés en chimie
organique. Nous prendrons l'exemple du carbone, atome tétravalent. S'il est entouré de
radicaux identiques, il est au centre d'un tétraèdre régulier : par exemple, CH4. Dans ce cas, la
molécule n'est évidemment pas active. Si on remplace maintenant certains des radicaux par
d'autres, différents, le carbone sera dit asymétrique et on aura alors un corps optiquement
actif.
Exemple :
X’
X
Y
Z
Z’
T’
T
Lorsqu'une molécule ne possède
qu'un carbone asymétrique, elle est
toujours optiquement active. Si,
par contre, elle en possède
plusieurs, on pourra avoir plusieurs
possibilités.
Y’
P
X
Y
C
X
Z
Z
Y
C
Prenons l'exemple de l'acide
T
T
tartrique COOH-CHOH-CHOHCOOH. Les carbones des CHOH sont asymétriques. On aura donc quatre possibilités :
COOH
COOH
COOH
COOH
H
C
OH
OH
C
H
OH
C
H
H
C
OH
OH
C
H
H
C
OH
OH
C
H
H
C
OH
COOH
(a)
COOH
(b)
COOH
(c)
COOH
(d)
(a) et (b) n'ont pas de plan de symétrie et sont symétriques l'un de l'autre par rapport à un plan
: ils correspondent donc à des molécules actives, droite et gauche. (c) et (d) ont un plan de
symétrie et sont en fait superposables : ils correspondent donc à une variété, non active, de
l'acide tartrique. Il existera donc trois variétés isomères possibles, plus évidemment le
racémique, qui n'est pas identique à la variété (c).
Loi de Biot et applications : liquides.
a. Cas des corps purs :
On place un liquide actif dans un tube fermé par deux glaces parallèles et souples pour
permettre une éventuelle dilatation (tube polarimétrique). On observe que la rotation produite
80
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varie avec la température :
Quand T augmente, l'angle diminue.
En réalité, cela tient surtout à ce que la masse spécifique du liquide actif diminue, et par
conséquent la quantité de liquide actif mis sur le parcours diminue. On est donc amené à
définir le pouvoir rotatoire spécifique [ ] :
[ ]=
l.d
où est l'angle (en général exprimé en degrés et fractions décimales de degré), l la longueur
traversée (en dm !) et d la densité du liquide dans les conditions de la mesure.
Ce pouvoir rotatoire spécifique peut être considéré comme indépendant des conditions
physiques.
Par exemple :
Camphre liquide (204°C) [ ] = 70,33°/dm
Camphre gazeux (220°C) [
] = 70,31°/dm
D'autre part, les corps présentant un pouvoir rotatoire spécifique positif seront dits
dextrogyres, alors que ceux présentant un pouvoir rotatoire spécifique négatif seront dits
lévogyres.
Par exemple :
[ ] = 107°/dm
pour la raie D.
Limonène
[ ] = -164°/dm
Nicotine
pour la raie D.
b. Cas des solutions :
Si on dilue maintenant la substance active dans un solvant inactif, on aura le même genre de
phénomène : c'est toujours la quantité de matière active interposée sur le faisceau qui est
importante. On devra donc de nouveau définir un pouvoir rotatoire spécifique d'une solution :
[ ]=
l.c
où c est la concentration, c'est à dire la proportion de substance active contenue dans une
solution.
Ici aussi, la quantité [ ] définie est indépendante de la concentration. On aura ainsi la loi de
Biot :
La rotation produite par une longueur donnée l de solution, pour une radiation donnée, est
proportionnelle à la concentration de cette solution.
= [ ] .l.c
On peut la généraliser à des mélanges de plusieurs substances actives :
= [ 1 ] .c1.l + [ 2 ] .c2.l + ...
Remarque : il existe, naturellement, des contre exemples. L'acide tartrique, par exemple, est
capable d'être lévogyre ou dextrogyre suivant la concentration pour le violet. Pour le jaune, il
reste dextrogyre, mais varie considérablement : on admet que les corps qui s'écartent de la loi
de Biot sont en général des corps dont les molécules subissent des modifications lors de la
dissolution.
Dans le cas général, la loi de Biot est très bien vérifiée.
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c. Applications :
La loi de Biot permet de mesurer des concentrations par une simple mesure de l'angle de
rotation de la lumière. On parlera de dosage polarimétrique : c'est un procédé rapide et précis,
plus qu'un dosage chimique, et non destructif de surcroît. Il est très utilisé pour vérifier la
pureté d'un produit ou pour suivre les progrès d'une réaction.
Ceci est particulièrement utilisé pour le dosage des sucres, le saccharose étant un corps très
actif.
82