TP : Multiplication de signaux

TP : Conversion Analogique-Numérique
But : comprendre les principes de la numérisation et choisir les bons paramètres pour effectuer une
conversion répondant aux critères de Nyquist-Shannon.
I. Principe de la numérisation
1- Echantillonnage
Lorsqu’on cherche à mesurer une grandeur physique on utilise un capteur qui transforme cette grandeur en un
signal électrique.
Ce signal est dit analogique car c’est une fonction continue dans le temps.
Pour le traitement et le stockage de ce signal, il est bien plus efficace de le mettre sous forme numérique : suite
de valeurs discrètes à des intervalles de temps régulier.
Pour ce faire la première étape consiste à procéder à l’échantillonnage du signal analogique : on prélève à
intervalle de temps Te constant (appelé période d’échantillonnage) les valeurs (appelées échantillons) du signal
analogique.
Signal analogique
Signal échantillonné
La fréquence définie par fe = 1/Te est appelée fréquence d’échantillonnage.
De manière qualitative, on voit bien que plus fe est grand, plus le signal échantillonné est proche du signal
analogique.
A l’inverse pour une faible fréquence d’échantillonnage (grand Te) on perd beaucoup d’information du signal
initial :
2- Quantification et codage
La plupart du temps, le signal numérisé est codé sur n bits, il ne peut donc prendre que 2n valeurs différentes.
On appelle quantification l’opération discrétisant les valeurs du signal échantillonné.
Par exemple, si on code un signal sur 2 bits, le signal numérisé ne pourra prendre que 4 valeurs.
Pour un signal variant entre 0 et 10 V on pourrait choisir les valeurs : 0, 3V, 6V et 9V.
En suite on code ses valeurs en binaire : 00 pour 0, 01 pour 3, 10 pour 6 et 11 pour 9.
Cette dernière étape est appelée codage elle consiste à coder en binaire chaque niveau quantifié.
Remarques :
- ici l’écriture binaire n’est pas l’écriture en binaire des valeurs des tensions choisies.
- L’écart entre deux valeurs successives du signal discrétisé n’est pas nécessairement constant, cela dépend du
type de signal que l’on souhaite numérisé.
- Dans le cas où cet écart est constant, on l’appelle pas de quantification ou quantum q. Soit s le signal discrétisé,
alors q =
où Δs = smax – smin. Le 2n-1 s’explique par le fait que s’il y a 2n valeurs, il y a 2n-1 intervalles.
Alors que si on utilise 4 bits, le signal numérisé pourra prendre 16 valeurs :
II. Influence de la fréquence d’échantillonnage
1- Stroboscopie
On éclaire un segment tournant à l’aide d’un stroboscope. Soit f la fréquence de rotation du segment et fe la
fréquence du stroboscope.
On choisit f << fe. Qu’observe-t-on ?
On diminue fe. Qu’observe-t-on ? On notera en particulier la fréquence à partir de laquelle le mouvement du
rayon apparaît comme l’opposé à celui du mouvement réel.
Pour quelles valeurs de fe le rayon apparaît immobile ?
Avez-vous déjà observé ce phénomène ? Précisez.
2- Critère de Nyquist-Shannon
Manipulation : Brancher un GBF à la centrale d’acquisition.
Régler le signal de telle sorte qu’il ait une fréquence de 550 Hz et une valeur efficace de 2 V.
A l’aide de Latis Pro faire une acquisition du signal sur une durée de 10 ms.
Faire plusieurs acquisitions en modifiant le nombre de points (prendre des nombres de points qui sont des
puissances de 2 et faire en sorte que la durée devant rester du même ordre de grandeur que 10 ms) de manière à
régler la fréquence d’échantillonnage (on utilisera le même protocole que pour la stroboscopie).
Quelle condition doit vérifier la fréquence d’échantillonnage pour que le signal échantillonné ait la même période
que le signal initial ?
Afficher les spectres (à l’aide de l’outil Analyse de Fourier dans le menu Traitements/Calculs spécifiques) des
signaux échantillonnés pour les différentes valeurs de la fréquence d’échantillonnage.
Utiliser les réglages avancés pour afficher le spectre sur l’intervalle [0, fe]. Vous pouvez aussi choisir
manuellement la partie du signal à analyser à modifiant la « Sélection de période ».
Qu’observez-vous ?
Généralisation :
Quand on échantillonne un signal sinusoïdal de fréquence f à la fréquence fe, le spectre du signal échantillonné
est le suivant :
C’est-à-dire qu’on a une infinité de raies aux fréquences kfe±f avec k un entier strictement positif.
L’information est présente de la première raie de fréquence f.
Mais si fe-f < f, donc si fe < 2f, la première raie n’est plus de fréquence f, et le signal échantillonné n’a plus la même
fréquence que le signal initial.
C’est ce qui se passe aussi avec le stroboscope, si fe < 2f, on a l’impression que le rayon tourne à fe – f et non f.
De manière plus générale, si le signal d’entrée a un spectre large, on aura :
Le spectre du signal initial se trouve dans celui du signal échantillonné. On peut le récupérer par filtrage passebas.
Si jamais fe < 2f on aura repliement de spectre : certaines parties de spectre se superposent.
On ne peut plus récupérer le signal initial par filtrage. Ce repliement de spectre ne doit absolument pas se
produire pour ne pas perdre d’information lors de l’échantillonnage.
Conclusion : lors de l’échantillonnage d’un signal, la fréquence d’échantillonnage doit vérifier le critère de
Nyquist-Shannon :
fe > 2 fmax
où fmax est la fréquence la plus élevée du spectre du signal à échantillonner.
Exemple : Pour les signaux audio, on échantillonne à 44,1 kHz ce qui vérifie bien la condition de Nyquist-Shannon
puisque 44,1 kHz > 2x20 kHz.
Manipulation :
 Recommencer le même protocole expérimental que précédemment en utilisant un signal créneau ou
triangulaire afin d'observer le repliement de spectre.
On se propose dans cette partie de retrouver le théorème de Nyquist-Shannon et ses conséquences dans le cas
de signaux audios. On utilise ici le logiciel libre Audacity (voir notice ci-jointe en annexe )
 Importer le fichier Son1.wav. L’écouter.
 La fréquence d’échantillonnage est par défaut prise à 44,1 kHz. Expliquez la raison.
 Tracer le spectre du signal. Pour cela sélectionner l’intégralité du signal à l’aide du curseur, aller dans
Analyse puis Tracer le spectre (Adapter les paramètres). Noter la valeur de la fréquence fondamentale et
des harmoniques.
 Re-échantillonner le son à l’aide du logiciel à une fréquence fe = 20 kHz. Pour cela, aller dans les
paramètres (triangle noir situé au niveau de 44100 Hz) et choisissez un taux de 20 kHz. L’enregistrer sous
le nom : Son120kHz.wav. L’écouter. Tracer le spectre et commenter en relation avec le critère de
NYQUIST-SHANNON.
Remarque : Audacity pressente en entrée un filtre anti-repliement (antialiasing en anglais) qui est un filtre passe
bas qui atténue fortement les fréquences présentes dans le signal supérieures à la fréquence de coupure.
 Commenter les différences perçues à l’écoute du son et sur les spectres.

Re-échantillonner à nouveau à 10 kHz puis à 500 Hz. A chaque fois écouter le son re-échantillonné,
observer son spectre et commenter.
III. Quantification
1- Mise en évidence
Manipulation :
 A l'aide de la carte d'acquisition Eurosmart SYSAM-SP5, mesurez une tension continue U de l'ordre de 0,8
V. Effectuez une acquisition de N = 10000 points sur 2 secondes, en choisissant le calibre de l'acquisition à
±10 V. En zoomant fortement mettez en évidence la quantification lors de la conversion et montrez que la
carte est équipée d’un convertisseur 12 bits.
 A l'aide d'Audacity, importer le fichier Son1.wav et le réécouter pour q = 16 bits puis 8 bits. Expliquez ce
que vous entendez.
2- Ordres de grandeur
Voici quelques ordres de grandeur de nombre de bits de quantification :
CD
16 bits
DVD
24 bits
Téléphonie
8 bits
Connaissant le nombre de bits de quantification et la fréquence d’échantillonnage on peut en déduire le débit
d’information :
D = nv n fe où n est le nombre de bits et nv le nombre de voix (par exemple nv = 2 pour un signal stéréo).
Par exemple pour le CD :
D = 2x44,1.103x16 = 1 411 200 bits/s ce qui fait un débit de 176,4 ko/s.
IV. Filtrage numérique
1- Théorie
On souhaite effectuer un filtrage passe-bas du 1er ordre sur un signal, ce qui revient à lier l’entrée et la sortie du
filtre par l’équation différentielle :
On veut filtrer le signal numérique.
On pose en = e(nTe) et sn = s(nTe).
Dans ce cas la dérivation peut s’écrire :
L’équation différentielle s’écrit :
D’où la relation de récurrence :
2- Etude expérimentale
On choisit les paramètres suivant :
fc = 100 Hz (on rappelle que τ = 1/(2πfc))
fe = 5000 Hz
Manipulation : branchez un GBF sur la centrale d’acquisition (EA0
par exemple) et choississez N = 10 000 points.
Ouvrez une feuille de calcul et entrez la récurrence :
Et renvoyez le signal filtré à la sortie.
Observez l’entrée et la sortie sur l’oscilloscope et vérifiez les caractéristiques du filtre.
Quelles sont ses limites ?
ANNEXE