TD Thermodynamique no3 bis Le deuxième - mpsi

Lycée François Arago
Perpignan
M.P.S.I.
2012-2013
TD Thermodynamique no3 bis
Le deuxième principe de la thermodynamique
Bilans d’entropie
Exercice 1 -
Détente adiabatique brutale d’un gaz parfait.
Un cylindre vertical dont les parois sont calorifugées est clos par un piston de masse négligeable, de section A également
calorifugé sur lequel on a placé une masse M .
On note Patm la pression atmosphérique, supposée constante.
Le cylindre renferme n moles d’un gaz parfait diatomique, initialement dans l’état P1 = 1, 00 · 106 Pa, V1 = 10, 0 L, T1 = 373 K .
On enlève la masse M du piston et on attend que l’équilibre thermodynamique se réinstaure.
Les paramètres d’état finaux du gaz sont alors notés (P2 , V2 , T2 ).
Données : Patm = 1, 00 · 105 Pa, CV,m =
5
R
2
1 . Déterminer puis calculer les paramètres d’état finaux P2 , T2 et V2 .
2 . Exprimer puis calculer la variation d’entropie ∆S du gaz au cours de la transformation.
3 . Exprimer puis calculer l’entropie créée S créée au cours de la transformation. Quelle est la cause de l’irréversibilité ?
1. Réponse : P2 = 1, 00 · 105 Pa, T2 = 277 K et V2 = 74, 2 L
2. Réponse : ∆S = 33, 7 J · K−1
3. Réponse : S créée = 33, 7 J · K−1
Exercice 2 - Contact thermique entre un solide et un thermostat.
Un solide de masse m de capacité thermique C supposée constante et de température initiale T0 est abandonné dans
l’océan qui constitue un thermostat à la température TT h .
1.
– la
– la
– la
Exprimer entre l’état initial et un état quelconque du solide à la température T :
variation d’entropie ∆Ssolide du solide ;
variation d’entropie ∆Socéan de l’océan ;
création d’entropie due au transfert thermique.
2 . Préciser la température Tf correspondant à l’état d’équilibre final. Est-ce un été d’équilibre stable ?
3 . En déduire la création d’entropie entre l’état initial et l’état final. Commenter son signe.
T − T0
T − T0
T
T
1. Réponse : ∆Ssolide = C ln
, ∆Socéan = −C
−
et S créée = C ln
T0
TT h
T0
TT h
2. Réponse : Tf = TT h .
Utiliser le fait l’état d’équilibre thermodynamique final correspond à un maximum d’entropie pour le système
{solide + océan} afin de montrer
que
l’équilibre est
stable.
T
T
−
T
Th
Th
0
3. Réponse : S créée = C ln
−
>0
T0
TT h
Exercice 3 - Critère d’irréversibilité d’une transformation monotherme.
On désire porter progressivement un solide de masse m de capacité thermique C supposée constante, de la température
T0 à la température Tf > T0 . Pour réaliser cette transformation, le solide est mis successivement en contact N
thermostats de température Tk en progression arithmétique :
Tk = T0 + k
S. Bénet
Tf − T0
N
avec k = 1, 2, . . . , N
1
1 . Étude du k ème contact.
1.1 . Déterminer l’entropie créée au cours de la transformation correspondant au passage du solide de la température
Tk−1 à la température Tk .
1.2 . On considère le cas où Tk−1 et Tk sont des températures très voisines en posant ǫk =
Que devient l’expression établie en 1.1. ?
Tk − Tk−1
≪1.
Tk
2 . Étude de la transformation de T0 à Tf .
Exprimer au moyen d’une somme sur k l’entropie créée au cours de la transformation.
Que se passe-t-il si N tend vers l’infini ? Commenter.
Tk − Tk−1
ǫ2
Tk
−
1.2. Réponse : Skcréée ≃ C k
1.1. Réponse : Skcréée = C ln
Tk−1
Tk
2
2. Réponse : à partir d’un encadrement de S créée montrer que la transformation devient réversible
Exercice 4 - Détente de Joule - Kelvin.
On s’intéresse à un gaz parfait de température T1 subissant une détente de Joule-Kelvin en passant de la pression
P1 à la pression P2 .
1 . Décrire brièvement cette détente et préciser la température finale T2 du gaz.
2 . A l’aide d’un système fermé judicieusement choisi, calculer la création d’entropie S créée lorsqu’une masse m de
gaz subit la détente. Conclusion ?
Exercice 5 - Entrée d’air dans une bouteille.
Une bouteille rigide de volume V1 possède des parois calorigugées, et elle est fermée par un bouchon également
calorifugé ; elle est initialement vide.
L’air qui l’environne est à la pression P0 et à la température T0 . Il est assimilé à un gaz parfait de cœfficient γ.
On enlève le bouchon et la bouteille se remplit très rapidement d’air.
Dès que l’air n’entre plus, on recouche la bouteille.
On note V0 le volume occupé initialement par l’air qui est entré dans la bouteille.
1 . Représenter sur un schéma l’état initial, un état intermédiaire et l’état final en précisant bien le système étudié.
2 . Pourquoi peut-on considérer la transformation comme adiabatique ? Déterminer alors l’état final de l’air dans la
bouteille, notamment sa pression P1 et sa température T1 .
3 . Exprimer la variation d’entropie ∆S du système au cours de la transformation.
4 . Exprimer l’entropie créée S créée au cours de la transformation. Commenter le résultat obtenu.
2. Revoir comment on détermine la température finale d’un système subissant une transformation adiabatique
brutale. Réponse : T1 = γT0
P0 V0 γ
P0 V0 γ
3. Réponse : ∆S =
ln γ
4. Réponse : S créée =
ln γ
T0 γ − 1
T0 γ − 1
Exercice 6 - Mélanges de deux gaz parfaits.
Une enceinte parfaitement calorifugée est séparée en deux compartiments de volumes respectifs V1 et V2 par une cloison
rigide calorifugée.
Chaque compartiment contient un gaz parfait diatomique : n1 moles de dioxygène sont dans le compartiment (1) alors
que n2 moles de diazote sont dans le compartiment (2).
L’état initial est le suivant :
Compartiment (1) contenant n1 moles de dioxygène
P1 , T1 , V1
S. Bénet
Compartiment (2) contenant n2 moles de diazote
P1
, T2 = 2T1 , V2 = 2V1
P2 =
4
2/3
On supprime la paroi et les gaz se mélangent.
Pour chacun des gaz, la capacité thermique molaire à volume constant est : CV,m =
5
R.
2
1 . Déterminer l’état l’équilibre final Vf , Tf et Pf en fonction de V1 , T1 et P1
2 . Préciser les pressions partielles du dioxygène et du diazote en fonction de P1 .
3 . Pour n1 = 2 moles, exprimer puis calculer la variation d’entropie de chacun des gaz et celle de l’ensemble entre
l’état initial et l’état final. En déduire l’entropie créée au cours de la transformation.
6
1
1. Réponse : Vf = 3V1 , Tf = T1 et Pf = P1
5
2
Tf
Vf
3. Réponse : ∆S1 = n1 CV,m ln
+ R ln
T1
V1
et
Tf
Vf
∆S2 = n2 CV,m ln
+ R ln
T2
V2
Exercice 7 - Effet Joule et création d’entropie.
Un conducteur ohmique de résistance électrique R indépendante de la température est placé dans l’air ambiant à la
température T0 supposée constante. Il est traversé par un courant électrique d’intensité I et dissipe par effet Joule
une puissance électrique constante P elec . En régime permanent, les fonctions d’état relatives au conducteur ohmique
sont indépendantes du temps.
1 . Déterminer le transfert thermique δQ recu̧ par le conducteur du milieu extérieur en fonction de la durée dt de
l’échange, de R et de I.
2 . Déterminer l’entropie créée par unité de temps dans le conducteur ohmique.
1. Réponse : δQ = −RI2 dt
3. Réponse : ∆S1 = n1 CV,m ln
S. Bénet
Tf
T1
+ R ln
Vf
V1
et
Vf
Tf
∆S2 = n2 CV,m ln
+ R ln
T2
V2
3/3