Conséquences de la dualité onde-corpuscule

PA101
Un peu trop court …
Electronique quantique
4ème Cours
"Conséquences de la dualité onde-corpuscule"
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Qu’avons-nous déjà appris ?
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‰ La linéarité de l'équation de Schrödinger nous a fait apparaître une structure
d'espace de Hilbert sous-jacente pour les fonctions d'onde.
‰ Cette structure et les propriété mathématiques commodes de ces espaces nous
ont permis de décomposer les états non stationnaires sur la base des états
stationnaires, bien adaptées à l'étude des problèmes dépendant du temps.
‰ Dans le cas d'un spectre d'énergie continu, les états stationnaires ne sont pas
normalisables et n'ont pas de réalité physique. Néanmoins ils sont des intermédiaires
de calcul utiles, ce qui se traduit pour une particule par la décomposition de la fonction
d'onde comme une intégrale de Fourier.
‰ L'équivalence entre une fonction et sa transformée de Fourier conduit à introduire
r
la nouvelle fonction ψ ( p, t )
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r
qui est à l'impulsion ce queψ ( r , t ) est à la position.
Progression
‰ Les grands concepts
‰ L'énoncé des principes de la théorie quantique
‰ l'utilisation et les conséquences du formalisme de la théorie quantique
‰ Les principes de la physique statistique
‰ Illustrations quantique-statistique
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Plan de la séance
‰ Mesure de position et fonction d'onde
‰ Mesure d'impulsion et fonction d'onde
‰ Position vs. impulsion d'après Fourier
‰ Relation d'incertitude de Heisenberg
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Mesure de position et fonction d'onde
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‰ Lorsqu’une particule est dans un état décrit par la fonction d’onde
position est très incertaine puisqu’on peut la détecter partout où
r
ψ (r , t )
r
ψ (r , t )
, sa
n’est pas
nulle.
‰ Malgré une connaissance parfaite de l’état du système avant mesure et des
conditions d’expérimentation, le résultat d’une mesure est incertain.
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Mesure de position et fonction d'onde
Photo :
AVANT
une mesure de position
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mesure
APRES
la mesure
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Mesure de position et fonction d'onde
Photo :
Même mesure, même fonction d’onde initiale !
AVANT
une mesure de position
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mesure
APRES
la mesure
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Mesure de position et fonction d'onde
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‰ Efforçons-nous de bien comprendre les implications de notre raisonnement :
¾ au départ la position de la particule est mal connue. La mesure nous en donne
une valeur précise, nous avons donc gagné en connaissance. Par conséquent la
fonction d'onde se trouve alors concentrée dans une petite zone de l'espace,
correpondant à l'incertitude de position résiduelle après mesure.
¾ le résultat de la mesure de position est fortement incertain a-priori, puisque la
fonction d'onde de départ est étalée. Répéter la mesure plusieurs fois pour une
même fonction d'onde initiale donnera des résultats différents, donc une fonction
d'onde après mesure différente à chaque fois.
‰ Ceci fait apparaître ce qu'on appellera ultérieurement le principe de réduction du
paquet d'onde : l'état quantique après mesure est lié au résultat de la mesure. Nous
verrons que la théorie quantique indique précisément la relation entre résultat de
mesure et état après mesure.
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Mesure de position et fonction d'onde
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Le caractère continu de la variable position nous interdit une mesure infiniment
précise :
Ceci n’est pas un Dirac
(mais ça y ressemble)
Mesure de position
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Mesure d'impulsion et fonction d'onde
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Le caractère continu de la variable impulsion nous interdit une mesure infiniment
précise :
Ceci n’est pas une onde plane
(mais ça y ressemble)
Mesure d’impulsion
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Position vs. impulsion d'après Fourier
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‰ Efforçons-nous de bien comprendre les implications de notre raisonnement :
¾ en raison du spectre continu des résultats de mesure de la position comme de
l'impulsion, le résultat de l'une ou l'autre de ces mesures n'est jamais infiniment
r
r
précis. Rappelons-nous des relations entre ψ ( r , t ) et ψ ( p, t ) (ici en 1D) :
ψ ( x, t ) =
1
i
ψ
(
p
,
t
)
exp(
p ⋅ x)dp
∫
h
2πh
ψ ( p, t ) =
1
i
ψ
(
x
,
t
)
exp(
−
p ⋅ x)dx
∫
h
2πh
Cette relation de Fourier implique que la connaissance de l'impulsion n'est pas
indépendante de la connaissance de la position. Puisque c'est l'une et l'autre de
ces fonctions d'onde qui contient l'information a priori sur r et p.
Nous allons en déduire une conséquence majeure de la physique quantique.
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Position vs. impulsion d'après Fourier
Soient ψ ( x, t ) et
impulsion :
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ψ ( p, t ) un premier couple de fonctions d'onde en position et en
ψ ( x, t ) =
1
i
ψ
(
p
,
t
)
exp(
p ⋅ x)dx
∫
h
2πh
On définit une seconde fonction d'onde (normalisée) en impulsion identique à la 1ère,
moyennant un facteur d'échelle a sur l'axe des p :
ϕ ( p, t ) = a ⋅ψ (a ⋅ p, t )
( p′ = a ⋅ p )
a
i
1
i p′
⋅ ∫ψ (a ⋅ p, t ) exp( p ⋅ x)dp =
ϕ ( x, t ) =
ψ ( p′, t ) exp( ⋅ ⋅ x)dp′
∫
2πh
h
h a
2πha
ϕ ( x, t ) =
1
x
⋅ψ ( , t )
a
a
Conclusion : la fonction d'onde en position subit un facteur d'échelle inverse sur l'axe
des x
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Position vs. impulsion d'après Fourier
ψ (x)
2
σx =
x2 − x
ψ ( p)
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2
2
σp =
p2 − p
TF
x
p
x 1/3
ψ ( x)
2
ψ ( p)
σx
TF
x
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x3
2
σp
p
2
Position vs. impulsion d'après Fourier
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Nous venons voir une propriété essentielle de la transformée de Fourier, que
connaissent bien les mélomanes : les signaux lents possèdent un spectre concentré
en fréquence, les signaux rapides un spectre étalé.
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Relation d'incertitude de Heisenberg
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Nous venons voir une propriété essentielle de la transformée de Fourier, que
connaissent bien les mélomanes : les signaux lents possèdent un spectre concentré
en fréquence, les signaux rapides un spectre étalé.
¾ En physique quantique cela signifie que si
ψ (x) est "large", alors
2
ψ ( p)
2
est
"étroite", et vice-versa. Cela signifie que lorsque la position est bien connue,
l'impulsion est mal connue, et vice-versa.
¾ Ceci exprime la relation d'incertitude de Heisenberg. Nous
montrerons ultérieurement par une démonstration rigoureuse que
les écarts types des distributions de probabilité des résultats de
mesure de x et p vérifient :
σ xσ p
x
h
≥
2
A titre d'illustration, nous allons voir un exemple concret de mise en évidence de cette
relation, dans le cadre du "microscope de Bohr-Heisenberg"
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Relation d'incertitude de Heisenberg
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‰ Le microscope de Bohr-Heisenberg:
¾ Du point de vue de l’instrument : l’observation d’un
électron implique la détection d’au moins un photon, dont
p = h/λ
la déflexion après le choc des particules est imprécise
hν
p = h/λ
2θ
p = h/λ
choc
¾ Du point de vue de l’observation : la précision de la
mesure est limitée par le diamètre de la tache d’Airy
(limite de diffraction)
a
hν
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D
2θ
x
λ
d ≅ 1.22
θ
x
d
Relation d'incertitude de Heisenberg
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‰ Le microscope de Bohr-Heisenberg:
Δp x = 2θ ⋅ h / λ
¾ D’après les lois du choc élastique (impulsion totale
conservée), cette méconnaissance de l’impulsion du
photon
après
méconnaissance
le
choc
se
traduit
par
p = h/λ
une
équivalente de l’impulsion de
l’électron : Δp x = 2θ ⋅ h / λ
hν
p = h/λ
¾ Le diamètre de la tache d’Airy peut être vu comme une
incertitude (résiduelle) de position après mesure : Δx
D’où
≅ 1.22
Δx ⋅ Δp x = 2.44h
λ
θ
On remarque que cette valeur, obtenue par un calcul heuristique,
est nettement supérieure au second membre h / 2 de l'inégalité de
Heisenberg, qui est le minimum absolu du produit σ xσ p.
x
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2θ
p = h/λ
choc
Relation d’incertitude de Heisenberg
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‰ La même chose dans le cadre du phénomène de diffraction par une fente :
forcer le passage par une zone spatiale de petite taille (gain de connaissance de la
position) se traduit par une perte de connaissance de l'impulsion
x
d = Δx
z
t2
t0
Localisation
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⇒
t1
diffraction
t3
t4
t5
y
r
p
α
Δp x
Relation d’incertitude de Heisenberg
σ xσ p
x
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h
≥
2
Un gain de connaissance sur la position se traduit inévitablement par une perte
de connaissance sur l’impulsion
Cette relation exprime la perturbation fondamentale apportée par la mesure en
physique quantique. Elle est intrinsèque à la dualité onde-corpuscule : le
comportement ondulatoire a des conséquences majeures sur notre observation du
comportement particulaire, et vice-versa
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Relation d’incertitude de Heisenberg
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conséquences :
‰ Une particule localisée dans l’espace ne peut, en règle générale, le rester
longtemps : l’incertitude en résultant sur l’impulsion se traduit par une
délocalisation spatiale ultérieure : elle peut être détectée partout où la fonction
d’onde est non nulle
‰ Après une mesure de position (localisation de la particule), on connaît mieux la
position, mais on connaît moins bien l’impulsion : ce sont deux quantités
"incompatibles". Nous verrons au prochain cours l'importance de cette notion.
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Relation d’incertitude de Heisenberg
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‰ La notion de trajectoire perd son sens, car il est impossible de la déterminer
expérimentalement sans la transformer complètement et aléatoirement.
Mesures de position
Ceci est la traduction du « principe de réduction du paquet d’ondes », que nous
reverrons à de nombreuses reprises tant est grande son importance
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C’est tout pour aujourd’hui !
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Pour vous aider :
http://www.ensta.fr/~sibille/PA101/
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