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Chapitre VII
ANALYSE THERMODYNAMIQUE DES CYCLES
THÉORIQUES. LE CYCLE BEAU DE ROCHAS
Remarque préliminaire sur l’analyse thermodynamique du fonctionnement d’un moteur
Pour aborder l’analyse thermodynamique du fonctionnement d’un moteur à combustion interne, il est
classique, dans une première étape, de considérer des
CYCLES IDÉAUX ou THÉORIQUES
et par conséquent relativement éloignés des processus qui se déroulent réellement au sein d’un moteur ;
leur intérêt est de permettre, en première approximation et grâce à des calculs simples, de dégager les lois
principales de variations des performances en fonction de certains paramètres de construction ou
de réglage du moteur.
Une étape ultérieure plus précise et proche de la réalité peut être atteinte par la
MODÉLISATION MATHÉMATIQUE
du fonctionnement d’un moteur. Grâce aux moyens puissants de l’informatique actuelle, cette technique
permet de tenir compte des divers processus physiques complexes rencontrés au cours des cycles réels.
La qualité d’une telle simulation repose sur l’écriture et la résolution des relations mathématiques qui
décrivent les évolutions thermodynamiques et chimiques réelles du fluide moteur. Elle offre en outre,
indépendamment des essais, la possibilité d’étudier l’influence des différents paramètres grâce au
découplage artificiel des éléments du moteur et de ses réglages, le plus souvent interdépendants dans la
réalité. Le développement important, au cours des dernières décennies, des techniques informatiques, en
ce qui concerne aussi bien le matériel que les logiciels, a donné lieu à la mise au point de modèles de
calculs perfectionnés et fidèles - modèles mono ou multidimensionnels - qui sont de nos jours largement
utilisés à tous les stades de R & D. Ces techniques de simulation ne seront pas abordées dans la suite et on
se limitera ici aux premiers stades d’analyse très simplifiée.
Ces codes de simulation ne constituent cependant qu’un outil complémentaire des
ESSAIS RÉELS
indispensables, à toutes les étapes de cette simulation, pour valider les résultats calculés en les comparant
aux mesures sur moteur et affiner leur corrélation.
L’essai final sur moteur ou véhicule constitue le jugement définitif d’optimisation des recherches et
mises au point effectuées.
VII.1. Les cycles théoriques. Le cycle Beau de Rochas.2
VII.1.1. Considérations générales sur les cycles thermodynamiques. Cycle de Carnot.
Le fonctionnement d’un moteur à combustion interne peut être analysé par similitude avec un “ cycle
thermodynamique “ 3 en supposant :
. • que le processus de combustion est assimilable à un transfert de chaleur
. • que le fluide moteur ne subit pas de modification de composition ; habituellement, le
fluide moteur est assimilé à de l’air (cycle à “ air chaud “) ou, de manière encore plus simplifiée, à un gaz

de capacité calorifique constante
. • que les pertes thermiques sont nulles
Dans ces conditions, entre le début et la fin du cycle, la variation d’énergie interne est évidemment nulle
∆U = 0 , et le premier principe de la thermodynamique permet d’écrire :
Wcycle +Qcycle =0
où Wcycle et Qcycle sont respectivement le travail et la chaleur échangés par le système avec l’extérieur. Le
bilan énergétique est nul lorsque le cycle est achevé.
Si l’on considère un “cycle moteur”, suivant les conventions de la thermodynamique, Wcycle est
algébriquement négatif ( le système “reçoit un travail négatif” ce qui signifie que le système fournit à
l’extérieur un travail We = - Wcycle ) et Qcycle est algébriquement positif ( de la chaleur est apportée au
système ).
Le second principe de la thermodynamique montre que, lorsqu’un système fermé décrit un cycle, au cours
duquel il n’échange de la chaleur qu’avec une seule source, il a nécessairement reçu du travail et fourni de
la chaleur à l’extérieur :
W > 0 et Q < 0
En effet, si T0 est la température de cette source, le second principe peut s’écrire suivant l’égalité de Jouguet
: δQT0. dS −δf =T0. dS −T0.δiS
= où le terme δf = T0.δiS représentant le travail dissipé du fait des irréversibilités
internes au cours de la transformation (travail non compensé) est ≥ 0 . Il s’annule si la transformation est réversible.
Sur un cycle, on a par conséquent :
Q =∫T0. dS −δf =−∫δf <0
∫
La production de travail nécessite donc au minimum deux sources de chaleur.
2 Ce chapitre est, en grande partie, basé sur le document : “ Le cycle Beau de Rochas “ par Robert Buty
(Conférence CLESIA et Cours ENSPM Réf. IFP 18 473 - Septembre 1970 )
3 Un cycle est une transformation fermée subie par un système thermodynamique. Le système,
constitué d’une quantité de matière (fluide moteur) de masse invariable, repasse périodiquement par les
mêmes états et, quelle que soit l’évolution suivie, se retrouve en fin de cycle à l’état initial.
En considérant le cas général d’un système échangeant de l’énergie “chaleur” avec différentes sources
extérieures, on peut écrire :
'
Qcycle =Q +∑Q
i
i
avec

Q’ : apport de chaleur nécessairement positif en provenance d’une “ zone chaude extérieure “ ,
apport de chaleur, qui “ coûte quelque chose “ et auquel on rapportera le rendement du cycle
(conformément aux définitions données au chapitre IV) qui s’écrit :
Qcycle (−Wcycle )
η=
=
''
QQ
Rappels sur le cycle de Carnot.
Ce cycle - décrit par Carnot en 1824 - est un cycle réversible, défini entre deux sources de chaleur à des
températures Tc (source chaude) et Tf (source froide) par deux évolutions isothermes et deux évolutions
adiabatiques (donc isentropiques) (Fig. VII.1).
Fig. VII.1. - Représentations du cycle de Carnot en diagrammes (p,V) et (T,S).
Les seuls transferts de chaleur ont lieu au cours des évolutions isothermes et le rapport des chaleurs
échangées peut s’écrire :
Qc =− Tc Qf Tf
Le fluide constituant le système se retrouve dans son état initial à la fin du cycle, donc, d’après le premier
principe de la thermodynamique appliqué à un système isolé, on a :
∆U =0 et Wcycle +Qcycle =0
Le travail échangé avec l’extérieur est donc égal à :
We =Q −

Qf
c
ou encore :
We =(S −S1 ). (T −Tf )
2 c
d’où la valeur du rendement : We Tc −Tf Tfη== =−
1
QcTc Tc
Plus le rapport Tf / Tc est faible, plus le rendement est élevé ; ce qui conduit à fournir au système de
l’énergie sous forme de chaleur à la température la plus élevée possible et à retirer de la chaleur du
système à la température la plus basse possible.
Plus généralement, la fraction maximale d’une quantité d’énergie sous forme de chaleur Qc disponible à
la température Tc qui peut être transformée en travail mécanique en présence d’un milieu donné
constituant une source froide à la température T0 -par exemple, environ 288 K, si cette source est
l’atmosphère - sera égale à :
T ⎞
Q ⎛
⎜1 −0 ⎟
c
⎝ Tc ⎠
La quantité : T0Qc . Tc
=T0. ∆S
(puisque Qc = Tc . ∆S) représente la “chaleur non utilisable” (qui ne peut être transformée en travail).
Le rendement du cycle de Carnot ne peut être atteint par aucun autre cycle mettant en jeu des sources de
chaleur à ces mêmes températures limites ; il représente le processus réversible de meilleur rendement de
transformation de chaleur en travail mécanique.
VII.1.2. Etude du cycle avec apport de chaleur à volume constant ou, plus communément,
“cycle à volume constant” (ou encore : cycle de Beau de Rochas ou cycle Otto)
Considérons un “ système thermodynamique “ constitué d’une masse M de gaz chimiquement invariable
enfermée dans un cylindre calorifugé et fermé à l’une de ses extrémités par un piston mobile (Fig. VII.2).
Idéalement, nous supposerons que :
.- le piston réalise une étanchéité parfaite et est mobile sans frottement, assurant des variations de
volume entre deux valeurs extrêmes V1 et V2 , délimitées par des butées fixes
.- à chaque position du piston, l’équilibre de pression et de température au sein du système est réalisé
(système isotrope) , ce qui permet de définir une pression p et une température T pour chaque état
intermédiaire
.- par l’intermédiaire du piston, de l’énergie sous forme de travail mécanique peut être échangée avec
l’extérieur ; cependant, le facteur “temps” n’est pas pris en compte et aucune hypothèse n’est faite sur les
vitesses de déplacement du piston ou sur les liaisons cinématiques entre piston et milieu extérieur
.- des apports de chaleur par des sources chaude et froide extérieures sont réalisés en faisant circuler
dans un serpentin métallique placé dans l’espace mort (de volume V2) des fluides à différentes
températures
Partant d’un état initial 1 , le système est soumis successivement aux étapes suivantes :

1-2 : compression isentropique (adiabatique réversible)
2-3 : apport de chaleur à volume constant
3-4 : détente isentropique (adiabatique réversible)
4-1 : retour à l’état initial, par refroidissement à volume constant.
Fig. VII.2. - Cycle “limite” avec apport de chaleur à volume constant. Un tel cycle est défini dès que sont
fixés les deux paramètres : V4
ε : rapport volumétrique de compression ε=
V1 = V2 V3 ( dans ce cas égal au
rapport de détente )
q’ : énergie spécifique apportée au fluide sous forme de
chaleur ( kJ “chaleur” / kg de gaz )
C’est un cycle “limite” en ce sens qu’il n’y a pas d’impossibilité de principe à ce que le système suive
exactement les évolutions décrites, la “limite” relevant de la perfection technologique avec laquelle on
s’approchera de la machine théorique (c’est-à-dire sans fuite de matière ni de chaleur, sans frottements,
etc...).
Les coordonnées de ce cycle limite peuvent être calculées à partir de données thermodynamiques
décrivant les propriétés réelles du gaz constituant le système de masse M.
En première approximation, on peut admettre que le fluide est un GAZ PARFAIT de chaleurs spécifiques
( cp, cv ) constantes et r constant, ce qui permet de calculer les coordonnées p, v, T du cycle en fonction