IV) Addition de deux nombres relatifs

ADDITIONS ET SOUSTRACTIONS
I) Addition de nombres décimaux
1) Définition
Lorsqu’on additionne deux nombres, on obtient la somme de ces deux nombres. Chaque nombre que l’on
additionne est appelé terme.
Exemple :
somme
terme terme
13,7 1,3 15
2) Propriétés
Voir activité 2 p 29 : propriétés de l’addition et de la soustraction
Lors du calcul d’une somme de plusieurs termes, on peut :
 changer l’ordre des termes ;
 regrouper différemment les termes.
Exemple :
12,8 3 4,2
3 12,8 4,2  
on change l’ordre des termes
3 12,8 4,2  
on regroupe différemment les termes
3 17
20
3) Méthode
Regardons comment faire pour poser et effectuer une addition : 8,6 + 9,23 + 754,136
Voir activité 3 p 30 : calcul posé
1ère étape : on aligne les virgules
2ème étape : on commence les calculs par la droite : 6 millièmes puis 3
centièmes plus 3 centièmes soit 6 centièmes puis 6 dixièmes plus 2
dixièmes plus 1 dixième soit 9 dixièmes. On n’oublie pas la virgule !!! 8
unités plus 9 unités plus 4 unités soit 21 unités : c’est en fait 2 dizaines et 1
unité : « on pose 1 et l’on retient 2 »...
II) Soustraction de nombres décimaux
1) Définition
Lorsqu’on soustrait deux nombres, on obtient la différence de ces deux nombres. Chaque nombre est appelé
terme ; on soustrait le 2ème terme au 1er terme.
Exemple :
1er terme 2eme terme la différence
10 2,5 7,5
Attention, on ne peut pas changer l’ordre des termes d’une différence !
2) Méthode
Regardons comment faire pour poser et effectuer une soustraction : 456,8 – 37,5
6
8,
3
2
9,
+
6
3
1
4,
5
7
+
6
6
9
1,
7
7

1ère étape : on aligne les virgules
2ème étape : on commence les calculs par la droite : 8 dixièmes moins 5 dixièmes
soit 3 dixièmes. On n’oublie pas la virgule !!! 6 unités moins 7 unités, on ne sait
pas faire on ajoute 10 unités au 1er terme et une dizaine au 2nd terme. La
différence ne change pas. On obtient ainsi 16 unités moins 7 unités soit 9
unités…
III) Ordre de grandeur
1) d’une somme
Voir activité 8 p 31 : contrôler l’affichage d’une calculatrice
Savoir faire :
Pour obtenir un ordre de grandeur d’une somme, on peut additionner un ordre de grandeur de chaque terme.
Exemple :
Ordre de grandeur de 6871,74 + 4357
Un ordre de grandeur de 6871 peut être 7000 donc un ordre de grandeur de 6871,74 + 4357 peut être
Un ordre de grandeur de 4357 peut être 4000 7000 + 4000 soit 11000
2) d’une différence
Savoir faire :
Pour obtenir un ordre de grandeur d’une différence, on peut soustraire un ordre de grandeur de chaque terme.
Exemple :
Ordre de grandeur de 2346 – 1154,37
Un ordre de grandeur de 2346 est 2000 donc un ordre de grandeur de 2346 – 1154,37 peut être
Un ordre de grandeur de 1154,37 est 1000 2000 – 1000 soit 1000
ADDITION ET SOUSTRACTION DE NOMBRES RELATIFS
I) Rappels
* Les nombres plus petits que zéro sont dits négatifs. Ils sont notés avec le symbole -
* Les nombres plus grands que zéro sont dits positifs. Ils sont parfois notés avec le symbole +
* 0 est positif et négatif
II) Distance à zéro
* La distance à zéro de (+3) est la longueur du segment [OA], c'est-à-dire 3.
* La distance à zéro de (-3,5) est la longueur du segment [OB], c'est-à-dire 3,5.
* Attention une distance est toujours positive.
III) Comparaison de nombres relatifs
Soient a et b deux nombres relatifs :
8
6,
5
4
5
7,
3
-
3
9,
1
4
-5
-4
B
-3
-2
-1
0
1
2
3
A
4
5

* si a et b sont positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Exemple :
(+ 7,1) > (+ 3)
* si a et b sont de signes contraires, le plus grand est le nombre positif.
Exemples :
(+ 6) > (--20) ; (+ 7,3) > (- 4,2)
* si a et b sont négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro (le plus proche de zéro).
Exemples :
(- 23) > (- 42) ; (- 4,23) > (- 5) ; (- 1,6) < (- 1)
IV) Addition de deux nombres relatifs
Voir activité : « Les pièces d’or »
1) Addition de deux nombres relatifs de même signe
La somme de deux nombres relatifs de même signe est le nombre relatif dont :
* le signe est le signe commun aux deux nombres ;
* la distance à zéro est la somme des distances à zéro.
Exemples :
(+ 8) + (+ 11) = (+ 19) (- 5) + (- 4) = (- 9)
résultat : signe commun :positif résultat : signe commun : négatif
somme des distances à zéro : 8+11=19 somme des distances à zéro : 5+4=9
2) Addition de deux nombres relatifs de signe différents
La somme de deux nombres relatifs de signes différents est le nombre relatif dont :
* le signe est le signe du nombre qui à la plus grande distance à zéro ;
* la distance à zéro est la différence des distances à zéro.
Exemples :
(- 3) + (+ 2) = (- 1)
résultat : résultat négatif car (-3) a la plus grande distance à zéro
différence des distances à zéro : la différence entre 3 et 2 est 1
(+ 8) + (- 3) = (+ 5)
résultat : (+8) a la plus grande distance à zéro donc résultat Positif
différence des distances à zéro : la différence entre 8 et 3 est 5
3) Opposé d’un nombre relatif
Deux nombres sont opposés si leur somme est égale à zéro.
Exemple :
(-6) est l’opposé de (+6) car (-6)+ (+6)=0

V) Soustraction de deux nombres relatifs
Soustraire un nombre relatif, c’est ajouter l’opposé de ce nombre.
Exemples :
(-9)-(+3)= (-9) +opposé(+3) 13-(-7)= 13 + opposé(-7)
= (-9) +(-3) = 13 + 7
= (-12) = 20
-11-(+12)= -11+opposé(12) -33-(-15)= -33+opposé(-15)
= -11+(-12) = -33+15
= -23 = -18
VI) Simplifications d’écritures
1) Suite d’additions de nombres relatifs
Dans une suite d’additions, on peut supprimer les parenthèses et les signes d’addition.
Exemple :
A = (-5) + (+7,1)+ (-10) peut s’écrire : A = -5+7,1-10
2) Suite d’additions et de soustractions
Dans une suite d’additions et de soustractions, il faut penser à remplacer toutes les soustractions par l’addition
des nombres opposés.
Exemple :
B = +23-(-7)-(+1,8)+(-1)
B = +23+(+7)+(-1,8)+(-1) On a transformé toutes les soustractions en additions.
B = 23+7-1,8-1 On a simplifié l’écriture.
B = 28,2-1 On a effectué le calcul.
B = 27,2
ADDITION ET SOUSTRACTION DES FRACTIONS
I) Valeurs approchées d’un quotient
Lorsque la division de deux nombres a et b (b 0) se « termine », le quotient
a
b
est un nombre décimal. On
peut donner sa valeur exacte.
Exemples :
5
8
= 0,625 ;
6
2
=-3
Lorsque la division ne se termine pas, on peut donner des valeurs décimales approchées de
a
b
.
Exemples :
3124
999
la calculatrice affiche 3.1271271. La division ne se termine pas.
Pour donner une valeur approchée d’un nombre, on peut tronquer ou arrondir.
3 est la troncature à l’unité de
3124
999
3,12 est la troncature au centième de
3124
999

3 est l’arrondi à l’unité de
3124
999
car 3,1 est plus proche de 3 que de 4.
3,1 est l’arrondi au dixième de
3124
999
car
3124
999
est plus proche de 3,1 que de 3,2.
3,13 est l’arrondi au centième de
3124
999
.
II) Comment déterminer si des quotients sont égaux ?
Voir activité : « fractions et calculatrice »
1) Propriété
Le quotient de deux nombres relatifs ne change pas si l’on multiplie ou si on divise le numérateur et le
dénominateur par le même nombre relatif non nul (différent de 0).
Notation : soient a, b, k des nombres relatifs avec b
0
et k
0
(car on ne peut pas diviser par 0) alors on a :
a k a
b k b
et
a a k
b b k
Exemples :
Error!
=
)10()3.0( )10(7
=
70
3
Error!
=
4080 40120
=
Error!
2) Signe d’un quotient :
Si a est un nombre relatif et b un nombre relatif non nul (différent de 0) alors
b
a
b
a
et
b
a
b
a
ba
Remarque importante :
Faire attention aux nombres, aux signes…pour mettre les traits de fractions
Exemple :
A faire à la calculatrice
33
88
et
7 7 7
5 5 5
3) Produits en croix
Activité :
But : trouver une méthode facile pour prouver que deux fractions sont égales.
5/7 et 10/14
3/9 et 9/12
5/11 et 85/187 *17
7/11 et 27,3/42,9 *3,9
Pour tous les nombres a, b, c et d (avec b 0 et d 0) :
Si
ac
bd
alors a d = b c
Exemple :