induction au sein d`un circuit mobile dans un champ magnétique

Le cours
1150 ∙ Magnétisme et Induction
De plus, comme le circuit est parcouru par un courant et plongé dans un champ magnétique, il subit des
actions de Laplace qui tendent à modifier sa vitesse de rotation. Un phénomène de couplage électromécanique
apparait donc au sein du circuit. Enfin, l'origine de l'induction étant la mise en mouvement de la bobine par un
opérateur extérieur, nous pouvons prédire que les actions de Laplace aboutiront à un freinage.
0x
BBe=
GG
n
G
(
)
,
x
φen=
G
G
• PÙÃãÙ¦
Le paramétrage consiste à choisir un système
d'axes et à repérer le circuit mobile par rapport à
ces axes. La bobine étant en rotation autour d'un
axe fixe vertical passant par son centre
O , nous
choisissons naturellement le repère cartésien (
Oxyz )
d’axe (
Oz ) vertical ascendant. Nous choisissons ( Ox )
colinéaire et de même sens que le champ magné-
tique uniforme, de façon à avoir : . Enfin,
nous prenons (
Oy ) de façon à obtenir un trièdre
direct (figure 21).
Introduisons ensuite la normale à la surface
Σ
s’appuyant sur le contour ( C ) de la bobine, orienté
arbitrairement ; ce vecteur, qui interviendra dans le
calcul du flux magnétique, permet également de
repérer la bobine dans sa rotation autour de l’axe
vertical, en posant :
La vitesse angulaire initiale est tandis
que l’angle initial, noté
φ
0
, n'est pas précisé.
• ÉØçã®ÊÄ ½ãÙ®Øç ç ®Ùç®ã
Plaçons-nous à un instant t quelconque où la
bobine fait un angle
φ ( t ) avec l'axe ( Ox ) et calculons
le flux magnétique traversant le cadre :
(
)
0
0φtω==
D'après la loi de Faraday, la f.é.m. induite e ( t ) dans le circuit à cet instant vaut :
Comme prévu, ce flux et cette
f.é.m. varient alternativement, en supposant bien entendu que la bobine
effectue plusieurs tours avant de s'arrêter.
Schématisons maintenant le circuit électrique équivalent : il comporte la
f.é.m. e , la résistance r de la bobine et
celle
R du résistor fermant le circuit (figure 22). Nous n'ajoutons pas d’inductance au modèle car l'auto-
induction a été négligée et comme toujours, nous orientons
i et e dans le même sens. L’équation électrique du
circuit est obtenue en appliquant la loi des mailles :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
G
GGG
à travers 0 0 0
une spire
cos , soit : cos
xx
ΦtNΦtNBeSnNBSen ΦtNBS φt=× =× ⋅ = =
() ()
()
() ( )
00
cos soit : sin
dΦd
et NBS φet NBS φφ
dt dt
=− =− = ×
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
soit : sinRrit et Rrit NBS φtφt+= += ×

Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1151
28
• ÉØçã®ÊÄ ÃÄ®Øç ç ®Ùç®ã.
Compte tenu du mouvement de rotation, l'équation mécanique s'obtient en appliquant à la bobine le théo-
rème du moment cinétique
par rapport l'axe ( Oz ), ce qui nécessite le calcul du moment résultant des actions
subies. En revanche, le barycentre de la bobine étant immobile (confondu avec
O ), le théorème du centre
d'inertie n'est d'aucune utilité.
GG
G
0
L
MB=∧M
Pmg=
G
G
M
G
Il faut commencer par effectuer un bilan des
actions subies par la bobine, qui comprend :
• Le poids , qui est un glisseur et équivaut à une
unique force verticale appliquée au bary-
centre G, confondu avec
O . Son moment par
rapport à (
Oz ) est nul.
• Les actions de la liaison pivot qui permet le
mouvement de rotation. En supposant cette
liaison parfaite, le moment projeté sur (
Oz ) de ces
actions est nul.
• Les actions de Laplace dont nous savons, d’après
le § 2.2 du chapitre 26, qu'elles constituent ici un
couple de moment résultant (par rapport à tout
point) :
où représente le moment magnétique de la
bobine (figure 23) et a pour expression :
Ni S n=M
GG
N
(
)
(
)
(
)
() () () 0
00
sin
Poids Liaison L
Oz Oz Oz
JφMM M JφtNSBitφt=+ + ⇒ =−
En notant J le moment d’inertie de la bobine par rapport à ( Oz ), le théorème du moment cinétique par rapport
à cet axe conduit finalement à l'équation du mouvement suivante :
Le courant
i n'étant pas constant, ni même de signe fixe, cette équation ne peut plus être analysée
comme au § 2.2 du chapitre 26 où le sens de
i était imposé par un générateur extérieur ; en particulier,
l'équilibre de la bobine ne correspond plus nécessairement à
φ = 0 ou φ = π .
• RÝʽçã®ÊÄ ç ÝùÝãÃ ÊçÖ½.
Nous aboutissons comme prévu à un système couplé en i ( t ) et φ ( t ) :
() ()
0
0
sin équation 1
sin équation 2
Rri NBS φφ
JφNSB i φ
⎧
⎡
⎤
⎪+= ×
⎪
⎢
⎥
⎣
⎦
⎪
⎨
⎡
⎤
⎪=−
⎪
⎢
⎥
⎣
⎦
⎪
⎩
(
)
() 0
Ainsi :
LL
Oz z z
MMu Bu=⋅= ∧⋅M
GG
G
GG
(
)
(
)
() 0
Soit : sin
L
Oz
MNitSBφt=−
()
() 0 0 0
sin , sin
L
Oz
MBnB Bφ⇒= =−
G
G
MM

Le cours
1152 ∙ Magnétisme et Induction
Appliquons la démarche de découplage proposée au paragraphe 2.1 (méthode 58) :
Contrairement à la situation rencontrée avec le rail de Laplace, l'équation différentielle découplée sur
φ est ici
non linéaire et ne peut pas être intégrée analytiquement. Le graphe de
φ en fonction de la variable adimen-
sionnée
t / τ peut néanmoins s'obtenir par résolution numérique (figures 24.a et 24.b) ; il est également possible
d'obtenir numériquement le graphe de
i / i
0
en fonction de t / τ en introduisant un courant i
0
typique du pro-
blème, d'expression (figures 24.c et 24.d).
() ()
0
On injecte dans
l'équation
00
1
2 sin
sin sin
JφJφ
iRrNBSφφ
NSB φNSB φ
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤ ⇒ =− ⎯⎯⎯⎯⎯→ − + = ×
⎢⎥
⎣⎦
()
(
)
(
)
2
2
0
1sin 0 avec JR r
φφφ τ
τNB S
+
⇒+ = =
()()
(
)
00
iNBSRrτ=+
Pour résoudre numériquement l’équation différentielle sur φ ( t ) sans donner une valeur numérique
particulière au temps
τ qui apparaît, nous l’avons « adimensionnée » en posant u = t / τ et en remplaçant
les dérivées de
φ par rapport à t par des dérivées par rapport à u :
La fonction
φ étant sans dimension, l'équation obtenue ne fait intervenir que des grandeurs sans dimen-
sion. Sa résolution numérique fournit le graphe de
φ en fonction de t / τ qui est utilisable pour caractériser
le système quelles que soient les valeurs des différents paramètres du problème (
N , S , B
0
etc...).
() ()
2 2
2 2
222
1111
sin 0 sin 0
tuτ
dφdφdφdφ
φφ
τdt τdu τ
dt du τ
=×
+=⎯⎯⎯⎯⎯→×+ ×=
()
22
2
sin 0
dφdφ
φdu
du
⇒+ =

Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1153
28
() () () (
)
()
0
00
1
sin sin soit : sin
NB S
dφdφdφ
Rri NBS φNB S φiφ
dt du τdu
Rrτ
+= ×= ×× =
+
()
(
)
0
0
0
Nous obtenons : sin avec NB S
idφ
φi
idu Rr
τ
==
+
Pour obtenir le courant, il suffit alors de partir de l'équation [1] exprimée à l'aide de φ ( u ) :
φ
()
2
0
1sin
φ
φφφ
τ
≥∀
=−
φ
φ
()
()
2
0
JR r
τ
NB S
+
=
Il apparait alors naturellement un courant i
0
typique du problème et un « courant adimensionné » i / i
0
dont le graphe s'obtient numériquement à partir de la solution
φ ( u ) calculée précédemment. Une fois
encore, l'allure du courant est ainsi déterminée quelles que soient les valeurs des différents paramètres du
problème.
Enfin, en l'absence de résolution numérique, il est tout de même possible de déterminer l'angle
φ
f
dont
tourne la bobine avant de s'arrêter, en fonction de
φ
0
et ω
0
; réécrivons pour cela l'équation différentielle
en fonction de φ et , en veillant à ne garder que des dérivées premières par rapport à t , puis
simplifions par
dt et séparons les variables φ et ω :
Nous pouvons alors intégrer à variables séparées entre l'instant initial (
φ = φ
0
; ω = ω
0
) et l'instant final
marquant l'arrêt de la bobine (
φ = φ
f
; ω = 0) :
Ainsi, en supposant pour alléger que
φ
0
= 0, il vient :
Il ne reste qu'à résoudre cette équation trigonométrique pour déterminer
φ
f
!
• AÄ½ùÝ Ý ÙÝç½ããÝ ÊãÄçÝ.
Ces résultats graphiques sont conformes à notre analyse préliminaire :
• Un courant apparait dès la mise en mouvement de la bobine, dont le sens peut alterner si la bobine tourne
suffisamment ; il est en moyenne d'autant plus important que la vitesse de rotation est élevée, et s'annule
lorsque la bobine s'arrête de tourner.
• Les actions de Laplace associées à ce courant freinent la bobine ( ne fait que décroitre) ; celle-ci finit par
s'arrêter à une position angulaire
φ
f
dépendant des conditions initiales, de manière clairement non-linéaire.
L'effet de freinage est directement visible sur l'équation différentielle, dont on peut déduire que l'accélé-
ration angulaire est toujours de signe opposé à la vitesse angulaire :
Ces résultats montrent également que le temps caractéristique d'évolution de la bobine est .
En effet, la durée nécessaire à son immobilisation varie selon les conditions initiales mais reste toujours de
l'ordre de quelques
τ . Ainsi, d'après l'expression de τ , nous constatons de nouveau que pour obtenir un
freinage rapide, c'est-à-dire des effets induits importants, il faut un champ magnétique intense et un circuit de
grande taille, de faible résistance et de faible inertie (compte tenu de la rotation, c'est ici le paramètre
J qui
caractérise l'inertie du circuit mobile).
ωφ=
()
(
)()
0
00 0
0
2
0
1cos2
11 11
sin sin 2
222
ff f
φφ φ
φ
ωφ φ
φ
dωφdφdφω φφ
ττ τ
⎡⎤
−⎢⎥
=− =− ⇒− =− −
⎢⎥
⎣⎦
∫∫ ∫
()
0
1sin 2 2
2
ff
φφτω−=−
() ()
22
11
sin 0 sin
dωdφ
φdωφdφ
dt τdt τ
+=⇒=−

Le cours
1154 ∙ Magnétisme et Induction
De même, il n’est pas nécessaire de résoudre numériquement pour affirmer que le temps caractéristique
d’évolution est
τ : en effet, à partir du moment où τ est l'unique durée figurant dans l'équation différen-
tielle, l'évolution temporelle décrite par cette équation ne peut se faire qu'avec une durée caractéristique
égale à
τ . La signification exacte de cette durée dépend en revanche du problème étudié : pour un
système dissipatif comme celui que nous étudions ici,
τ est le temps caractéristique de retour à l’équilibre,
tandis que pour un système non dissipatif oscillant,
τ est la période typique des oscillations. La situation
est bien entendu plus complexe si deux durées apparaissent dans l'équation différentielle, l'une pouvant
représenter une période et l'autre un temps d’amortissement.
Comme nous l’avons fait pour le dispositif du rail de Laplace, nous pourrions tout à fait envisager de reprendre
cette bobine dans une configuration « avec générateur » et sans mouvement initial, comme celle envisagée au
§ 1.1 du chapitre 26. Nous obtiendrions alors naturellement des actions de Laplace motrice, et non résistantes,
ainsi qu’une
f.é.m. induite en opposition sur celle du générateur.
2.4. Méthode de mise en équation du phénomène
En conclusion de ces exemples d'étude, résumons la méthode à utiliser pour traiter et rédiger un problème
d'induction au sein d'un circuit mobile :
Analyser qualitativement la situation et justifier l'existence d'un phénomène d'induction ; en utilisant la
loi de Lenz , déterminer qualitativement le sens de la f.é.m. induite et/ou les caractéristiques du mouvement.
Paramétrer le circuit en distinguant selon son mouvement :
• Si le mouvement est une translation rectiligne, choisir un système d'axes ainsi que des coordonnées
cartésiennes
pour repérer le barycentre G du circuit.
• Conjointement, choisir une orientation pour le contour ( C ) du circuit, de préférence directe par
rapport au système d'axes ; définir la surface
Σ s'appuyant sur ( C ) et orienter sa normale.
• Même travail si le mouvement est une rotation, mais dans ce cas choisir une coordonnée angulaire
pour repérer un vecteur lié au circuit (le vecteur normal par exemple).
Établir l’équation électrique du circuit :
• Calculer le flux magnétique Φ ( t ) à travers Σ puis appliquer la loi de Faraday pour obtenir la f.é.m.
induite
e.
• Représenter un circuit électrique équivalent faisant apparaitre la f.é.m. e et le courant i induits,
orientés dans le même sens que (
C ), ainsi que tous les dipôles du circuit réel ; ajouter une inductance
si l'auto-induction n'est pas négligeable.
• Appliquer la loi des mailles.
Établir l'équation mécanique du circuit :
• Effectuer le bilan des actions subies par le circuit, sans oublier les actions de Laplace.
• Appliquer le théorème de la mécanique adapté au mouvement : le théorème du centre d'inertie
pour une translation, ou le
théorème du moment cinétique pour une rotation.
Résoudre le système d'équations couplées ainsi obtenu, afin de déterminer le mouvement et/ou l'évolution
du courant dans le circuit.
Analyser ces résultats : discuter l’influence des divers paramètres du problème, mettre en évidence les
spécificités de l'induction, confronter à des observations expérimentales, citer des applications...
Méthode 59 Identifier et traiter un problème d’induction au sein d’un circuit mobile