induction au sein d`un circuit mobile dans un champ magnétique

L’essentiel
1174 ∙ Magnétisme et Induction
1. PÙ®Ä®Ö  ½'®Äçã®ÊÄ ç Ý®Ä ’çÄ ®Ùç®ã ÃÊ®½ Ö½ÊĦ ÄÝ çÄ «ÃÖ Ýãã®ÊÄÄ®Ù
• Au sein d'un circuit électrique plongé dans un champ magnétique, le phénomène d’induction est fondamen-
talement lié à une
variation du flux magnétique à travers le circuit. De ce fait, l'apparition d'un courant
induit ne nécessite pas obligatoirement un champ magnétique variable mais peut se produire dans un
champ stationnaire , à condition que le circuit soit en mouvement .
• Trois configurations typiques peuvent être rencontrées :
- Le circuit est en translation dans un champ magnétique stationnaire
et
non uniforme , par exemple au voisinage d'un aimant ; la variation
de flux magnétique est alors directement liée au déplacement du
circuit qui, à mesure qu'il se translate, explore des zones de champ
d'intensités variables.
Cette configuration est équivalente, par changement de référentiel, à
celle d'un circuit fixe plongé dans un champ magnétique variable,
créé par exemple en approchant un aimant : on dit qu’il y a
relativité
du phénomène d’induction
.
- Le circuit est en rotation dans un champ magnétique stationnaire,
éventuellement uniforme ; la variation de flux magnétique est alors
liée au
changement d'orientation du circuit par rapport au champ
et existe même si le champ est uniforme.
Cette configuration est équivalente, par changement de référentiel, à
celle d'un circuit fixe plongé dans un champ magnétique tournant.
- Le circuit se déforme dans un champ magnétique stationnaire,
éventuellement uniforme, comme dans l'exemple du rail du Laplace ;
la variation de flux magnétique est alors liée à la
modification de la
surface délimitée par le circuit
et existe même si le champ est
uniforme.
Contrairement aux précédentes, cette configuration ne présente pas
d'équivalent par changement de référentiel.
2. LÊ®Ý ¦ÄÙ½Ý  ½'®Äçã®ÊÄ Ã¦Äã®Øç
Les lois de l'induction sont ici les mêmes que lors de l'étude d'un circuit fixe dans un champ variable :
• La loi de Faraday permet de calculer la f.é.m. e ( t ) induite dans le circuit à partir du flux magnétique Φ ( t ) qui
le traverse. Rappel de la loi :
• La loi de Lenz permet de prévoir qualitativement les conséquences du phénomène d’induction. Rappel :
« Les effets produits par un phénomène d’induction s'opposent toujours à leurs causes.
Plus précisément, un phénomène d’induction tend toujours, par ses conséquences,
à modérer les variations de flux magnétique qui l’ont engendré. »
Dans le cas particulier où l’on s'intéresse au mouvement d’un circuit ne comportant pas de générateur, la loi
de Lenz peut s’appliquer de la façon suivante :
« Lorsque la cause première du phénomène d’induction est la mise en mouvement,
dans un champ magnétique stationnaire, d’un circuit ne contenant pas de générateur, les actions de Laplace
liées au passage du courant induit ont toujours pour conséquence un freinage du circuit. »
()
(
)
dΦt
et dt =−

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Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1175
3. M®Ý Ä Øçã®ÊÄ ç Ö«ÄÊÃÄ. CÊçÖ½¦ ½ãÙÊÃÄ®Øç
• La f.é.m. induite et le courant induit au sein du circuit dépendent directement du mouvement à l'origine de
la variation de flux magnétique. Réciproquement, le mouvement dépend du courant induit via les actions de
Laplace subies par le circuit. De ce fait, les équations électrique et mécanique régissant le dispositif sont
couplées et ne peuvent être résolues indépendamment.
Méthode de résolution d'un exercice
Analyser qualitativement le problème en justifiant l’existence d'un phénomène d’induction et en prévoyant
ses effets à partir de la loi de Lenz.
Paramétrer le circuit :
• Choisir un système d'axes et de coordonnées pour repérer le mouvement : coordonnées cartésiennes pour
une translation rectiligne, coordonnée angulaire pour une rotation.
• Orienter conjointement le contour ( C ) du circuit et la normale à la surface Σ délimitée par ( C ) ; préférer une
orientation directe par rapport au système d'axes.
Établir l’équation électrique du circuit :
• Calculer le flux magnétique à travers le circuit et en déduire la f.é.m. induite en appliquant la loi de Faraday .
• Représenter le circuit électrique équivalent faisant apparaitre la f.é.m. induite e et le courant i , orientés dans
le même sens que (
C ), ainsi que tous les dipôles du circuit réel ; ajouter une inductance si l’auto-induction
n'est pas négligeable.
• Appliquer la loi des mailles.
Établir l’équation mécanique du circuit :
• Effectuer le bilan des actions subies par le circuit et calculer les actions de Laplace : résultante si le circuit
est en translation, ou moment résultant s'il est en rotation.
• Appliquer le théorème de la mécanique adapté au mouvement : théorème du centre d'inertie pour une
translation, ou théorème du moment cinétique pour une rotation.
Résoudre le système d’équations couplées et déterminer le mouvement et/ou l’évolution du courant.
Analyser les effets de l’induction et commenter, notamment en les confrontant à la loi de Lenz.
4. AÝÖãÝ ÄÙ¦ã®ØçÝ. CÊÄòÙÝ®ÊÄ  Öç®ÝÝÄ ½ãÙÊÃÄ®Øç
• Le bilan d'énergie d'un circuit mobile dans un champ stationnaire comporte deux volets :
- Un bilan d’ énergie électrique qui s'obtient en multipliant l’équation électrique, issue de la loi des mailles,
par le courant
i parcourant le circuit. Ce bilan fait intervenir la puissance ei algébriquement fournie au
circuit par la
f.é.m. induite, qui peut être positive ou négative selon que cette f.é.m. est génératrice ou en
opposition sur un générateur réel présent dans le circuit.
- Un bilan d’ énergie mécanique qui s'obtient, soit en appliquant le théorème de l'énergie cinétique, soit
en multipliant l’équation mécanique par la vitesse du circuit. Ce bilan fait intervenir la puissance
P
L
des
actions de Laplace, positive ou négative selon que ces actions sont motrices ou freinent le circuit.
• Ces deux bilans sont couplés par la loi fondamentale suivante :
- Si P
L
= - ei > 0, les actions de Laplace sont motrices tandis que la f.é.m. induite prélève de l’énergie
électrique au circuit : il y a conversion de puissance électrique en puissance mécanique .
- Si P
L
= − e i < 0, les actions de Laplace sont résistantes tandis que la f.é.m. induite fournit de l'énergie
électrique au circuit : il y a conversion de puissance mécanique en puissance électrique .
• Le champ magnétique extérieur étant stationnaire, son énergie magnétique est indépendante du temps ; il
ne joue aucun rôle énergétique, hormis celui de permettre la conversion de puissance électromécanique.
(
)
(
)
(
)
L
tetitt=− × ∀ P