Oscillateur harmonique (Ex)

PCSI 2
Oscillateur harmonique
OSCILLATEUR HARMONIQUE
I Description d’un mouvement
Soit une masse attachée à un ressort et dont la position x(t) vérifie l’équation différentielle ˙x˙(t) + ω 0 2 x(t) = ω 0 2 x eq .
1) Dans le cas d’une masse initialement à la position x 0 ( x 0 > x eq ) et lâchée sans vitesse initiale, déterminer la fonction x(t).
2) Entre quelles abscisses extrémales évolue la masse ?
3) Quelle est la période du mouvement ?
€
4) Tracer les variations de cette fonction au cours du temps en indiquant les points remarquables.
€
(
€
)
Réponse : x(t) = x eq + x 0 − x eq cos(ω 0 t ) ; 2x eq − x 0 ≤ x(t) ≤ x 0 ; T 0 =
2π
.
ω0
€
€
€
II Exploitation d’un enregistrement
On donne ci-dessous l’enregistrement du mouvement d’un oscillateur harmonique avec x en m et t en s :
3#
2#
1#
0#
x"
!1#
!0,5#
0#
0,5#
1#
1,5#
2#
2,5#
3#
3,5#
4#
!1#
!2#
!3#
t"
On écrit la loi horaire sous la forme x(t) = A cos(ωt + ϕ ) .
Donner les valeurs numériques de l’amplitude, de la période, de la fréquence, de la pulsation et de la phase à l’origine.
Réponse : A = 3 m ; T = 2 s, f = 0,5 Hz, ω = 3,1 rad.s-1 ; ϕ = - 3π/4 rad.
€
III Oscillateur solide - ressort.
Le but de cette étude est de vérifier l’accord entre l’expérience et la théorie dans le cas des oscillations libres d’un système solide ressort horizontal.
Étude expérimentale :
Au laboratoire on filme, avec une caméra numérique, les oscillations libres d’un solide de masse m. Ce solide est attaché à deux
ressorts identiques à spires non jointives, de constantes de raideur respectives k1 et k2, et il est posé sur un banc à coussin d’air
horizontal (figure 1).
m = 54,0 g, la masse des ressorts est négligeable ; k1 = 14,0 N.m–1 et k2 = 10,0 N.m–1.
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O
règle graduée
solide (m) A
ressort 1
banc à coussin d'air horizontal
Figure 1
ressort 2
(vue de profil)
Les deux ressorts restent tendus pendant toute l’expérience. Une règle graduée horizontale est placée à la verticale au-dessus du banc.
Lorsque le système solide - ressorts est en équilibre, la soufflerie du banc étant en fonctionnement, le point A repéré sur le solide est à
la verticale du zéro de la règle graduée (figure 1). On écarte alors le solide vers la gauche et on l’abandonne sans vitesse initiale. Le
point A oscille entre les positions B et C ; on filme les oscillations (figure 2).
B
C
A
banc
d
caméra
Figure 2
(vue de dessus
à un instant de date t)
La fréquence d’enregistrement des images est égale à 25 images par seconde. La
caméra est placée dans le même plan horizontal que le banc, à une distance d de
celui-ci, grande devant la distance BC. Son axe optique (ou axe de visée) en
pointillés sur la figure 2 est perpendiculaire au banc et passe par A lorsque le
système est à l’équilibre.
Un logiciel approprié permet de pointer les différentes positions du point A sur
l’écran vidéo entre ses deux positions extrêmes B et C.
On commence le pointage un peu avant le premier passage du point A à la verticale
du point O et on le poursuit un peu après son troisième passage à la verticale du
point O. Le fichier de données est transféré vers un tableur qui permet de modéliser
et d’afficher la courbe x = f(t), x étant l’abscisse du point A par rapport à l’origine
O. On obtient le graphe n°1 de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE.
L’origine des dates t = 0 s correspond au passage du point A à la première position enregistrée.
1. Modélisation.
N.B. : La partie 1 est relativement difficile, la résolution des parties 2 à 5 peut être réalisée sans avoir traité cette première
partie.
1.1. Le problème est modélisé comme un objet ponctuel de masse m, de position G, mobile sans frottement sur un support
figuré par un axe horizontal (Oy). La masse est sollicitée par les forces de rappel élastique produites par les ressorts (R1) et (R2)
auxquels elle est reliée.
On note L la distance entre les deux points de fixations des ressorts, à chaque extrémité du banc à coussin d’air et l’on repère la
position G du mobile par la coordonnée y le long de (Oy), l’origine étant fixée au niveau du point d’attache du ressort (R1) sur le
support fixe.
Les deux ressorts sont supposés de longueur à vide identique Lo. On note k1 et k2 les constantes de raideur respectives de (R1) et
(R2).
Faire un schéma du problème.
!
!
Expliciter les forces de rappel F1
et F2 produites respectivement par chacun des ressorts en fonction des constantes de
!
raideur, de Lo, L et y. On notera i l’unitaire de l’axe (Oy).
1.2. On suppose que chacun des ressorts a ses spires jointives quand il est à sa longueur à vide Lo. Exprimer les
conditions sur y amenant
chacun
€
€ des ressorts à être en extension, et donc à ne pas se trouver en situation de spires
€
jointives.EndéduireuneconditionreliantLetL
o.
1.3. Déterminer l’expression yéq de la position correspondant à l’équilibre du mobile. Vérifier cette expression en
prenantuncasparticuliersimple.
1.4.Montrerquel’expressiondelaforcerésultantdesactionsdesdeuxressortspeutserameneràlaforme:
! ! !
!
F = F1 + F2 − kxi ,oùxestl’écartàlapositiond’équilibreetk=k1+k2.
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La suite du problème sera traitée compte tenu de cette modélisation. Le mobile est alors considéré comme soumis à la force de
rappel d’un seul ressort de raideur k.
2. Étude théorique du mouvement du solide
Dans cette étude tous les frottements sont négligés.
On peut modéliser un oscillateur mécanique horizontal par un système solide - ressort constitué d’un solide de masse m, fixé à
l’extrémité d’un seul ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de constante de raideur k.
G (m)
(k)
E
x'
O
x(t)
x
La position du centre d’inertie G du solide est étudiée dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen et repérée par son
abscisse x(t) sur un axe horizontal x’Ox. L’origine des abscisses correspond à l’abscisse de G lorsque le solide est à l’équilibre.
Le solide est mis en oscillation. La période propre des oscillations est T0.
2.1. Forces exercées sur le solide en mouvement.
2.1.1. On note
la force exercée par le ressort sur le solide.
Pour une position quelconque du solide, nommer les trois forces qui s’exercent sur ce solide. Les représenter au centre d’inertie
G, sans souci d’échelle, sur le schéma n°1 de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE.
2.1.2. En rappelant l’expression du vecteur force
en fonction de l’allongement x, vérifier mathématiquement que cette force a
bien le sens attendu lorsque le centre d’inertie G se trouve à droite de la position d’équilibre sur le schéma n°1 de l’ANNEXE A
RENDRE AVEC LA COPIE.
2.2. Équation différentielle du mouvement du solide.
2.2.1. En appliquant la deuxième loi de Newton au solide, établir l’équation différentielle du mouvement de son centre d’inertie
G.
2.2.2. Sachant que la solution générale de l’équation différentielle est de la forme :
⎡⎛ 2π ⎞
⎤
x(t) = X m cos ⎢⎜ ⎟ t + ϕ 0 ⎥ , montrer que
⎣⎝ T 0 ⎠
⎦
m
.
k
2.2.3. Vérifier l’homogénéité de l’expression de la période propre T0 par une
€ analyse dimensionnelle.
l’expression de la période propre T0 de l’oscillateur est : T0 = 2π
3. Retour à l’expérience
€
On rappelle qu’il est équivalent dans cette étude de considérer le mouvement d’un point A quelconque repéré sur le solide en
translation ou celui du centre d’inertie G du solide.
3.1. Représenter les grandeurs expérimentales T0exp et Xm,exp par des segments en trait épais sur chacun des deux axes de la
courbe x = f(t) (graphe n°1 de l’ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE).
3.2. Déterminer les valeurs expérimentales de l’amplitude Xm,exp et de la période propre T0exp des oscillations du mouvement du
solide à partir du résultat de la modélisation de la courbe donnée dans l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE. Justifier.
3.3. Les deux ressorts de constante de raideur k1 et k2 sont équivalents à un seul ressort de raideur k.
avec k = k1 + k2.
L’expression de la période propre T0 trouvée dans l’étude théorique reste valable dans le cas de deux ressorts initialement
tendus.
Calculer à partir des résultats de l’étude théorique la période propre T0 des oscillations.
3.4. Comparer les deux valeurs de la période propre en calculant l’écart relatif
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3.5. Expliquer comment vérifier numériquement la valeur proposée sur la modélisation pour la phase à l’origine c = -1,88 rad à
partir du graphe fourni.
4. Aspect énergétique en l’absence de frottements
Le système solide - ressort est toujours supposé osciller sans frottement.
Dans le modèle d’oscillateur adopté, le choix des états de référence est tel que :
•
L’énergie potentielle de pesanteur est nulle à l’altitude du centre d’inertie G ;
•
L’énergie potentielle élastique est nulle lorsque l’allongement du ressort est nul.
4.1. Rappeler l’expression de l’énergie mécanique Em du système solide - ressort horizontal à la position d’abscisse x
quelconque, en fonction de m, k, x et v la valeur de la vitesse du centre d’inertie G dans le référentiel terrestre.
Que peut-on dire de l’énergie mécanique Em en l’absence de frottements ?
4.2. Soit Vm la valeur maximale de la vitesse atteinte par le centre d’inertie G pour les oscillations d’amplitude Xm étudiées.
En traduisant la propriété de l’énergie mécanique donnée au 4.1., montrer que : Vm
4.3. Calculer la valeur de la vitesse maximale du mobile pour une amplitude de 4,3 cm et une période propre de 0,30 s.
4.4. En vous aidant du graphe n°1, indiquer dans les cases grisées du graphe n°2 de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA
COPIE :
•
la durée désignée par la double flèche, en fonction de T0 ;
•
Les énergies : Em, EP (énergie potentielle élastique) et EC (énergie cinétique).
5. Aspect énergétique en présence de frottements
Le système solide-ressort est toujours supposé osciller, mais désormais on tient compte des frottements.
5.1. Soit Em0 la valeur de l’énergie mécanique de l’oscillateur lâché sans vitesse initiale avec un allongement maximum initial
Xm0.
Établir l’expression de l’énergie mécanique Em0 en fonction de l’allongement maximum initial Xm0.
5.2. On constate expérimentalement qu’au bout d’une oscillation, l’amplitude du mouvement est divisée par r (nombre réel
positif non nul).
Établir l’expression du rapport de l’énergie mécanique correspondante Em1 à l’énergie mécanique initiale Em0 en fonction de r.
ANNEXE
Graphe n°1:
x (en cm) 4,25
x = f(t)
O
-1,3
t (en s)
La modélisation de cette courbe donne: x = a. cos(b.t + c)
avec : a= 4,25×10–2 m, b = 21,18 rad.s–1 et c = -1,88 rad.
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Schéma n°1
G (m)
(k)
E
x'
O
x
x(t)
Graphe n°2 :
Énergie
O
t (s)
!
!
!
!
k L + ( k1 − k 2 ) L0
k
Réponse : F1 = −k1( y − L0 )i et F2 = +k 2 ( L − y − L0 )i ; y > L0 et y < L − L0 donnent L > 2L0 ; y eq = 2
; ˙x˙ + x = 0 ;
k1 + k 2
m
Em1
1
1 2
= .
Em0 = kX m 0 ;
Em0 r 2
2
€
€
€
€
€
€
€
IV L’oscillateur harmonique.
€
Le modèle de l’oscillateur harmonique permet la description de phénomènes très variés, ayant en commun une évolution périodique
d’une grandeur physique autour d’un état d’équilibre du système vers lequel celui-ci est rappelé.
Le sujet aborde sous différents points de vue diverses situations physiques mettant en jeu ce modèle.
A. Introduction du modèle.
Un solide de masse m = 100 g et de centre d’inertie G peut coulisser sans frottement le long d’une tige horizontale. Ce solide est
accroché à l’extrémité d’un ressort linéaire sans masse, l’autre extrémité du ressort étant fixée. Le ressort a une constante de
raideur k = 10 N.m-1. La direction horizontale est repérée suivant l’axe (Ox) d’unitaire 𝑢𝑥.
A l’équilibre, le centre d’inertie G du solide occupe la position O d’abscisse x = 0. On écarte le solide de sa position d’équilibre et
on le lâche. Il effectue un mouvement de translation sinusoïdal de part et d’autre de sa position d’équilibre ; le déplacement du
!
centre d’inertie est fonction du temps : OG = x(t) u x .
A l’instant t = 0 choisi comme origine des dates, son abscisse est xo = + 2,0 cm et sa vitesse a pour valeur vo = - 0,20 m.s-1.
1.
2.
Etablir l’équation du mouvement. On précisera soigneusement toutes les étapes de la démarche.
Déterminer la pulsation €
ωo, la fréquence fo et la période To du mouvement ; expressions littérales et valeurs numériques.
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3.
4.
5.
6.
Oscillateur harmonique
Donner l’expression générale de la vitesse v(t) à partir de la forme générale de la solution : x(t) = B.cos(ωot) + C.sin(ωot).
Etablir l’équation horaire x(t) dans les conditions de lâcher décrites en fonction de ωo, t, xo et vo.
Etablir l’expression de la vitesse v(t) du solide en fonction de ωo, t, xo et vo.
Donner les valeurs numériques de la position x1 et de la vitesse v1 à l’instant t1 = 0,60 s.
B. D’autres oscillateurs harmoniques.
1.
On envisage un système masse-ressort vertical placé dans le champ de pesanteur : une masse m est suspendue à un ressort de
masse négligeable, de longueur à vide Lo et de raideur k accroché au point fixe O de cote z = 0 (z est décompté selon la
verticale descendante).
L’équation donnant accès à z(t) s’écrit (On ne demande pas d’établir cette équation) :
mz˙˙ = −k ( z − l o ) + mg où g est l’accélération de la pesanteur.
2.
Cette équation est-elle du type harmonique ? La mettre sous forme canonique, puis en déduire l’expression de la période des
oscillations de la masse m autour de sa position d’équilibre, dont on précisera l’altitude zéq.
€
On considère maintenant un pendule pesant formé d’une barre homogène de longueur 2L et de masse totale m accroché en
une de ses extrémité en un point fixe O. La liaison en O est parfaite, autorisant des oscillations de la barre dans un plan
vertical, sans frottement.
On repère par l’angle θ la position de la barre par rapport à la verticale descendante passant par O.
Dans ces conditions, le mouvement de la barre est décrit par l’équation :
4 2 ˙˙
ml θ = −mgL sin θ
3
2.1 Cette équation est-elle de type harmonique ? Comment sera-t-elle modifiée si l’on considère que les oscillations du
pendule pesant sont limitées à de petits angles ?
€
2.2 En déduire, dans ce dernier cas, l’expression
de la période des oscillations du pendule ainsi que la position d’équilibre.
C. Une approche énergétique.
1.
Le solide envisagé en A oscille maintenant avec une amplitude Xm = 5,0 cm. Exprimer et calculer l’énergie mécanique Em du
solide. Déterminer sa vitesse maximale.
2.
Exploitations graphiques.
La figure ci-dessous présente l’énergie potentielle et l’énergie mécanique en fonction de l’abscisse x. Le système est alors
lancé dans des conditions différentes du 1.
5,0E-03
4,5E-03
Ep(J)
4,0E-03
3,5E-03
3,0E-03
2,5E-03
2,0E-03
Em(J)
1,5E-03
1,0E-03
5,0E-04
x(cm)
0,0E+00
-4
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-3
-2
-1
0
1
2
3
4
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2.1
2.2
2.3
2.4
3.
Déterminer l’amplitude du mouvement dans ce cas de figure.
Déterminer la raideur du ressort à partir du graphe fourni (expliquer).
Evaluer la valeur de l’énergie cinétique pour x = 0 et pour x = -2,0 cm.
La période des oscillations est égale à 0,628 s. Déterminer la vitesse du solide lorsque l’élongation est égale à x = 1,0 cm.
Un pistolet à ressort.
On considère un pistolet à ressort qui propulse des balles en plastique de masse m = 10 g. Le ressort est doté d’une constante
de raideur k = 10 N.m-1 et il est comprimé de 10 cm quand la balle est chargée dans le canon du pistolet.
Quand la gâchette est activée, le ressort se détend et la balle est propulsée hors du canon.
Que vaut la vitesse de la balle à l’instant où elle sort du canon ? On négligera tout frottement.
D. Oscillateur harmonique et mécanique quantique.
La fréquence de vibration de la molécule de chlorure d’hydrogène HCl est fo = 8,5.1013 Hz.
On donne les masse molaires : MH = 1,0 g.mol-1 et MCl = 35,5 g.mol-1 ainsi que le nombre d’Avogadro dénombrant une mole : NA
= 6,02.1023 mol-1.
On modélise la molécule de HCl par un atome d’hydrogène mobile relié à un atome de chlore considéré comme fixe par un
« ressort » de raideur k.
On donne la célérité de la lumière dans le vide : c = 2,998.108 m.s-1.
1.
2.
3.
4.
Comment justifier, à partir des données numériques fournies, l’hypothèse d’un atome de chlore fixe.
Calculer la valeur de k.
On admet que l’énergie mécanique de la molécule est Em = h.fo / 2 où h = 6,63.10-34 J.s est la constante de Planck. Calculer
l’amplitude du mouvement de l’atome d’hydrogène.
(On pourra retrouver l’expression de l’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique en fonction de cette amplitude).
⎛
1⎞
L’énergie de vibration est en fait quantifiée selon la relation : Em ⎜ n + ⎟hf o .
⎝
2⎠
où n est un entier naturel (n = 0, 1, 2...). La transition du niveau fondamental n = 0 au niveau excité n = 1 est déclenchée par
l’absorption d’une radiation lumineuse. Déterminer la longueur d’onde correspondant à cette radiation. Cette radiation est-elle
visible ?
€
E. Un oscillateur flottant.
Un cylindre lesté, de centre de gravité G, de masse m, flotte à la surface de l’eau. La poussée d’Archimède résulte de l’action
du fluide sur le solide immergé dans ce fluide. C’est une force verticale, s’exerçant de bas en haut et dont l’intensité est égale
au poids du fluide déplacé par la partie immergée du solide, c’est à dire au poids d’une quantité de fluide dont le volume serait
égal au volume de la partie immergée du solide.
On note ρ la masse volumique du fluide, ho la hauteur de solide immergée lorsqu’il flotte à l’équilibre et s la section du solide
cylindrique.
Position d’équilibre
ho
1.
2016 – 2017
Position quelconque à
une date t
h(t)
G
z(t)
G
Ecrire l’expression de l’intensité F de la poussée d’Archimède dans la situation où le solide est en équilibre. En déduire
l’expression de ho en fonction de m, ρ et s.
7/8
PCSI 2
Oscillateur harmonique
2.
3.
On écarte le cylindre de sa position d’équilibre (en l’enfonçant dans l’eau par exemple). Ecrire l’expression de la poussée
d’Archimède à une date t où la hauteur immergée est h(t).
On décrit le mouvement de G selon l’axe vertical (Oz) dirigé vers le bas. L’origine O coïncide avec la position du centre
de gravité G à l’équilibre. On repère la position de G à une date quelconque par z(t).
Montrer que l’équation du mouvement se met sous la forme :
˙z˙ +
4.
ρgs
z(t) = 0
m
Quelle est la nature du mouvement ? Calculer sa période.
Données : ρ = 1,0.103 kg.m-3; g = 9,81 m.s-2; s = 4,0 cm², m = 50 g.
€
Réponse : ˙x˙ +
k
x = 0 ; ωo =
m
v
k
= 10rad.s −1 ; fo = 1,6 Hz ; To = 0,63 s ; x(t) = x o cos ω o t + o sin ω o t ;
ωo
m
m
mg
et z eq = l o +
; non OH à cause de sin θ ;
k
k
€ 3g
€
4L
2Em
€ 1
et θeq = 0 ; Em = kX m2 = 1, 3.10 −2 J ; Vmax =
= 0, 50m.s −1 ; Xm = 2 cm ;
θ˙˙ +
θ = 0 OH si sin θ ≈ θ avec T o = 2π
3g
m
4L
2
€
2E
2Ec €
k
k = 2m = 10N .m −1 ; Ec = 2,0.10-3 J puis Ec = 0 ; Vmax =
= 1,7.10 −1 m.s −1 ; v =
x = 3,2m.s −1 ;
m
m
Xm €
€
€
m
hf o
m€
= 0, 71s .
; T = 2π
= 1,1.10−11 m ; λ = 3,5µm ; ho =
k = 4 π 2 f o2 m = 4,7.10 2 N .m−1 ; X m
ρgs
ρs
k
€
€
v(t) = −ω o x o sin ω o t + v o cos ω o t ; x1 = 2,5 cm ; v1 = - 0,14 m.s-1 ; OH avec T o = 2π
€
€
€
V Energie mécanique d’un oscillateur
Une masse m attachée à un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide l0 oscille de telle manière que la longueur du ressort
k
soit l(t) = l 0 + X 0 sin(ω 0 t ) , avec ω 0 =
.
m
1) Calculer l’énergie mécanique Em de l’oscillateur à l’instant t. Commenter.
2) Calculer la valeur moyenne de l’énergie cinétique, puis de celle de l’énergie potentielle. On rappelle que la valeur moyenne
1
€
d’une fonction f(t) T-périodique
vaut < f (t) >=
T
€
T
∫ f (t)dt . On donne aussi cos 2θ = 2 cos
2
θ − 1 = 1 − 2 sin 2 θ .
0
3) Pourquoi parle-t-on d’équipartition de l’énergie ?
Réponse : Em =
€
2016 – 2017
1
1
kX 0 2 ; < Ec €
>=< E p >= kX 0 2 .
2
4
€
€
8/8