Classe PC Dupuy de Lôme

O4 : Diffraction à l’infini
1
Phénomène de diffraction
1.1
Mise en évidence
Si l’on cherche à "isoler" un rayon lumineux, modèle de l’optique géométrique, grâce à
une fente très fine de largeur a, on n’observe
– un élargissement de la tâche formée sur l’écran par diminution de a
– une non uniformité de l’éclairement
Limitation de l’optique géométrique
Le phénomène de diffraction apparaît lorsque les distances
caractéristiques des obstacles à la propagation de la lumière
ne sont pas très supérieures à la longueur d’onde .
1.2
Interprétation du phénomène
Interprétation quantique
Ondes secondaires
Huyghens, en travaillant par analogie avec l’observation des ondes à la surface d’un liquide, a expliqué la propagation d’une
onde par le fait que tout point atteint par une onde se comportait comme une source secondaire réemettant de "ondelettes"
dans toutes les directions.
Fresnel s’est ensuite basé sur ce modèle afin d’expliquer les phénomènes de diffraction.
La théorie des Ondes Electro-magnétiques validera ensuite cette hypothèse.
Principe de Huyghens-Fresnel
Soit une source S ponctuelle de lumière monochromatique et une surface d’onde entourantS
– Toute surface élémentaire dSp entourant le point P de cette surface d’onde se comportera comme une source secondaire ponctuelle émettant de manière sphérique.
– L’onde secondaire émise en P a la même phase que l’onde incidente atteignant P
– L’amplitude de l’onde secondaire est proportionnelle à dSp ainsi qu’à l’amplitude de
l’onde incidente en P .
– Les sources secondaires sont cohérentes entre elles.
Le dernier point implique donc que les ondes issues des différentes sources secondaires vont interférer en un point
l’espace.
1.3
M
de
Vibration d’une source secondaire
On considère une vibration incidente en P . On note :
– si (P ) la vibration qu’aurait l’onde en P en absence d’objet diffractant
– si (P ) la vibration qu’aurait l’onde en P , en présence de l’objet diffractant, mais sans considérer le phénomène de diffraction.
1.3.1
Transparence de l’objet diffractant
L’objet diffractant peut avoir deux conséquences sur la vibration incidente :
– Un modification de l’amplitude j si (P ) j= t(P ) j si (P ) j avec 0 < t(P ) < 1. Les cas extrêmes sont 0 si l’objet est opaque
et 1 s’il s’agit d’un trou.
– Un retard de phase ' (P ) = '(P ) + (P )
Fonction transparence
On caractérise l’objet diffractant en P par une fonction transparence
( ) = t(P ):ej:
t P
P)
(
Exemple : On considère une lame de verre d’epaisseur e(P ) en P et d’indice n constituant l’objet diffractant. Si l’on
considère la lumière incidente en incidence quasi-normale, cette lame entraine une différence de marche Æ (P ) = (n nair ):e(P ),
mais aucune diminution de l’amplitude de la vibration. On obtient donc dans ce cas
t(P ) = ej:( 0 :(n
2:
1.3.2
nair ):e(P ))
Onde secondaire
Vibration en M
Un élément de surface dSp entourant un point P de l’objet diffractant émet une onde
dont la vibration en un point M situé à grande distance de P s’écrit
(
dsp M; t
2
) = K:si(P ):e
j:'P !M
Diffraction de Fraunhofer
Conditions d’étude de Fraunhofer
Dans cette condition d’étude de la diffraction
– La source S éclairant l’objet diffractant est considérée à l’infini
– Le point d’observation M est considéré à l’infini de l’objet diffractant
On parlera également de diffraction à l’infini.
Aspect expérimental On pourra se placer dans ces conditions avec le montage suivant
E
L
L0
S
2.1
2.1.1
b
M
T
O
f
Cas d’une fente très longue
Simplification du problème
On considère une fente de largeur a selon OX et de longueur très grande devant 0 selon la direction OY . La présence de
lumière diffractée se limitera donc à l’axe Ox sur l’écran, à l’ordonnée y = 0.
En effet, en l’absence de fente, l’image de la source S se situe au centre de l’écran. La présence de la fente fait apparaitre un
étalement de la lumière selon l’axe où on limite les dimensions de passage de l’onde.
2.1.2
Vibration diffractée par une source secondaire
X
P (X )
On considère donc une source dSp en un point P (xP ; 0) de la
fente.
– En O et P , les sources secondaires émettent dans toutes les
directions, mais les rayons interférant en M sont colinéaires
– On choisit comme référence pour les phases la vibration incidente arrivant en O. L’onde secondaire arrivant en M s’écrit
x
a
2
H0
ds0 (M ) = K:S0 :dxP :ej:(!:t+0 )
O
M (x)
– La vibration issue d’une source secondaire P aura donc une
différence de marche par rapport à l’onde de référence en
M : Æ = (P H 0 ), étant donné que O et H 0 appartiennent à
une même surface d’onde.
x
Æ = (P H 0) = X:sin X: 0
f
a
2
Fente
– On peut donc écrire la vibration issue de la source élémentaire, arrivant en P :
dsP (M ) = ds0 (M )ej:( 0 )
vibration en M en sommant l’ensemble (
2::Æ
Les sources secondaires étant supposées toutes cohérentes, on en déduit la
infinité) des vibrations issues des sources secondaires :
s(M ) = K:S0 :ej:(!:t+0 ) :
Z
a
2
a
2::x :x P
:e
j:
f 0 :0
:dxP
2
2::x :x 3 a2
2
P
j:
0
0 :0
f :0
6
f
j:
(
!:t
+
)
0
:7
:e
s(M ) = K:S0 :e
:4
5
2:j::x
:a:x j:
:a:x j:
f 0 :0
f 0 :0 e
:
s(M ) = K:S0 :a:ej:(!:t+0 ) :
a::x
une
:j
e
f 0 :0
2
a
2
=
a::x
K:S0 :a:ej:(!:t+0 ) :sin 0
f :0
I(x)
2.1.3
Eclairement en
M
I (M ) = :s(M ):s (M )
1
2
a::x 2
1
I (M ) = K 2 :S02 :a2 : sin 0
2
f :0
x
−2.λ0 .f ′
a
−λ0 .f ′
a
λ0 .f ′
a
2.λ0 .f ′
a
2.λ0 .f ′
a
Figure de diffraction par une fente
La tâche centrale a une largeur
2: :f 0 , centrée au niveau de l’image géométrique de
0
a
la source ( image prévue par l’optique géométrique).
Les tâches secondaires, beaucoup moins lumineuses, ont des largeurs deux fois plus
petites.
2.1.4
Étalement du faisceau par diffraction
La tâche centrale correspond à 90% de l’intensité lumineuse totale. On peut donc considérer que le faisceau sur l’écran a une
:0 :f 0
2
.
largeur égale à 2:xmax =
a
Or un rayon arrivant en un point d’abscisse
tan =
x
f0
x
sur l’écran fait un angle
avec l’axe optique en sortie de la fente tel que
Étalement angulaire
0
Un faisceau de lumière parallèle subit une ouverture angulaire = a
Lorsque a >> 0 , on pourra donc négliger le phénomène de diffraction.
2.1.5
Cas d’une source hors de l’axe
P H0
H
Image géométrique de la source On note S 0 l’image de S (xs ) par le sy
optique, obtenue dans l’hypothèse de l’optique géométrique. De même que l’on
obtenu x = sin:f 0 , On peut facilement obtenir
!
u
O
!u i
xs = sin:f 0
Fente
( On travaille ici sur des angles orientés)
Retard de l’onde issue de P Par analogie à l’atude précédente, on obtient
I(x)
Æ = (HP ) + (P H 0) = xP :sin xP :sin xP :
Eclairement On obtient donc
x
xs −
λ0 .f ′
a
xs +
λ0 .f ′
a
I (M ) = K 2 :S02 :a2 : sin
1
2
xs x
f0
a::(x xs) 2
f 0 :0
2.λ0 .f ′
a
Source hors de l’axe
Lorsque la source est hors de l’axe, la figure de diffraction est identique à celle
obtenue pour une source sur l’axe, centrée sur l’image géométrique de S par le
système des deux lentilles.
2.2
Cas d’une pupille rectangulaire
Le principe d’étude va être le même que précédemment, mais la diffraction aura cette fois lieu selon les axes
Ox et Oy.
Différence de marche
– On prend toujours comme référence le rayon passant par l’origine O. Le rayon issu
de la source secondaire située en P aura alors une différence de marche, en M :
! !
!
u :OP
Æ = (HP ) + (P H 0) = !
u i :OP
Dans le cas particulier du schéma, on doit ajouter deux retards, or
ce qui explique le signe -.
– On a
H
!u i
!
0 M
!
u= 2
O2 M
avec
O2 le centre de la seconde lentille et M
!
!
u :OP < 0,
le point sur l’écran où
interfèrent les rayons étudiés. Les angles étant faibles, on peut assimiler
par conséquent
! x:u!x + y:u!y
u
P H0
O2 M
à
f 0,
f0
=
– En désignant par S 0 (xs ; ys ) l’image de la source sur l’écran, et par analogie avec
l’étude précédente, on obtient
!
u
O
x :u! + y :u!
!
ui = s x s y
f0
Fente
– De plus
marche
! = x :u! + y :u!. On en déduit donc l’expression de la différence de
P x
P y
OP
Æ=
Vibration en M
est alors
On considère l’ensemble des sources élémentaires dS
s(M ) = K:S0 :ej:(!:t+0 ) :
2::x :(x x) P s
Z
xP = a2 j:
xP =
a
e
f 0 :0
xP :(xs x) + yP :(ys y)
f0
=
dxP :dyP , interférant en M . La vibration résultante
:dxP
Z
2
2::y :(y y) P s
yP = 2b j:
yP =
b
e
f 0 :0
:dyP
2
On reconnait les formes intégrales rencontrées lors de l’étude de la fente longue. On en déduit donc rapidement que
b::y
a::x
s(M ) = K:S0 :a:b:ej:(!:t+0 ) :sin 0 :sin 0
f :0
f :0
Éclairement en M
L’intensité lumineuse en un point
I (M ) =
Exemple : si
b = 2:a
M (x; y) de l’écran s’écrit alors
a::x
K 2 :S02 :a2 :b2 sin 0
2
f :0
1
2 b::y 2
: sin 0
f :0
3
Résolution en optique géométrique
3.1
Diffraction par une pupille circulaire
L’étude théorique de ce cas est hors programme, on donne donc directement l’allure de la figure.
Tâche d’Airy
La figure de diffraction d’une pupille circulaire de
diamètre D est constituée d’un disque très lumineux
0:f 0
de rayon égal à 1; 22:
entourée d’anneaux moins
D
lumineux. Ce disque est nommé tâche d’Airy
Alors que l’optique géométrique prévoit une image ponctuelle de la source par le système des
lentilles, un diaphragme fera apparaître une tâche d’Airy. L’image de deux sources ponctuelles sont
donc susceptibles de former des tâches se "mélangeant". Il y a donc une limitation au pouvoir de
résolution d’un appareil optique.
3.2
Limite de résolution d’un appareil optique
L’observation de deux sources ponctuelles à l’infini, vues sous un angle , se fait grâce à une lentille de distance focale
placée derrière un diaphragme de diamètre D.
f0
L
Diaphragme
Centré sur chacune des images géométriques, on observera donc des figures de diffraction du diaphragme. Vu la symétrie du
problème, on peut représenter l’intensité à une cote z sur l’écran
I (x)
I (x)
|
x
|
:f 0
|
|
:f 0
x
On observe en trait plein l’intensité résul-
tante sur l’écran. Dans le premier cas, on ne pourra pas dissocier les deux images.
Critère de Rayleigh
Il y aura séparation de deux tâche
des pics de diffraction est au m
Application Un télescope est constitué d’un miroir principal de rayon R = 6 m, éclairé avec une longueur d’onde moyenne
= 500 nm. Son pouvoir séparateur sera alors défini par l’angle minimum sous lequel pourront être dissociées les images de
deux étoiles
> 1; 22:
:
500 10
6
9
:
= 1 10
7 rad = 0; 02 seconde d’arc
Il est à noter que la résolution sera limitée par d’autres facteurs, tels que les perturbations atmosphériques.