Classe PC Dupuy de Lôme

O4 : Diffraction à l’infini
1 Phénomène de diffraction
1.1 Mise en évidence
Si l’on cherche à "isoler" un rayon lumineux, modèle de l’optique géométrique, grâce à
une fente très fine de largeur , on n’observe
– un élargissement de la tâche formée sur l’écran par diminution de
– une non uniformité de l’éclairement
Limitation de l’optique géométrique
Le phénomène de diffraction apparaît lorsque les distances
caractéristiques des obstacles à la propagation de la lumière
ne sont pas très supérieures à la longueur d’onde
.
1.2 Interprétation du phénomène
Interprétation quantique
Ondes secondaires
Huyghens, en travaillant par analogie avec l’observation des ondes à la surface d’un liquide, a expliqué la propagation d’une
onde par le fait que tout point atteint par une onde se comportait comme une source secondaire réemettant de "ondelettes"
dans toutes les directions.
Fresnel s’est ensuite basé sur ce modèle afin d’expliquer les phénomènes de diffraction.
La théorie des Ondes Electro-magnétiques validera ensuite cette hypothèse.
Principe de Huyghens-Fresnel
Soit une source ponctuelle de lumière monochromatique et une surface d’onde
entourant
– Toute surface élémentaire entourant le point de cette surface d’onde se com-
portera comme une source secondaire ponctuelle émettant de manière sphérique.
– L’onde secondaire émise en a la même phase que l’onde incidente atteignant
– L’amplitude de l’onde secondaire est proportionnelle à ainsi qu’à l’amplitude de
l’onde incidente en .
– Les sources secondaires sont cohérentes entre elles.
Le dernier point implique donc que les ondes issues des différentes sources secondaires vont interférer en un point de
l’espace.
1.3 Vibration d’une source secondaire
On considère une vibration incidente en . On note :
–la vibration qu’aurait l’onde en en absence d’objet diffractant
–la vibration qu’aurait l’onde en , en présence de l’objet diffractant, mais sans considérer le phénomène de diffraction.
1.3.1 Transparence de l’objet diffractant
L’objet diffractant peut avoir deux conséquences sur la vibration incidente :
– Un modification de l’amplitude avec . Les cas extrêmes sont 0 si l’objet est opaque
et 1 s’il s’agit d’un trou.
– Un retard de phase

Fonction transparence
On caractérise l’objet diffractant en par une fonction transparence
Exemple : On considère une lame de verre d’epaisseur en et d’indice constituant l’objet diffractant. Si l’on
considère la lumière incidente en incidence quasi-normale, cette lame entraine une différence de marche ,
mais aucune diminution de l’amplitude de la vibration. On obtient donc dans ce cas
1.3.2 Onde secondaire
Vibration en M
Un élément de surface entourant un point de l’objet diffractant émet une onde
dont la vibration en un point situé à grande distance de s’écrit
2 Diffraction de Fraunhofer
Conditions d’étude de Fraunhofer
Dans cette condition d’étude de la diffraction
– La source éclairant l’objet diffractant est considérée à l’infini
– Le point d’observation est considéré à l’infini de l’objet diffractant
On parlera également de diffraction à l’infini.
Aspect expérimental On pourra se placer dans ces conditions avec le montage suivant
S
E
T O
2.1 Cas d’une fente très longue
2.1.1 Simplification du problème
On considère une fente de largeur selon et de longueur très grande devant selon la direction . La présence de
lumière diffractée se limitera donc à l’axe sur l’écran, à l’ordonnée .
En effet, en l’absence de fente, l’image de la source se situe au centre de l’écran. La présence de la fente fait apparaitre un
étalement de la lumière selon l’axe où on limite les dimensions de passage de l’onde.

2.1.2 Vibration diffractée par une source secondaire
Fente
On considère donc une source en un point de la
fente.
– En et , les sources secondaires émettent dans toutes les
directions, mais les rayons interférant en sont colinéaires
– On choisit comme référence pour les phases la vibration inci-
dente arrivant en . L’onde secondaire arrivant en s’écrit
– La vibration issue d’une source secondaire aura donc une
différence de marche par rapport à l’onde de référence en
: , étant donné que et appartiennent à
une même surface d’onde.
– On peut donc écrire la vibration issue de la source élémen-
taire, arrivant en :
Les sources secondaires étant supposées toutes cohérentes, on en déduit la vibration en en sommant l’ensemble ( une
infinité) des vibrations issues des sources secondaires :
2.1.3 Eclairement en
x
I(x)
λ0.f′
a
−λ0.f′
a
2.λ0.f′
a
−2.λ0.f′
a
2.λ0.f′
a
Figure de diffraction par une fente
La tâche centrale a une largeur , centrée au niveau de l’image géométrique de
la source ( image prévue par l’optique géométrique).
Les tâches secondaires, beaucoup moins lumineuses, ont des largeurs deux fois plus
petites.

2.1.4 Étalement du faisceau par diffraction
La tâche centrale correspond à 90% de l’intensité lumineuse totale. On peut donc considérer que le faisceau sur l’écran a une
largeur égale à .
Or un rayon arrivant en un point d’abscisse sur l’écran fait un angle avec l’axe optique en sortie de la fente tel que
Étalement angulaire
Un faisceau de lumière parallèle subit une ouverture angulaire
Lorsque , on pourra donc négliger le phénomène de diffraction.
2.1.5 Cas d’une source hors de l’axe
Fente
x
I(x)
xs+λ0.f′
a
xs −
λ0.f′
a
2.λ0.f′
a
Image géométrique de la source On note l’image de par le système
optique, obtenue dans l’hypothèse de l’optique géométrique. De même que l’on
obtenu , On peut facilement obtenir
( On travaille ici sur des angles orientés)
Retard de l’onde issue de Par analogie à l’atude précédente, on obtient
Eclairement On obtient donc
Source hors de l’axe
Lorsque la source est hors de l’axe, la figure de diffraction est identique à celle
obtenue pour une source sur l’axe, centrée sur l’image géométrique de par le
système des deux lentilles.
2.2 Cas d’une pupille rectangulaire
Le principe d’étude va être le même que précédemment, mais la diffraction aura cette fois lieu selon les axes et .

Fente
Différence de marche
– On prend toujours comme référence le rayon passant par l’origine . Le rayon issu
de la source secondaire située en aura alors une différence de marche, en :
Dans le cas particulier du schéma, on doit ajouter deux retards, or ,
ce qui explique le signe -.
– On a avec le centre de la seconde lentille et le point sur l’écran où
interfèrent les rayons étudiés. Les angles étant faibles, on peut assimiler à ,
par conséquent
– En désignant par l’image de la source sur l’écran, et par analogie avec
l’étude précédente, on obtient
– De plus . On en déduit donc l’expression de la différence de
marche
Vibration en M On considère l’ensemble des sources élémentaires , interférant en . La vibration résultante
est alors
On reconnait les formes intégrales rencontrées lors de l’étude de la fente longue. On en déduit donc rapidement que
Éclairement en M L’intensité lumineuse en un point de l’écran s’écrit alors
Exemple : si