TH ´EORIE DE GALOIS Exercice 1. Soit P = aX 2 + bX + c un

UNIVERSIT´ E D’ARTOIS ANN ´ EE UNIVERSITAIRE 2016-2017
FACULT ´ E DES SCIENCES JEAN PERRIN LICENCE 3 MATHS
TH ´ EORIE DE GALOIS
FICHE I : EXTENSIONS DE CORPS
Exercice 1. Soit P=aX2+bX +cun polynˆ ome de degr´ e2dans K[X]o` uKest un
corps. Montrer l’´ equivalence des points suivants :
(1) Pn’est pas irr´ eductible ;
(2) Pa une racine dans K;
(3) Pa deux racines (ou une racine double) dans K;
(4) Le discriminant ∆ = b2−4ac est un carr´ e dans K.
Exercice 2. Soit P=Pn
i=0 aiXiun polynˆ
ome dans Z[X]. Soit une racine de Pdans Q
´
ecrite p
qavec pet qpremiers entre eux. Montrer que pdivise a0et qdivise an. Application :
montrer que le polynˆ ome 4X3−4X+ 7 n’a pas de racine dans Q. Est-il irr´ eductible sur
Q?
Exercice 3. Fabriquer une famille de polynˆ omes de tous degr´ es irr´ eductibles sur Q, soit ` a
la main, soit par le crit` ere d’Eisenstein.
Exercice 4. Soit pun nombre premier. V´ erifier l’irr´ educibilit´ e du polynˆ ome cyclotomique
1 + X+··· +Xp−1en effectuant un changement de variables X=Y+ 1 et en utilisant
un crit` ere bien connu. (On rappelle que pest premier si et seulement s’il divise p
ipour
1≤i≤p−1.)
Exercice 5. D´ eterminer si les polynˆ omes Xn−X−1pour n= 2,3,4et 5sont irr´ eductibles
sur Q,Ret C.
Exercice 6. Soient met ndans N. Montrer que Xm−1divise Xmn −1en se plac¸ant dans
un quotient appropri´ e.
Exercice 7. Dans chacun des cas suivants, d´ eterminer si l’anneau quotient est un corps ou
pas.
(1) Q[X]/(X−1) ;
(2) Q[X]/(X2+ 2) ;
(3) R[X]/(X2−1) ;
(4) R[X]/(X2+ 1).
Dans les cas o` u c’est un corps, d´ eterminer si (la classe de) Xet de X2+ 1 sont inversible,
et trouver leurs inverses le cas ´ ech´ eant.
Exercice 8. Le but de cet exercice est de montrer que quand pest premier, le polynˆ ome
Xp−X−1est irr´ eductible sur Q.
(1) On consid` ere son image dans Fp[X]. Montrer qu’il n’a pas de racine dans Fp.
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(2) Soit αune racine de Xp−X−1dans une extension de Fp. Montrer que α+ 1 est
encore racine.
(3) En d´ eduire la d´ ecomposition de Xp−X−1sur Fp(α).
(4) En d´ eduire qu’il est irr´ eductible sur Fp, puis sur Q. On pourra consid´ erer la somme
des racines d’un ´ eventuel facteur.
Exercice 9. On consid` ere la sous-alg` ebre Q[i]de C. Est-ce un corps ? La d´ ecrire comme un
quotient d’un anneau de polynˆ omes (i.e. donner un isomorphisme Q[X]/(P)→Q(i)pour
un certain P).
Exercice 10. On consid` ere la sous-alg` ebre Q[√2] de C.
(1) La d´ ecrire comme un quotient d’un anneau de polynˆ omes. ` A quelle condition l’´ el´ ement
a+b√2,a, b ∈Qest-il inversible ? Donner alors son inverse, sous la mˆ eme forme.
(2) La sous-alg` ebre Q[√2] est-elle un corps ?
(3) Existe-t-il un morphisme de corps de Q(√2) dans lui-mˆ eme qui envoie √2sur −√2?
(4) Trouver tous les morphismes de corps de Q(√2) dans lui-mˆ eme.
Exercice 11. Existe-t-il un morphisme de corps de Cdans lui-mˆ eme qui envoie √2sur
√3?
Exercice 12. Soit αune racine complexe du polynˆ ome X5+ 2X+ 2. Exprimer sous forme
d’un polynˆ ome en αde degr´ e≤4` a coefficients dans Qles nombres : (α3+ 1)(α2−5),
α−1et α2+1
α+3 .
Exercice 13. Une extension est dite quadratique si elle est de degr´ e2. Soit E/K une telle
extension.
(1) Soit eun ´ el´ ement de Ehors de (l’image de) K, de polynˆ ome minimal P. Montrer
que Pest de degr´ e2, et qu’on a alors un isomorphisme E'K[X]/(P).
(2) Montrer que pour tout ´ el´ ement ede Ehors de K, on a E=K[e] = K(e).
(3) Montrer que si car(K)6= 2, alors on peut trouver α∈Etel que E=K(α)et
α2∈K. On utilise la notation E=K(√d)si α2=d.
(4) Montrer que si K=Q, alors il existe un unique entier dsans facteur carr´ e tel que
E=Q(√d).
Exercice 14. Montrer que toute extension quadratique de Rest isomorphe ` aC.
Exercice 15. Soit L/K une extension. Montrer que deux polynˆ omes irr´ eductibles (uni-
taires) diff´ erents de K[X]ne peuvent avoir de facteur commun non trivial dans L[X]. En
d´ eduire qu’ils ne peuvent avoir de racine commune dans L.
Exercice 16. Montrer qu’une extension finie L/K de degr´ e premier n’a pas de sous-
extension autre que Ket L.
Exercice 17. Soit K E,Fet Ldes corps tels que K⊆E⊆Let K⊆F⊆L. On note
EF le plus petit sous-corps de Lcontenant Eet F.
(1) Montrer que si Eet Fsont finies, alors EF est aussi la sous-K-alg` ebre de Len-
gendr´ ee par les ´ el´ ements de Eet de F, autrement dit que celle-ci est bien un corps.
(2) Toujours si Eet Fsont finies, montrer qu’il en est de mˆ eme de EF et qu’on a
[EF :K]≤[E:K][F:K], avec ´ egalit´ e si [E:K]et [F:K]sont premiers entre
eux.
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Exercice 18. Calculer [Q(j, 5
√2) : Q]et montrer que Q(j)est le seul sous-corps de
Q(j, 5
√2] de degr´
e2sur Q.
Exercice 19. Soit Kun corps et soit P∈K[X]un polynˆ ome irr´ eductible de degr´ ep
premier impair. Soit aune racine de Pdans un extension de K.
(1) Quel est le polynˆ ome minimal de asur K?
(2) Soit b=a+ 1/a. Montrer que K(b) = K(a).
Exercice 20. Quel est le degr´ e de Q(3
√5) ?
Exercice 21. Comparer les extensions de Qdans Cde la forme Q(√2),Q(√3),Q(√6),
Q(√2,√3),Q(√2,√3,√6), et Q(√2 + √3). De quelles extensions l’´ el´ ement √2−√3
fait-il partie ?
Exercice 22. L’´ el´ ement p2 + √2 + 3
√5est il alg´
ebrique sur Q?
Exercice 23. Soit Kun corps, a∈K, et m, n deux entiers premiers entre eux. Le but de
cet exercice est de montrer que Xmn −aest irr´ eductible sur Ksi et seulement si Xn−a
et Xm−asont irr´ eductibles sur K.
(1) Montrer que Xmn −airr´ eductible implique Xn−aet Xm−airr´ eductibles.
(2) Pour montrer l’implication r´ eciproque, supposons que Pest un facteur irr´ eductible
de Xmn −aet consid´ erons l’extension L=K[X]/(P). Fabriquer un morphisme de
K[X]/(Xn−a)vers L(resp. de K[X]/(Xm−a)vers L).
(3) En d´ eduire que met ndivisent le degr´ e de P, et conclure.
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