Mathématiques de l`ingénieur I

Math´ematiques de l’ing´enieur I
MAT-10363 – E08
A Nombres complexes
5. Polynˆomes
Polynˆomes `a coefficients complexes
Soit pun polynˆome de degr´e n≥1 dont les coefficients sont des nombres r´eels ou complexes. Le
th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre stipule que padmet au moins une racine dans C. On sait aussi que
si z1est une racine de palors (z−z1) est un facteur de p(z), c’est-`a-dire qu’il existe un polynˆome q
de degr´e n−1 tel que
p(z) = (z−z1)q(z).
En combinant ces deux r´esultats, on trouve que tout polynˆome de degr´e n≥1 peut ˆetre factoris´e
sous la forme
p(z) = a(z−z1)(z−z2)···(z−zn−1)(z−zn).
Les z1,...,znsont les z´eros de pet aest un nombre complexe non nul. La factorisation est unique
`a l’ordre pr`es des facteurs. La multiplicit´e d’un z´ero est le nombre de fois qu’il apparaˆıt dans la
liste z1,...,zn. Ainsi, un polynˆome de degr´e n≥1 a exactement nz´eros dans Cen comptant les
multiplicit´es.
Exemples
1p(z) := z4−1 = (z2−1)(z2+ 1) = (z−1)(z+ 1)(z+i)(z−i).
Ce polynˆome de degr´e 4 a 4 racines : ±1 et ±i.
2p(z) := 2z3−4z2+ 2z= 2z(z2−2z+ 1) = 2z(z−1)2= 2(z−0)(z−1)2.
Ce polynˆome de degr´e 3 a une racine simple (z1= 0) et une racine double (z2= 1).
Polynˆomes `a coefficients r´eels
Les polynˆomes `a coefficients r´eels poss`edent la propri´et´e p(z) = p(z) pour tout z∈C. Une cons´e-
quence de cela est que si west une racine de p, alors wen est une aussi. Ainsi, les racines non r´eelles
de pviennent toujours en paires de conjugu´es w, w.
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Exemple Factoriser p(z) := z4−2z3+ 11z2−18z+ 18 sachant que z1:= 1 + iest une racine de p.
Sol. Solution clip.
Si z1est une racine de palors z2:= z1= 1 −ien est une aussi. Donc,
p(z) = (z−(1 + i))(z−(1 −i))(z−z3)(z−z4) = (z2−2z+ 2)q(z).
En divisant, on trouve
q(z) = z2+ 9 = (z+ 3i)(z−3i).
Donc,
p(z) = (z−1−i)(z−1 + i)(z+ 3i)(z−3i).
Ici on a deux paires de racines conjugu´ees.
Un polynˆome de degr´e n`a coefficients r´eels est dit r´eel irr´eductible s’il est impossible de l’´ecrire
comme un produit de polynˆomes `a coefficients r´eels dont les degr´es sont strictement inf´erieurs `a net
sup´erieurs ou ´egaux `a 1. Par exemple, z2+ 1 est irr´eductible car les seuls facteurs propres de celui-ci
sont z±iet ces polynˆomes ne sont pas `a coefficients r´eels. Par contre, z2−1 n’est pas irr´eductible
car il peut s’´ecrire sous la forme z2−1 = (z−1)(z+ 1). Notons qu’un polynˆome r´eel quadratique
est irr´eductible si et seulement si son discriminant est n´egatif.
Une cons´equence du fait que les racines des polynˆomes r´eels viennent en paires de conjugu´es est que
tout polynˆome r´eel peut s’´ecrire comme un produit de facteurs lin´eaires (degr´es 1) et/ou quadratiques
(degr´es 2) r´eels irr´eductibles.
Exemples
1 Dans l’exemple pr´ec´edent, on a trouv´e que z4−2z3+ 11z2−18z+ 18 = (z2−2z+ 2)(z2+ 9).
On a ici un produit de deux facteurs quadratiques r´eels irr´eductibles. Les discriminants sont
respectivement -4 et -36.
2z4−1 = (z−1)(z+ 1)(z2+ 1).
On a un produit de deux facteurs lin´eaires r´eels irr´eductibles et un facteur quadratique r´eel
irr´eductible.
Exercices
1) Soit z1∈C\R. Montrer que p(z) := (z−z1)(z−z1) est un polynˆome quadratique r´eel.
2) Soit p(z) := z2+bz +c, o`u b, c ∈R. Montrer que pest irr´eductible si et seulement si b2−4c < 0.
R´eponses
1) p(z) = z2−(2Re z1)z+|z1|2.
2) Si b2−4c≥0, alors p(z) admet une racine r´eelle z1et donc (z−z1) est un facteur de p(z), ce qui montre que p(z) n’est pas
irr´eductible. Si b2−4c < 0, alors p(z) admet deux racines non r´eelles conjugu´ees z1et z1et p(z) = (z−z1)(z−z1). Puisque la
factorisation est unique, p(z) n’admet pas de facteur lin´eaire r´eel et donc il est irr´eductible.
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