Mathématiques de l`ingénieur I
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Mathématiques de l’ingénieur I MAT-10363 – E08 A 5. Nombres complexes Polynômes Polynômes à coefficients complexes Soit p un polynôme de degré n ≥ 1 dont les coefficients sont des nombres réels ou complexes. Le théorème fondamental de l’algèbre stipule que p admet au moins une racine dans C. On sait aussi que si z1 est une racine de p alors (z − z1 ) est un facteur de p(z), c’est-à-dire qu’il existe un polynôme q de degré n − 1 tel que p(z) = (z − z1 )q(z). En combinant ces deux résultats, on trouve que tout polynôme de degré n ≥ 1 peut être factorisé sous la forme p(z) = a(z − z1 )(z − z2 ) · · · (z − zn−1 )(z − zn ). Les z1 , . . . , zn sont les zéros de p et a est un nombre complexe non nul. La factorisation est unique à l’ordre près des facteurs. La multiplicité d’un zéro est le nombre de fois qu’il apparaı̂t dans la liste z1 , . . . , zn . Ainsi, un polynôme de degré n ≥ 1 a exactement n zéros dans C en comptant les multiplicités. Exemples 1 p(z) := z 4 − 1 = (z 2 − 1)(z 2 + 1) = (z − 1)(z + 1)(z + i)(z − i). Ce polynôme de degré 4 a 4 racines : ±1 et ±i. 2 p(z) := 2z 3 − 4z 2 + 2z = 2z(z 2 − 2z + 1) = 2z(z − 1)2 = 2(z − 0)(z − 1)2 . Ce polynôme de degré 3 a une racine simple (z1 = 0) et une racine double (z2 = 1). Polynômes à coefficients réels Les polynômes à coefficients réels possèdent la propriété p(z) = p(z) pour tout z ∈ C. Une conséquence de cela est que si w est une racine de p, alors w en est une aussi. Ainsi, les racines non réelles de p viennent toujours en paires de conjugués w, w. MAT-10363 – E08 A5 1/ 2 Exemple Sol. Factoriser p(z) := z 4 − 2z 3 + 11z 2 − 18z + 18 sachant que z1 := 1 + i est une racine de p. Solution clip. Si z1 est une racine de p alors z2 := z1 = 1 − i en est une aussi. Donc, p(z) = (z − (1 + i))(z − (1 − i))(z − z3 )(z − z4 ) = (z 2 − 2z + 2)q(z). En divisant, on trouve q(z) = z 2 + 9 = (z + 3i)(z − 3i). Donc, p(z) = (z − 1 − i)(z − 1 + i)(z + 3i)(z − 3i). Ici on a deux paires de racines conjuguées. Un polynôme de degré n à coefficients réels est dit réel irréductible s’il est impossible de l’écrire comme un produit de polynômes à coefficients réels dont les degrés sont strictement inférieurs à n et supérieurs ou égaux à 1. Par exemple, z 2 + 1 est irréductible car les seuls facteurs propres de celui-ci sont z ± i et ces polynômes ne sont pas à coefficients réels. Par contre, z 2 − 1 n’est pas irréductible car il peut s’écrire sous la forme z 2 − 1 = (z − 1)(z + 1). Notons qu’un polynôme réel quadratique est irréductible si et seulement si son discriminant est négatif. Une conséquence du fait que les racines des polynômes réels viennent en paires de conjugués est que tout polynôme réel peut s’écrire comme un produit de facteurs linéaires (degrés 1) et/ou quadratiques (degrés 2) réels irréductibles. Exemples 1 Dans l’exemple précédent, on a trouvé que z 4 − 2z 3 + 11z 2 − 18z + 18 = (z 2 − 2z + 2)(z 2 + 9). On a ici un produit de deux facteurs quadratiques réels irréductibles. Les discriminants sont respectivement -4 et -36. 2 z 4 − 1 = (z − 1)(z + 1)(z 2 + 1). On a un produit de deux facteurs linéaires réels irréductibles et un facteur quadratique réel irréductible. Exercices 1) Soit z1 ∈ C \ R. Montrer que p(z) := (z − z1 )(z − z1 ) est un polynôme quadratique réel. 2) Soit p(z) := z 2 + bz + c, où b, c ∈ R. Montrer que p est irréductible si et seulement si b2 − 4c < 0. 2) Si b2 − 4c ≥ 0, alors p(z) admet une racine réelle z1 et donc (z − z1 ) est un facteur de p(z), ce qui montre que p(z) n’est pas irréductible. Si b2 − 4c < 0, alors p(z) admet deux racines non réelles conjuguées z1 et z1 et p(z) = (z − z1 )(z − z1 ). Puisque la factorisation est unique, p(z) n’admet pas de facteur linéaire réel et donc il est irréductible. 1) p(z) = z 2 − (2Re z1 )z + |z1 |2 . Réponses MAT-10363 – E08 A5 2/ 2
