Thèse en cotutelle Impact d`un court-circuit interne au stator d`une

Université de Lille- Nord de France -UArtois
Université de Monastir
Faculté des Sciences Appliquées de Béthune
Ecole Nationale d’Ingénieurs
Ecole Doctorale Sciences pour l’Ingénieur ED SPI 72
de Monastir
Thèse en cotutelle
Présentée pour obtenir le grade de
Docteur de l’Université d’Artois et de l’Université de Monastir
Discipline : Génie Electrique
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Par
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Soutenu le 21 Juin 2011 devant le jury composé de :
G. Barakat
Rapporteur
H. Hénao
Rapporteur
J.F. Brudny
Directeur de thèse
M.N. Mansouri
Examinateur
M.F. Mimouni
Co-directeur de thèse
R. Romary
Co-encadrant
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Introduction Générale.............................................................................................................. 1
Chapitre 1 : Modèle Electromagnétique de la Machine Asynchrone .................................. 7
I-Modèle de l’induction d’entrefer utilisé ................................................................................ 10
I-1- Perméance d’entrefer .................................................................................................................. 11
I-2-Force magnétomotrice ................................................................................................................. 14
I-3-Induction d’entrefer ..................................................................................................................... 16
I-4-Phénomène de résonance de denture ........................................................................................... 21
II- Induction dans le fer ............................................................................................................ 22
II-1- Induction dans la culasse statorique .......................................................................................... 25
II-1-1- Expression de bns .............................................................................................................................. 26
s
II-1-2- Expression de btg ............................................................................................................................. 26
II-1-3- Application ....................................................................................................................................... 26
II-2- Induction dans la culasse rotorique ........................................................................................... 29
II-3- Forme de l’induction statorique et rotorique : ...................................................................................... 31
III-Modèle électrique de la machine asynchrone ..................................................................... 32
III-1-Calcul des courants statoriques et rotoriques pour une machine asynchrone présentant un
court-circuit entre spires statoriques.................................................................................................. 33
III-2- Prise en compte de l’effet des courants rotoriques dans le cas de la machine défectueuse ..... 36
IV-Application numérique ....................................................................................................... 37
IV-1- Courants statoriques et rotoriques en présence d’un court-circuit entre spires statoriques ..... 37
IV-1-1 Courants en fonction de rc ............................................................................................................... 38
7DEOHGHV0DWLqUHV
IV-1-2 Courants en fonction de kcc ............................................................................................................. 40
IV-1-3 Courants en fonction de la vitesse de rotation .................................................................................. 41
IV-2- Harmoniques d’induction ........................................................................................................ 43
V- Etude expérimentale ............................................................................................................ 47
Conclusion ................................................................................................................................ 49
Chapitre 2 : Etude des Pertes Fer ......................................................................................... 51
I-Modèle utilisé pour l’estimation des pertes fer...................................................................... 54
I-1 Difficultés liées au choix du modèle des pertes fer ..................................................................... 54
I-2 Modèle de pertes fer utilisé.......................................................................................................... 55
II- Application du modèle de pertes fer pour la machine saine................................................ 58
III-Application du modèle de pertes fer pour des machines asynchrones présentant une
résonance de denture d’ordre élevée ........................................................................................ 62
IV- Minimisation des pertes fer par choix de rds et rdr ............................................................. 64
V- Etude numérique ................................................................................................................. 70
VI- Application au cas de la machine en défaut ....................................................................... 78
VI-1 -Effets de rds et rdr sur les pertes fer de la machine défectueuse ........................................... 80
VI-2- Utilisation d’un modèle électromagnétique simplifié pour le calcul des pertes fer dans la
machine défectueuse.......................................................................................................................... 85
VII-Calcul des pertes fer en tenant compte de la forme réelle de l’entrefer ............................ 88
VIII- Etude expérimentale des pertes fer ................................................................................. 92
VIII-1- Bilan de puissance ................................................................................................................ 92
VIII-1-1- Pertes mécaniques (essai à vide) ................................................................................................... 92
VIII-1-2- Pertes Joules ................................................................................................................................. 93
VIII-2- Paramètres de la machine...................................................................................................... 94
VIII-3- Résultats ................................................................................................................................ 95
Conclusion ................................................................................................................................ 96
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Chapitre 3 : Etude du Bruit et des Vibrations..................................................................... 97
I-Origine des bruits d’une machine tournante ....................................................................... 100
II-Origine des déformations .................................................................................................. 102
II-1- Expression de la force radiale ................................................................................................. 102
II-2- Composantes actives des forces .............................................................................................. 104
III-Méthode de calcul ............................................................................................................. 105
IV- Résultats théorique........................................................................................................... 107
IV-1-Machine saine ......................................................................................................................... 109
IV-1-1-Spectre vibratoire ........................................................................................................................... 109
IV-1-2-Spectre acoustique .......................................................................................................................... 110
IV-2- Machine défectueuse ............................................................................................................. 111
IV-2-1-Spectre vibratoire ........................................................................................................................... 111
IV-2-2-Spectre acoustique .......................................................................................................................... 115
V-Relevés expérimentaux ...................................................................................................... 116
V-1- Machine saine ......................................................................................................................... 117
V-1-1-Spectre Vibratoire ............................................................................................................................ 117
V-1-2-Spectre acoustique ........................................................................................................................... 119
V-2- Machine défectueuse............................................................................................................... 121
V-2-1-Spectre vibratoire............................................................................................................................. 121
V-2-2-Spectre acoustique ........................................................................................................................... 123
VI- Optimisation du bruit et des vibrations ............................................................................ 125
VI-1-Bruit et vibrations de la machine saine avec les rds et rdr optimaux....................................... 126
VI-2-Bruit et vibrations de la machine défectueuse avec les rds et rdr optimaux ............................ 127
Conclusion .............................................................................................................................. 128
7DEOHGHV0DWLqUHV
Chapitre 4 : Corrélation avec le Champ Magnétique de Dispersion .............................. 130
I-Classification du champ magnétique de dispersion ............................................................. 133
II-Modélisation du champ magnétique de dispersion ............................................................ 135
III-Corrélation entre les pertes fer et les vibrations avec le champ magnétique de dispersion
dans le cas de la machine saine .............................................................................................. 137
III-1-Corrélation théorique .............................................................................................................. 137
III-2-Corrélation expérimentale....................................................................................................... 139
IV-Corrélation entre les pertes fer et les vibrations avec le champ magnétique de dispersion
dans le cas de la machine défectueuse ................................................................................... 141
IV-1- Corrélation théorique ............................................................................................................. 141
VI-2- Corrélation expérimentale ..................................................................................................... 143
Conclusion .............................................................................................................................. 145
Conclusion Générale ............................................................................................................ 146
Annexe 1 : Calcul des Courants Statoriques et Rotoriques pour une Machine
Asynchrone Présentant un Court-Circuit entre Spires Statoriques……………………151
Annexe 2 : Approche Purement Analytique du Calcul des Pertes Fer ........................... 158
Annexe 3 : Equations Analytiques du Bruit et des Vibrations ........................................ 167
Bibliographie......................................................................................................................... 177
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De nos jours l’énergie électrique est majoritairement consommée par les machines électriques. Le
moteur asynchrone est certainement la machine électrique la plus fréquemment utilisée dans
l’industrie. Cela tient, surtout s’il s’agit du moteur à cage, à sa grande robustesse, à la facilité avec
laquelle on peut le démarrer, et à son prix de revient. Ces machines sont soumises pendant leur
fonctionnement à plusieurs contraintes de différentes natures. L’accumulation de ces contraintes
provoque des défauts dans les différentes parties du moteur qui peuvent aller jusqu’à
l’endommagement total du moteur, ce qui paralyse le processus industriel et se répercute par
conséquent sur la production. Cependant, comme les préoccupations environnementales augmentent,
l’exigence en termes de fiabilité et de disponibilité sur ces machines ne cesse de croître aussi bien chez
les utilisateurs que chez les fabricants, ce qui nécessite une modélisation physique des phénomènes.
D’une manière classique l’étude de la machine asynchrone peut être entreprise à différents niveaux. La
première approche considère une machine idéalisée et s’intéresse au phénomène principal, celui qui
génère le couple mécanique utile. Dans une seconde approche, on s’intéresse aux phénomènes
secondaires qui ont un impact parfois très significatif au niveau de la fonction de base de la machine et
qui sont nombreux et parfois difficiles à appréhender. A la fin du 20ème siècle, l’exploitation des
innovations technologiques, telle que l’intégration des composants d’électronique de puissance,
ϯ
,QWURGXFWLRQ*pQpUDOH
l’utilisation des micro-processeurs et l’utilisation des outils informatiques développés, étaient à
l’origine d’un regain d’intérêt pour l’étude de ces phénomènes secondaires dans les machines
électriques. Notre travail s’inscrit dans cette seconde étape où les phénomènes secondaires qui nous
intéressent sont : les pertes fer, le bruit et les vibrations générés par la machine asynchrone et
également la corrélation de ces phénomènes avec le champ magnétique de dispersion.
Les pertes fer constituent un paramètre important en construction électrique à cause de leur
contribution considérable dans les pertes d’énergie totales des machines électriques ainsi que leur
impact direct sur le rendement. Ces pertes sont localisées dans le circuit magnétique qui constitue un
composant de base de la machine électrique dont il faut de plus en plus maitriser le comportement
pour répondre à des contraintes économiques, environnementales et de sureté de fonctionnement. Dans
les machines électriques, les matériaux magnétiques sont soumis à des sollicitations extrêmes qui sont
très différentes des conditions de caractérisation habituelles ou normalisées. Les caractéristiques
standards sont alors insuffisantes pour prédire le comportement du circuit magnétique, et l’évaluation
préalable des pertes fer, quantités qui obéissent à des règles différentes suivant que l’on considère des
champs unidirectionnels ou rotationnels, reste donc aujourd’hui un problème délicat que les
constructeurs de dispositifs électriques contournent par l’utilisation de facteurs correctifs empiriques.
Les investigations réalisées en ce domaine datent de [BURGWIN, 1941] [PRY, 1958] et continuent à
être évoquées par [BERTOTTI, 1988] [MTHOMBENI, 2003] [RAULIN, 2004] [BOGLIETTI, 2005].
Quant au bruit des machines électriques, critère de qualité de plus en plus important, il est au cœur des
préoccupations actuelles [LANFRANCHI, 2006]. Reconnu aujourd’hui comme une nuisance sonore et
environnementale, sa réduction à tous les niveaux (dans les entreprises, au sein des habitations…) fait
l’objet de recherches constantes [CAMERON, 1992] [POLLOCK, 1995] [CORTON, 2001]
[CASSORET, 2003] [MININGER, 2008] pour améliorer les conditions de vie des personnes et la
maintenance des appareils et des équipements. Les vibrations, à l’origine du bruit peuvent engendrer
des sollicitations mécaniques responsables d’une usure prématurée, non seulement de la machine
génératrice de ce bruit, mais aussi des structures environnantes soumises à ces vibrations. L’étude du
bruit et des vibrations des machines tournantes est donc particulièrement importante malgré que ces
phénomènes sont peu enseigné parce qu’ils renvoient à de nombreux domaines tels que la mécanique,
l’acoustique, la mécanique de fluide et bien sur l’électrotechnique. L’évocation de cette problématique
remonte au début du 20 ème siècle grâce aux travaux de G. Kron [KRON, 1931] puis les travaux de
Jordan [JORDAN, 1950] [JORDAN, 1951], P.L. Timar [TIMAR, 1989] [TIMAR, 1992] et P.
François [FRANÇOIS] qui ont permis de mieux appréhender l’étude de bruit et des vibrations des
machines électriques.
ϰ
,QWURGXFWLRQ*pQpUDOH
Des travaux de recherche entrepris au LSEE ont traité du problème des pertes fer, de bruit et des
vibrations dans le cas des machines électriques symétriques alimentées par des systèmes triphasés
équilibrés, [CASSORET, 1996] [LECOINTE, 2003] [ROMARY, 2007]. Différents types de machines
électriques ont été traités [NABILI, 1999] [CASSORET, 2000] [CORTON, 2000]. Des résultats
probants ont par ailleurs été obtenus quant à l’impact des composantes harmoniques d’induction
présentes dans l’entrefer sur les pertes fer et les vibrations ainsi que la réduction du bruit par
l’injection d’harmoniques de courant directement dans les phases de la machine ou dans des
enroulements auxiliaires.
L’originalité de notre travail réside dans l’étude des phénomènes générés par la denture dans des cas
plus complexes de fonctionnement de la machine asynchrone. On s’intéresse plus particulièrement à la
machine présentant un défaut de court-circuit entre spires statoriques [MAHYOB, 2009]. Ce défaut est
dû à un défaut d’isolation entre deux conducteurs d’un enroulement statorique. Le courant de courtcircuit résultant peut être la cause d’un emballement thermique qui peut se propager rapidement au
reste du bobinage. Dans ce cas on parle de court-circuit franc. Dans d’autres cas, le court-circuit
présente une impédance de défaut qui peut être assimilée à une résistance et qui permet de limiter le
courant de court-circuit.
Les objectifs de notre étude sont multiples. Premièrement on va s’intéresser à l’étude de l’effet du
défaut de court-circuit entre spires statoriques sur les phénomènes générés par les harmoniques de
denture de manière à pouvoir apprécier l’importance de ce dernier sur les dégradations des
performances de la machine asynchrone. Le deuxième point consiste à étudier la possibilité de
minimiser les pertes fer ainsi que les vibrations en ajustant quelques paramètres géométriques de la
machine lors de sa conception évitant ainsi le recours à certains facteurs extérieurs comme l’injection
d’harmoniques de courant pour réduire le bruit [LECOINTE, 2003]. Le dernier point important
consiste à corréler les pertes fer et les vibrations avec le champ magnétique de dispersion. Cette
corrélation se justifie par le fait que ces phénomènes ont pour origine l’induction d’entrefer. L’intérêt
est d’avoir des informations relatives aux pertes fer et aux vibrations de la machine asynchrone, saine
et défectueuse, par une simple analyse de son champ de dispersion.
La méthode d’étude que nous allons appliquer est particulière. C’est une méthode analytique qui a été
développée par J.F. Brudny [BRUDNY, 1991] pour l’étude des harmoniques de couple de la machine
asynchrone. Elle se base sur l’expression mathématique de la perméance d’entrefer et de la force
magnétomotrice. A l’aide des outils informatiques le modèle analytique est programmé pour
déterminer les harmoniques d’induction de l’entrefer. Cette induction conduit tout d’abord à calculer
la répartition de l’induction dans les culasses statorique et rotorique et permet par la suite de
ϱ
,QWURGXFWLRQ*pQpUDOH
déterminer les pertes fer dues à chaque composante harmonique d’induction. Dans un deuxième temps
elle conduit au calcul des forces radiales appliquées au stator. Le calcul du bruit et des vibrations,
harmonique par harmonique sera alors immédiat grâce à un modèle mécano-acoustique.
Ce mémoire est structuré en quatre chapitres. Le premier chapitre décrit le modèle électromagnétique
de la machine asynchrone. Il présente tout d’abord les équations analytiques permettant de calculer
l’induction d’entrefer en évoquant le phénomène de résonance de denture. Ensuite, il aborde la
méthode de calcul de l’induction dans les culasses statorique et rotorique à partir de l’induction dans
l’entrefer. Il détaille également le modèle électrique qui permet de calculer les courants statoriques et
rotoriques de la machine asynchrone en présence d’un court-circuit entre spires statoriques. Enfin, il
présente quelques résultats issus des modèles électrique et électromagnétique utilisés.
Le deuxième chapitre est dédié au calcul des pertes fer. Il décrit d’abord le modèle de pertes fer
utilisés en détaillant la décomposition de ces pertes. Il présente ensuite des résultats de l’application de
ce modèle sur une machine asynchrone saine. Par la suite, il illustre des résultats relatifs à l’application
du modèle de pertes fer sur la machine présentant un court-circuit entre spires statoriques. Il aborde
également la réduction des pertes fer par l’ajustement de certains paramètres géométriques dans le cas
d’une machine asynchrone saine puis d’une machine défectueuse. Une partie de ce chapitre est
également consacrée à une étude numérique pour vérifier quelques résultats théoriques concernant
l’annulation de certaines composantes d’induction. Enfin, le chapitre expose des résultats
expérimentaux issus des mesures de pertes fer pour valider les résultats théoriques.
Le troisième chapitre porte sur le bruit et les vibrations de la machine asynchrone. Il commence par
exposer le modèle électromagnétique qui conduit au calcul des forces radiales appliquées au stator.
L’association de ce modèle au modèle mécano-acoustique permettant de calculer le bruit et les
vibrations de la machine asynchrone est décrite en annexe. Les résultats théoriques et expérimentaux
concernant le bruit et les vibrations de la machine saine et défectueuse sont ensuite présentés. Enfin,
un cas particulier de machine asynchrone avec des paramètres géométriques optimaux permettant de
minimiser le bruit et les vibrations est traité.
Le quatrième et dernier chapitre s’intéresse à la corrélation entre les pertes fer, les vibrations et le
champ de dispersion. Il présente d’abord la relation entre l’induction d’entrefer et le champ
magnétique extérieur. Ensuite il illustre des résultats théoriques et expérimentaux qui permettent de
corréler les trois phénomènes cités.
Le manuscrit se termine par une conclusion générale rassemblant une synthèse des résultats et une
présentation des perspectives à envisager lors d’études complémentaires.
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&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
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&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
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L’effet de denture, à l’origine de la présence d’harmoniques dans l’induction d’entrefer d’une machine
électrique, dépend des paramètres de construction de la machine, notamment de la géométrie des
encoches. Ces harmoniques moyennes fréquences, caractérisés par des amplitudes faibles et des
fréquences relativement élevées, apparaissent également au niveau de l’induction dans les culasses
statorique et rotorique. Des études antérieures ont montré que ce phénomène avait un impact non
négligeable sur les pertes fer, le bruit et les vibrations générés par la machine tournante [NABILI,
1999].
L’étude de l’effet de la denture dans les machines tournantes saines a fait l’objet de plusieurs
recherches. Cependant, mis à part dans le cadre de la détection des défauts par mesure de champ
extérieur [THAILLY, 2007a], l’analyse de ce phénomène dans une machine présentant un défaut n’a
pas été beaucoup traitée auparavant. C’est dans ce contexte que se situe notre travail dont l’objectif est
d’étudier l’effet engendré par un défaut de court-circuit entre spires statoriques sur les harmoniques
d’induction et leurs conséquences sur les pertes fer et les vibrations de la machine tournante. Cela
peut permettre de redéfinir les conditions d’utilisation de la machine dans le cas d’un défaut naissant.
ϵ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
La diversité des outils de calcul a engendré une diversité des méthodes de modélisation des machines
électriques que l’on peut décomposer en méthodes numériques et analytiques. Les méthodes
numériques présentent un inconvénient qui réside dans la nécessité de ressources informatiques
importantes en termes de temps de calcul et de capacité mémoire surtout quand on modélise une
machine en défaut (pas de symétrie de la géométrie) ou lorsque la prise en compte des phénomènes 3D
est nécessaire. Notons aussi que la qualité des résultats de calcul est tributaire de la qualité du maillage
ce qui oblige souvent l’utilisateur à avoir une connaissance à priori du résultat pour valider son
modèle. Les méthodes analytiques présentent également des inconvénients. En effet, leur mise en
œuvre, consistant à écrire les équations régissant le fonctionnement de la machine, n’est pas aisée. En
outre, l’utilisation d’hypothèses simplificatrices afin d’obtenir des systèmes résolvables se répercutent
forcément sur la précision des résultats de calcul. Cependant, ces méthodes présentent l’avantage
d’être flexible et exploitable pour répondre à plusieurs questions concernant la machine électrique.
Elles permettent aussi de retrouver les phénomènes prépondérants et d’apprécier facilement l’effet
d’un paramètre géométrique ou d’alimentation sur une grandeur étudiée.
Dans le travail présenté dans ce mémoire, nous avons développé une méthode semi-analytique basée
sur la programmation des équations analytiques régissant le fonctionnement de la machine
asynchrone. Même si cette méthode n’est pas basée sur l’utilisation d’outils de calcul informatique très
développés, l’apport de ces outils a permis de faciliter l’exploitation de la méthode analytique.
Dans ce premier chapitre nous présentons le modèle électromagnétique de la machine asynchrone. Ce
modèle permet de calculer l’induction d’entrefer en partant des expressions de la perméance d’entrefer
et de la répartition de la force magnétomotrice dans l’entrefer. En exploitant l’induction d’entrefer et
en utilisant les conditions aux limites adéquates sur les périphéries du stator et du rotor, nous calculons
l’induction dans les culasses statorique et rotorique qui sera nécessaire pour déterminer les pertes fer.
Nous présentons par la suite le modèle électrique de la machine asynchrone en présence d’un défaut de
court-circuit entre spires statoriques, permettant de calculer les courants statoriques (y compris le
courant dans les conducteurs en court-circuit) et rotoriques. Ces courants seront utilisés pour calculer
l’induction d’entrefer de la machine défectueuse. La dernière partie de ce chapitre est consacrée à la
présentation des résultats de simulation et des résultats expérimentaux.
,0RGqOHGHO·LQGXFWLRQG·HQWUHIHU
0RGqOHGHO·LQGXFWLRQG·HQWUHIHUXWLOLVp
XWLOLVp
On considère une machine asynchrone à cage dont les enroulements statoriques à p paires de pôles
sont parcourus par des courants sinusoïdaux de pulsation ω . Les hypothèses simplificatrices utilisées
pour calculer l’induction d’entrefer sont les suivantes :
• Nous supposons que les lignes de champ dans l’entrefer sont radiales en considérant une
profondeur fictive relative d’encoche [CARTER, 1901] égale au cinquième de son ouverture.
ϭϬ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
• La perméabilité relative du fer est suffisamment élevée permettant ainsi de négliger les
ampères-tours consommés dans le fer par rapport à ceux consommés dans l’entrefer. Cela
suppose donc que la saturation dans le fer, sauf indication contraire, est négligée.
• Nous supposons que l’isthme des encoches rotoriques est saturé ce qui permet de considérer
des encoches ouvertes.
L’induction d’entrefer be s’obtient en multipliant la perméance d’entrefer Λ par la force
magnétomotrice résultante générée par les armatures statorique et rotorique qui apparaît à ses bornes :
be = Λ ( ε s + ε r )
(1.1)
ε s est la f.m.m générée par les courants statoriques tandis que ε r résulte de la circulation des courants
rotoriques. D’après la loi de Lenz les composantes d’induction générées par le rotor s’opposent à la
cause qui leur donne naissance. Si les courants statoriques sont supposés sinusoïdaux, les composantes
d’induction rotoriques ne trouvent pas toutes leurs homologues au niveau des composantes d’induction
statoriques. Les quantités non compensées vont engendrer au stator des courants harmoniques qui
créeront les composantes d’induction statoriques manquantes de manière à ce que, globalement, sur
l’ensemble des composantes statoriques et rotoriques, le phénomène de réaction magnétique soit
vérifié. Les résultats présentés dans [BRUDNY, 1996] [CASSORET, 1996] montrent que le nombre
de composantes non compensées, est relativement faible et que ces quantités ont un impact mineur sur
le contenu harmonique de l’induction d’entrefer. Par conséquent, pour caractériser ce contenu, il suffit
de considérer les effets générés par le fondamental des courants statoriques lors d’un fonctionnement à
vide de la machine. En repérant le fonctionnement à vide par l’indice inférieur « 0 », l’expression de
l’induction d’entrefer donnée par (1.1) devient dans ce cas:
b e = Λε 0s
(1.2)
ǦͳǦ‡”±ƒ…‡†ǯ‡–”‡ˆ‡”
L’expression de la perméance d’entrefer de la machine asynchrone a fait l’objet de plusieurs travaux
antérieurs. P.L. Timar [TIMAR, 1989] a négligé l’interaction entre la denture statorique et rotorique.
Quant à P.L. Alger [ALGER, 1970], il prend en compte tous les effets en ne retenant que certains
termes de la série de perméance (composantes fondamentales). Cependant, les composantes
d’induction obtenues à partir du calcul analytique seront définies avec d’autant plus de précision que
l’expression de la perméance d’entrefer reflétera la structure réelle. C’est pour cette raison que dans
notre étude, nous avons exploité les travaux de J.F. Brudny sur la perméance d’entrefer de la machine
asynchrone où l’interaction entre les dentures statorique et rotorique est prise en compte [BRUDNY,
1991]. Il apparaît de plus, d’après les études effectuées sur la réduction active du bruit d’origine
magnétique des machines asynchrones [BELKHAYAT, 1994] ainsi que sur la définition des pertes fer
ϭϭ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
engendrées par la denture [NABILI, 1998], que ce sont les harmoniques de perméance de rang plus
élevé, traduisant les interactions entre les dentures statorique et rotorique, qui sont à l’origine des
effets prépondérants. Pour modéliser la perméance d’entrefer on considère des encoches droites
ouvertes à profil rectangulaire comme le montre la Figure 1.1. On définit un axe d s qui correspond à
l’axe de la phase 1 du stator et un axe d r confondu avec l’axe d’une dent du rotor. Le décalage
angulaire entre les deux référentiels, noté θ , est défini par :
θ=
(1 − g ) ωt + θ
p
(1.3)
0
g est le glissement, θ0 correspond à θ à t = 0 . Nous prendrons comme origine des temps l’instant où
le courant est maximum dans la phase 1 du stator. Un point M quelconque de l’entrefer est repéré par
α s dans le référentiel statorique et α r dans le référentiel rotorique.
Axe de référence statorique
αs
αr Stator
d es
ds
les lds M
ler e
ldr d er
dr
Rotor
θ
Axe de référence rotorique
Figure 1. 1. Représentation développée de la denture statorique et rotorique
La perméance d’entrefer par unité de surface Λ est définie par :
Λ=
µ0
eλ (α s ,θ )
(1.4)
La longueur eλ (α s ,θ ) dépend de α s et de θ . La décomposition en série de Fourier de 1 / eλ (α s ,θ )
met en évidence que Λ , définie par rapport à d s , est composée de quatre termes :
ϭϮ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
+∞
+∞
ks =1
kr =1
Λ = Λ 00 + ¦ Λ ks 0 cos ( k s N tsα s ) + ¦ Λ 0 kr cos ( kr N trα s + kr N trθ )
+∞ +∞
+
{
1
¦ ¦ Λ k k cos ª¬( ks Nts + kr Ntr )α s + kr Ntrθ º¼ + cos ª¬( ks Nts − kr Ntr )α s − kr Ntrθ º¼
2 ks =1 kr =1 s ¨ r
}
(1.5)
= Λ 00 + Λ s (α s ) + Λ r (α s ,θ ) + Λ sr (α s ,θ )
Λ 00 est un terme constant,
Λ s (α s )
est un terme qui ne dépend que de la denture statorique,
Λ r (α s ,θ ) est un terme qui ne dépend que de la denture rotorique, Λ sr (α s ,θ ) est un terme qui prend
en compte les interactions entre les dentures statorique et rotorique. N ts et N tr définissent,
respectivement, le nombre total d’encoches statoriques et rotoriques. A ces grandeurs sont associées
celles nommées N s et N r , qui correspondent aux nombres d’encoches statoriques et rotoriques par
paire de pôles : N s = N ts / p et
N r = N tr / p . k s et kr sont des coefficients qui résultent de la
décomposition en série de Fourier. Les coefficients de perméance Λ 00 , Λ ks 0 , Λ 0 kr et Λ ks kr sont
dépendants de la géométrie de la denture de la machine. Pour les définir introduisons les paramètres
géométriques suivants :
•
les , lds : respectivement les largeurs d’une encoche et d’une dent statorique.
•
d es : la profondeur fictive d’une encoche statorique définie par : d es = les / 5 .
•
rds : le rapport de denture statorique : rds = lds / lds + les .
•
f (ks ) : la fonction de denture statorique : f (ks ) = sin(ks rdsπ ) / 2k s .
•
ler , ldr , d er , rdr , f (kr ) : les quantités analogues relatives au rotor.
•
eM : l’épaisseur maximale fictive d’entrefer : eM = e + d es + d er .
•
e s , e r : des épaisseurs fictives intermédiaires définies respectivement par : e + d es et e + d er .
(
)
Compte tenu de ces quantités, les coefficients de perméance s’expriment alors de la manière suivante :
½
d es rds d er rdr d es d er (e + eM )rds rdr º
«1 + r + s +
» = µ0 A00 °
s r
eM ¬
e
e
ee e
¼
°
°
s
r
r
2 µ0 d e ª d e (e + eM )rd º
Λ ks 0 =
1+
» f ( ks ) = µ0 As 0 f (k s ) °°
ee s
π eM e r «¬
°
¼
¾
r
s
s
2µ0 d e ª d e (e + eM )rd º
°
1+
Λ 0 kr =
» f (kr ) = µ0 A0 r f (kr ) °
s «
r
ee
π eM e ¬
¼
°
s r
°
4 µ0 d e d e (eM + e)
f (ks ) f (kr ) = µ0 Asr f (k s ) f (kr ) °
Λ ks kr =
s r
2
π ee e eM
°¿
Λ 00 =
µ0 ª
ϭϯ
(1.6)
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
ǦʹǦ‘”…‡ƒ‰±–‘‘–”‹…‡
Le travail présenté dans ce mémoire porte essentiellement sur l’impact d’un défaut sur les phénomènes
générés par la denture. Il est donc nécessaire d’introduire un modèle électromagnétique qui permet de
prendre en compte des fonctionnements non conventionnels, notamment le défaut de court-circuit
entre spires statoriques. Pour ce faire nous avons élaboré un modèle électromagnétique de la machine
asynchrone basé sur la prise en compte séparée de chaque encoche statorique. Nous calculons la force
magnétomotrice ε sj0 générée par les conducteurs logés dans chaque encoche j et qui sont parcourus
par un courant sinusoïdal i sj0 donné par (1.7) :
i sj 0 = 2 I sj 0 sin (ωt + ϕ j )
(1.7)
Les phases ϕ j sont issues de la simulation électrique qui sera présenté par la suite. Elles doivent
respecter le choix pris pour l’origine des temps et également prendre en compte le sens du courant
dans les conducteurs retour d’une bobine élémentaire. La loi d’évolution de ε sj0 est donnée par la
Figure 1.2, où l’ouverture de l’encoche correspond à un angle 2δ tel que δ = (1 − rds ) π / N ts [BINNS,
1973]. Dans cette zone la variation de ε sj0 est linéaire car l’encoche est rectangulaire. β js permet de
localiser l’encoche statorique j par rapport à d s . Le nombre de tours d’une phase sous une paire de
pôle vaut n s . Cela signifie que chaque encoche contient ne = n s / pm s conducteurs où m s représente
le nombre d’encoches par pôles et par phase. Créer un court-circuit entre spires statoriques devient
simple à prendre en compte, il suffit de modifier le courant i sj0 dans l’encoche concernée par le défaut
en prenant en compte la part du nombre de conducteurs en court-circuit dans l’encoche parcourus par
le courant de défaut. Le développement en série de Fourier de ε sj0 est définie par :
ε
s
j0
((
§ •‹ h α s − β s
j
= s ¦ Γh ¨
m π h =1 ¨
h
©
n s i sj 0
+∞
) ) ·¸
¸
¹
(1.8)
Γ h donné par (1.9) est un coefficient qui traduit la loi d’évolution linéaire de la f.m.m sur la largeur de
l’encoche. h représente le rang de l’harmonique d’espace de la f.m.m.
Γh =
((
(
)
h 1 − rds π Ȁ N ts
ϭϰ
)
•‹ h 1 − rds π Ȁ N ts
)
(1.9)
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
En remplaçant i sj0 par son expression donnée par (1.7), ε sj0 peut s’écrire sous la forme :
n s I sj0
+∞
Γh
…‘• ωt − hα s + ȋϕ j + hβ js Ȍ
2m π h =−∞ h
s
j0
ε =
¦
s
(
)
(1.10)
ȋ h≠0Ȍ
ds
n s i sj0
2m s
ε sj0 β js s
j
β −π −
n s i sj0
β +π αs
2δ 2m s
s
j
Figure 1. 2. Force magnétomotrice générée par les conducteurs d’une encoche statorique
L’expression globale de la f.m.m ε 0s générée par l’ensemble du stator est obtenue par sommation des
quantités ε sj0 :
N ts
N ts
ε 0s = ¦ ε sj 0 = ¦
j =1
j =1
n s I sj 0
+∞
Γh
…‘• ωt − hα s + ȋϕ j + hβ js Ȍ
h
2m π h =−∞
¦
s
(
)
(1.11)
ȋ h ≠0 Ȍ
ε 0s peut encore s’exprimer de la façon suivante :
h =+∞
ε 0s =
¦ εˆ
h
h =−∞
( h ≠ 0)
cos (ωt − hα s + φh )
(1.12)
εƶh et φh sont issus de la résultante, à h donné, de la sommation sur j. Ces quantités peuvent être
déterminées en associant les grandeurs sinusoïdales à leurs équivalents complexes de sorte que :
§ h =+∞
·
i (ω t − hα s ) ¸
¨
ε = R ¦ ε he
¨ h =−∞
¸
¨ ( h ≠ 0)
¸
©
¹
s
0
(1.13)
avec :
ε h = εˆh eiφ =
h
ns Γh
¦I
2m π h
s
ϭϱ
Nts
j =1
s i (ϕ j + h β j )
j0
e
(1.14)
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
i est le complexe tel que ( i 2 ) = −1 , R indique que l’on considère la partie réelle de la quantité
considérée. Pour une machine saine h = (1 + 6k ) p où k peut prendre des valeurs de −∞ à +∞ .
Ǧ͵Ǧ†—…–‹‘†ǯ‡–”‡ˆ‡”
En multipliant (1.5) par (1.12) l’induction d’entrefer peut avoir quatre formes :
•
Les termes dépendant du terme constant Λ 00 de la perméance d’entrefer :
+∞
¦ εƶ
b00e = Λ 00
h
(
…‘• ωt − hα s + φh
h =−∞
ȋ h≠0Ȍ
•
εƶh
+∞
¦
h =−∞
ȋ h≠0Ȍ
2
+∞
¦Λ
ks =−∞
ks 0
(
…‘• ωt − ȋ h + ks N ts Ȍα s + φh
)
(1.16)
Les termes dépendant de la denture rotorique :
εƶh
+∞
b0ekr =
•
(1.15)
Les termes dépendant de la denture statorique :
bkes 0 =
•
)
¦
2
h =−∞
ȋ h ≠0 Ȍ
+∞
¦Λ
kr =−∞
0 kr
(
…‘• ωt − ȋ h + kr N tr Ȍα s + φh + kr N trθ
)
(1.17)
Les termes tenant compte de l’interaction entre les dentures statorique et rotorique :
+∞
bkes kr =
¦
εƶh
h =−∞
ȋ h ≠0 Ȍ
4
+∞
+∞
¦ ¦Λ
ks =−∞ kr =−∞
ks kr
(
…‘• ωt − ȋ h + ks N ts + kr N tr Ȍα s + φh + kr N trθ
)
(1.18)
L’expression complète de l’induction d’entrefer générée par les courants statoriques b e s’obtient en
additionnant l’ensemble des quatre termes précédents et elle peut s’exprimer avec une expression
unique dans le référentiel statorique :
be =
¦ Bˆ
e
hks kr
(
cos ωt − (h + k s Nts + kr N tr )α s + φh + kr N trθ
)
(1.19)
hks kr
En remplaçant θ par son expression donnée par (1.3), (1.19) devient :
be =
¦ Bƶ
e
hks kr
hks kr
(
…‘• ª¬1 + kr N r ȋ1 − g Ȍº¼ ωt − ȋ h + ks N ts + kr N tr Ȍα s + φhks r
)
(1.20)
Bˆhke s kr est l’amplitude de b e correspondant à une composante élémentaire d’induction d’ordre
( h, k s , k r )
et φhks r est sa phase. En introduisant une nouvelle variable Λ 'ks kr définie dans le Tableau 1.1
Bˆhke s kr et φhks r sont définis par :
ϭϲ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
­° Bˆ hke k = Λ 'k k εˆh
s r
s s
® s
r
°̄φhkr = φh + kr N t θ 0
(1.21)
ks
kr
Λ 'ks kr
0
0
Λ 00
≠0
0
1
Λk 0
2 s
0
≠0
1
Λ 0 kr
2
≠0
≠0
1
Λk k
4 sr
Tableau 1. 1. Valeur de Λ ks kr en fonction des valeurs de k s et kr
Au vu de l’expression (1.20) on peut définir le rang fréquentiel K s et le nombre de paires de pôles
H s qui est une déclinaison de la prise en compte des harmoniques d’espace et de denture, d’une
composante de l’onde d’induction. K s et H s sont définis par :
­° K s = 1 + kr N r (1 − g )
® s
s
r
°̄ H = h + k s N t + kr N t
(1.22)
L’induction d’entrefer peut alors s’exprimer sous la forme suivante:
be =
¦ Bˆ
s
H K
s
e
H sKs
(
cos K sωt − H sα s + φHs s K s
)
(1.23)
L’onde d’induction se compose, d’un point de vue temporel, d’un fondamental à la fréquence des
courants d’alimentation (kr = 0) et d’une infinité
d’harmoniques (kr ≠ 0) . Chaque composante
fréquentielle, à kr donné, résulte de la somme d’une infinité de termes de polarités différentes. Une
composante fréquentielle à kr donné, de polarité H s résulte d’une infinité de combinaisons de h et
ks vérifiant la relation h + k s N ts = H s − kr N tr . Bˆ He s K s est l’amplitude de b e correspondant à une
composante d’induction d’ordre
(H
s
, K s ) . Elle résulte de la somme de toutes les composantes
élémentaires d’induction qui présentent la même polarité H s à K s donné. Ainsi, est défini le terme
"raie de denture rotorique" ou "harmonique de denture rotorique" de l’onde d’induction. Cet
harmonique correspond à une composante de fréquence K s f donnée et résulte, par conséquent, d’une
ϭϳ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
sommation de termes présentant des polarités H s différentes : b(eK s ) = ¦ b(eH s , K s ) . Les raies de denture
Hs
rotoriques apparaissent toujours par paire, à plus ou moins la fréquence d’alimentation autour d’une
valeur définie par kr N r (1 − g ) f .
Dans la méthode semi-analytique utilisée nous adoptons, de la même façon que pour la f.m.m, une
notation complexe en introduisant la quantité complexe bHe s K s . L’induction d’entrefer b e donnée par
(1.23) s’écrit alors sous cette forme :
s
s s ·
§
be = R ¨ ¦ bHe s K s ei ( K ωt − H α ) ¸
© HsKs
¹
(1.24)
avec :
bHe s K s = Bˆ He s K s e
iφ s s
H Ks
(1.25)
Cette notation permettra d’effectuer les sommations vectorielles des composantes élémentaires. Avec
le modèle semi-analytique développé il est possible d’introduire la forme matricielle ª¬bHe s K s º¼
représentée sur la Figure 1.3 qui comprend tous les termes bHe s K s . Chaque élément de la matrice dont
la ligne correspond à une valeur de K s notée K ls et la colonne correspond à une valeur de H s notée
H cs , indique une composante d’induction élémentaire à la fréquence fK ls et de polarité H cs .
L’organigramme qui décrit la méthode de calcul de ª¬bHe s K s º¼ est donné par la Figure 1.4.
s
− H max
s
H max
H cs ª¬bHe s K s º¼ = s
− K max
bHe s K s Kls s
K max
Figure 1. 3. Forme matricielle de ª¬bHe s K s º¼
Expression de l’induction d’entrefer dans le référentiel rotorique
Pour exprimer l’induction statorique b e dans le référentiel rotorique nous utilisons le changement de
variable défini par α s = α r + θ . Dans ce cas, l’induction b e , notée b 'e , s’écrit sous la forme suivante :
b 'e =
¦ Bˆ
s
H K'
s
e
H s K 's
(
cos K 's ωt − H sα r + φ 'sH s K 's
ϭϴ
)
(1.26)
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
avec :
­° K 's = 1 − ( h / p + k s N s ) (1 − g )
® s
s
s
°̄φ 'H s K s = φH s K s − H θ 0
ϭϵ
(1.27)
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
DEBUT
Insertion
desparamètres
paramètresphysiques
physiques et
Insertion
des
et
géométriques
de
la
machine
géométriques de la machine
m=15, N ts =48, Ntr =32
x=1
h=x-(m+1)
j =1
Calcul de ε h
j=j+1
j < Nts
OUI
NON
y=1 ; n=6
kr =y-(n+1)
s
K = 1 + kr N r (1 − g ) x=x+1
z= 1
ks = z − (n + 1) ; H s = h + ks N ts + kr N tr ; Λ 'ks kr ; bHe s K s
y=y+1
z=z+1
z < 2n+1
OUI
NON
y < 2n+1
OUI
NON
x < 2m+1
OUI
NON
FIN
Figure 1. 4. Organigramme de calcul de bHe s K s
ϮϬ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
ǦͶǦŠ±‘°‡†‡”±•‘ƒ…‡†‡†‡–—”‡
Le phénomène de résonance de denture des machines asynchrones, mis en évidence par J.F. Brudny
[BRUDNY, 1997], se traduit par une amplitude relativement importante de certaines composantes de
f.e.m induites au rotor. La f.e.m induite au niveau d’une barre rotorique se calcule à partir de la
relation Lb vb 'e . Lb est la longueur de la barre, v est la vitesse linéaire de déplacement par rapport au
conducteur rotorique d’une composante considérée de l’onde d’induction d’entrefer . Nous partons de
l’expression de b 'e donnée par :
b 'e =
¦ Bˆ
e
hks K r
hks kr
( (
)
cos ª 1 − h / p + ks N s (1 − g ) ωt − h + k s Nts + kr Ntr α r + φ 'sH s K s º
¬
¼
)
(
)
(1.28)
Soit R le rayon moyen au niveau de l’entrefer. La vitesse v s’écrit :
§ 1 − ( h / p + k s N s ) (1 − g ) ·
¸
v = Rω ¨
¨
¸
h + k s N ts + k r N tr
©
¹
(1.29)
Une composante de f.e.m induite au niveau d’une barre localisée par l’abscisse angulaire β jr associée
à une composante d’induction d’ordre ( h, ks , kr ) est donnée par la relation :
ehkr s kr = eˆhkr s kr cos ª¬( (1 − ( h / p + k s N s )(1 − g ) ) ω t − ( h + k s N ts + k r N tr ) β rj + φ 'sH s K s º¼
(1.30)
avec :
ª1 − ( h / p + k s N s )(1 − g ) º ˆ e
eˆhkr s kr = Lb Rω «
» Bhks kr
h + k s N ts + k r N tr
¬
¼
(1.31)
Ce phénomène de résonance de denture, vérifié dans le cas de la machine saine, est explicité en
analysant l’équation (1.31). Le dénominateur de cette équation correspond au nombre de paires de
pôles de l’onde d’induction. Il peut prendre des valeurs élevées suivant les valeurs prises par h , ks et
kr . Cela réduit donc l’amplitude de la f.e.m induite correspondante. Cependant, le dénominateur peut
prendre une valeur minimale : h + k s N ts + k r N tr = p obtenue avec la combinaison h = p , ks = 0 et
kr = 0 qui correspond au fondamental. Pour les harmoniques, on peut aussi obtenir une valeur
minimale du dénominateur en choisissant h = p et k s N s + k r N r = 0 avec ks et kr ≠ 0 , ce qui est
possible compte tenu des valeurs négatives que peuvent prendre ks et kr . Nous pouvons également
obtenir une valeur minimale du dénominateur pour d’autres combinaisons possibles, cependant le
choix de h = p correspond à la polarité du fondamental de la force magnétomotrice statorique et fait
apparaître l’amplitude la plus élevée de Bˆhke s kr et donc la composante prédominante de la f.e.m
Ϯϭ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
rotorique. C’est donc ainsi qu’on obtient le phénomène de résonance de denture aux fréquences
rotoriques suivantes :
f r = (1 − (1 ± ςΜ )(1 − g ) ) f
(1.32)
ς est un entier, Μ est la plus petite valeur telle que : Μ = ks N s = kr N r . Le phénomène de
résonance de denture est lié à des composantes d’induction dont les rangs vérifient la
relation k s N s + kr N r = 0 .Dans ce cas l’amplitude de l’harmonique de la f.e.m rotorique s’écrit sous la
forme suivante :
eˆςrΜ =
Lb Rω
e
ª1 − (1 ± ςΜ )(1 − g ) º¼ Bˆ pk
s kr
p ¬
(1.33)
Physiquement, ce phénomène de résonance de denture est lié à des composantes d’induction
d’amplitudes non négligeables, ayant des vitesses de rotation élevées susceptibles d’induire des f.e.m.
harmoniques d’amplitudes élevées. Précisons aussi que le rang de perméance qui entre en jeu dans la
e
définition de Bˆ pk
correspond au terme relatif à l’interaction des dentures statoriques et rotoriques,
s kr
qui est généralement négligé dans les travaux utilisant une approche analytique [ALGER, 1970].
,,
,,,QGXFWLRQGDQVOHIHU
,QGXFWLRQGDQVOHIHU
L’étude des phénomènes générés par la denture d’une machine asynchrone, à savoir les pertes fer, le
bruit et les vibrations ainsi que le flux de dispersion, qui seront développés dans les chapitres suivants,
se base essentiellement sur la détermination de l’induction d’entrefer comme première étape. La
seconde étape consiste à modéliser les autres parties de la machine (le fer statorique et rotorique) qui
sont concernées par les phénomènes considérés ou de son environnement. Pour le calcul du bruit et
des vibrations, il est nécessaire de considérer un modèle mécanique que nous associons au modèle
électromagnétique de la machine. Pour les pertes fer, nous déterminons la répartition du champ dans le
fer, que nous associons à un modèle de pertes fer. Dans cette partie, nous allons nous intéresser à la
répartition de l’induction dans les armatures statorique b s et rotorique b r . Plusieurs méthodes de
résolution analytiques ont été développées [DU, 1990] [CANOVA, 2002] dans le cas de géométries
simples, où des hypothèses simplificatrices sont adoptées. Mais quand il s’agit d’une géométrie réelle
d’une machine électrique, le problème devient plus complexe et les développements analytiques
deviennent très lourds. C’est pour cette raison que plusieurs auteurs ont recours aux méthodes
numériques [KAMEARI, 1988] qui, à part leur efficacité dans l’étude des géométries complexes,
permettent de valider certaines hypothèses simplificatrices utilisées dans les calculs analytiques. Pour
caractériser b s et b r nous considérons tout d’abord des armatures lisses et nous supposons que b e
ϮϮ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
donnée par (1.23) est imposée au niveau de l’entrefer. Les développements analytiques mettent en
œuvre les équations de Maxwell concernant la conservation du flux et le théorème d’Ampère :
)&
­° DivB = 0
® )))&))& )&
°̄ Rot H = J
(1.34)
)&
)& ))&
B , H et J sont respectivement les vecteurs d’induction, de champ magnétique et de densité de
(
)
courant au point M de coordonnées x,α s dans le fer statorique ou rotorique. x est la distance entre M
et l’axe de la machine comme le montre la Figure 1.5͘ Comme les courants de Foucault ne sont pas
)&
pris en compte dans le milieu considéré, nous posons alors J = 0 dans l’équation précédente. La loi de
)&
)&
conservation du flux permet d’exprimer le vecteur B en fonction du potentiel vecteur A . Dans un
(
)
repère cylindrique de coordonnées x, α s , t on obtient :
­ 1 ∂Ax ,α s ,t
°
s
° x ∂α
)& )))&)& °° ∂Ax ,α s ,t
B = Rot A = ®−
∂x
°
°0
°
°̄
(1.35)
Comme le vecteur champ magnétique est lié au vecteur induction par la perméabilité µ0 µ r des
milieux considérés, nous pouvons écrire donc :
­
°
°0
)))&))&
& 1 )))&)& °°
Rot H = Rot [
Rot A] = ®0
µ0 µr
°
° 1
°µ µ
¯° 0 r
(1.36)
§ 1 ª ∂ § ∂A s
¨ « ¨ − x x ,α ,t
¨ x « ∂x ¨©
∂x
© ¬
·
∂
¸¸ −
s
¹ ∂α
§ 1 ∂Ax ,α s ,t
¨¨
s
© x ∂α
·º ·
¸¸ » ¸
¹ »¼ ¹¸
La résolution de (1.36) se ramène à satisfaire l’égalité :
∂ § ∂A ·
∂
¨x ¸+
∂x © ∂x ¹ ∂α s
§ 1 ∂A
¨
s
© x ∂α
·
¸=0
¹
(1.37)
La résolution de (1.37) s’effectue par la méthode de séparation des variables. La solution s’écrit sous
la forme [ALGER, 1970]:
+∞
A = ¦ Aξ
ξ =0
Ϯϯ
(1.38)
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
avec :
Aξ = (λ 1 xξ + λ2 x −ξ )sin(α '− ξα s )
(1.39)
λ1 et λ2 sont des constantes et α ' est une phase. D’après les équations (1.23) et (1.39), il est
possible, par identification, d’associer une composante d’induction bHe s K s à une composante Aξ du
potentiel vecteur et d’apparenter ξ au nombre de paires de pôles H s de la composante d’induction
correspondante. Le terme K sω t de la relation (1.23) est intrinsèquement compris dans α ' . Par
conséquent, une composante d’induction peut s’écrire, en fonction de sa composante normale bn et de
sa composante tangentielle btg à partir du potentiel vecteur A, comme suit :
1 ∂A
­
s
s s
ˆ
°°bn = x ∂α s = Bn cos( K ωt − H α + ϖ n )
®
°b = − ∂A = Bˆ sin( K sωt − H sα s + ϖ )
tg
tg
°¯ tg
∂x
(1.40)
­ˆ
( H s −1)
( − H s −1) ·
s§
B
=
H
λ
x
+
λ
x
¨
¸
n
1
2
°°
©
¹
®
s
s
° Bˆ = − H s §¨ λ x ( H −1) − λ x ( − H −1) ·¸
tg
1
2
°¯
©
¹
(1.41)
avec :
La résolution du système (1.40) dans chacun des milieux (stator, rotor) en utilisant les conditions aux
limites : conservation de la composante normale de l’induction et de la composante tangentielle du
champ, permet de déterminer les constantes λ1 et λ2 .
L
)&
A
Rexs t Rints Rr αr M
αs dr x
θ
ds Rotor
e
Stator
Figure 1. 5. Schématisation de la machine
Ϯϰ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
ǦͳǦ†—…–‹‘†ƒ•Žƒ…—Žƒ••‡•–ƒ–‘”‹“—‡
Les composantes normale et tangentielle de l’induction dans la culasse statorique s’écrivent sous la
forme :
­ s
( H s −1)
( − H s −1) ·
s§
s
s s
s
s
s
s s
s
b
=
H
λ
x
+
λ
x
¨
¸ cos K ωt − H α + ϖ n = Bˆn cos K ωt − H α + ϖ n
n
1
2
°°
©
¹
®
s
s
−
−
−
H
1
H
1) ·
s
s s
s
s
s
s s
s
°b s = − H s §¨ λ x ( ) − λ x (
¸ sin K ωt − H α + ϖ tg = Bˆtg sin K ωt − H α + ϖ tg
1
2
tg
©
¹
¯°
(
)
(
(
)
)
(
(1.42)
)
s
En se plaçant à la limite intérieure du stator Rint
, c'est-à-dire au bord de l’entrefer, nous exploitons la
loi qui précise que lors d’un changement de milieu il y a une continuité de la composante normale de
l’induction :
(
)
s
s ( H s −1)
s
+ λ2 Rints ( − H −1) = Bˆ He s K s . Comme on travaille en statique, K s peut
Pour x = Rint
alors Bˆ ns = H s λ1 Rint
prendre n’importe quelle valeur.
A la périphérie extérieure du stator Rexs t , nous exploitons la continuité de la composante tangentielle
du champ magnétique en passant du stator à l’air. En notant Bˆna et Bˆtga les composantes normale et
tangentielle du champ extérieur, nous obtenons :
s H −1
s − H −1 ) ·
a
Pour x = Rexs t alors Bˆ tgs = − H s §¨ λ1 Rext( ) − λ2 Rext(
¸ = µ r Bˆ tg . Pour calculer les composantes normale
s
s
©
¹
et tangentielle de l’induction dans l’air extérieur au stator, nous utilisons les systèmes (1.40) et (1.41)
= 0 . Cette
et nous imposons, à l’infini, la valeur de l’induction à zéro : si x → ∞ alors b(air
x =∞ )
considération implique, en choisissant H s positif pour les développements, que λ1air = 0 et par
( − H s −1) . Dans ce cas nous obtenons : ˆ s
a
s
conséquent Bˆtga = Bˆ na = H s λ2air x
Btg = µ r Bˆ na , et comme Bˆ n = Bˆn
alors : Bˆ tgs = µ r Bˆ ns , d’où :
− H s §¨ λ1 Rext
©
(
s H s −1
) − λ R s ( − H −1 ) · = µ H s § λ R s ( H −1 ) + λ R s ( − H
¸
¨ 1 ext
2 ext
r
2 ext
s
s
¹
©
s
−1
)·
¸
¹
Les deux conditions aux limites effectuées à la périphérie intérieure et extérieure du stator aboutissent
au système d’équations qui suit, dont la résolution permet de déterminer les paramètres λ1 et λ2 .
s ( H s −1)
s ( − H s −1) ·
­ s§
e
+ λ 2 Rint
¸ = Bˆ H s K s
° H ¨© λ1 Rint
¹
®
° µ + 1 λ R s( H s −1) + µ − 1 λ R s ( − H s −1) = 0
( r ) 2 ext
¯( r ) 1 ext
Ϯϱ
(1.43)
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
Les constantes λ1 et λ2 sont données par :
s ( −2 H s )
­
1 − µ r ) Rext
(
°λ1 =
Bˆ He s K s
s
s
s
s
H
s
H
s
H
−
1
−
2
−
2
(
)
(
)
(
)
°
H s Rint
(1 + µr ) Rint + (1 − µr ) Rext
°
°
®
1 + µr
Bˆ He s K s
°λ2 =
s
H
2
(
)
§
·
s
°
s ( − H s −1)
¨1 + µ + (1 − µ ) ¨§ Rint ·¸
¸
H s Rint
°
r
r
s
¨
¸
R
© ex t ¹
°
©
¹
¯
(
)
(1.44)
II-1-1- Expression de bns
En remplaçant λ1 et λ2 par leurs expressions données par (1.44), la composante normale de
l’induction dans la culasse statorique bns s’écrit sous la forme :
bns = Bˆns cos ( K sωt − H sα s + ϖ ns )
( H s −1)
( − H s −1)
§
§
·
s ( −2 H s ) § x ·
x
¨ (1 − µ ) R
(1 + µr ) ¨ s ¸
¨ s ¸
r
ext
¨
Rint ¹
©
© Rint ¹
e
ˆ
= BH s K s ¨
+
s ( −2 H s )
s ( −2 H s )
(2 H s )
s
¨ (1 + µ r ) Rint
+ (1 − µ r ) Rext
§ Rint
·
1 + µr + (1 − µr ) ¨ s ¸
¨
© Rex t ¹
©
(
)
·
¸
(1.45)
¸
s
s s
s
¸ cos ( K ωt − H α + ϖ n )
¸
¸
¹
II-1-2- Expression de btgs
La composante tangentielle de l’induction dans la culasse statorique btgs s’écrit, en remplaçant λ1 et
λ2 par leurs expressions, sous la forme :
btgs = Bˆtgs sin ( K sωt − H sα s + ϖ tgs )
( H s −1)
( − H s −1)
§
·
§
·
s ( −2 H s ) § x ·
x
¨ ( µ − 1) R
¸
+
µ
1
( r )¨ s ¸
¨ s ¸
r
ext
(1.46)
¨
¸
R
R
int
int
©
¹
©
¹
e
= Bˆ H s K s ¨
+
sin ( K sωt − H sα s + ϖ tgs )
s
s
s ¸
s −2 H )
s ( −2 H )
(2H ) ¸
s
¨ (1 + µr ) Rint(
+ (1 − µ r ) Rext
§ Rint
·
1 + µr + (1 − µ r ) ¨ s ¸
¨
¸
© Rex t ¹
©
¹
(
)
II-1-3- Application
s
Nous considérons une machine asynchrone à p=2, Rints =60mm, Rext
= 90mm, e = 0.5mm . Dans le
Tableau 1.2 nous présentons le coefficient d’atténuation κ ns = Bˆns / Bˆ e de la composante normale de
s
, K s = 1 et à plusieurs valeurs de H s . Nous remarquons que plus le nombre
l’induction pour x = Rext
de paires de pôles de l’onde d’induction augmente plus la pénétration de la composante normale de
l’induction dans le fer statorique est faible.
Ϯϲ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
Hs
1
2
κ ns
0.002
9.217e-004
3
4
5
10
5.407e-004
3.422e-004
2.231e-004
2.888e-005
s
Tableau 1. 2. Coefficient d’atténuation de la composante normale de l’induction pour x = Rext
Le coefficient d’atténuation κ tgs = Bˆtgs / Bˆ e de la composante tangentielle de l’induction dans la culasse
s
, donné par le Tableau 1.3, montre aussi que la composante tangentielle de
statorique, pour x = Rext
l’induction diminue considérablement en augmentant le nombre de paires de pôles H s . Cependant en
comparant les deux tableaux nous remarquons que l’atténuation de la composante normale de
l’induction dans la culasse statorique est beaucoup plus significative que l’atténuation de sa
composante tangentielle.
Hs
1
2
3
4
5
10
κ tgs
1.5959
0.7374
0.4326
0.2738
0.1785
0.0231
Tableau 1. 3. Coefficient d’atténuation de la composante tangentielle de l’induction dans la culasse statorique
Les Figures 1.6 et 1.7 présentent, pour différents nombres de paires de pôles de l’onde d’induction,
l’évolution de Bˆ ns et Bˆtgs sur la hauteur de la culasse pour Bˆ11e = 0.8T . Les Figures 1.8 et 1.9 présentent
les
variations
relatives
des
composantes
normale
s
Bˆ ns ( x ) / Bˆ ns ( x = Rint
)
et
tangentielle
Bˆtgs ( x ) / Bˆtgs ( x = Rints ) de l’induction. Nous remarquons que la décroissance de l’induction normale est
plus prononcée que la décroissance de l’induction tangentielle. L’induction totale s’identifie presque
avec sa composante tangentielle surtout pour les faibles nombres de paires de pôles H s . Cependant
les amplitudes de ces deux composantes tendent à être égales pour des nombres de paires de pôles
élevés. Il est à noter aussi que plus le nombre de paires de pôles augmente, moins l’induction, que ce
soit normale ou tangentielle, pénétre dans le fer statorique.
Ϯϳ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
H s = 1
,сϭ
H = 2
,сϮ
Hs = 5 ,сϱ
H s = 10
,сϭϬ
s
Hs = 3 ,сϯ
0,8
Bsn (T)
0,6
0,4
0,2
0
Rϲexs t s
ϬRint Figure 1. 6. Evolution de Bˆ ns dans la hauteur de la culasse statorique
H s = 1
,сϭ
Hs = 2
,сϮ
Hs = 5 ,сϱ
H s = 10
,сϭϬ
Hs = 3 ,сϯ
2,5
Bstg (T)
2
1,5
1
0,5
0
s
ϬRint s
ϲRex t Figure 1. 7. Evolution de Bˆtgs dans la hauteur de la culasse statorique
Ϯϴ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
s
,сϭ
H
=1
,сϮ
Hs = 2
,сϯ
Hs = 3 ,сϭϬ
H s = 10
,сϱ
Hs = 5 Bsn (x)/ Bsn (x=Rsint)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Rexs6t s
0Rin t (
)
s
Figure 1. 8. Variation relative de Bˆ ns ( x ) / Bˆ ns x = Rint
dans la hauteur de la culasse statorique
Hs =1
,сϭ
s
H = 2
,сϮ
Hs = 3 ,сϯ
H s = 10
,сϭϬ
,сϱ
Hs = 5 Bstg (x)/ Bstg (x=Rsint)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
s
R6exs t 0Rin t (
)
s
Figure 1. 9. Variation relative de Bˆtgs ( x ) / Bˆtgs x = Rint
dans la hauteur de la culasse statorique
ǦʹǦ†—…–‹‘†ƒ•Žƒ…—Žƒ••‡”‘–‘”‹“—‡
Les expressions générales des composantes normale bnr et tangentielle btgr de l’induction dans la
culasse rotorique sont les suivantes :
Ϯϵ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
s
s
­ r
s § ' ( H −1)
' ( − H −1) ·
s
s s
r
r
s
s s
r
b
=
H
λ
x
+
λ
x
¨
¸ cos K ' ωt − H α + φn = Bˆ n cos K ' ωt − H α + φn
1
2
°° n
©
¹
(1.47)
®
s
s
°br = − H s §¨ λ ' x( pH −1) − λ ' x ( − pH −1) ·¸ sin K 's ωt − H sα s + φ r = Bˆ r sin K 's ωt − H sα s + φ r
tg
tg
tg
1
2
°¯ tg
©
¹
(
)
(
(
)
)
(
)
Pour calculer ces composantes, nous procédons de la même manière que pour le stator. Seules les
conditions aux limites changent. Nous supposons d’abord que bnr est une valeur finie à x=0. Deux cas
sont donc à distinguer: si H s < 0 alors λ1' = 0 et si H s > 0 alors λ 2' = 0 . En choisissant H s > 0
pour les développements, le système d’équations (1.47) peut se simplifier :
­b r = H s λ ' x( pH s −1) cos K 's ωt − H sα s + φ r = Bˆ r cos K 's ωt − H sα s + φ r
(
(
1
n )
n
n )
° n
®
s
°btgr = H s λ1' x( pH −1) sin ( K 's ωt − H sα s + φtgr ) = Bˆtgr cos ( K 's ωt − H sα s + φtgr )
¯
(1.48)
r ( H s −1)
En se plaçant maintenant à x = Rr nous avons: Bˆ nr = Bˆ He s K s donc : H s λ1' R
= Bˆ He s K s . L’expression
de λ1' se définit alors comme suit :
λ '1 =
Bˆ He s K s
H sR
(
)
r H s −1
(1.49)
Le système (1.48) décrivant l’évolution de l’induction dans le rotor s’écrit par conséquent sous la
forme suivante :
H s −1)
­
x ·(
§
r
e
ˆ
°bn = BH s K s ¨ r ¸
cos ( K 's ωt − H sα s + φnr )
°
©R ¹
®
( H s −1)
° r
§ x ·
e
ˆ
sin ( K 's ωt − H sα s + φtgr )
°btg = BH s K s ¨ r ¸
R
© ¹
¯
(1.50)
Les courbes de la Figure 1.10 présentent l’évolution de Bˆnr ou Bˆtgr pour différentes valeurs de nombre
de paires de pôles. Nous remarquons que pour le rotor aussi, plus le nombre de paires de pôles est
faible plus l’induction à tendance à s’établir dans tout le fer.
En conclusion, on remarque que pour le stator comme le rotor, l’onde d’induction à faible nombre de
paires de poles H s s’atténue moins dans le fer et peut générer donc plus de pertes fer qu’une onde
d’induction à nombre de paires de pole élevé. Pour H s = 1 le flux passe à travares le rotor sans
atténuation.
ϯϬ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
s
H = 2
,сϮ
,сϭ
Hs =1
,сϯ
Hs = 3 H s = 10
,сϭϬ
Hs = 5 ,сϱ
0,8
Brn (T)
0,6
0,4
0,2
0
r
00 R 0,06
Figure 1. 10. Evolution de Bˆ nr et Bˆtgr dans le rotor
II-3- Forme de l’induction statorique et rotorique :
L’induction dans la culasse statorique à un point fixe M caractérisé par un angle α s et un rayon ρ s et
celle dans la culasse rotorique à un point fixe N caractérisée par un angle α r et un rayon ρ r , peut
également s’écrire sous la forme matricielle suivante :
s
− H max
s
H max
s
− K max
ª¬bHs ,srK s º¼ = bHs ,srK s s
K max
Figure 1. 11. Forme matricielle de bHs ,srK s
La matrice d’induction donnée par la Figure 1.11
s
d’induction en multipliant par e − iH α
s ,r
est transformée par la suite en un vecteur
chaque élément de la matrice puis, pour chaque ligne de la
matrice caractérisée par un rang fréquentiel K ls , nous sommons sur toutes les polarités H s les
ϯϭ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
composantes d’induction. La matrice ª¬bHs ,srK s º¼
se transforme ainsi au vecteur ª¬bKs s,r º¼ donné par la
Figure 1.12 qui suit:
s s ,r
ª¬bKs ,sr º¼ = ¦ Bˆ Hs ,srK s e −iH α
s
H
ªb−sK, r
« max
«
«
=«
«
« s ,r
«¬bKmax
º
»
»
»
»
»
»
»¼
Figure 1. 12. Vecteur ª¬bKs s, r º¼
Chaque élément bKs s,r du vecteur ª¬bKs s,r º¼ indique l’induction à la fréquence K ls f et se calcule à partir de
l
l’équation suivante :
bKs s, r = ¦ Bˆ Hs ,srK s e − iH α
s
l
H
s
l
s ,r
= Bˆ Ks ,sr e
iϕ
Ks
(1.51)
,,,
,,,0RGqOHpOHFWULTXHGHODPDFKLQHDV\QFKURQH
0RGqOHpOHFWULTXHGHODPDFKLQHDV\QFKURQH
Le modèle semi-analytique permettant de calculer l’induction d’entrefer est basé sur le calcul de la
perméance d’entrefer et de la f.m.m générée par les conducteurs de chaque encoche statorique. L’étude
d’une machine saine ou d’une machine avec un court-circuit entre spires statoriques est donc simple à
mettre en œuvre du fait que nous avons accès aux courants de toutes les encoches. Quand la machine
est saine, les courants statoriques forment un système triphasé équilibré. Nous considérons alors, pour
définir l’induction d’entrefer, un fonctionnement à vide où les courants rotoriques sont supposés nuls.
Le problème devient plus complexe quand la machine présente un court-circuit entre spires
statoriques. Dans ce cas, outre le fait que les courants statoriques ne forment plus un système
équilibré, le défaut génère un champ d’axe fixe, et les enroulements rotoriques, même s’ils tournent au
synchronisme vont être parcourues par des courants qui tendent à produire une onde d’induction qui
devrait être fixe. Suite au défaut, les courants statoriques changent de valeurs par rapport à l’état sain
selon la gravité du courant de court-circuit. Ainsi, pour calculer l’induction d’entrefer en minimisant le
nombre d’hypothèses simplificatrices, et donc avec
plus de précision, il s’avère nécessaire de
développer un modèle électrique de machine asynchrone présentant un court-circuit entre spires
statoriques. Ce modèle permettra de calculer les courants statoriques et rotoriques quel que soit le
courant de court-circuit.
ϯϮ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
ǦͳǦƒŽ…—Ž †‡• …‘—”ƒ–• •–ƒ–‘”‹“—‡• ‡– ”‘–‘”‹“—‡• ’‘—” —‡ ƒ…Š‹‡ ƒ•›…Š”‘‡
’”±•‡–ƒ–—…‘—”–Ǧ…‹”…—‹–‡–”‡•’‹”‡••–ƒ–‘”‹“—‡•
Le défaut de court-circuit crée un déséquilibre des courants de lignes. En partant d’un système triphasé
équilibré on se ramène à un système triphasé déséquilibré. Pour calculer ces nouveaux courants ainsi
que les courants rotoriques, nous nous sommes référés au modèle présenté dans [VASEGHI, 2008]. Il
s’agit d’un modèle basé sur les circuits magnétiques couplés, dans lequel nous négligeons les effets de
denture (armature statorique lisse). Nous considérons une machine asynchrone triphasée où les
enroulements statoriques sont couplés en étoile sans neutres connectés, avec un rotor triphasé
équivalent ayant le même nombre de spires que le stator. Le schéma des enroulements statoriques et
rotoriques est présenté à la Figure 1.13 où nous considérons un défaut de court-circuit au niveau de
l’enroulement 1 du stator. Les enroulements « 1a » et « 1b » représentent respectivement la partie
saine et la partie cour-circuitée de l’enroulement statorique « 1 ». r1sa et r1sb sont respectivement les
résistances dans la partie saine et la partie défectueuse de la phase 1. rc est la résistance limitant le
courant de court-circuit. Ls et l s sont respectivement les inductances principale et de fuite d’une
phase statorique saine. L1sb et l1sb sont respectivement les inductances principale et de fuite de
l’enroulement défectueux. M 1a ,2 et M 1a ,3 présentent les mutuelles inductances entre l’enroulement
sain « 1a » et les enroulements des phases 2 et 3. M 1a ,1b , M 1b ,2 et M 1b ,3 sont respectivement les
mutuelles inductances entre l’enroulement défectueux « 1b » et les enroulements « 1a », « 2 » et « 3 ».
M s est la mutuelle inductance entre la phase 2 et la phase 3. M sr est la mutuelle inductance entre une
phase statorique et une phase rotorique
ϯϯ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
rc M 1a ,1b (r
s
1a
s
1
i (r
)
s
1b
, L1sa i1sc v1a ic )
, L1sb (r
r
v1b Mr
M sr M 1a ,2 M 1b ,2 (r
i2s v1s s
)
i 3s
N’
Ms
(r
(r
, Ls M 1a ,3 v2s )
, Lr s
r
)
, Lr Mr
M 1b ,3 )
, Ls vNN ' (r
r
)
, Lr v3s N
Figure 1. 13. Circuits équivalents de la machine asynchrone présentant un court-circuit entre spires statoriques
Supposons que la partie de l’enroulement court-circuitée concerne une partie des conducteurs d’une
bobine élémentaire logée dans deux encoches. Ces conducteurs sont parcourus par le courant i1sc
présenté à la Figure 1.13. Nous court-circuitons nccs spires parmi les n s spires formant l’enroulement
1 de la machine. Nous définissons un coefficient de court-circuit : kcc = nccs / n s . Nous supposons que
msr = (n s / n r ) = 1 où n r est le nombre de spires rotoriques par phase et par paire de pôles. Dans ce cas
kcc s’écrit sous la forme :
kcc =
γ ne
s
pm ne
=
γ
pm s
(1.52)
Quand on court-circuite une encoche complète alors γ = 1 . Les équations de tension régissant ce
système sont données par :
d
­ s
ª v ¼º = ¬ª r s ¼º ¬ªi s ¼º + ¬ªψ s ¼º + [ vNN ' ]
°¬
°
dt
®
d
°[ 0] = ª r r º ªi r º + ªψ r º
¬ ¼ ¬ ¼ dt ¬ ¼
°̄
ϯϰ
(1.53)
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
Le vecteur de tension [ vNN ' ] est défini par :
§ vNN ' ·
¨
¸
vNN ' ¸
¨
[vNN ' ] = ¨ ¸
vNN '
¨¨
¸¸
©0 ¹
(1.54)
On fixe la tension vNN ' de sorte que i1s + i2s + i3s = 0 en réglant l’amplitude et la phase de ces courants.
vNN ' est donnée par :
vNN ' = 2VNN ' cos (ωt − ϕ n )
(1.55)
Les équations de couplage magnétique permettant de déterminer flux statorique ª¬ψ s º¼ et le flux
rotorique ª¬ψ r º¼ s’expriment comme suit :
­ ªψ s º = ª Lss º ªi s º + ª M sr º ªi r º
°¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ ¬
¼¬ ¼
® r
rr
r
rs
s
°¯ ª¬ψ º¼ = ª¬ L º¼ ª¬i º¼ + ª¬ M º¼ ª¬i º¼
(1.56)
ªψ 1s º
ªψ 1r º
« s»
« r»
«ψ 2 »
s
r
¬ªψ ¼º = « s » ; ¬ªψ ¼º = «ψ 2 »
«ψ r »
«ψ 3 »
¬ 3¼
«¬ψ c »¼
(1.57)
avec :
Le vecteur de tensions statoriques ª¬v s º¼ ainsi que le vecteur de courants statoriques ª¬i s º¼ et rotoriques
ª¬i r º¼ sont présentés par :
§ i1s ·
§ v1s ·
§ i1r ·
¨ s¸
¨ s¸
¨ ¸
i
v
ª¬ v s ¼º = ¨¨ 2 ¸¸ ; ¬ªi s ¼º = ¨¨ 2 ¸¸ ; ¬ªi r ¼º = ¨ i2r ¸
s
s
¨ r¸
¨ i3 ¸
¨ v3 ¸
© i3 ¹
¨0 ¸
¨i ¸
© ¹
©c¹
(1.58)
Le calcul détaillé des systèmes d’équations précédents est présenté dans l’annexe 1. Dans ce cas les
différents paramètres présentés précédemment peuvent s’écrire en fonction du coefficient de courtcircuit kcc sous la forme:
ϯϱ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
­ r1sb = kcc r s
° s
2 s
° L1b = kcc L
°s
2 s
°l1b = kcc L1b
° M s = − Ls / 2
°
°
s r
® M sr = L L
°
s
° M 1a ,1b = L (1 − kcc ) kcc
° M = M = (1 − k ) M s
cc
1a ,3
° 1a ,2
s
° M 1b ,2 = M 1b ,3 = kcc M
°
°̄ M sr2 = kcc M sr
(1.59)
Le modèle électrique de la machine asynchrone présenté permet de calculer les courants circulant dans
les enroulements statoriques ainsi que le courant de court-circuit après son apparition. Avec ce modèle
électrique nous pouvons aussi calculer les courants rotoriques de la machine défectueuse,
indispensables pour déterminer l’induction d’entrefer de la machine défectueuse.
ǦʹǦ ”‹•‡ ‡ …‘’–‡ †‡ Žǯ‡ˆˆ‡– †‡• …‘—”ƒ–• ”‘–‘”‹“—‡• †ƒ• Ž‡ …ƒ• †‡ Žƒ ƒ…Š‹‡
†±ˆ‡…–—‡—•‡
Dans le modèle électromagnétique utilisé nous ne considérons que les courants statoriques. Ce modèle
s’adapte bien à la machine saine. Cependant, quand nous créons le court-circuit entre spires statoriques
il est nécessaire de tenir compte de l’effet des courants rotoriques. En effet, dans ce cas, même pour un
fonctionnement à vide, il existe des courants rotoriques qui génèrent une onde de force
magnétomotrice ayant les mêmes caractéristiques que le fondamental de la force magnétomotrice
générée par le stator. Pour introduire ces courants dans notre modèle électromagnétique, nous
effectuons une transformation rotor-stator qui consiste à écrire les courants rotoriques dans le
référentiel statorique. Nous partons de la formulation du vecteur espace qui permet de définir le
courant rotorique dans le référentiel rotorique comme suit :
2
i r = (i1r + ai2r + a 2i3r )
3
(1.60)
avec : a = e j 2π /3
Dans le référentiel statorique le courant i r s’exprime par :
i 'r = e jpθ i r
(1.61)
En passant aux grandeurs réelles, et comme le nombre de spires statoriques est égal au nombre de
spires rotoriques, les courants rotoriques s’écrivent sous la forme :
ϯϲ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
*
­ r 1 r
r
i
=
i
+
i
'
(
'
'
)
1
°
2
°
*
° r 1 2 r
r
®i '2 = (a i ' + ai ' )
2
°
*
° r 1
2 r
r
°i '3 = 2 (ai ' + a i ' )
¯
(1.62)
Une fois que les courants rotoriques sont calculés et que la transformation rotor-stator est effectuée,
nous ajoutons ces courants aux courants circulant dans les encoches statoriques des parties saines
pour aboutir à un courant statorique équivalent fictif : ies = i s + i 'r . Pour la partie défectueuse de
l’enroulement, on ajoute le courant rotorique au courant i1sc pour aboutir au courant équivalent fictif :
ies1 = i1sc + i 'r .
,9
,9$SSOLFDWLRQQXPpULTXH
$SSOLFDWLRQQXPpULTXH
ǦͳǦ‘—”ƒ–••–ƒ–‘”‹“—‡•‡–”‘–‘”‹“—‡•‡’”±•‡…‡†ǯ—…‘—”–Ǧ…‹”…—‹–‡–”‡•’‹”‡•
•–ƒ–‘”‹“—‡•
Le modèle électrique permettant de calculer les courants statoriques et rotoriques dans une machine
présentant un défaut de court- circuit entre spires statoriques est appliqué sur une machine asynchrone
triphasée à cage : 11kW, 380/660V, p=2 ; Nts = 48 ; Ntr = 32 , le courant à vide I 0s = 4 A , le courant
nominal I ns = 11.32 A . Dans les calculs, on impose les tensions : v1s , v2s , v3s et vNN ' ainsi que la vitesse de
rotation de la machine. Les paramètres présentés précédemment et utilisés dans les simulations sont
présentés dans le Tableau 1.4. Nous supposons que 12.5% de l’enroulement 1 est courcircuité.
rs (Ω )
1.5
rr (Ω )
0.7
r1sb ( Ω )
0.187
Ls ( H )
0.28
Lr ( H )
0.28
L1sb ( H )
0.0043
Ms (H )
-0.14
M sr ( H )
0.28
M 1a ,2 ( H )
-0.1225
M 1b ,2 ( H )
-0.0175
M 1a ,1b ( H )
0.03
M sr2 ( H )
0.035
Tableau 1. 4. Paramètres de la machine
ϯϳ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
IV-1-1 Courants en fonction de rc
Nous courcircuitons 12.5% de l’enroulement de la phase 1 ( kcc = 0.125 ) et nous supposons que la
machine tourne au synchronisme. L’évolution des valeurs efficaces des courants statoriques
en
fonction de rc à g=0 aboutit aux courbes de la Figure 1.14.a. Nous remarquons que pour un courtcircuit franc ( rc = 0 ) le courant de la phase 1 où le court-circuit a eu lieu est très important par rapport
aux courants dans les deux autres phases.
a) Valeurs efficaces des courants statoriques
b) Valeurs efficaces du courant de court-circuit
Figure 1. 14͘ Courants efficaces statoriques et courant de court-circuit en fonction de rc
ϯϴ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
Quand on ajoute la résistance rc les courants dans les trois phases statoriques se rapprochent et plus
rc augmente, c'est-à-dire plus le courant de court-circuit est faible (Figure 1.14.b), plus ces courants
convergent vers le courant à vide I 0s . Les courbes de la Figure 1.15 présentent les courants rotoriques
ramenés au stator en fonction du temps pour rc = 0 et la Figure 1.16 présente les valeurs efficaces des
courants rotoriques en fonction de rc . Nous remarquons que :
9 Les courants rotoriques forment un système inverse. En effet un système direct signifie que nous
avons un champ généré par le rotor qui tourne dans le sens direct (dans le référentiel rotorique, cela
correspond à des courants à gf) et qui participe au couple. Or, comme nous sommes à vide, le couple
est nul (ainsi que le glissement) et ce champ direct est nul. D’où la présence uniquement d’un
système inverse qui génère un couple pulsatoire à 100Hz.
9 Les courants rotoriques sont relativement faibles par rapport aux courants statoriques quand rc ≠ 0 .
9 Il est à noter aussi que les courants rotoriques diminuent considérablement quand rc augmente.
6
i'r1
i'r2
i'r3
Courant rotorique (A)
4
2
0
-2
-4
-6
0
0.005
0.01
0.015
Temps (ms)
0.02
0.025
Figure 1. 15. Courants rotoriques en fonction du temps rc = 0
ϯϵ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
Figure 1. 16. Courants efficaces rotoriques en fonction de rc
IV-1-2 Courants en fonction de kcc
Le pourcentage des spires courcircuitées kcc a aussi un effet sur les courants statoriques et rotoriques.
Dans les Figures 1.17 et 1.18 nous présentons l’évolution des courants statoriques, du courant de
court-circuit et des courants rotoriques en fonction de kcc à rc = 1Ω et g=0.
<ĐĐ
a) Valeurs efficaces des courants statoriques
<ĐĐ
b) Valeurs efficaces du courant de court-circuit
Figure 1. 17. Valeurs efficaces des courants statoriques et du courant de court-circuit en fonction de kcc
ϰϬ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
<ĐĐ
Figure 1. 18. Valeurs efficaces des courants rotoriques en fonction de kcc
Nous remarquons qu’en augmentant kcc les valeurs efficaces des courants statoriques ainsi que les
valeurs efficaces du courant de court-circuit augmentent sauf le courant de la phase 3 qui diminue
légèrement puis augmente. Nous pouvons observer aussi que pour des valeurs faibles de kcc les
courants dans les trois phases statoriques sont très proches. Cependant en augmentant kcc le courant
dans la phase affectée par le défaut augmente d’une façon plus prononcée que les courants dans les
phases saines et la différence entre ces trois courants devient considérable. Concernant les courants
rotoriques on voit bien qu’ils augmentent considérablement en augmentant kcc .
IV-1-3 Courants en fonction de la vitesse de rotation
Dans la Figure 1.19 nous présentons les valeurs efficaces des courants statoriques et du courant de
court-circuit en fonction de la vitesse de rotation de la machine pour rc = 1Ω et kcc = 0.125 . Pour
des vitesses inférieures à la vitesse de synchronisme nous voyons bien que les courants statoriques
diminuent et atteignent
un minimum à 1500tr/min. Au-delà de cette vitesse, les courants
commencent à augmenter pour atteindre des valeurs maximales. Le courant de court-circuit se
comporte différemment suivant la vitesse. En effet, quand la vitesse est inférieure à la vitesse de
synchronisme ce courant augmente pour atteindre son maximum au synchronisme puis chute.
ϰϭ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
b) Valeur efficace du courant de court-circuit
a) Valeurs efficaces des courants statoriques
Figure 1. 19. Courants statoriques et courant de court-circuit en fonction de la vitesse de rotation
Quant aux courants rotoriques présentés par les Figures 1.20 et 1.21, nous remarquons qu’ils sont
faibles au synchronisme. Dans ce cas, ces courants forment un système inverse. Cependant pour des
vitesses différentes de 1500tr/min, les courants rotoriques sont importants. Ces courants dus à gf dans
ce cas, permettent d’avoir une composante directe et une composante inverse du courant avec la
prédominance de la composante directe.
50
1
i'r1
i'r2
i'r3
40
30
0.6
0.4
Courant rotorique (A)
Courant rotorique (A)
20
10
0
-10
-20
0.2
0
-0.2
-0.4
-30
-0.6
-40
-0.8
-50
i'r1
i'r2
i'r3
0.8
0
0.005
a)
0.01
0.015
Temps (ms)
0.02
-1
0.025
0
0.005
0.01
0.015
Temps (ms)
b) Vitesse de rotation =1500tr/min
Vitesse de rotation =1200tr/min
Figure 1. 20. Courants rotoriques en fonction du temps à deux vitesses différentes
ϰϮ
0.02
0.025
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
Figure 1. 21. Valeurs efficaces des courants rotoriques en fonction de la vitesse de rotation
ǦʹǦƒ”‘‹“—‡•†ǯ‹†—…–‹‘
Le modèle électromagnétique développé permet d’écrire l’induction d’entrefer donnée par (1.23) sous
une forme matricielle où chaque ligne correspond à une valeur de K s et chaque colonne correspond à
une valeur de H s données par (1.22). Dans le cas de la machine saine cette matrice contient beaucoup
de composantes nulles. Seules les composantes dont h = p ( 6k + 1) , avec k variant de −∞ à +∞ ,
sont non nulles [Delphine, 2007]. Dans le Tableau 1.5 nous présentons quelques valeurs, en pourcent,
des rapports des amplitudes
(
e
. Bƶ He s K s correspond à l’amplitude de la composante
Bƶ He s K s Ȁ Bƶ 21
)
e
d’induction d’ordre H s , K s et Bƶ 21
correspond à l’amplitude de la composante d’induction d’ordre
H s = 2 et K s = 1 . Nous considérons les valeurs suivantes des paramètres de la denture :
A00 = 1277 m −1 , As 0 = 584m −1 , A0 r = 560m −1 , Asr = 222m −1 , rds = 0.4 , et rdr = 0.8 . En analysant le
Tableau 1.5 nous remarquons que :
9 Pour K s = −47 , la composante d’induction prédominante correspond à H s = 2 .
9 Pour K s = −31 , la composante prédominante est à H s = −62 .
9 Pour K s = −15 , la composante d’induction prédominante correspond à H s = −30 .
9 Pour K s = 17 , la composante prédominante est à H s = 34 .
9 Pour K s = 33 , la composante prédominante est à H s = 66 .
9 Pour K s = 49 , la composante d’induction prédominante est à H s = 2 .
Les composantes prédominantes citées ci-dessus sont repérées dans le Tableau 1.5. Comme il a été
montré dans le paragraphe II, les composantes d’induction à faible nombre de paires de pôles H s
ϰϯ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
s’atténuent moins dans le fer que les composantes de nombre de paires de pôles élevé, ce qui se
répercute forcément sur les pertes fer et le champ de dispersion. De ce fait, nous pouvons prévoir une
contribution importante des harmoniques de résonance de denture correspondant à K s = −47 et
K s = 49 dans les pertes fer et le champ magnétique extérieur dans le cas de la machine saine. Cela est
du au fait que leurs composantes d’induction prédominantes correspondent à H s = 2 . Dans le Tableau
1.6 nous présentons Bƶ He s K s Ȁ Bƶ 21e dans le cas de la machine défectueuse ( I c = 20 A ) où 12.5% du
bobinage total d’une phase statorique est courcircuité. Les composantes d’induction prédominantes
sont aussi repérées dans le Tableau 1.6. En comparant les Tableaux 1.5 et 1.6 nous remarquons que :
•
Quand un court-circuit entre spires statoriques apparait au sein de la machine, de nouvelles
composantes d’induction apparaissent en plus des composantes déjà existantes dans le cas de
la machine saine.
•
L’amplitude des composantes d’induction élémentaires déjà existantes dans le cas sain
augmente suite au défaut.
•
Pour K s = −31 , K s = −15 , K s = 17 et K s = 33 , l’augmentation de l’amplitude des
composantes d’induction est plus prononcée que celle pour K s = −47 et K s = 49 .
•
Des composantes d’induction à H s = 1 et H s = 2 apparaissent dans le cas de K s = −15 et
K s = 17 . Ces composantes d’induction de faible nombre de paires de pôles, sont
prédominantes dans le cas de la machine défectueuse.
ϰϰ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
Hs, Ks
-47
-31
-15
1
17
33
49
-62
0
5.25
0
0
0
0
0
-38
0
0.212
0
0
0
0
0
-34
0
0
0
12.12
0
1.68
0
-30
0
0
4.72
0
0
0
0
-26
0
1.62
0
0
3.57
1.25
0
-22
0
0
0
1.71
1.23
0
0
-18
0
0
1.066
0
0
0
0
-14
0
2.34
0
0
0
0
0
-10
0
0
0
0.64
0
0
0
-6
0
0
0.4263
0
0
0.57
0
2
2.28
0
0
100
0
0
2.86
6
0
0
0.212
0
0
0
0
10
0
0.17
0
4.2
2.33
0
0
18
0
0
2.7
0
0
2.64
0
26
0
0.23
0
1.58
0
0
0
34
0
0
0
0
6.46
0
0
38
0
0
0
5.83
0
0
0
66
0
1.67
0
2.21
0
5.42
0
Tableau 1. 5. Amplitude relative des composantes d’induction par rapport au fondamental dans le cas de la
machine saine
ϰϱ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
Hs, Ks
-47
-31
-15
1
17
33
49
-39
0
1.1
0.8
1.2
0
0
0
-38
0
2.87
1.3
1.6
0
0.2
2.2
-37
0
0.1
1.2
1
0
0
0
-35
2.52
0.1
1.8
0.8
0
0.1
0
-34
0
0.63
3.9
17.32
0
0.3
0
-33
0
0.1
5.5
0.7
0
0.2
0
-31
0
1.4
4.6
0.6
0
2.62
0
-30
0
0.1
5.7
0.8
0
1.1
0
-29
0
0.47
1.8
0.5
0
3.6
0
-27
0
0.36
1.1
0.5
0
0
0
-26
0.24
2.75
1.3
0.6
4.85
0
0
-25
0
0.2
0.8
0.4
0
0
0
-23
0
1.58
0.6
0.4
0.1
0
0
-22
0
0.5
0.7
3.85
0.1
0
0
-21
0
0.2
0.5
0.3
0.1
0
0
-19
0.84
2.35
0.4
0.3
1.8
0
0
-18
0
0.3
3.21
0.4
0.3
0
0.33
-17
0
0.4
0.3
0.3
0.5
0
0
-15
0
1.22
0.3
0.2
0.5
0
0
-14
0.65
1.8
0.4
3.1
2.3
2.58
0
-13
0
0.7
0.3
0.2
0.2
0
0
-11
0
0.1
0.2
0.2
0.1
0
0
-10
0
0.1
0.3
1.86
0.63
0
0
-9
0
0.4
0.2
0.2
0.1
0
0
-7
0
0
0.2
2.4
0.32
0
0
-6
0
0.7
0.74
5.3
2.6
0
0
-5
0
0
0.2
4.6
0
0
0
-3
0.52
0
0.1
7.8
0
0
0.36
-2
0.1
0.1
0.2
6.32
0.1
0
0.1
-1
0.2
0
0.1
9.1
0
0
0.2
1
0.2
0
3.3
13.5
5.24
0
0.84
2
3.4
0
9.47
100
10.76
0
5.63
3
0.1
0
0.1
7.68
0
0
0.1
ϰϲ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
Hs, Ks
-47
-31
-15
1
17
33
49
5
0
0
0.76
4.58
0
0
0
6
0
0
0.83
5.38
0
0
0
7
0
0
0.1
3.24
0
0
0
9
0
0
0.64
2.5
0
0.1
0
10
0.25
0
0.8
3.15
0
0.63
0
11
0
0
0.1
2
0
0.1
0
13
0
0
0.2
16.7
0
0.1
0
14
0
0
6.65
4.15
8.28
0.3
2.33
15
0
0
0.5
14.2
0
4.5
0
17
0
0
0.5
1.3
0
0.4
0
18
0.33
0
3.9
16.2
0
6.84
0
19
0
0
0.2
10.7
0
0.1
0
21
0
0
1.2
9.4
0
0.78
0
22
0
0
0.1
12.5
0
0.1
0
23
0
0
0.66
8.3
0
0.4
0
25
0
0
0.1
7.4
0.8
0
0
26
1.62
7.64
0.5
4.3
1.3
0.15
0
27
0
0
0
6.5
1.1
0
0
29
0
0.1
0
5.8
1.8
0
0
30
0
0.2
4.3
7.8
3.9
0.1
0
31
1.3
1.6
0
5.2
5.5
0
0
33
0
0.2
0
4.6
3.2
0
0
34
0
3.41
0
6.2
8.92
3.4
0
35
0
0.1
0
4.1
1.8
0
0
37
0
0
0
3.7
1.1
0
0
38
6.7
4.4
0
2.4
1.3
0
1.68
39
0
0
0
3.2
0.8
0
0
Tableau 1. 6͘Amplitudes relatives des composantes d’induction par rapport au fondamental dans le cas
de la machine défectueuse
9(WXGHH[SpULPHQWDOH
(WXGHH[SpULPHQWDOH
Une étude expérimentale permettant de valider les résultats théoriques concernant les courants
statoriques dans le cas d’une machine présentant un court-circuit entre spires a été effectuée. Les
ϰϳ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
mesures sont réalisées sur une machine asynchrone triphasée donnée par la Figure 1.22 et dont les
caractéristiques sont : 11kW, 380/660V, p=2 ; Nts = 48 ; Ntr = 32 , le courant à vide I 0s = 4 A . Cette
machine a été complètement rebobinée pour créer facilement le court-circuit d'une section élémentaire.
12.5% de l’enroulement de la phase 1 du stator a été courcircuité. Le courant de court-circuit est réglé
à l’aide d’un rhéostat. On a mesuré les valeurs efficaces des courants statoriques et du courant de
court-circuit en fonction de rc quand la machine tourne au synchronisme. Ces courants sont présentés
par les Figures 1.23 et 1.24. Quand rc est faible on remarque le courant dans la phase 1 est plus
important que celui dans les autres phases. Ces trois courants diminuent en augmentant rc pour se
stabiliser à I 0s quand rc est importante. Le courant de court-circuit, lui aussi, diminue en augmentant
rc . Ces résultats sont en concordance avec les résultats théoriques présentés dans le paragraphe IV.
Cela montre que notre modèle électrique permet d’avoir de bons résultats qui peuvent être exploités
dans le modèle électromagnétique pour calculer les inductions dans l’entrefer et dans le fer.
Figure 1. 22. Machine utilisée
ϰϴ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
8
/Ɛϭ
Courants statoriques (A)
/ƐϮ
6
/Ɛϯ
4
2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
rc ( Ω ) Figure 1. 23. Courants statoriques mesurés en fonction de rc
Courant de court-circuit (A)
35
30
25
20
15
10
5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
rc ( Ω ) Figure 1. 24. Courants de court-circuit mesuré en fonction de rc
&RQFOXVLRQ
&RQFOXVLRQ
Dans ce chapitre nous avons développé les équations analytiques de l’induction d’entrefer ainsi que
l’induction dans les culasses statorique et rotorique. Dans le modèle électromagnétique proposé nous
avons tenu compte de l’effet de denture. Ce phénomène permet de mettre en évidence les harmoniques
de denture générés en plus du fondamental. Pour rendre les calculs analytiques aisés, quelques
hypothèses simplificatrices ont été adoptées. Le modèle semi-analytique développé est un outil de
simulation flexible à plusieurs niveaux de complexité. Il permet d’accéder aux courants de toutes les
encoches statoriques, ce qui rend simple la création du court-circuit entre spires. Cependant, comme ce
défaut crée un déséquilibre dans le système triphasé des courants statoriques, il s’avère nécessaire de
développer un modèle électrique de machine asynchrone présentant un court-circuit entre spires. Ce
modèle permet de calculer les courants statoriques et rotoriques ainsi générés afin de déterminer
ϰϵ
&KDSLWUH0RGqOH(OHFWURPDJQpWLTXHGHOD0DFKLQH$V\QFKURQH
l’induction d’entrefer avec plus de précision. Un essai expérimental a été effectué afin de valider ce
modèle. Nous avons présenté par la suite quelques résultats concernant les harmoniques d’induction de
la machine saine et défectueuse ainsi que les courants statoriques et rotoriques de la machine
défectueuse. Dans la suite, nous exploiterons le modèle semi-analytique afin de mettre en évidence les
effets prépondérants, sur les pertes fer et les bruits et vibrations, en associant le modèle
électromagnétique à un modèle de pertes fer et à un modèle mécanique pour les aspects vibroacoustiques. Nous pourrons par conséquent analyser l’impact du court-circuit entre spires statoriques
ainsi que l’effet de plusieurs paramètres, entre autres les paramètres géométriques de la machine, sur
les pertes fer et les vibrations.
ϱϬ
Šƒ’‹–”‡ʹǣ–—†‡†‡•‡”–‡•‡”
&KDSLWUH
ϱϮ
(WXGHGHV3HUWHV)HU
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
–—†‡†‡•‡”–‡•‡”
Dans la théorie traditionnelle des machines à courant alternatif, nous considérons que les pertes fer ont
principalement pour origine la variation du fondamental du champ magnétique. Cependant, les
harmoniques moyennes fréquences liés à l’effet de denture apparaissant au niveau de l’induction
d’entrefer existent également au niveau de l’induction dans les culasses statorique et rotorique
[DENG, 1999]. Ces harmoniques d’induction de fréquences relativement élevées, sont à l’origine de
pertes fer non négligeables dans ces deux armatures [SANADA, 2003] [BRUDNY, 2010]. Malgré que
les études menées dans [ROMARY, 2001] montrent l’impact non négligeable de la denture sur les
pertes fer aussi bien au stator qu’au rotor, les développements détaillés en ce sens sont rarement
présentés dans la littérature [BOTTAUSCIO, 2004], mais cela n’empêche que les préoccupations sur
les pertes harmoniques ne sont pas nouvelles [CHALBI, 1968]. De nombreux travaux montrent, qu’en
plus des pertes fer statiques (hystérésis) et dynamiques (courants de Foucault globaux), s’ajoutent des
pertes fer additionnelles engendrées par des courants de Foucault associés à des champs locaux
[FIORILLO, 1990] [BERTOTTI, 1984] [MOSES, 1987]. D’autre part, l’utilisation de convertisseurs
statiques pour alimenter les machines, pose le problème de la présence d’harmoniques dans le système
d’alimentation qui génèrent des champs tournants harmoniques et donc des pertes fer supplémentaires
ϱϯ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
[AMAR, 1995] [TAKACH, 1985]. De ce fait, mis à part les appareils électriques statiques comme les
transformateurs, où les pertes fer peuvent être déterminées avec précision, les difficultés rencontrées
dans le cas de la machine tournante : structure complexe, variation de la distribution du flux, champ
tournant et présence d’harmoniques d’induction, rendent les résultats de prédiction des pertes fer
moins satisfaisants [MA, 2003].
Dans notre étude, nous avons proposé une approche analytique permettant d’estimer les pertes fer
d’une machine électrique dans le cas d’un fonctionnement normal sans présence de défaut et en
présence d’un défaut en analysant les conséquences sur ces pertes. L’étude de l’impact des
composantes d’induction harmoniques sur les pertes fer s’avère aussi nécessaire afin d’apprécier la
contribution de l’effet de denture et de mettre en évidence les composantes prédominantes. Une partie
a été aussi consacrée à l’étude de l’effet des paramètres géométriques sur les pertes fer harmoniques en
utilisant la méthode analytique puis une méthode numérique. Une approche expérimentale permettant
de valider les résultats théoriques est également présentée.
,0RGqOHXWLOLVpSRXUO·HVWLPDWLRQGHVSHUWHVIHU
0RGqOHXWLOLVpSRXUO·HVWLPDWLRQGHVSHUWHVIHU
HVSHUWHVIHU
Il existe différents modèles pour calculer les pertes fer. En partant d’une formulation classique,
certains auteurs ont introduit, de façon empirique, des termes correctifs au niveau des pertes par cycle
[ROGER, 1978] [LAVERS, 1978]. Un modèle permettant de calculer les pertes fer lorsque
l’alimentation est non sinusoïdale a été par la suite développé [FOSTER, 1982]. Plus tard,
[FIORILLO, 1990] a proposé un modèle qui résulte d’une modélisation physique du mécanisme des
pertes à l’échelle microscopique et prend en compte les déphasages des harmoniques dans le terme qui
traduit les pertes dites par excès. D’autres formulations améliorées de pertes fer existent en littérature
[DENG, 1999] [ZHU, 1998] [CHEN, 2002]. Cependant, la détermination des pertes fer dans une
machine électrique est assez délicate et le choix d’un modèle adéquat peut présenter quelques
problèmes.
Ǧͳ‹ˆˆ‹…—Ž–±•Ž‹±‡•ƒ—…Š‘‹š†—‘†°Ž‡†‡•’‡”–‡•ˆ‡”
Dans une machine électrique, outre la fréquence de travail qui peut varier, le matériau est soumis à des
formes d’ondes très diverses qui peuvent être imposées par l’alimentation du circuit ou la denture
(harmoniques de denture). Les caractéristiques standards sont alors insuffisantes pour déterminer le
comportement du circuit magnétique et l’estimation des pertes fer devient assez délicate. D’autres
difficultés peuvent être liées à la détermination des pertes fer, parmi elles ont peut citer :
9 D’une manière générale, l’épaisseur d’une tôle dans une machine électrique varie entre
0.35mm et 0.65mm. Quant à la profondeur de pénétration du flux dans l’épaisseur d’une tôle,
1/ 2
calculée à partir de l’équation δ ' = ( 2 ρ / µω )
ϱϰ
, elle est de l’ordre de 1mm pour une
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
fréquence de 50Hz et de l’ordre de 0.2mm pour une fréquence de 2500Hz si on considère µ =
2000 et une résistivité du matériau ρ =0.48 µΩm . Cela signifie que la répartition de
l’induction peut être considérée comme uniforme sur l’épaisseur de la tôle à la fréquence de
50Hz mais à 2500Hz, cette hypothèse n’est plus valable. Cela conduit, pour des fréquences
élevées, à une augmentation de la résistance des tôles donc une modification des courants
induits et des pertes joules correspondantes.
9 Quel que soit le champ, unidirectionnel sinusoïdal ou tournant, il apparait des pertes
anormales, liées à la notion d’objet magnétique provenant de courants de Foucault locaux
induits par les déplacements des parois ou des domaines magnétiques. Ces pertes qualifiées de
pertes supplémentaires ou par excès viennent s’ajouter aux pertes traditionnelles qui sont les
pertes par hystérésis et les pertes par courants de Foucault globaux.
9 Un autre problème concerne la présence d’harmoniques dans l’onde d’induction. Cela
nécessite donc l’utilisation d’un modèle qui prend en compte ces harmoniques.
Ǧʹ‘†°Ž‡†‡’‡”–‡•ˆ‡”—–‹Ž‹•±
Dans les machines électriques tournantes, la complexité des phénomènes liés à l’effet de denture et à
la modélisation des pertes fer nous oblige à utiliser un modèle simplifié. Ce modèle dissocie deux
types de pertes. Le premier type est les pertes statiques Pstat dites aussi pertes par hystérésis. Elles sont
proportionnelles à f . Dans la variation de Pfer / f la part due à l’hystérésis est alors constante
[BRISSOUNNEAU, 1997]. Le deuxième type est les pertes dynamiques Pdyn ou pertes par courants de
Foucault. Elles sont proportionnelles à f 2 , ce qui amène à une contribution proportionnelle à f dans la
variation de Pfer / f . Ces pertes, liées à la variation du champ magnétique qui induit des courants dans
la masse métallique conductrice entrainant une dissipation d’énergie sous forme de chaleur, ne
forment toutefois qu’une fraction des pertes dynamiques [BOGLIETTI, 2003].
ϱϱ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
Pfer / f Pertes supplémentaires
Pertes par courants de
Foucault
Pertes par hystérésis
0
f0 f Figure 2. 1. Décomposition des pertes fer
Les pertes supplémentaires, provenant des courants de Foucault induits par les déplacements des
parois ou des domaines magnétiques, sont caractérisées par une forme plus complexe [RANLÖF,
2009]. Elles ne seront pas donc prises en compte dans les développements. Ces considérations
conduisent à définir les pertes fer totales par:
Pfer = Pstat + Pdyn
(2.1)
La présence d’harmoniques d’induction, notamment dus à l’effet de denture, superposés à la
composante fondamentale de l’excitation nous oblige à définir un modèle de pertes fer en régime
d’excitation sinusoïdal ainsi que non sinusoïdal.
Dans le cas d’une excitation unidirectionnelle dont le fondamental est d’amplitude Bˆ p1 et de fréquence
f, et dont les harmoniques d’induction de rang K s et de nombre de paires de pôles H s
ont une
amplitude Bˆ H s K s , les pertes fer sont constituées de pertes fondamentales et de pertes fer dues aux
harmoniques d’induction. En utilisant la formulation de Steinmetz
les pertes fer statiques et
dynamiques, par unité de volume, dues à l’induction fondamentale, sont données par :
P( f ) = Pstat ( f ) + Pdyn( f )
(2.2)
avec :
Pstat ( f ) = χ s fBˆ pn1
(2.3)
Pdyn ( f ) = χ d f 2 Bˆ p21
(2.4)
χ s , χ d et n sont des coefficients qui dépendent du matériau, de la conductivité et de plusieurs autres
paramètres. Ces coefficients peuvent être déterminés à partir des données fournies par le constructeur.
ϱϲ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
Cette approche tient compte de la variation sinusoïdale du champ magnétique [DENG, 1999].
Cependant, ce modèle n’est pas toujours applicable. En effet, lorsque l’induction maximale est
supérieure à 1.2T ou lorsque la fréquence est très élevée, les pertes fer calculées à partir de ce modèle
présentent une grande différence par rapport aux résultats expérimentaux [CHEN, 2002]. Un modèle
amélioré utilisant la formulation de Steinmetz et permettant de se rapprocher au mieux des
caractéristiques expérimentales, est alors élaboré. Dans ce modèle on considère que le coefficient
« n » intervenant dans la puissance de Bˆ p1 dans les pertes statiques, varie linéairement avec Bˆ p1 :
( a +bBˆ )
Pstat ( f ) = χ s fBˆ p1 p1
(2.5)
Il est à noter que la présence d’harmoniques d’induction superposés à la composante fondamentale de
l’excitation peut, suivant sa phase, accroitre notablement les pertes fer (relativement à celles mesurées
avec l’excitation fondamentale seule). Ces constatations résultent des travaux effectués par Newberry
et Moses [MOSES, 1987] qui portent principalement sur des échantillons destinés à constituer les
circuits magnétiques des transformateurs. En utilisant les formulations de Newberry et Lavers
[ROGER, 1978] [LAVERS, 1978] les pertes fer dues aux harmoniques d’induction sont exprimées
par :
P( harm ) = Pstat ( harm ) + Pdyn( harm )
(2.6)
Pdyn( harm ) s’écrit sous la forme :
∞
Pdyn ( harm ) =
¦
K s =2
∞
Pdyn
(K f )
s
= Pdyn ( f )
¦ ( ∆ Bˆ ) K
K s =2
2
Ks
s2
(2.7)
Pdyn K s f représente les pertes dynamiques relatives à une composante harmonique de rang K s de
(
)
l’onde d’induction d’entrefer. ∆Bˆ K s est définie par Bˆ H s K s / Bˆ p1 . Pour Pstat ( harm) , elles dépendent des
extremums locaux de l’onde d’induction. Etant donné la faible amplitude des harmoniques d’induction
dus à l’effet de denture considérés, Pstat ( harm) sont donc négligées (cycles mineurs liés aux harmoniques
négligés) et les pertes statiques totales s’identifient aux pertes statiques dues au fondamental
d’induction. Comme la machine électrique est constituée de deux armatures où les grandeurs évoluent
à des fréquences fondamentales différentes, f au stator et gf au rotor, il convient donc, en ce qui
concerne les pertes fer totales, de distinguer celles relatives au stator et celles qui apparaissent au rotor.
Pour ce faire, nous affecterons l’indice supérieure
ϱϳ
"s"
à toutes les variables relatives au stator et
&KDSLWUH
l’indice supérieure
"r"
(WXGHGHV3HUWHV)HU
à toutes les variables relatives au rotor. Les expressions synthétiques des pertes
fer statoriques et rotoriques sont données par :
s
­ Pstat
°
r
°° Pstat
® s
° Pdyn
° r
°̄ Pdyn
s
= Pstat
(f)
r
= Pstat
(f)
s
s
= Pdyn
( f ) + Pdyn( harm )
(2.8)
r
r
= Pdyn
( f ) + Pdyn( harm )
s
r
s
r
Pstat
, Pstat
, Pdyn
et Pdyn
présentent respectivement les pertes statiques et dynamiques au stator et au
s
r
s
r
rotor. Pstat
( f ) , Pstat ( f ) , Pdyn ( f ) et Pdyn ( f ) sont respectivement les pertes statiques et dynamiques dues au
s
r
fondamental au stator et au rotor. Pdyn
( harm ) et Pdyn ( harm ) correspondent aux pertes dynamiques dues aux
harmoniques d’induction au stator et au rotor. Notant aussi que :
s
r
­° Pstat = Pstat
+ Pstat
®
s
r
°̄ Pdyn = Pdyn + Pdyn
(2.9)
Une approche purement analytique [BRUDNY, 2010] permettant de calculer les pertes fer statiques et
dynamiques dans une machine asynchrone est décrite dans l’annexe 2. Une comparaison des résultats
issus du modèle semi-analytique présentés dans ce chapitre et des résultats issus du modèle purement
analytiques est également présentée.
,,
,,$SSOLFDWLRQGXPRGqOHGHSHUWHVIHUSRXUODPDFKLQHVDLQH
$SSOLFDWLRQGXPRGqOHGHSHUWHVIHUSRXUODPDFKLQHVDLQH
KLQHVDLQH
Pour le calcul des pertes fer, nous considérons des armatures lisses. Le stator et le rotor sont
considérés comme des cylindres formés d’un empilement de tôles. La méthode de calcul adoptée
nécessite tout d’abord la discrétisation du fer statorique et rotorique en des éléments de volumes
[JELASSI, 2009]. Pour ce faire, nous découpons le fer en des morceaux d’ouverture dα et de hauteur
dR sur la longueur de la machine comme le décrit la Figure 2.2. Pour chaque volume élémentaire du
stator ∆V s et du rotor ∆V r on calcule la composante normale et tangentielle de l’induction comme
cela a été présenté dans le paragraphe II du chapitre 1. Ensuite en utilisant (2.3) , (2.4) et (2.7) nous
calculons les pertes fer normales et tangentielles générées par chaque élément de volume statorique et
rotorique ainsi que les pertes fer résultantes. Enfin nous déduisons par sommation les pertes générées
par tout le volume du fer.
ϱϴ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
dα
∆V s
∆V r
hcs
Rr
Rexs t
Rints
d
r
dR s
∆V s
θ
ds
Rms
hcr
Rmr
dR r
∆V r
hcs
Figure 2. 2. Volume élémentaire statorique et rotorique
Une application numérique est réalisée sur la machine asynchrone qui a été présentée dans le chapitre
1. Rappelons les propriétés électriques et géométriques de cette machine: 11kW/50Hz, 380/660V. Elle
est caractérisée par p=2, le nombre d’encoches statoriques Nts = 48 et rotoriques Ntr = 32 , e=0.5mm,
s
s
rds = 0.4 , rdr = 0.8 , Rint = 60mm , Rext = 90 mm . Les coefficients χ s et χ d [IONEL, 2007] valent :
χ s = 0.134ν et χ d = 0.0016ν où ν est la masse de chaque volume élémentaire considéré. La machine
fonctionne à vide (g ≅ 0) sans défaut. Elle est alimentée par un système triphasé équilibré de courant
iqs0 de valeur efficace égale à 4A. L’analyse numérique effectuée sur la machine saine consiste à
estimer les pertes fer statorique et rotorique. Le Tableau 2.1 présente les résultats obtenus en utilisant
le modèle de pertes fer décrit précédemment en distinguant les pertes fer statiques et dynamiques dues
au fondamental et aux harmoniques d’induction générées par les armatures statoriques et rotoriques.
L’analyse de ce tableau permet de remarquer que la contribution des pertes fer dues aux harmoniques
d’induction dans les pertes fer totales est de 10 %. Ce résultat, qui n’est pas en contradiction avec le
résultat présenté dans [YAMAZAKI, 2001] [BRUDNY, 2010], montre que les harmoniques
d’induction ont une contribution non négligeable dans les pertes fer totales de la machine saine. Nous
s
s
remarquons aussi que Pstat
( f ) > Pdyn ( f ) , ce résultat est en concordance avec les résultats présentés dans
[LOPEZ, 2009].
ϱϵ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
s
Pstat
( f ) (W )
167.4
s
Pstat
( harm) (W )
0
s
Pdyn
( f ) (W )
60
(W )
17.8
(W )
0
r
Pstat
( harm) (W)
0
r
Pdyn
( f ) (W )
0
r
Pdyn
( harm) (W)
7.8
Pfer (W )
253
Pourcentage des
Harmoniques
(%)
10
s
dyn( harm)
P
r
stat ( f
P
)
Tableau 2. 1. Séparation des pertes fer générées par la machine saine
La contribution des Pdyn dans les pertes fer totales dépend en réalité de la valeur du glissement. La
s
Figure 2.3 montre la variation relative de Pdyn / Pdyn
( f ) en fonction du glissement. Nous remarquons que
pour des faibles valeurs du glissement Pdyn diminuent pour atteindre un minimum à g ≈ 0.2 puis
s
représentée également à la Figure 2.3. En effet,
augmente. Cette variation est due à la variation de Pdyn
s
cette quantité diminue lorsque g augmente pour atteindre Pdyn
( f ) pour un glissement g=1. Cela peut se
justifier en considérant l’expression de K s = 1 + k r N r (1 − g ) . Dans cette équation K s = 1 lorsque g=1,
donc toutes les composantes élémentaires harmoniques de l’onde d’induction évoluent à la même
s
fréquence f qui est celle du fondamental d’où Pdyn
( harm ) = 0 . En se référant à (2.8) nous avons alors :
s
s
r
Pdyn
= Pdyn
( f ) . La variation de Pdyn est due également à la variation de Pdyn qui présente une loi
d’évolution plus complexe. Dans le cas de g=0 on peut exploiter les résultats du Tableau 2.1 pour
s
s
s
déterminer Pdyn / Pdyn
( f ) et Pdyn / Pdyn( f ) :
s
­ Pdyn / Pdyn
( f ) = 85.6 / 60 = 1.42
°
° s
s
® Pdyn / Pdyn( f ) = 77.8 / 60 = 1.29
° r
s
°̄ Pdyn / Pdyn( f ) = 7.8 / 60 = 0.13
ϲϬ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
2,5
2
s
Pdyn / Pdyn
(f)
1,5
1
s
s
Pdyn
/ Pdyn
(f)
0,5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Glissement
Figure 2. 3. Variation relative des pertes dynamiques en fonction du glissement
La contribution de chaque harmonique d’induction dans les pertes fer dynamiques est présentée à la
Figure 2.4. La représentation sous forme de série de Fourier de l’induction dans l’entrefer permet de
mettre en évidence les harmoniques moyennes fréquences liés à l’effet de denture. Comme les lignes
de champ se referment au niveau du fer, il est logique de retrouver ces harmoniques au niveau de
l’induction dans les culasses statorique et rotorique. Ces harmoniques d’induction sont caractérisés par
une amplitude faible et une fréquence relativement élevée ce qui rend prévisible l’existence de pertes
fer harmoniques non négligeables dans ces deux armatures.
Pertes fer harmoniques (W)
8
7
6
5
4
3
2
1
0
750
850
1550
1650
2350
2450
Fréquence (Hz)
Figure 2. 4. Décomposition des pertes fer harmoniques dans la machine saine
Pour la machine considérée, la condition de résonance de denture k s N s + kr N r = 0 est vérifiée pour
ks = 2 , kr = 3 et Μ = 48 aboutissant ainsi aux fréquences de résonance de denture 2350Hz et
ϲϭ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
2450Hz. En se référant au Tableau 1.5 nous voyons que pour kr = 3 les composantes d’induction
prédominantes correspondent à H s = 2 . Les harmoniques de résonance de denture à 2350Hz et
2450Hz sont caractérisés par une faible atténuation sur la hauteur de la culasse et s’étendent sur une
surface plus importante dans le fer que les composantes de forte polarité ce qui explique leur
importante contribution dans les pertes fer harmoniques totales (53%). Le pourcentage des pertes fer
dues à ces harmoniques de résonance de denture par rapport aux pertes dynamiques dues au
fondamental dans le stator est de 22.3%. Notons que ce phénomène concerne les ondes d’induction à
2p pôles et le volume du fer concerné par la circulation du flux est le même que le fondamental.
,,,
,,,$SSOLFDWLRQ GX PRGqOH GH SHUWHV IHU SRXU GHV PDFKLQHV DV\QFKURQHV
SUpVHQWDQWXQHUpVRQDQFHGHGHQWXUHG·RUGUHpOHYpH
SUpVHQWDQWXQHUpVRQDQFHGHGHQWXUHG·RUGUHpOHYpH
Les résultats issus du calcul effectué sur la machine étudiée précédemment montrent que les pertes fer
dues aux harmoniques de résonance de denture ont la contribution la plus importante dans les pertes
fer totales. Cependant l’exemple de notre machine est particulier car elle présente une résonance de
denture d’ordre faible ( ks = ±2; kr = ±3) ce qui reste une exception pour les machines à cage. Aussi,
nous avons calculé les pertes fer pour deux autres machines présentant une résonance de denture
d’ordre élevé. Nous avons gardé les mêmes caractéristiques géométriques et électriques de la machine
précédente, seul le nombre d’encoches statoriques et rotoriques a changé. Dans le premier cas on
considère une machine asynchrone à N ts = 36 et N tr = 28 . La condition de résonance de denture
k s N s + kr N r = 0 est vérifiée pour ks = 7 , kr = 9 , H s = 2 et M=126. Les fréquences de résonance de
denture correspondent à f= 6250Hz et f=6350Hz. Sur la Figure 2.5 on présente les pertes fer
harmoniques pour cette machine. Le rang élevé permettant d’aboutir à k s N s + kr N r = 0 réduit
drastiquement les amplitudes des harmoniques correspondant et des pertes dynamiques associées.
Nous remarquons par contre que les harmoniques à 2750Hz et 2850Hz ont la contribution la plus
importante dans les pertes fer. Ces harmoniques sont obtenus pour k s N s + kr N r le plus faible possible
( k s N s + kr N r = ±2 ) et correspondent à ks = 3 , kr = 4 , H s = −2 ou H s = 6 . Considérons maintenant
la deuxième machine à Nts = 72 et Ntr = 88 . La résonance de denture est obtenue pour ks = 11 ,
kr = 9 et M=396. Les fréquences de résonance de denture dans ce cas sont f= 19750Hz et f=19850Hz.
La Figure 2.6 présente les pertes fer harmoniques correspondantes. Les pertes les plus importantes
sont dues aux harmoniques à 2150Hz et 2250Hz qui vérifient la relation k s N s + kr N r la plus faible
possible ( k s N s + kr N r = ±8 ) et qui correspondent à ks = kr = 1 . Dans ces deux cas de figures on
ϲϮ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
remarque bien que les harmoniques de résonance de denture n’ont pas la contribution la plus
importante dans les pertes fer. Cette contribution est donc liée à l’ordre des harmoniques de résonance
de denture. Pour une résonance d’ordre faible même si l’amplitude de ces composantes d’induction est
faible dans l’entrefer, leur faible atténuation dans le fer contribue à la génération de composantes de
pertes fer importantes voire prédominantes. Cependant pour une résonance d’ordre élevé, même si
l’atténuation de ces harmoniques sur la hauteur de la culasse statorique est faible, leur faible amplitude
dans l’entrefer ne permet pas de générer des composantes de pertes fer prépondérantes. Les
harmoniques de denture, responsables de la génération des pertes fer les plus importantes, vérifient
dans ces cas la relation k s N s + kr N r la plus faible possible. Précisons cependant que, pour les
fréquences élevées, il conviendrait d’utiliser un modèle de pertes fer plus adapté. L’analyse doit donc
se limiter à considérer seulement la tendance sur les amplitudes.
Pertes fer harmoniques (W)
6
5
4
3
2
1
0
Fréquence (Hz)
Figure 2. 5. Décomposition des pertes fer harmoniques pour une machine saine avec N ts = 36 et N tr = 28
Pertes fer harmoniques (W)
ϭϬ
ϴ
ϲ
ϰ
Ϯ
Ϭ
Fréquence (Hz)
Figure 2. 5. Décomposition des pertes fer harmoniques pour une machine saine avec N ts = 72 et N tr = 88
ϲϯ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
,9
,90LQLPLVDWLRQGHVSHUWHVIHUSDUFKRL[GH rds HW rdr Les paramètres rds et rdr interviennent dans le calcul de l’induction dans l’entrefer. En examinant
(1.6), (1.20) et (1.21) on s’aperçoit que les quantités f( k s ) et f( kr ) peuvent s’annuler pour certaines
valeurs de rds , rdr , k s et kr annulant ainsi l’harmonique d’induction correspondant. L’annulation de
l’harmonique d’induction aura une conséquence immédiate sur les pertes fer harmoniques. Dans ce
paragraphe nous étudierons l’influence des paramètres rds et rdr sur les pertes fer harmoniques et donc
sur les pertes fer totales de la machine saine afin de dégager une conclusion sur la possibilité de
minimisation de ces pertes. Les applications numériques sont effectuées sur la machine asynchrone tel
que N ts = 48 et N tr = 32 . Tout d’abord, nous avons gardé rdr constant et égal à 0.8 et nous avons fait
varier rds : rds = 0.4 ; 0.5 ; 0.66 ; 0.7 et 0.8. Ensuite nous avons fait varier rdr en gardant rds constant et
égal à 0.8 : rdr = 0.4; 0.5 ; 0.66 ; 0.7 et 0.8. Le choix de rds = 0.66 et rdr = 0.66 correspond à un cas
particulier qui sera analysé par la suite. Il est à noter que pour l’ensemble des cas analysés nous
gardons l’induction d’entrefer due au fondamental constante (0.8T) en ajustant le courant
d’alimentation. Les pertes fer dynamiques dues au fondamental Pdyn ( f ) restent donc fixes et
s
r
s’identifient à Pdyn
( f ) car, pour un glissement nul, Pdyn ( f ) est nulle. La Figure 2.7 donne le pourcentage
s
par rapport à Pdyn ( f ) en
des pertes fer dues à chaque harmonique d’induction dans le stator Pdyn
Ks f
(
)
fonction de rds puis en fonction de rdr . La Figure 2.8 présente le pourcentage des pertes fer dues à
r
chaque harmonique d’induction dans le rotor Pdyn
par rapport à Pdyn ( f ) en fonction de rds puis en
K 's f
(
)
fonction de rdr . Dans ce cas les fréquences sont exprimées dans le référentiel rotorique.
ϲϰ
&KDSLWUH
12
rds = 0.4 Ϭ͘ϰ
s
Ϭ͘ϱrd = 0.5 (WXGHGHV3HUWHV)HU
rds = 0.66 Ϭ͘ϲϲ
s
Ϭ͘ϳrd = 0.7 s
Ϭ͘ϴrd = 0.8 10
8
6
4
2
0
750
850
1550
1650
2350
2450
Fréquence (Hz)
s
a) Pourcentage de Pdyn
/ Pdyn ( f ) pour la machine saine avec rdr = 0.8
Ks f
(
12
rdr = 0.4 Ϭ͘ϰ
)
rdr = 0.66 Ϭ͘ϲϲ
rdr = 0.5 Ϭ͘ϱ
rdr = 0.7 Ϭ͘ϳ
rdr = 0.8 Ϭ͘ϴ
10
8
6
4
2
0
750
850
1550
1650
2350
2450
Fréquence (HzͿ
s
s
d
b) Pourcentage de Pdyn K s f / Pdyn ( f ) pour la machine saine avec r = 0.8
(
)
s
Figure 2. 6. Pourcentage de Pdyn
/ Pdyn ( f ) pour la machine saine
Ks f
(
ϲϱ
)
&KDSLWUH
Ϭ͘ϰ
rds = 0.4 14
(WXGHGHV3HUWHV)HU
Ϭ͘ϱ
rds = 0.5 Ϭ͘ϲϲ
rds = 0.66 Ϭ͘ϳ
rds = 0.7
12
Ϭ͘ϴ
rds = 0.8
10
8
6
4
2
0
600
900
1500
1800
2400
Fréquence (Hz)
r
a) Pourcentage de Pdyn
/ Pdyn ( f ) pour la machine saine avec rdr = 0.8
K 's f
(
rdr = 0.4 Ϭ͘ϰ
14
)
rdr = 0.5 Ϭ͘ϱ
Ϭ͘ϲϲ
rdr = 0.66 rdr = 0.7 Ϭ͘ϳ
rdr = 0.8 Ϭ͘ϴ
12
10
8
6
4
2
0
600
900
1500
1800
2400
Fréquence (Hz)
r
b) Pourcentage de Pdyn
/ Pdyn ( f ) pour la machine saine avec rds = 0.8
K 's f
(
)
r
Figure 2. 7. Pourcentage de Pdyn
/ Pdyn ( f ) pour la machine saine
Ks f
(
)
r
La Figure 2.9 donne Pdyn
/P
en fonction de rds puis en fonction de rdr . Les fréquences sont
( K f ) dyn ( f )
s
exprimées dans ce cas dans le référentiel statorique. En effet, pour le rotor K 's dépend de h et k s .
Dans ce cas, à K 's donné, donc à h et k s donnés, on cherche la composante prédominante de bhke k ce
s r
ϲϲ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
qui permet de déterminer kr et donc la fréquence correspondante à cette composante d’induction dans
le repère statorique ( f = 50 ª¬1 + kr N r (1 − g )º¼ ) .
7
rds = 0.5 Ϭ͘ϱ
rds = 0.4 Ϭ͘ϰ
rds = 0.66 Ϭ͘ϲϲ
Ϭ͘ϳ
rds = 0.7 Ϭ͘ϴ
rds = 0.8 6
5
4
3
2
1
0
750
850
1550
1650
2350
2450
Fréquence (Hz)
r
a) Pourcentage de Pdyn
/ Pdyn ( f ) pour la machine saine avec rdr = 0.8 (dans le repère statorique)
Ks f
(
7
)
rdr = 0.4 Ϭ͘ϰ
r
Ϭ͘ϱrd = 0.5 rdr = 0.66 Ϭ͘ϲϲ
rdr = 0.7 Ϭ͘ϳ
rdr = 0.8 Ϭ͘ϴ
6
5
4
3
2
1
0
750
850
1550
1650
Fréquence (Hz)
2350
2450
r
b) Pourcentage de Pdyn
/ Pdyn ( f ) pour la machine saine avec rds = 0.8 (dans le repère statorique)
Ks f
(
)
r
Figure 2. 8. Pourcentage de Pdyn
/ Pdyn ( f ) pour la machine saine (dans le repère statorique)
Ks f
(
)
Sur la Figure 2.10 nous présentons la contribution des pertes fer dues aux harmoniques d’induction
s
r
dans le stator ( Pdyn
( harm ) ) et celles dues aux harmoniques d’induction dans le rotor ( Pdyn ( harm ) ) en
fonction de rds pour rdr = 0.8 .
ϲϳ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
25
Pertes fer harmoniques (W)
Stator
Rotor
20
15
10
5
0
0,4
0,5
0,66
0,7
0,8
s
d
r s
r
Figure 2. 9. Contribution de Pdyn
( harm ) et Pdyn ( harm ) dans la machine saine
L’analyse des courbes des Figures 2.7, 2.9 et 2.10 montrent que :
•
Les composantes de résonance de denture ont une contribution importante dans les pertes fer
dynamiques de la machine saine quand rds ≠ 0.5 et rdr ≠ 0.66 . Pour les valeurs particulières de
rds = 0.5 ou rdr = 0.66 (Figure 2.7) la contribution des harmoniques de denture à 2350Hz et
2450Hz est nulle. Cette propriété peut être expliquée en considérant les fonctions f( k s ) et
f( k r ) intervenant dans l’équation de la perméance d’entrefer. En effet, f( k s = ±2 ) est nulle
pour rds = 0.5 et f( kr = ±3 ) est nulle pour rdr = 0.66 engendrant ainsi l’annulation des
harmoniques d’induction correspondants et donc l’annulation des pertes fer harmoniques
correspondantes.
•
Pour rdr = 0.5 (Figure 2.9) la contribution des harmoniques de denture à 1550Hz et 1650Hz est
nulle comme cette valeur de rdr annule la fonction f( kr = ±2 ) et donc les harmoniques
d’induction correspondants.
•
La contribution des harmoniques d’induction dans les pertes fer totales n’est pas négligeable.
En effet, selon les valeurs de rds , pour rdr = 0.8 par exemple, le pourcentage des pertes fer
dues aux harmoniques d’induction dans les pertes fer totales d’une machine saine passe de 7%
si rds = 0.5 et atteint 13% si rds = 0.8 .
ϲϴ
&KDSLWUH
•
(WXGHGHV3HUWHV)HU
Pour rds = 0.4 et rdr = 0.8 (Figure 2.10) les pertes fer harmoniques générées par le stator
constituent presque 64% des pertes fer harmoniques totales alors que les pertes fer
harmoniques générées par le rotor constituent 36%. En présentant le résultat autrement, nous
pouvons dire que les pertes fer harmoniques générées par le rotor présentent 56% des pertes
fer harmoniques générées par le stator. Pour le cas particulier où rds = 0.5 , la contribution du
stator et du rotor dans les pertes fer harmoniques totales est très proche. Elle est de 56% pour
le stator et de 44% pour le rotor. Dans ce cas les pertes fer harmoniques dues au rotor
constituent 78% des pertes fer harmoniques dues au stator.
Le Tableau 2.2 présente le pourcentage des pertes fer dynamiques harmoniques ( Pdyn( harm ) ) par rapport
aux pertes fer dynamiques totales ( Pdyn ) en fonction de rds et rdr . Ce pourcentage est assez important
pour certaines valeurs de rds
et rdr et peut atteindre 36% pour rds = rdr = 0.8 . Cependant, un bon
ajustement de ces paramètres peut baisser ce pourcentage jusqu’à 5% si rds = rdr = 0.5 . Dans le
Tableau 2.3 nous présentons les pertes fer totales en fonction de rds
et rdr sachant que les pertes
statiques valent167 W. Ces pertes totales sont minimales quand rds = rdr = 0.5 . Dans ce cas la
contribution des harmoniques de denture aux fréquences 1550Hz, 1650Hz, 2350Hz et 2450Hz est nulle
engendrant ainsi une minimisation des pertes fer dynamiques harmoniques et par conséquent une
réduction notable des pertes fer totales de la machine.
rds
rdr
0.4
0.5
0.66
0.7
0.8
0.4
0.5
0.66
0.7
0.8
16.23
11.24
25
28.5
30
12.57
4.9
16.81
18.9
21
19.64
15.25
27.8
29.7
32.2
25.56
19.3
28.6
32.8
33.4
29.62
22.3
31.25
34.3
35.7
Tableau 2. 2 .Pourcentage de Pdyn ( harm ) / Pdyn dans la machine saine
rds
rdr
0.4
0.5
0.66
0.7
0.8
0.4
0.5
0.66
0.7
0.8
234
232
243
249
253
231
226
229
237
243
236
233
246
251
254
244
239
250
254
257
254
244
256
258
260
Tableau 2. 3. Pertes fer totales pour une machine saine en fonction de rds et rdr
ϲϵ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
rds et rdr sont des paramètres importants qui peuvent être exploités pour la minimisation des pertes fer
de la machine tournante en annulant certaines composantes d’induction. En effet, en ajustant ces
paramètres, les pertes fer harmoniques peuvent baisser de 31% et les pertes fer totales peuvent baisser
de 13% (différence entre le cas où rds = rdr = 0.5 et le cas où rds = rdr = 0.8 ).
9(WXGHQXPpULTXH
(WXGHQXPpULTXH
L'analyse analytique est basée sur plusieurs hypothèses concernant la perméance d’entrefer ainsi que
la répartition de l’induction statorique et rotorique dans le fer. Le but de l'étude par éléments finis est
de vérifier que les propriétés mises en évidence dans le développement analytique sont toujours
valables dans le cas d'une géométrie réelle où certaines hypothèses ne sont pas introduites. Dans cette
étude numérique, on ne s’intéresse pas au calcul des pertes fer, on va plutôt se concentrer sur le calcul
de l’induction statorique afin de vérifier la possibilité d'annuler des composantes d’induction liées au
phénomène de résonance de denture par un choix adéquat de rds et rdr .
Description du problème:
Une étude numérique basée sur l'analyse par éléments finis permet d’obtenir la variation spatiale ou
temporelle de l’induction à n'importe quel point dans la machine. Une analyse de Fourier peut être
effectuée par la suite pour déterminer l'amplitude des harmoniques d’induction. Cependant, une
analyse approfondie destinée à comparer les résultats analytiques et les résultats de simulation s’avère
difficile car chaque harmonique est la somme de plusieurs composantes élémentaires. En effet, la
composante Bˆ hke s kr n'est pas physique, elle apparaît toujours sous la forme d'une composition de
différents termes suite à des sommations. Rappelons l’induction d’entrefer donnée par :
be =
¦ Bˆ
e
hks kr
(
cos ωt − (h + ks N ts + kr N tr )α s + kr N trθ
)
(2.10)
hks kr
A α s donné, les rangs des harmoniques de temps dépendent de kr . Mais à kr donné, il est nécessaire
de faire la somme de toutes les composantes d'amplitude Bˆ hes k k résultant de h et k s . Dans cette étude
s r
numérique, on s’intéressera aux harmoniques de résonance de denture
correspondant à h = p ,
k s N s + kr N r = 0 . Ajoutons qu’une autre difficulté de cette analyse est que l'amplitude de ces
composantes est faible en la comparant à celle du fondamental où kr = 0 ( ≈ 1% du fondamental) et
des harmoniques précédents ( kr = ±1, ±2 ). Néanmoins, comme ces composantes ont un nombre de
paire de pôles faible H s = p , une méthode basée sur les propriétés concernant l'atténuation de ces
composantes sur la hauteur de la culasse statorique sera exploitée.
ϳϬ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
Méthodologie et principe de simulation
Le problème est simulé en magnétostatique. On considère une machine triphasée à 2 pôles, Nts = 12
et Ntr = 8 comme présenté à la Figure 2.12. Précisons qu’il s’agit d’une machine simplifiée ayant
uniquement pour but de vérifier les propriétés concernant les harmoniques d’induction. Cette machine
présente toutefois une résonance de denture de même ordre que la machine présentée dans le
paragraphe II de ce chapitre ( k s = ±2 , kr = ±3 ). Les dimensions géométriques sont également les
mêmes. Le stator est alimenté par des courants constants (ω = 0 ) pour éliminer la variation temporelle
du fondamental ( H s = 1; K s = 1) : i1s = 2 I s et i2s = i3s = −
2I s
correspondant à t=0 avec I s =4A. Les
2
simulations sont effectuées à différentes positions du rotor : θ varie de 0° à 45° ce qui correspond à un
pas dentaire rotorique. Le pas de calcul est de 1.25°. Pour mettre en évidence les propriétés
d'atténuation des composantes d’induction, la composante normale de l’induction sera calculée à un
s
endroit très proche de la périphérie externe du stator ( x ≈ Rext
) . Cet endroit correspond au point P sur
l’axe d s à α s = 0 comme présenté à la Figure 2.12. Nous supposons qu’au point P les harmoniques
de nombre de paire de pôles élevé sont fortement atténués et ne reste que les harmoniques de faible
atténuation comme H s = 1 . Dans ces conditions, et en se référant à (2.10), la formulation analytique
permet de définir la composante normale de l’induction au point P comme suit :
bns( P ) = ¦ C1 Bˆ kr cos ( kr N trθ )
(2.11)
kr
C1 est le coefficient d'atténuation sur la hauteur de la culasse statorique. L’amplitude Bˆkr est donnée
par :
Bˆkr = ¦ Bˆ h ,ks , kr
(2.12)
h , ks
Les paramètres h, k s , kr vérifient la relation: h + ks N ts + kr N tr = 1 . On s’intéresse au premier rang des
harmoniques de résonance de denture vérifié pour h = 1 , k s = ±2 , kr = ±3 . Comme Bˆ1,2,−3 = Bˆ1, −2,3 , leur
contribution dans l’induction normale au point P s’exprime par :
bns( P ), k
L’équation (2.13) montre que bns( P), k
r =3
r =3
= 2C1 Bˆ1, −2,3 cos ( 24θ )
(2.13)
est périodique de période π / 12 . Pour l'analyse numérique,
deux formes d’encoches sont traitées en imposant toutefois les profondeurs réelles. Dans le premier
ϳϭ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
cas des encoches rectangulaires (Figure 2.11.a), correspondant au modèle utilisé dans les calculs
analytiques sont étudiées. Dans le deuxième cas, des encoches semi-fermées sont traitées. Dans ce cas,
nous gardons les mêmes encoches et nous rajoutons un épanouissement dentaire (Figure 2.11.b). La
Figure 2.11 présente aussi les paramètres géométriques utilisés pour définir rds et rdr . Pour chaque
forme d’encoches deux cas sont traités :
•
rds = rdr = 0.8 .
•
rds = 0.5 et rdr = 0.8 .
Pour les encoches semi-fermées, la zone semi-fermée est généralement saturée, par conséquent nous
ne pouvons pas considérer les paramètres géométriques lds , les , ldr , ler au niveau de l’entrefer ..
s
e
l lds Epanouissement dentaire
lds les e
ldr ler ler a)- Encoches rectangulaires
ldr b)- Encoches semi-fermées
Figure 2. 10. Formes d’encoches
Résultats de simulation
Commençons par les encoches rectangulaires où rds = rdr =0.8. Les lignes de champ sont présentées à la
Figure 2.12. Selon le chemin des lignes de champ, on peut remarquer que l'axe d s ne coïncide pas
exactement avec l’axe polaire, comme il doit l’être avec les conditions de simulation considérées. En
effet, les encoches rotoriques décalent l'axe polaire. Ce phénomène n'apparaît pas dans le modèle
analytique. Notons bns(*P ) l’induction normale au point P issue des simulations numériques. La Figure
2.13 présente l’évolution de bns(*P ) en fonction de θ . Dans la Figure 2.14 nous présentons l’induction
d’entrefer calculée au niveau du point P’ notée b(eP* ') . Nous pouvons remarquer que bns(*P ) peut être
considéré comme périodique de période π / 12 ce qui signifie qu’elle est principalement due aux
harmoniques de résonance denture donnés par (2.13). La valeur moyenne (2.44 *10−3 T ) correspond au
ϳϮ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
fondamental obtenu pour kr = 0 et H s = 1 . La variation de bns(*P ) autour de cette valeur moyenne peut
être utilisée pour déterminer l’amplitude de bns( p ), k =3 . Comme le fondamental s’atténue de la même
r
façon que les harmoniques de résonance de denture, on peut conclure que les harmoniques B̂1,2, −3 et
B̂1, −2,3 représentent approximativement 1.4% du fondamental [JELASSI, 2010b]. Ce résultat est
cohérent compte tenu du résultat présenté dans le Tableau 1.5. Sur la Figure 2.14 la courbe b(eP* ') de
période π / 4 correspond au premier harmonique de denture (kr ± 1) présent dans l’entrefer. Son
amplitude relative est élevée (plus de 10% du fondamental). La comparaison entre ces deux courbes
permet de vérifier que les harmoniques de résonance de denture se propagent sur une surface plus
importante dans le fer que les harmoniques de grande polarité qui sont fortement atténués. L’étude
numérique montre que l’induction due au fondamental et qui correspond à H s = 1 s’atténue de 0.3%
sur la hauteur de la culasse statorique. Ce résultat confirme le résultat théorique présenté dans le
paragraphe II du chapitre 1 (Tableau 1.2) où la composante d’induction correspondant à H s = 1
s’atténue de 0.2%. Ces atténuations sont dans le même ordre de grandeur. La différence peut
s’expliquer par le fait que dans l’étude analytique les armatures sont lisses. La présence d’encoches
dans la simulation numérique revient à considérer une épaisseur plus faible derrière les dents,
conduisant donc à moins d’atténuation.
Figure 2. 11. Lignes de champ pour les encoches rectangulaires pour rds = rdr = 0.8
ϳϯ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
*10 −3 Tesla 2,48
2,46
2,44
2,42
2,4
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
θ ( °) Figure 2. 12. bns(*P ) pour rds = rdr = 0.8 pour les encoches rectangulaires
Tesla 0,9
0,85
0,8
0,75
0,7
0,65
0,6
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
θ ( °) Figure 2. 13. b(eP* ') pour rds = rdr = 0.8 pour les encoches rectangulaires
Considérons maintenant le cas où rds =0.5 et rdr =0.8. Le calcul de bns(*P ) conduit à la courbe de la
Figure 2.15. Cette courbe est différente de celle de la Figure 2.13. En effet bns(*P ) est presque constante
dans ce cas. La variation qui indique la présence des harmoniques de résonance de denture d’ordre 1
est presque nulle. La faible variation qui reste correspond aux harmoniques de résonance de denture
d’ordre 2 ( kr = ±6 ) . La courbe de b(eP* ') est donnée par la Figure 2.16. Nous remarquons que la
variation de l’induction dans l’entrefer a aussi diminué par rapport à celle donnée par la Figure 2.14.
ϳϰ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
*10 −3 Tesla 2,424
2,416
2,408
2,4
2,392
2,384
2,376
2,368
2,36
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
θ ( °) s*
s
r
Figure 2. 14. bn ( P ) pour rd =0.5 et rd =0.8 pour les encoches rectangulaires
Tesla 0,75
0,7
0,65
0,6
0,55
0
5
10
15
20
25
θ ( °) 30
35
40
45
Figure 2. 15. b(eP* ') pour rds = 0.5 et rdr = 0.8 pour les encoches rectangulaires
Les résultats concernant l’annulation des harmoniques de résonance de denture quand rds = 0.5 et
rdr = 0.8 sont donc vérifiés numériquement pour des encoches rectangulaires à la Figure 2.15.
Considérons maintenant les encoches semi-fermées dont les lignes de champ sont présentées à la
Figure 2.17. Dans ce cas nous utilisons un matériau non linéaire, dont la courbe B(H) est donnée par la
Figure 2.18, car comme indiqué précédemment l’épanouissement dentaire est saturé. Les Figures 2.19
et 2.20 présentent bns(*P ) pour rds = 0.8 et rds = 0.5 respectivement avec rdr = 0.8 . Le phénomène de
résonance de denture est encore visible sur la Figure 2.19. Cependant, on peut observer que la valeur
ϳϱ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
théorique optimale de rds n’aboutit pas à une véritable annulation des harmoniques de résonance de
denture comme présenté dans la Figure 2.20. Dans les Figures 2.21 et 2.22 ont présente b(eP* ') pour
rds = 0.8 et rds = 0.5 respectivement avec rdr = 0.8 .
s
d
r
d
Figure 2. 16. Lignes de champ pour r = 0.5 et r = 0.8 pour les encoches semi-fermées
B (T)
H (A/m)
Figure 2. 17. Courbe B(H)
ϳϲ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
*10 −3 Tesla 3,52
3,48
3,44
3,4
3,36
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
θ ( °) s
r
Figure 2. 18. bns(*P ) pour rd = rd = 0.8 pour les encoches semi-fermées
*10 −3 Tesla 4,5
4,45
4,4
4,35
4,3
4,25
4,2
0
5
10
15
20
25
θ ( °) 30
35
40
45
Figure 2. 19. bns(*P ) pour rds = 0.5 et rdr = 0.8 pour les encoches semi-fermées
ϳϳ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
Tesla Ϭ͕ϵ
Ϭ͕ϴϱ
Ϭ͕ϴ
Ϭ͕ϳϱ
Ϭ͕ϳ
Ϭ͕ϲϱ
Ϭ͕ϲ
Ϭ
ϱ
ϭϬ
ϭϱ
ϮϬ
Ϯϱ
ϯϬ
ϯϱ
ϰϬ
ϰϱ
θ ( °) Figure 2. 20. b(eP* ') pour rds = rdr = 0.8 pour les encoches semi-fermées
Tesla Ϭ͕ϴϱ
Ϭ͕ϴ
Ϭ͕ϳϱ
Ϭ͕ϳ
Ϭ͕ϲϱ
Ϭ͕ϲ
Ϭ͕ϱϱ
Ϭ͕ϱ
Ϭ
ϱ
ϭϬ
ϭϱ
ϮϬ
Ϯϱ
ϯϬ
ϯϱ
ϰϬ
θ ( °) ϰϱ
Figure 2. 21. b(eP* ') pour rds = 0.5 et rdr = 0.8 pour les encoche semi-fermées
L’analyse numérique montre que la minimisation des pertes fer harmoniques est encore possible dans
le cas des encoches de forme réelle (semi-fermées) associée à l’effet de la saturation. Cependant, une
analyse plus précise des paramètres géométriques est nécessaire pour optimiser l’annulation des
harmoniques de résonance de denture.
9,$SSOLFDWLRQDXFDVGHODPDFKLQHHQGpIDXW
$SSOLFDWLRQDXFDVGHODPDFKLQHHQGpIDXW
DXFDVGHODPDFKLQHHQGpIDXW
Nous étudierons le comportement des harmoniques d’induction dus à l’effet de denture vis-à-vis du
court-circuit entre spires statoriques sur plusieurs étapes :
ƒ
nous calculons les pertes fer totales pour la machine en défaut.
ϳϴ
&KDSLWUH
ƒ
(WXGHGHV3HUWHV)HU
nous estimons la contribution des pertes fer dues aux harmoniques d’induction dans
les pertes fer totales.
ƒ
nous évaluons la variation des pertes fer et surtout le comportement des harmoniques
de denture suite au défaut.
ƒ
nous étudions l’influence de rds et rdr sur les pertes fer.
Nous reprenons le modèle semi-analytique, encoche par encoche, dans lequel les encoches concernées
par le défaut de court-circuit deviennent indépendantes car le courant iqs0 n’y circule plus. Néanmoins,
il y existe un courant induit iqcs = iqs − ic
où q=1 dans la Figure 1.13. Le Tableau 2.4 présente les
résultats obtenus par le modèle semi analytique utilisé en distinguant les pertes fer statiques et
dynamiques dues au fondamental et aux harmoniques d’induction générées par les armatures
statoriques et rotoriques pour I c = 10 A puis I c = 20 A sachant que nous avons court-circuité 12.5% de
l’enroulement statorique. En comparant les résultats présentés dans le Tableau 2.4 à ceux de la
machine saine présentés dans le Tableau 2.1 nous remarquons que :
ƒ
En présence du défaut de court-circuit entre spires statoriques les pertes fer sont plus
importantes que dans le cas de la machine saine. L’augmentation relative notée « ∆Pf » n’est
pas négligeable comme le montre les valeurs numériques. En effet, pour un courant de court
circuit de 20A l’augmentation des pertes fer atteint 28% par rapport au cas sain.
ƒ
Plus le courant de court-circuit est élevé plus les pertes fer sont importantes.
ƒ
Les pertes fer dues aux harmoniques de denture augmentent en présence du court-circuit entre
spires statoriques comme le montre la décomposition des pertes fer présentée par la Figure
2.23, ce qui participe à l’augmentation des pertes fer totales signalée dans le Tableau 2.4.
ƒ
Dans le cas de la machine défectueuse les harmoniques de résonance de denture à 2350Hz et
2450Hz n’ont pas la contribution la plus importante dans les pertes fer. Cette fois ci, ce sont
les harmoniques à 750Hz et 850Hz qui contribuent le plus dans les pertes dynamiques. En
effet, en examinant les Tableaux 1.5 et 1.6 on remarque que pour K s = 47 et K s = 49 donc
(f
= 2350 Hz; f = 2450 Hz ) la composante d’induction
prédominante correspondant à
H s = 2 est d’amplitude relativement faible. Cependant, pour les harmoniques de denture de
rang K s = 15 et K s = 17
(f
= 750 Hz; f = 850 Hz ) , on voit que l’amplitude des composantes
élémentaires a augmenté considérablement par rapport au cas de la machine saine. On note
aussi l’apparition, parmi les nouvelles composantes élémentaires, d’une composante
élémentaire prédominante de faible nombre de paires de pôles H s = 2 et d’amplitude plus
importante que celle à 2350Hz et 2450Hz, ainsi qu’une composante élémentaire de nombre de
ϳϵ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
paires de pôles H s = 1 . Les composantes d’induction générées à 750Hz et 850Hz sont donc
peu atténuées dans le fer aboutissant ainsi à la génération de pertes dynamiques importantes,
voire prépondérantes dans le cas de la machine défectueuse.
ƒ
En présence du défaut le pourcentage des pertes fer dues aux harmoniques de denture
augmente par rapport à leur pourcentage dans le cas de la machine saine [JELASSI, 2010a].
10
20
180.7
189.8
s
Pstat
(harm) (W)
0
0
s
Pdyn
( f ) (W)
78
84.6
s
(W)
Pdyn
(harm)
23
31.6
I c ( A)
s
stat ( f )
(W)
P
r
stat ( f )
(W)
0
0
r
stat (harm)
(W)
0
0
(W)
0
0
r
Pdyn
(harm) (W)
14.3
19.8
Pfer (W)
296
326
∆Pfer (%)
16.5
28
Pourcentage
harmoniques (%)
12.6
15.7
P
P
r
dyn ( f )
P
Tableau 2. 4. Pertes fer pour la machine défectueuse
Pertes fer harmoniques (W)
14
^ĠƌŝĞϭ
I c = 10 A ^ĠƌŝĞϮ
I c = 20 A 12
10
8
6
4
2
0
750
850
1550
1650
2350
2450
Fréquence (Hz)
Figure 2. 22. Décomposition des pertes fer pour la machine défectueuse
ǦͳǦˆˆ‡–•†‡ rds ‡– rdr •—”Ž‡•’‡”–‡•ˆ‡”†‡Žƒƒ…Š‹‡†±ˆ‡…–—‡—•‡
Les résultats théoriques et numériques présentés précédemment, concernant la machine saine,
montrent que rds et rdr peuvent contribuer à la diminution des pertes fer dues aux harmoniques de
ϴϬ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
denture et donc à la diminution des pertes fer totales. On propose ici de vérifier si les propriétés mises
en évidence dans le cas de la machine saine sont toujours valables pour la machine défectueuse. Nous
utilisons le modèle semi-analytique qui tient compte des courants rotoriques et du déséquilibre des
courants statoriques lors de l’apparition du court-circuit entre spires statoriques avec I c = 20 A . Les
Figures 2.24 et 2.25 présentent les pertes fer dues aux harmoniques de denture dans le stator et le rotor
pour rdr = 0.8 puis pour rds = 0.8 respectivement.
20
s
Ϭ͘ϰrd = 0.4
s
Ϭ͘ϱrd = 0.5
rds = 0.66
Ϭ͘ϲϲ
rds = 0.7
Ϭ͘ϳ
rds = 0.8 Ϭ͘ϴ
Pertes fer harmoniques (W)
16
12
8
4
0
750
850
1550
1650
Fréquence (Hz)
2350
2450
s
d
r
d
Figure 2. 23. Pertes fer harmoniques de la machine défectueuse en fonction de r pour r = 0.8
Pertes fer harmononiques (W)
20
r
0.4rd = 0.4 0.5rdr = 0.5 0.66
rdr = 0.66 r
0.7rd = 0.7 r
0.8rd = 0.8 16
12
8
4
0
750
850
1550
1650
2350
2450
Fréquence (Hz)
Figure 2. 24. Pertes fer harmoniques de la machine défectueuse en fonction de rdr pour rds = 0.8
ϴϭ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
Sur la Figure 2.24 nous remarquons que pour rds = 0.5 les pertes fer dues aux harmoniques de
résonance de denture à 2350Hz et 2450Hz sont nulles. De même, sur la Figure 2.25 on peut voir que
quand rdr = 0.66 les pertes fer dues aux harmoniques de résonance de denture sont nulles. D’autre part
quand rdr = 0.5 les pertes fer dues aux harmoniques de denture à 1550Hz et 1650Hz sont nulles. Les
pertes fer dues aux harmoniques de denture qui disparaissent pour certaines valeurs de rds
et rdr
contribuent à la réduction des pertes fer harmoniques comme dans le cas de la machine saine. Cette
diminution des pertes fer harmoniques va se répercuter sur les pertes fer totales en les diminuant
comme le montre le Tableau 2.5:
rdr
0.4
0.5
0.66
0.7
0.8
0.4
0.5
rds
0.66
319
309
321
324
326
315
303
312
319
321
322
312
326
329
331
0.7
0.8
327
323
333
336
338
329
326
337
341
344
Tableau 2. 5. Pertes fer totales pour une machine défectueuse en fonction de rds et rdr
Le cas idéal où les pertes fer sont optimales est le cas de rds = rdr = 0.5 comme le montre le Tableau
2.5. En effet, dans ce cas de figure les pertes fer dues aux harmoniques d’induction à 1550Hz, 1650Hz,
2350Hz et 2450Hz sont nulles. La variation relative des pertes fer par rapport aux pertes fer du cas
idéal est donnée par le Tableau 2.6 :
rds
rdr
0.4
0.5
0.66
0.7
0.8
0.4
0.5
0.66
0.7
0.8
5.3
2
6
7
7.6
4
0
3
5.2
6
6.3
3
7.6
8.6
9.3
7.9
6.6
10
10.9
11.6
8.6
7.6
11.22
12.54
13.6
Tableau 2. 6. Pourcentage d’augmentation des pertes fer par rapport au cas idéal
Le choix judicieux de rds et rdr lors de la conception de la machine est donc important pour minimiser
les pertes fer dues aux harmoniques d’induction et donc minimiser les pertes fer totales. Sur les
Figures 2.26 et 2.27 on présente les pertes fer dues aux harmoniques d’induction générés au stator et
au rotor :
ϴϮ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
Pertes fer harmoniques (W)
35
Stator
Rotor
30
25
20
15
10
5
0
0,4
0,5
0,66
0,7
0,8
s
d
r Figure 2. 25. Pertes fer harmoniques au stator et au rotor pour I c = 10 A
40
Stator
Rotor
Pertes fer harmoniques (W)
35
30
25
20
15
10
5
0
0,4
0,5
0,66
0,7
0,8
rds Figure 2. 26. Pertes fer harmoniques au stator et au rotor pour I c = 20 A
La contribution des pertes fer statoriques et rotoriques dues aux harmoniques d’induction dans les
pertes fer harmoniques totales est présentée par le Tableau 2.7:
ϴϯ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
I c = 10 A
s
dyn ( harm )
P
rds = 0.4
s
d
r = 0.5
(%)
I c = 20 A
r
dyn ( harm )
P
(%)
s
dyn ( harm )
P
(%)
r
Pdyn
( harm ) (%)
65.6
34.4
61
39
56
44
54
46
65.5
34.5
60
40
s
d
66
34
62
38
s
d
67
33
59
41
s
d
r = 0.66
r = 0.7
r = 0.8
Tableau 2. 7. Pourcentage des pertes fer harmoniques statoriques et rotoriques dans les pertes fer harmoniques
totales
En présence du défaut de court-circuit, le stator génère plus que 60% des pertes fer harmoniques
totales quand rds ≠ 0.5 . Cela signifie que les pertes fer harmoniques générées par le rotor forment
presque 66% des pertes fer harmoniques générées par le stator. Dans le cas où rds = 0.5 , le stator
génère presque 54% des pertes fer harmoniques totales. La contribution du rotor constitue alors 85%
de celle du stator. En récapitulant les résultats, quel que soit l’état de la machine, saine ou défectueuse,
la contribution du rotor dans les pertes fer harmoniques totales est plus importante quand rds = 0.5
mais elle reste tout de même moins importante que celle du stator.
ϴϰ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
ǦʹǦ–‹Ž‹•ƒ–‹‘†ǯ—‘†°Ž‡±Ž‡…–”‘ƒ‰±–‹“—‡•‹’Ž‹ˆ‹±’‘—”Ž‡…ƒŽ…—Ž†‡•’‡”–‡•ˆ‡”
†ƒ•Žƒƒ…Š‹‡†±ˆ‡…–—‡—•‡
Les résultats présentés précédemment concernant la machine en défaut sont issus du modèle semianalytique qui tient compte des courants rotoriques et du déséquilibre des courants statoriques lors de
l’apparition du court-circuit entre spires statoriques. Afin de différencier la part du déséquilibre des
courants statoriques de la part du défaut de court-circuit entre spires dans les pertes fer, un deuxième
calcul de pertes fer dans la machine défectueuse a été effectué en utilisant un modèle analytique
simplifié. Ce modèle a été présenté dans [THAILLY, 2007a] où on fait l’hypothèse que les courants
d’alimentation restent inchangés lors de l’apparition du court-circuit. Il n’y a plus donc de déséquilibre
au niveau des courants statoriques. On néglige aussi l’effet des courants rotoriques. De ce fait, il est
donc possible de conserver les résultats obtenus pour la machine saine et d’y ajouter les effets
engendrés par le défaut comme le montre la Figure 2.28 où ncs spires, parmi les n s spires d’une
section élémentaire, sont court-circuitées. La partie saine est parcourue par le courant en ligne iqs . Les
spires court-circuitées sont parcourues par le courant de court-circuit ics ainsi que par un courant
s
tel que:
s’opposant au courant en ligne, ce qui nous amène à introduire un courant virtuel i 'qc
s
i 'qc
= iqs − ics
(2.14)
ncs ns ns iqs ≡
iqs ncs +
s
i 'qc
rc Figure 2. 27. Modèle simplifié du court-circuit entre spires
Nous pouvons se passer ainsi du modèle électrique qui calcule les trois courants statoriques
séparément, et les courants rotoriques. Ce modèle utilise des hypothèses simplificatrices qui
engendrent forcément des erreurs de calculs et qui donnent des résultats moins précis. Cependant, il
permet d’éviter de reprendre les calculs fastidieux à l’origine pour la machine complète en défaut et
permet, surtout, de bien mettre en évidence les phénomènes supplémentaires dus au défaut. Les
ϴϱ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
résultats de calcul des pertes fer statiques et dynamiques dans ce cas sont présentés dans le Tableau
2.8. La décomposition des pertes fer harmoniques est donnée par la Figure 2.29. Avec ce modèle
simplifié nous pouvons donc évaluer l’effet du court-circuit seul sur les pertes fer de la machine
asynchrone. En comparant les résultats du Tableau 2.8 et ceux présentés dans le Tableau 2.4 on voit
bien que la prise en compte du déséquilibre des courants statoriques ainsi que l’effet des courants
rotoriques lors de l’apparition du court-circuit entre spires statoriques augmente les pertes fer totales
ainsi que les pertes fer harmoniques. On remarque aussi que le court-circuit a un effet plus important
sur les pertes fer que le déséquilibre des courants statoriques. Dans la Figure 2.30 on compare les
résultats issus du modèle semi-analytique qui tient compte du déséquilibre des courants statoriques et
les résultats issus du modèle simplifié. Cette comparaison montre que l’apparition du déséquilibre qui
se rajoute au court-circuit ne contribue pas à l’apparition de nouvelles raies de denture mais elle
contribue à l’augmentation des pertes fer dues à chaque harmonique de denture. On remarque aussi
que les raies à 750Hz et 850Hz sont les raies prédominantes dans les deux cas. En utilisant donc le
modèle simplifié on sous-estime les pertes fer. Néanmoins, pour obtenir des résultats précis et proche
des résultats réels, il ne faut pas négliger ce déséquilibre qui apparait bien lors de l’apparition du
court-circuit.
I c ( A)
10
20
s
Pstat
( f ) (W)
178
183
s
Pstat
(harm) (W)
0
0
s
Pdyn
( f ) (W)
73
79
s
(W)
Pdyn
(harm)
19
25.2
r
(W)
Pstat
(f)
0
0
r
Pstat
(harm) (W)
0
0
r
Pdyn
( f ) (W)
0
0
r
Pdyn
(harm) (W)
11
15.8
Pfer (W)
281
303
∆Pfer (%)
11
19.3
Pourcentage
10.6
13.5
harmoniques (%)
Tableau 2. 8. Pertes fer pour la machine défectueuse en utilisant le modèle simplifié
ϴϲ
&KDSLWUH
Pertes fer harmoniques (W)
10
(WXGHGHV3HUWHV)HU
ĞсϮ
I c = 10 A Ğсϰ
I c = 20 A 8
6
4
2
0
750
850
1550
1650
2350
2450
Fréquence (Hz)
Figure 2. 28. Décomposition des pertes fer pour la machine défectueuse en utilisant le modèle simplifié
10
Modèle simplifié
Modèle réel
Pertes fer harmoniques (W)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
750
850
1550
1650
2350
2450
Fréquence (Hz)
a) I c = 10 A ϴϳ
&KDSLWUH
Modèle simplifié
ϭϰ
Pertes fer harmoniques (W)
(WXGHGHV3HUWHV)HU
Modèle réel
ϭϮ
ϭϬ
ϴ
ϲ
ϰ
Ϯ
Ϭ
750
850
1550
1650
2350
2450
Fréquence (Hz)
b) I c = 20 A Figure 2. 29. Comparaison du modèle simplifié et du modèle réel
9,,
9,,&DOFXOGHVSHUWHVIHUHQWHQDQWFRPSWHGHODIRUPHUpHOOH
&DOFXOGHVSHUWHVIHUHQWHQDQWFRPSWHGHODIRUPHUpHOOH
OHGHO·HQWUHIHU
GHO·HQWUHIHU
Dans les calculs précédents nous avons considéré une armature statorique lisse. Pour aboutir à des
résultats plus précis avec le moins d’hypothèses utilisées, nous calculons dans cette partie les pertes
fer de la machine asynchrone en tenant compte de la forme réelle de l’entrefer c'est-à-dire la présence
des encoches et des dents statoriques comme indiqué à la Figure 2.31.
Rotor Stator e
Figure 2. 30. Géométrie de la machine
Le volume du fer est moins important dans ce cas à cause de la présence des encoches. Cependant, les
dents risquent de se saturer et donc d’engendrer plus de pertes fer. La méthode de calcul consiste à
déterminer premièrement l’induction statoriques dans les dents. A cet endroit on tient compte de la
saturation du matériau. On calcule par la suite l’induction statorique au dos d’encoches. Cela revient à
ϴϴ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
calculer l’induction en considérant une armature statorique lisse avec une culasse plus petite que celle
utilisée dans les paragraphes II et VI de ce chapitre. La méthode de calcul de l’induction dans cette
partie de la machine est donc la même que celle présenté dans le paragraphe II du chapitre 1. Les
conditions aux limites restent les mêmes sauf celles à x = Rints seront décalées à x = Rints + d es . Une fois
les inductions statoriques sont déterminées dans les dents et la culasse, on passe au calcul des pertes
fer correspondantes. L’objectif de cette étude, à part la minimisation des erreurs de calcul, est
d’estimer dans quelle mesure les résultats sont modifiés en levant l’hypothèse de l’armature statorique
lisse. Dans le Tableau 2.9 nous présentons les pertes fer statiques et dynamiques pour une machine
saine et une machine défectueuse avec un courant de court-circuit de 20A. La machine présente les
mêmes caractéristiques électriques et géométriques que celles présentées dans le paragraphe II. En
comparant les résultats issus de ce modèle à ceux issus du modèle avec une armature statorique lisse
(Tableaux 2.1 et 2.4), nous remarquons que les pertes fer dans ce cas sont moins importantes. On voit
aussi que les pertes dues aux harmoniques d’induction ont une contribution moins importante dans les
pertes fer totales que ce soit pour la machine saine ou pour la machine défectueuse. On remarque alors
que dans ce cas de figure, même si les pertes fer peuvent être plus importantes dans les dents, les
pertes fer générées par l’ensemble du stator et du rotor sont moins importantes que celles générées par
la machine ayant un entrefer constant. Nous pouvons conclure donc qu’en utilisant le modèle avec des
armatures lisses on surestime les pertes fer de la machine asynchrone quel que soit son état.
I c ( A)
0
4
s
Pstat
( f ) (W)
133.65
174
s
Pstat
(harm) (W)
0
0
s
Pdyn
( f ) (W)
79.8
89.6
s
(W)
Pdyn
(harm)
14.2
27.5
r
(W)
Pstat
(f)
0
0
r
Pstat
(harm) (W)
0
0
r
Pdyn
( f ) (W)
0
0
r
Pdyn
(harm) (W)
8.3
14.9
Pfer (W)
236
306
∆Pfer (%)
0
29.7
Pourcentage
9.6
13.8
harmoniques (%)
Tableau 2. 9. Pertes fer pour la machine saine et la machine défectueuse dans le cas d’une armature statorique
dentée
ϴϵ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
La décomposition des pertes fer harmoniques est présentée à la Figure 2.32. Nous remarquons que
dans le cas de la machine saine les harmoniques de résonance de denture ont la contribution la plus
importante dans les pertes fer. Cependant, ces composantes sont peu influencées par le court-circuit
entre spires statoriques. En effet, l’augmentation des pertes fer dues à ces harmoniques de résonance
de denture est moins importante par rapport à l’augmentation des pertes fer dues aux autres
harmoniques d’induction. Ce résultat confirme le résultat trouvé lors du calcul des pertes fer avec un
modèle de machine asynchrone à armature statorique lisse. Nous avons calculé aussi les pertes fer en
fonction de rds pour une machine saine et une machine défectueuse. La comparaison des résultats issus
de ce calcul et des résultats issus du calcul dans la machine à armature statorique lisse est présentée à
la Figure 2.33. A partir de ces courbes on voit bien qu’en tenant compte de la forme dentée de
l’armature statorique les pertes fer ont diminué par rapport au cas d’une machine à armature lisse, dans
le cas sain et en présence du court-circuit entre spires statoriques quel que soit la valeur de rds . La
variation relative des pertes fer entre le cas de l’armature statorique lisse et le cas de l’armature
statorique dentée [(Pertes fer pour armature lisse-Pertes fer pour armature dentée)/Pertes fer pour
armature dentée] est présentée dans le Tableau 2.10. En levant donc l’hypothèse de l’armature lisse
les pertes fer peuvent diminuer de presque 10% selon l’état de la machine (saine ou en défaut) et
selon rds .
12
Pertes fer harmoniques (W)
Ɛ Ic = 0 Ě I c = 20 A 10
8
6
4
2
0
750
850
1550
1650
2350
2450
Fréquence (Hz)
Figure 2. 31. Décomposition des pertes fer pour la machine saine et la machine défectueuse
dans le cas d’une machine à armature statorique dentée
ϵϬ
&KDSLWUH
280
(WXGHGHV3HUWHV)HU
Armature lisse
Armature dentée
Pertes fer totales (W)
270
260
250
240
230
220
210
200
0,4
0,5
0,66
0,7
0,8
rds a)- Machine saine
Armature lisse
350
Armature dentée
Pertes fer totales (W)
340
330
320
310
300
290
280
270
260
0,4
0,5
0,66
0,7
0,8
s
d
r b)- I c = 20 A
Figure 2. 32. Pertes fer totales pour une machine à armature statorique lisse et une machine à
armature dentée
Ic = 0 I c = 20 A rds =0.4
rds =0.5
rds =0.66
rds =0.7
rds =0.8
7.2
8.5
5.4
5.7
6.3
6.5
9.6
6.7
7.6
6.8
Tableau 2. 10. Variation relative des pertes fer entre la machine à armature dentée et la machine à armature
lisse (en %)
ϵϭ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
9,,,
9,,,(WXGHH[SpULPHQWDOHGHVSHUWHVIHU
(WXGHH[SpULPHQWDOHGHVSHUWHVIHU
HU
ǦͳǦ‹Žƒ†‡’—‹••ƒ…‡
Différents essais sont exploités afin de déterminer le bilan de puissance donné par (2.15), nécessaire
pour la détermination des pertes fer :
Ptot = Pjs + Pjr + Pméc + Pfer
(2.15)
Ptot correspond aux pertes totales, Pjs et Pjr sont respectivement les pertes joules statoriques et
rotoriques, Pméc sont les pertes mécaniques et Pfer les pertes fer totales.
VIII-1-1- Pertes mécaniques (essai à vide)
Pour déterminer les pertes mécaniques de la machine on fait un essai à vide en faisant varier la tension
d’alimentation tout en s’assurant que la machine continue à tourner quasiment au synchronisme. A
vide Pjr est négligée, en effet, lors de ce fonctionnement il y a uniquement des harmoniques de
courants rotoriques dont l’effet est négligé. Dans ce cas on a Ptot − Pjs = Pméc + Pfer . Pour avoir Pméc et
Pfer il faut faire une séparation des pertes. En effet, on sait qu’à vitesse constante Pméc est constante et
ne dépend que de la structure de la machine. Quant à Pfer elle est fonction linéaire du carré de la
tension. Par conséquent quel que soit la valeur de la tension d’alimentation, Pméc reste inchangée et
Pfer croit linéairement en fonction de U 2 . La courbe peut se présenter de la façon suivante :
Ptot − Pjs = Pméc + Pfer B
Pfer A
Pméc 0
U2 2
0
U 2
n
U Figure 2. 33. Détermination des pertes mécaniques
ϵϮ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
A est le point de décrochage de la machine. On prolonge jusqu’à l’intersection avec l’axe des
puissances, c’est les pertes mécaniques Pméc . Au point de fonctionnement donné on soustrait Pméc de
Ptot − Pjs pour avoir Pfer .
VIII-1-2- Pertes Joules
Les pertes joules sont constituées de pertes joules statoriques et de pertes joules rotoriques. Des essais
ont permis de mesurer ces deux types de pertes.
Pertes joules statoriques
Les pertes joules statoriques sont mesurées dans le cas de la machine saine et en présence du courtcircuit entre spires statoriques.
Machine saine : quand la machine est saine les trois phases statoriques sont
équilibrées, les courants qui y circulent sont donc égaux :
I1s = I 2s = I 3s = I s
(2.16)
Dans ce cas les pertes joules statoriques sont définies par :
Pjs = 3r s I s 2
(2.17)
r s est la résistance d’une phase statorique déterminée à partir de l’essai en continu.
Machine avec un court-circuit entre spires statoriques : en présence d’un court-circuit, le
système devient déséquilibré. Les courants de phases ne sont plus égaux : I1s ≠ I 2s ≠ I 3s .
I 3s rc s
(1 − kcc ) r s I1c I1s rs Ic kccr rs s υ
rs I 2s Figure 2. 34. Stator de la machine avec un court-circuit entre spires dans la phase « 1 »
ϵϯ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
Dans ce cas, les pertes joules statoriques sont données par :
Pjs = r s I 2s 2 + r s I 3s 2 + (1 − kcc ) r s I1s 2 + k cc r s I1sc 2 + rc I c2
(2.18)
I c est le courant de court-circuit limité par le rhéostat rc . Le coefficient de court-circuit kcc = 0.125 .
I1sc est déterminé expérimentalement en relevant la phase de I1s et de I c , ainsi I1cs se calcule à partir
de la relation :
I1cs = I1s − I c
(2.19)
Pertes joules rotoriques
Les pertes joules rotoriques viennent essentiellement d’une onde d’induction inverse qui peut être
associée au champ unidirectionnel généré par le défaut. Cette onde crée des courants rotoriques à
100Hz qui sont à l’origine des pertes joules. Ces pertes sont déterminées à partir de l’équation :
Pjr = 3r r I r 2
(2.20)
r r et I r sont respectivement la résistance et le courant d’une phase rotorique. Le courant I r est
calculé à partir du modèle électrique de la machine asynchrone présentant un court-circuit entre spires
statoriques présenté dans le chapitre 1.
ǦʹǦƒ”ƒ°–”‡•†‡Žƒƒ…Š‹‡
Calcul de la résistance rotorique: en partant du schéma équivalent monophasé de la machine
asynchrone et en se référant aux différentes équations qui la régit nous pouvons déterminer tous les
paramètres de notre machine, entre autres, la résistance rotorique.
rs Nω V
Xµ X µ Rµ rr / g Figure 2. 35. Schéma équivalent monophasé d’une machine asynchrone
La résistance statorique r s est mesurée à partir de l’essai en continu. L’essai à vide permet de
déterminer les pertes mécaniques et les pertes fer au synchronisme. Ces pertes permettent alors
ϵϰ
&KDSLWUH
d’identifier Rµ , X µ et Ls =
(WXGHGHV3HUWHV)HU
2
Lµ . On suppose que msr = 1 donc Ls = Lr . L’essai à rotor calé permet
3
de déterminer Nω et r r .
r s ( Ω) r r ( Ω) Rµ ( Ω ) X µ ( Ω) Nω( Ω) Ls (H)
Lr (H)
Lµ (H)
1.5
0.7
165
32
3.7
0.28
0.28
0.102
Tableau 2. 11. Paramètres de la machine
Ǧ͵Ǧ±•—Ž–ƒ–•
La détermination expérimentale des pertes fer pour une machine tournante présente des difficultés
liées à l’identification des pertes intervenant dans le bilan de puissance. Il est à noter aussi que les
essais effectués se sont limités à déterminer les pertes fer globales générées par la machine dans le cas
sain et défectueux. En effet, il n’est pas possible de déterminer expérimentalement la contribution de
chaque harmonique de denture dans les pertes fer. Par conséquent, la comparaison des résultats
théoriques et des résultats expérimentaux va se limiter à la comparaison des pertes fer totales générées
par la machine. Le Tableau 2.12 présente les résultats de mesure :
I c ( A)
Pfer (W )
0
243
10
299
20
322
Tableau 2. 12. Pertes fer mesurées
Sur la Figure 2.37 on compare les trois résultats suivants :
•
la variation relative théorique par rapport au cas sain des pertes fer calculées pour une machine
avec une armature statorique lisse.
•
la variation relative théorique par rapport au cas sain des pertes fer calculées pour une machine
avec une armature statorique dentée.
•
La variation relative expérimentale des pertes fer par rapport au cas sain.
On remarque que les résultats théoriques issus des deux modèles de machine sont proches des résultats
expérimentaux. Les hypothèses simplificatrices utilisées dans le modèle de machine asynchrone à
armature statorique lisse éloignent, certes, les résultats de calcul des résultats expérimentaux.
Cependant, malgré ces simplifications, les ordres de grandeurs sont conservés. Avec le modèle de
machine à armature dentée, qui est un modèle plus proche du modèle réel, les résultats de calcul sont
plus proches des résultats expérimentaux. L’utilisation de moins d’hypothèses dans les calculs
ϵϱ
&KDSLWUH
(WXGHGHV3HUWHV)HU
théoriques permet d’aboutir à des résultats plus précis. La concordance entre les résultats théoriques et
expérimentaux signalée montre que le modèle semi-analytique adopté donne des résultats satisfaisants
qui peuvent être l’image des résultats expérimentaux.
Variation relative des pertes fer (%)
35
Armature lisse
Armature dentée
Mesure
30
25
20
15
10
5
0
10
20
I c ( A) Figure 2. 36. Variation relative théorique et expérimentale des pertes fer par rapport au cas sain
&RQFOXVLRQ
&RQFOXVLRQ
Dans cette étude nous avons présenté un modèle semi-analytique permettant de calculer les pertes fer
dans une machine asynchrone. Même si la méthode semi-analytique utilisée ne permet pas de traiter
des modèles très complexes de machines électriques, elle présente cependant l’avantage d’être flexible
et exploitable pour répondre à plusieurs questions. En effet, en utilisant les équations analytiques
adéquates, elle nous a permis d’apprécier la contribution des harmoniques d’induction dus à l’effet de
denture dans les pertes fer de la machine asynchrone et d’analyser l’effet de résonance de denture. Elle
nous a permis aussi d’étudier l’influence du défaut de court circuit entre spires statoriques sur les
pertes fer dues aux harmoniques de denture et donc sur les pertes fer totales. Avec le modèle utilisé
nous pouvons également étudier l’influence des rapports de denture statorique et rotorique sur les
pertes fer et d’optimiser donc ces pertes en choisissant les paramètres convenables. Une étude
numérique a été effectuée pour valider quelques résultats théoriques. Dans la partie expérimentale
nous avons pu apprécier l’effet du défaut de court-circuit entre spires statoriques sur les pertes fer
totales permettant de mettre en évidence une bonne concordance avec les résultats théoriques.
ϵϲ
Šƒ’‹–”‡͵ǣ–—†‡†—”—‹–‡–†‡•
‹„”ƒ–‹‘•
&KDSLWUH
ϵϴ
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
–—†‡†—”—‹–‡–†‡•‹„”ƒ–‹‘•
L’induction d’entrefer est à l’origine de forces électromagnétiques qui se produisent à la surface
interne du stator [SAKAMOTO, 1999]. Ces forces, dont le contenu harmonique dépend de celui de
l’induction d’entrefer, génèrent des composantes de bruit et de vibrations [KOBAYASHI, 1997] [IM,
1997], c’est ce qu’on appelle le bruit électromagnétique. Lorsque les fréquences de ces phénomènes
électromagnétiques coïncidents avec les fréquences de résonance mécanique de la machine, du bruit et
des vibrations d’amplitude importante peuvent être générés. Ces derniers sont susceptibles
d’engendrer, outre les nuisances sonores, des sollicitations mécaniques pouvant provoquer une usure
prématurée de la machine et de son environnement mécanique.
La procédure d’étude que nous proposons est analytique [BRUDNY, 1991]. Elle prend en compte les
harmoniques de denture et permet une estimation sonore rapide de la machine dès sa phase de
conception. Notons que cette procédure est très efficace par rapport aux méthodes numériques comme
la méthode des éléments finis qui ne permet pas de déterminer le bruit et les vibrations avec une
grande précision au-delà de 3200Hz et qui nécessite beaucoup plus de temps de calcul [LE
ϵϵ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
BESNERAIS, 2008]. La méthode analytique se base sur l’expression mathématique de la perméance
d’entrefer. La détermination des harmoniques d’induction conduit, dans un second temps, au calcul
des forces appliquées au stator. La chaîne de calcul se poursuit par la détermination des déformations
statiques et dynamiques puis le bruit acoustique émis harmonique par harmonique.
La plupart des travaux antérieurs se sont concentrés sur l’étude du bruit et des vibrations de la machine
saine [WALLACE, 1990] [NODA, 1995] [CASSORET, 1996] [KIM, 2000], cependant très peu de
travaux ont traité la machine défectueuse ainsi que le comportement des harmoniques de denture vis-àvis du défaut [THAILLY, 2007b].
La méthode que nous avons mise en œuvre est basée sur une approche semi-analytique qui permet
d’exploiter numériquement le modèle analytique.
L’objectif est de déterminer l’influence d’un court- circuit entre spires statoriques sur le bruit et les
vibrations générés par les harmoniques de denture. Pour ce faire, nous avons étudié dans un premier
temps le comportement de ces harmoniques dans la machine saine, puis pour bien apprécier l’effet du
défaut, nous avons étudié la machine présentant un court-circuit entre spires statoriques. La procédure
adoptée permet de mettre en évidence les composantes d’induction influentes. L’aspect mécanique
permettant de calculer les déformations statiques et dynamiques ainsi que le bruit générés par la
machine est présenté dans l’annexe 3. Finalement, une étude expérimentale, concernant les mesures du
bruit et des vibrations de la machine saine et défectueuse, est présentée pour valider les résultats
théoriques obtenus.
,2ULJLQHGHVEUXLWVG·XQHPDFKLQHWRXUQDQWH
2ULJLQHGHVEUXLWVG·XQHPDFKLQHWRXUQDQWH
La machine électrique est le siège de forces dynamiques d’origines diverses intrinsèques à son
fonctionnement. Ces forces peuvent provoquer des déformations qui sont à l’origine des vibrations et
du bruit acoustique. Dans une machine électrique, différentes sources de bruit se combinent [TIMAR,
1989]. On distingue principalement trois origines : mécanique, aérodynamique et magnétique. Ces
bruits, selon leur nature, interviennent de façon prédominante en fonction de plusieurs critères comme
le degré de charge de la machine et sa vitesse de rotation.
¾ Les bruits mécaniques sont dus aux frottements au niveau des paliers et éventuellement des
balais. Interviennent également le type et la qualité des roulements utilisés ainsi que leur
graissage. Les efforts mécaniques dus à l’excentricité du rotor ou encore les défauts
d’équilibrage (balourd mécanique), la fréquence propre des roulements ou le mode de fixation
de la machine sur son support influent aussi le bruit. La puissance sonore due à ces frottements
augmente également avec le carré de la vitesse. Donc les bruits mécaniques ne sont
prépondérants qu’à vitesse de rotation élevée et interviennent rarement pour plus de 20% dans
le spectre sonore global.
ϭϬϬ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
¾ Les bruits aérodynamiques sont dus principalement à la ventilation des machines qui induit
des turbulences génératrices de bruit mais qui facilite également le refroidissement et permet
de réduire les dimensions de la machine. La ventilation est génératrice d’un bruit qui dépend
de plusieurs paramètres comme le type de ventilateur utilisé. La présence d’obstacles dans les
écoulements d’air est un facteur supplémentaire de bruit [FRANÇOIS, 1968] [MULLER,
1976] que l’on qualifie d’effet de sirène. Ces bruits croissent avec la cinquième puissance de
la vitesse. Les bruits d’origine aérodynamique peuvent donc être ou non dominants suivant la
vitesse de rotation et le type de ventilation et de machine utilisée.
¾ Les bruits magnétiques sont ceux qui nous intéressent particulièrement. Ils peuvent être
dominants ou non suivant la conception de la machine, sa vitesse et son état de charge. Pour
des machines de faible vitesse, les bruits magnétiques sont presque toujours dominants, mais
ils peuvent l’être aussi sur des machines rapides. Ils sont générés par les efforts d’origine
magnétique intervenant au niveau de la structure mécanique. On distingue usuellement trois
types d’efforts magnétiques :
•
Les forces de Laplace auxquelles sont soumis les conducteurs, parcourus par un
courant et plongés dans un champ magnétique. Ces forces se traduisent par des
variations au niveau du couple. Les vibrations ainsi générées sont dites « vibrations
tangentielles » et peuvent être transmises à la structure mécanique environnant la
machine par contact au fer du stator, ce qui génère indirectement un bruit acoustique.
•
Les forces magnétostrictives résultent de la déformation des matériaux lorsqu’ils sont
placés dans un champ magnétique variable. Les tôles Fer-Silicium des machines
tournantes sont généralement peu affectées par ces forces, ce qui rend négligeable le
bruit ayant pour origine ce phénomène.
•
Les forces d’origine magnétique résultent de la variation de l’induction magnétique au
niveau de l’entrefer de la machine. Cela peut générer des variations des forces
d’attraction entre le stator et le rotor et donc des déformations du paquet de tôles
statoriques qui est susceptible d’entrer en vibration [DELCAMBRE]. Lorsque les
fréquences des efforts magnétiques coïncident avec celles des résonnances
mécaniques de la machine, le bruit et les vibrations ainsi générés peuvent être gênants.
Ces forces sont prépondérantes dans la part du bruit magnétique. Pour cela, la
qualification de « bruit magnétique » par la suite, concernera uniquement le bruit issu
de ce phénomène.
D.E. Cameron [CAMERON, 1992] ainsi que C. Pollock [POLLOCK, 1995] ont montré leur
importance par une expérience classique : la comparaison des niveaux sonores avant et après la
ϭϬϭ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
coupure brutale de l’alimentation de la machine permet d’évaluer l’importance des phénomènes
d’origine électromagnétique. Ces derniers disparaissent avec l’arrêt de l’alimentation tandis que les
vibrations d’origines mécaniques et aérodynamiques perdurent mais décroissent avec la rotation de la
machine. Le bruit magnétique se caractérise dans le spectre sonore par des raies fines et généralement
peu nombreuses, en étroite relation, d’un point de vue fréquentiel avec les harmoniques de couple
[BRUDNY, 1991]. Notons également que l’usure de la machine est responsable de l’aggravation des
nuisances sonores.
,,
,,2ULJLQHGHVGpIRUPDWLRQV
2ULJLQHGHVGpIRUPDWLRQV
UPDWLRQV
Les déformations, à l’origine du bruit magnétique, sont créées par des forces qui s’exercent au niveau
de l’entrefer, entre le fer statorique et le fer rotorique. Les forces magnétiques s’exerçant sur le stator
englobent les forces qui s’exercent sur les dents et les forces qui s’exercent sur les conducteurs.
Néanmoins, les forces agissant sur les dents statoriques sont prédominantes dans la génération des
vibrations [CHANG, 1997] [DELAERE 1999].
ǦͳǦš’”‡••‹‘†‡Žƒˆ‘”…‡”ƒ†‹ƒŽ‡
Les forces d’origine magnétique sont tangentielles et radiales. Il est courant, sur les machines
asynchrones, de supposer les forces tangentielles négligeables, celles-ci étant de faible amplitude
devant celles des forces radiales. Seules donc les forces radiales sont prises en compte [BELMANS,
1991]. Leur expression est donnée par la relation de Maxwell : F=
be2
S
2 µ0
(3.1)
S (en m 2 ) est la section du circuit magnétique soumise à l’induction d’entrefer. µ 0 est la perméabilité
du vide ( 4π 10 −7 H. m −1 ). Rappelons que be est calculée à partir d’un modèle qui tient compte des
harmoniques de denture, pouvant s’exprimer de la façon suivante:
be =
¦ Bˆ
s
H K
s
e
H sKs
cos( K sωt − H sα s + φHs s K s )
(3.2)
Compte tenu des relations (3.1) et (3.2) la force radiale s’exprime par :
F=
1 ª
e
s
s s
s
« ¦ Bˆ H1s K1s cos K1 ω t − H1 α + φH1s K1s
4 µ 0 «¬ H1s K1s
(
ºª
)»»¼ ««¬ ¦ Bˆ
H 2s K 2s
e
K 2s H 2s
º
cos K 2sω t − H 2sα s + φHs s K s »
2 2
»¼
(
)
(3.3)
K 2s et H 2s sont les homologues de K1s et H1s qui permettent de distinguer tous les termes résultant de
la mise au carré de be . Le passage d’un produit de somme à une double somme donne :
ϭϬϮ
&KDSLWUH
F=
1
4 µ0
¦ Bˆ
H1s H 2s
K1s K 2s
e
H1s K1s
Bˆ He s K s
2
2
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
ªcos[( K1s + K 2s )ωt − ( H1s + H 2s )α s − φHs s K s − φHs s K s º
1 1
2 2
«
»
+
«
»
«
»
s
s
s
s
s
s
s
cos[( K1 − K 2 )ωt − ( H1 − H 2 )α − φH s K s + φH s K s »
1 1
2 2 ¼
¬«
(3.4)
Les forces sont des ondes tournantes dont chaque composante peut s’exprimer par:
s
Fmn = Fˆmn cos(nωt − mα s + φmn
)
(3.5)
avec :
­m = H1s ± H 2s
°°
s
s
®n = K1 ± K 2
° s
s
s
°̄φmn = φH1s K1s ± φH 2s K2s
(3.6)
nω est la pulsation de la force, m correspond au nombre de modes de la force c’est à dire le nombre
s
est le déphasage. L’ordre m est un paramètre important qui donne des
d’onde à la périphérie, φmn
renseignements sur la façon dont agit la sollicitation. Ainsi suivant la valeur du mode, la déformation
radiale se présente sur différentes formes.
m=0:
La déformation est uniforme le long du stator, sans variation spatiale. La
figure présente en pointillés le stator lorsque la force est maximale et en
trait gras le stator non sollicité.
m=1 :
nω Attraction
maximale
Dans ce cas la force induit un point d’attraction
maximal ce qui tend à déplacer radialement le rotor
de son centrage.
Attraction minimale
ϭϬϯ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
m=2 :
nω / 2 Des sollicitations telles que m>1 induisent plusieurs points
d’attraction maximale entre le stator et le rotor ce qui tend à
ovaliser de façon régulière le stator en 2m pôles tournants à
la vitesse nω / m .
Le calcul de la déformation mécanique du stator dépendra de deux paramètres:
¾ Le nombre de mode de déformation.
¾ Les fréquences de résonnance mécanique qui dépendent du mode et des caractéristiques
géométriques de la machine [LECOINTE, 2004].
ǦʹǦ‘’‘•ƒ–‡•ƒ…–‹˜‡•†‡•ˆ‘”…‡•
L’équation (3.4) contient des termes qui peuvent être d’une importance particulière dans la génération
du bruit ainsi que des termes qui peuvent être négligés vu leur faible contribution. Les termes
¦ Bˆ
H
et
¦ Bˆ
s
H K
s
e
H s1
s
e2
H s1
Bˆ He s K s ont une contribution significative. En effet, le 1er terme correspondant au carré du
fondamental, est à 100Hz. Il a donc une amplitude élevée qui peut générer des vibrations ainsi que du
bruit importants. Le 2ème terme résultant du produit du fondamental avec des harmoniques peut avoir
une amplitude élevée surtout quand la machine est défectueuse car il peut contenir des termes qui sont
dues au défaut [MALITI, 2000]. Les deux autres termes qui correspondent au produit des harmoniques
peuvent être négligés car leur amplitude est relativement faible. D’une manière générale les forces
sont susceptibles d’être gênantes d’un point de vue vibro-acoustique si elles répondent à certaines
conditions :
•
Plus le mode est faible plus les forces et donc le bruit émis par la machine est important. Le
seuil maximum en terme de nombre de mode dépend de la taille de la machine. Des essais
expérimentaux montrent que pour les machines de petites et de moyennes tailles les modes
significatifs sont inférieurs à 6, au-delà, les forces ne créent plus de bruit gênant [YANG,
1981]. Le Tableau 3.1 présente, pour différents types de machines, le mode maximal mmax qui
peut générer un bruit gênant minimal noté Lmin .
ϭϬϰ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
Puissance
(kW)
P<25
mmax
Lmin (dB)
6
10
25<P<50
8
10
50<P<100
10
15
100<P<200
12
20
200<P<1000
14
20
1000<P<3000
16
25
3000<P<5000
18
25
P>5000
20
30
Tableau 3. 1. Modes de forces actives
•
En terme de fréquence, les forces sont significatives pour des fréquences proches d’une
résonance mécanique, sachant que les raies de bruit de fréquence supérieure à 20kHz sont
inaudibles par l’oreille humaine. Pour des machines de taille moyenne, les forces aux
fréquences entre 100Hz et 5000Hz génèrent le plus de bruit magnétique [JOHANSSON,
1995]. Dans la région 100Hz-500Hz des forces d’amplitude élevée dues au fondamental de
l’onde d’induction d’entrefer et aussi à la résonance de mode 1 du rotor peuvent générer des
vibrations importantes. La culasse du stator étant généralement mince. De ce fait, le stator
répond beaucoup plus que le rotor aux forces radiales sauf quand il s’agit du mode 1
[MALITI, 2000].
,,,
,,,0pWKRGHGHFDOFXO
0pWKRGHGHFDOFXO
On construit une matrice de force à partir des rangs fréquentiels n et des modes m donnés par (3.6). On
fait varier les rangs H1s , H 2s , K1s , K 2s sur leur domaine de variation et on somme vectoriellement les
termes ayant le même n et le même m. La matrice finale des forces s’écrit sous la forme qui suit, où
chaque terme correspond à une fréquence et à un mode donné.
§ Fm1n1
¨
[F ] = ¨ ¨¨ F
© m1nK s
Fm
n
Hs 1
Fm
n
Hs Ks
·
¸
¸
¸¸
¹
Taille de n
Taille de m
Figure 3. 1. Matrice des forces radiales
Les paramètres m et n figurant dans (3.5) peuvent avoir des valeurs positives ou négatives compte
tenu du domaine de variation des indices. Afin d’aboutir à des résultats cohérents, physiquement
ϭϬϱ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
identifiables, tous les modes m seront rendus positifs en ajustant en conséquence le signe de la
pulsation et du déphasage sans affecter le signe global de l’harmonique qui est une fonction « cosinus
». Pour un mode positif m donné, on peut voir apparaître des forces et donc des déformations de
fréquence positive et de fréquence identique mais de signe opposé (Figure 3.2). Dans ce cas, il faut
conserver les fréquences négatives et ne pas les regrouper avec leurs homologues positifs. En effet,
aux fréquences positives correspondent des ondes de déformations qui tournent dans le sens positif et
aux fréquences négatives correspondent des ondes qui tournent à la même vitesse mais dans le sens
opposé. Les ondes de fréquence négative doivent garder cette particularité : elles ont un effet qui
n’intervient pas au même endroit que leurs homologues positives. Il est donc impossible de faire la
somme des amplitudes de deux ondes ayant des fréquences égales en valeur absolue mais de signe
opposé. Dans le cas, par exemple, d’une déformation de mode 2 (Figure 3.2.a), les deux harmoniques
génèrent une déformation maximale lorsqu’ils sont en phase et une déformation minimale lorsqu’ils
sont en opposition de phase. L’évolution est elliptique et donc la déformation est différente en
différents points de l’entrefer (Figure 3.2.b). Par ailleurs on comprend mieux la difficulté de modéliser
les effets combinés d’ondes de même fréquence mais opposées en signe.
φ2s φ1s 300 rad/s
-300 rad/s
b) Déformation engendrée par 2 forces
évoluant en sens inverse
a) Forces de fréquence égales
mais de signe opposé
Figure 3. 2. Forces de fréquence égales mais de signes opposés et déformations résultantes
L’exploitation des modèles mécanique et acoustique présentés dans l’annexe 3 permet de calculer, à
partir de la matrice de force, les déformations statiques Yms et dynamiques Ymd ainsi que le bruit
généré par la machine. En ce qui concerne les déformations dynamiques, elles se présentent sous une
forme matricielle dont chaque élément correspond à un rang fréquentiel et un mode. Quant au bruit,
présenter des composantes de bruit ayant une fréquence négative n’a pas de sens. En effet, ce dernier
généré par une déformation de fréquence + f h ou − f h est le même puisque la fréquence intervient au
carré. Pour les composantes qui apparaissent seulement à une fréquence négative − f h et qui n’ont pas
ϭϬϲ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
de symétrique (la composante de fréquence + f h est nulle) il suffit de déterminer le bruit qu’elles
génèrent en changeant le signe de la fréquence. Cependant deux ondes de même nombre de mode mais
de fréquences égales et opposées en signe doivent être regroupées. Ainsi deux cas de figure se
présentent selon le nombre de mode :
9 Pour le mode 0 la force est de la forme :
F0 n = Fˆ0 n cos(nωt + φ0sn )
(3.7)
Deux ondes de pulsations égales et opposées s’écrivent sous la forme :
F0n1 = Fˆ0 n1 cos(nωt − φ0sn1 )
(3.8)
F0n2 = Fˆ0n2 cos(−nωt + φ0sn2 )
(3.9)
La somme conduit alors à :
F0 n1 + F0 n2
ª Fˆ0 n cos φ0sn cos ( nωt ) + Fˆ0 n sin φ0sn sin ( nωt ) º
1
1
1
« 1
»
= «+
»
«ˆ
»
2
s
ˆ
«¬ F0 n2 cos φ0 n2 cos ( nωt ) − F0 n2 sin φ0 n2 sin ( nωt ) »¼
(3.10)
Dans ce cas, une somme vectorielle des deux harmoniques est possible.
9 Pour les autres modes, regrouper deux ondes de pulsation égale et opposée semble
problématique puisque dans ce cas la déformation est elliptique et donc le bruit généré par ces
deux harmoniques varie avec la position adoptée autour du stator. Néanmoins pour traiter le
problème dans sa forme analytique, on se place dans le cas le plus défavorable où les
amplitudes des composantes de force de même mode et de pulsations égales et opposées
s’additionnent. Les déformations et le bruit ainsi calculés seront surestimés.
,9
,95pVXOWDWV
5pVXOWDWVWKpRULTXH
WKpRULTXH
On considère la machine présenté dans le chapitre2 et dont les caractéristiques sont: N ts = 48 ;
Ntr = 32 ;
p=2;
s
Ra = Rint
= 60mm ;
rds = 0.4 ,
rdr = 0.8 ,
le
rayon
moyen
de
la
culasse
statorique : Rm =80mm; l’épaisseur radiale de la culasse derrière les encoches : ec =20mm. Elle est
alimentée par un système triphasé équilibré de tensions sinusoïdales à 50Hz. La programmation des
relations donnant les forces permet de déterminer la distribution fréquentielle de ces forces qui
s’exercent à la périphérie interne du stator et d’examiner qualitativement et quantitativement les raies
vibratoires et acoustiques. On étudiera dans un premier temps la machine saine puis on s’intéressera à
la machine présentant un court circuit entre spires statoriques. On analysera essentiellement dans ce
ϭϬϳ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
deuxième cas l’effet du défaut sur les harmoniques de denture. Pour identifier les raies qui doivent
apparaître dans les spectres acoustique et vibratoire, on part de l’expression de la fréquence des
composantes d’induction générées par les courants statoriques de la machine définie par f h = K s f
avec f=50Hz. En reprenant (3.4) et en remplaçant K1s et K 2s par leur expression donnée par (1.22), on
aboutit à deux types de composantes dont les fréquences f1 et f 2 sont données par (3.11) et (3.12).
Dans le Tableau 3.2 on présente quelques fréquences de denture obtenues pour g=0. Les modes
associés à chaque fréquence vont dépendre de l’état de la machine ( saine ou défectueuse).
f1 = [2 + ( kr1 + kr 2 ) N r (1 − g )] f
(3.11)
f 2 = [( kr1 − kr 2 ) N (1 − g )] f
(3.12)
r
k r1
kr 2
f1
f2
-1
0
-700
800
0
-1
-700
800
1
0
900
800
1
2
2500
-800
0
1
900
800
-2
0
-1500
1600
1
-1
100
900
-1
1
100
-1600
2
0
1700
1600
2
1
800
2500
-3
0
-2300
2400
0
3
2500
2400
3
1
1600
3300
1
3
3300
-1600
0
-4
-3100
3200
4
0
3300
3200
-5
0
-3900
4000
0
5
4100
4000
1
4
4100
-2400
0
-6
-4700
4800
6
0
4900
4800
Tableau 3. 2. Fréquence de denture pour le bruit et les vibrations
ϭϬϴ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
ǦͳǦƒ…Š‹‡•ƒ‹‡
IV-1-1-Spectre vibratoire
La Figure 3.3 présente les forces électromagnétiques radiales dues aux harmoniques de denture qui
s’exercent à la périphérie interne du stator selon le nombre de mode et la fréquence. On remarque que
pour la machine saine, les premiers modes significatifs sont les modes 0 et 4. Ceci est du au fait que la
machine possède 4 pôles. La deuxième caractéristique du spectre de la machine saine est qu’à chaque
ligne spectrale correspond un seul mode avec une prédominance globale du mode 4.
m=0
m=4
Force Radiale (N/m2)
ϭϬϬϬϬϬ
ϭϬϬϬϬ
ϭϬϬϬ
ϭϬϬ
ϭϬ
ϭ
Fréquence (Hz)
Figure 3. 3. Forces s’exerçant sur le stator pour la machine saine
Sur la Figure 3.4 on présente les accélérations des déformations dynamiques subies par le stator en
fonction du mode et de la fréquence. Les mêmes caractéristiques du spectre des forces (fréquence et
mode) sont transmises au spectre vibratoire. Le spectre des déformations dynamiques montre la
prédominance du mode 4 dans la réponse vibratoire. Il est important de noter qu’une force importante
engendre une vibration importante en amplitude mais pas forcément une vibration importante en
accélération et vice versa. C'est-à-dire une force faible peut engendrer une vibration de faible
amplitude mais d’une accélération importante. Cela est dû à la multiplication par 4π 2 f 2 permettant de
passer de l’amplitude de la vibration à son accélération. On remarque aussi dans ce spectre que la
contribution des harmoniques de résonance de denture à 2300Hz, 2400Hz et 2500Hz est relativement
importante. En effet, l’amplitude des composantes d’induction d’entrefer à 2350Hz et 2450Hz est
relativement importante comme le montre le Tableau 1.5. La combinaison de ces harmoniques avec le
fondamental conduit à des modes faibles (0 ou 4) et des déformations non négligeables voire
importantes.
ϭϬϵ
&KDSLWUH
Accélération des déformations dynamiques
(m/s2)
m=0
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
m=4
Ϭ͕ϭϰ
Ϭ͕ϭϮ
Ϭ͕ϭ
Ϭ͕Ϭϴ
Ϭ͕Ϭϲ
Ϭ͕Ϭϰ
Ϭ͕ϬϮ
Ϭ
Fréquence
Figure 3. 4. Déformations dynamiques du stator dans le cas sain
IV-1-2-Spectre acoustique
La Figure 3.5 présente le niveau d’intensité acoustique de la machine saine. Les caractéristiques du
spectre vibratoire sont bien transmises au spectre acoustique. En effet, celui-ci indique clairement la
prédominance du bruit dû aux forces de mode 4.
ϭϭϬ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
Niveau d'intensité acoustique (dB)
m=0
m=4
ϱϬ
ϰϱ
ϰϬ
ϯϱ
ϯϬ
Ϯϱ
ϮϬ
ϭϱ
ϭϬ
ϱ
Ϭ
Fréquence (Hz)
Figure 3. 5. Niveau d’intensité acoustique pour la machine saine
ǦʹǦƒ…Š‹‡†±ˆ‡…–—‡—•‡
Cette partie concerne l’étude de l’effet du court-circuit entre spires statoriques sur le bruit et les
vibrations générés par les harmoniques de denture. On exploite dans ce cas la matrice induction de la
machine défectueuse. On court-circuite 12.5% de l’enroulement d’une phase statorique avec un
courant
de
court-circuit
I c = 20 A .
Les
courants
dans
les
trois
phases
statorique
sont : I1s = 4.2 A; I 2s = 3.4 A; I 3s = 2.8 A .
IV-2-1-Spectre vibratoire
Les forces radiales s’appliquant au stator, données dans le Tableau 3.4, montrent qu’en présence du
défaut, plusieurs modes autres que les modes 0 et 4 apparaissent. On retrouve les modes 1, 2, 3 et 5
qui se rajoutent aux modes déjà existants dans le cas sain. Des modes supérieurs à 5 apparaissent aussi
mais ne sont pas représentés car leur émission sonore est faible. Une particularité des forces radiales
de la machine défectueuse par rapport à celles de la machine saine est qu’à chaque ligne spectrale
correspond plusieurs modes. On retrouve en effet pour chaque raie de denture le mode déjà existant
dans le cas de la machine saine mais avec une amplitude plus élevée ainsi que de nouveaux modes qui
se rajoutent. Dans la machine défectueuse on remarque l’apparition d’un mode particulier qui
n’apparait quasiment jamais dans le cas de la machine saine, il s’agit du mode 1 qui est un mode
propre au rotor. En effet, les forces dues à ce mode n’engendrent pas des déformations du stator, mais
déforment par contre le rotor [MALITI, 1997]. Pour cette raison, ce mode ne sera pas pris en compte
par la suite dans le calcul des vibrations. L’introduction des nouveaux modes ainsi que l’augmentation
significative des amplitudes des forces suite au défaut permet de prévoir une augmentation du bruit et
ϭϭϭ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
des vibrations engendrés. La Figure 3. 6présente les accélérations des déformations dynamiques de la
machine en défaut. Dans ce cas, pour contourner le problème de l’évolution elliptique on a additionné
les amplitudes des deux ondes de forces qui apparaissent à deux fréquences égales mais de signes
opposés. La comparaison de ce spectre à celui de la Figure 3.4 montre bien l’augmentation des
vibrations suite au défaut. Sur la Figure 3.7 on présente les accélérations des déformations dynamiques
de la machine en défaut en fonction des modes et de la fréquence. Le spectre est présenté sur deux
parties pour bien distinguer la contribution de chaque mode à chaque raie de denture. L’analyse du
spectre des vibrations permet de remarquer que:
9 L’amplitude des vibrations augmentent considérablement quand la machine est défectueuse.
9 De nouveaux modes apparaissent à chaque ligne spectrale. Néanmoins, comme pour les forces
radiales, le mode déjà existant dans le cas de la machine saine reste le mode prédominant dans
le cas de la machine défectueuse. Dans le Tableau 3.5 on présente la contribution (en
pourcentage) du mode déjà existant dans la machine saine ainsi que la contribution des
nouveaux modes qui apparaissent suite au défaut dans les vibrations de la machine
défectueuse. On voit bien que les nouveaux modes ont une contribution non négligeable dans
les vibrations. Ils participent à l’augmentation des déformations dynamiques de la machine
suite au défaut d’une façon comparable à celle du mode déjà existant dans le cas sain.
9 Les harmoniques de résonance de denture à 2300Hz, 2400Hz et 2500Hz, ne sont plus
prédominants. Ces harmoniques, peu sensibles au défaut de court-circuit entre spires, génèrent
des composantes d’induction de faible amplitude qui créent par conséquent de faibles forces
électromagnétiques comme le montre le Tableau 3.4et donc de faibles vibrations. Cependant,
les raies à 700Hz, 800Hz et 900Hz, très sensibles au défaut, génèrent des composantes
d’induction d’amplitude élevée ainsi que des forces électromagnétiques importantes à
l’origine des vibrations importantes signalées sur la Figure 3.6.
ϭϭϮ
&KDSLWUH
m
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
0
1
2
3
4
5
100
4540
2353
456
750
25500
963
700
5544
2140
206
458
1148
1470
800
2127
2530
174
382
8808
3214
900
970
1020
585
458
6435
1132
1500
274
203
31
81,4
512
0
1600
312
364
33
62
1155
281
1700
1142
217
210
178
529
0
2300
171
131
108
76
702
0
2400
3337
110
13
25
63
137
2500
204
288
167
173
540
0
3100
104
57
20
27
343
0
3200
99
154
58
76
434
100
3300
82
103
58
72
222
122
3900
263
47
37
42
56
57
4100
104
45
21
25
36
0
4700
28
47
29
32
103
0
f
Tableau 3. 3. Forces s’exerçant sur le stator pour la machine défectueuse
Accélération des déformations
dynamiques (m/s2)
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
Fréquence (Hz)
Figure 3. 6. Déformations dynamiques de la machine défectueuse
ϭϭϯ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
Accélération des déformations
dynamiques (m/s2)
m=0
m=2
m=3
m=4
m=5
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
100
700
800
900
1500
1600
1700
Fréquence (Hz)
Accélération des déformations
dynamiques (m/s2)
m=0
m=2
m=3
m=4
m=5
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
2300
2400
2500
3100
3200
Fréquence (Hz)
3300
3900
4100
4700
Figure 3. 7. Déformations dynamiques selon le mode et la fréquence de la machine défectueuse
ϭϭϰ
&KDSLWUH
Fréquence (Hz)
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
Contribution du mode déjà
Contribution des nouveaux
existant (%)
modes (%)
100
70
30
700
54
46
800
56
44
900
62
38
2500
38
62
2600
54
46
1700
46
54
2300
42
58
2400
60
40
2500
58
42
3100
45
55
3200
59
41
3300
52
48
3900
40
60
4100
57
43
4700
74
26
Tableau 3. 4. Pourcentage de contribution du mode existant dans le cas sain et des nouveaux modes dans les
vibrations de la machine défectueuse
IV-2-2-Spectre acoustique
Le spectre ci-dessous présente le niveau d’intensité acoustique pour la machine défectueuse à une
distance de 0.5m. L’amplitude des raies acoustique augmente en présence du court-circuit comme pour
le cas des vibrations. Cependant l’augmentation de l’amplitude des raies vibratoires et acoustiques
n’est pas forcément du même ordre de grandeur.
ϭϭϱ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
Niveau d'intensité acoustique (dB)
ϳϬ
ϲϬ
ϱϬ
ϰϬ
ϯϬ
ϮϬ
ϭϬ
Ϭ
Fréquence (Hz)
Figure 3. 8. Niveau d’intensité acoustique pour la machine défectueuse
95HOHYpVH[SpULPHQWDX[
5HOHYpVH[SpULPHQWDX[
Un dispositif expérimental a été mis en place pour mesurer le bruit et les vibrations de la machine
asynchrone présentée précédemment. Un accéléromètre placé sur le dessus de la machine est utilisé
pour mesurer les vibrations. Le bruit est mesuré à l’aide d’un sonomètre constitué d’un microphone et
d’une unité de traitement (analyseur). Le microphone et l’accéléromètre assurent la conversion du son
et des vibrations mécaniques en des signaux électriques qui, une fois amplifiés, seront analysés par
l’unité de traitement comme décrit à la Figure 3.9. Les conditions idéales d’établissement des relations
analytiques supposent que les sons se propagent uniformément dans toutes les directions, c’est ce
qu’on appelle le champ libre. Pratiquement, il est difficile de retrouver ces mêmes conditions de
mesures, on isole alors la machine à l’intérieur d’une chambre semi-anéchoïde, une pièce dont les
murs et le plafond sont équipés d’un matériau absorbant afin de limiter la réflexion des sons sur les
parois d’une part, et d’éviter de fausser les mesures de pression acoustique par les bruits extérieurs
d’autre part. Les mesures se font à une certaine distance de la machine [BELKHAYAT, 1994]. En
effet, des appareils de mesure tels qu’un microphone placé trop près de la machine risquent de relever
les perturbations du champ proche.
ϭϭϲ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
Accéléromètre
Court-circuit
Rhéostat
Analyseur
Microphone
Figure 3. 9. Dispositif expérimental pour la mesure du bruit et des vibrations
ǦͳǦƒ…Š‹‡•ƒ‹‡
V-1-1-Spectre Vibratoire
La machine étudiée fonctionne à vide avec un courant d’alimentation de 4A. La Figure 3.10 présente
les spectres vibratoires mesurés dans le cas de la machine saine. Les mesures ont été effectuées sur une
tranche de fréquence de 0 à 5000Hz. Pour bien repérer les raies de denture on a présenté le spectre
complet sur 2 spectres. Le 1er va de 0 à 2400Hz et le 2ème de 2500Hz à 5000Hz. Comme nous l’avons
déjà mentionné, les mesures expérimentales, contrairement aux résultats théoriques, ne permettent pas
de distinguer la contribution de chaque mode mais elles permettent d’évaluer la contribution de chaque
harmonique dans les vibrations. Dans le spectre vibratoire on retrouve bien les raies de denture
d’origine magnétique déterminées théoriquement. Elles sont indiquées par des croix. Des paquets de
raies sont nettement détachés autour des fréquences : 500Hz, 800Hz, 1800Hz, 2400Hz, 3200Hz,
4000Hz et 4700Hz. Certaines de ces fréquences correspondent aux harmoniques de denture déjà
présentés et d’autres correspondent à des raies vibratoires d’origine mécanique. La Figure 3.11
présente une comparaison des déformations relevées expérimentalement avec les déformations
prédéterminées théoriquement. On remarque une bonne concordance des résultats malgré quelques
différences qui peuvent être dues à plusieurs facteurs comme les hypothèses simplificatrices utilisées
dans les calculs théoriques.
ϭϭϳ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
Figure 3. 10. Spectre vibratoire pour la machine saine
ϭϭϴ
&KDSLWUH
Déformation dynamique (m/s2)
Théorie
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
Expérimentation
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
Fréquence (Hz)
Figure 3. 11. Spectre vibratoire théorique et expérimental de la machine saine
V-1-2-Spectre acoustique
La Figure 3.12présente le bruit mesuré pour la machine saine. Le spectre acoustique expérimental est
plus dense que le spectre acoustique théorique. En effet, en plus des raies d’origine magnétique
indiquées par des croix, des raies d’origine mécanique et d’amplitudes relativement élevées sont
présents. Cela rend la détection des raies de denture, qui nous intéressent et qui ne sont pas forcément
prépondérantes, un peu délicate sans la connaissance du nombre d’encoches rotoriques et du
glissement. Cependant, la correspondance entre les raies vibratoire et les raies acoustique est nette.
ϭϭϵ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
Figure 3. 12. Spectre acoustique pour la machine saine
ϭϮϬ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
ǦʹǦƒ…Š‹‡†±ˆ‡…–—‡—•‡
V-2-1-Spectre vibratoire
Les conditions du défaut sont les mêmes que celles de la partie théorique. LaFigure 3.13 montre que
le court-circuit entre spires statoriques engendre une augmentation des vibrations. Le comportement
des harmoniques de denture vis-à-vis du défaut n’est pas le même pour toutes les raies. En effet, pour
certaines raies de denture comme celles à 700Hz, 800Hz et 900Hz l’augmentation des vibrations est
très remarquable et significative, alors que d’autres raies comme celles à 2300Hz, 2400Hz et 2500Hz
sont beaucoup moins sensibles au défaut. Ce résultat est en concordance avec les résultats théoriques
obtenus. On observe d’autre part que, dans le cas de la machine défectueuse, les harmoniques de
denture sont plus faciles à distinguer que dans le cas de la machine saine. La Figure 3.14 présente la
comparaison des mesures et des prédéterminations des déformations dynamiques de la machine
défectueuse. Des différences d’amplitude entre les résultats théoriques et expérimentaux sont faibles
pour certaines fréquences et notables pour d’autres fréquences. Néanmoins, cette différence semble
logique compte tenu des hypothèses simplificatrices utilisées dans les simulations :
•
Les modes 3D qui n’ont pas de formules analytiques, sont mises en évidence
expérimentalement et par les éléments finis (Ansys) [LECOINTE, 2003]. Ces modes peuvent
donc avoir une influence sur le bruit et les vibrations.
•
La détermination des accélérations des déformations reste empirique. En effet, certains
paramètres indispensables pour le calcul des vibrations, comme le coefficient d’amortissement
ξ défini par P.L. Timar, sont peu aisés à déterminer et donc leurs valeurs sont simplement
estimées.
Dans le Tableau 3.5 on présente l’augmentation théorique ∆ théorique et expérimentale ∆ expérimentale des
amplitudes des raies de denture vibratoires suite au défaut : ∆ = 20log (vibrations de la machine
défectueuse/vibrations de la machine saine). Une caractéristique commune aux résultats théoriques et
expérimentaux peut être notée. En effet dans la gamme fréquentielle 100Hz-1700Hz l’augmentation
théorique et expérimentale des amplitudes des raies vibratoires est assez importante. Au-delà de
1700Hz, les raies de denture sont moins sensibles au défaut et l’augmentation des vibrations est peu
significative. Cela est forcément lié à l’augmentation significative des forces radiales dans la gamme
fréquentielle 100Hz-1700Hz. Les résultats théoriques sont en concordance avec les mesures
expérimentales malgré les quelques écarts signalés entre les deux types de résultats. Les ordres de
grandeurs des amplitudes des vibrations ainsi que la correspondance fréquentielle des raies sont
respectés. Globalement les écarts ne sont pas très flagrants et l’aspect qualitatif est préservé.
ϭϮϭ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
Figure 3. 13. Spectre vibratoire pour la machine défectueuse
ϭϮϮ
&KDSLWUH
Déformation dynamique (m/s2)
Théorie
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
Expérimentation
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Fréquence (Hz)
Figure 3. 14. Spectre vibratoire théorique et expérimental de la machine défectueuse
Fréquence(Hz)
∆ théorique (dB)
∆ exp érimlental (dB)
100
11
17.6
700
16.2
19
900
12.3
0.5
1500
13
7
1600
15.84
15.7
1700
9.2
10.6
2300
7
4
2400
5
3.9
2500
5.5
9.9
3200
5.7
-1
3300
7.43
-1.26
3900
2.47
-7
4100
6.42
0.3
4700
4.4
6.56
Tableau 3. 5. Augmentation théorique et expérimentale des vibrations suite au défaut
V-2-2-Spectre acoustique
La Figure 3.15 présente le spectre acoustique de la machine défectueuse. La comparaison de ce
spectre à celui de la Figure 3.12montre que le niveau d’intensité acoustique global augmente quand la
machine est atteinte par un court-circuit entre spires statoriques comme pour les vibrations. Cette
augmentation est plus marquée pour certaines raies de denture, surtout entre 100Hz et 1700Hz. Pour
ϭϮϯ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
d’autres raies l’augmentation est peu flagrante voire parfois l’amplitude diminue (2300Hz, 2400Hz et
2500Hz). Les raies de denture dans le cas de la machine défectueuse ressortent de façon distincte
malgré la présence de raies d’origine mécanique dans le spectre de bruit. Le Tableau 3.6présente la
variation
théorique
et
expérimentale
de
l’amplitude
des
raies
acoustiques
suite
au
défaut : ∆ = 20log (Bruit de la machine défectueuse/Bruit de la machine saine). Les écarts entre les
deux types de résultats sont prévus et explicables pour les mêmes raisons déjà présentés auparavant
concernant les vibrations.
ϭϮϰ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
Figure 3. 15. Spectre acoustique pour la machine défectueuse
Fréquence (Hz)
∆ théorique (dB)
∆ exp érimlental (dB)
100
0.82
-1.33
700
3
4
800
2.8
6.6
900
0.7
-0.58
1500
1.27
0.92
1600
0.42
2.9
1700
2.7
1
2300
0.66
-0.25
2400
1
0.88
2500
1.8
-0.12
3200
0.63
0.2
3300
0.91
-2
3900
0.68
0.3
4100
1.3
1.2
Tableau 3. 6. Variation théorique et expérimentale du bruit suite au défaut
ϭϮϱ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
9,2SWLPLVDWLRQGXEUXLWHWGHVYLEUDWLRQV
2SWLPLVDWLRQGXEUXLWHWGHVYLEUDWLRQV
Il a été montré dans le chapitre précédent que les paramètres rds et rdr avaient une influence sur les
pertes fer. En effet, par un choix adéquat de rds et rdr on peut annuler certains harmoniques d’induction
d’entrefer ce qui conduit à une annulation des pertes fer correspondantes. On a vu aussi qu’il existait
des rds et rdr optimaux qui permettaient d’avoir le minimum de pertes fer générées par la machine
saine ou la machine en défaut. Selon les paramètres géométriques de notre machine ces valeurs sont
rds = 0.5 et rdr = 0.5 , permettant d’annuler les harmoniques d’induction à 1550Hz, 1650Hz, 2350Hz et
2450Hz ainsi que leurs multiples. Dans cette partie on va analyser l’effet du choix de rds et rdr
optimaux sur le comportement vibro-acoustique de la machine [LE BESNERAIS, 2009].
ǦͳǦ”—‹–‡–˜‹„”ƒ–‹‘•†‡Žƒƒ…Š‹‡•ƒ‹‡ƒ˜‡…Ž‡• rds ‡– rdr ‘’–‹ƒ—š
La Figure 3.16 présente les déformations dynamiques du stator dans le cas d’une machine saine avec
rds = rdr = 0.5 . Le spectre dans ce cas est beaucoup moins dense que celui de la Figure 3.4. En effet en
choisissant rds = rdr = 0.5 on a annulé les harmoniques d’induction à 1550Hz, 1650Hz, 2350Hz et
2450Hz et donc les raies vibratoires correspondantes aux fréquences :1500Hz, 1600Hz, 1700Hz,
2300Hz, 2400Hz, 2500Hz, 3100Hz, 3200Hz, 3300Hz, 4700Hz, 4800Hz et 4900Hz. Ces fréquences
correspondent à kr = ±2 et kr = ±3 ainsi que leurs multiples.
mode 0
mode 4
Déformation dynamique (m/s2)
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
100
700
800
900
3900
4100
Fréquence (Hz)
Figure 3. 16. Déformations dynamiques de la machine saine avec rds = rdr = 0.5
ϭϮϲ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
L’effet de rds et rdr sur les déformations dynamiques se transmet au bruit comme le montre la Figure
3.17. Les raies acoustiques disparues avec rds et rdr optimales contribuent à une diminution du bruit
global généré par la machine [LE BESNERAIS, 2010]. Ce résultat rejoint le résultat trouvé dans le
chapitre 2 concernant les pertes fer.
m=0
m=4
Niveau d'intensité acoustique (dB)
ϰϱ
ϰϬ
ϯϱ
ϯϬ
Ϯϱ
ϮϬ
ϭϱ
ϭϬ
ϱ
Ϭ
ϭϬϬ
ϳϬϬ
ϴϬϬ
ϵϬϬ
ϯϵϬϬ
ϰϭϬϬ
Fréquence (Hz)
Figure 3. 17. Niveau d’intensité acoustique pour la machine saine avec rds = rdr = 0.5
ǦʹǦ”—‹–‡–˜‹„”ƒ–‹‘•†‡Žƒƒ…Š‹‡†±ˆ‡…–—‡—•‡ƒ˜‡…Ž‡• rds ‡– rdr ‘’–‹ƒ—š
En procédant de la même façon que pour la machine saine, on calcule dans cette partie le bruit et les
vibrations de la machine présentant un court-circuit entre spires statoriques en considérant les rds et rdr
optimaux. On court-circuite 12.5% de l’enroulement statorique de la phase 1 avec I c = 20 A .
L’objectif est de vérifier l’effet de ces paramètres sur le bruit et les vibrations de la machine
défectueuse. Dans la Figure 3.18 on présente les déformations dynamiques générées par la machine
défectueuse avec rds = rdr = 0.5 . On voit bien que ce spectre est beaucoup moins dense que celui de la
Figure 3.6. En effet avec le rds et le rdr choisis on a annulé la contribution des harmoniques à 1500Hz,
1600Hz, 1700Hz, 2300Hz, 2400Hz, 2500Hz, 3100Hz, 3200Hz, 3300Hz, 4700Hz, 4800Hz et 4900Hz ce
qui engendre une minimisation considérable des déformations dynamiques. Le niveau d’intensité
acoustique est présenté à la Figure 3.19. Comme pour les vibrations, la disparition de plusieurs raies
de denture permet de minimiser le bruit généré par la machine défectueuse. A partir des résultats
trouvés dans le cas d’une machine avec des rds et rdr non optimisés et ceux trouvés dans le cas d’une
machine avec des rds et rdr optimisés on s’aperçoit que ces deux paramètres peuvent contribuer à la
ϭϮϳ
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
diminution du bruit et des vibrations d’une machine saine ou défectueuse. Ces résultats rejoignent les
résultats trouvés concernant la minimisation des pertes fer par le choix adéquat de rds et rdr .
Déformation dynamique (m/s2)
Ϭ͕ϰ
Ϭ͕ϯϱ
Ϭ͕ϯ
Ϭ͕Ϯϱ
Ϭ͕Ϯ
Ϭ͕ϭϱ
Ϭ͕ϭ
Ϭ͕Ϭϱ
Ϭ
ϭϬϬ
ϳϬϬ
ϴϬϬ
ϵϬϬ
ϯϵϬϬ
ϰϭϬϬ
Fréquence (Hz)
Figure 3. 18. Déformations dynamiques de la machine défectueuse avec rds = rdr = 0.5
Niveau d'intensité acoustique (dB)
ϳϬ
ϲϬ
ϱϬ
ϰϬ
ϯϬ
ϮϬ
ϭϬ
Ϭ
ϭϬϬ
ϳϬϬ
ϴϬϬ
ϵϬϬ
ϯϵϬϬ
ϰϭϬϬ
Fréquence (Hz)
Figure 3. 19. Niveau d’intensité acoustique pour la machine défectueuse avec rds = rdr = 0.5
&RQFOXVLRQ
&RQFOXVLRQ
On a présenté dans ce chapitre un modèle électromagnétique basé sur les caractéristiques des
harmoniques d’induction et qui permet de calculer les forces radiales appliquées à la surface interne du
stator dans le cas de la machine saine et défectueuse.
ϭϮϴ
Ce modèle électromagnétique peut être
&KDSLWUH
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
facilement associé à un modèle mécanique pour aboutir aux déformations dynamiques et au bruit. La
méthode semi-analytique utilisée nécessite de faire des hypothèses et présente donc des limites
lorsqu’une grande précision quantitative est demandée. Cependant les ordres de grandeurs sont
correctement estimés et l’aspect qualitatif est bien mis en valeur. En effet une grande précision au
niveau de la détermination fréquentielle des raies vibratoires et acoustiques est soulignée. Les résultats
théoriques montrent que le court-circuit entre spires statoriques engendre une augmentation des forces
radiales et par conséquent une augmentation du niveau vibro-acoustique surtout quand la raie
fréquentielle est proche d’une fréquence de résonance. Il est clair que le défaut de court-circuit entre
spires statorique est une source de bruit et de vibrations. Il permet d’amplifier l’amplitude des raies
vibratoires et acoustiques rendant ainsi les harmoniques de denture plus facile à identifier. Des
mesures expérimentales ont été effectuées pour valider le modèle théorique utilisé. Les résultats
expérimentaux montrent également que le défaut créé engendre une augmentation globale du bruit et
des vibrations générés par la machine. La comparaison des résultats théoriques et expérimentaux
montre une bonne concordance entre ces deux types de résultats. Il apparait, néanmoins, des écarts qui
sont logiques du fait des hypothèses utilisées dans les simulations et à cause de la difficulté de faire
des mesures expérimentales de bruit et de vibrations avec une grande précision dans les conditions
favorables malgré l’isolation de la machine dans une chambre semi-anéchoïde. Une étude théorique
concernant l’effet du rapport de denture statorique et rotorique sur le bruit et les vibrations a été aussi
effectué. L’analyse des résultats montre que ces deux paramètres jouent un rôle important dans la
réduction du bruit et des vibrations de la machine saine et défectueuse.
ϭϮϵ
&KDSLWUH
ϭϯϬ
(WXGHGX%UXLWHWGHV9LEUDWLRQV
Šƒ’‹–”‡Ͷǣ‘””±Žƒ–‹‘ƒ˜‡…Ž‡
Šƒ’ƒ‰±–‹“—‡†‡‹•’‡”•‹‘
Chapitre 4
Corrélation avec le Champ Magnétique de Dispersion
ϭϯϭ
Chapitre 4
Corrélation avec le Champ Magnétique de Dispersion
‘””±Žƒ–‹‘ƒ˜‡…Ž‡Šƒ’ƒ‰±–‹“—‡†‡
‹•’‡”•‹‘
L’analyse du champ magnétique de dispersion a trouvé son intérêt dans les applications du diagnostic
des machines électriques tournantes [HENAO, 2003] [ROMARY, 2010]. L’avantage de cette méthode
est qu’elle est totalement transparente vis à vis de l’utilisation des machines. Contrairement aux
méthodes intrusives couramment utilisées (mesure de courant, de tension ou de champ interne), elle ne
demande ni d’ouvrir la machine ni de couper son circuit d’alimentation pour installer ou changer un
capteur [ROMARY, 2008].
Certaines études antérieures [PENMAN, 1994] ont signalé la modification du champ magnétique de
dispersion quand la machine présente un défaut et ont mis en évidence les possibilités de détection de
divers défauts par analyse du flux de fuite [CABANAS, 1998]. Des travaux plus récents ont présenté
l’origine prépondérante de ce champ ainsi que les phénomènes qui contribuent à sa modification en
présence d’un défaut dans la machine [THAILLY, 2005]. Ils ont également montré que la composante
ϭϯϮ
Chapitre 4
Corrélation avec le Champ Magnétique de Dispersion
radiale du champ magnétique de dispersion évoluant dans un environnement proche d’une machine
électrique est l’image du champ d’entrefer et qu’à ce titre pouvait refléter de manière assez fine son
comportement. Cette particularité, mise en œuvre dans le cadre du diagnostic, doit pouvoir être
exploitée pour quantifier certaines grandeurs comme, par exemple, les émissions acoustiques et les
pertes fer ayant aussi pour origine l’induction d’entrefer.
L’objectif de ce chapitre est d’établir une corrélation entre les pertes fer, les vibrations et le champ
magnétique extérieur. Dans cette étude, on considère successivement le cas d’une machine saine et
d’une machine avec un court-circuit entre spires statoriques. Dans la première partie on présente les
résultats théoriques concernant la corrélation des trois phénomènes présentés précédemment. Dans un
deuxième temps on présente des résultats expérimentaux permettant de valider les résultats théoriques
obtenus.
,&ODVVLILFDWLRQGXFKDPSPDJQpWLTXHGHGLVSHUVLRQ
&ODVVLILFDWLRQGXFKDPSPDJQpWLTXHGHGLVSHUVLRQ
En considérant une machine électrique à p paires de pôles alimentée par un système triphasé de
courants de pulsation ω (fréquence f), et évoluant avec un glissement g, il est possible de classifier les
fréquences exploitées pour le flux de dispersion en quatre catégories :
•
Les très basses fréquences, de l’ordre de gf.
•
Les basses fréquences dont les composantes évoluent au voisinage de la fréquence de rotation
(<2f).
•
Les moyennes fréquences, de l’ordre du kHz, liées aux composantes d’induction engendrées
par la denture.
•
Les hautes fréquences, de l’ordre du MHz, liées aux composantes générées par l’excitation des
résonances du bobinage dues à ses inductances et capacités parasites [ROGER, 2003].
L’étude présenté ici privilégie la gamme des moyennes fréquences (tributaire de la denture). Le champ
magnétique extérieur peut être également classifié suivant sa direction. En effet, selon la position du
capteur placé à la périphérie du moteur, le champ mesuré n’émane pas forcément du même endroit, et
ne résulte par conséquent, pas forcément du même phénomène physique. La distinction adoptée tient
d’une différenciation, d’ordre spatial, des champs externes de dispersion. Nous avons donc choisi de
considérer deux champs :
•
Le premier champ est orienté géométriquement dans une direction longitudinale parallèle à
l’axe de la machine ( P/ / ) . Il s’agit du champ axial. La Figure 4.1 présente une schématisation
des lignes de champ associées à cette composante. Etant donné la localisation de ces lignes de
champ, il est possible de supposer que le champ de dispersion dans un plan longitudinal est
ϭϯϯ
Chapitre 4
Corrélation avec le Champ Magnétique de Dispersion
principalement créé par la circulation des courants dans les têtes de bobines statoriques ou
dans l’anneau de court-circuit rotorique. Ce champ est qualifié de champ axial [ZIDAT, 2010]
et on peut distinguer deux composantes : la normale et la tangentielle.
P //
Figure 4. 1. Composante axiale du champ magnétique de dispersion
•
Le deuxième champ est compris dans un plan perpendiculaire à l’axe longitudinal. Il s’agit du
champ radial dont le parcours des lignes de champ circulant dans le plan transversal est donné
par la Figure 4.2. Il est l’image de l’induction d’entrefer qui est atténuée par le paquet de tôles
statoriques mais également par la carcasse extérieure. On distingue également deux
composantes : la normale et la tangentielle.
P⊥
Figure 4. 2. Composante radiale du champ magnétique de dispersion
ϭϯϰ
Chapitre 4
Corrélation avec le Champ Magnétique de Dispersion
,,
,,0RGpOLVDWLRQGXFKDPSPDJQpWLTXHGHGLVSHUVLRQ
0RGpOLVDWLRQGXFKDPSPDJQpWLTXHGHGLVSHUVLRQ
PDJQpWLTXHGHGLVSHUVLRQ
On part de l’induction d’entrefer be définie dans le référentiel statorique :
be =
¦ Bˆ
s
H K
s
e
HsKs
cos ( K sωt − H sα s + φHs s K s )
(3.1)
Dans notre étude on va s’intéresser à la composante normale du champ radial. Pour modéliser ce
champ :
•
On suppose que les courants induits dans la tôle, à l’origine de pertes dynamiques, n’influent
pas le champ extérieur.
•
On suppose qu’il ya un découplage des phénomènes d’atténuation dans les différents milieux.
L’induction évoluant à l’extérieur de la machine, plus précisément dans un plan perpendiculaire à son
axe, se détermine en introduisant l’atténuation engendrée par les éléments ferromagnétiques qui la
constituent. La dernière hypothèse nous permet de considérer un coefficient d’atténuation global
CHx s K s avec x est la distance de la machine jusqu’au capteur indiqué à la Figure 4.3. Dans notre cas, on
ne considère que l’atténuation due au paquet de tôles statoriques. L’atténuation due à la carcasse est
négligée. Le coefficient CHx s K s peut s’exprimer donc par
CHx s K s = C pt Cax
(3.2)
C pt est le coefficient d’atténuation du au paquet de tôles statoriques. Il est obtenu en appliquant les
conditions aux limites à la périphérie intérieure et extérieure du stator. Ce coefficient est donné par
[THAILLY, 2007a] :
C pt =
2
§ s ·
(1 − µrpt ) ¨ RRints ¸
© ext ¹
H s −1
§ Rs ·
+ (1 + µ rpt ) ¨ int
s ¸
© Rext ¹
− H s −1
(3.3)
avec µrpt est la perméabilité magnétique relative du matériau constituant les tôles. On remarque que
l’atténuation est importante lorsque le nombre de paires de pôles H s de la composante d’induction est
élevé. Cxa est le coefficient d’atténuation dans l’air, il s’exprime par :
§ Rs ·
C = ¨ ext ¸
© x ¹
x
a
ϭϯϱ
H s +1
(3.4)
Chapitre 4
Corrélation avec le Champ Magnétique de Dispersion
L’induction b x en x s’obtient en multipliant (3.1) par CHx s K s et en considérant éventuellement une
modification de phase [THAILLY, 2007b]. La mesure du champ extérieur s’effectue à l’aide d’un
capteur bobiné, de surface S et possédant nc spires. Celui-ci est placé à égale distance des extrémités
de la culasse et à une distance x de l’axe, comme indiqué sur la Figure 4.3. Le capteur embrasse un
flux qui résulte de l’intégration de b x sur S. Ce flux, qui varie dans le temps, peut être caractérisé par
son contenu spectral. Un harmonique évoluant à la pulsation K sω , noté Ψ Kx s s’obtient par sommation
de toutes les composantes de flux issues de l’intégration sur S de l’ensemble des composantes de b x
présentant des nombres de paires de pôles H s différents mais de même rang fréquentiel K s .
Capteur de flux
S
x
Figure 4. 3. Position du capteur
L’intégration dépend de la forme du capteur, de S, de H s et de x. En introduisant ces paramètres au
niveau d’un coefficient K Hx s , Ψ Kx s s’exprime par :
Ψ Kx s = ¦ CHx s K s K Hx s Bˆ He s K s cos( K sωt − φH s K s )
(3.5)
Hs
Parmi les termes qui constituent Ψ Kx s seuls les termes relatifs au nombre de paires de pôles H s faible,
auront une contribution significative [THAILLY, 2004]. Les autres seront absorbés par les parties
ferromagnétiques. La f.e.m. induite e x aux bornes de la bobine est donnée par :
e x = ¦ eˆKx s sin( K sωt − φH s K s )
(3.6)
eˆKx s = −nc SK sω ¦ CHx s K s K Hx s Bˆ He s K s
(3.7)
Ks
avec :
Hs
ϭϯϲ
Chapitre 4
Les équations (3.5) et
Corrélation avec le Champ Magnétique de Dispersion
(3.7) décrivent la relation qui lie le champ magnétique de dispersion à
l’induction d’entrefer et montrent que cette induction est à l’origine du champ extérieur. Cela permet
donc de corréler les pertes fer et les vibrations, ayant aussi comme origine l’induction d’entrefer, avec
le champ magnétique extérieur.
,,,
,,,&RUUpODWLRQHQWUHOHVSHUWHVIHUHWOHVYLEUDWLRQVDYHFOHFKDPSPDJQpWLTXHGH
GLVSHUVLRQGDQVOHFDVGHODPDFKLQHVDLQH
GLVSHUVLRQGDQVOHFDVGHODPDFKLQHVDLQH
Dans cette partie on va exploiter les résultats présentés dans les chapitres précédents concernant les
pertes fer et les vibrations théoriques et expérimentales pour dégager une corrélation avec le champ de
dispersion. Les résultats qu’on va exposer concernent la machine asynchrone présentée
précédemment : N s = 24 , N r = 16 , p=2, Rints = 60mm , Rexs t = 90mm .
ǦͳǦ‘””±Žƒ–‹‘–Š±‘”‹“—‡
Le calcul du champ magnétique de dispersion pour la machine saine permet dans un premier temps de
vérifier les fréquences qui apparaissent au niveau du spectre de champ et de comparer ces
harmoniques aux composantes qui engendrent les pertes fer et les vibrations. Il permet dans un
deuxième temps de comparer les composantes prédominantes dans les trois cas. Les Figures 4.4, 4.5 et
4.6 présentent respectivement le champ magnétique de dispersion, la distribution harmoniques des
pertes dynamiques et les déformations dynamiques de la machine saine.
ϭϯϳ
Chapitre 4
Corrélation avec le Champ Magnétique de Dispersion
Ϭ͕ϬϬϱ
Flux de dispersion (mT)
Ϭ͕ϬϬϰ
Ϭ͕ϬϬϯ
Ϭ͕ϬϬϮ
Ϭ͕ϬϬϭ
Ϭ
ϳϱϬ
ϴϱϬ
ϭϱϱϬ
ϭϲϱϬ
ϮϯϱϬ
ϮϰϱϬ
Fréquence (Hz)
Figure 4. 4. Champ de dispersion calculé pour la machine saine
ϴ
Pertes fer harmoniques (W)
ϳ
ϲ
ϱ
ϰ
ϯ
Ϯ
ϭ
Ϭ
ϳϱϬ
ϴϱϬ
ϭϱϱϬ
ϭϲϱϬ
ϮϯϱϬ
ϮϰϱϬ
Fréquence (Hz)
Figure 4. 5. Pertes dynamiques calculées pour la machine saine
Accélération des déformations dynamiques
(m/s2)
Ϭ͕ϭϰ
Ϭ͕ϭϮ
Ϭ͕ϭ
Ϭ͕Ϭϴ
Ϭ͕Ϭϲ
Ϭ͕Ϭϰ
Ϭ͕ϬϮ
Ϭ
ϭϬϬ
ϳϬϬ
ϴϬϬ
ϵϬϬ
ϭϱϬϬ
ϭϲϬϬ
ϭϳϬϬ
ϮϯϬϬ
ϮϰϬϬ
ϮϱϬϬ
Fréquence (Hz)
Figure 4. 6. Déformations dynamiques calculées pour la machine saine
ϭϯϴ
Chapitre 4
Corrélation avec le Champ Magnétique de Dispersion
En comparant les Figures 4.4 et 4.5 on retrouve les mêmes harmoniques prédominants. En effet, dans
les deux cas de figures les harmoniques de résonance de denture à 2350Hz et 2450Hz sont les
harmoniques qui ont la contribution la plus importante. Cela s’explique par le fait que ces
harmoniques ont un nombre de paire de pôles faible ( H s = 2 ) , d’où une atténuation faible sur la
hauteur de la culasse statorique [THAILLY, 2004] et donc une contribution importante dans le champ
de dispersion. Leur faible nombre de paires de pôles leur permet également de s’étendre plus dans le
fer, et donc d’engendrer plus de pertes dynamiques que les harmoniques de nombre de paires de pôles
élevé. En comparant maintenant les Figures 4.4 et 4.6 on remarque que les harmoniques de résonance
de denture à 2350Hz et 2450Hz sont prédominants dans le spectre de champ extérieur et les
harmoniques de résonance de denture à 2300Hz, 2400Hz et 2500Hz sont également prédominants
dans le spectre vibratoire. On peut conclure donc, que la prédominance des harmoniques de résonance
de denture est une caractéristique commune signalées dans les pertes fer, les vibrations ainsi que le
champ de dispersion générés par la machine saine.
ǦʹǦ‘””±Žƒ–‹‘‡š’±”‹‡–ƒŽ‡
Les mesures expérimentales nous ont permis d’avoir le spectre de champ de dispersion ainsi que celui
des vibrations [THAILLY, 2007c]. Cependant, les essais adoptés ne permettent pas d’avoir la
contribution de chaque harmonique de denture dans les pertes dynamiques. De ce fait, on va se
contenter dans cette partie de comparer les vibrations et le champ de dispersion. Les Figures 4.7 et 4.8
présentent respectivement la tension délivrée par le capteur de champ extérieur et les vibrations
mesurées. En comparant les deux spectres on remarque bien que le spectre vibratoire est plus dense
que celui du champ de dispersion. Cela est dû entre autres, à la présence de raies vibratoires
d’amplitude relativement importante ayant une origine purement mécanique en plus des raies d’origine
magnétique. Les raies de denture d’origine magnétique indiquées par des croix ne sont pas forcément
les raies prédominantes dans le spectre vibratoire, ainsi leur identification est un peu délicate dans le
cas de la machine saine.
ϭϯϵ
Chapitre 4
Corrélation avec le Champ Magnétique de Dispersion
Figure 4. 7. Champ de dispersion mesuré dans le cas de la machine saine
Figure 4. 8. Déformations dynamiques mesurées dans le cas de la machine saine
ϭϰϬ
Chapitre 4
Corrélation avec le Champ Magnétique de Dispersion
,9
,9&RUUpODWLRQHQWUHOHVSHUWHVIHUHWOHVYLEUDWLRQVDYHFOHFKDPSPDJQpWLTXHGH
GLVSHUVLRQGDQVOHFDVGHODPDFKLQHGpIHFWXHXVH
GLVSHUVLRQGDQVOHFDVGHODPDFKLQHGpIHFWXHXVH
UVLRQGDQVOHFDVGHODPDFKLQHGpIHFWXHXVH
Dans cette partie on s’intéresse à la machine asynchrone où 12.5% de l’enroulement d’une phase
statorique est court-circuitée et I c = 20 A .
ǦͳǦ‘””±Žƒ–‹‘–Š±‘”‹“—‡
Le calcul du champ magnétique de dispersion ainsi que les pertes fer et les vibrations aboutit aux
spectres des Figures 4.9, 4.10 et 4.11 respectivement. En analysant le comportement de ces trois
grandeurs vis-à-vis du court-circuit entre spires statoriques on remarque que :
•
L’amplitude des raies de denture du champ magnétique extérieur, comme celle des pertes fer
et des vibrations, augmente lors de l’apparition du défaut de court-circuit dans la machine.
•
Quand la machine présente un court-circuit entre spires statoriques, la contribution des
harmoniques de résonance de denture n’est plus la prédominante dans les trois cas de figures.
Cela est dû au fait que l’amplitude des raies à 2350Hz et 2450Hz n’augmente pas beaucoup
suite au défaut comme le montre le Tableau 1.6, contrairement aux autres harmoniques de
denture. Cette faible augmentation des composantes d’induction d’entrefer se traduit par une
faible augmentation de l’induction dans la culasse statorique d’où une faible augmentation des
pertes fer et du champ correspondants. Cependant, l’amplitude des composantes d’induction à
750Hz et 850Hz augmentent considérablement suite au défaut avec apparition de composantes
prédominantes de faible polarité ( H s = 2 ) d’où une faible atténuation de l’induction dans le
stator et par conséquent une contribution importante dans les pertes dynamiques et le champ
magnétique extérieur. On observe la même propriété pour le spectre vibratoire où les
vibrations dues aux premières raies de denture à 700Hz, 800Hz et 900Hz augmentent d’une
manière plus prononcée que les vibrations dues aux autres raies.
ϭϰϭ
Chapitre 4
Corrélation avec le Champ Magnétique de Dispersion
Ϭ͕ϬϬϴ
Flux de dispersion (mT)
Ϭ͕ϬϬϳ
Ϭ͕ϬϬϲ
Ϭ͕ϬϬϱ
Ϭ͕ϬϬϰ
Ϭ͕ϬϬϯ
Ϭ͕ϬϬϮ
Ϭ͕ϬϬϭ
Ϭ
ϳϱϬ
ϴϱϬ
ϭϱϱϬ
ϭϲϱϬ
ϮϯϱϬ
ϮϰϱϬ
Fréquence (Hz)
Figure 4. 9. Flux de dispersion calculé pour la machine en défaut
Pertes fer harmoniques (W)
ϭϰ
ϭϮ
ϭϬ
ϴ
ϲ
ϰ
Ϯ
Ϭ
ϳϱϬ
ϴϱϬ
ϭϱϱϬ
ϭϲϱϬ
ϮϯϱϬ
ϮϰϱϬ
Fréquence (Hz)
Accélération des déformations dynamiques
(m/s2)
Figure 4. 10. Pertes fer calculées pour la machine en défaut
Ϭ͕ϰϱ
Ϭ͕ϰ
Ϭ͕ϯϱ
Ϭ͕ϯ
Ϭ͕Ϯϱ
Ϭ͕Ϯ
Ϭ͕ϭϱ
Ϭ͕ϭ
Ϭ͕Ϭϱ
Ϭ
ϭϬϬ
ϳϬϬ
ϴϬϬ
ϵϬϬ
ϭϱϬϬ
ϭϲϬϬ
ϭϳϬϬ
ϮϯϬϬ
ϮϰϬϬ
ϮϱϬϬ
Fréquence (Hz)
Figure 4. 11. Déformations dynamiques calculées pour la machine en défaut
ϭϰϮ
Chapitre 4
Corrélation avec le Champ Magnétique de Dispersion
ǦʹǦ ‘””±Žƒ–‹‘‡š’±”‹‡–ƒŽ‡
En créant le court-circuit entre spires statoriques on obtient les spectres de champ extérieur et de
vibrations donnés par les Figures 4.12 et 4.13. On retrouve les propriétés énoncées dans la partie
théorique à savoir :
•
Le champ de dispersion ainsi que les vibrations augmentent considérablement.
•
Contrairement au cas de la machine saine, les raies de denture indiquées par des croix dans les
deux spectres sont facilement distinguables dans ce cas.
•
L’amplitude des raies autour de 2400Hz et 4800Hz correspondants aux raies de résonance de
denture, augmente faiblement dans les deux spectres. Les raies de denture prédominantes dans
le cas de la machine défectueuse correspondent aux harmoniques à 750Hz et 850Hz dans le
spectre de champ et aux harmoniques à 700Hz, 800Hz et 900Hz dans le spectre vibratoire.
Figure 4. 12. Champ de dispersion mesuré pour la machine défectueuse
ϭϰϯ
Chapitre 4
Corrélation avec le Champ Magnétique de Dispersion
Figure 4. 13. Déformations dynamiques mesurées pour la machine défectueuse
Dans le Tableau 4.1 on présente la variation, théorique et expérimentale, de la contribution des
harmoniques d’induction dans les pertes fer, les vibrations et le champ de dispersion suite au
défaut : ∆ = 20log (grandeur de la machine défectueuse/grandeur de la machine saine). On voit
bien que malgré quelques différences entre les résultats théoriques et expérimentaux, les ordres de
grandeurs sont bien respectés. Une bonne concordance entre les résultats théoriques et
expérimentaux est à signaler. Les variations que ce soit théoriques ou expérimentales des pertes
fer, des vibrations et de champ de dispersion suite au court-circuit entre spires statoriques sont
comparables ce qui confirme l’existence d’une analogie ou d’une corrélation entre ces trois
grandeurs.
ϭϰϰ
Chapitre 4
Corrélation avec le Champ Magnétique de Dispersion
∆ théorique (dB)
∆ exp érimentale (dB)
Fréquence(Hz)
Pertes fer
Vibrations
Champ
Vibrations
Champ
100
_
11
_
8
_
700
_
16.2
_
9
_
750
8.4
_
8.75
_
12.6
800
_
15
_
24
_
850
7.6
_
8.5
_
7
900
_
12.3
_
2
_
1500
_
12
_
6
_
1550
8.78
_
9.3
_
3
1600
_
15.8
_
13.4
_
1650
8.14
_
8.52
_
6.64
1700
_
9.2
_
6.5
_
2300
_
6
_
4.8
_
2350
3.8
_
2.28
_
2.5
2400
_
5.12
_
2.3
_
2450
3.37
_
1.9
_
0.85
2500
_
5.56
_
0.7
_
Tableau 4. 1. Augmentation théorique et expérimentale des pertes fer, vibrations et champ de dispersion suite au
défaut
&RQFOXVLRQ
&RQFOXVLRQ
Il a été montré que les pertes fer ainsi que les vibrations sont liées au champ de dispersion du fait
qu’ils ont tous les trois le même origine qui est l’induction d’entrefer. Les résultats théoriques issus du
modèle semi-analytique ainsi que les résultats expérimentaux montrent que ces trois grandeurs ont un
comportement similaire vis-à-vis du court-circuit entre spires statoriques. Etablir une corrélation entre
le champ magnétique de dispersion, les pertes fer et les vibrations semble donc intéressante à double
titre. Tout d’abord elle permet de fournir des informations relatives aux pertes fer et aux vibrations en
analysant seulement le champ magnétique de dispersion. D’autre part, elle peut permettre d’établir des
procédures de contrôle des pertes fer et des vibrations par une simple analyse du champ externe sans
avoir recours à calculer ou mesurer ces deux grandeurs.
ϭϰϱ
‘…Ž—•‹‘
±±”ƒŽ‡
&RQFOXVLRQ*pQpUDOH
ϭϰϳ
&RQFOXVLRQ*pQpUDOH
‘…Ž—•‹‘
±±”ƒŽ‡
Le travail mené dans cette thèse est dédié à l’étude de fonctionnement non conventionnel de la
machine asynchrone. Il traite plus particulièrement les effets d’un défaut de court-circuit entre spires
statoriques sur les phénomènes générés par la denture. Nous avons proposé un modèle analytique qui
permet de calculer l’induction d’entrefer en tenant compte de l’effet de la denture. La méthode de
modélisation adoptée nous a permis de créer facilement le court-circuit entre spires statoriques. Ainsi
le modèle proposé nous a servi pour calculer l’induction d’entrefer de la machine saine et de la
machine défectueuse.
La méthode analytique nécessite une bonne connaissance de la machine électrique en tant que système
multi-physique pour émettre les hypothèses indispensables à la résolution du problème. Le modèle
électromagnétique réalisé est à différents niveaux de complexité. Il permet d’ajuster les hypothèses
simplificatrices en ayant une idée concernant leur impact sur les résultats, et a l’avantage d’être
facilement associée à un autre modèle analytique dans le domaine mécanique, des pertes fer ou du
champ magnétique émis comme cela a été présenté dans le mémoire.
Nous avons présenté dans un premier temps le modèle électromagnétique de la machine asynchrone.
A partir de ce modèle on a calculé l’induction dans l’entrefer ainsi que l’induction dans les culasses
statorique et rotorique. Un modèle électrique de la machine asynchrone présentant un court-circuit
entre spires statoriques a été par la suite exposé. Il permet de calculer les courants statoriques et
rotoriques quand un court-circuit entre spires statoriques apparaît dans la machine. L’identification des
ϭϰϴ
&RQFOXVLRQ*pQpUDOH
différents coefficients et paramètres intervenant dans le modèle est réalisée d’une part à partir de la
géométrie de la machine (caractéristiques de la denture), et d’autre part grâce à des essais
expérimentaux qui exploitent le bilan de puissance.
L’association du modèle analytique de l’induction d’entrefer au modèle de pertes fer est ensuite
présentée. Avec le modèle de pertes fer utilisé, la connaissance fréquentielle de l’induction dans la
machine permet d’estimer directement l’ensemble des pertes fer et de séparer les pertes statiques des
pertes dynamiques. Les résultats de calcul ont montré que les harmoniques d’induction ont une
contribution non négligeable dans les pertes fer de la machine et que le défaut modifie la répartition au
niveau de la contribution des harmoniques. On a pu apprécier aussi l’effet de la résonance de denture
sur les pertes fer. En effet ce sont les composantes d’induction liées au phénomène de résonance de
denture qui sont responsables d’une part non négligeable des pertes fer. Un point important a été aussi
abordé concernant la minimisation des pertes fer. On a pu montrer qu’en agissant sur certains
paramètres géométriques lors de la conception de la machine on peut annuler certains harmoniques de
denture annulant ainsi les pertes fer correspondantes. Cette technique a été vérifiée pour la machine
saine ainsi que la machine avec défaut. Une étude numérique a validé l’annulation de ces harmoniques
de denture. Enfin on a validé expérimentalement certains résultats théoriques.
Pour ce qui est des bruits et vibrations, en connaissant l’induction dans l’entrefer le passage au calcul
des forces est immédiat. L’association du modèle électromagnétique à un modèle mécanique
analytique simple a permis de calculer le bruit et les vibrations de la machine saine et défectueuse. Les
résultats théoriques obtenus ont mis en évidence l’effet du court-circuit entre spires statoriques sur le
bruit et les vibrations. On a constaté que, suite au défaut, l’amplitude des raies vibro-acoustiques
augmente. Une étude plus approfondie de l’effet du défaut sur les harmoniques d’induction a montré
que dans la machine saine, chaque fréquence de denture correspond à un mode. Cependant l’apparition
du défaut fait apparaître de nouveaux modes et chaque harmonique est associé dans ce cas à plusieurs
modes. L’augmentation des vibrations est due donc à deux facteurs, le premier est l’augmentation des
vibrations dues au mode déjà existant dans le cas sain et le deuxième est l’apparition des nouveaux
modes. La confrontation avec l’expérimentation a donné des résultats satisfaisants concernant l’effet
du défaut sur le bruit et les vibrations dues aux harmoniques d’induction. La correspondance
fréquentielle des spectres vibratoires et acoustiques théoriques et expérimentaux est remarquable
malgré la présence de raies supplémentaires d’origine autre que magnétique dans les spectres
expérimentaux. Les ordres de grandeurs sont largement respectés. La dernière partie a été consacrée à
une étude synthétique concernant la corrélation entre les pertes fer, les vibrations et le champ
magnétique de dispersion. Cette corrélation peut se justifier par le fait que ces phénomènes ont pour
ϭϰϵ
&RQFOXVLRQ*pQpUDOH
origine l’induction d’entrefer. On a présenté dans un premier temps la relation entre le champ
magnétique radial et l’induction dans le stator. Puis grâce aux conditions aux limites on a déterminé la
relation entre le champ de dispersion et l’induction dans l’entrefer. Les résultats théoriques et
expérimentaux ont montré une correspondance entre les pertes fer, les vibrations et le champ de
dispersion dans le cas d’une machine saine et d’une machine défectueuse. Le comportement de ces
trois phénomènes vis-à-vis du défaut est comparable. La contribution importante des harmoniques de
résonance de denture dans les pertes fer apparait bien dans le spectre de champ de dispersion dans le
cas de la machine saine. On a remarqué aussi que le comportement de ces harmoniques de résonance
de denture vis-à-vis du défaut se traduit de la même manière dans le spectre de pertes fer ainsi que le
spectre de champ émis. On a pu conclure ainsi que l’analyse du champ de dispersion peut fournir des
informations relatives aux pertes fer ou au bruit et vibrations de la machine asynchrone.
Les essais expérimentaux concernant les pertes fer, le bruit et vibrations et le champ magnétique
extérieur montrent une bonne concordance quant aux variations des phénomènes suite au défaut. Le
modèle semi-analytique et multi physique mis en œuvre donne, malgré les hypothèses simplificatrices,
des résultats satisfaisants et avec des temps de calcul relativement courts.
Perspectives
Les résultats obtenus à l’issue de cette étude témoignent de l’efficacité des méthodes analytiques pour
résoudre des problèmes liés à la machine électrique. Dans la continuité de ce travail, il est possible
d’envisager plusieurs perspectives :
9 L’étude abordée peut s’étendre à d’autres types de défauts (excentricité, barres cassées…). Il
serait intéressant de développer des modèles électromagnétiques de machine asynchrone avec
des défauts autres que le court-circuit entre spires statoriques et de vérifier le comportement
des phénomènes générés par la denture vis-à-vis de ces défauts.
9 La corrélation entre les pertes fer, les vibrations et le champ magnétique de dispersion peut
être exploitée pour établir des procédures permettant de contrôler les pertes fer et les
vibrations simplement par une analyse du champ de dispersion.
9 On peut envisager une réduction active des pertes fer par injection d’harmoniques de courant
avec un contrôle sur le champ extérieur.
ϭϱϬ
‡š‡ͳǣƒŽ…—Ž†‡•‘—”ƒ–•
–ƒ–‘”‹“—‡•‡–‘–‘”‹“—‡•’‘—”—‡
ƒ…Š‹‡•›…Š”‘‡”±•‡–ƒ–
—‘—”–Ǧ‹”…—‹–‡–”‡’‹”‡•
–ƒ–‘”‹“—‡•
ϭϱϮ
$QQH[H
$QQH[H
ƒŽ…—Ž†‡•‘—”ƒ–•–ƒ–‘”‹“—‡•‡–”‘–‘”‹“—‡•
’‘—”—‡ƒ…Š‹‡•›…Š”‘‡”±•‡–ƒ–—
‘—”–Ǧ‹”…—‹–‡–”‡’‹”‡•–ƒ–‘”‹“—‡•
Pour calculer les courants statoriques et rotoriques dans le cas d’une machine présentant un courtcircuit entre spires statorique, on considère un stator dont les enroulements sont couplés en étoile sans
neutres connectés. On considère un rotor triphasé équivalent ayant le même nombre de spires que le
stator. On reprend la Figure 1.13 du chapitre 1 :
rc M 1a ,1b ( r1b , L1b ) ( r1a , L1a ) s
1
i M 1a ,2 v1s s
i 3s
)
, Lr Mr
)
N’
Ms
(r
(r
, Ls M 1a ,3 v2s r
M 1b ,2 (r
i (r
v1b v1a s
2
ic s
r
)
, Lr Mr
M 1b ,3 )
, Ls vNN ' (r
r
)
, Lr v3s N
Figure A1.1. Circuits équivalents de la machine asynchrone présentant un court-circuit entre spires statoriques
ϭϱϯ
$QQH[H
Les équations de tension régissant ce système sont données par :
d
­ s
ª v ¼º = ¬ª r s ¼º ¬ªi s ¼º + ¬ªψ s ¼º + [ vNN ' ]
°¬
°
dt
®
d
°[ 0] = ª r r º ªi r º + ªψ r º
¬ ¼ ¬ ¼ dt ¬ ¼
°̄
(A1.1)
Le vecteur de tension [ vNN ' ] est défini par :
§ vNN ' ·
¨
¸
vNN ' ¸
¨
[vNN ' ] = ¨ ¸
vNN '
¨¨
¸¸
©0 ¹
(A1.2)
La tension vNN ' est fixée de sorte que i1s + i2s + i3s = 0 . Elle est donnée par :
vNN ' = 2VNN ' cos (ωt − ϕ n )
(A1.3)
Le vecteur de tensions statoriques ª¬v s º¼ ainsi que le vecteur de courants statoriques ª¬i s º¼ et rotoriques
ª¬i r º¼ sont présentés par :
§ i1s ·
§ v1s ·
§ i1r ·
¨ s¸
¨ s¸
¨ ¸
i
v
ª¬ v s ¼º = ¨¨ 2 ¸¸ ; ¬ªi s ¼º = ¨¨ 2 ¸¸ ; ¬ªi r ¼º = ¨ i2r ¸
s
s
¨ r¸
¨ i3 ¸
¨ v3 ¸
© i3 ¹
¨0 ¸
¨i ¸
© ¹
©c¹
(A1.4)
Les équations de couplage magnétique permettant de déterminer le flux statorique ª¬ψ s º¼ et le flux
rotorique ª¬ψ r º¼ s’expriment comme suit :
­ ªψ s º = ª Lss º ªi s º + ª M sr º ªi r º
°¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ ¬
¼¬ ¼
® r
rr
r
rs
s
°¯ ª¬ψ º¼ = ª¬ L º¼ ª¬i º¼ + ª¬ M º¼ ª¬i º¼
(A1.5)
ªψ 1s º
ªψ 1r º
« s»
« r»
ψ
« 2»
s
r
¬ªψ ¼º = « s » ; ¬ªψ ¼º = «ψ 2 »
«ψ r »
«ψ 3 »
¬ 3¼
«¬ψ c »¼
(A1.6)
avec :
Le flux statorique donné par (A1.6) s’écrit sous la forme :
ϭϱϰ
­ψ 1a = ( L1a + l1a ) i1s + M 1a ,2i2s + M 1a ,3i3s + M 1a ,1b ( i1s − ic )
°
° + M ' sr cos ( pθ ) i1r + M ' sr cos ( pθ + 2π / 3) i2r + M ' sr cos ( pθ − 2π / 3) i3r
°
°ψ 2s = M 1a ,2i1s + ( Ls + l s ) i2s + M s i3s + M 1b ,2 ( i1s − ic )
°
°° + M sr cos ( pθ − 2π / 3) i1r + M sr cos ( pθ ) i2r + M sr cos ( pθ + 2π / 3) i3r
® s
s
s s
s
s
s
s
°ψ 3 = M 1a ,3i1 + M i2 + ( L + l ) i3 + M 1b ,3 ( i1 − ic )
°
r
r
r
° + M sr cos ( pθ + 2π / 3) i1 + M sr cos ( pθ − 2π / 3) i2 + M sr cos ( pθ ) i3
°
s
s
s
s
°ψ 1b = M 1a ,1b i1 + M 1b ,2i2 + M 1b,3i3 + ( L1b + l1b ) ( i1 − ic )
°
r
r
r
°̄ − M sr 2 cos ( pθ ) i1 − M sr 2 cos ( pθ + 2π / 3) i2 − M sr 2 cos ( pθ − 2π / 3) i3
$QQH[H
(A1.7)
Comme v1s = v1a + v1b + vNN ' donc ψ 1s = ψ 1a + ψ 1b d’où :
­ψ 1s = ( L1a + l1a + 2 M 1a ,1b + L1b + l1b ) i1s + ( M 1a ,2 + M 1b ,2 ) i2s + ( M 1a ,3 + M 1b ,3 ) i3s − ( M 1a ,1b + L1b + l1b ) ic
°
° + ( M ' sr + M sr 2 ) cos ( pθ ) i1r + ( M ' sr + M sr 2 ) cos ( pθ + 2π / 3) i2r + ( M ' sr + M sr 2 ) cos ( pθ − 2π / 3) i3r
° s
s
s
s
s
s s
°ψ 2 = ( M 1a ,2 + M 1b,2 ) i1 + ( L + l ) i2 + M i3 − M 1b ,2ic
°
r
r
r
° + M sr cos ( pθ − 2π / 3) i1 + M sr cos ( pθ ) i2 + M sr cos ( pθ + 2π / 3) i3
(A1.8)
® s
s
s s
s
s
s
°ψ 3 = ( M 1a ,3 + M 1b,3 ) i1 + M i2 + ( L + l ) i3 − M 1b ,3ic
°
r
r
r
° + M sr cos ( pθ + 2π / 3) i1 + M sr cos ( pθ − 2π / 3) i2 + M sr cos ( pθ ) i3
°
s
s
s
°ψ 1b = ( M 1a ,1b + L1b + l1b ) i1 + M 1b ,2i2 + M 1b ,3i3 − ( L1b + l1b ) ic
°
r
r
r
¯ − M sr 2 cos ( pθ ) i1 − M sr 2 cos ( pθ + 2π / 3) i2 − M sr 2 cos ( pθ − 2π / 3) i3
M sr est la mutuelle inductance entre une phase statorique et une phase rotorique. M 'sr est la mutuelle
inductance entre l’enroulement sain « 1a » et le rotor. M sr2 est la mutuelle inductance entre
l’enroulement défectueux « 1b » et le rotor. Compte tenu des égalités suivantes :
s
s
°­ L1a + l1a + 2 M 1a ,1b + L1b + l1b = L + l
®
°̄ M 'sr + M sr 2 = M sr
la matrice
ª¬ Lss º¼ des inductances principales et des mutuelles inductances statoriques ainsi que la
matrice ª¬ M sr º¼ de la mutuelle inductance entre le stator et le rotor sont données par :
ϭϱϱ
(A1.9)
§
Ls + l s
¨
¨ M 1a ,2 + M 1b,2
ª¬ Lss º¼ = ¨
¨ M 1a ,3 + M 1b,3
¨ Ls + l s + M
1a ,1b
© 1b 1b
M 1a ,2 + M 1b ,2
s
L +l
Ms
$QQH[H
M 1a ,3 + M 1b ,3
s
s
M
L + ls
s
M 1a ,2
M 1a ,3
(
)
− L1sb + l1sb + M 1a ,1b ·
¸
¸
− M 1b ,2
¸
− M 1b ,3
¸
s
s
¸
− L1b + l1b
¹
(
(A1.10)
)
2π
2π ·
§
M sr cos( pθ +
)
M sr cos( pθ −
)
¨ M sr cos( pθ )
3
3 ¸
¨
¸
2π ¸
¨ M cos( pθ − 2π )
)
M sr cos( pθ )
M sr cos( pθ +
¨ sr
¸
3
3
sr
ª¬ M º¼ = ¨
¸
¨ M cos( pθ + 2π ) M cos( pθ − 2π )
¸
M sr cos( pθ )
sr
¨ sr
¸
3
3
¨
2π
2π ¸¸
¨ − M sr cos( pθ )
−
cos(
θ
+
)
−
cos(
θ
−
)
M
p
M
p
sr2
sr2
2
3
3 ¹
©
(A1.11)
Les matrices des résistances statoriques ª¬ r s º¼ et rotoriques ª¬ r s º¼ s’écrivent sous la forme :
§ rs
¨
s
¨0
¬ª r ¼º = ¨ 0
¨¨ s
© r1b
0
rs
0
0
0
0
s
r
0
·
§ rr
¸
¸ ; ªr r º = ¨ 0
¸ ¬ ¼ ¨
0
¨0
¸
©
−(r1sb + rc ) ¹¸
− r1sb
0
0
r
r
0
0·
¸
0¸
r r ¹¸
(A1.12)
Le flux rotorique est donné par :
­ψ 1r = ( Lr + l r ) i1r + M r i2r + M r i3r
°
2π s
2π s
°
s
° + M sr cos( pθ )i1 + M sr cos( pθ − 3 )i2 + M sr cos( pθ + 3 )i3 − M sr2 cos( pθ )ic
°
°ψ 2r = M r i1r + ( Lr + l r ) i2r + M r i3r
°
®
2π s
2π s
2π
)i1 + M sr cos( pθ )i2s + M sr cos( pθ −
)i3 − M sr2 cos( pθ +
)ic
° + M sr cos( pθ +
3
3
3
°
°ψ r = M r i r + M r i r + ( Lr + l r ) i r
3
1
2
° 3
°
2π s
2π s
2π
)i1 + M sr cos( pθ +
i2 + M sr cos( pθ )i3s − M sr2 cos( pθ −
)ic
° + M sr cos( pθ −
3
3
3
¯
(A1.13)
Les matrices ª¬ Lrr º¼ et ª¬ M rs º¼ s’écrivent donc sous la forme :
§ Lr + l r
¨
ª¬ Lrr º¼ = ¨ M r
¨ Mr
©
Mr
Lr + l r
Mr
ϭϱϲ
Mr ·
¸
Mr ¸
Lr + l r ¹¸
(A1.14)
$QQH[H
2π
2π
§
·
M sr cos( pθ −
− M sr2 cos( pθ ) ¸
) M sr cos( pθ +
)
¨ M sr cos( pθ )
3
3
¨
¸
2π
2π ¸
¨ M cos( pθ + 2π )
) − M sr2 cos( pθ +
) (A1.15)
M sr cos( pθ )
M sr cos( pθ −
ª¬ M rs º¼ = ¨ sr
3
3
3 ¸
¨
¸
2π ¸
¨ M cos( pθ − 2π ) M cos( pθ + 2π )
M
p
M
p
cos(
θ
)
−
cos(
θ
−
)
sr
sr
sr2
¨ sr
3
3
3 ¸
¨
¸
©
¹
Lr , l r et M r sont respectivement
inductance d’une phase rotorique.
l’inductance principale l’inductance de fuite et la mutuelle
ϭϱϳ
‡š‡ʹǣ’’”‘…Š‡—”‡‡–
ƒŽ›–‹“—‡†—ƒŽ…—Ž†‡•‡”–‡•
‡”
$QQH[H
ϭϱϵ
$QQH[H
’’”‘…Š‡—”‡‡–ƒŽ›–‹“—‡†—ƒŽ…—Ž†‡•
‡”–‡•‡”
L’objectif de l’approche présentée est de déterminer une expression analytique des pertes fer pour
évaluer les paramètres influents. Nous partons d’une onde d’induction radiale d’entrefer qui prend en
compte l’effet de denture. Vu la forme de l’induction be donnée par (1.21), il est possible de regrouper
des composantes d’induction. En effet, à kr donné, plusieurs composantes d’induction présentent le
même nombre de paires de pôles. Elles correspondent à toutes celles présentant la même valeur de
h + k s N ts . Toutes ces composantes peuvent être regroupées en une seule et be devient :
be = ¦ Bˆhke r cos K sωt − H 's α s + φhks r
(
)
(A2.1)
h , kr
avec :
Bˆhke r = µ0 Asr f (kr )
+∞
¦
ks =−∞
K = 1 + kr N (1 − g )
s
r
H 's = h + kr N tr
½
f (k s )εˆh* °
°
°
¾
°
°
°¿
(A2.2)
et h* = h + ks N ts . φhks r n’est pas affecté par le regroupement car toutes les composantes concernées par
ce dernier ont la même phase. Pour caractériser les pertes fer nous utilisons un modèle qui dissocie les
pertes statiques et les pertes dynamiques en régime d’excitation sinusoïdale ainsi que non sinusoïdale.
Concernant le fondamental, les pertes statiques et dynamiques sont données par :
ϭϲϬ
$QQH[H
­° Pstat ( f ) = χ s fBˆ pe 20
®
2 e2
°̄ Pdyn ( f ) = χ d f Bˆ p 0
(A2.3)
χ s et χ d sont respectivement les coefficients de pertes statiques et dynamiques. Les pertes
dynamiques générées par les harmoniques d’induction par unité de volume sont données par :
∞
Pdyn( harm ) =
¦
s
∞
Pdyn ( K s f ) = Pdyn ( f )
K =2
¦ ( ∆Bˆ )
s
e
Ks
2
K s2
(A2.4)
K =2
∆Bˆ Ke s est définie par Bˆ He s K s / Bˆ pe1 . Les pertes fer dynamiques, qu’elles soient générées par le
fondamental ou par les harmoniques d’induction se présentent sous une forme assimilable à celles des
pertes joules dissipées dans les culasses statorique et rotorique.
ǦͳǦ ‘†±Ž‹•ƒ–‹‘†‡•’‡”–‡•ˆ‡”†›ƒ‹“—‡•
Dans les pertes fer dynamiques on considère les pertes dues au fondamental et celles dues aux
harmoniques d’induction dans les culasses statorique et rotorique.
III-1-1- Pertes dynamiques statoriques
Pour calculer les pertes dynamiques statoriques nous considérons séparément chaque tôle de
l’armature. La méthode de calcul utilise une approche globale basée sur la définition des circuits
électriques fictifs liés aux courants de Foucault dans la tôle en prenant en compte l’isolation des tôles
entre elles. Nous considérons la composante fondamentale de l’onde d’induction d’entrefer relative à
h = p et kr = 1 . Etant donné la prédominance de la composante tangentielle btgs pour les faibles
nombres de paires de pôles de l’onde d’induction, nous partirons de cette composante pour définir un
circuit électrique fictif lié à la circulation des courants de Foucault dans la tôle. Ce circuit électrique
est compris dans un volume élémentaire du stator qui peut être associé à une variation dα s de
l’abscisse angulaire statorique α s comme le montre la Figure A2.1. btgs , qui agit perpendiculairement
sur le volume élémentaire, induit donc la circulation des courants de Foucault dans le sens radial, c'està-dire dans le sens de la hauteur de la culasse. Pour simplifier les développements, et comme la vitesse
angulaire de déplacement de btgs par rapport au volume élémentaire est égale à celle de be par rapport
à d s , nous supposons que btgs se répartit uniformément sur la surface du volume élémentaire considéré
en prenant une valeur < btgs >=< Bˆtgs > sin(ωt − pα s + ϖ tgs ) avec < Bˆtgs >= Bˆ pe1 Rints / phcs . Le flux ψ tgs
embrassé par la surface hcs tl du volume élémentaire résulte du produit de < btgs > par cette surface où
tl est l’épaisseur d’une tôle et hcs est la hauteur de la culasse statorique. La f.e.m induite e sp 0 dans le
volume élémentaire est donnée par − dψ tgs / dt . Cette f.em évolue donc sinusoïdalement en fonction du
temps en présentant une amplitude égale à :
ϭϲϭ
$QQH[H
eˆ ps 0 = Rints tl ω Bˆ ep 0 / p
(A2.5)
Le courant engendré par cette f.e.m se referme dans cet élément de volume dans la mesure où les tôles
sont isolées entre elles. Supposons que le volume élémentaire est résistif de résistance ℜ s et
supposons que l’épaisseur du volume élémentaire peut être assimilée à une constante égale à Rms dα s
s
avec Rms le rayon à la mi-hauteur de la culasse statorique défini par Rms = Rint
+ hcs / 2 , ℜ s s’exprime
par :
ℜ s = 4 ρ hcs / tl Rms dα s
(A2.6)
avec ρ la résistivité du matériau magnétique. dα s &
btgs tl &
bns dα s &
btgs x
αs &
j
s
c
Rexs t h Rints Une tôle isolée
Un volume élémentaire
Figure A2. 1. Définition d’un volume élémentaire
La puissance dissipée par effet joule dans le volume élémentaire est donnée par :
P ''sjp 0
2
s
p0
( eˆ )
=
(A2.7)
2ℜ s
Nous pouvons donc montrer que la puissance dissipée par effet joule due à l’induction tangentielle
dans le volume élémentaire peut s’exprimer sous la forme :
( )
P ''sjp 0 = C ''tgs f 2 Bˆ ep 0
2
(A2.8)
Le nombre d’éléments de volume compris dans une tôle est de 2π / dα s . Soit nl le nombre de tôles
constituant le circuit magnétique et L sa longueur, il vient nl = L / tl . On déduit que la puissance
ϭϲϮ
$QQH[H
totales P ''sjp 0 relatives à tous les volumes élémentaires et dues à ces courants induits s’écrit sous la
forme :
( )
P 'sjp 0 = C 'tgs f 2 Bˆ pe 0
2
(A2.9)
C 'tgs est un coefficient qui globalise l’ensemble des volumes élémentaires, il s’exprime de la façon
suivante :
C 'tgs =
π 3 Rints 2 Rms Ltl2
p 2 hcs ρ
(A2.10)
Nous pouvons dès lors prendre en compte la contribution de la composante normale de l’induction. En
effet, il est également possible de définir des circuits électriques fictifs associés aux courants de
Foucault de cette composante normale. En utilisant une procédure similaire à celle développée pour la
composante tangentielle nous obtenons ainsi une expression des pertes ayant une forme similaire à
(A2.9). Nous incluons dans la suite la contribution de la composante normale au niveau de la constante
C 'tgs de (A2.9) qui devient Cds . Nous obtenons ainsi la puissance globale consommée par le fer
statorique : :
( )
Pjps 0 = Cds f 2 Bˆ pe 0
2
(A2.11)
Cds est défini par :
Cds = C 'tgs + C 'ns
(A2.12)
avec:
C 'sn =
s 2
4πκ s 2 Rint
Ltl2
p 2 hcs ρ
(A2.13)
κ s est défini par le rapport des composantes normale et tangentielle de l’induction dans le stator :
κs =
< Bˆ ns >
. Nous retrouvons pour la puissance dissipée exprimée par (A2.11) les pertes
< Bˆ tgs >
dynamiques qui peuvent être déduites de (A2.3). Dans le cas d’une composante harmonique
d’induction de rang ( h, kr ) d’amplitude Bˆhke r ayant toujours 2p pôles, le calcul des pertes dissipées
dans le stator suit la même procédure que pour le fondamental, ce qui conduit à l’expression suivante :
( )
s
Pjhk
= Cds f 2 Bˆ ep 0
r
2
ϭϲϯ
(
K s 2 ∆Bˆ hke r
)
2
(A2.14)
$QQH[H
avec ∆Bˆhke r = Bˆ hke r / Bˆ pe 0 . Il est à noter que même si ∆Bˆhke r est petit, K s peut prendre des valeurs
importantes conduisant à des pertes dynamiques statoriques non négligeables. Les pertes statoriques
dues à tous les harmoniques d’induction
( P ( ) ) sont définies par :
s
j harm
( ) ¦ K ( ∆Bˆ )
Pjs( harm) = Cds f 2 Bˆ pe 0
2
s2
e
hkr
2
(A2.15)
kr
Nous retrouvons encore pour la puissance dissipée exprimée par (A2.15) les pertes dynamiques qui
peuvent être déduites de (A2.4).
III-1-2- Pertes dynamiques rotoriques
Pour caractériser les pertes dynamiques rotoriques nous exprimons l’induction d’entrefer donnée par
(A2.1) dans le référentiel d’axe d r . Pour ce faire, nous effectuons le changement de variable:
α s = α r + θ . L’induction d’entrefer be* devient alors b 'e* :
s
b 'e* = ¦ Bˆ hke r cos( K 's ωt − H 's α r + φ 'hk
)
r
h , kr
(A2.16)
K 's est donné par :
K 's = 1 − h (1 − g ) / p
(A2.17)
Les pertes fer rotoriques, assimilables aussi par leurs formes, aux pertes joules dissipées dans le rotor,
sont constituées de pertes fer dues au fondamental, et de pertes fer dues aux harmoniques d’induction :
r
r
r
Pdyn
= Pdyn
( f ) + Pdyn( harm )
(A2.18)
Considérons le fondamental de l’onde d’induction d’amplitude Bˆ ep 0 . Les pertes fer rotoriques dues au
fondamental sont exprimées par :
r
r 2
Pdyn
( f ) = Cd g f
2
( Bˆ )
e
p0
2
(A2.19)
r
s
Le coefficient Cd globalise l’ensemble du fer rotorique. C’est l’équivalent de Cd dans le rotor en y
substituant hcr à hcs , Rmr à Rms et κ r à κ s . Les paramètres L , tl et ρ restent inchangés. Cdr est donné
par :
Cdr = C 'tgr + C 'rn
(A2.20)
Sachant que :
C 'tgr =
π 3 R r 2 Rmr Ltl2
p 2 hcr ρ
(A2.21)
C 'ns =
4πκ r 2 Rr 2 Ltl2
p 2 hcr ρ
(A2.22)
ϭϲϰ
$QQH[H
κr =
κ r est donné par : κ r =
< bˆnr > r
hcr
r
R
R
;
=
−
m
2
< bˆtgr >
(A2.23)
< bˆnr >
hcr
r
r
et
R
=
R
−
. Les pertes fer rotoriques dues aux harmoniques
m
2
< bˆtgr >
d’induction sont données par :
( ) ¦ K ' ¦ ( ∆Bˆ )
r
r 2 ˆe
Pdyn
Bp0
( harm ) = Cd f
2
s2
h
e
hkr
2
(A2.24)
kr
K 's peut prendre des valeurs importantes conduisant à des pertes dynamiques rotoriques non
négligeables même si ∆Bˆhke r est faible.
III-1-3- Caractérisation des pertes dynamiques totales
Les pertes fer dynamiques totales statoriques et rotoriques se calculent à partir des pertes
fondamentales de la façon suivante [BRUDNY, 2010]:
­ s
2
§
·
s
s
s
e
s2
° Pdyn = Pdyn ( f ) + Pdyn ( harm ) = Pdyn ( f ) ¨¨1 + ¦ ∆Bˆ hkr K ¸¸
kr
°°
©
¹
®
2
§
§ K 's 2 ·
° r
r
r
r
e
¨
=
+
=
+
P
P
P
P
1
¨
¸ ¦ ∆Bˆ hkr
¦
dyn ( f )
d ( harm )
dyn ( f )
° dyn
¨
g
h
k
©
¹ r
©
¯°
(
)
(
)
2
·
¸
¸
¹
(A2.25)
Posons :
2
­Ζs =
∆Bˆhke r K s 2
¦
°
kr
°
®
s2 2
° Ζr = § K ' ·
∆Bˆ hke r
¦h ¨ g ¸ ¦
°
©
¹ kr
¯
(
)
(
(A2.26)
)
2
Le système (A2.25) devient alors :
s
s
­ s
° Pdyn = Pdyn ( f ) (1 + Ζ )
® r
r
r
°̄ Pdyn = Pdyn ( f ) (1 + Ζ )
(A2.27)
r
Pdyn
donnée par (A2.25) ne peut pas être définie pour un glissement nul. Pour résoudre ce problème il
r
s
en fonction de Pdyn
suffit d’exprimer Pdyn
( f ) en introduisant le paramètre λd définie par :
λd =
Cdr
Cds
(A2.28)
Compte tenu de (A2.11), (A2.19) et (A2.28) les pertes fer rotoriques dues au fondamental peuvent
s’écrire en fonction des pertes fer statoriques dues au fondamental :
ϭϲϱ
$QQH[H
r
2 s
Pdyn
( f ) = λ d g Pdyn ( f )
(A2.29)
r
r
En remplaçant Pdyn
( f ) par son expression donnée par (A2.29), Pdyn devient alors :
(A2.30)
r
s
Pdyn
= λd Ζ0r Pdyn
(f)
avec :
Ζ0r = ¦ (1 + h )
h
2
¦ ( ∆Bˆ )
e
hkr
2
(A2.31)
kr
A la résonance de denture nous obtenons des expressions simplifiées de Ζ s et Ζr que nous notons Ζ 's
et Ζ 'r :
(
Ζ 's = Ζ 'r = 2 ∆Bˆ Μ
) (1 + (1 − g ) Μ )
2
2
2
(A2.32)
∆B̂Μ est défini par :
∆Bˆ Μ =
Asr
f ( ks ) f (kr )
A00
(A2.33)
Rappelons les caractéristiques de notre machine : p=2, Nts = 48 , Ntr = 32 . La résonance de denture est
obtenue pour k s = ±2 et k r = ±3 . Les paramètres A00 ; Asr ; f ( k s = ±2) et f ( k r = ±3) sont donnés
par : A00 = 1277 m −1 ; Asr = 355 m −1 ; f (ks = ±2) = 0.147 ; f (kr = ±3) = 0.1585 et Μ = 48 conduisant à
Ζ 's = 0.193 . Avec le modèle de pertes fer semi-analytique que nous avons utilisé, le pourcentage des
pertes fer dues aux harmoniques de résonance de denture par rapport aux pertes fer dynamiques dues
au fondamental dans le stator, présenté dans le paragraphe II du chapitre II, est Ζ 's = 0.223 . On voit
bien que le résultat issu du modèle semi-analytique et le résultat issu du modèle purement analytique
sont très proches. L’approche purement analytique permet d’aboutir à une expression simple qui
donne une bonne estimation des pertes dynamiques relatives aux composantes d’induction liées au
phénomène de résonance de denture.
ϭϲϲ
‡š‡͵ǣ“—ƒ–‹‘•ƒŽ›–‹“—‡•†—
”—‹–‡–†‡•‹„”ƒ–‹‘•
$QQH[H
ϭϲϴ
$QQH[H
“—ƒ–‹‘•ƒŽ›–‹“—‡•†—”—‹–‡–†‡•
‹„”ƒ–‹‘•
,$VSHFWPpFDQLTXH
$VSHFWPpFDQLTXH
Plusieurs auteurs, Jordan [JORDON, 1950], Timar [TIMAR, 1989], Yang [YAN, 1981], ont proposé
diverses expressions analytiques qui permettent de calculer le comportement mécanique et le
rayonnement acoustique de la machine. L’étude analytique du bruit et des vibrations d’une machine
tournante nécessite la modélisation de sa structure mécanique. Les travaux de H. Jordan et P.L. Timar
montrent qu’une vibration devient gênante lorsque sa fréquence tend à s’approcher de la fréquence de
résonnance de la structure de la machine. Les relations analytiques définies par ces auteurs et
récemment réécrites [COUTURIER, 1998] permettent de déterminer rapidement les fréquences de
résonnance du stator ainsi que ses déformations.
ǦͳǦ±ˆ‘”ƒ–‹‘••–ƒ–‹“—‡•
Nous utiliserons les développements de Ph.L. Alger [ALGER, 1954]. Dans ces calculs on considère
une poutre maintenue librement à ses extrémités et soumise à une force distribuée sinusoïdalement sur
sa longueur. Les résultats obtenus sont exploités pour le cas d’un stator denté d’une machine
asynchrone dont la coupe est représentée par la Figure A3.1. Les notations suivantes sont utilisées :
ϭϲϵ
$QQH[H
ƒ
F̂ , amplitude de la force en N / m 2 .
ƒ
Yms , amplitude de déformation statique relative à une force de mode m.
ƒ
Ymd , amplitude de déformation dynamique relative à une force de mode m.
ƒ
Ra , rayon d’alésage, rayon intérieur du stator.
ƒ
Rm , rayon moyen de la culasse.
ƒ
ec , épaisseur radiale de la culasse derrière les encoches.
ƒ
L, longueur du fer.
ƒ
L’, distance entre les appuis de l’arbre rotorique,
ƒ
d, diamètre de l’arbre.
ƒ
Ε , coefficient d’élasticité ou module de Young : Ε =2.1 1011 N / m2 pour le fer.
ec L
Ra Rm Figure A3. 1. Coupe du stator
Pour le mode m=0, l’amplitude des déformations statiques du stator est donnée par :
Y0 s =
Ra Rm ˆ
F i ,0
Εec
(A3.1)
Dans le cas où le mode m=1, on peut réunir les forces en une force de trépidation résultante
agissant au centre de gravité du rotor, auquel cas, aucun changement de forme des paquets de
tôles n’intervient. Il se produit plutôt une flexion de l’arbre du rotor. La flexion transversale
statique de l’arbre s’écrit :
Y1s =
4 Ra ( L ')3 L ˆ
Fi ,1
3 Εd 4
ϭϳϬ
(A3.2)
$QQH[H
Pour m ≥ 2 , l’amplitude des déformations statiques du stator est :
Yms =
12 Ra Rm3
Fˆi ,m
Εec3 (m 2 − 1) 2
(A3.3)
Pour juger de la gravité d’une forme de vibration, il est opportun de rapporter les valeurs spatiales les
plus élevées des amplitudes, à celles associées à l’ordre zéro pour la même grandeur de la force
radiale.
•
Pour m=1, le rapport de déformation statique est :
D1,0 =
Y1s 4 LL '3 ec
=
Y0 s 3 Rm d 4
(A3.4)
Pour des machines classiques, ce rapport se situe dans un ordre de grandeur de plusieurs centaines
comme le montre la Figure A3.2. Les oscillations que le rotor provoque comme corps rigide (m=1)
sont donc essentiellement beaucoup plus dangereuse que des oscillations d’ordre zéro. Pour cela la
conception des machines, de part le choix presque systématique de nombres pairs d’encoches, est telle
que les forces de mode 1 sont rares.
Figure A3. 2. Déformations radiales statiques relatives ( D1,0 ) en fonction de la hauteur de culasse pour m=1
ϭϳϭ
$QQH[H
•
Pour les modes m ≥ 2 :
§ Rm ·
Y
12
= ms =
¨
¸
2
Y0 s ( m 2 − 1) © ec ¹
Dm,0
2
(A3.5)
Ce rapport dépend de l’ordre du mode m de la force et de la rigidité des paquets de tôles, rigidité
caractérisée par la hauteur de culasse relative ec / Rm . Par exemple, pour une valeur du rapport
ec / Rm = 0.2 , le rapport Dm,0 en fonction de m est donné par :
m
2
3
4
5
6
7
Dm,0
36.2
5
1.4
0.5
0.26
0.14
Tableau A3. 1. Amplitude relative des déformations liées à l’ordre du mode pour ec / Rm = 0.2
Il ressort du Tableau A3.1 que la déformation elliptique (m=2) est de loin plus dangereuse que les
déformations d’ordre élevées, et cela d’une manière d’autant plus prononcée que ec / Rm est plus petit.
ǦʹǦ”±“—‡…‡•†‡”±•‘ƒ…‡
Il existe plusieurs méthodes de détermination des fréquences de résonance: analytique, numérique,
expérimentale. La méthode qui nous intéresse est la méthode analytique. Elle est basée sur les
formules de H. Jordan [JORDAN, 1950] établies avec certaines hypothèses telles les conditions de
mode libre. Différentes expressions des fréquences sont données selon que m=0, m=1, m ≥ 2 .
9 Pour m=0 la fréquence de résonance associée f 0 qui correspond à des vibrations radiales est
donnée par :
f0 =
(A3.6)
837.5
Rc ∆
∆ est un coefficient qui permet de tenir compte du poids des dents, il est défini par :
∆=
poids des culasses + poids des dents
poids des culasses
(A3.7)
9 Pour m=1, la fréquence de résonance est relative aux flexions de l’arbre rotorique :
f1 =
1
2π
3Ed 4
(
8( L ')3103 L ( 4 Ra2 − d 2 ) + 0.5L ' d 2
ϭϳϮ
)
(A3.8)
$QQH[H
9 Pour m ≥ 2, deux types de fréquences de résonance du stator sont définis, relativement aux
vibrations radiales f m et longitudinales f " ,m :
­
ec m(m 2 − 1)
f
=
f
m
0
°
2 3Rm m 2 + 1
®
°
2
¯ f " ,m = f 0 m − 1
(A3.9)
Plus récemment, la réécriture de ces lois [COUTURIER, 1998] omet les hypothèses simplificatrices
faites par Jordan. Les relations donnant les fréquences de résonance radiales sont alors les suivantes :
•
•
Pour m=0 :
(A3.10)
f1* = 2Ω
(A3.11)
Pour m=1 :
•
f 0* = Ω
Pour m ≥ 2 :
f m* = Ω
Γ 2 (4m 4 − m 2 − 3) + m 2 + 1 − Θ
2[3Γ 2 (m 2 − 1) + 1]
(A3.12)
avec :
Θ = (m 2 + 1) 2 + Γ 2 ( 2a (m 2 + 1) − 4m ²(m 2 − 1)2 ) + Γ 4 ( a 2 − 12m 2 (m 2 − 1)3 ) Γ=
Ω2 =
ec2
12 Rm2
(A3.13)
(A3.14)
Ε
(A3.15)
ρ Rm2
a = 4m 4 − m 2 − 3
(A3.16)
Il est également proposé des relations pour les fréquences de résonance tangentielles mais ces
dernières sont moins précises que les précédentes.
Les fréquences de résonance sont présentées dans le Tableau A3.1. Ces fréquences de résonance
permettent de calculer par la suite les déformations dynamiques appliquées au stator de la machine.
ϭϳϯ
$QQH[H
m
0
1
2
3
4
5
6
f (Hz)
8911
380
1725
4880
9358
15134
22200
Tableau A3.1. Fréquences de résonance
Ǧ͵Ǧ±ˆ‘”ƒ–‹‘•†›ƒ‹“—‡•
Les déformations dynamiques sont obtenues lors d’une excitation à la fréquence f par le produit de
l’amplitude des déformations statiques par un coefficient noté η m qui dépend de la fréquence de
résonance relative au mode m :
(A3.17)
Ymd = η mYms
ηm est donné par :
ηm =
1
2
§ § f · · §
f ·
¨ 1 − ¨ ¸ ¸ + ¨ 2ξ
¸
¨ © fm ¹ ¸ ©
fm ¹
©
¹
2
(A3.18)
2
ξ est un coefficient d’amortissement donné par P.L. Timar [TIMAR, 1989]. La valeur théorique
attribuée à ce coefficient n’est pas simple à déterminer et n’est valable que pour les carcasses de
machines asynchrones. Ce coefficient étant de faible valeur, il est généralement entre 0.01 et 0.04.
Jordan [JORDON, 1950] le néglige car il n’intervient que lorsque la fréquence de la force tend vers la
fréquence de résonance. ξ évite que η m ne tende dans ce cas vers l’infini, ce qui signifierait une
amplitude de vibration infinie.
Les relations précédentes montrent comme cela a été signalé précédemment, que les forces de mode
faible sont les plus gênantes, à condition que l’amplitude soit suffisante et que la fréquence est proche
d’une résonance et entre dans la gamme de l’audible.
,,
,,0RGpOLVDWLRQGHO·pPLVVLRQVRQRUHG·XQHPDFKLQHWRXUQDQWH
0RGpOLVDWLRQGHO·pPLVVLRQVRQRUHG·XQHPDFKLQHWRXUQDQWH
Les relations analytiques permettent, connaissant l’amplitude et la fréquence d’une vibration à la
surface d’une machine, de déduire sa puissance sonore ainsi que le niveau acoustique à une certaine
distance. Cependant, ces méthodes analytiques de modélisation sont en effet très approximatives mais
elles permettent d’estimer qualitativement la nuisance sonore d’une machine.
ϭϳϰ
$QQH[H
ǦͳǦƒ›‘‡‡–ƒ…‘—•–‹“—‡
L’intensité acoustique à la surface d’une machine est fonction de l’amplitude de ses vibrations. Elle est
donnée par la relation :
I s = 8200σ f 2Ymd2
(A3.19)
f est la fréquence de la vibration et Ymd son amplitude dynamique. Le coefficient σ est appelé facteur
de rayonnement. Il traduit la capacité de la machine à être un bon haut-parleur. Ce coefficient dépend
des dimensions de la machine, du nombre de modes des vibrations et de la longueur d’onde λ à
émettre. Deux théories peuvent être utilisées pour le déterminer suivant que l’on considère les
radiations d’une sphère ou d’un cylindre selon les dimensions du stator [TIMAR, 1994]. La
complexité de calcul du coefficient correspondant à la modélisation du moteur par un cylindre peut
conduite à choisir le modèle sphérique. C’est en réalité la distance à laquelle est étudiée la machine
qui va détecter le choix du modèle: proche de la machine, on choisira le modèle cylindrique tandis que
la sphère sera privilégiée avec l’éloignement de la source sonore.
L’expression analytique du facteur de rayonnement d’une sphère est :
­
°
° D
σ = Re ® jπ e
λ
°
°
¯
½
( m + ν )! m! ª 2jπ De º m −ν
°
¦
«
»
Ȝ ¼
°
ν = 0 ( m − ν )! ν ! ¬
¾
m −ν
m
( m + ν )! m! ª 2jʌ De º ª1 + jπ De + λ º °
¦
«
»°
λ »¼ «¬
λ
¼¿
ν = 0 ( m − ν )! ν ! ¬
m
(A3.20)
j est l’opérateur complexe tel que j 2 = -1, De est le diamètre extérieur de la sphère et Re signifie
« partie réelle de ». Le facteur de rayonnement du modèle cylindrique s’écrit :
2
N m Qm +1 − Qm N m +1
§ D ·
σ = ¨π e ¸
2
2
© λ ¹ §
De
De
· §
·
−
−
π
π
m
Q
Q
m
N
N
m
m
¨
λ m +1 ¹¸ ¨©
λ m +1 ¹¸
©
(A3.21)
N n et Qn sont des fonctions de Neumann et de Bessel d’ordre n. Le facteur σ tend vers 1 lorsque les
dimensions de la machine sont grandes par rapport à la longueur d’onde à émettre.
ǦʹǦ—‹••ƒ…‡ƒ…‘—•–‹“—‡‡–‹˜‡ƒ—†ǯ‹–‡•‹–±ƒ…‘—•–‹“—‡
La propagation des ondes sonores dépend du modèle retenu : modèle sphérique ou modèle
cylindrique. Dans le cas d’une sphère, la puissance acoustique d’un moteur vibrant sous l’effet d’une
force de mode m est donnée par le produit de l’intensité acoustique à la surface par la surface
extérieure Se de la machine:
ϭϳϱ
$QQH[H
W = I s Se
(A3.22)
En décibels, le niveau de puissance acoustique est:
§ 8200σ f 2Ymd Se ·
Lw = 10log ¨
¸
10−12
©
¹
(A3.23)
Si l’on exprime l’intensité à une distance x de la machine dans un champ libre en fonction de la
fréquence, de l’amplitude des vibrations, du nombre de modes et de la surface de vibrations
Ix =
8200σ f 2Ymd2 Se
W
=
4π x 2
4π x 2
:
(A3.24)
Ainsi, en décibels, le niveau d’intensité acoustique est :
§ 8200σ f 2Ymd2
LI x = 10log ¨
−12
2
© 10 4π x
·
Se
)
¸ = 159.138 + 20 log( fYmd ) + 10log(σ ) + 10log(
4π x 2
¹
(A3.25)
Le troisième terme de cette expression, fonction uniquement de σ , caractérise comme ce paramètre,
la capacité de la machine à être un bon haut parleur pour la longueur d’onde en question. Le dernier
terme traduit l’atténuation du son avec l’éloignement de la source. Dans le cas d’un cylindre de
longueur infinie, seul le dernier terme de l’expression (A3.25) change et l’expression de LI x devient
alors :
§
§ 2 xπ · ·
¨ Cm ¨
¸¸
© λ ¹¸
LI x = 159.138 + 20log( fYmd ) + 10log(σ ) + 20log ¨
¨ § π De · ¸
¨ Cm ¨ λ ¸ ¸
¹¹
© ©
Cm est une fonction de Hamkel d’ordre m.
(A3.26)
,,,
,,,3V\FKR
3V\FKRDFRXVWLTXH
DFRXVWLTXH
Le coefficient 10 dans les expressions (A3.25) et (A3.26) a été choisi pour qu’une variation de 25% de
l’intensité ou de la puissance, qui est la plus petite variation perceptible par l’oreille humaine, entraine
une variation du niveau correspondant de 1dB. Ces relations ne tiennent pas compte de l’oreille
humaine. Par exemple un auditeur a l’impression subjective d’un doublement du niveau sonore pour
une variation de 10dB. Rappelons également que la bande passante de l’oreille humaine s’étend de
20Hz à 18kHz environ, et que les fréquences ne sont pas toutes perçues de la même manière d’une
personne à une autre.
ϭϳϲ
‹„Ž‹‘‰”ƒ’Š‹‡
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*ORVVDLUH
Ž‘••ƒ‹”‡
)&
A
α
Potentiel vecteur
s
Abscisse angulaire d’un point de l’espace par rapport au référentiel statorique
αr
Abscisse angulaire d’un point de l’espace par rapport au référentiel rotorique
&
b
Vecteur d’induction
bns
Composante normale de l’induction dans la culasse statorique
btgs
Composante tangentielle de l’induction dans la culasse statorique
bnr
Composante normale de l’induction dans la culasse rotorique
btgr
Composante tangentielle de l’induction dans la culasse rotorique
β js
Abscisse angulaire de l’encoche j par rapport au référentiel statorique
be
Induction d’entrefer dans le référentiel statorique
b0e
Induction d’entrefer dans le référentiel statorique lors d’un fonctionnement à vide
b 'e
Induction d’entrefer dans le référentiel rotorique
Bˆ hke s kr
Amplitude crête d’une composante d’induction
Cm
Fonction de Hamkel d’ordre m CKx s H s
Coefficient d’atténuation des composantes d’induction de l’entrefer jusqu’au point de
mesure
C pt
Coefficient d’atténuation du au paquet de tôles statoriques de l’onde d’induction
d’entrefer
C xa
Coefficient d’atténuation dans l’air
ds
Référentiel statorique
dr
Référentiel rotorique
d es
Profondeur fictive d’une encoche statorique
*ORVVDLUH
d er
Profondeur fictive d’une encoche rotorique
d
∆
Diamètre de l’arbre de la machine
Coefficient qui permet de tenir compte du poids des dents de la machine
Γ hs
Coefficient qui prend en compte la loi d’évolution de la fmm sous l’ouverture d’une
encoche
Ε
Coefficient d’élasticité ou module de Young : Ε =2.1 1011 N / m 2 pour le fer
εs
Force magnétomotrice statorique
e
Epaisseur de l’entrefer
eM
Epaisseur maximale fictive de l’entrefer : eM = e + d es + d er
es
e s = e + d es
er
e r = e + d es
ex
f.e.m induite aux bornes du capteur de champ
ec Epaisseur radiale de la culasse derrière les encoches
ξ
Coefficient d’amortissement
ε 0s
Force magnétomotrice statorique lors d’un fonctionnement à vide
εr
Force magnétomotrice rotorique
f ( ks )
Fonction de denture statorique : f ( ks ) = ( sin ks rdsπ ) / 2ks
f ( ks )
Fonction de denture rotorique : f ( kr ) = ( sin kr rdr π ) / 2kr
Fréquence des signaux d’alimentation
f
fm
Fréquence de résonance due aux vibrations radiales
f " ,m
Fréquence de résonance due aux vibrations longitudinales
φh
Phase de ε s
φHs
s
Ks
φ 'sH
s
K 's
Phase de be
Phase de b 'e
Ψ Kx s
Flux embrassé par un capteur de champ de type bobiné
g
Glissement
*ORVVDLUH
h
Variable relative à la décomposition en série de Fourier de la fmm créé par les
courants statoriques
Hs
))&
H
Nombre de paires de pôles de l’onde d’induction
i sj0
Courant circulant dans l’encoche statorique j
ic
Courant de court-circuit
Is
Intensité acoustique
&
j
Vecteur de densité de courant
Vecteur de champ magnétique
ks
Coefficient relative à la décomposition en série de Fourier la fonction correspondant à
la denture statorique
kr
Coefficient relative à la décomposition en série de Fourier de la fonction
correspondant à la denture rotorique
Ks
Rang fréquentiel de l’onde d’induction présenté dans le référentiel statorique
K 's
Rang fréquentiel de l’onde d’induction présenté dans le référentiel rotorique
kcc
Pourcentage de spires court-circuitées dans une section élémentaire
κ ns Coefficient d’atténuation de la composante normale d’induction dans la culasse
statorique
κ gs Coefficient d’atténuation de la composante tangentielle d’induction dans la culasse
statorique
κ nr Coefficient d’atténuation de la composante normale d’induction dans la culasse
rotorique
κ gr Coefficient d’atténuation de la composante tangentielle d’induction dans la culasse
rotorique
les
Largeur d’une encoche statorique
ler
Largeur d’une encoche rotorique
lds
Largeur d’une dent statorique
ldr
Largeur d’une dent rotorique
Lb
Longueur d’une barra rotorique
L’
Distance entre les appuis de l’arbre rotorique
*ORVVDLUH
LW
Niveau de puissance acoustique
LI x
Niveau d’intensité acoustique
λ
Longueur d’onde
m
Ordre du mode
ms
Nombre d’encoches par pôles et par phase
µ0
Perméabilité de l’air
µr
Perméabilité relative du paquet de tôles statoriques
Nts
Nombre total d’encoches statoriques
Ntr
Nombre total d’encoches rotoriques
Ns
N s = N ts / p
Nr
N r = N tr / p
ns
Nombre de tours d’une phase statorique sous une paire de pôles
nc
Nombre de spires du capteur de champ
ncs
Nombre de spires court-circuitées dans une section élémentaire
nω Pulsation de la force électromagnétique
p
Nombre de paires de pôles défini par le constructeur
Pfer
Pertes fer
Pdyn
Pertes dynamiques
Pstat
Pertes statiques
Pjs
Pertes joules statoriques
Pjr
Pertes joules rotoriques
Pméc
Pertes mécaniques
Ptot
Pertes totales
Λ
Perméance d’entrefer par unité de surface
Λ 00
Valeur moyenne de la perméance d’entrefer
Λ ks 0
Perméance d’entrefer due à la denture statorique
Λ 0 kr
Perméance d’entrefer due à la denture rotorique
*ORVVDLUH
Λ ks kr
Perméance d’entrefer due à la denture statorique et rotorique
rds
Rapport de denture statorique définie par rds = lds / ( lds + les )
rdr
Rapport de denture rotorique définie par rdr = ldr / ( ldr + ler )
rc
Résistance limitant le courant de court-circuit
rs
Résistance d’une phase statorique
rr
Résistance d’une phase rotorique
s
Rint
Rayon intérieur du stator
Rexs t
Rayon extérieur du stator
Rr
Rayon du rotor
Ra Rayon d’alésage
Rm Rayon moyen de la culasse
σ
Facteur de rayonnement
θ
Décalage angulaire du référentiel rotorique par rapport au référentiel statorique
θ0
Valeur de θ pour t=0
W
Puissance acoustique
Yms
Amplitude des déformations statiques relative à une force de mode m
Ymd
Amplitude des déformations dynamiques relative à une force de mode m
/LVWHGHV)LJXUHV
‹•–‡†‡•‹‰—”‡•
Figure 1. 1. Représentation développée de la denture statorique et rotorique ...................................... 12
Figure 1. 2. Force magnétomotrice générée par les conducteurs d’une encoche statorique.................. 15
Figure 1. 3. Forme matricielle de ª¬bHe s K s º¼ ............................................................................................ 18
Figure 1. 4. Organigramme de calcul de bHe s K s ..................................................................................... 20
Figure 1. 5. Schématisation de la machine ............................................................................................ 24
Figure 1. 6. Evolution de Bˆ ns dans la hauteur de la culasse statorique ................................................. 28
Figure 1. 7. Evolution de Bˆtgs dans la hauteur de la culasse statorique.................................................. 28
Figure 1. 8. Variation relative de Bˆ ns ( x ) / Bˆ ns ( x = Rints ) dans la hauteur de la culasse statorique ............ 29
Figure 1. 9. Variation relative de Bˆtgs ( x ) / Bˆtgs ( x = Rints ) dans la hauteur de la culasse statorique ........... 29
Figure 1. 10. Evolution de Bˆ nr et Bˆtgr dans le rotor............................................................................... 31
Figure 1. 11. Forme matricielle de bHs , rK ............................................................................................... 31
s
s
Figure 1. 12. Vecteur ª¬bKs s,r º¼ ................................................................................................................. 32
Figure 1. 13. Circuits équivalents de la machine asynchrone présentant un court-circuit entre spires
statoriques.............................................................................................................................................. 34
Figure 1. 14͘ Courants efficaces statoriques et courant de court-circuit en fonction de rc .................. 38
Figure 1. 15. Courants rotoriques en fonction du temps rc = 0 ............................................................. 39
Figure 1. 16. Courants efficaces rotoriques en fonction de rc .............................................................. 40
Figure 1. 17. Valeurs efficaces des courants statoriques et du courant de court-circuit en fonction de
kcc .......................................................................................................................................................... 40
Figure 1. 18. Valeurs efficaces des courants rotoriques en fonction de kcc .......................................... 41
Figure 1. 19. Courants statoriques et courant de court-circuit en fonction de la vitesse de rotation ..... 42
Figure 1. 20. Courants rotoriques en fonction du temps à deux vitesses différentes ............................ 42
/LVWHGHV)LJXUHV
Figure 1. 21. Valeurs efficaces des courants rotoriques en fonction de la vitesse de rotation .............. 43
Figure 1. 22. Machine utilisée ............................................................................................................... 48
Figure 1. 23. Courants statoriques mesurés en fonction de rc .............................................................. 49
Figure 1. 24. Courants de court-circuit mesuré en fonction de rc ........................................................ 49
Figure 2. 1. Décomposition des pertes fer ............................................................................................. 56
Figure 2. 2. Volume élémentaire statorique et rotorique ....................................................................... 59
Figure 2. 3. Variation relative des pertes dynamiques en fonction du glissement ................................ 61
Figure 2. 4. Décomposition des pertes fer harmoniques dans la machine saine ................................... 61
Figure 2. 6. Décomposition des pertes fer harmoniques pour une machine saine avec Nts = 36 et
Ntr = 28 ................................................................................................................................................. 63
Figure 2. 6. Décomposition des pertes fer harmoniques pour une machine saine avec Nts = 72 et
Ntr = 88 ................................................................................................................................................. 63
s
Figure 2. 7. Pourcentage de Pdyn
/P
pour la machine saine ....................................................... 65
( K f ) dyn ( f )
s
r
Figure 2. 8. Pourcentage de Pdyn
/P
pour la machine saine ....................................................... 66
( K f ) dyn ( f )
s
r
Figure 2. 9. Pourcentage de Pdyn
/P
pour la machine saine (dans le repère statorique) ............. 67
( K f ) dyn ( f )
s
s
r
Figure 2. 10. Contribution de Pdyn
( harm ) et Pdyn ( harm ) dans la machine saine ............................................. 68
Figure 2. 11. Formes d’encoches........................................................................................................... 72
Figure 2. 12. Lignes de champ pour les encoches rectangulaires pour rds = rdr = 0.8 ............................. 73
Figure 2. 13. bns(*P ) pour rds = rdr = 0.8 pour les encoches rectangulaires ................................................. 74
Figure 2. 14. b(eP* ') pour rds = rdr = 0.8 pour les encoches rectangulaires ................................................. 74
Figure 2. 15. bns(*P ) pour rds =0.5 et rdr =0.8 pour les encoches rectangulaires....................................... 75
Figure 2. 16. b(eP* ') pour rds = 0.5 et rdr = 0.8 pour les encoches rectangulaires ....................................... 75
Figure 2. 17. Lignes de champ pour rds = 0.5 et rdr = 0.8 pour les encoches semi-fermées ................... 76
Figure 2. 18. Courbe B(H) ..................................................................................................................... 76
Figure 2. 19. bns(*P ) pour rds = rdr = 0.8 pour les encoches semi-fermées ................................................ 77
Figure 2. 20. bns(*P ) pour rds = 0.5 et rdr = 0.8 pour les encoches semi-fermées ....................................... 77
/LVWHGHV)LJXUHV
Figure 2. 21. b(eP* ') pour rds = rdr = 0.8 pour les encoches semi-fermées .................................................. 78
Figure 2. 22. b(eP* ') pour rds = 0.5 et rdr = 0.8 pour les encoche semi-fermées ......................................... 78
Figure 2. 23. Décomposition des pertes fer pour la machine défectueuse ............................................ 80
Figure 2. 24. Pertes fer harmoniques de la machine défectueuse en fonction de rds pour rdr = 0.8 ...... 81
Figure 2. 25. Pertes fer harmoniques de la machine défectueuse en fonction de rdr pour rds = 0.8 ....... 81
Figure 2. 26. Pertes fer harmoniques au stator et au rotor pour I c = 10 A .............................................. 83
Figure 2. 27. Pertes fer harmoniques au stator et au rotor pour I c = 20 A ............................................ 83
Figure 2. 28. Modèle simplifié du court-circuit entre spires ................................................................. 85
Figure 2. 29. Décomposition des pertes fer pour la machine défectueuse en utilisant le modèle
simplifié ................................................................................................................................................. 87
Figure 2. 30. Comparaison du modèle simplifié et du modèle réel ....................................................... 88
Figure 2. 31. Géométrie de la machine.................................................................................................. 88
Figure 2. 32. Décomposition des pertes fer pour la machine saine et la machine défectueuse ............ 90
Figure 2. 33. Pertes fer totales pour une machine à armature statorique lisse et une machine à armature
dentée .................................................................................................................................................... 91
Figure 2. 34. Détermination des pertes mécaniques .............................................................................. 92
Figure 2. 35. Stator de la machine avec un court-circuit entre spires dans la phase « 1 » .................... 93
Figure 2. 36. Schéma équivalent monophasé d’une machine asynchrone ............................................ 94
Figure 2. 37. Variation relative théorique et expérimentale des pertes fer par rapport au cas sain ....... 96
Figure 3. 1. Matrice des forces radiales…………………………………………………………….105
Figure 3. 2. Forces de fréquence égales mais de signes opposés et déformations résultantes ........... 106
Figure 3. 3. Forces s’exerçant sur le stator pour la machine saine ...................................................... 109
Figure 3. 4. Déformations dynamiques du stator dans le cas sain ....................................................... 110
Figure 3. 5. Niveau d’intensité acoustique pour la machine saine ...................................................... 111
Figure 3. 6. Déformations dynamiques de la machine défectueuse .................................................... 113
Figure 3. 7. Déformations dynamiques selon le mode et la fréquence de la machine défectueuse ..... 114
Figure 3. 8. Niveau d’intensité acoustique pour la machine défectueuse............................................ 116
Figure 3. 9. Dispositif expérimental pour la mesure du bruit et des vibrations................................... 117
Figure 3. 10. Spectre vibratoire pour la machine saine ....................................................................... 118
Figure 3. 11. Spectre vibratoire théorique et expérimental de la machine saine ................................. 119
/LVWHGHV)LJXUHV
Figure 3. 12. Spectre acoustique pour la machine saine...................................................................... 120
Figure 3. 13. Spectre vibratoire pour la machine défectueuse............................................................. 122
Figure 3. 14. Spectre vibratoire théorique et expérimental de la machine défectueuse ...................... 123
Figure 3. 15. Spectre acoustique pour la machine défectueuse ........................................................... 125
Figure 3. 16. Déformations dynamiques de la machine saine avec rds = rdr = 0.5 ................................ 126
Figure 3. 17. Niveau d’intensité acoustique pour la machine saine avec rds = rdr = 0.5 ....................... 127
Figure 3. 18. Déformations dynamiques de la machine défectueuse avec rds = rdr = 0.5 ..................... 128
Figure 3. 19. Niveau d’intensité acoustique pour la machine défectueuse avec rds = rdr = 0.5 ............. 128
Figure 4. 1. Composante axiale du champ magnétique de dispersion ................................................. 134
Figure 4. 2. Composante radiale du champ magnétique de dispersion ............................................... 134
Figure 4. 3. Position du capteur ........................................................................................................... 136
Figure 4. 4. Champ de dispersion calculé pour la machine saine ....................................................... 138
Figure 4. 5. Pertes dynamiques calculées pour la machine saine ........................................................ 138
Figure 4. 6. Déformations dynamiques calculées pour la machine saine ............................................ 138
Figure 4. 7. Champ de dispersion mesuré dans le cas de la machine saine ......................................... 140
Figure 4. 8. Déformations dynamiques mesurées dans le cas de la machine saine ............................. 140
Figure 4. 9. Flux de dispersion calculé pour la machine en défaut .................................................... 142
Figure 4. 10. Pertes fer calculées pour la machine en défaut ............................................................. 142
Figure 4. 11. Déformations dynamiques calculées pour la machine en défaut ................................... 142
Figure 4. 12. Champ de dispersion mesuré pour la machine défectueuse ........................................... 143
Figure 4. 13. Déformations dynamiques mesurées pour la machine défectueuse ............................... 144
/LVWHGHV7DEOHDX[
‹•–‡†‡•ƒ„Ž‡ƒ—š
Tableau 1. 1. Valeur de Λ ks kr en fonction des valeurs de k s et kr ……………………………………..…17
s
…….27
Tableau 1. 2. Coefficient d’atténuation de la composante normale de l’induction pour x = Rext
Tableau 1. 3. Coefficient d’atténuation de la composante tangentielle de l’induction dans la culasse
statorique………………………………………………………………………………………………27
Tableau 1. 4. Paramètres de la machine……………………………………………………………….37
Tableau 1. 5. Amplitude relative des composantes d’induction par rapport au fondamental dans le cas
de la machine saine……………………………………………………………………………………45
Tableau 1. 6͘ Amplitudes relatives des composantes d’induction par rapport au fondamental dans le
cas de la machine défectueuse………………………………………………………………………… 47
Tableau 2. 1. Séparation des pertes fer générées par la machine saine ................................................. 60
Tableau 2. 2 .Pourcentage de Pdyn ( harm ) / Pdyn dans la machine saine ...................................................... 69
Tableau 2. 3. Pertes fer totales pour une machine saine en fonction de rds et rdr .................................. 69
Tableau 2. 4. Pertes fer pour la machine défectueuse ........................................................................... 80
Tableau 2. 5. Pertes fer totales pour une machine défectueuse en fonction de rds et rdr ....................... 82
Tableau 2. 6. Pourcentage d’augmentation des pertes fer par rapport au cas idéal ............................... 82
Tableau 2. 7. Pourcentage des pertes fer harmoniques statoriques et rotoriques dans les pertes fer
harmoniques totales ............................................................................................................................... 84
Tableau 2. 8. Pertes fer pour la machine défectueuse en utilisant le modèle simplifié ......................... 86
Tableau 2. 9. Pertes fer pour la machine saine et la machine défectueuse dans le cas d’une armature
statorique dentée .................................................................................................................................... 89
Tableau 2. 10. Variation relative des pertes fer entre la machine à armature dentée et la machine à
armature lisse (en %) ............................................................................................................................. 91
Tableau 2. 11. Paramètres de la machine .............................................................................................. 95
Tableau 2. 12. Pertes fer mesurées ........................................................................................................ 95
/LVWHGHV7DEOHDX[
Tableau 3. 1. Modes de forces actives ................................................................................................. 105
Tableau 3. 2. Fréquence de denture pour le bruit et les vibrations ...................................................... 108
Tableau 3. 4. Forces s’exerçant sur le stator pour la machine défectueuse ......................................... 113
Tableau 3. 5. Pourcentage de contribution du mode existant dans le cas sain et des nouveaux modes
dans les vibrations de la machine défectueuse .................................................................................... 115
Tableau 3. 6. Augmentation théorique et expérimentale des vibrations suite au défaut ..................... 123
Tableau 3. 7. Variation théorique et expérimentale du bruit suite au défaut ...................................... 125
Tableau 4. 1. Augmentation théorique et expérimentale des pertes fer, vibrations et champ de
dispersion suite au défaut .................................................................................................................... 145