Algorithmes de décomposition de domaines pour une équation de

Algorithmes de décomposition de domaines
pour une équation de réaction-diffusion non linéaire
Filipa Caetano, Laurence Halpern
LAGA, Univ. Paris 13 - Projet SHPCO2
Collaboration : Martin Gander, Jérémie Szeftel
Groupe de travail Méthodes Numériques - LJLL
9 février 2009
Filipa Caetano – p. 1/23
Motivation - Le projet SHPCO2
Projet de l’ANR SHPCO2 - Simulation Haute Performance du Stockage
Géologique de CO2 :
⋄
Coupler différents phénomènes physiques au sein d’un même modèle :
écoulements multiphasiques, transport réactif, . . .
⋄
Gérer numériquement l’interaction entre zones très réactives et zones peu
réactives.
Contribution de l’équipe du LAGA :
⋄
Décomposition de domaines espace-temps ;
⋄
Modèles simples mais utiles ;
⋄
Discrétisation des modèles.
Filipa Caetano – p. 2/23
Motivation
⋄
Construction d’algorithmes de décomposition de domaines performants
pour des équations avec des termes de réaction non linéaires. Problème
modèle : équation de réaction-diffusion.
−→ Définir de bonnes conditions de transmission aux interfaces des
domaines.
⋄
Découplage total en espace-temps - algorithmes de Schwarz de type
relaxation d’ondes (SWR). Objectifs :
⋄
⋄
Paralléliser ;
Raffiner localement en espace et en temps.
Filipa Caetano – p. 3/23
Problème modèle
L’équation de réaction-diffusion semi-linéaire :
∂t u − ν∆u + f (u) = 0.
Algorithmes de relaxation d’ondes :
⋄
Décomposition du domaine spatial en sous-domaines (sans recouvrement).
⋄
Résolution globale en espace-temps dans chaque sous-domaine.
⋄
Couplage aux interfaces.
Objectif : Conditions à l’interface qui optimisent la vitesse de convergence de
l’algorithme.
Filipa Caetano – p. 4/23
Schwarz, SWR et SWR optimisé
⋄
Algorithmes de Schwarz sans recouvrement : Lions.
⋄
SWR pour des équations d’évolution :
⋄ Advection-réaction-diffusion : Japhet, Nataf, Gander, Halpern, Martin,
...
⋄ Saint Venant : Martin.
⋄ Maxwell, Euler : Gander, Dolean, . . .
⋄ Schrödinger 1D : Halpern, Szeftel.
⋄ Ondes semi-linéaire 1D : Halpern, Szeftel.
Filipa Caetano – p. 5/23
L’équation de réaction-diffusion semi-linéaire
Le problème de Cauchy pour l’équation de réaction-diffusion semi-linéaire en
dimension 2 :
(
∂t u − ν∆u + f (u) = 0, dans R2 ×]0, T [,
pour t = 0.
u = u0 ,
(1)
Hypothèses : f ∈ C 2 (R ) et u0 ∈ L2 (R2 ).
Problème bien posé :
Il existe T > 0 tel que le problème (1) admet une solution
u ∈ L2 (0, T; H 2 (R2 )) ∩ C([0, T ]; L2 (R2 )).
Filipa Caetano – p. 6/23
L’algorithme de Schwarz de relaxation d’ondes
On décompose R2 en 2 domaines :
Ω1 =] − ∞, 0[×] − ∞, +∞[, Ω2 =]0, +∞[×] − ∞, +∞[.
Γ = {0}×] − ∞, +∞[ la frontière de Ω1 et Ω2 .
Résoudre le problème (1) est équivalent à résoudre

∂ u − ν∆u + f ( u ) = 0, dans Ω ×]0, T [,
t 1
1
1
1
 u1 = u0 ,
pour t = 0,
| Ω1
avec

∂ u − ν∆u + f ( u ) = 0, dans Ω ×]0, T [,
t 2
2
2
2
u2 = u0 ,
pour t = 0,
| Ω2
u1 = u2 ,
sur Γ,
∂u
∂u1
= 2,
∂n
∂n
sur Γ.
Filipa Caetano – p. 7/23
L’algorithme de Schwarz de relaxation d’ondes
Algorithme de Schwarz de relaxation d’ondes :
Initialisation : (u10 , u20 ) −→ se donner un initial guess.
Itération k → k + 1 :


∂t u1k+1 − ν∆u1k+1 + f ( u1k+1 ) = 0,





Ω1 ×]0, T [,
u1k+1 = u0 |Ω1 ,
t = 0,
B1 ( u1k+1 ) = B1 ( u2k ),
Γ ×]0, T [,


∂t u2k+1 − ν∆u2k+1 + f ( u2k+1 ) = 0,





Ω2 ×]0, T [,
u2k+1 = u0 |Ω2 ,
t = 0,
B2 ( u2k+1 ) = B2 ( u1k ),
Γ ×]0, T [.
Conditions de transmission :
−→ Comment définir les opérateurs d’interface B1 et B2 ?
⋄
Problèmes dans les sous-domaines bien posés ;
⋄
Convergence rapide de l’algorithme ;
⋄
Compatibilité entre u1 et u2 sur Γ.
Filipa Caetano – p. 8/23
L’algorithme de Schwarz - Conditions de transmission
Comment définir les opérateurs d’interface B1 et B2 ?
Le choix optimal :
⊲ Bi =
∂
∂ni
+ DtNj −→ convergence en deux itérations.
Problème : l’opérateur Dirichlet-Neumann DtN
⋄
est non local ;
⋄
n’admet pas d’expression explicite en général.
−→ Approximation par un opérateur local.
Soit τ la direction tangente à Ωi sur Γ :
∂
∂2 DtN ≃ p + q
− 2
∂t
∂τ
Filipa Caetano – p. 9/23
Conditions de transmission de Robin
Soient
⋄
p≥0;
n1 et n2 les normales extérieures à Ω1 et Ω2 sur Γ.
Conditions de transmission de Robin : Bi (u) =
∂u
∂ni
+ pu.
CL dans le domaine 1 :
∂u1k+1
∂u2k
k +1
+ pu1 =
+ pu2k sur Γ×]0, T [.
∂n1
∂n1
CL dans le domaine 2 :
∂u2k+1
∂u1k
k +1
+ pu2 =
+ pu1k sur Γ×]0, T [.
∂n2
∂n2
Question : Existent-t-ils des paramètres p optimaux ?
Filipa Caetano – p. 10/23
Convergence de l’algorithme de décomposition de domaine
Théorème :
⋄
L’algorithme de décomposition de domaine est bien défini.
−→ Les problèmes aux limites sont bien posés dans chaque domaine.
Preuve :
⋄
RT
⋄
Estimations a priori : kuk +
⋄
Théorème de point fixe ;
⋄
∃1 solution dans L2 (0, T; H 2 (Ωi )) ∩ H 1 (0, T; L2 (Ωi )).
0
(k∇uk + kut k) + kukΓ ≤ C ;
L’algorithme de décomposition de domaine converge.
⋄
Les erreurs Eik = uik − u|Ωi convergent vers 0.
⋄
Preuve :
RT
2
k
k
E ( Ei ) = k Ei k + 0 k∇ Eik k2 → 0, lorsque k → ∞.
Compatibilité entre u1 = lim u1k et u2 = lim u2k à l’interface Γ.
Filipa Caetano – p. 11/23
Approximation numérique
Discrétisation des problèmes aux limites dans chaque sous-domaine.
⋄
Éléments finis en espace, différences finies en temps.
⋄ Discrétisation de l’opérateur linéaire ∂t − ν∆ : schéma d’Euler implicite.
⋄ Discrétisation explicite du terme non linéaire f (u).
−→ Si unh est la solution éléments finis à l’instant tn = n∆t :
unh +1 − unh
− ν∆h unh +1 + f (unh ) = 0.
∆t
Mise en œuvre de l’algorithme de décomposition de domaine :
⋄
Construction de l’opérateur d’interface (u1 , u2 ) −→ ( B1 (u2 ), B2 (u1 )).
Théorème : L’algorithme itératif discrétisé converge vers la solution discrète
globale.
Filipa Caetano – p. 12/23
Résultats numériques
⋄
Domaine de calcul : Ω×]0, 1[, où Ω est le rectangle ] − 1, 1[×]0, 1[.
⋄
⋄
Ω1 =] − 1, 0[×]0, 1[.
Ω2 =]0, 1[×]0, 1[.
⋄
Non-linéarités : f (u) = u3 et f (u) = eu − 1.
⋄
Solutions comparées :
⋄
La solution monodomaine calculée dans le domaine Ω entier ;
⋄
La solution décomposition de domaine.
Filipa Caetano – p. 13/23
Résultats numériques - Paramètres optimaux
Différence, en norme L∞ entre solution DD et solution M.
ν = 1, h ≃ 0.25. Comparaison entre p = 9 et p = 20.
Linf error between DD and monodomain solutions after 20 iterations
0
10
Robin p=9
Robin p=20
−1
10
−2
10
−3
10
−4
Linf error
10
−5
10
−6
10
−7
10
−8
10
−9
10
−10
10
0
2
4
6
8
10
12
Number of iterations
14
16
18
20
Filipa Caetano – p. 14/23
Paramètre optimal en fonction du pas d’espace - Robin
Erreur à la fin de 20 itérations en fonction de p pour h ≃ 0.125 et h ≃ 0.0625.
Linf error as a function of p in Log10 scale after 20 iterations
Linf error as a function of p in Log10 scale after 20 iterations
−7.2
10
−5.66
10
−7.3
10
−5.68
−7.4
10
−7.5
10
Linf error
Linf error
10
−5.7
10
−7.6
10
−5.72
10
−7.7
10
−5.74
10
−7.8
10
−5.76
10
−7.9
10
10
10.5
11
11.5
12
p
12.5
13
13.2
13.4
13.6
p
13.8
14
14.2
Connaît-t-on la valeur de p optimal ?
Filipa Caetano – p. 15/23
Conditions de transmission non linéaires de type Robin
Motivation : Si b ≥ 0, pour l’équation de réaction-diffusion linéaire
∂t u − ν∆u + bu = 0,
le paramètre optimal popt vérifie popt ∼ p(b, ν, ∆t) [Bennequin, Gander, Halpern].
−→ Remplacer b par f ′ (u).
Supposons ϕ(u) ≥ 0, pour tout u.
Conditions de transmission non linéaires : Bi (u) =
∂u
∂ni
+ ϕ(u)u.
CL dans le domaine 1 :
∂u1k+1
∂u2k
k +1 k +1
+ ϕ ( u1 ) u1 =
+ ϕ(u2k )u2k sur Γ ×]0, T [.
∂n1
∂n1
CL dans le domaine 2 :
∂u1k
∂u2k+1
k +1 k +1
+ ϕ ( u2 ) u2 =
+ ϕ(u1k )u1k sur Γ ×]0, T [.
∂n2
∂n2
Filipa Caetano – p. 16/23
Approximation numérique
ϕ(u) = p
f ′ (u), ν, ∆t
.
Pour le problème avec conditions aux limites non linéaires


∂t u − ν∆u + f (u) = 0, dans Ωi ×]0, T [,
pour t = 0,
u = u0 | Ωi ,

 ∂u
sur Γ×]0, T [,
∂n + ϕ ( u ) u = g,
i
on explicite la non-linéarité ϕ(u) :
ϕ(unh )unh +1 .
⋄
ϕ(u)u
⋄
Si u −→ ϕ(u)u est injective et ϕ(u) est bornée, l’algorithme discrétisé
converge.
Filipa Caetano – p. 17/23
Résultats numériques - Robin et Robin non linéaire
Comparaison entre Robin et Robin non linéaire après 20 itérations.
ν = 1. h = 0.125 et h = 0.0625.
Linf error between DD and monodomain solutions after 20 iterations
0
Linf error between DD and monodomain solutions after 20 iterations
0
10
10
Nonlinear Robin
Linear Robin popt−num
Nonlinear Robin
Linear Robin popt−num
−1
10
−1
10
−2
10
−2
10
−3
Linf error
Linf error
10
−4
10
−3
10
−5
10
−4
10
−6
10
−5
10
−7
10
−8
10
−6
0
2
4
6
8
10
12
Number of iterations
14
16
18
20
10
0
2
4
6
8
10
12
Number of iterations
14
16
18
20
Filipa Caetano – p. 18/23
Résultats numériques - Robin et Robin non linéaire
Comparaison entre Robin et Robin non linéaire après 20 itérations.
ν = 0.05. h = 0.125 et h = 0.0625.
Linf error between DD and monodomain solutions after 20 iterations
0
Linf error between DD and monodomain solutions after 20 iterations
0
10
10
Nonlinear Robin
Linear Robin popt−num
Nonlinear Robin
Linear Robin popt−num
−1
10
−2
10
−2
10
−4
10
−3
10
−4
Linf error
Linf error
−6
10
−8
10
10
−5
10
−6
10
−10
10
−7
10
−12
10
−8
10
−14
10
−9
0
2
4
6
8
10
12
Number of iterations
14
16
18
20
10
0
2
4
6
8
10
12
Number of iterations
14
16
18
20
Filipa Caetano – p. 19/23
Résultats numériques - Robin et Robin non linéaire
Comparaison entre Robin et Robin non linéaire après 30 itérations.
ν = 0.05. h = 0.125.
Linf error between DD and monodomain solutions after 30 iterations
0
10
Nonlinear Robin
Linear Robin popt−num
−5
Linf error
10
−10
10
−15
10
0
5
10
15
Number of iterations
20
25
30
Filipa Caetano – p. 20/23
Conditions de transmission d’ordre 2
Soient
⋄
p, q ≥ 0.
⋄
τ la direction tangente à Ωi sur Γ.
Conditions de transmission d’ordre 2 : Bi (u) =
CL dans le domaine 1 :
∂u
∂ni
+ pu + q
∂u
∂t
−
∂2 u
∂τ 2
.
∂uk+1 ∂2 uk+1 ∂uk ∂2 uk k
∂u1k+1
∂u
k
1
2
1
2
2
+ pu1k+1 + q
−
+
pu
−
+
q
=
sur Γ×]0, T [.
2
∂n1
∂t
∂n1
∂t
∂τ 2
∂τ 2
CL dans le domaine 2 :
∂uk ∂2 uk ∂uk+1 ∂2 uk+1 ∂u1k
∂u2k+1
k +1
k
1
2
1
2
=
−
−
+ pu2 + q
+
pu
+
q
sur Γ×]0, T [.
1
∂n2
∂t
∂n2
∂t
∂τ 2
∂τ 2
Filipa Caetano – p. 21/23
Robin optimal et ordre 2 optimal
Robin optimal versus Ordre 2 optimal.
h = 0, 125.
Linf error between DD and monodomain solutions after 20 iterations
0
10
Robin
O2
−5
Linf error
10
−10
10
−15
10
0
2
4
6
8
10
12
Number of iterations
14
16
18
20
Filipa Caetano – p. 22/23
Perspectives
⋄
Cas tests avec d’autres non linéarités.
⋄
Étendre l’étude des conditions non linéaires à l’ordre 2.
⋄
Justifier les paramètres non linéaires optimaux.
⋄
Conditions de transmission intégrales.
⋄
Maillages non conformes.
Filipa Caetano – p. 23/23