Mouvement de particules chargées dans des champs électriques et

Chapitre II : Mouvement de particules chargées dans des
champs électriques et/ou des champs magnétiques
Introduction
La loi fondamentale décrivant la force agissant sur une particule chargée dans un
champ électrique et/ou un champ magnétique est décrite par la loi de Lorentz :
d (mv )
 F  qE  qv  B
dt
La force gravitationnelle est en générale négligeable.
La première partie de la force est la loi de Coulomb et la deuxième partie est la loi de Laplace.
Pour des vitesses élevées relativement grandes, on doit utiliser la loi fondamentale de
la dynamique avec la masse relativiste :


dp d (mv ) d  m0v 

 
F
dt
dt
dt  1  v 2 
c2 

En mécanique relativiste on a pour les énergies et les forces tangentielle et normale :
E
2
Etot
 m02c 4  p 2c 2
Etot  Ecin  m0c 2 et
et
p  mv  2 v
c
2
m0
dv
m0
v
F 
.
Fn 
.
et
3/
2
1/ 2
2
2
dt
R
1 v 2
1 v 2
c
c




I. Mouvement de particules chargées dans un champ électrique homogène
On suppose que la vitesse v de la particule chargée est très petite devant la vitesse de
la lumière c.
a) Vitesse initiale nulle ou v0 // parallèle au champ électrique E
b) Vitesse initiale v0 perpendiculaire au champ électrique E
c) Vitesse initiale quelconque v0  v0//  v0
A l’intérieur du champ électrique homogène, la trajectoire est en général une
partie de parabole.
A l’extérieur du champ électrique, la trajectoire est considéré rectiligne.
d) Pour des vitesses élevées relativement grandes, on doit utiliser la loi fondamentale de
la dynamique avec la masse relativiste :



m0 v
d 

  qE
dt  1  v 2

c2 

Cas de vitesse initiale nulle (limites t tend vers 0 et t temps vers l’infini)
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II. Mouvement de particules chargées dans un champ magnétique
homogène
On suppose que la vitesse v de la particule chargée est très petite devant la vitesse de
la lumière c.
a) Vitesse initiale v0 // parallèle au champ magnétique B
b) Vitesse initiale v0 perpendiculaire au champ magnétique B
c) Vitesse initiale quelconque v0  v0//  v0
-
A l’intérieur du champ magnétique homogène, la trajectoire est en général une
partie d’une hélice (mouvement hélicoïdale).
A l’extérieur du champ magnétique, la trajectoire est considéré rectiligne.
d) Vecteur Aimantation M d’un ensemble de particules dans un champ magnétique
externe B ou B0.
1 2
mv
E
2
B   c2 B
Le moment dipolaire magnétique :   
2
B
B
n kT  n kT
(n  n )kT
M   e e 2 i i B   e 2i
B
B
B
La densité de courant d’aimantation : J M  rotM
Pour un champ magnétique non homogène et aux bords du plasma, la loi d’Ampère
généralisée est : rotB  0 ( J M  rotM )
Le champ magnétique local est : Bloc  0 ( H  M )  B0  0 M  B  0 M
(n  n )kT
Energie..Cinétique..(ou Pr ession...)
Soit le paramètre  :   e 2 i
B / 2 0
Energie..Magnétique..(ou Pr ession...)
Le champ local est : Bloc 
0 H
1  / 2
Comme Bloc  0 H le plasma est un milieu diamagnétique.
Pour des vitesses relativement grandes, on doit appliquer la mécanique relativiste. La
composante transversale de la vitesse donne toujours le mouvement circulaire. L’expression
de la fréquence cyclotronique est la même avec l’utilisation de la masse relativiste.
III. Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et
magnétique homogènes
a) Résolution de l’équation différentielle relative à la force de Lorentz.
La solution homogène de l’équation différentielle donne le mouvement hélicoïdal
vh  v//  c  
b) Vitesse de dérive électrique (solution particulière de l’équation différentielle).
EB
B2
E
)
B
Cette vitesse est celle du centre guide ou centre de guidage : il s’agit du mouvement
de l’axe du mouvement hélicoïdal)
v p  v p   vE 
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(ou bien : vE 
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c) Allures des trajectoires des électrons et des ions (comparaison des vitesses de
dérive et des vitesses de rotation relatives).
d) Application : Instabilité Rayleigh-Taylor
La vitesse de dérive est donnée en général dans le cas de force homogène F (en plus de la
force magnétique) par :
vD 
1 F  B
q B2
Cette instabilité est celle d’un liquide lourd sur un liquide léger dans le champ de
gravité. La condition d’équilibre est simplement que l’interface entre les deux liquides est un
plan horizontal. Les deux liquides inversent leurs positions : le liquide lourd est à la fin du
processus au-dessous du liquide léger. On dit dans ce cas que l’équilibre est instable
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IV. Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique
lentement variable avec le temps
On suppose que le champ magnétique varie lentement avec le temps, c.-à-d. :
B0
1
1;
B0 c t
La variation du champ magnétique sur une orbite donne un champ électrique induit :
B
rotE   0
t
dW d 1 2
dv
 ( mv )  mv   qv E
dt
dt 2
dt
dW
dl
dl
; soit :
v 
 qEv

dt
dt
dt
La moyenne sur une orbite de période T est telle que :
2
c
dl
dt
dt
0
La variation est lente, d’où :
 W  q

E
BdS  0
En effet, on a :  W  0 car pour q>0 on a : BdS  0 (du fait du sens de dl )
et pour q<0 on a : BdS  0
B 2
q v 2
W
En une période  B  0
et
 W  2   B0    B
c
B0
t c
Soit :
 W
B0

W
B 0
B02
ou bien :
(
W
)0
B0
W
La quantité    est une constante du mouvement lorsque le champ magnétique B 0
B0 

varie lentement.
Interprétation :
2
Soit le moment dipolaire magnétique :   I Larmor .c
et
I Larmor 
q
c / 2
alors :   0
Donc si B0 varie lentement on a :   0
La conservation du moment magnétique  lorsque B0 varie lentement ( est un invariant
adiabatique)
Application :
Si B0 augmente, on aura une augmentation de :
chauffage par compression adiabatique.
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 W  0
; d’où chauffage du plasma ou
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V. Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique
indépendant du temps et lentement variable dans l’espace (B0(r) et E0=0)
On suppose que le champ magnétique B0 est inhomogène, c.-à-d. :
B0 (r )  B0 (r0 )  (r .0 ) B0
 0 signifie que la dérivation doit être prise en r=r0 position du centre guidage.
Le champ est lentement variable : B0 (r0 )
(r .0 ) B0
Cette faible inhomogénéité a pour conséquence que les orbites sont proches des orbites
circulaires correspondantes au cas du champ B0 uniforme.
L’équation du mouvement est solution de :
dv q
 v  B0  v  (r .0 ) B0 
dt m 
Le deuxième terme du membre à droite est considéré comme perturbation au premier ordre.
L’équation est du type :
dv q
F
où la force F n’est pas constante comme dans III.
 v  B0  
dt m
m
La force F dépend de r ; on étudie le mouvement sur des échelles de temps de l’ordre de la
période cyclotron.
Après quelques approximations et plusieurs étapes de calcul on démontre que :
B
1
F//   m z ez et
F   m
  B02
z
2 B0
Interprétation de la composante longitudinale :
F//   m
Bz
ez
z
Si le champ Bz augmente avec z, une force s’exerce sur la particule dans le sens
opposé : la vitesse parallèle peut s’annuler (du fait de la conservation de l’énergie cinétique
et la constante du moment magnétique).
Exemple : Les machines miroirs.
Soit une machine miroir où le champ magnétique Bz est plus élevé aux deux bouts de la
machine. Soit zt l’endroit où la vitesse parallèle s’annule.
La conservation de l’énergie cinétique :
La conservation du moment magnétique :
W ( z0 )  W// ( z0 )  W ( zt )
W ( z0 ) W ( zt )

B ( z0 )
B( zt )
En combinant les deux équations on a :
B( z0 ) W ( z0 )
W ( z0 )
v2 ( z )


 2  02
B( zt ) W ( zt ) W ( z0 )  W// ( z0 ) v ( z0 )  v// ( z0 )
B ( z0 )
On définit le rapport miroir :
Bmax
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Une deuxième application de la réflexion des particules par un champ magnétique
miroir est l’existence de la ceinture de Van Allen. Les particules de la ceinture de Van Allen
sont confinées par le champ magnétique terrestre. Ce dernier est plus intense aux pôles qu’à
l’équateur formant ainsi un miroir naturel.
Interprétation de la composante transversale :
Soit B0z la composante dominante dans l’expression de B0.
1
F   m
  B02
2 B0
Cette force perpendiculaire va donner lieu à une vitesse de dérive :
vD 
m
( B0    B02 )
2 B03q
La vitesse de dérive due à un gradient perpendiculaire du champ magnétique dépend de la
charge de la particule : les ions et les électrons dérivent dans des directions opposées.
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Les oscillations plasmas, fréquence plasma
-
ne qe2
La fréquence plasma électronique :  p   pe 
me 0
Ou :
 pe sec1   5.6 104 ne cm3 
Potentiel électrique écranté, longueur de Debye
kT  0
D 
- La longueur de Debye :
(en SI)
2
D 
ne e
D (cm)  6.9
Ou pour les applications numériques :
T (K )
ne (cm3 )
q0
r
exp( )
4 0 r
D
1
-
Le potentiel de Debye : V (r ) 
-
Effet des corrélations ion-ion (i-i), la longueur de Debye corrigée
S 
kT
(en CGS)
4 ne e2
kT  0
D

2
2
ne 0 qe  ni 0 qi
1  Zi
Paramètres plasmas
e2
-
Longueur de Landau r0 : kT 
-
Distance moyenne Rs entre particules de densité n :
-
Nombres de particules dans la sphère de Debye (ou dans un cube de Debye)
4
N D1  D3 n
3
-
4 0 r0
4
 RS3 n  1
3
N D 2  D3 n
Paramètre gamma ; comparaison entre énergie potentielle et énergie cinétique
e2 /(4 0 RS )

kT
e2 /(8 0D )
1

On utilise aussi : 0 
(3kT / 2)
12 nD3
Et le logarithme de Coulomb : ln   ln(12 nD )
3
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