Mouvement de particules chargées dans des champs électriques et

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Chapitre II : Mouvement de particules chargées dans des
champs électriques et/ou des champs magnétiques
Introduction
La loi fondamentale décrivant la force agissant sur une particule chargée dans un
champ électrique et/ou un champ magnétique est décrite par la loi de Lorentz :
()d mv F qE qv B
dt    
La force gravitationnelle est en générale négligeable.
La première partie de la force est la loi de Coulomb et la deuxième partie est la loi de Laplace.
Pour des vitesses élevées relativement grandes, on doit utiliser la loi fondamentale de
la dynamique avec la masse relativiste :
0
2
2
()
1
mv
dp d mv d F
dt dt dt vc
En mécanique relativiste on a pour les énergies et les forces tangentielle et normale :
2
0tot cin
E E m c
et
2 2 4 2 2
0tot
E m c p c
et
2
E
p mv v
c
03/2
2
2
.
1
mdv
Fdt
vc
et
2
01/2
2
2
.
1
nmv
FR
vc
I. Mouvement de particules chargées dans un champ électrique homogène
On suppose que la vitesse v de la particule chargée est très petite devant la vitesse de
la lumière c.
a) Vitesse initiale nulle ou
0//
v
parallèle au champ électrique
E
b) Vitesse initiale
0
v
perpendiculaire au champ électrique
E
c) Vitesse initiale quelconque
0 0// 0
v v v 
- A l’intérieur du champ électrique homogène, la trajectoire est en général une
partie de parabole.
- A l’extérieur du champ électrique, la trajectoire est considéré rectiligne.
d) Pour des vitesses élevées relativement grandes, on doit utiliser la loi fondamentale de
la dynamique avec la masse relativiste :
0
2
2
1
mv
dqE
dt vc
Cas de vitesse initiale nulle (limites t tend vers 0 et t temps vers l’infini)

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II. Mouvement de particules chargées dans un champ magnétique
homogène
On suppose que la vitesse v de la particule chargée est très petite devant la vitesse de
la lumière c.
a) Vitesse initiale
0//
v
parallèle au champ magnétique
B
b) Vitesse initiale
0
v
perpendiculaire au champ magnétique
B
c) Vitesse initiale quelconque
0 0// 0
v v v 
- A l’intérieur du champ magnétique homogène, la trajectoire est en général une
partie d’une hélice (mouvement hélicoïdale).
- A l’extérieur du champ magnétique, la trajectoire est considéré rectiligne.
d) Vecteur Aimantation
M
d’un ensemble de particules dans un champ magnétique
externe B ou B0.
Le moment dipolaire magnétique :
2
22
1
2c
mv E
BB
BB
22
()
e e i i e i
n kT nkT n n kT
M B B
BB
La densité de courant d’aimantation :
M
J rotM
Pour un champ magnétique non homogène et aux bords du plasma, la loi d’Ampère
généralisée est :
0() M
rotB J rotM
Le champ magnétique local est :
0 0 0 0
()
loc
B H M B M B M
Soit le paramètre  :
20
() .. ..( Pr ...)
/2 .. ..( Pr ...)
ei
n n kT Energie Cinétique ou ession
B Energie Magnétique ou ession
Le champ local est :
0
1 /2
loc H
B
Comme
0loc
BH
le plasma est un milieu diamagnétique.
Pour des vitesses relativement grandes, on doit appliquer la mécanique relativiste. La
composante transversale de la vitesse donne toujours le mouvement circulaire. L’expression
de la fréquence cyclotronique est la même avec l’utilisation de la masse relativiste.
III. Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et
magnétique homogènes
a) Résolution de l’équation différentielle relative à la force de Lorentz.
La solution homogène de l’équation différentielle donne le mouvement hélicoïdal
//hc
vv
b) Vitesse de dérive électrique (solution particulière de l’équation différentielle).
2
p p E EB
v v v B
(ou bien :
EE
vB
)
Cette vitesse est celle du centre guide ou centre de guidage : il s’agit du mouvement
de l’axe du mouvement hélicoïdal)

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c) Allures des trajectoires des électrons et des ions (comparaison des vitesses de
dérive et des vitesses de rotation relatives).
d) Application : Instabilité Rayleigh-Taylor
La vitesse de dérive est donnée en général dans le cas de force homogène F (en plus de la
force magnétique) par :
2
1
DFB
vqB
Cette instabilité est celle d’un liquide lourd sur un liquide léger dans le champ de
gravité. La condition d’équilibre est simplement que l’interface entre les deux liquides est un
plan horizontal. Les deux liquides inversent leurs positions : le liquide lourd est à la fin du
processus au-dessous du liquide léger. On dit dans ce cas que l’équilibre est instable

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