P8 : Initiation à la théorie cinétique des gaz - INSA Rouen

INSA de Rouen - STPI2 - Année 2011-2012
P8 : Initiation à la théorie cinétique des gaz
1 Généralités
1.1 Les Etats de la matière
Solide : •Formes et dimensions fixes
•Atomes, molécules et ions rigidement liés
Fluides : Pas de forme imposée, caractérisés par leur aptitude à s’écouler
Liquide : occupe un volume propre (influence des forces de Van Der Waals)
Gaz : pas de volume propre
1.2 Gaz réel / Gaz parfait
Gaz réel : Il existe une interaction à distance entre les molécules
•Distance entre molécules > taille de la molécule
•Interaction faible mais existante entre molécules
•Interaction forte lors d’une collision entre molécules ou sur une paroi
Gaz réel : Principe de l’interaction type : "boule de billard"
•Distance entre molécules » taille de la molécule
•Pas d’interaction à distance entre molécules
•Interaction élastique lors d’une collision entre molécules ou sur une paroi
L’interaction entre deux particules peut s’exprimer −−→ Fi→j=−−−→ grad(ϕ). On considère l’énergie potentielle ϕcomme dépendant du
rayon d’éloignement.
1.3 Approches microscopique et macroscopique
Approche microscopique : Il faut décrire à chaque instant le mouvement et la position de toutes les entités. Au vu de l’incommensurable
nombre de particules à considérer, on passe par une approche statistique.
Par la statistique, on définit alors les grandeurs thermodynamiques : •Température (cinétique)
•Pression
•Diffusion moléculaire
•Conductivité thermique
•Viscosité dynamique. . .
Aproche macroscopique : On décrit alors le mouvement de "paquets de fluide" considérés comme des milieux continus. On est
alors en Mécanique des Fluides où l’on considère donc les grandeurs thermodynamiques définies macroscopiquement.
1

2 Le gaz parfait à l’équilibre
2.1 Hypothèses
Densité de probabilité : On considère la densité de la probabilité qu’un ensemble de NPparticules dans un volume unitaire soit défini
à l’instant t tel que chaque particule iest positionnée en −→ riàd−→ riprès avec une vitesse −→ viàd−→ viprès : F(−→ r1,−→ v1,...,−→ rNP,−→ vNP)d−→ r1d−→ v1. . . d−→ rNPd−→ vNP
Indépendance et non différenciation des particules : En considérant les distances entre molécules bien plus grandes que leur
champ d’action, on peut poser F=
NP
∏
i=1
F0(−→ ri,−→ vi,t)et définir le nombre de particules en −→ riàd−→ riprès avec une vitesse −→ viàd−→ viprès
hdNPi=NPF0(−→ r,−→ v,t)d−→ r d−→ v
Stationnarité : A l’équilibre thermodynamique, la description du gaz est indépendante du temps.
Ainsi hdNPi=NPF0(−→ r,−→ v)d−→ r d−→ v
Uniformité : A l’équilibre thermodynamique, la densité de probabilité individuelle n’est pas dépendante du vecteur position de
la particule individuelle. Ainsi hdNPi=NPF0(−→ v)d−→ v
Isotropie des vitesses : A l’équilibre thermodynamique, la densité de probabilité individuelle des vitesses est isotrope. Ainsi
hdNPi=NPF0(v)d3v
Dans la suite du cours, on considère la densité de particules par unité de volume N=NP
V.
2.2 Température du gaz et énergie cinétique
En fonction de la température, on considère l’énergie cinétique de translation (par unité de volume) du gaz par E=3
2NkBT
C.
Principe d’équipartition : Une particule à dode particules a pour énergie cinétique EC=do
2kBT.
Dans le modèle du gaz parfait, on considère les particules comme des points : elles ont alors 3 degrés de liberté.
Chaleur spécifique : En considérant ∆U=∆E=do
2NkB∆Tdans un volume constant, on peut définir ∆U=mcV∆Tavec la
chaleur spécifique massique cV=do
2
NkB
m. La chaleur spécifique par atome d’un gaz parfait est CV=3 2kB.
2.3 Distribution de Maxwell-Boltzmann
En espace cartésien des vitesses : d3N=N m
2πkBT!3
2
exp −mv2
2kBT!dvxdvydvz
En espace sphérique des vitesses : d3N=N m
2πkBT!3
2
exp −mv2
2kBT!v2sin(θ)dv dθdϕ
En espace sphérique des vitesses avec isotropie : dN =4πN m
2πkBT!3
2
exp −mv2
2kBT!v2dv
2.4 Vitesses
Vitesse la plus probable : vP=r2kBT
m
Vitesse moyenne : vmoy =v=r8kBT
πm
Vitesse quadratique moyenne : v2=3kBT
m
2

2.5 Flux d’une quantité scalaire
Densité de flux de particules à travers une surface dS :−→ ϕ=d3N+
P
dt d2S−→
n=RRRd3N d3V
dt d2S−→
n=. . . =Nv
4−→
n
Volume élémentaire : d3V=vcos(θ)d2S dt
Densité de flux d’une quantité scalaire Xà travers une surface dS :−→ ϕX=RRRd3N d3V X
dt d2S−→
n
Cas du débit massique (X =m=cste) : −→ ϕm=Nm v
4−→
n
2.6 Flux d’une grandeur vectorielle
Densité de flux d’un champ vectoriel uniforme
On considère une grandeur vectorielle uniforme −→ Atransportée par les particules : −→ A=Ax−→ ux+Ay−→ uy+Az−→ uz
Le flux généralisé à toutes les orientations des dS est généralisé par le tenseur suivant :
ϕ+
i,j=Nv
4
AxAxAx
AyAyAy
AzAzAz
(−→
ux,−→ uy,−→ uz)
Vecteur densité de flux selon : x y z
Tenseur des contraintes (Densité de flux de quantité de mouvement) :
Quantité de mouvement : −→ p=m−→ v
Tenseur général : ϕ+
i,j=Nm 
v2
xvyvxvzvx
vxvyv2
yvzvy
vxvzvyvzv2
z
(−→
ux,−→ uy,−→ uz)
=. . . =Nm 
P0 0
0P0
0 0 P
(−→
ux,−→ uy,−→ uz)
Définition de la pression : P =d2−→
F·−→ n
d2S=NkBT
2.7 Loi des gaz parfaits
Loi initiale : P =NkBT
Expression de N : N =NP
V=n NA V
Définition de R : R =NAkB=8,314J.K−1 .mol−1
Equation des gaz parfaits : PV =nRT
2.8 Cas de l’écoulement permanent uniforme (convectif)
Considérons ici un gaz subissant un mouvement rectiligne uniforme dans la direction (O,x). On a donc −→ v1=−→ v+V−→ ux
Distribution de Maxwell Boltzmann : d3N=N m
2πkBT!3
2
exp
−
m−→ v1−−→ V2
2kBT
dvxdvydvz
Tenseur de contrainte : ϕ+
i,j=Nm 
(vx+V)2vy(vx+V)vz(vx+V)
(vx+V)vyv2
yvzvy
(vx+V)vzvyvzv2
z
(−→
ux,−→ uy,−→ uz)
=. . . =Nm 
P+ρV20 0
0P0
0 0 P
(−→
ux,−→ uy,−→ uz)
Densité de flux de l’énergie cinétique : ϕx
EC =
+∞
RRR
−∞
(vx+V)d3N×mv2
1
2dvxdvydvz=. . . =V Ec+µV2 2+P!
3

3 Validité du modèle du gaz parfait
Section efficace de collision : σcol =π(R1+R2)2
Portée des interactions mutuelles : RP=R1+R2=⇒σcol =π(RP)2
Durée de collision : τcol =RP
v
Fréquence de collision : fcol =√2Nσcol v
Durée intercollisionnelle : τ=1
fcol
=1
√2Nσcol v
Libre parcours moyen (∼parcours intercollisionnel) : l pm =v×τ
Distance moyenne entre particules : d= P
kBT!−3
2
Conditions de validité :
•Interaction instantanée : ττcol (durée d’interaction faible)
•Modélisation ponctuelle : l pm dRP(taille de la particule faible)
4

4 Le gaz parfait hors équilibre
4.1 Distance moyenne de dernière collision
On considère la distance de la dernière collision depuis une surface dS comme étant l pmcos(ϕ)
Distance moyenne de collision : dxmin =RRRl pmcos(θ)d3N(v,θ,ϕ)d3V
RRRd3N(v,θ,ϕ)d3V=. . . =2
3l pm
4.2 Diffusion moléculaire
Loi de Fick : La densité de flux de particules dans un fluide est proportionnelle au gradient de la densité particulaire et au coefficient
de diffusion.
Interprétation mathématique : −→ ϕP=−D−−→ grad(N)avec D=l pm v
3le Coefficient de Diffusion
4.3 Conductivité thermique
Densité de flux d’énergie cinétique : −−→ ϕEC =Nr2
πm(kBT)
3
2−→
n
Loi de Fourier : La densité de flux d’énergie dans un gaz parfait est proportionnelle au gradient de température au sein de ce gaz
et à la conductivité thermique.
Interprétation mathématique : −−→ ϕEC =−ktr−−→ grad(T)avec ktr=−NkBv l pm la Conductivité Thermique
4.4 Viscosité dynamique
Au niveau d’une paroi dans une conduite lors d’un écoulement, le gaz proche de la paroi dans cette couche dite limite se déplace plus
lentement. La vitesse d’une particule est alors −→ v1=−→ v+V(y)−→ ux.
Loi de Stokes : Les composantes extra-diagonales du tenseur des contraintes représentent les forces de viscosité par unité de sur-
face. Ces contraintes sont proportionnelles au gradient suivant y de la composante suivant x et au coefficient de viscosité dynamique
µ.
Interprétation mathématique : ϕi,j=Nm 
P+ρV(y)2−µdV
dy 0
0P0
0 0 P
(−→
ux,−→ uy,−→ uz)
avec µ=mNv l pm
3la Viscosité Dynamique (unité : Pa.s=Pl Poiseuille)
Cas général : ϕi,j=Nm
P−µdVx
dy −µdVx dz
−µdVy
dx P−µdVy dz
−µdVz
dx −µdVz dy P
(−→
ux,−→ uy,−→ uz)
5