Soit les matrices : A= ( ), B = ( ), C = ( ) et , D = ( ). Quels liens existe

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CHAPITRE 5 – DÉTERMINANT D’UNE MATRICE CARRÉE
EXERCICE1 (CHAPITRE 6 – I)
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Soit les matrices :
A=  
 , B =    , C =     et , D =    .
Quels liens existe-t-il entre , ,  et  ?
CORRECTION
La fonction déterminant étant multilinéaire, on a :
 =  
  =   = 2    = 2.
De même :  =  
  = 
La fonction déterminant étant alternée, on a :
 =  
 .
D’où :
EXERCICE 2 (CHAPITRE 6 – I)
Sans faire aucun calcul, donner le déterminant des matrices :
   et  .
CORRECTION
La fonction déterminant étant alternée, on a :
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Les numéros de chapitres et de sections indiqués en rouge renvoient aux chapitres et sections du manuel
d’Introduction à l’algèbre linéaire d’Ozgür Gün et Sophie Jallais, référence sur l’epi).

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   puisque ,
et
  .
EXERCICE 3 (CHAPITRE 6 – II)
Calculer le déterminant des matrices suivantes :
M1 =    
   , M2 =        .
CORRECTION
car (propriété VI-13, page 180 du manuel) le déterminant d’une matrice triangulaire est
égal au produit de ses termes diagonaux.
 ,
(ici, le déterminant de M2 est calculé par rapport à sa troisième colonne, le suivant étant
calculé par rapport à la deuxième ligne de la matrice – voir propriété VI-11, page 176 du
manuel).
EXERCICE 4 (CHAPITRE 6 – II)
Calculer le déterminant des matrices suivantes :
A1 =  
 , A2 =  
 , A3 =  
 ,
A4 =   
  , A5 =   
  ,

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A6 =    
   , A7 =         et A8 =        .
Parmi ces matrices, lesquelles sont régulières ?
CORRECTION
  2(2) – 1(3) = 1 (voir propriété VI-8, page 169 du manuel).
 .
 .
(voir propriété VI-12, page 178)
 .
Pour calculer ce déterminant, on pouvait également utiliser la règle de Sarrus, entre
autres (voir pages 172-173 du manuel).
 .
 .
 .

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 .
Une matrice est régulière si et seulement si son déterminant est non nul (voir propriété
VI-15, page 181 du manuel). Les matrices A1, A2, A3, A4, A6 et A8 sont donc régulières. En
revanche, les matrices A5 et A7 sont singulières.
EXERCICE 5 (CHAPITRE 6 – III)
Au moyen de la méthode de Cramer, résoudre le système :
    .
CORRECTION
Le système :     
peut également s’écrire
AX = U, où A =   
  , X = et U =  .
Si l’on note C1, C2 et C3 les trois colonnes de A respectivement, la solution de ce système
est (voir la règle de Cramer, pages 185-186 du manuel) :
x = é 
é , y = é  é , et z = é é .
Comme :
dét(A) = dét  
   = dét      = 2,
dét  = dét  
   = dét      = 1(1) = 1,
dét  = dét  
   = 1(1 – 2) = – 1

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et dét = dét  
   = dét     = – 1(– 1 – 2) = 3,
la solution du système est :
 =
.
EXERCICE 6 (CHAPITRE 6 – III)
Déterminer l’inverse de la matrice M :
M =   
  .
En déduire la solution du système : MX = U où U = 
.
CORRECTION
Comme :
dét(M) = dét  
  ,
la matrice M est régulière donc inversible et l’on a :
= 
où  est la matrice adjointe de M (autrement dit la transposée de la matrice des
cofacteurs de M – voir pages 189-191 du manuel).
Comme :
C =
  ,