CHAPITRE 5 – DÉTERMINANT D’UNE MATRICE CARRÉE EXERCICE1 (CHAPITRE 6 – I)1 Soit les matrices : A= ( ), B = ( ), C = ( ) et , D = ( ). Quels liens existe-t-il entre | |, | |, | | et | | ? CORRECTION La fonction déterminant étant multilinéaire, on a : | |=| |=| ( ) ( | = 2| |. )| = 2| De même : | |=| | = |( ) ( )| | | | | | | La fonction déterminant étant alternée, on a : | |=| | | | |. | D’où : | | | | | | | | EXERCICE 2 (CHAPITRE 6 – I) Sans faire aucun calcul, donner le déterminant des matrices : ( ) et ( ). CORRECTION La fonction déterminant étant alternée, on a : Les numéros de chapitres et de sections indiqués en rouge renvoient aux chapitres et sections du manuel d’Introduction à l’algèbre linéaire d’Ozgür Gün et Sophie Jallais, référence sur l’epi). 1 1 | | | puisque | | | , et | | | ( | ) . EXERCICE 3 (CHAPITRE 6 – II) Calculer le déterminant des matrices suivantes : M1 = ( ), M2 = ( ). CORRECTION | | | ( | )( )( ) car (propriété VI-13, page 180 du manuel) le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit de ses termes diagonaux. | | | | | | | | , (ici, le déterminant de M2 est calculé par rapport à sa troisième colonne, le suivant étant calculé par rapport à la deuxième ligne de la matrice – voir propriété VI-11, page 176 du manuel). EXERCICE 4 (CHAPITRE 6 – II) Calculer le déterminant des matrices suivantes : A1 = ( A4 = ( ), A2 = ( ), A3 = ( ), A5 = ( 2 ), ), A6 = ( ), A7 = ( ) et A8 = ( ). Parmi ces matrices, lesquelles sont régulières ? CORRECTION | | | | | | | | | | | | | | | 2(2) – 1(3) = 1 (voir propriété VI-8, page 169 du manuel). ( ) )( )( ) ( | | ( ( )( . ) | . | ( | ) ) (voir propriété VI-12, page 178) . Pour calculer ce déterminant, on pouvait également utiliser la règle de Sarrus, entre autres (voir pages 172-173 du manuel). | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | . | | | . | | | | 3 ( . )| | | | | | | | | | | | | | . Une matrice est régulière si et seulement si son déterminant est non nul (voir propriété VI-15, page 181 du manuel). Les matrices A1, A2, A3, A4, A6 et A8 sont donc régulières. En revanche, les matrices A5 et A7 sont singulières. EXERCICE 5 (CHAPITRE 6 – III) Au moyen de la méthode de Cramer, résoudre le système : { . CORRECTION Le système : { peut également s’écrire AX = U, où A = ( ), X = ( )et U = ( ). Si l’on note C1, C2 et C3 les trois colonnes de A respectivement, la solution de ce système est (voir la règle de Cramer, pages 185-186 du manuel) : é ( ) é ( ) é ( ) x= , y = , et z = . é ( ) é ( ) é ( ) Comme : dét(A) = dét( ) = dét( ) = dét( dét( dét( ) = 2, ) = dét( ) = dét( ) = 1(1) = 1, ) = 1(1 – 2) = – 1 4 ) = dét( et dét( ) = dét( )= – 1(– 1 – 2) = 3, la solution du système est : ⁄ ( )= ⁄ . ⁄ ) ( EXERCICE 6 (CHAPITRE 6 – III) Déterminer l’inverse de la matrice M : M=( ). En déduire la solution du système : MX = U où U = ( ). CORRECTION Comme : dét(M) = dét( ( ) ) , la matrice M est régulière donc inversible et l’on a : =| | où est la matrice adjointe de M (autrement dit la transposée de la matrice des cofacteurs de M – voir pages 189-191 du manuel). Comme : C= ( | | | | | | | | | | | | | | |) | | | 5 ( ), on a : = ( La solution du système : MX = U où U = ( X= ) ( ). ) est donc : U=( )( 6 ) ( ). 7