Poly : éléments d`algèbre linéaire

CNAM fév. 2009
ALGEBRE LINEAIRE
Une initiation fondée sur la résolution des systèmes
d’équations linéaires.
Pr. Bernard LEMAIRE
Chaire de recherche opérationnelle
Ces notes de cours sont destinées aux élèves du CNAM qui n’ont pas suivi de cours d’algèbre linéaire et ignorent les
espaces vectoriels. Toutefois en programmation linéaire des notions de base seront indispensable : c’est l’objet de ce
polycopié qui se fonde sur les systèmes d’équations linéaire et introduit l’algèbre matricielle .
1
I.
LES SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES
1/ Le cas le plus familier
Il s’agit des systèmes de 2 équations à deux inconnues.
Trois cas sont possibles:
a) le système à une solution unique ;
b) il y a une infinité de solutions ;
c) il n’y a pas de solution,
x1  2x2  7
4x1  x2  10
Soit le système :

(1)
(2)
Onpeut le 
résoudre en tirant l’expression de x 1 de l’équation (1) : x 1 = 7 - 2x 2


puis en substituant x 1 par sa valeur dans l’équation (2) : 4(7 - 2x 2 ) - x 2 = 10,
soit 18 =9x 2 c’est-à-dire x 2 = 2 .



En reportant dans (1) il vient : x 1 + 4 = 7 soit x 1 = 3

 
 peut procéder
 aussi par combinaison linéaire et élimination d’une
 On
variable ; ainsi (1) + 2. (2)  9x 1 = 27  x 1 = 3 et en remontant à (1) :


3 + 2x 2 = 7  x 2 = 2

Géométriquement ce système revient à chercher le point d’intersection de la
 celle d’équation
 (2) :
droite d’équation (1) avec
 Le tracéde ces 2 droites montre que leur intersection est au point Q.
x
En Q on a : x 1 = 3 et x 2 = 2

Q

(d 1 )
x1

(d 2 )

1
Plus généralement soit le système ax 1 + bx 2 = h
2 
cx 1 + dx 2 = k
où a, b, c, d, h et k sont des nombres réels ; cherchons à le résoudre, par exemple
en éliminant la variable x 2 : on va multiplier chaque membre
de (1) par d



k
(où d supposé non nul ; sinon (2) donnerait : cx 1 = k, d’où x 1 =  si c  0).
c






 
2
On multiplie chaque membre de (2) par - b (supposé non nul, comme ci-dessus).
D’où : adx 1 + bdx 2 =hd et -bcx 1 bdx 2 = -bk. Ajoutons ces 2 équations membre à
membre ; il vient (ab-bc) x 1 = dh-bk : x 2 a été éliminée ; on en tire si ad-bc  0 :
dh  bk
 x1 
ad  bc


Pour obtenir x 2 , on peut éliminer x 1 en faisant la combinaison linéaire :
- cx (1) + ax (2), soit c ax1  bx 2   acx1  dx 2   ch  ak  d’où, si ad-bc0 :

ch  ak
x2 
ad  bc



.

 1ère conclusion :
solution unique.



si  = ad – bc est différent de 0, le système comporte une

Examinons maintenant le cas où ad - bc = 0 ; l’élimination de x 1 nous a donné
0. x 1 = dh - bk ; de deux choses l’une :
Soit dh - bk = 0 et la valeur de x 1 est indéterminée.
Soit dh - bk  0 : il y a contradiction avec 0.x 1 = dh - bk  0 le système est impossible (on dit

aussi « contradictoire »).
 :
 2ème conclusion
1
si
= ad - bc = 0 et dh - bk = 0 : le système est
 infinité de solutions ;
indéterminé : il comporte une
c
en fait la 2e équation s’obtient en multipliant la première par
( on suppose que a  0).
a
En effet :
c
c
bc
ch
d’où :
(1’)
cx1  . x 2 
ax1  bx 2   . h ,
a
a
a
a
bc
ch d
bk
or ad - bc = 0 et dh - bk = 0, d’où
.
 d et
 .h, mais h 
a
a b
d
L’équation (1’) devient cx 1 + dx 2 = 
k : on reconnaît l’équation (2) : En fait ce système ne


comporte qu’une seule équation pour 2 inconnues : il est indéterminé.

  = 0 et dh – bk 0 : le système est impossible,
2 Si


ch
ch dh
il ne comporte pas de solution. En effet (1’) donne cx 1 + dx 2 
mais

 k.
a
a
b
Ainsi on aurait à la fois : cx
1 +dx 2 = k et : cx 1 + dx 2  k : impossible.








3
Interprétation géométrique du cas ∆ = 0.

2 .1 Soit le système :
  4 x 2 – (-1) x (-8) = 0
4x 1 - x 2 = 10
-8x 1 + 2x 2 = -20
ème
En fait la 2 équation s’obtient à partir de la première en multipliant chaque membre par -2.
Ce « système » comporte donc en réalité une seule équation.


4x - x =10 et D
Les droites D 1 d’équation
d’équation
-8x 1 + 2x 2 = 20 sont donc
1
2
2


confondues : tout point de la droite est solution du système .

2 .2 Soit le système 4x 1 - x 2 = 10 (1)
 
-8x 1
+ 2x 2 = 12 (2)
En multipliant (1) par -2 il vient :



12 : contradiction.
-8x 1 + 2x 2 = -20 or 20 

-8x 1 + 2x 2 = -12 


En fait les deux droites D 1 et D 2 sont parallèles (et donc n’ont pas d’intersection) :

x2

(D 2 )


 (D )
1

x1

4
II.
NOTION DE MATRICE
a

Le système
se note « matriciellement »: 
cx1  dx 2  k

c
ax1  bx 2  h
Formats :
 h 
b x1 
 
  
 .     
 k 
d
 
x 2 

 
2x2
2x1
2x1


pour calculer le « produit matriciel » ci-dessus on multiplie la 1ère ligne de la « matrice »
a b
M = 
 , soit
c d

a,b , par
x1 
  .
x 2 

 x 
x1 
1
Par définition : a,b    = ax 1 + bx 2 ; donc a,b .   = h 
x 2 
x 2 
x  



   1  = cx 1 + dx 2 donnec, d
De même c, d
x 2 
x1 


= s , où x =  
x 2 
2x2 2x1 2x1
On écrit
Mx
 et
x1 
  = k .
x 2 
s=
h
 
k 
Pour que le produit de 2 matrices A et B soit possible, il y a une condition sur les formats :

Si A est de format l x m(comporte l lignes et m colonnes)
Et B est de format n x q (comporte n lignes et q colonnes) le produit A  B n’est possible que
si le nombre de colonnes de A (soit m) est égal au nombre de lignes de B (soit n) : m = n .
Exemple :
14

b b b b 
a11 a12 a13   11 12 13 14 
A . B = 
 . b21 b22 b23 b24 = C
a22 a23 a24  

b31 b32 b33 b34 

2 x 3 3 x 4.
c11 c12 c13 c14 
 .
c 21 c 22 c 23 c 24 
= 
2x4


Ce produit se calcule en
découpant, par la pensée, la matrice A par lignes et la matrice B par colonnes.
5
x
On a, par définition, c 11=

a 11
a 12
a 13
.
b 11
=
b 21

 

x
 
x

Soit : c 11= (a 11 x b 11) + (a 12 x b 21) + (a 13x b 31) .
b 31
 le produit terme à terme, des éléments de la ligne i
Plus généralement pour calculer c ij on fait
  
 
 
de A par ceux de la colonne j de B :
b1 j
c ij = c i1 c i2 … c im  


b
2 j = ai1 .bij  ai2 .b2 j  ... aim .bmj  .
b mj
m
 En
 abrégé
 : c= 
ij  a ik . bkj .
 k1
Par exemple : 
 2

1

Pour A = 
 et
1 1
1 1
1 0
B =   , on vérifie que C =A  B = 

1 2
0 1
NB : ici A  B = B  A = I ; mais si M et M’ sont deux matrices carrées de même format, on a
en général ; M.M’ ≠ M’.M : cf propriété 2



1 0
Propriété 1 Montrons que pour toute matrice carrée D de format 2x2, en notant I = 

0 1
, on a :
D  I = D et I  D = D

En effet : posons D = 

 

 

  1 0  
; on a : D  I = 
 . 
  
  D
   0 1   
Idem pour I  D = D



I est appelée « MATRICE UNITE » pour le produit , (ici des matrices de format 2 x 2), par
analogie avec la multiplication des nombres : pour tout nombre r, on a : r x 1 = 1 x r = r.
I est encore appelée « MATRICE IDENTITE ».
La matrice identité d’ordre n (de format nxn) a ses éléments diagonaux égaux à 1 et tous ses
autres éléments sont nuls.
6
Propriété 2 Le produit des matrices n’est pas commutatif:
En général on n’a pas A  B = B  A (mais pour des couples de matrices particuliers il peut y
avoir commutativité, comme au
1 et dans l’exemple) .
 1 0
3 1
Pour A’  
et B’   , Montrer que A’ . B’ ≠ B’ . A’
1 2
0 1
Propriété 3. Le produit de matrices (carrées ou pas) est « associatif », c’est-à-dire :
(A  B) C = A  (B  C), qu’on écrit alors : A  B  C, sans parenthésage.


Propriété 4 :
Notons qu’un produit de 2 matrices peut-être égal à la matrice nulle, sans qu’aucune de ces 2
matrices ne soit nulle :
(8 -2)
(1
A=(
) et B= (
(-12 3)
(4
2)
) le produit vaut :
8)
(0
(
(0
0)
) , c-à-d la matrice nulle .
0)
Rappelons que si x et y sont des nombres x.y = 0 entraîne x=0 ou/et y=0.
III.
NOTION DE DETERMINANT D’UNE MATRICE CARREE
a) cas d’une matrice 2x2
a b
Soit M = 
, par définition le « déterminant » de M, qu’on note  , vaut :  = ad – bc.
c d



 4 1
1 2
Exercice :calculer dét
et montrer que dét I = 1 .
, dét
4 1
8 2
Solution : 
1
2
4 1

  9.
4 1
 0.
8 2
1 0
0 1
1
.
Soit un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues, de matrice M :

 unique ssi (si 
* Ce système admet une solution
et seulement si) : dét M  0

Si dét M = 0, comme nous l’avons vu plus haut, le système est
7
soit indéterminé si
soit impossible si


h
b
k
d
h
b
k
d
 0,
0 .
a b

b) Cas d’une matrice 3 x 3 : soit M  d e

g h
a b
Par définition : dét M  d e
g h
c
e
f  +a .
h
i
f
i
-b.
c 

f 

i 
d
g
f
i
+c.
d e
g h
.
Soit : dét M = a. (ei - fh) – b.(di - fg) + c.
(dh - eg) = (aei
 + bfg + cdh) – (afh + bdi + ceg).

Définition :
e f 
La sous-matrice 
 est nommée « le mineur de a » (dans M) ; elle se déduit de M par
h i 
suppression de la 1ère ligne et de la 1ère colonne.
Dans la définition ci-dessus :
a, qui est en ligne 1, et en colonne 1, est multiplié par (-1) 11 = 1

b, qui est en ligne 1, et en colonne 2, est multiplié par (-1) 12 = -1
c, qui est en ligne 1, et en colonne 3, est multiplié par (-1) 13 = 1
Plus généralement, la « signature » d’un élémentde M en ligne i et en colonne j est par
définition : (-1) i  j

Dans la définition ci-dessus, on dit que l’on a : «développé le déterminant de M suivant la
première ligne ».

b c
b c
e f
 g.
.
 d.
h i
e f
h i
En effet : Dét M = a.(ei – fh) –d. (bi - hc) +g. (bf – ce) = (aei + cdh + bfg) – (afh +bdi + ceg).
Exercice : Montrer qu’on a aussi: dét M   a.

On dit dans ce cas « qu’on a développé
le déterminant de M suivant la première colonne ».



Remarque : la matrice identité pour le cas 3 x 3 est :
1 0 0


I  0 1 0; on vérifie que dét M = 1.

0 0 1


 Propriété (admise) :
On ne change pas la valeur d’un déterminant en ajoutant à une ligne quelconque une
combinaison linéaire d’autres lignes. De même en ajoutant à une colonne quelconque une
combinaison linéaire d’autres colonnes.
8

Régle de Sarrus
Pour calculer un déterminant ∆ d’ordre 3, on recopie au dessous de ∆ ses deux premières
lignes. (Cf figure en page suivante)
On calcule les trois produits (cf : les 3 parallèles à la diagonale principale) et on les ajoute :
aei + dhc + gbf.
On calcule les 3 produits suivants (cf : les 3 parallèles à l’autre diagonale) et on les soustrait :
- ceg - fha - ibd.
On vérifie aisément que :
∆ = (aei + cdh + bfg) - (ceg + afh + bdi).
Cette méthode de calcul est pratique si les coefficients a,b,…,i sont instanciés numériquement
(et encore davantage si certains coefficients sont nuls).
-ceg
a
b
c
d
e
f
g
h
i
a
b
c
-fha
d
e
f
+aei
+dhc
-ibd
+gbf
c) Cas d’une matrice m x m (m  4)
On définit le déterminant récursivement :
a11 a12

a21 a22
Ainsi si M = 
a31 a32

a41 a42
ligne :

dét M = 1
11

a13
a23
a33
a43
a14 


a24 
, on peut calculer dét M en développant suivant la 1ère
a34 

a44 
a22
a11 . a32
a23
a33
a24
a21 a23
12
a34 + (-1) a12 . a31 a33
a42
a43
a44

a41 a43
a24
a21 a22
13
a34 + (-1) a13 . a31 a32
a44
a41 a42
a24
a34
a44

9
 (-1)
14
a21 a22
a14 . a31 a32
a23
a33 .
a41 a42

a43
Ainsi le calcul de dét M se ramène au calcul de quatre déterminants d’ordre 3.

NB : dét M peut aussi se calculer en développant suivant la 1ère colonne
dét M = (-1) 11 a 11 . dét P 11 + (-1) 21 a 21 . dét P 21 + --- + (-1) m 1 a m1 . dét P m1 .
Mais dét M peut aussi se calculer suivant la ligne k :
m
kl
: dét
Soit
,
 M = 
 (-1) . a
kl . dét P
kl
où détP klest le « 
mineur » de a kl : c’est par
l1
définition le déterminant de la sous-matrice déduite de M en y supprimant la ligne k et la
colonne l. On nomme « cofacteur » de a kl , le déterminant C kl = (-1) k  l . dét P.
 




NB: dét M peut aussi se calculer en développant suivant la colonne h (où 1  h  m) :
m
dét
 M =

 P
(-1) h  j 
. a hj . dét
hj
j1
Remarque 1 : On en déduit que si une matrice M comporte une ligne
 (ou
 une colonne) de
zéros, alors son déterminant est nul :dét M = 0




Remarque 2 : il en résulte que le déterminant de la matrice M est égal au déterminant de sa
t
matrice transposée (notée le plus souvent M ou bien M), obtenue en échangeant les lignes
et les colonnes de M.
Rappel : pour m = 4, la transposée de M est :

a11
a12
a13
a14
a21
a22
a23
a24
a31
a32
a33
a34
a41
a42
= tM
a43
a44
.

Exercice 1 : prouver que dét I = 1, pour tout m.

1 4
Exercice 2 :calculer dét M pour M =
3 1
0 1 2 0
2 1 1 5
2 8 6 2
Indication : développer suivant la 2e ligne (pour profiter des deux éléments nuls) ;
réponse : dét M = 0 ; en effet :

4 3 1
1
3 1
dét M =(-1) 21 . a21 1
1
8 6

5 + (-1) 22 . a22 2 1
2
2 6

5
2
10
=0
=1
1 4 1
1 4 3
24
+ (1) . a23 2 1 5  (1) . a24 2 1 1 .
2 8 2
2 8 1
=2
=0
Il reste à calculer 2 déterminants : le mineur de a 22 et celui de a 23 (puisque a 21 0  a24 ).
Vérifier que dét P 22 et dét P 23 sont nuls ; dét M est donc la somme de quatre termes, dont

chacun est nul. D’où dét M = 0. (Ceci provient du fait que la quatrième ligne de M est égale
au produit de la première ligne, par -2).



 e) Théorème

: soit un système de m équations à m inconnues, de matrice M.
Ce système admet une solution unique ssi (si et seulement si) dét M  0.
On dit alors que c’est un « système de CRAMER » (du nom d’un mathématicien suisse du
18e siècle, un des fondateurs de la géométrique analytique).
23
( donc dét M  0), le système
a b
; on a vu plus haut que si ad – bc est  0
c d
ax1  bx 2  h (1)
admet pour solution :
cx1  dx 2  k (2)
Exemple : pour m = 2, on pose M =

h b
k d
a b
a h
dh  bk
ch  ak
c k
x 1 = 
=
et x 2 =
=
a b
ad  bc
ad  bc
c d
c d
Exercice : Vérifier en reportant ces valeurs dans (1) et (2).




Rappel : Géométriquement, cela signifie que la droite D 1 (d’équation (1)) et D 2 (d’équation
 dont les coordonnées x et x 
(2)) ont un point d’intersection
1
2 sont la solution unique du
système.
NB : On peut généraliser pour un système deCramer d’ordre m, la 
forme résultat ci-dessus.
 
Ainsi
pour m = 3 le système s’écrit:
a11
a12
Si  = a21 a22
a31 a32
a11x1  a12 x 2  a13 x 3  h1
(1)
a21x1  a22 x 2  a23 x 3  h2
a31x1  a32 x 2  a33 x 3  h3
(2)
(3)
a13


a23  0, ce système admet la solution unique :
a33

11
x 1
h1
h2
a12
a22
a13
a23
h3
a32

a33
,
x 2
a11 h1
a21 h2
a13
a23
a31 h3

a33
x 3
a11 a12
a21 a22
h1
h2
a31 a32

h3
Géométriquement cela signifie que les 3 plans d’équation, (2) et (3) se coupent en un point
dont les
x 1 , x 2 et x 3 sont la solution unique du système.
coordonnées



Et pour l’ordre m, on a : x j 
  
h1
sa colonne j par la colonne
:


dét M  j 
h2

, où la matrice M  j  se déduit de M en remplaçant
, dite « des seconds
membres ». Mais ces formules qui

hm
ont certes l’avantage de donner la solution générale, conduisent à de lourds calculs…
On leur préfère, pour résoudre un système linéaire des méthodes de calcul itératives (cf plus

bas).
Propriété (admise):
On ne change pas la valeur d’un déterminant si l’on ajoute à une colonne une combinaison
linéaire des autres colonnes (ou si l’on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres
lignes).
Exemple : Pour le calcul de dét M dans l’exercice précédent on peut multiplier la 2e colonne
par -2 et l’ajouter à la 3e colonne ; ainsi la seconde ligne de dét M comportera trois termes
nuls : en développant dét M (qui est d’ordre 4), suivant cette 2ème ligne on se ramène à celui
d’un déterminant d’ordre 3 :
1 4 5 1
1 4
3  (2 . 4)
1
0 1 0 0
0 1
2  (2 . 1)
0
dét M =
=
; ici a 22 1 et
2 1 1 5
2 1
1 (2 . 1)
5
2 8 10 2
2 8 6  (2 .  8) 2
a21  a23  a24  0


dét M = - a 21 dét P 21 + a 22 dét P 22 - a 23 dét P 23 + a 24 dét P 24 = a 22 dét P 22 = dét P 22


1
5 1
dét M = + dét P 22 = 2 1 5 .

 
 
 
 


2 10 2
Dans dét P 22 on ajoute 5 fois la colonne 1 à la colonne 2 et une fois la colonne 1
à la colonne
3.



12
1
0 0
Il vient : dét P 22 = 2 11 3 . On développe alors dét P 22 suivant la première ligne ;
2
0 0
9 3

P 22 = +1 .
= 0, soit dét M = 0.
 0 0


NB : Cette valeur nulle était prévisible ; en effet, si dans un déterminant une ligne est égale à
une combinaison linéaire des autres lignes (idem pour une colonne), alors on peut aisément

démontrer
que ce déterminant est nul. Ici la 4ème ligne de M se déduit de la 1ère en la


multipliant par
-2 : -2 x 1 4 3 1 = 2  8  6 2


Théorème : le déterminant d’un produit de matrices est égal au produit de leur déterminant :
dét (A . B) = (dét A) . (dét B)

: à vérifier pour A =

1 0
1 2
et B =

3 1
En effet, dét A = 2 et dét B = 3 ; dét A.B =

:
0 1
3
1
3
1
= 3 – (-3) = 6.


III.
Résolutions itératives d’un système de Cramer
Dans la solution générale d’un système de Cramer d’ordre n, les calculs, s’il sont menés
comme ci-dessus, se révèlent excessivement longs il faut calculer n déterminants, chacun
d’ordre n-1.
Quand les coefficients a ij sont instanciés par des valeurs numériques, les méthodes itératives
de Gauss ou de Gauss-Jordan sont beaucoup plus rapides (de complexité O (n 3 ) : elles sont
exposées ci-dessous :

 Méthode d’élimination de GAUSS

1 x1  2x2  3x3  9 (1) on a cerclé le « pivot » pour l’élimination de x 1 ,
2x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 13 (2) il vaut 1 : la division de (1) par le pivot ne change donc pas
1.x 1 + 5x 2 + 7x 3 = 18 (3) la 1ère équation :
(1’)  (1) ici.
9  2x 2  3x 3
que l’on reporte
dans (2) et
 On tire de (1) l’expression de x 1, soit x 1 =

1
 dans(3). 
pivot


 
(I)
Ceci est équivalent à 
diviser chaque
membre de (1) par a 11 (ici = 1), qui est le coefficient


« PIVOT » de cette itération ; on obtient
(1’) : x 12x2  3x3  9 . Puis à annuler les
coefficients de x 1 dans (2) et (3), en faisant une combinaison linéaire :
(2’) = (2) – 2x (1’) (car a 21 2) et (3’) = (3) – 1x (1’) (car a 31 = 1). Il vient :

 (2’) et (3’) forment alors un système de 2
(I’) 1 . x 12 . x 2 + 3 . x 3 = 9
(1’)



13



- 1 . x 2 - 2 . x 3 = -5
3 . x2 + 4 . x3 = 9
(2’)
(3’)
équations à 2 inconnues.
Passons à l’élimination de x 2 dans ce sous-système : on divise chaque membre de (2’) par le
donne (2’’). Puis on calcule (3’) + 2 x (2’), ce qui équivaut à
pivot (-1), ce qui
 qui donne (3’’) :
(3’) - 3 x(2’’), ce
(I’’)
x 2 + 2 x 3 =5
(2’’)
-2 x 3 = - 6 (3’’)
Dans (3’’) la division par le pivot -2 fournit x 3 = 3
On remonte alors à (2’)  x 2 = -1
Puis on remonte à (1) 
x1 = 2
;
 on trouverait
 NB : Pour
 un système qui ne serait pas de Cramer,
 lors d’une des éliminations

 nul : on arrêterait alors la résolution.
un pivot


 Méthode d’élimination de GAUSS-JORDAN
-
(I)
La première itération est identique à celle de GAUSS, on élimine x 1 :
1 x1  2x 2  3x 3 = 9
2x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 13
1.x 1 + 5x 2 + 7x 3 = 18
(1)
(2)
(3)


1 x 12 x 2 + 3 x 3 = 9
(1’)
- 1 x 2 - 2 x 3 = -5
(2’)
3 x2 + 4 x3 = 9
(3’)
(I’)










Pour
la
seconde
itération,
à
l’aide
de
(2’),




 on élimine x 2 dans (3’) mais aussi
dans (1’) ;
le pivot vaut -1 : On divise chaque membre de (2’) par ce pivot, ce qui donne (2’’) :

Elimination
de x 2 :
(I)’’
x1
x3
= -1
(1’’)
Elimination
x2 +2 x3
-2 x 3
= 5
= -6
(2’’)
(3’’)
de x 3 :
+
x1
=
x2
x3
2
= -1
=3


 la 3ème itération le pivot vaut-2 ; on élimine x dans (2’’) et (3’’).
- Pour
3
 donc 

On obtient
x 1 = 2, x 2 = -1, x 3 = 3 sans 
avoir à effectuer
une « remontée ».






NB : La méthode de GAUSS-JORDAN pour la résolution de systèmes m équations linéaires à
m inconnues est un peu moins rapide que celle de GAUSS. Mais nous verrons ultérieurement
que la méthode de GAUSS-JORDAN est la plus efficace dans le calcul de l’inverse d’une
matrice. Cependant les deux méthodes sont en O (m 3 ).
Élimination de Gauss et décomposition M  L. U


14

Soit M une matrice inversible (dét M  0 ) de taille m x m, M admet une
décomposition de la forme M  L. U où L est une matrice triangulaire inférieure et U une
matrice triangulaire supérieure.
x  s équivaut à résoudre
Dans ce cas, résoudre le système
de Cramer M. 



LU. x  s ce qui
 peut s’écrire LU. x   s.
s
On pose alors y  U. x, on résout facilement 
le système triangulaire L. y  s : y1  1 .
L1,1
On substitue alors la valeur
 de y1 dans la deuxième ligne pour avoir y2 et ainsi de suite, par
descente de y1 à y m .
Une 
fois calculé le vecteur y , il faut encore résoudre U. x y . Encore une fois, cette

y
résolution est simple
car le système est triangulaire supérieur.
 On a donc x m  m et on
Um,m
 
calcule successivement les autres valeurs parremontée de x m à x1.



Exemple :
 2 1 0


1 2 1 =
 0 1 2


 1
0
0 2 1
0 

 

1
0. 0 3/2 1 
1/2

 

2 /3 1 0 0 4 /3
 0
M

y1

 1
 y1
 2






L
U
2x
 x2
 1
 1


 2x 2  
x 3  3, il s'écrit L.U.x  s.
Soit le système 
x1

x 2
2x 3  7


On pose y  U. x. On résout le système L. U. x  s.

y1 
1
 1




5

y 2
 3  y 2 
2

2

5
16
 y2  y3  7
y3  7  

3

3
3
On doit maintenant résoudre U. x  y.

 1
2x1  x 2
x  1


 1

3
5

x2  x3  
 x 2  1

2
2


4
16

x 3  4
x

3


3
3

15
Exercice : Présenter l’élimination de GAUSS sous la forme M = L . U où L est une matrice
triangulaire inférieure et L, une matrice triangulaire supérieure ; (en anglais : L pour « lower »
et U pour « upper »).
IV.
INVERSE D’UNE MATRICE

Etant donnée une matrice M (de format m x m) dont le déterminant (dét M) n’est pas nul, on
montre qu’il existe une seule matrice, notée M 1 telle que :
M . M 1 = I = M 1 . M
x
h
1


M s’appelle « l’inverse » de M. 
x1 
h1 


 
 
x 2 
h2

Cela revient à dire que le système d’équations : M .
=   , soit M . x = h ,
 
 


 
 
x m 
h m 
a une solution et une seule : c’est un système de Cramer. M est alors dite « régulière » ou
« inversible »
a b
 Cas m = 2 : inverse d’une matrice
M= 

 telle que dét  0.
c d
Le déterminant de M vaut : ad - bc. On a :
M 1 =
1 d  b 



c a
ad  bc 


1 0
On vérifie que M 1 . M = M .M 1 = 
= I
 0 1
Ainsi M 1 s’obtient facilement : il suffit de transposer les 2 éléments de la diagonale
principale et de laisser à leur place les 2 autres éléments, mais de les multiplier par -1, puis de
 chacun des 4éléments par ∆ = ad – bc.
les diviser




3 1
1 1 1 12 12
1
Exemple : M = 
;
dét
M
=
3
x
1
–
(-1)
x
(-1)
=
2
;
d’où
M
=
;


  1
3 
2 1 3 
1 1 
 2
2



1
notons que dét M 1 = 1 . 3  1 . 1  ; on vérifie ainsi que dét M.dét M 1 = dét I = 1 :
2 2
2 2 2

1
Remarque
 :On a appris que : dét (A . B) = dét A . dét B . Ici enprenant A = M et B = M , il
vient : dét M . dét M 1 = dét I = 1. Autrement dit : dét M 1 est égal à l’inverse de dét M :



dét M 1 = 1 dét M



1
 Conséquence : si l’on connaît l’inverse M d’une matrice M,
(donc : dét M  0), alors le système
 deCRAMER de m équations à m inconnues : M . x = h
admet pour solution unique :

x = M 1 . h

16
En effet : soit M . x = h ; multiplions chaque membre à gauche par M 1 ; il vient :
M 1 . (M . x) = M 1 . h.
Puisque le produit de matrices est associatif, on a :
(M 1 . M) . x = (M 1 . h

Or M 1 .M = I et I . x = x ; d’où : x = M 1 . h


 Exemple :
3x 1x 2  5,


-x 1x2 1

3 1
donc M= 
, dét M = 2 ( 0) : ce système est de Cramer.
1 1 
1
On sait que M 1   2
1


 2




1 
2 ;d’où :
3 
2
x1 
  
x 2 
1
 2
1

 2
1  5

2.    x1  3
3  1
x 2  4
2
.

Comment calculer numériquement l’inverse
d’une

matrice ?
 - Cas m = 2 : trivial

a b
En effet si M = 
 et ad - bc  0 on vient de voir que :
c d
 d
b 


1 d b
M 1  ad  bc ad  bc 
.


c
a
c
a
ad

bc





ad  bc ad  bc 
NB : C’est le seul cas où l’on peut donner une expression lisible littérale d’une matrice
inverse. Pour m = 3 l’expression littérale de M 1 est trop lourde.

- Cas m  3 :
Dès que M est de format m x m avec m  3, on abandonne l’idée d’obtenir une formule simple
1
exprimant M 1 littéralement. On calcule
 alors M numériquement par un algorithme itératif :
nous allons voir comment
on peut calculer l’inverse d’une matrice, par la méthode

d’élimination de GAUSS-JORDAN
:

1 2 3
x 
y1 

 1 


 
Soit la matrice M= 2 3 4. Soit x= x 2  et y = y 2  . (vérifier que dét M = 2, donc  0).



1 5 7

x 3 

y 3 

Nous associons à M le système littéral M . x = y, qui exprime y 1, y2 et y 3 en fonction de
x 1, x2, x3 . Inversement, cherchons à exprimer x 1, x2 et x 3 en fonction de y 1, y2, y3 en supposant
que M est 
régulière (c’est-à-dire
 dét M 0 ; c’est le cas ici puisque dét M = 2 pour notre
exemple) ; pour ce faire, multiplions M . x = y à gauche par M 1 : il vient x = M 1 . y ;


puisque y est un vecteur littéral (nous n’avons pas instancié y 1, y2 et y 3 ), ce système permet



d’obtenir M 1 .


Exemple :
1 x 1  2x2 3x3  y1
(1) on commence par éliminer x 1 dans (2)


élimination
(2) et dans (3) ; pour cela on calcule
2x1  3x2  4x3  y2

de x 1
(3) (2’)= (2) – 2x(1) et (3’) = (3) -1x(1)
x1  5x2  7x3  y3

(on a profité du fait que le pivot vaut 1).
 





17
x1  2x2  3 x3  y1
1x2  2 x3  2y1  y2
3x 2  4 x3  y1   y 3
Elimination
de x 2




x 3  3y1  2y 2
 x2  2 x3
Elimination
de x 3

 

x1 
 

2

 2y1
 y2
(1’)
(2’)
(3’)
(1’’)
(2’’)
x3  7y1  3y2  y3 (3’’)
Pour éliminer x 2 , oncommence par diviser (2’) par le pivot -1 : ce qui donne (2’’). Puis on
élimine x 2 dans (1) et(3’’) :
on calcule (1’’) = (1) + 2 x (2’) et (3’’) = (3’) + 3 x (2’).

Enfin
on divise (3’’) par le pivot -2, ce qui donne (3’’’) ; puis on élimine x 3 dans (1’’) et (2’’)

en calculant :
1
(1’’’) = (1’’)  3'' et (2’’’) = (2’’) + 1 x (3’’).
2

Finalement on obtient :



1
1
1
x1  y1  y 2  y 3
2
2
2
x2  5y1  2y2  y3
7
3
x 3  y1  y 2  12 y 3
2
2
(1’’’)
(2’’’)
(3’’’)
1
1
1 
2
2 
 2
5
2
1
Ce dernier système
s’écrit
matriciellement
:
x
=

 . y c’est-à-dire :

7
3
1 
 2
2
2 
 1
1 1
1 

x = M 1 . y . D’où M 1 = 10 4 2 .
2 

 1
 7 3
1 0 0


1
 Nous laissons 
au lecteur de vérifier numériquement que : M . M = 0 1 0 = I



0 0 1
(C’est rapide, et plus prudent !)

Remarque : Supposons que l’on applique la méthode de GAUSS-JORDAN à une matrice M’
non régulière (dét M’ = 0). Pour cela il suffit qu’une ligne 
de M’, soit une combinaison
linéaire des autres lignes.
Exemple :


 
1 x1 + 2 x2 + 3 x3  y1
2 x1 + 3 x2 + 4 x3  y2


 
 
(1)
(2)
On vérifie que les coefficients de la 3ème
ligne sont le résultat de la combinaison
18
4 x1 + 7 x2 + 10 x3  y3
(3)
linéaire : 2 x (1) + 1 x (2) = (3).
Commençons l’application de la méthode de GAUSS-JORDAN : Dans (1) le pivot vaut 1, on
élimine x 1 .



1x7  2 x2 + 3x3 
y1
1 x2  2x3  2y1  y2
- x  2x 3  4 y1  +y 3
D’où :
2
  

Puis éliminons x 2 ; le pivot est à nouveau égal à 1:


(1’)
(2’)
(3’)

+x 3  3y1  2y2
x 2  2 x 3  2y1  y 2
0x 3  2y1  y 2  y 3
Le pivot
x 3 : Fin
 alors vaut 0 : il est impossible d’exprimer


x1

Conclusion : Si l’on applique l’élimination de GAUSS-JORDAN à une matrice non régulière

(dét M = 0) alors lors M 1 n’existe pas : lors d’une itération, le pivot sera nul (et l’on arrête

donc la procédure).
Théorème : On peut montrer, que pour M quelconque, le produit des pivots dans l’élimination

est égal au déterminant de M.
Ainsi, dans l’exemple de la page précédente, les pivots successifs valaient : 1, puis -1, puis -2
1 x (-1) x (-2) = 2. On retrouve bien le déterminant de M ; tandis que ci-dessus on a :
dét M’ = 1 x (-1) x 0 = 0.
Le théorème est vrai aussi pour l’élimination de GAUSS.
NB : Avec le théorème ci-dessus, on peut donc, pour calculer le déterminant d’une matrice A,
de format m x m, effectuer une élimination de GAUSS-JORDAN en notant à chaque itération
la valeur du pivot . Le produit de ces pivots nous donne la valeur du déterminant.
La complexité de cette méthode de calcul d’un déterminant est 0 (m 3 ).
On peut aussi calculer l’inverse d’une matrice A régulière, par l’élimination de

GAUSS-JORDAN, mais sans employer de seconds membres (qui plus haut de plus des
littéraux).
1 2 3


Soit A = 2 3 4;

1 5 7

on écrit à droite de A la matrice d’identité I, ici de format 3x3 :

19
T (0) :
x1
1
2
1
x2
2
3
5
x3
3
4
7
t1
1
0
0
t2
0
1
0

Matriciellement ce tableau T


t3
0
0
1
(0)
I
x1 
t1 
 
 
s’écrit A . x + I . t où x  x 2  et t  t 2 .



x 3 

t 3 

Eliminons x 1 : il vient le tableau T 1 :

T 1 :
1
2
3
0 1 2
0 3 4


1 0 0

2 1 0
1 0 1



Puis éliminons x 2 : il vient le tableau T 2 (rappel : à chaque itération on divise la ligne du
pivot par le pivot, égal ici à -1)
T 2 

1 0 1
0 1 2
0 0 2


2 1 0
7 3 1
Enfin éliminons x 3 : il vient T 3 ; le pivot est égal à -2


1 0 0

3 
T : 0 1 0
0 0 1

3 2 0
1
1
1
2
2
2
5
2
1
7
3
1
2
2
2
T 3 peut s’écrire I . x + B . t : pour obtenir T 3 on peut donc multiplier T ( 0 ) = A . x + I . t, à
par A 1 et identifier le résultat :
 gauche
1
( 0 )  1
A . T = A . A . x + A 1 t = I . x + A 1 . t d’où : I . x + B . t = T 3.
On a donc B = A 1 , soit numériquement

 :







20
A 1 =
1
1
1 
2
2
 2
5
2
1

.
7
3
1 
 2
2
2

Exercice
1
: Montrer qu’on passe de T 0 à T 1 , en multipliant T 0 à gauche par la matrice
 1


  1 0 0
dite « d’élimination de Gauss-Jordan » : E 1 , où E 1 = 2 1 1 0,
 



1 1 0 1
 



en notant  1 le premier pivot : ici  1 =1. Autrement dit : T 1 = E 1 . T 0.

NB : la matrice E 1 diffère de la matrice I, par une seule colonne ; ici le pivot  1 est dans la

première ligne de T 0 : c’est alors la première colonne de E 1 qui ne sera pas « unitaire »
suit :
(c’est-à-dire comme dans
 I) : cette colonne est constituée

 comme

Sur la diagonale
on a : 1
= 1 1 ; les autres éléments de cettecolonne de E 1 sont

pivot

 par -1 et en les divisant par
déduits de 
la 1ère colonne de T 0 en multipliant chacun
 1 (ici =1).

1 2 0




2
2
2 
1
2 
Exercice 2 : Montrer
 qu’on a : T  E . T où E = 0 1 0, car   1.

0 3 1

1 0 1 
2
 E 3 = 0 1 1 , car  3  2.
Exercice 3 : Puis que : 
T 3 =E 3
. T 2 où



 0 0 1 

2

 : dét
 A = 
Exercice 4 : Vérifier
que
2 ; on rappelle que : détA =  1 .  2 .  3.
Remarque :

T 3 = E 3 . E 2 . E 1 . T 0 entraîne ; A 1  E 3. E 2 . E 1
soit T 3 = A 1 . T 0
  
Vérifiez le numériquement
  

 
 



linéaire dans la « méthode révisée du simplexe » on utilise cette
NB : En programmation
« forme produit » de l’inverse.
Complément sur l’inverse d’une matrice
On peut donner l’expression générale de l’inverse M 1 d’une matrice M (littérale), mais elle
n’est guère opérationnelle…
Rappelons que le mineur P ij de l’élément a
ij d’une matrice M (m x m) s’obtient en
supprimant la ligne i et la colonne j dans la matrice de M.
Le « cofacteur C ij » de l’élément a ij est le produit du déterminant du mineur P ij par « sa
signature », qui est
(-1) .i  j . Soit C ij = (-1) i  j . dét P ij
par définition:







21
Théorème : l’inverse d’une matrice M de déterminant  non nul, est :
M
1

matrice
1  
=  transposée


 descofacteurs







Application :
C11 C21 C31
1


Pour = 3, il vient : M 1 = C12 C22 C32


C13 C23 C33

1 2 3



Numériquement pour
 M = 2 3 4 , il vient :

1 5 7


M 1 
1
1 2
2 3
1 5
 3


 5
 2
. 
3  1
4  2

7 
 1
4
7

2 3
5 7
4
7

1 3
1 7
3
5

1 2
1 5
2 3 

3 4 
 1
1
1
1 
1 1
2
2 

 2
1 3 
1 
 

10
4
2

5
2
1




2 4 
2 



7
3
1
 2
 7 3 1
2
2 
1 2 


2 3 


Cette façon de calculer M 1 est donc à la rigueur, utilisable pour n = 3. Mais elle est
déconseillée pour n  4 ; ici le calcul de l’inverse d’une matrice n x n conduit au calcul d’un
déterminant d’ordre n (c’est pour  = dét M) et de n 2 déterminants d’ordre n – 1 (les n 2
cofacteurs)… On
préfère alors utiliser des méthodes itératives.

 transposée des cofacteurs pour M est égale à la matrice des cofacteurs de la
NB, la matrice



matrice transposée t M :

1 2 1


t
M = 2 3 5 . Ne pas oublier que dét M = dét t M :

3 4 7




22
1 2 3
1 2 1
2 3 4  2 3 5 ( 2)
1 5 7
3 4 7
On a donc aussi :

M 1 

1
1 2
2 3
3 4
 3

 4
 2
. 
1  4
5  2

7 
 3
5
7

2 5
3 7
1
7

1 1
3 7
1
5

1 1
2 5
2 3 

3 4 
 1
1
1
1 
1 1

2
2
2 



1 2
1
 

2
1 
10 4 2  5
3 4 
2 

7
3
1 
 2
 7 3 1

2
2 
1 2


2 3 


Ainsi pour calculer M 1 on peut commencer par transposer M, pour obtenir t M, et dresser la
matrice des cofacteurs de t M .



Exercice de Réflexion/Compréhension sur la programmation linéaire
1. Une variable d’écart mesure une « distance » entre la solution courante et
la contrainte associée ........................................................................... .........Vrai ou Faux ?
2. Une variable artificielle mesure une « distance » entre le point courant et
la contrainte associée ...................................................................................Vrai ou Faux ?
3. Une variable duale, associée à une contrainte dans le primal, est nulle lorsque
cette contrainte est saturée …………………………………………….…….Vrai ou Faux ?
4. Une variable duale associée à une contrainte dans le primal, est nulle lorsque cette
contrainte est non saturée ……………………………………………….Vrai ou Faux ?
5. Le nombre de variables formant une Base d’un programme linéaire est égale :
a. au nombre de variables dans le problème sous forme canonique……………….
……………………………………………………………………Vrai ou Faux ?
b. au nombre de contraintes dans le problème sous forme canonique……………..
……………………………………………………………………Vrai ou Faux ?
c. à la différence entre le nombre de contraintes et le nombre de variables
dans le problème sous forme standard F.S. (ou « canonique »)….….Vrai ou Faux ?
6. toutes les variables d’une base sont toujours non nulles ?........................Vrai ou Faux ?
7. En un sommet, toutes les variables « hors base » sont toujours nulles ?..Vrai ou Faux ?
23
8. Une variable « hors base » ne peut jamais rentrer dans la base ?.............Vrai ou Faux ?
9. Lorsque l’on cherche à faire entrer une variable dans une base, cela revient à :
a. calculer un pas de déplacement….................................................Vrai ou Faux ?
b. déterminer une direction de déplacement......................................Vrai ou Faux ?
c. calculer un pas et déterminer une direction de déplacement.........Vrai ou Faux ?
d. calculer un nouveau sommet….....................................................Vrai ou Faux ?
10. Lorsque l’on cherche à faire sortir une variable dans la base, cela revient à :
a. calculer un pas de déplacement….................................................Vrai ou Faux ?
b. déterminer une direction de déplacement......................................Vrai ou Faux ?
c. calculer un pas et déterminer une direction de déplacement.........Vrai ou Faux ?
d. calculez un nouveau sommet ........................................................Vrai ou Faux ?
Lorsque la fonction économique d’un PL est à minimiser (au lieu de maximiser) le 1 er
critère de Dantzig est modifié ?....…………………………………………………….Vrai ou Faux ?
12. Lorsque la fonction économique d’un PL est à minimiser (au lieu de maximiser) le
2ème critère de Dantzig est-il modifié ?......................................................Vrai ou Faux ?
11.
24