Poly : éléments d`algèbre linéaire

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CNAM fév. 2009
ALGEBRE LINEAIRE
Une initiation fondée sur la résolution des systèmes
d’équations linéaires.
Pr. Bernard LEMAIRE
Chaire de recherche opérationnelle
Ces notes de cours sont destinées aux élèves du CNAM qui n’ont pas suivi de cours d’algèbre linéaire et ignorent les
espaces vectoriels. Toutefois en programmation linéaire des notions de base seront indispensable : c’est l’objet de ce
polycopié qui se fonde sur les systèmes d’équations linéaire et introduit l’algèbre matricielle .

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I.
LES SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES
1/ Le cas le plus familier
Il s’agit des systèmes de 2 équations à deux inconnues.
Trois cas sont possibles:
a) le système à une solution unique ;
b) il y a une infinité de solutions ;
c) il n’y a pas de solution,
Soit le système :
x12x27
(1)
4x1
x2
10
(2)
 On peut le résoudre en tirant l’expression de x
1
de l’équation (1) : x
1
= 7 - 2x
2
puis en substituant x
1
par sa valeur dans l’équation (2) : 4(7 - 2x
2
) - x
2
= 10,
soit 18 =9x
2
c’est-à-dire x
2
= 2 .
En reportant dans (1) il vient : x
1
+ 4 = 7 soit x
1
= 3
 On peut procéder aussi par combinaison linéaire et élimination d’une
variable ; ainsi (1) + 2. (2)  9x
1
= 27  x
1
= 3 et en remontant à (1) :
3 + 2x
2
= 7  x
2
= 2
 Géométriquement ce système revient à chercher le point d’intersection de la
droite d’équation (1) avec celle d’équation (2) :
Le tracé de ces 2 droites montre que leur intersection est au point Q.
x
Q
(d
1
)
x
1
(d
2
)
 Plus généralement soit le système ax
1
+ bx
2
= h
1
cx
1
+ dx
2
= k
2
où a, b, c, d, h et k sont des nombres réels ; cherchons à le résoudre, par exemple
en éliminant la variable x
2
: on va multiplier chaque membre de (1) par d
(où d supposé non nul ; sinon (2) donnerait : cx
1
= k, d’où x
1
=
kc
si c  0).
En Q on a : x
1
= 3 et x
2
= 2

3
On multiplie chaque membre de (2) par - b (supposé non nul, comme ci-dessus).
D’où : adx
1
+ bdx
2
=hd et -bcx
1
bdx
2
= -bk. Ajoutons ces 2 équations membre à
membre ; il vient (ab-bc) x
1
= dh-bk : x
2
a été éliminée ; on en tire si ad-bc  0 :
x1dh bk
ad bc
.
Pour obtenir x
2
, on peut éliminer x
1
en faisant la combinaison linéaire :
- cx (1) + ax (2), soit
cax1bx2
 acx1dx2   ch ak
d’où, si ad-bc0 :
x2ch ak
ad bc
 1ère conclusion : si  = ad – bc est différent de 0, le système comporte une
solution unique.
Examinons maintenant le cas où ad - bc = 0 ; l’élimination de x
1
nous a donné
0. x
1
= dh - bk ; de deux choses l’une :
Soit dh - bk = 0 et la valeur de x
1
est indéterminée.
Soit dh - bk  0 : il y a contradiction avec 0.x
1
= dh - bk  0 le système est impossible (on dit
aussi « contradictoire »).
 2ème conclusion : 1 si = ad - bc = 0 et dh - bk = 0 : le système est
indéterminé : il comporte une infinité de solutions ;
en fait la 2e équation s’obtient en multipliant la première par
c
a
( on suppose que a  0).
En effet :
c
aax1bx2
 c
a
. h , d’où :
cx1bc
a
. x
2
ch
a
(1’)
or ad - bc = 0 et dh - bk = 0, d’où
bc
ad
et
ch
ad b
.h, mais h
bk
d
.
L’équation (1’) devient cx
1
+ dx
2
= k : on reconnaît l’équation (2) : En fait ce système ne
comporte qu’une seule équation pour 2 inconnues : il est indéterminé.
2 Si
= 0 et dh – bk  0 : le système est impossible,
il ne comporte pas de solution. En effet (1’) donne cx
1
+ dx
2
ch
a
mais
ch
adh bk
.
Ainsi on aurait à la fois : cx
1
+dx
2
= k et : cx
1
+ dx
2
 k : impossible.

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Interprétation géométrique du cas ∆ = 0.
 2 .1 Soit le système :
4x
1
- x
2
= 10
4
x 2 – (-1) x (-8) = 0
-8x
1
+ 2x
2
= -20
En fait la 2ème équation s’obtient à partir de la première en multipliant chaque membre par -2.
Ce « système » comporte donc en réalité une seule équation.
Les droites D
1
d’équation 4x
1
- x
2
=10 et D
2
d’équation -8x
1
+ 2x
2
= 20 sont donc
confondues : tout point de la droite est solution du système .
 2 .2 Soit le système 4x
1
- x
2
= 10 (1)
-8x
1
+ 2x
2
= 12 (2)
En multipliant (1) par -2 il vient :
-8x
1
+ 2x
2
= -20 or 20  12 : contradiction.
-8x
1
+ 2x
2
= -12
En fait les deux droites D
1
et D
2
sont parallèles (et donc n’ont pas d’intersection) :
x
2
(D
2
) (D
1
)
x
1

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II.
NOTION DE MATRICE
Le système
ax1bx2h
cx1dx2k
se note « matriciellement »:
a b
c d
.
x1
x2
h
k
Formats : 2x2 2x1 2x1
pour calculer le « produit matriciel » ci-dessus on multiplie la 1ère ligne de la « matrice »
M =
a b
c d
, soit
a,b
, par
x1
x2
.
Par définition :
a,b
x1
x2
= ax
1
+ bx
2
; donc
a,b
.
x1
x2
=
h
De même c, d 
x1
x2
= cx
1
+ dx
2
donnec, d 
x1
x2
= k .
On écrit M  x = s , où x =
x1
x2
et s =
h
k
2x2 2x1 2x1
Pour que le produit de 2 matrices A et B soit possible, il y a une condition sur les formats :
Si A est de format l x m (comporte l lignes et m colonnes)
Et B est de format n x q (comporte n lignes et q colonnes) le produit A  B n’est possible que
si le nombre de colonnes de A (soit m) est égal au nombre de lignes de B (soit n) : m = n .
Exemple :
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A . B =
a11 a12 a13
a22 a23 a24
.
b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
b31 b32 b33 b34
= C =
c11 c12 c13 c14
c21 c22 c23 c24
.
2 x 3 3 x 4. 2 x 4
Ce produit se calcule en découpant, par la pensée, la matrice A par lignes et la matrice B par colonnes.