Questionnaire d`examen - Hiv 11

ELE1300 – Hiver 2017 - Examen intra 1/10
Question 1 – Algèbre de Boole – (2 points)
En utilisant les postulats/axiomes de Commutativité, Associativité, Distributivité, Élément
neutre et Complémentarité, prouver les théorèmes de base de l’absorption, soit :
A + A*B = A
A * (A + B) = A
Il existe plusieurs façons de procéder. En voici trois (exhaustive). Si des théorèmes sont
utilisés sans les prouver, il faut idéalement les nommer.
A + A*B = A (0.8 + 0.2)
Transformations/Manipulations
Postulats/Axiomes (et non des théorèmes)
A + A*B =
A*1 + A*B =
A*(B + B’) + A*B =
A*(B + B’ + B) =
A*(B + B + B’) =
A*(B + B’) =
A*(1) =
A
Élément neutre
Complémentarité
Distributivité de * sur +
Commutativité
Théorème idempotent (voir plus bas)
Complémentarité
Élément neutre
A + A*B =
A*1 + A*B =
A * (1 + B) =
A * (B’ + B + B) =
A * (B’ + B) =
A * (1) =
A
Élément neutre
Distributivité de * sur +
Complémentarité
Théorème idempotent (voir plus bas)
Complémentarité
Élément neutre
A + A*B =
A*1 + A*B =
A*(1 + B) =
A*(1) =
A
Élément neutre
Distributivité de * sur +
Théorème “élément nul” (voir plus bas)
Élément neutre
Preuves des théorèmes « idempotent, et, élément nul » utilisés ci-haut
B + B = B ?
B*1 + B*1 =
B*(1+1) =
B*(1) =
B
Théorème Idempotent
Élément neutre
Distributivité
Postulat P6
Élément neutre
(1 + B) = 1 ?
1 * (1 + B) =
(B’ + B) * (1 + B) =
(B’ * 1) + B =
B’ + B =
1
Théorème élément nul
Élément neutre
Complémentarité
Distributivité de + sur *
Élément neutre
Complémentarité

ELE1300 – Hiver 2017 - Examen intra 2/10
A * (A + B) = A (0.8 + 0.2)
- Généraliser la preuve de « A + (A*B) = A » en exploitant le principe de dualité de
l’algèbre de Boole (remplacer les * par +, et les + par *), ou,
- Distribuer A, (on obtient A*A + A*B = A), appliquer le théorème Idempotent (on
obtient A + A*B = A), on utilise la preuve obtenue ci-haut, ou,
- Partir du début…
Transformations/Manipulations
Postulats/Axiomes (et non des théorèmes)
A * (A + B) =
(A + 0) * (A + B) =
(A + (B * B’)) * (A + B) =
A + (B * B’ * B) =
A + (B * B * B’) =
A + (B * B’) =
A + (0) =
A
Élément neutre
Complémentarité
Distributivité de + sur *
Commutativité
Théorème idempotent
Complémentarité
Élément neutre
A * (A + B) =
(A + 0) * (A + B) =
A + (0 * B) =
A + (B’ * B * B) =
A + (B’ * B) =
A + 0 =
A
Élément neutre
Distributivité de + sur *
Complémentarité
Théorème idempotent (voir plus bas)
Complémentarité
Élément neutre
A * (A + B) =
(A + 0) * (A + B) =
A + (0 * B) =
A + (0) =
A
Élément neutre
Distributivité de + sur *
Théorème “élément nul” (voir plus bas)
Élément neutre
Preuves des théorèmes « idempotent, et, élément nul » utilisés ci-haut
B * B = B ?
(B+0) * (B+0) =
B + (0 * 0) =
B + (0) =
B
Théorème idempotent
Élément neutre
Distributivité
Postulat P6
Élément neutre
(0 * B) = 0 ?
0 + (0 * B) =
(B’ * B) + (0 * B) =
(B’ + 0) * B=
B’ * B =
0
Théorème élément nul
Élément neutre
Complémentarité
Distributivité de + sur *
Élément neutre
Complémentarité

ELE1300 – Hiver 2017 - Examen intra 3/10
Question 2 – Logique mixte – (1 point)
Vous disposez de deux entrées A et B et voulez faire la fonction F = A * B’
La variable A est en logique positive (une tension haute équivaut à un « 0 » logique, et la
variable B est en logique négative (une tension basse équivaut à un « 1 » logique. La
sortie F doit être exprimée en logique négative.
Dessinez le circuit nécessaire (une seule porte logique est nécessaire).
Question 3 – Synthèse de circuits de base – (2 points = 1 + 1)
a) Pour chacune des deux fonctions suivantes, vous devez utiliser qu’UNE porte
« ET » et qu’UNE porte « OU ».
F1 = A*B + A*C = A * (B + C)
F2 = (A + B) * (A + C) = A + (B * C)

ELE1300 – Hiver 2017 - Examen intra 4/10
F1
F2
b) Dessinez le circuit interne d’un multiplexeur 2X1 en utilisant QUE des « NON-
ET » (i.e. que des « NAND »).

ELE1300 – Hiver 2017 - Examen intra 5/10
Question 4 – Mise en équation logique d’une situation
– (3 points=2+.5+.5)
Vous pouvez répondre aux questions a) et b) de cet énoncé en utilisant vos connaissances
en logique :
Il reste 4 ingrédients à ajouter (ou pas) au philtre d’amour qui vous permettra de
conquérir le coeur de votre chum/blonde. Le philtre fonctionnera si au moins une
des conditions suivantes est vérifiée :
i. Il contient une Araignée et une dent de Baleine
ii. Il contient une oreille de Chauve souris et s’il contient une Araignée, il doit
aussi contenir une griffe de Dinosaure
iii. Il ne contient pas d’Araignée, de Chauve souris et de Dinosaure
iv. Il contient une oreille de Chauve souris mais ni Baleine ni Dinosaure
La sorcière vous donne le droit de choisir un ingrédient. Ensuite, vous déciderez
chacun si vous ajoutez ou pas les ingrédients en votre possession.
a) Quel ingrédient allez-vous choisir ? Allez-vous le mettre ?
b) Comprenant que vous êtes intelligent, elle refuse d’obtempérer et garde
cet ingrédient. Mais en échange, elle va vous donner deux autres
ingrédients. Êtes-vous certain de pouvoir réussir maintenant ?
Les conditions peuvent être mises en équations logiques (en implicants, ou SOP)
i. AB
ii. A’C + ACD
iii. A’C’D’
iv. CB’D’ (ou B’CD’)
En utilisant Karnaugh, on peut simplifier ces conditions ainsi :
CD
00
01
11
10
AB
00
1
1
1
01
1
1
1
11
1
1
1
1
10
1
1
On obtient l’équation logique simplifiée suivante, et on peut facilement répondre aux
questions a) et b).
C + AB + A’D’
a) C (et on le met).
b) AB (et on les met)