Questionnaire d`examen - Hiv 11

ELE1300 – Hiver 2017 - Examen intra 1/10
Question 1 – Algèbre de Boole – (2 points)
En utilisant les postulats/axiomes de Commutativité, Associativité, Distributivité, Élément
neutre et Complémentarité, prouver les théorèmes de base de l’absorption, soit :
A + A*B = A
A * (A + B) = A
Il existe plusieurs façons de procéder. En voici trois (exhaustive). Si des théorèmes sont
utilisés sans les prouver, il faut idéalement les nommer.
A + A*B = A (0.8 + 0.2)
Transformations/Manipulations
A
+ A*B =
A*1
+ A*B =
A*(B + B’) + A*B =
A*(B + B’ + B) =
A*(B + B + B’) =
A*(B + B’) =
A*(1) =
A
A
+ A*B =
A*1
+ A*B =
A * (1 + B) =
A * (B’ + B + B) =
A * (B’ + B) =
A * (1) =
A
A
+ A*B =
A*1
+ A*B =
A*(1 + B) =
A*(1) =
A
Postulats/Axiomes (et non des théorèmes)
Élément neutre
Complémentarité
Distributivité de * sur +
Commutativité
Théorème idempotent (voir plus bas)
Complémentarité
Élément neutre
Élément neutre
Distributivité de * sur +
Complémentarité
Théorème idempotent (voir plus bas)
Complémentarité
Élément neutre
Élément neutre
Distributivité de * sur +
Théorème “élément nul” (voir plus bas)
Élément neutre
Preuves des théorèmes « idempotent, et, élément nul » utilisés ci-haut
B+B= B?
Théorème Idempotent
B*1 + B*1 =
Élément neutre
B*(1+1) =
Distributivité
B*(1) =
Postulat P6
B
Élément neutre
(1 + B) = 1 ?
Théorème élément nul
1
* (1 + B) =
Élément neutre
(B’ + B)
* (1 + B) =
Complémentarité
(B’ * 1) + B =
Distributivité de + sur *
B’ + B =
Élément neutre
1
Complémentarité
ELE1300 – Hiver 2017 - Examen intra 2/10
A * (A + B) = A (0.8 + 0.2)
- Généraliser la preuve de « A + (A*B) = A » en exploitant le principe de dualité de
l’algèbre de Boole (remplacer les * par +, et les + par *), ou,
- Distribuer A, (on obtient A*A + A*B = A), appliquer le théorème Idempotent (on
obtient A + A*B = A), on utilise la preuve obtenue ci-haut, ou,
- Partir du début…
Transformations/Manipulations Postulats/Axiomes (et non des théorèmes)
A
* (A + B) =
(A + 0)
* (A + B) =
Élément neutre
(A + (B * B’)) * (A + B) =
Complémentarité
A + (B * B’ * B) =
Distributivité de + sur *
A + (B * B * B’) =
Commutativité
A + (B * B’) =
Théorème idempotent
A + (0) =
Complémentarité
A
Élément neutre
A
* (A + B) =
(A + 0)
* (A + B) =
Élément neutre
A + (0 * B) =
Distributivité de + sur *
A + (B’ * B * B) =
Complémentarité
A + (B’ * B) =
Théorème idempotent (voir plus bas)
A+0=
Complémentarité
A
Élément neutre
A
* (A + B) =
(A + 0)
* (A + B) =
Élément neutre
A + (0 * B) =
Distributivité de + sur *
A + (0) =
Théorème “élément nul” (voir plus bas)
A
Élément neutre
Preuves des théorèmes « idempotent, et, élément nul » utilisés ci-haut
B*B= B?
Théorème idempotent
(B+0) * (B+0) =
Élément neutre
B + (0 * 0) =
Distributivité
B + (0) =
Postulat P6
B
Élément neutre
(0 * B) = 0 ?
Théorème élément nul
0
+ (0 * B) =
Élément neutre
(B’ * B)
+ (0 * B) =
Complémentarité
(B’ + 0) * B=
Distributivité de + sur *
B’ * B =
Élément neutre
0
Complémentarité
ELE1300 – Hiver 2017 - Examen intra 3/10
Question 2 – Logique mixte – (1 point)
Vous disposez de deux entrées A et B et voulez faire la fonction F = A * B’
La variable A est en logique positive (une tension haute équivaut à un « 0 » logique, et la
variable B est en logique négative (une tension basse équivaut à un « 1 » logique. La
sortie F doit être exprimée en logique négative.
Dessinez le circuit nécessaire (une seule porte logique est nécessaire).
Question 3 – Synthèse de circuits de base – (2 points = 1 + 1)
a) Pour chacune des deux fonctions suivantes, vous devez utiliser qu’UNE porte
« ET » et qu’UNE porte « OU ».
F1 = A*B + A*C = A * (B + C)
F2 = (A + B) * (A + C) = A + (B * C)
ELE1300 – Hiver 2017 - Examen intra 4/10
F1
F2
b) Dessinez le circuit interne d’un multiplexeur 2X1 en utilisant QUE des « NONET » (i.e. que des « NAND »).
ELE1300 – Hiver 2017 - Examen intra 5/10
Question 4 – Mise en équation logique d’une situation
– (3 points=2+.5+.5)
Vous pouvez répondre aux questions a) et b) de cet énoncé en utilisant vos connaissances
en logique :
Il reste 4 ingrédients à ajouter (ou pas) au philtre d’amour qui vous permettra de
conquérir le coeur de votre chum/blonde. Le philtre fonctionnera si au moins une
des conditions suivantes est vérifiée :
i.
ii.
iii.
iv.
Il contient une Araignée et une dent de Baleine
Il contient une oreille de Chauve souris et s’il contient une Araignée, il doit
aussi contenir une griffe de Dinosaure
Il ne contient pas d’Araignée, de Chauve souris et de Dinosaure
Il contient une oreille de Chauve souris mais ni Baleine ni Dinosaure
La sorcière vous donne le droit de choisir un ingrédient. Ensuite, vous déciderez
chacun si vous ajoutez ou pas les ingrédients en votre possession.
a) Quel ingrédient allez-vous choisir ? Allez-vous le mettre ?
b) Comprenant que vous êtes intelligent, elle refuse d’obtempérer et garde
cet ingrédient. Mais en échange, elle va vous donner deux autres
ingrédients. Êtes-vous certain de pouvoir réussir maintenant ?
Les conditions peuvent être mises en équations logiques (en implicants, ou SOP)
i.
AB
ii.
A’C + ACD
iii.
A’C’D’
iv.
CB’D’ (ou B’CD’)
En utilisant Karnaugh, on peut simplifier ces conditions ainsi :
CD
AB
00
01
11
10
00
1
1
1
01
1
11
1
1
1
1
10
1
1
1
1
On obtient l’équation logique simplifiée suivante, et on peut facilement répondre aux
questions a) et b).
C + AB + A’D’
a) C (et on le met).
b) AB (et on les met)
ELE1300 – Hiver 2017 - Examen intra 6/10
Question 5 – Karnaugh variables inscrites – (4 points=1+2.5+.5)
La fonction FX est spécifiée par sa table de vérité suivante.
a) Construisez une table de Karnaugh à variable inscrite (la variable A).
b) Trouvez TOUS les implicants premiers
c) Trouvez l’expression logique la plus simple (forme disjonctive).
D
C
B
A
Fx
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
A’
A’
A ou
1
A’
A’
ou 1
A
a) Table de Karnaugh à variable inscrite (variable à inscrire : A)
CB
D
0
00
1
01
1
11
A’
10
A’
1
A ou 1
A’
A
A’ ou 1
b) Tous les implicants premiers. Procédons en 3 étapes avec les A, puis les A’,
puis les « 1 ».
CB
A
D
On trouve : DCA
0
00
1
1
1
01
1
11
10
A
1
ELE1300 – Hiver 2017 - Examen intra 7/10
CB
A’
D
0
00
1
01
1
1
1
A’
11
A’
10
A’
1
On trouve : D’A’ , C’A’, B’A’ (où B’A’ ne sera pas essentiel…)
CB
1
0
00
1
1
1
01
1
11
10
1
On trouve : DB’, D’C’, C’B’ (où C’B’ n’est pas essentiel)
On obtient donc : DCA, D’A’ , C’A’, B’A’, DB’, D’C’, C’B’
c) Forme disjonctive la plus simple :
DCA, D’A’, C’A’, DB’, D’C’,… (B’A’ et C’B’ ne sont pas nécessaires)
(vérification avec Karnaugh 4x4 ?)
BA
DC
00
01
11
10
00
1
1
1
-
On trouve la même chose :
DCA + D’A’ + C’A’ + DB’ + D’C’
01
1
0
1
11
1
0
1
0
10
1
1
0
1
ELE1300 – Hiver 2017 - Examen intra 8/10
Question 6 – Quine McCluskey et Petrick – (4 points=2+.5+1.5)
Soit la fonction logique suivante F = ∑ m(0,2,4,6,7,8,9,10,12,15)
a) En utilisant la méthode de Quine McCluskey, trouvez les implicants essentiels.
0
2
4
8
6
9
10
12
7
15
0000
0010
0100
1000
0110
1001
1010
1100
0111
1111
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
00X0
0X00
X000
0X10
X010
01X0
X100
100X
10X0
1X00
011X
X111
2
0010
A
B
C
D
E
F
premiers 0
0000
100X
011X
X111
0XX0
*
X0X0
*
XX00
*
*
*
V
V
V
V
V
V
V
0XX0
X0X0
XX00
Donc impl. PREMIERS
100X
011X
X111
0XX0
X0X0
XX00
V
V
4
0100
8
6
1000 0110
*
*
*
*
9
1001
*
10
1010
12
1100
7
15
0111 1111
*
*
*
*
*
*
*
*
Les 4 implicants essentiels sont :
100x, x111, x0x0, xx00.
b) Quels sont les implicants permettant de couvrir tous les impliquants de F.
Les 4 implicants essentiels (100x, x111, x0x0, xx00) et (0xx0 ou 011x).
c) En utilisant la méthode de Petrick, refaite l’exercice, et déterminez l’expression
logique la moins coûteuse.
En observant le tableau de Quine-McCluskey, on peut écrire l’équation
suivante :
(D+E+F) (D+E) (D+F) (A+E+F) (B+D) (A) (E) (F) (B+C) (C)
ELE1300 – Hiver 2017 - Examen intra 9/10
En appliquant le théorème d’absorbtion (x(x+y) = x), on réduit facilement
l’équation logique précédente :
(A) (C) (E) (F) (B + D).
Nous devons donc avoir les implicants essentiels A, C, E, F, et un des
deux implicants premiers suivants (B ou D). L’implicant D (0XX0) étant
moins coûteux que B (011X), l’expression logique de coût minimal est
donc :
100x + x111 + x0x0 + xx00 + 0xx0 =
par exemple, en fonction des variables WXYZ, on aurait :
WX’Y’ + XYZ + X’Z’ + Y’Z’ + W’Z’
Question 7 – Arithmétique binaire – (4 points=1+1+1+1)
a) Exprimez en binaire non signé les nombres décimaux suivants :
i.
43
ii.
43.25
iii.
21
iv.
21.0625
Voici un tableau utile pour la suite…
64
0100 0000.
32
0010 0000.
16
0001 0000.
8
0000 1000.
4
0000 0100.
2
0000 0010.
1
0000 0001.
0.5
0000 0000.1
0.25
0000 0000.01
0.125
0000 0000.001
0.0625
0000 0000.0001
0.03125
0000 0000.0000 1
0.015625
0000 0000.0000 01
0.0078125
0000 0000.0000 001
43
43.25
21
21.0625
décomposition
= 32 + 8 + 2 + 1
= 43 + .25
= 16 + 4 + 1
= 21 + 0.0625
entier
10 1011
10 1011
1 0101
1 0101
fraction
.
.01
.
.0001
ELE1300 – Hiver 2017 - Examen intra
10/10
b) Exprimez en nombres décimaux les nombres binaires signés suivants :
i.
01.1011 101
ii. 1010.0010 1
entier
01
1010
fraction
.1011 101
.0010 1
Décomposition
Réponse
1+.5+.125+.0625+.03125+.0078125
(-8)+2+.125+.03125
1.7265625
-5.84375
c) Calculez le résultat de l’opération suivante. Exprimez le résultat en binaire signé :
43.25 – 21.0625
À calculer
En binaire signé
43.25
-21.0625
010 1011.0100
- 001 0101.0001
Avec Complément à 2
010
+ 110
= 1001
- 1000
Réponse
1011.0100
1010.1111
0110.0011 001 0110.0011
0000.0000
d) Calculez le résultat de l’opération suivante. Les nombres binaires sont exprimés
sous forme signée. Exprimez le résultat en décimal :
01.1011101 – 1010.00101 = ?
À calculer
0001.1011 101
- 1010.0010 100
Avec complément à 2
0011 1111
0001.1011
+ 0101.1101
0111.1001
000
101
100
(décimal)
001 ->
7 + 73/128
7.5703125