Variables aléatoires

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 04/06/2015
DM no 20 : Variables aléatoires
Problème 1 –
Dans ce problème, n est un entier naturel supérieur ou égal à 3 et p est un entier naturel. Un jeu oppose n joueurs
J1 , J2 , . . . , J n .
Le jeu se déroule de la façon suivante : une pièce équilibrée est lancée (2p+1) fois. Avant les lancers, chaque joueur écrit
une liste de prévisions pour ces lancers. Cette liste contient donc une suite de (2p + 1) caractères P (pour « pile ») ou
F (pour « face »). Les gagnants sont les joueurs ayant le plus grand nombre de prévisions correctes, et ils se partagent
équitablement la somme de n! euros.
Par exemple, pour p = 1, si les lancers donnent trois fois « pile », le joueur ayant noté (P, F, P ) a 2 prévisions
correctes, et si les lancers donnent dans cet ordre P, F, P , le joueur ayant noté (F, P, F ) n’a aucune prévision correcte.
Pour tout i de {1, 2, . . . , n}, on note Xi la variable aléatoire égale au nombre de prévisions correctes du joueur Ji , on
note Gi la variable aléatoire égale au gain du joueur Ji et E(Gi ) l’espérance de gain du joueur Ji .
L’objectif du problème est de déterminer l’espérance de gain du joueur J1 selon deux stratégies présentées dans les
parties 2 et 3.
Partie I – Quelques résultats utiles pour les parties suivantes
1. Décrire un modèle simple (Ω, T , P ) pour l’expérience décrite (le choix des listes de prévision ne faisant pas partie
de l’expérience, les listes étant supposées fixées), et justifier que les Xi et Gi sont bien des variables aléatoires.
2. Quelle est la loi des variables Xi ?
On pose alors, pour tout i de {1, 2, . . . , n} et pour tout k de Xi (Ω), qk = P (Xi = k) et rk = P (Xi 6 k).
3. Calculer rp .
4. Étant donné un événement A non quasi-impossible, l’espérance d’une variable aléatoire finie X conditionnellement à A, notée E(X | A). est l’espérance de X pour la mesure de probabilité PA .
Montrer que si (A1 , . . . , As ) est un système complet d’événements non quasi-impossibles, alors
E(X) =
s
X
E(X | Ak )P (Ak ).
k=1
Partie II – Les joueurs jouent au hasard et indépendamment les uns des autres
Dans cette partie, les variables Xi sont donc mutuellement indépendantes.
5. Que vaut G1 (Ω) ?
6. Pour tout k ∈ X1 (Ω), déterminer la loi de G1 conditionnellement à l’événement [X1 = k]
7. En déduire que E(G1 ) = (n − 1)!, et expliquer en quoi ce résultat est logique.
Partie III – J1 et J2 forment un groupe, les autres joueurs jouent comme dans la partie 2
Dans cette partie, J1 et J2 adoptent la stratégie suivante : J1 joue au hasard, mais J2 joue, pour chaque lancer, les
prévisions contraires de celles de J1 . Par exemple, pour p = 1, si J1 a choisi (F, P, P ), alors J2 choisit (P, F, F ).
On note G′ le gain du groupe formé par ces deux joueurs, J1 et J2 décidant de partager équitablement ce gain. On a
donc, en désignant par G′1 et G′2 les gains respectifs de J1 et J2 : G′ = G′1 + G′2 , et G′1 = G′2 .
On pose, pour tout i de {1, 3, . . . , n}, et tout k de Xi (Ω), qk = P (Xi = k) et rk = P (Xi 6 k).
On note Y la variable aléatoire égale au nombre de prévisions correctes du meilleur de J1 et J2 .
8. Justifier que Y (Ω) = [[p + 1, 2p + 1]].
9. Pour tout k de [[p + 1, 2p + 1]], montrer que P (Y = k) = 2qk .
1
10. Établir que, pour tout k de [[p + 1, 2p + 1]],
E(G′ | Y = k) = n(n − 2)!
(rk )n−1 − (rk−1 )n−1
.
qk
11. En déduire que :
E(G′ ) = 2n(n − 2)! 1 −
1
2n−1
et justifier que la stratégie est aavantageuse pour J1 et J2 .
,
12. Déterminer E(Gi ), pour i ∈ [[3, n]].
Problème 2 – (Paradoxe de Walter Penney, d’après HEC 2004)
Dans tout le problème, on considère une suite infinie de lancers d’une pièce équilibrée, c’est-à-dire pour laquelle, à
chaque lancer, les apparitions de « pile » et de « face » sont équiprobables. On admet que l’expérience est modélisée
par un espace probabilisé (Ω, T , P ).
Pour tout entier naturel non nul n, on note par Rn l’événement « pile apparaît au lancer de rang n », et par Sn
l’événement « face apparaît au lancer de rang n »
PARTIE I – Expression de l’espérance à l’aide de la fonction génératrice
On considère une variable aléatoire X définie sur (Ω, T , P ), prenant ses valeurs dans N∗ et, pour tout entier naturel
non nul n, on pose an = P [X = n].
1. Montrer que la série de terme général an xn est convergente pour tout x ∈ [−1, 1].
+∞
X
2. On désigne par f la fonction définie sur [0, 1] par : ∀x ∈ [0, 1], f (x) =
an xn .
n=1
On suppose que cette fonction est dérivable en 1.
(a) Établir, pour tout réel x de l’intervalle [0, 1[, l’égalité :
n−1
+∞
X
f (1) − f (x) X
an
xk
=
1−x
n=1
k=0
(b) En déduire que la fonction x 7→
!
.
f (1) − f (x)
vérifie pour tout nombre réel x de [0, 1[ :
1−x
06
f (1) − f (x)
6 f ′ (1).
1−x
(c) Justifier que pour tout réel x de l’intervalle [0, 1[, on a les inégalités suivantes :
+∞
f (1) − f (x) X
06
6
nan 6 f ′ (1).
1−x
n=1
(d) Montrer que la variable aléatoire X admet une espérance donnée par : E(X) = f ′ (1).
PARTIE II – Loi du temps d’attente de la première configuration « pile, pile, face »
Soit Y la variable aléatoire désignant le rang du lancer où, pour la première fois, apparaît un « face » précédé de deux
« pile », si cette configuration apparaît, et prenant la valeur 0 si elle n’apparaît jamais.
Par exemple, si les premiers lancers sont (face, face, pile, face, pile, face, pile, pile, face, ...), la variable aléatoire Y
prend la valeur 9. On pose c1 = c2 = 0, et, pour tout entier n > 3 : cn = P [Y = n].
n
[
Bi .
Pour tout entier n > 3, on note Bn et Un les événements Bn = Rn−2 ∩ Rn−1 ∩ Sn et Un =
i=3
3. On pose u1 = u2 = 0, et pour tout entier n > 3 : un = P (Un ). Montrer que la suite (un )n∈N∗ est convergente.
4. Soit n un entier supérieur ou égal à 5.
1
(a) Justifier que P (Un ∩ Bn+1 ) = · un−2 .
8
1
(b) En déduire que : un+1 = un + (1 − un−2 ).
8
Vérifier que cette relation est aussi vérifiée pour n = 3 et n = 4.
2
(c) Déterminer P (Y = 0).
5. Pour tout n ∈ N∗ , on pose vn = 1 − un .
N
∞
X
X
Exprimer, pour tout N > 1,
vk en fonction de vN +3 , et en déduire la convergence et la somme de
vn .
k=1
k=1
6. Soit g et h les fonctions définies sur l’intervalle [0, 1] par :
∀x ∈ [0, 1],
g(x) =
+∞
X
cn xn
et
h(x) =
n=1
+∞
X
vn xn .
n=1
(a) Montrer que h est croissante, et que pour tout N ∈ N∗ et tout x ∈ [0, 1], on a :
N
X
vk xk 6 h(x) 6 h(1).
k=1
En déduire que lim h(x) = h(1).
x→1
x<1
(b) Établir, pour tout réel x ∈ [0, 1], l’égalité : g(x) = (x − 1)h(x) + x.
(c) Montrer que Y admet une espérance, égale à 8.
PARTIE III – Paradoxe de Walter Penney (1969)
Deux joueurs J et J ′ s’affrontent dans un jeu utilisant la même expérience aléatoire que précédemment, avec la règle
suivante :
• le joueur J est gagnant si la configuration « pile, pile, face » apparaît dans la suite des résultats des lancers avant
que la configuration « face, pile, pile » n’apparaisse ;
• le joueur J ′ est gagnant si la configuration « face, pile, pile » apparaît dans la suite des résultats des lancers avant
que la configuration « pile, pile, face » n’apparaisse ;
• si l’un des joueurs est gagnant, l’autre est perdant.
On se propose de démontrer que, dans ce jeu, le joueur J ′ possède un net avantage sur le joueur J.
7. Soit Y ′ la variable aléatoire désignant le rang du lancer où, pour la première fois, apparaît un « pile » précédé
d’un « pile » lui-même précédé d’un « face », si cette configuration apparaît, et prenant la valeur 0 si celle-ci
n’apparaît jamais. Par exemple, si les premiers lancers sont (face, face, pile, face, pile, pile, face, ...), la variable
aléatoire Y ′ prend la valeur 6.
n
[
Bi′ .
Pour tout entier n > 3, on désigne par Bn′ l’événement Sn−2 ∩ Rn−1 ∩ Rn , par Un′ l’événement
i=3
Justifier que Y et Y ′ suivent la même loi.
En particulier, elles ont même espérance
8. Montrer que la probabilité que J gagne est 14 .
9. Pour tout n ∈ N∗ , on désigne par dn la probabilité que lors des n premiers lancers n’apparaisse jamais deux
« pile » consécutifs.
1
1
(a) Préciser d1 et d2 , et montrer que pour tout n ∈ N∗ , dn+2 = dn+1 + dn .
2
4
+∞
X
(b) Après avoir justifié la convergence de cette série, montrer que
dn = 5.
n=1
10. On désigne par T la variable aléatoire qui prend pour valeur le rang du lancer à l’issue duquel l’un des joueurs
est déclaré gagnant, si cela se produit, et la valeur 0 si aucun des joueurs n’est gagnant.
Déterminer, en fonction de (dn ), la loi de T , et justifier que presque sûrement, il y aura un vainqueur.
Quelle est la probabilité que J ′ soit vainqueur ?
+∞
+∞
X
X
11. Soit, pour tout x ∈ [0, 1], d(x) =
dn xn et t(x) =
P [T = n]xn .
n=1
n=1
x2
+ x.
2(2 − x)
(b) Montrer que la variable aléatoire T admet une espérance ; préciser E(T ).
(a) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1], t(x) = (x − 1) d(x) +
3