Variables aléatoires

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Pour le 04/06/2015
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
DM no20 : Variables aléatoires
Problème 1 –
Dans ce problème, nest un entier naturel supérieur ou égal à 3 et pest un entier naturel. Un jeu oppose njoueurs
J1,J2,...,Jn.
Le jeu se déroule de la façon suivante : une pièce équilibrée est lancée (2p+1) fois. Avant les lancers, chaque joueur écrit
une liste de prévisions pour ces lancers. Cette liste contient donc une suite de (2p+ 1) caractères P(pour « pile ») ou
F(pour « face »). Les gagnants sont les joueurs ayant le plus grand nombre de prévisions correctes, et ils se partagent
équitablement la somme de n!euros.
Par exemple, pour p= 1, si les lancers donnent trois fois « pile », le joueur ayant noté (P, F, P )a 2 prévisions
correctes, et si les lancers donnent dans cet ordre P, F, P , le joueur ayant noté (F, P, F )n’a aucune prévision correcte.
Pour tout ide {1,2,...,n}, on note Xila variable aléatoire égale au nombre de prévisions correctes du joueur Ji, on
note Gila variable aléatoire égale au gain du joueur Jiet E(Gi)l’espérance de gain du joueur Ji.
L’objectif du problème est de déterminer l’espérance de gain du joueur J1selon deux stratégies présentées dans les
parties 2 et 3.
Partie I – Quelques résultats utiles pour les parties suivantes
1. Décrire un modèle simple (Ω,T, P )pour l’expérience décrite (le choix des listes de prévision ne faisant pas partie
de l’expérience, les listes étant supposées fixées), et justifier que les Xiet Gisont bien des variables aléatoires.
2. Quelle est la loi des variables Xi?
On pose alors, pour tout ide {1,2, . . . , n}et pour tout kde Xi(Ω),qk=P(Xi=k)et rk=P(Xi6k).
3. Calculer rp.
4. Étant donné un événement Anon quasi-impossible, l’espérance d’une variable aléatoire finie Xconditionnelle-
ment à A, notée E(X|A). est l’espérance de Xpour la mesure de probabilité PA.
Montrer que si (A1,...,As)est un système complet d’événements non quasi-impossibles, alors
E(X) =
s
X
k=1
E(X|Ak)P(Ak).
Partie II – Les joueurs jouent au hasard et indépendamment les uns des autres
Dans cette partie, les variables Xisont donc mutuellement indépendantes.
5. Que vaut G1(Ω) ?
6. Pour tout k∈X1(Ω), déterminer la loi de G1conditionnellement à l’événement [X1=k]
7. En déduire que E(G1) = (n−1)!, et expliquer en quoi ce résultat est logique.
Partie III – J1et J2forment un groupe, les autres joueurs jouent comme dans la partie 2
Dans cette partie, J1et J2adoptent la stratégie suivante : J1joue au hasard, mais J2joue, pour chaque lancer, les
prévisions contraires de celles de J1. Par exemple, pour p= 1, si J1a choisi (F, P, P ), alors J2choisit (P, F, F ).
On note G′le gain du groupe formé par ces deux joueurs, J1et J2décidant de partager équitablement ce gain. On a
donc, en désignant par G′
1et G′ 2les gains respectifs de J1et J2:G′=G′ 1+G′ 2, et G′ 1=G′ 2.
On pose, pour tout ide {1,3,...,n}, et tout kde Xi(Ω),qk=P(Xi=k)et rk=P(Xi6k).
On note Yla variable aléatoire égale au nombre de prévisions correctes du meilleur de J1et J2.
8. Justifier que Y(Ω) = [[p+ 1,2p+ 1]].
9. Pour tout kde [[p+ 1,2p+ 1]], montrer que P(Y=k) = 2qk.
1

10. Établir que, pour tout kde [[p+ 1,2p+ 1]],
E(G′|Y=k) = n(n−2)! (rk)n−1−(rk−1)n−1
qk
.
11. En déduire que :
E(G′) = 2n(n−2)! 1−1
2n−1,
et justifier que la stratégie est aavantageuse pour J1et J2.
12. Déterminer E(Gi), pour i∈[[3, n]].
Problème 2 –(Paradoxe de Walter Penney, d’après HEC 2004)
Dans tout le problème, on considère une suite infinie de lancers d’une pièce équilibrée, c’est-à-dire pour laquelle, à
chaque lancer, les apparitions de « pile » et de « face » sont équiprobables. On admet que l’expérience est modélisée
par un espace probabilisé (Ω,T, P ).
Pour tout entier naturel non nul n, on note par Rnl’événement « pile apparaît au lancer de rang n», et par Sn
l’événement « face apparaît au lancer de rang n»
PARTIE I – Expression de l’espérance à l’aide de la fonction génératrice
On considère une variable aléatoire Xdéfinie sur (Ω,T, P ), prenant ses valeurs dans N∗et, pour tout entier naturel
non nul n, on pose an=P[X=n].
1. Montrer que la série de terme général anxnest convergente pour tout x∈[−1,1].
2. On désigne par fla fonction définie sur [0,1] par : ∀x∈[0,1], f (x) =
+∞
X
n=1
anxn.
On suppose que cette fonction est dérivable en 1.
(a) Établir, pour tout réel xde l’intervalle [0,1[, l’égalité :
f(1) −f(x)
1−x=
+∞
X
n=1 an
n−1
X
k=0
xk!.
(b) En déduire que la fonction x7→ f(1) −f(x)
1−xvérifie pour tout nombre réel xde [0,1[ :
06f(1) −f(x)
1−x6f′(1).
(c) Justifier que pour tout réel xde l’intervalle [0,1[, on a les inégalités suivantes :
06f(1) −f(x)
1−x6
+∞
X
n=1
nan6f′(1).
(d) Montrer que la variable aléatoire Xadmet une espérance donnée par : E(X) = f′(1).
PARTIE II – Loi du temps d’attente de la première configuration « pile, pile, face »
Soit Yla variable aléatoire désignant le rang du lancer où, pour la première fois, apparaît un « face » précédé de deux
« pile », si cette configuration apparaît, et prenant la valeur 0si elle n’apparaît jamais.
Par exemple, si les premiers lancers sont (face, face, pile, face, pile, face, pile, pile, face, ...), la variable aléatoire Y
prend la valeur 9. On pose c1=c2= 0, et, pour tout entier n>3:cn=P[Y=n].
Pour tout entier n>3, on note Bnet Unles événements Bn=Rn−2∩Rn−1∩Snet Un=
n
[
i=3
Bi.
3. On pose u1=u2= 0, et pour tout entier n>3:un=P(Un). Montrer que la suite (un)n∈N∗est convergente.
4. Soit nun entier supérieur ou égal à 5.
(a) Justifier que P(Un∩Bn+1) = 1
8·un−2.
(b) En déduire que : un+1 =un+1
8(1 −un−2).
Vérifier que cette relation est aussi vérifiée pour n= 3 et n= 4.
2

(c) Déterminer P(Y= 0).
5. Pour tout n∈N∗, on pose vn= 1 −un.
Exprimer, pour tout N>1,
N
X
k=1
vken fonction de vN+3, et en déduire la convergence et la somme de
∞
X
k=1
vn.
6. Soit get hles fonctions définies sur l’intervalle [0,1] par :
∀x∈[0,1], g(x) =
+∞
X
n=1
cnxnet h(x) =
+∞
X
n=1
vnxn.
(a) Montrer que hest croissante, et que pour tout N∈N∗et tout x∈[0,1], on a :
N
X
k=1
vkxk6h(x)6h(1).
En déduire que lim
x→1
x<1
h(x) = h(1).
(b) Établir, pour tout réel x∈[0,1], l’égalité : g(x) = (x−1)h(x) + x.
(c) Montrer que Yadmet une espérance, égale à 8.
PARTIE III – Paradoxe de Walter Penney (1969)
Deux joueurs Jet J′s’affrontent dans un jeu utilisant la même expérience aléatoire que précédemment, avec la règle
suivante :
•le joueur Jest gagnant si la configuration « pile, pile, face » apparaît dans la suite des résultats des lancers avant
que la configuration « face, pile, pile » n’apparaisse ;
•le joueur J′est gagnant si la configuration « face, pile, pile » apparaît dans la suite des résultats des lancers avant
que la configuration « pile, pile, face » n’apparaisse ;
•si l’un des joueurs est gagnant, l’autre est perdant.
On se propose de démontrer que, dans ce jeu, le joueur J′possède un net avantage sur le joueur J.
7. Soit Y′la variable aléatoire désignant le rang du lancer où, pour la première fois, apparaît un « pile » précédé
d’un « pile » lui-même précédé d’un « face », si cette configuration apparaît, et prenant la valeur 0si celle-ci
n’apparaît jamais. Par exemple, si les premiers lancers sont (face, face, pile, face, pile, pile, face, ...), la variable
aléatoire Y′prend la valeur 6.
Pour tout entier n>3, on désigne par B′
nl’événement Sn−2∩Rn−1∩Rn, par U′ nl’événement
n
[
i=3
B′
i.
Justifier que Yet Y′suivent la même loi.
En particulier, elles ont même espérance
8. Montrer que la probabilité que Jgagne est 1
4.
9. Pour tout n∈N∗, on désigne par dnla probabilité que lors des npremiers lancers n’apparaisse jamais deux
« pile » consécutifs.
(a) Préciser d1et d2, et montrer que pour tout n∈N∗,dn+2 =1
2dn+1 +1 4dn.
(b) Après avoir justifié la convergence de cette série, montrer que
+∞
X
n=1
dn= 5.
10. On désigne par Tla variable aléatoire qui prend pour valeur le rang du lancer à l’issue duquel l’un des joueurs
est déclaré gagnant, si cela se produit, et la valeur 0si aucun des joueurs n’est gagnant.
Déterminer, en fonction de (dn), la loi de T, et justifier que presque sûrement, il y aura un vainqueur.
Quelle est la probabilité que J′soit vainqueur ?
11. Soit, pour tout x∈[0,1],d(x) =
+∞
X
n=1
dnxnet t(x) =
+∞
X
n=1
P[T=n]xn.
(a) Montrer que pour tout x∈[0,1],t(x) = (x−1) d(x) + x2
2(2 −x)+x.
(b) Montrer que la variable aléatoire Tadmet une espérance ; préciser E(T).
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