Chapitre 1: choix dans l`incertain
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Chapitre 1: choix dans l'incertain
Présentation des différents critères de décision en situation de risque.
Quelques définitions
Risques: chaque éventualité (événement aléatoire) a une probabilité. C’est une situation
aléatoire.
Incertitude: monde probabilisable ou non probabilisable.
Situation risquée: on ne connait pas le résultat ex-poste.
Exemple:
/0 1 /100 Pour comparer deux loteries l’agent peut utiliser le critère de l’espérance mathématique.
1. Critère de l’espérance mathématique
Critère minimaliste
Max ∑! / é Si un agent a le choix de jouer ou ne pas jouer à cette loterie, il va comparer l’espérance
mathématique à 0.
" 0 # 1 100 $? & 0 " 1 ' 100 100 & 0
Tout agent choisi de participer à la loterie si le prix de participation est inferieur à l’espérance
(
mathématique. Par exemple si ) , +,- 10 é. /0é/1 , alors
l’agent accepte de jouer tant que le prix de participation est inférieur à 10€.
Limite : il traduit mal le comportement des agents face au risque. Bernoulli en 1738 met en avant le
paradoxe de St Petersburg : « on lance une pièce de monnaie jusqu’à obtenir face. Le jeu s’arrête au
premier face. A l’arrêt du jeu, le participant gagne un gain2n euros/n /; . ».
Soit une mise de 2€ qui serait doublée à chaque lancer. Si face sort au 1er lancer, on gagne 2€ avec
une probabilité de 1⁄2. Au 2ème lancer, on gagne 2 soit 4€ avec une probabilité de1⁄2². Si face sort
au nième lancer, on gagne 2 avec une probabilité de1⁄2 .
Distribution de cette loi :
Les différentes réalisations et les probabilités associées.
2
4
…
…
2
2>
…
…
1⁄2
1⁄2
1⁄2>
1⁄2²
>
>
!
!
>
+,Χ- @ @ 2 " 1/ 2 1 # 1 # A # 1 lim E@ 2 " 1/ 2 F ∞
D>
!
Ce jeu vaut une somme infini. Or cela veut dire que l’agent est censé selon le critère de l’espérance
mathématique payer une somme infinie pour participer. Le critère d’espérance mathématique ne
prend pas en compte la notion de risque. Le paradoxe est que peux de gens sont prêt à payer ne
serait-ce que 20€ (selon aversion au risque des agent) pour participer à cette loterie.
Les théoriciens prennent alors en compte, pour palier l’insuffisance du critère d’espérance
mathématique, le critère d’espérance variance.
2. Le critère d’espérance variance, ou critère Markovitz 1952
La valeur d’une loterie « a » est une fonction croissante de l’espérance et décroissante de la
KL
KL
variance : H+,-; J,-/ KM,N- & 0; KO,N- $ 0
Si 2 actifs présentent des espérances de rendements équivalentes, l’agent choisira celui qui a la
variance de rendement la plus faible. Il choisira donc celle qui s’éloignera le moins du taux de
rendement moyen. Parallèlement, si la variance est équivalente il choisira la loterie ou l’actif qui a
l’espérance de rendement la plus élevée. Soit le programme suivant :
max +,- PJ,E[a] représente la rentabilité, V[a] représente le risque et la différence entre les deux c’est la valeur
de la loterie. γ&0 est le coefficient d’aversion au risque. Caractéristique propre à chaque
individu.
On suppose 3 actifs a1, a2, a3 tel que +,₁- +,₂- $ +,₃- J,₃- J,₁- $ J,₂-
c d ' +,c - P,c - & +, - PJ, d ' +, - P, - & +, - PJ, Le principe de transitivité des préférences fonctionne. Si c d et d alors c d e d et c d e par contre la comparaison des actifs a1 et a4 dépend de la valeur de γ.
Plus généralement dès que l’on compare deux ai et aj tel que l’actif le plus rentable est le plus risqué,
+, - & +gh i
soit f
le signe de γ ne suffit plus
J, - & Jgh i
γ = degré d’aversion pour le risque, c’est la pente d’une droite d’évaluation dans l’espace (E ;V)
Ū +,- PJ,- Utilité, valeur de la loterie. Le long d’une droite d’iso utilité, l’utilité est constante
' dŪ +,- PJ,- 0 ' P +,-⁄J,Si γ 0 on retombe sur le critère d’espérance mathématique
Pour des valeurs de γ faible, caractérisant des individus qui craignent peu le risque, la pente de ces
droites d’évaluation sera faible. Donc a4 sera situé sur une droite plus haute (élevée). Ils vont donc
préféré l’actif le plus rentable mais aussi le plus risqué.
Inversement si γ est très élevé (forte aversion pour le risque), alors se type d’agent va préféré a1 à a4,
c'est-à-dire l’actif le moins rentable mais le plus sûr.
Limite : comme pour le critère d’espérance mathématique, le critère d’E-V peut conduire à des
paradoxes. Exemple, on note la valeur d’un actif mesuré par n + PJ o. P 0.01
On note deux loteries
#1 o. 0.1 #1 o. 0.2 et 99 o. 0.9
99 o. 0.8
Normalement on devrait préférer la loterie a2 à a1. Or le critère d’E-V (avec γ=0.1 faible aversion au
risque) peut conduire à préférer a1 à a2. En effet :
+, - 81
J, - 900
+, - 79 & 81 +, -
J, - 1600 & 900 J, Soit des valeurs de loteries :
n 89 0.1 " 900 179
n 79 0.1 " 1600 239
U1>U2 ' le critère espérance variance nous dicte de choisir a1 plutôt que a2. Le critère d’E-V ne
respect pas toujours la dominance stochastique d’ordre 1.
Définition DS1 :
Une distribution de gain F(.) domine stochastiquement d’ordre 1 une distribution de gain G(.) si :
J, z { | Э) /z) $ |) J, ~ , { - { ~ , { -o. / éé .
+ H. . Une loterie dont la fonction de répartition est F sera préféré à une loterie dont la fonction de
répartition est représentée par G.
Dans le cas discret on aura
Eventualité X=x
~ , z , - ~ , ~ , z , - ~ , -
-99
0.9
0.9
0.8
0.8
+1
0.1
1
0.2
1
Ici on a F1x ≥ F2x D la fonction de répartition de a1 est toujours située au-dessus de celle de a2
⟹ F2 DS1 F1 ⟹ on devrait préférer a2 à a1.
La plupart du temps, aucune fonction de répartition ne domine l’autre (c'est-à-dire le caas à chaque
fois que F se croisent avec G), alors on ne peut rien dire sur la DS1. Il peut être interessant de
regarder le critère de la DS2. Avec la DS2 on introduit l’idée de dispersion.
Définition DS1 :
Un distribution de gain F(.) domine stochastiquement d’ordre 2 une distribution de gain G(.) si :
J, > z { > |
Э) / > z $ > |
Soit DS2 si et seulement si >
Fsds >
Gsds { 0 (avec au moins une inégalité stricte)
surface entre les deux courbes
Cas continu
Si l’air - & air + alors F DS2 G
En discret, dans le cas de l’exemple numérique on avait a2 DS1 a1, ceci implique nécessairement que
a2 DS2 a1.
En générale DS1 ⟹DS2 la réciproque est fausse.
F2 DS2 F1 soit a2da1
Application du critère E-V au choix de portefeuille.
Un titre i, i∈{1,2,…,n}, caractérisé par une espérance Ei et une variance Vi. On considère P comme la
combinaison de plusieurs titres en proportion / ∑ 1 et le titre i est le portefeuille où
0, 1, j i
Si un titre domine tous les autres (choisi par tous) c'est-à-dire si E est supérieur à celle de tous les
autres, est ce que le choix de portefeuille s’arrête à tout investir dans ce titre ?
Si un titre i domine tous les autres, on peut alors noter
E & E j i le plus rentable
f
V & V j i le moins riqué
Le portefeuille composé uniquement de ce titre domine t-il les autres portefeuille ?
Cadre simple
Dans le cas de deux titres en proportion 1 et 2, et si le titre 1 domine le titre 2, va-t-on intégrer au
portefeuille également le titre 2 ?
Esperance de rendement du portefeuille
# # 1 + + # + # + + # +
+ # + est une combinaison linéaire des espérance de chaque titre E(ri)
+ { + { + car + $ +
En effet :
+ + # + { + # + +
+ + # + { + # + +
Variance du rendement du portefeuille
J J # J J # J # 2 J , J J # J # 2 , avec ρ coefficient de corrélation ∈ [-1 ; +1] et σi
l’écart type du rendement du titre i
La frontière des portefeuilles réalisable avec aux extrémités des portefeuilles avec titre exclusif
La variance n’est pas une combinaison linéaire. D est dominé par A qui présente le même risque avec
un rendement espéré plus élevé. Plus généralement, tous les portefeuilles entre B et C sont dominés.
Un portefeuille P est efficace s’il n’existe pas d’autre portefeuille P’ tel que :
E E
avec au moins une inégalité stricte
V { V
Remarque : la frontière des portefeuilles réalisables ne dépend pas du comportement d’un agent
face au risque. Elle ne dépend ni du signe ni de la valeur de γ. En revanche, la frontière des
portefeuilles efficaces dépend du signe de γ mais pas de sa valeur (on suppose γ&0). " la
proportion optimum de titre 1 dans le portefeuille, dépend à la fois du signe et de la valeur de γ.
Un agent infiniment averse au risque (γD∞ droite d’iso utilité verticale aura tendance à choisir (le
point C) le portefeuille le moins risqué soit un portefeuille se situant de la frontière des portefeuilles
efficaces mais en minimisant le risque on aura alors une proportion de titres 1 tel que 0$" $1.
Déplacement de la droite d’iso utilité vers la gauche.
Un agent peu averse au risque (γD0+) choisira plutôt A, c'est-à-dire le portefeuille le plus risqué (en
d’autre terme celui qui a le plus fort rendement espéré) et donc un portefeuille composé
uniquement du titre dominant. Soit " 1
Conclusion intermédiaire :
En détenant un peu de titre 2 l’agent diminue la variance, c'est-à-dire le risque de son portefeuille
(certes il diminue aussi le rendement espéré).
