Chapitre 1: choix dans l`incertain

Chapitre 1: choix dans l'incertain
Présentation des différents critères de décision en situation de risque.
Quelques définitions
Risques: chaque éventualité (événement aléatoire) a une probabilité. C’est une situation
aléatoire.
Incertitude: monde probabilisable ou non probabilisable.
Situation risquée: on ne connait pas le résultat ex-poste.
Exemple:
Pour comparer deux loteries l’agent peut utiliser le critère de l’espérance mathématique.
1. Critère de l’espérance mathématique
Critère minimaliste
Si un agent a le choix de jouer ou ne pas jouer à cette loterie, il va comparer l’espérance
mathématique à 0.
Tout agent choisi de participer à la loterie si le prix de participation est inferieur à l’espérance
mathématique. Par exemple si , alors
l’agent accepte de jouer tant que le prix de participation est inférieur à 10€.
Limite : il traduit mal le comportement des agents face au risque. Bernoulli en 1738 met en avant le
paradoxe de St Petersburg : « on lance une pièce de monnaie jusqu’à obtenir face. Le jeu s’arrête au
premier face. A l’arrêt du jeu, le participant gagne un   ».
Soit une mise de 2€ qui serait doublée à chaque lancer. Si face sort au 1
er
lancer, on gagne 2€ avec
une probabilité de  
. Au 2
ème
lancer, on gagne  soit 4€ avec une probabilité de 
. Si face sort
au nième lancer, on gagne  avec une probabilité de 
.
Distribution de cette loi :
Les différentes réalisations et   les probabilités associées.
2
4
…
…
…
…
Ce jeu vaut une somme infini. Or cela veut dire que l’agent est censé selon le critère de l’espérance
mathématique payer une somme infinie pour participer. Le critère d’espérance mathématique ne

prend pas en compte la notion de risque. Le paradoxe est que peux de gens sont prêt à payer ne
serait-ce que 20€ (selon aversion au risque des agent) pour participer à cette loterie.
Les théoriciens prennent alors en compte, pour palier l’insuffisance du critère d’espérance
mathématique, le critère d’espérance variance.
2. Le critère d’espérance variance, ou critère Markovitz 1952
La valeur d’une loterie « a » est une fonction croissante de l’espérance et décroissante de la
variance :
Si 2 actifs présentent des espérances de rendements équivalentes, l’agent choisira celui qui a la
variance de rendement la plus faible. Il choisira donc celle qui s’éloignera le moins du taux de
rendement moyen. Parallèlement, si la variance est équivalente il choisira la loterie ou l’actif qui a
l’espérance de rendement la plus élevée. Soit le programme suivant :
E[a] représente la rentabilité, V[a] représente le risque et la différence entre les deux c’est la valeur
de la loterie. 
Le principe de transitivité des préférences fonctionne. Si  et  alors 
et  par contre la comparaison des actifs a
1
et a
4
dépend de la valeur de .
Plus généralement dès que l’on compare deux a
i
et a
j
tel que l’actif le plus rentable est le plus risqué,
soit 
 le signe de γ ne suffit plus
γ = degré d’aversion pour le risque, c’est la pente d’une droite d’évaluation dans l’espace (E ;V)
 Utilité, valeur de la loterie. Le long d’une droite d’iso utilité, l’utilité est constante
γ

Pour des valeurs de γ faible, caractérisant des individus qui craignent peu le risque, la pente de ces
droites d’évaluation sera faible. Donc a
4
sera situé sur une droite plus haute (élevée). Ils vont donc
préféré l’actif le plus rentable mais aussi le plus risqué.
Inversement si γ est très élevé (forte aversion pour le risque), alors se type d’agent va préféré a
1
à a
4
,
c'est-à-dire l’actif le moins rentable mais le plus sûr.
Limite : comme pour le critère d’espérance mathématique, le critère d’E-V peut conduire à des
paradoxes. Exemple, on note la valeur d’un actif mesuré par 
On note deux loteries
 et 
Normalement on devrait préférer la loterie a
2
à a
1
. Or le critère d’E-V (avec γ=0.1 faible aversion au
risque) peut conduire à préférer a
1
à a
2
. En effet :

Soit des valeurs de loteries :
U
1
>U
2
Définition DS1 :
Une distribution de gain F(.) domine stochastiquement d’ordre 1 une distribution de gain G(.) si :
Une loterie dont la fonction de répartition est F sera préféré à une loterie dont la fonction de
répartition est représentée par G.
Dans le cas discret on aura
Eventualité X=x
-
99
+1
0.9
0.1
0.9
1
0.8
0.2
0.8
1
Ici on a F
1
≥ F
2
  la fonction de répartition de a
1
est toujours située au-dessus de celle de a
2
 F
2
DS1 F
1
 on devrait préférer a
2
à a
1
.

La plupart du temps, aucune fonction de répartition ne domine l’autre (c'est-à-dire le caas à chaque
fois que F se croisent avec G), alors on ne peut rien dire sur la DS1. Il peut être interessant de
regarder le critère de la DS2. Avec la DS2 on introduit l’idée de dispersion.
Définition DS1 :
Un distribution de gain F(.) domine stochastiquement d’ordre 2 une distribution de gain G(.) si :
Soit DS2 si et seulement si   (avec au moins une inégalité stricte)
surface entre les deux courbes
Cas continu
Si l’air -  air + alors F DS2 G
En discret, dans le cas de l’exemple numérique on avait a
2
DS1 a
1
, ceci implique nécessairement que
a
2
DS2 a
1.