Electronique quantique
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PA101 Electronique quantique 3ème Cours "Hilbert et Fourier à notre aide" 1/23 [email protected] Qu’avons-nous déjà appris ? PA101 La structure linéaire de l'équation de Schrödinger implique que la combinaison linéaire de deux solutions est également une solution. C'est l'expression du principe de superposition pour les états quantiques Nous avons vu l'illustration de ce principe dans le cadre de l'expérience des fentes d'Young, qui permet de comprendre l'apparition progressive des franges d'interférence pour les 2 fentes ouvertes, par superposition des 2 fonctions d'ondes correspondant à une seule fente ouverte. L'équation de Schrödinger possède des solutions stationnaires, pour lesquelles la seule dépendance temporelle se trouve dans une variation linéaire de la phase avec le temps ; la densité de probabilité de présence est alors indépendante du temps. Les fonctions d'onde stationnaires s'obtiennent par résolution d'une équation aux valeurs propres, dont les valeurs propres donnent les énergies du système. L'ensemble de ces valeurs propres est "souvent" quantifié (i.e. discret) 2/23 Progression Les grands concepts L'énoncé des principes de la théorie quantique l'utilisation et les conséquences du formalisme de la théorie quantique Les principes de la physique statistique Illustrations quantique-statistique 3/23 PA101 Plan de la séance L'espace de Hilbert des fonctions d'onde Etats non stationnaires (spectre discret) Etats non stationnaires (spectre continu) Le paquet d'ondes 4/23 PA101 L'espace de Hilbert des fonctions d'onde PA101 La structure linéaire de l'équation de Schrödinger va nous permettre d'utiliser le cadre extrêmement puissant de l'algèbre linéaire pour progresser dans notre compréhension des phénomènes quantiques. 1. L'ensemble noté E=L2 des fonctions complexes de carré sommable est un espace vectoriel sur (MA102). Les fonctions d'onde représentatives d'un système à une particule vérifient cette propriété, puisqu'on leur impose la condition de normalisation ∫ espace note traditionnellement r 2 3 ψ (r ) d r = 1 . En physique quantique on ψ une telle fonction considérée comme élément de cet espace (notation de Dirac), et on utilise la dénomination état quantique. Si la fonction d'onde dépend du temps, on notera 5/23 ψ (t ) . L'espace de Hilbert des fonctions d'onde 2. PA101 Cet espace se trouve être hilbertien*, après définition du produit scalaire r r 3 ϕ ψ = ∫ ϕ (r )ψ (r )d r * hermitien : On vérifie très facilement : λψ + μϕ χ = λ* ψ χ + μ * ϕ χ , ψϕ = ϕψ , 3. * , ψ ψ ≥0 χ λψ + μϕ = λ χ ψ + μ χ ϕ et ψ ψ =0⇔ ψ =0 L'équation de Schrödinger s'exprime de façon compacte sous forme opératorielle, où H est l'opérateur (=endomorphisme) hamiltonien : ih d ψ (t ) dt = H ψ (t ) * espace vectoriel doté d'un produit scalaire hermitien, complet pour la norme 6/23 L'espace de Hilbert des fonctions d'onde 4. PA101 L'opérateur H est auto-adjoint (on dit aussi hermitique) : H=H+ On rappelle que l'adjoint vérifie la propriété caractéristique Donc pour l'hamiltonien : ψ H ϕ = ϕ Hψ ψ A ϕ = ϕ Aψ + * * Ceci est en effet immédiat : r ⎧ h2 r ⎫ r 3 r 3 r r 3 h2 * r * r ψ H ϕ = ∫ψ ( r ) ⎨ − ψ ( r ) ⋅ Δ ϕ ( r ) d r + ψ ( r ) ⋅ V ( r ) ⋅ ϕ ( r )d r Δ + V (r )⎬ϕ (r )d r = − ∫ ∫ 2m ⎩ 2m ⎭ * r 2 2 2 * r r r d r ( ) d ϕ ψ (r ) 3 h2 h * 3 Or : − r ( ) d r r ψ ϕ ( ) ⋅ = − ⋅ d r 2 2 ∫ ∫ 2m dx 2m dx (2 intégrations par parties, fonctions nulles à l'infini) r ⎧ h2 r ⎫ * r 3 Finalement : ψ H ϕ = ϕ ( r ) ⎨− ∫ ⎩ 2m Δ + V (r )⎬⎭ψ (r )d r = ϕ H ψ 7/23 * L'espace de Hilbert des fonctions d'onde 5. Les valeurs propres d'un opérateur hermitique sont réelles : ψ Aψ = ψ Aψ * donc cette expression est réelle ψ Aψ = ψ λ ψ = λ ψ ψ 6. PA101 donc λ est réel Les fonctions propres d'un opérateur hermitique sont orthogonales lorsque les valeurs propres sont différentes : Soit A ψ 1 = λ1 ψ 1 et A ψ 2 = λ2 ψ 2 ψ 1 A ψ 2 = ψ 1 A+ ψ 2 = ψ 2 A ψ 1 ψ 1 A ψ 2 = λ2 ψ 1 ψ 2 ψ 1 A ψ 2 = ψ 2 A ψ 1 = λ ψ 2 ψ 1 = λ1 ψ 1 ψ 2 * 8/23 * 1 * ⇒ ψ1 ψ 2 = 0 * L'espace de Hilbert des fonctions d'onde PA101 Conséquences de ces belles mathématiques : 1. Les énergies stationnaires, valeurs propres de H, sont réelles (ouf !) 2. Des fonctions d'onde stationnaires d'énergies différentes sont orthogonales 3. On admettra que l'ensemble des fonctions d'onde stationnaires forme une base de l'espace des fonctions de carré sommable, qu'on choisira souvent orthonormée (NB : tout espace de Hilbert admet une base hilbertienne, cf MA 102) Nous sommes maintenant armés pour appliquer ces connaissances au calcul des états non stationnaires 9/23 Etats non stationnaires (spectre discret) Au lieu de résoudre directement ih d ψ (t ) dt PA101 = H ψ (t ) , on peut décomposer les états quantiques dépendant du temps sur une base bien choisie : celle des états stationnaires ϕ n vérifiant donc H ϕ n = E n ϕ n . On va utiliser une base orthonormée : ϕ m ϕ n = δ mn . La décomposition s'écrit : ψ (t ) = ∑ c n (t ) ϕ n n ih dψ =Hψ ∂t ϕ m ih ∑ n ih dc n ϕn = ϕm dt dc n ih ∑ ϕ n = ∑ c n (t ) H ϕ n dt n n ∑c n (t ) H ϕ n n dc m = ∑ c n (t ) ϕ m H ϕ n = dt n cm (t ) = cm (0 ) ⋅ exp(−iEmt / h ) ∑c n n δ mn dc n ϕ m ϕ n = ∑ c n (t ) ϕ m H ϕ n ih ∑ dt n n (t ) ϕ m E n ϕ n = ∑ c n (t ) E n ϕ m ϕ n = E m c m (t ) n ψ (t ) = ∑ c n (0) ⋅ exp(−iE n t / h ) ϕ n n 10/23 Etats non stationnaires (spectre discret) PA101 ψ (t ) = ∑ c n (0) ⋅ exp(−iE n t / h ) ϕ n n L'état du système est maintenant connu explicitement à tout instant, pour autant qu'on connaisse les composantes initiales cn (0 ) sur la base des états stationnaires ! Or ces dernières s'obtiennent immédiatement : ϕ m ψ (0) = ∑ cn (0) ϕ m ϕ n = cm (0 ) n r r cm (0) = ∫ ϕ (r ) ⋅ψ (r ,0) ⋅ d 3 r * m Tout ceci s'exprime simplement par des mots : initialement l'état quantique possède une certaine décomposition sur les états stationnaires. Celle-ci reste valide au cours du temps, sachant que les états évoluent à leur "propre rythme", déterminé par les fréquences de Bohr En / h . r On en déduit immédiatement la fonction d'onde : ψ ( r , t ) = r c ( 0 ) exp( − iE t / h ) ϕ ( r ) ∑n n n n 11/23 Etats non stationnaires (spectre continu) PA101 Quels sont les états stationnaires pour des particules libres (i.e. en l’absence de potentiel) ? Il faut résoudre : h2 v v − Δψ (r ) = Eψ (r ) 2m La solution est connue : ce sont les ondes planes r ⎡ i r r⎤ ψ (r ) = K exp⎢ p ⋅ r ⎥ ⎣h ⎦ r p r L'énergie de ces états forme un ensemble continu, indexé par le vecteur d'onde p r E ( p ) = p 2 / 2m La dépendance temporelle est naturellement celle des états stationnaires : ⎡ i ⎛ r r p 2 ⎞⎤ r r ⎤ i r r ⎡ t ⎟⎟⎥ ψ pr (r , t ) = exp⎢ ( p ⋅ r − E ( p)t )⎥ = exp⎢ ⎜⎜ p ⋅ r − 2m ⎠ ⎦ ⎣h ⎦ ⎣h ⎝ 12/23 : Etats non stationnaires (spectre continu) PA101 Le spectre continu présente une difficulté mathématique : les états stationnaires ne sont pas normalisables : ∫ espace r 2 3 ψ (r ) d r = ∫ r p espace K d 3r = ∞ 2 Un tel état ne peut décrire un état physiquement réalisable. NEANMOINS : ¾ L'onde plane décrit une situation hypothétique physiquement interprétable : celle d'un flux stationnaire de particules occupant tout l‘espace. ¾ Dans certains cas une fonction d'onde peut localement s'approximer à une onde plane ¾ L'onde plane est un intermédiaire de calcul commode : L'ensemble des ondes planes constitue une base de décomposition pour les fonctions d'onde normées. C'est ce que nous allons voir. 13/23 Le paquet d’ondes PA101 Une conséquence des constatations précédentes : une particule libre ne saurait être dans un état stationnaire. Elle ne peut qu’évoluer au cours du temps. Utilisons la linéarité de l'équation de Schrödinger pour construire un tel état (paquet d’ondes): r r r ψ (r , t ) = ∑ cn (t )ϕ n (r ) = ∑ cn (0) exp(−iEnt / h )ϕ n (r ) n ψ (rr, t ) = 1 (2πh ) r ψ (r , t ) = 3/ 2 ⎡ i p2 ⎤ ⎡ i r r⎤ 3 r ψ ⋅ − ⋅ ( , 0 ) exp exp p t p ⋅ r ⎥d p ⎥ ⎢ ∫ ⎢ ⎣h ⎦ ⎣ h 2m ⎦ Spectre continu r 1 i r r 3 ψ ( p, t ) exp( p ⋅ r )d r 3/ 2 ∫ h (2πh ) r r r ψ ( p, t ) = ψ ( p,0) exp[− iE ( p)t / h ] 14/23 Spectre discret n avec r E ( p ) = p 2 / 2m Le paquet d’ondes PA101 r La fonction d’onde ψ ( r , t ) peut donc se décomposer sur une base d’ondes planes. r Les composantes ψ ( p, t ) constituent une fonction de l’impulsion qui n'est rien r d'autre que la transformée de Fourier de ψ ( r , t ) : r ψ (r , t ) = r 1 i r r 3 ψ ( p , t ) exp( p ⋅ r )d p 3/ 2 ∫ h (2πh ) On a les propriétés « bien connues » de la transformée de Fourier : r ψ ( p, t ) = r 1 i r r 3 ψ ( r , t ) exp( − p ⋅ r )d r 3/ 2 ∫ (2πh) h r r 3 3 ψ ( r , t ) d r = ψ ( p , t ) d p =1 ∫ ∫ 2 2 Compte-tenu de cette symétrie, il n’y a aucune raison qu’on n’accorde pas à l’impulsion les mêmes droits qu’à la position ! 15/23 Le paquet d’ondes ψ est à l’impulsion ce que ψ PA101 r 2 est à la position. ψ ( p, t ) est probabilité correspondant à la mesure de r p la densité densité de probabilité correspondant à la mesure de r r r r de r 2 , de la même façon que ψ ( r , t ) est la On voit ici que ψ ( r , t ) et ψ ( p, t ) ne sont que deux "représentations" particulières de l’état quantique ψ (t ) . Cet objet a un contenu sémantique en soi Je peux le décrire par deux mots (représentations) différents : "chair" 16/23 "stuhl" Le paquet d’ondes ψ est à l’impulsion ce que ψ PA101 r 2 est à la position. ψ ( p, t ) est probabilité correspondant à la mesure de r p la densité de r 2 , de la même façon que ψ ( r , t ) est la densité de probabilité correspondant à la mesure de r r r r On voit ici que ψ ( r , t ) et ψ ( p, t ) ne sont que deux "représentations" particulières de l’état quantique ψ (t ) . Ceci constitue une étape importante dans notre analyse de la description du monde quantique. Jusqu'à présent la très forte novation que nous avons considérée par rapport à une description classique a porté sur l'introduction de la fonction r d'onde ψ (r , t ) , et nous avons entièrement raisonné sur cette dernière. On voit maintenant que la fonction d'onde de variable r r est une description possible, adaptée à certains problèmes, mais ça n'est pas la seule. 17/23 Le paquet d’ondes libre PA101 Quid pour le paquet d’ondes libre ? On a : r 2 r r r 2 2 ψ ( p, t ) = ψ ( p,0) exp[− iE ( p)t / h ] = ψ ( p,0) Ce qui traduit le fait qu’une onde plane est stationnaire en l’absence de potentiel r La probabilité de trouver tel ou tel résultat de mesure de p ne dépend pas du temps : ceci est l’analogue quantique de la conservation de l’impulsion pour un système isolé. 18/23 Le paquet d’ondes libre PA101 Le caractère dispersif du paquet d’ondes provient du fait que chaque onde plane qui r r 2 le compose évolue avec une vitesse de phase différente, car ω ( p) = E ( p) / h = p / 2mh ψ ( p, t ) ψ ( x, t ) 19/23 2 2 Particules soumises à un potentiel PA101 Dans le cas de particules soumises à un potentiel, les ondes planes ne sont pas stationnaires car elles ne sont pas état propre de H. Il faut soit résoudre directement l’équation de Schrödinger dépendant du temps, soit calculer les nouveaux états stationnaires et les utiliser comme base de décomposition. Voyons ce que cela donne …. 20/23 Particules soumises à un potentiel Paquet d’ondes en Paquet d’ondes en interaction avec un mur interaction avec une de potentiel (E<mur) barrière de potentiel ψ ( x, t ) 2 ψ ( p, t ) 21/23 2 PA101 Particules soumises à un potentiel A deux dimensions : expérience des fentes d'Young en non stationnaire Voir également http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/ 22/23 PA101 PA101 C’est tout pour aujourd’hui ! Pensez à : Réviser après chaque cours Préparer le cours suivant Pour vous aider : http://www.ensta.fr/~sibille/PA101/ 23/23
