Mécanique quantique

Mécanique quantique
(notes de cours)
Benoît Jubin
Second semestre 2013–2014

Résumé
Ces notes sont un résumé du cours Mathématique physique 3 : mécanique quantique du Bachelor de
mathématiques de l’Université de Luxembourg donné aux seconds semestres des années académiques
2012–2013 et 2013–2014.
Les deux sources principales de ce cours sont :
— David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, second edition, Addison–Wesley, 2004.
— Jean-Louis Basdevant et Jean Dalibard, Mécanique quantique, Éditions de l’École polytechnique,
2002.
Le programme couvre à peu près les chapitres 1 à 5 du livre de Griffiths, et les chapitres 1 à 5 et
des parties des chapitres 7, 10, 12, 13 et 16 du livre de Basdevant et Dalibard.

Table des matières
Introduction : l’expérience de la double fente 3
0.1 L’expérience de la double fente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.2 Dualité onde-particule et relation de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 La fonction d’onde et l’équation de Schrödinger 7
1.1 Lafonctiond’onde ...................................... 7
1.2 Mesure de la position d’une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Le principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 L’équation de Schrödinger dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Paquetsd’ondeslibres ..................................... 11
1.6 Impulsion ........................................... 12
1.7 Principed’incertitude .................................... 13
1.8 L’équationdeSchrödinger.................................. 13
1.9 Complément : amplitude de probabilité de l’impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.10 Complément : structure d’un paquet d’ondes libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.10.1 Paquetd’ondeslibre ................................. 15
1.10.2 Paquet d’ondes gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Mesure en mécanique quantique 18
2.1 Grandeurs physiques et observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Relationsdecommutation.................................. 20
2.3 Résultats possibles d’une mesure et effet d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Étatsstationnaires ...................................... 22
3 L’équation de Schrödinger indépendante du temps et applications 23
3.1 Séparation des variables et équation de Schrödinger indépendante du temps . . . . . . 23
3.2 États liés et états de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Coefficients de réflexion et de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Propriétésderégularité ................................... 26
3.5 Potentiels constants par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5.1 Puitsdepotentiel................................... 27
3.5.2 Marchedepotentiel ................................. 30
3.5.3 Barrière de potentiel et effet tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6 L’oscillateur harmonique unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6.1 L’oscillateur harmonique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6.2 L’oscillateur harmonique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 L’atome d’hydrogène 35
4.1 Équation de Schrödinger dans un potentiel central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 L’équation angulaire et les harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
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Mécanique quantique notes de cours
4.3 L’équationradiale ...................................... 36
4.4 L’atomed’hydrogène..................................... 37
5 Principes de la mécanique quantique 39
5.1 Espacedesétats ....................................... 39
5.2 NotationdeDirac....................................... 40
5.3 Évolutiond’unsystème ................................... 40
5.4 Mesure d’une grandeur et effet d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.5 L’espace de Hilbert d’un système quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.6 Relationsd’incertitude.................................... 45
5.7 Application : systèmes à deux états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.8 Représentation de Heisenberg et théorème d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.9 Symétries du hamiltonien et constantes du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.10 Retour sur l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 Moment cinétique et spin 53
6.1 L’observable moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Spin .............................................. 55
7 Particules identiques 57
8 États intriqués, paradoxe EPR et théorème de Bell 58
A Constantes physiques 59
B Probabilités 61
B.1 Casdiscret ........................................... 61
B.2 Casgénéral .......................................... 62
C Espaces de Hilbert 64
C.1 Formes hermitiennes et produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
C.2 Projecteurs orthogonaux et bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
C.3 Opérateurs dans les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
C.4 Opérateursnonbornés.................................... 68
D Transformation de Fourier 69
D.1 SériesdeFourier ....................................... 69
D.2 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
D.3 Transformation de Fourier multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
E Ondes planes 74
E.1 Ondes monochromatiques planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
E.2 Paquetsd’ondes........................................ 75
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Introduction : l’expérience de la double
fente
La mécanique quantique est née au début du XX
ème
siècle de questionnements face à un certain
nombre de phénomènes physiques inexpliqués par la théorie classique. Depuis, c’est probablement la
théorie scientifique qui a été le plus testée, et vérifiée avec le plus de succès et de précision. Contrairement
à la plupart des théories physiques, elle n’a pas été créée par une seule personne, mais sa naissance s’étale
au contraire sur plusieurs décennies (avec une formalisation autour de 1925–1927) et fait intervenir de
nombreux acteurs. Contentons-nous ici de donner certaines dates importantes :
— 1900 : Planck, rayonnement du corps noir
— 1905 : Einstein, effet photo-électrique
— 1913 : Bohr, modèle de l’atome
— 1914 : Expérience de Franck et Hertz confirmant la quantification des niveaux d’énergie
— 1922 : Expérience de Stern et Gerlach montrant l’existence du spin
— 1923 : de Broglie, dualité onde-particule
— 1924 : Pauli, principe d’exclusion
— 1925 : Heisenberg, mécanique matricielle
— 1926 : Schrödinger, mécanique ondulatoire
— 1927 : Heisenberg, principe d’incertitude
— 1927 : Born, interprétation probabiliste de la fonction d’onde
— 1927 : Expérience de Davisson et Germer de diffraction des électrons
0.1 L’expérience de la double fente
La dualité onde-particule est un concept central de la mécanique quantique, et sera notre point
de départ. Initialement pressentie par Einstein pour la lumière, puis formulée en toute généralité par
de Broglie, elle est vérifiée expérimentalement par Davisson et Germer (voir dates ci-dessus). Nous
décrivons ici une expérience qui vint la confirmer plus tard, car plus difficile à réaliser en pratique,
mais néanmoins plus facile à comprendre, pour voir comment l’observation de la nature nous mène
nécessairement à une telle hypothèse.
Un émetteur (laser, canon à électrons, . . .) envoie des particules (photons, électrons, . . .) vers un
écran percé de deux fentes parallèles, et on mesure l’intensité sur un écran placé plus loin (voir figure 1).
Figure 1 – Expérience de la double fente
On observe des interférences comme sur la figure 1. On a donc affaire à un phénomène ondulatoire,
analogue aux interférences produites par des vagues sur un plan d’eau. Cela pouvait s’expliquer
classiquement pour la lumière (avant que l’on découvre le photon), mais ne peut plus s’expliquer
classiquement pour des particules de matière comme des électrons, des neutrons, des atomes, voire des
molécules, pour lesquels on observe pourtant les mêmes interférences.
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