Varie te s alge briques dont le ®bre tangent est totalement de

J. reine angew. Math. 522 (2000), 161Ð171 Journal fu
Èr die reine und
angewandte Mathematik
(Walter de Gruyter
Berlin New York 2000
Varie
Âte Âs alge Âbriques dont le ®bre Âtangent
est totalement de
Âcompose Â
Par Ste
Âphane Druel a ÁParis
Introduction
Soit Xune varie
Âte Âcompacte ka
Èhle
Ârienne dont le reve Ãtement universel ~
Xest iso-
morphe au produit Q
iAI
Uide varie
Âte Âs complexes lisses et sur lequel le groupe p1Xagit
diagonalement. La de
Âcomposition T~
XL
iAI
p
iTUiinduit alors une de
Âcomposition de TXen
somme directe de sous-®bre
Âs inte Âgrables. Ce travail contribue a Ál'e Âtude de l'assertion re Â-
ciproque et comple
Áte les re Âsultats de Âja Áobtenus par Beauville ([B1]):
The
Âore Áme 1. Soient X une varie
Âte Âprojective lisse de dimension n Z1dont le ®bre Â
tangent est totalement de
Âcompose Âet TXM1l lMnladite de
Âcomposition.On sup-
pose que les ®bre
ÂsL
iAI
Misont inte
Âgrables,pour tout ensemble d'indices I Hf1;...;ng.Le
reve
Ãtement universel ~
X de X est alors produit de surfaces de Riemann et la de
Âcomposition de
TXest induite par la de
Âcomposition canonique de T ~
X.
Rappelons qu'une varie
Âte Âprojective lisse est dite minimale si KXest nume
Âriquement
e¨ectif.
The
Âore Áme 2. Soit X une varie
Âte Âprojective lisse minimale de dimension n Z1dont le
®bre
Âtangent est totalement de Âcompose Â.Le reve Ãtement universel ~
X de X est alors produit de
surfaces de Riemann et la de
Âcomposition de TXest induite par la de
Âcomposition canonique de
T~
X.
Nous de
Âmontrons ces re Âsultats en exhibant une ®bration lisse de Xmunie d'une con-
nexion inte
Âgrable compatible a Ála de Âcomposition de TX.
Remerciements. Je tiens a
Áexprimer toute ma gratitude a ÁArnaud Beauville pour
m'avoir soumis ce proble
Áme et pour l'aide qu'il m'a apporte Âe.

De
Âmonstration des the Âore Ámes
Lemme 1 ([B1], lemme 3.1).Soient X une varie
Âte Âlisse et E un facteur direct de TX.
La classe d'Atiyah atEAH1ÿX;W1
XnEndEprovient de H 1ÿX;EnEndE.En
particulier,tout e
Âle Âment de H rX;Wr
Xdonne
Âpar un polyno Ãme en les classes de Chern de E
est nul,pour r strictement plus grand que le rang de E.
Corollaire 1. Soient X une varie
Âte Âprojective lisse de dimension n Z1, E un facteur
direct de TXde rang 1et C HX une courbe rationnelle irre
Âductible.Alors degEjC0ou
degEjCZ2.
De
Âmonstration. Soit P1!
vCla normalisation de C. Supposons degEjCY1; le
groupe de cohomologie H1P1;E
jP1est donc nul. Conside
Ârons le diagramme commutatif:
H1X;E!H1X;W1
X
?
?
?
y?
?
?
y
H1P1;E
jP1!H1P1;W1
P1:
L'e
Âle Âment c1EAH1X;W1
Xprovient de H1X;E(lemme 1); son image
c1EjP1degEjC
dans H1P1;W1
P1est donc nulle, ce qui prouve le corollaire.
Corollaire 2. Soient X une varie
Âte Âprojective lisse de dimension n Z1dont le ®bre Â
tangent est totalement de
Âcompose Âet P1!
vX un morphisme non constant.Alors X n'est pas
minimale.
De
Âmonstration. Ecrivons vTXOP1a1l lOP1anavec a1Z ZanZ0
(corollaire 1). L'application tangente TP1!
dv vTXe
Âtant ge Âne Âriquement injective, on a
a1Z2. On en de
Âduit degvKXYÿ2etXn'est donc pas minimale.
Soit Xune varie
Âte Âprojective lisse complexe. Le produit d'intersection entre 1-cycles et
diviseurs met en dualite
Âles deux espaces vectoriels re Âels N1Xf1-cyclesg=1nRet
N1Xfdiviseursg=1nR,ou
Á1de
Âsigne l'e Âquivalence nume Ârique. Soit
NEXHN1X
le co
Ãne engendre Âpar les classes des 1-cycles e¨ectifs. Une raie extre Âmale est une demi-droite
Rdans NEX, adhe
Ârence de NEXdans N1X,ve Âri®ant KX:R<0 et telle que pour
tout Z1;Z2ANEX,siZ1Z2ARalors Z1;Z2AR([M2]). Une courbe rationnelle
extre
Âmale est une courbe rationnelle irre Âductible C0telle que RC0soit une raie extre
Âmale
et telle que ÿKX:C0Ydim X1. Si X est une varie
Âte Âprojective lisse non minimale alors X
contient une courbe rationnelle extre
Âmale ([M2], thm. 1.5). La longueur de la raie extre Âmale
Rest ([W]):
lRinffÿKX:CjC
etant une courbe rationnelle et CARg:
Druel, Varie
Âte Âs alge Âbriques162

L'e
Âtude des courbes rationnelles extre Âmales sur les varie Âte Âs dont le ®bre Âtangent est
totalement de
Âcompose Âfait l'objet du:
Lemme 2. Soit X une varie
Âte Âprojective lisse non minimale de dimension n Z1dont le
®bre
Âtangent est totalement de Âcompose Â.Il existe alors un reve Ãtement e Âtale ®ni Z !X tel que
Z soit un ®bre
Âen droites projectives pour la topologie e Âtale.
De
Âmonstration. Soit RRC0une raie extre
Âmale engendre Âe par une courbe ra-
tionnelle C0telle que lRÿKX:C0. Notons P1!
v0C0la normalisation de C0. Les hy-
pothe
Áses faõ Ãtes entraõ Ãnent la lissite Âdu sche Âma HomP1;X(corollaire 1). Soit
VHHomP1;X
la composante connexe (de dimension lRn) contenant le point v0. Le groupe
GPGL2C
agit de manie
Áre naturelle sur Vpar la formule g:vvgÿ1. Soient ChowXla varie
Âte Â
projective parame
Âtrant les 1-cycles e¨ectifs et V!
aChowXle morphisme naturel G-
e
Âquivariant qui a ÁP1!
vXassocie le 1-cycle vP1(vest birationnel au dessus de vP1).
En®n, soit Yla normalisation de aVdans le corps kVG. Alors Yest le quotient ge
Âo-
me
Âtrique de Vpar Get l'action de Gsur Vest libre ([M1], lemme 9 et [W], Appendice A4);
Yest une varie
Âte Âprojective et lisse de dimension nlRÿ3. Soit P1V!
FXYle
morphisme naturel et soit ZSpecÿFOP1VG. Alors Zest le quotient ge
Âome Âtrique de
P1Vpar G, l'action de Ge
Âtant donne Âe par la formule g:z;vÿgz;vgÿ1;Zest une
varie
Âte Âprojective et lisse de dimension nlRÿ2etZ!Yest un ®bre Âen droites pro-
jectives pour la topologie e
Âtale ([M1], p. 603). Le morphisme universel G-e Âquivariant
P1V!X(l'action de Gsur Xe
Âtant triviale) est lisse ([K], II 3.5.4) et induit un mor-
phisme propre et lisse Z!Xde dimension relative lRÿ2.
Montrons que lR2. Soit vAV. Ecrivons vTXOP1a1l lOP1anavec
a1Z ZanZ0eta1Z2. Il existe un ouvert UHVnon vide tel que le n-uplet
a1;...;ansoit inde
Âpendant de vAU. Conside Ârons le morphisme:
V!
cXX;
v!ÿv0;vy:
La di¨e
Ârentielle de cest donne Âe par la formule ([K], II 3.4):
H0P1;vTX!
dcvvTXnk0lvTXnky;
s!ÿs0;sy:
Calculons le rang de ladite di¨e
Ârentielle. Conside Ârons les applications line Âaires
dciv1YiYn:
H0ÿP1;OP1ai!OP1aink0lOP1ainky;
si!ÿsi0;siy:
Druel, Varie
Âte Âs alge Âbriques 163

Le rang de ÿdcviest 2 si aiZ1et1siai0, de sorte que, pour vAU:
rangÿdcv2 CardfijaiZ1gCardfijai0g:
Evaluons la dimension de l'image de c. Soient pet qles projections de XXsur
chacun des facteurs. Le morphisme Z!Xe
Âtant propre et lisse, pÿImcX.Si
xApÿImcX;pÿ1xXImc
s'identi®e, via la projection q, au lieu des points de Xpar lesquels il passe une courbe
rationnelle vP1vAVcontenant xet sa dimension est donc au moins lRÿ1([W],
1.11). Il en re
Âsulte que la dimension de l'image de cest au moins e Âgale a ÁnlRÿ1. On
a donc:
dimÿImc2 CardfijaiZ1gCardfijai0gZnlRÿ1nÿ1P
n
i1
ai:
Comme a1Z2:
nÿ1P
n
i1
aiZnÿ12CardfijaiZ1gÿ12 CardfijaiZ1gCardfijai0g:
D'ou
Á:
CardfijaiZ1glRÿ1P
n
i1
aiÿ1:
On en de
Âduit lR2eta1;...;an2;0;...;0puisque ai0 ou bien aiZ2 (corol-
laire 1). Le morphisme Z!Xest donc un reve
Ãtement e Âtale ®ni, ce qui termine la preuve
du lemme.
Corollaire 3. Soit X une varie
Âte Âprojective lisse de dimension n Z1dont le ®bre Âtan-
gent est totalement de
Âcompose Â.Alors X est unire Âgle Âe si et seulement si X n'est pas minimale.
De
Âmonstration. Si Xest unire Âgle Âe alors Xn'est pas minimale par le corollaire 2.
Supposons inversement Xnon minimale; le lemme 2 entraõ
Ãne l'existence d'un reve Ãtement
e
Âtale ®ni Zde X, avec Zunire Âgle Âe. La varie Âte ÂXest donc unire Âgle Âe, ce qui termine la preuve
du corollaire.
Soient Xet Ydeux varie
Âte Âs projectives lisses et X!
fYun morphisme lisse. Une
connexion sur fest un scindage de la suite exacte
0!fW1
Y!W1 X!W1 X=Y!0;
c'est-a
Á-dire un sous-®bre ÂEHW1
Xtel que le morphisme E!W1 X=Yinduit par la projection
W1
X!W1 X=Ysoit un isomorphisme. La connexion est dite inte
Âgrable si dE HE5W1
Xou
bien, ce qui est e
Âquivalent, si le noyau de la surjection TX!Eest inte
Âgrable au sens
usuel. Le morphisme fest alors analytiquement localement trivial de ®bre Fet Xs'identi®e
Druel, Varie
Âte Âs alge Âbriques164

au quotient de ~ YFpar le groupe p1Yagissant diagonalement ou
Á~
Yest le reve
Ãtement
universel de Y; le scindage W1
XfW1 YlEse rele
Áve en la de Âcomposition
W1
~
YFW1
~
YlW1
F
([B1], 4.5).
Proposition 1. Si le the
Âore Áme 1est vrai en dimension n Z1, il est vrai en dimension
n1pour les varie
Âte Âs non minimales.
De
Âmonstration. Soient Xune varie Âte Âprojective lisse non minimale de dimension
n1nZ1dont le ®bre
Âcotangent est totalement de Âcompose Âet W1
XL1l lLn1
ladite de
Âcomposition. Quitte a Ápasser a Áun reve Ãtement e Âtale, on peut toujours supposer qu'il
existe une varie
Âte Âprojective lisse Yde dimension net un morphisme X!
fYdont les ®bres
sont des droites projectives (lemme 2). Soit Cune ®bre de f. Posons diLi:Cet supposons
d1Zd2Z Zdn1. Conside
Ârons la suite exacte:
0!N
C=XOln
C!W1
XjC!W1 COCÿ2!0:
Le groupe Ext1
OCÿOCÿ2;Oln
Cest nul et l'extension pre
Âce Âdente est donc triviale. On en
de
Âduit d1ÿ2etdi0 pour iZ2 puis, par les the
Âore Ámes de changement de base, qu'il
existe des ®bre
Âs inversibles Ei2YiYn1sur Ytels que LifEi.Onve
Âri®e par restriction
aux ®bres que l'application fW1
Y!L1est identiquement nulle; les sous-®bre
ÂsfW1
Yet
L2l lLn1de W1
Xsont donc e
Âgaux et l'application L1!W1
X=Yest un isomorphisme.
On en de
Âduit que TYest totalement de
Âcompose Âet on ve Âri®e que la condition d'inte Âgrabilite Â
du the
Âore Áme est satisfaite. Le ®bre ÂL1de
Âtermine une connexion inte Âgrable sur fet l'asser-
tion souhaite
Âeenre Âsulte facilement.
La suite de notre travail est consacre
Âea Ál'e Âtude des varie Âte Âs minimales dont le ®bre Â
tangent est totalement de
Âcompose Â.
Lemme 3. Soient X une varie
Âte Âprojective lisse minimale dont le ®bre Âtangent est
totalement de
Âcompose Âet TXM1l lMnnZ1ladite de
Âcomposition.Soit H une
section hyperplane de X.Alors MiHnÿ1Y0et si l'ine
Âgalite Âpre Âce Âdente est une e Âgalite Âon a
c1Mi0.
De
Âmonstration. La varie Âte ÂXn'e Âtant pas unire Âgle Âe (corollaire 3) il existe une courbe
lisse CAjmHjX XjmHjmg0telle que le ®bre
ÂW1
XjCsoit nume
Âriquement e¨ectif
([Mi]), c'est-a
Á-dire telle que le faisceau inversible OZ1soit nume
Âriquement e¨ectif, ou
Á
ZPCW1
XjC. Soit sila section de Z!Cassocie
Âea Ála surjection W1
XjC!! Mÿ1
ijC.Ona
donc siC:OZ1C:Mÿ1
iZ0, ce qui prouve la premie
Áre assertion. La seconde re Âsulte du
the
Âore Áme de l'indice de Hodge puisque M2
i0 (lemme 1).
Proposition 2 ([B1], the
Âore Áme C).Soient X une varie Âte Âprojective lisse de dimension
nZ1dont le ®bre
Âtangent est totalement de Âcompose Âet TXM1l lMnladite de
Â-
composition. On suppose qu'il existe une section hyperplane H de X telle que Mi:Hnÿ1<0
pour 1YiYn.Le reve
Ãtement universel ~
X de X est alors isomorphe au produit Dnou
Á
DfzACjjzj<1get la de
Âcomposition de TXest induite par la de
Âcomposition canonique de
T~
X.
Druel, Varie
Âte Âs alge Âbriques 165