Travaux Dirigés

- Travaux Dirigés -
- MPSI A lycée Hoche -
A. Martin
30 mai 2013

Signification des acronymes :
O : optique géométrique ;
M : mécanique du point matériel ;
E : électrocinétique ;
T : thermodynamique ;
EM : électromagnétisme ;
CS : chimie structurale ;
CC : cinétique chimique ;
SA : chimie des solutions aqueuses.
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TD O1 : Lois et principes de l’optique
géométrique
1 Réfraction limite
On mesure l’indice de réfraction d’un liquide à l’aide d’un réfractomètre de Pul-
frich.
1. En vous aidant de la figure ci-contre, ex-
pliquer le principe de la mesure. Peut-
on mesurer n’importe quelle valeur d’in-
dice ? Préciser.
2. Exprimer nen fonction de l’indice connu
Ndu support et d’une valeur particulière
de l’angle i, soit ilim, dont on précisera la
définition.
3. Application numérique. On prend N=
1,626 ±0,001 et ilim = 60 ±20. Calculer
net les incertitudes absolue et relative
sur sa valeur.
2 Réfraction dans une fibre optique
Une fibre optique est constituée d’un cylindre droit homogène, isotrope, trans-
parent et non dispersif, de rayon a, de longueur L, d’axe Ox, d’indice de réfraction
nsupérieur à 1, appelé âme de la fibre, et d’une gaine cylindrique de même axe,
également homogène et isotrope, d’indice n2< n1.
La face d’entrée de la fibre étant plane, on s’intéresse à un rayon lumineux qui pénètre
dans la fibre au point O(voir figure ci-dessous). Soit il’angle d’incidence.
1. Tous les rayons qui atteignent la fibre en O(en provenant des xnégatifs)
pénètrent-ils à l’intérieur ? Peut-on définir un angle limite, et dans quel mi-
lieu ? Application numérique.
2. Montrer que tous les rayons qui pénètrent dans le fibre au point Osont guidés
par réflexion totale sur l’interface âme-gaine, à condition qu’ils soient contenus
dans un cône dont on note i0le demi-angle d’ouverture. Donner la valeur nu-
mérique de i0. Quel est l’angle maximal r0que font les rayons réfractés avec
l’axe de la fibre ?
3. Application numérique. Calculer i0et sin i0. Cette dernière quantité est appelée
ouverture numérique de la fibre. On donne : n1= 1,460 et n2= 1,456.
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3 Trajectoire d’un rayon lumineux dans un milieu
stratifié continu
Soit un milieu réfringent formé de couches homogènes d’indices respectifs n1,n2,
. . ., np, . . . limité par des dioptres plans horizontaux. Un rayon lumineux se propageant
dans ce milieu fait avec la normale aux dioptres un angle ipdans la couche d’indice
np.
1. (a) Montrer que la trajectoire du rayon est plane.
(b) Ecrire une relation entre np,ip,np+1,ip+1. En déduire une expression
invariante.
On suppose maintenant que les couches homogènes sont infiniment minces, de sorte
que les surfaces équi-indices sont des plans horizontaux et que l’indice est une fonction
n(z)de l’altitude z.
2. (a) Pour un rayon lumineux se propageant dans ce milieu, écrire une relation
entre l’indice nà l’altitude zet l’angle ique fait la trajectoire avec la
verticale à cette altitude.
(b) En déduire l’équation différentielle de la trajectoire suivie par le rayon.
On suppose que l’indice du milieu varie suivant la loi n(z) = n0+Kz avec n0et K
constantes réelles, et que le rayon lumineux incident arrive à l’origine du repère choisi
(x=z= 0) sous un angle de 45°avec l’horizontale.
3. (a) Donner l’équation de la trajectoire du rayon lumineux dans son plan.
(b) Donner une expression approchée de l’équation de la trajectoire, en consi-
dérant que l’épaisseur traversée est suffisamment petite pour que l’on
puisse négliger les termes du troisième ordre en Kz.
(c) Calculer la distance x1parcourue par la lumière pour z=z1= 1m, avec
n0= 1,02 et K=−1.10−2m−1. Calculer l’indice n(z1)=n1. Calculer
l’angle dont a tourné alors le rayon lumineux.
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TD O2 : Formation des images
1 Profondeur apparente
On trempe un crayon dans l’eau, orthogona-
lement à la surface de l’eau, supposée plane.
L’extrémité A1du crayon immergé est repé-
rable par une petite tache de couleur. Ce point
envoie de la lumière vers un observateur qui
la reçoit dans la direction (IO)proche de la
verticale.
1. Exprimer la profondeur apparente HA2en fonction de n1,n2et HA1. Appli-
cation numérique : un observateur estime le fond de la rivière, situé à l’aplomb
d’un pont, à 2 m sous la surface. Quelle est la profondeur réelle de la rivière ?
Dans l’air, la couleur rouge de la tache correspond à la longueur d’onde λ= 633nm.
2. (a) Quelle est la longueur d’onde λ0de cette lumière dans l’eau ?
(b) A quelle couleur correspondrait dans l’air la longueur précédemment cal-
culée ?
(c) Quelle serait la couleur de la tache si on la regardait dans l’eau, en sup-
posant que la lumière n’est pas absorbée par l’eau ?
2 Stigmatisme du dioptre plan
On considère un dioptre plan séparant deux milieux transparents homogènes iso-
tropes. La lumière se propage du milieu d’indice n1dans le milieu d’indice n2. Il n’est
pas restrictif de supposer que le dioptre est horizontal, et que le milieu d’indice n2est
plus réfringent que le milieu d’indice n1. On peut imaginer, par exemple, une masse
d’eau au repos (milieu 2) surplombée par de l’air au repos (milieu 1).
1. Indiquer les couples de points que le dioptre conjugue au sens du stigmatisme
rigoureux. Préciser dans chaque cas la nature (réelle ou virtuelle) des points
concernés.
On considère le cas général, dans lequel le système n’est pas rigoureusement stig-
matique. On cherche sous quelles conditions le système peut être considéré comme
approximativement stigmatique. La figure ci-dessous représente un point A1et son
image éventuelle par le dioptre, soit A2.
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