Travaux Dirigés

- Travaux Dirigés - MPSI A lycée Hoche -
A. Martin
30 mai 2013
Signification des acronymes :
O : optique géométrique ;
M : mécanique du point matériel ;
E : électrocinétique ;
T : thermodynamique ;
EM : électromagnétisme ;
CS : chimie structurale ;
CC : cinétique chimique ;
SA : chimie des solutions aqueuses.
2
TD O1 : Lois et principes de l’optique
géométrique
1
Réfraction limite
On mesure l’indice de réfraction d’un liquide à l’aide d’un réfractomètre de Pulfrich.
1. En vous aidant de la figure ci-contre, expliquer le principe de la mesure. Peuton mesurer n’importe quelle valeur d’indice ? Préciser.
2. Exprimer n en fonction de l’indice connu
N du support et d’une valeur particulière
de l’angle i, soit ilim , dont on précisera la
définition.
3. Application numérique. On prend N =
1, 626 ± 0, 001 et ilim = 60 ± 20 . Calculer
n et les incertitudes absolue et relative
sur sa valeur.
2
Réfraction dans une fibre optique
Une fibre optique est constituée d’un cylindre droit homogène, isotrope, transparent et non dispersif, de rayon a, de longueur L, d’axe Ox, d’indice de réfraction
n supérieur à 1, appelé âme de la fibre, et d’une gaine cylindrique de même axe,
également homogène et isotrope, d’indice n2 < n1 .
La face d’entrée de la fibre étant plane, on s’intéresse à un rayon lumineux qui pénètre
dans la fibre au point O (voir figure ci-dessous). Soit i l’angle d’incidence.
1. Tous les rayons qui atteignent la fibre en O (en provenant des x négatifs)
pénètrent-ils à l’intérieur ? Peut-on définir un angle limite, et dans quel milieu ? Application numérique.
2. Montrer que tous les rayons qui pénètrent dans le fibre au point O sont guidés
par réflexion totale sur l’interface âme-gaine, à condition qu’ils soient contenus
dans un cône dont on note i0 le demi-angle d’ouverture. Donner la valeur numérique de i0 . Quel est l’angle maximal r0 que font les rayons réfractés avec
l’axe de la fibre ?
3. Application numérique. Calculer i0 et sin i0 . Cette dernière quantité est appelée
ouverture numérique de la fibre. On donne : n1 = 1, 460 et n2 = 1, 456.
1
3
Trajectoire d’un rayon lumineux dans un milieu
stratifié continu
Soit un milieu réfringent formé de couches homogènes d’indices respectifs n1 , n2 ,
. . ., np , . . . limité par des dioptres plans horizontaux. Un rayon lumineux se propageant
dans ce milieu fait avec la normale aux dioptres un angle ip dans la couche d’indice
np .
1. (a) Montrer que la trajectoire du rayon est plane.
(b) Ecrire une relation entre np , ip , np+1 , ip+1 . En déduire une expression
invariante.
On suppose maintenant que les couches homogènes sont infiniment minces, de sorte
que les surfaces équi-indices sont des plans horizontaux et que l’indice est une fonction
n(z) de l’altitude z.
2. (a) Pour un rayon lumineux se propageant dans ce milieu, écrire une relation
entre l’indice n à l’altitude z et l’angle i que fait la trajectoire avec la
verticale à cette altitude.
(b) En déduire l’équation différentielle de la trajectoire suivie par le rayon.
On suppose que l’indice du milieu varie suivant la loi n(z) = n0 + Kz avec n0 et K
constantes réelles, et que le rayon lumineux incident arrive à l’origine du repère choisi
(x =z= 0) sous un angle de 45° avec l’horizontale.
3. (a) Donner l’équation de la trajectoire du rayon lumineux dans son plan.
(b) Donner une expression approchée de l’équation de la trajectoire, en considérant que l’épaisseur traversée est suffisamment petite pour que l’on
puisse négliger les termes du troisième ordre en Kz.
(c) Calculer la distance x1 parcourue par la lumière pour z = z1 = 1m, avec
n0 = 1, 02 et K = −1.10−2 m−1 . Calculer l’indice n(z1 ) = n1 . Calculer
l’angle dont a tourné alors le rayon lumineux.
2
TD O2 : Formation des images
1
Profondeur apparente
On trempe un crayon dans l’eau, orthogonalement à la surface de l’eau, supposée plane.
L’extrémité A1 du crayon immergé est repérable par une petite tache de couleur. Ce point
envoie de la lumière vers un observateur qui
la reçoit dans la direction (IO) proche de la
verticale.
1. Exprimer la profondeur apparente HA2 en fonction de n1 , n2 et HA1 . Application numérique : un observateur estime le fond de la rivière, situé à l’aplomb
d’un pont, à 2 m sous la surface. Quelle est la profondeur réelle de la rivière ?
Dans l’air, la couleur rouge de la tache correspond à la longueur d’onde λ = 633nm.
2. (a) Quelle est la longueur d’onde λ0 de cette lumière dans l’eau ?
(b) A quelle couleur correspondrait dans l’air la longueur précédemment calculée ?
(c) Quelle serait la couleur de la tache si on la regardait dans l’eau, en supposant que la lumière n’est pas absorbée par l’eau ?
2
Stigmatisme du dioptre plan
On considère un dioptre plan séparant deux milieux transparents homogènes isotropes. La lumière se propage du milieu d’indice n1 dans le milieu d’indice n2 . Il n’est
pas restrictif de supposer que le dioptre est horizontal, et que le milieu d’indice n2 est
plus réfringent que le milieu d’indice n1 . On peut imaginer, par exemple, une masse
d’eau au repos (milieu 2) surplombée par de l’air au repos (milieu 1).
1. Indiquer les couples de points que le dioptre conjugue au sens du stigmatisme
rigoureux. Préciser dans chaque cas la nature (réelle ou virtuelle) des points
concernés.
On considère le cas général, dans lequel le système n’est pas rigoureusement stigmatique. On cherche sous quelles conditions le système peut être considéré comme
approximativement stigmatique. La figure ci-dessous représente un point A1 et son
image éventuelle par le dioptre, soit A2 .
1
2. (a) Exprimer la mesure algébrique HA2 en fonction de l’angle i1 . Que signifie
le fait que, dans le cas général, cette distance dépende effectivement de i1 ?
(b) Retrouver, à partir de cette formule, les cas correspondant au stigmatisme
rigoureux.
Dans la question suivante, nous considérons la limite des faibles incidences : i1 << 1.
3. (a) Donner l’expression approchée de HA2 en fonction de l’angle i1 , à l’ordre
le plus bas par rapport à i1 . Que vaut cet ordre ? Interpréter en termes de
stigmatisme.
(b) Etes-vous surpris par le résultat que nous venons d’obtenir ? On pourra
interpréter le dioptre plan comme un système centré dégénéré, et rappeler
les conditions de Gauss.
A partir de maintenant, nous considérons que le système travaille dans les conditions
du stigmatisme approché.
4. Situer les foyers objet et image. Préciser leur nature (réelle ou virtuelle).
5. Que vaut le grandissement transversal ?
2
TD O3 : Miroirs sphériques
1
Construction de rayons réfléchis et d’images
1. Déterminer le rayon réfléchi dans le cas suivant :
2. Construire l’image A0 B 0 de l’objet virtuel AB dans le cas suivant :
3. Construire l’objet AB dont l’image A0 B 0 est représentée dans les cas suivants :
2
Deux miroirs sphériques en regard
Deux miroirs sphériques M1 et M2 , de même axe optique et de même rayon
de courbure R (grandeur positive, non algébrique), sont disposés en regard l’un de
l’autre. On souhaite que la position de l’image A0 B 0 d’un objet transverse AB de
petites dimensions, reposant sur l’axe optique en A, soit confondue avec la position
de l’objet.
1. Peut-on obtenir cette configuration indifféremment avec deux miroirs concaves
et avec deux miroirs convexes ? De quelle distance d doit-on écarter les miroirs,
et où faut-il placer l’objet ?
2. Pour chacune des solutions déterminées à la question précédente, exprimer le
grandissement transversal.
3
Télescope du satellite Hipparcos
Le satellite Hipparcos porte à son bord un télescope que nous modélisons par l’association d’un miroir concave Mc de rayon R = 2800mm et d’un miroir plan Mp (voir
1
f igure 1.) Le miroir plan a pour fonction de renvoyer la lumière vers un détecteur
situé derrière le sommet du miroir concave. La lumière subit deux réflexions et passe
par un orifice pratiqué dans la partie centrale du miroir concave afin d’atteindre le
détecteur. Celui-ci a une surface sensible plane en forme d’un disque centré sur l’axe
du miroir concave, et dont le diamètre vaut D = 2,20 cm.
On note S le sommet du miroir concave.
On considère une étoile visée dans la direction Sx . L’axe Sx est orienté vers l’étoile.
1. Déterminer l’abscisse x1 de l’image E1 de l’étoile E donnée par le miroir Mc .
On note a la distance séparant le miroir plan et le sommet du miroir concave.
2. Déterminer une condition sur a pour que l’image finale E2 se forme sur le
détecteur placé à l’arrière du miroir concave.
3. Déterminer la largeur angulaire αc du champ observé. Calculer αc en degré.
En réalité, le télescope réalise une mesure de position relative des étoiles. Il vise deux
étoiles dont les directions sont symétriques par rapport à Sx présentant un angle
β = 58. C’est un système de deux miroirs plans (M1 , M2 ) qui permet d’obtenir les
images des deux étoiles sur le détecteur (voir f igure 2).
4. Déterminer l’angle ϕ0 des miroirs M1 et M2 avec l’axe Sx du télescope.
Le satellite — et donc le télescope, qui en est solidaire — tourne autour de l’axe de
direction fixe Sz .
5. Déterminer le déplacement angulaire θ1 d’un rayon lumineux réfléchi par le miroir M1 lorsque le satellite tourne d’un angle θ. Préciser le sens de déplacement
des rayons réfléchis par M1 et M2 .
2
TD O4 : Lentilles sphériques minces
1
Constructions d’images
Pour diverses lentilles sphériques minces, on considère un objet AB transverse, suffisamment petit pour que les conditions de Gauss soient vérifiées. Construire l’image
A0 B 0 de AB dans les cas suivants :
1. lentille convergente, AB situé entre le centre optique et le foyer image ;
2. lentille divergente, AB situé dans le plan focal objet de la lentille ;
3. lentille divergente de centre O, de distance focale objet f avec f < OA < 2f ;
4. lentille divergente de centre O, de distance focale objet f avec 2f < OA ;
5. lentille divergente, AB situé à l’infini, virtuel ou réel.
Dans chaque cas, préciser la nature de l’image (virtuelle ou réelle) et le grandissement
transversal de la lentille.
2
Construction de rayons transmis et d’images
1. Déterminer le rayon transmis dans le cas suivant :
2. Construire l’image A’B’ de l’objet virtuel AB dans le cas suivant :
Un système est constitué en entrée d’une lentille convergente L1 , de distance focale
f10 , suivie d’une lentille convergente L2 , de distance focale f20 , placée à la distance f20
de L1 . Par ailleurs, on prend f20 = 2f10 . On considère un objet transverse AB tel que
A est sur l’axe optique, situé avant L1 , à la distance 4f10 du centre de cette lentille.
3. (a) Construire l’image A0 B 0 de AB.
(b) Exprimer F20 A0 en fonction de f10 . Où est situé le point A0 ?
(c) Donner la valeur du grandissement transversal.
1
3
Lunette de Galilée
Une lunette de Galilée est constituée d’un objectif, modélisé comme une lentille
convergente L1 de distance focale f10 = +50cm, et d’un oculaire, modélisé comme une
lentille divergente L2 de distance focale f20 = −5cm.
1. La lunette étant réglée à l’infini, préciser la position relative des deux lentilles.
2. Calculer le grossissement angulaire de la lunette.
3. De quelle distance doit-on translater l’oculaire pour que l’œil voie, sans accommoder, un objet situé à 5m en avant de l’objectif ?
4
Ouverture d’un appareil photographique
Un appareil photographique est constitué d’une lentille convergente de focale f 0 =
+50mm. La pellicule est placée à la distance d de la lentille. Les rayons incidents sont
limités par un diaphragme circulaire de diamètre D.
1. On souhaite photographier des objets dont la distance à la lentille varie de
x = 60cm à l’infini. Calculer les distances dmin et dmax pour lesquelles l’image
formée est nette.
On définit un nombre N , appelé nombre d’ouverture, tel que : N1 = fD0 . Sur les objectifs, on peut faire varier le diamètre du diaphragme de façon discontinue, ce qui est repéré sur l’objectif par une série de nombres N dont les valeurs sont 2, 8 ; 4 ; 5, 6 ; 8 ; 11 ; 16.
Sur les boîtiers d’appareils photographiques, on dispose d’autre part des temps d’ex1
1
1
1
1
1
position nécessaires respectifs te (en s) : te = 15
; 30
; 60
; 125
; 250
; 500
.
2. En utilisant le fait que l’énergie lumineuse reçue par la pellicule est une constante,
prévoir la relation liant N et te . Vérifier cette relation avec les valeurs numériques fournies.
La pellicule est une émulsion caractérisée par une certaine taille de grain, soit g =
20µm. L’image est de qualité satisfaisante si la taille de la tache image correspondant
à un point objet A est plus petite que g.
3. (a) La mise au point étant faite à l’infini, mettre en évidence à l’aide d’une
construction géométrique, la distance minimale L0 , dite hyperfocale, qui
sépare A de la lentille, pour que l’image soit correcte.
(b) Exprimer L0 en fonction de g, f 0 et N .
On appelle Pf la profondeur du champ, c’est-à-dire de la zone de l’espace objet qui
donne une image nette.
4. Qualitativement, comment varie Pf avec N ? avec f 0 ?
5
Oculaire de Ramsden
L’oculaire de Ramsden est formé de deux lentilles convergentes identiques de
0
même distance focale image f 0 et séparées par une distance e = 2f3 .
1. Déterminez, dans l’approximation de Gauss, la position des plans focaux respectivement objet et image de l’oculaire.
2. Déterminez la position de l’image d’un objet ponctuel réel à l’infini dans une
direction quelconque.
2
6
Oculaire de Huygens
L’oculaire de Huygens est formé de deux lentilles convergentes de distances focales
f0
f0
images resp. f10 et f20 , séparées par une distance e telle que 3e = 41 = 22 .
1. Déterminez, dans l’approximation de Gauss, la position des plans focaux respectivement objet et image de l’oculaire.
2. Déterminez la position de l’image d’un objet ponctuel réel à l’infini dans une
direction quelconque.
3
4
TD E1 : Lois générales de l’électrocinétique
1
Conduction dans un fil de cuivre
Un fil de cuivre de masse volumique µ = 8800kg.m−3 , les porteurs de charges
sont les électrons libres (charge −e = −1, 6.10−19 C). La masse molaire du cuivre
est MCu = 63, 5g.mol−1 . On rappelle la valeur numérique du nombre d’Avogadro :
NA = 6, 02.1023 mol−1 . Un atome de cuivre libère un électron de conduction. Le fil,
de section 1mm2 , est parcouru par un courant d’intensité I = 1A.
Exprimer la vitesse moyenne des électrons, soit ve , en fonction des données. Dans
quel sens, par rapport au sens du courant dans le circuit, se déplacent les électrons ?
Application numérique.
2
Conduction dans l’argent
Les semi-conducteurs sont des matériaux utilisés en électronique et dont la conduction varie fortement avec la température et avec la présence d’impuretés. Dans un
semi-conducteurs, les porteurs de charge sont de deux types : les électrons (charge −e,
densité particulaire ne ) et les trous (charge +e, densité particulaire np ). En l’absence
d’impuretés, les deux valeurs sont égales : ne = np = ni .
A une température donnée, du fait de propriétés spécifiques du semi-conducteur, le
produit ne np = n2i est constant. La présence des impuretés peut influer sur ne ou sur
np , mais laisse le produit ne np inchangé.
Dans le modèle simple adopté ici, les électrons se déplacent le long d’une même direction à la vitesse ve (ve > 0), et les trous se déplacent le long de la même direction
à la vitesse −vp (vp > 0).
1. Exprimer j, densité de courant du semi-conducteur, en fonction de ni , e, ve et
vp . Application numérique dans le cas du silicium pur dans les conditions de
l’étude : ni = 1, 5.1016 m−3 ; ve = 12 cm.s−1 ; vp = 5 cm.s−1 .
2. Comment varie j avec ne ? Tracer la courbe correspondante et interpréter.
3
Conductance d’un conducteur cylindrique
On considère un métal, dont le comportement est assimilé à celui d’un conducteur
ohmique de conductivité γ, occupant une région de l’espace limitée d’une part par
un cylindre Σ1 d’axe Oz, de rayon a1 porté au potentiel constant V1 et d’autre part
par un cylindre Σ2 de même axe Oz, de rayon a2 > a1 porté au potentiel constant V2 .
On note la différence de potentiels U = V1 − V2 . Le régime permanent de conduction
étant établi, on note i l’intensité électrique totale circulant entre les deux cylindres. On
~ a la structure suivante : E
~ = E(r)~er = − dV ~er
admet que le champ électrostatique E
dr
où ~er est le premier vecteur des coordonnées cylindriques adaptées au problème, et
E(r) est une fonction scalaire ne dépendant que de la première coordonnée r dans le
même système de coordonnées.
1. On suppose U > 0. Dans quel sens le courant électrique est-il dirigé ?
2. On définit la conductance linéique G` du conducteur comme la conductance de
un mètre de hauteur du conducteur. Exprimer G` en fonction de γ, a1 et a2 .
1
4
Résistance d’un conducteur sphérique
On considère un métal, dont le comportement est assimilé à celui d’un conducteur
ohmique de conductivité γ, occupant une région de l’espace limitée d’une part par
une sphère Σ1 de centre O, de rayon a1 portée au potentiel constant V1 et d’autre
part par une sphère Σ2 de centre O, de rayon a2 > a1 portée au potentiel constant V2 .
On note la différence de potentiels U = V1 − V2 . Le régime permanent de conduction
étant établi, on note i l’intensité électrique totale circulant entre les deux sphères. On
~ a la structure suivante : E
~ = E(r)~er = − dV ~er
admet que le champ électrostatique E
dr
où V est le potentiel électrostatique et ~er est le premier vecteur des coordonnées
sphériques adaptées au problème, et E(r) est une fonction scalaire ne dépendant que
de la première coordonnée r dans le même système de coordonnées.
1. On suppose U > 0. Dans quel sens le courant électrique est-il dirigé ?
2. Exprimer le résistance R du conducteur en fonction de γ, a1 et a2 .
2
TD E2 : Dipôles électrocinétiques
1
Alimentation d’un moteur
Un moteur est un récepteur actif de résistance R0 et de fém E 0 = kN , où N
est la vitesse de rotation du moteur. La puissance motrice fournie par le moteur est
Pm = E 0 i, où i est l’intensité du courant circulant en convention récepteur dans le
moteur. Le moteur est alimenté par un générateur de fém E et de résistance interne R.
1. Déterminer l’intensité i circulant dans le moteur. Donner son expression en
fonction de E, R, R0 et kN .
2. Quelle est la puissance motrice Pm ?
3. Tracer la courbe donnant Pm en fonction de N . Pour quelle valeur N0 de la
vitesse de rotation du moteur la puissance motrice est-elle maximale ? Donner
l’expression de cette puissance maximale en fonction de E, R et R0 .
2
Diode tunnel en régime stationnaire
Une diode tunnel est un dipôle dont la caractéristique, non idéalisée, est présentée
ci-dessous.
1. La diode tunnel est-elle un dipôle actif ou passif ? symétrique ou polarisé ?
linéaire ou non linéaire ?
Considérons le circuit de la figure ci-contre.
On appelle point de fonctionnement de la
diode dans ce circuit le couple des valeurs (i, u) quand le régime stationnaire est
établi. Notons E0 la valeur, qui est donc
constante, de la f.é.m. E en régime stationnaire.
2. La source idéale de tension étant stable à la valeur E0 = 270mV, et pour une
valeur de la résistance R = 140Ω, déterminer le point de fonctionnement de
la diode. Justifier, à l’aide d’arguments qualitatifs donnés par l’allure de la
caractéristique statique, que ce point est unique.
1
3
Un circuit non linéaire
En convention récepteur, la caraci
téristique d’une diode peut être
u
1
idéalisée comme indiqué dans la
r
i
figure ci-contre. La grandeur r
est la résistance dynamique de
la diode quand celle-ci fonctionne
u
O VS
dans le domaine (u > VS , i > 0).
1. La diode est-elle un dipôle actif ou passif ? symétrique ou polarisé ? linéaire ou
non linéaire ?
2. Pour u < VS , à quoi la diode est-elle équivalente ?
3. Pour u > VS , schématiser la diode comme un dipôle actif linéaire.
i
b
On réalise le montage ci-contre.
I
R
b
4. Etudier et représenter i = f (I).
4
Un autre circuit non linéaire
En convention récepteur, la caractéristique d’une diode Zener peut
i
être idéalisée comme indiqué dans
u
1
la figure ci-contre. Les grandeurs
r
i
−VZ
rZ et r sont les résistances dynau
VS
miques de la diode Zener quand
1
celle-ci fonctionne dans les dorZ
maines (u < −VZ , i < 0) et (u >
VS , i > 0) respectivement.
1. Schématiser la diode Zener comme un dipôle actif linéaire, dans les différents
domaines de son fonctionnement.
Dans le montage ci-contre, V est
un voltmètre dont la résistance inR1
terne est largement supérieure à
R2
toutes les autres résistances R1 ,
V u
E
R2 , rZ et r. On fera les simplifications qui en résultent.
2. Déterminer u(E) pour E supérieure à zéro.
b
b
b
b
3. Représenter graphiquement u(E).
2
1
TD E3 et E4 : Réseaux linéaires et régime
permanent
1
Théorème de Kennely
Ce résultat est également appelé "équivalence triangle – étoile".
On considère les deux associations de conducteurs ohmiques suivantes :
configuration en triangle
configuration en étoile
En supposant que ces deux configurations sont équivalentes, déterminer la relation
existant entre les ri et les Rj . On donnera le résultat sous la forme des relations
permettant de passer de la configuration étoile à la configuration triangle, soit :
Ri = f (rj ).
2
Calculs d’intensités
En utilisant le théorème de superposition, déterminer les courants I1 , I2 et I3 du
montage ci-dessous.
3
Calcul d’une intensité
On considère le circuit suivant, composé d’une association de générateurs de tension idéaux et de conducteurs ohmiques :
r1
r2
B
I
A
b
b
b
R1
R2
E2
b
b
b
E1
b
b
b
C
D
Donner l’expression de l’intensité I en fonction des forces électromotrices et des résistances, en utilisant trois méthodes différentes.
1
4
Adaptation de résistance
Un générateur fonctionnant en régime permanent étant modélisé comme un dipôle
linéaire actif que l’on représentera dans un modèle de Thévenin (f.é.m. E, résistance
interne r), on place à sa sortie un conducteur ohmique de résistance R.
Comment choisir R pour que la puissance fournie par le générateur à la résistance de
charge soit maximale ?
2
TD E5 : Régimes transitoires
1
Résistance d’une bobine
Un condensateur de capacité C, chargé sous la tension U0 , se décharge dans une
bobine d’inductance L en série avec une résistance R. On enregistre au cours du temps
le courant qui parcourt le circuit, soit i(t). L’enregistrement a l’allure suivante :
Quel est le régime d’évolution du circuit ?
Déterminer la valeur de R.
Application numérique : C = 8, 3µF ; L = 16mH.
2
Courant dans une bobine et un condensateur montés en parallèle
Le circuit comporte un condensateur de capacité C
en série avec une résistance R. Cette branche est en
parallèle avec une branche comportant une bobine
d’inductance L en série avec une résistance dont
la valeur est également R. L et C ont des valeurs
telles que les constantes de temps caractéristiques
L
. L’ensemble est
ont même valeur : τ = RC = R
alimenté par un générateur de fém E.
Le condensateur est initialement déchargé. On ferme l’interrupteur (K) à un instant
pris comme origine des temps.
1. Déterminer i(t), i1 (t), i2 (t), u(t).
Le régime permanent est établi. On ouvre l’interrupteur (K) à un instant pris comme
nouvelle origine des temps.
2. Déterminer u(t).
3
Oscillateur de Van der Pol en régime libre
Dans un réseau électrocinétique, un signal s obéit à l’équation d’évolution suivante :
s2
s̈ + 2λ 1 − 2 ṡ + ω02 s = 0 ;
a
avec λ un coefficient réel négatif homogène à des s−1 , ω0 une pulsation caractéristique
et a une grandeur constante positive de même dimension que s.
Du point de vue de la grandeur s, ce réseau se comporte comme un oscillateur de Van
der Pol. Dans cet exercice, nous étudions l’oscillateur en régime d’évolution libre.
1
1. Interpréter le signe du coefficient λ. Justifier, en particulier, l’affirmation selon laquelle l’oscillateur de Van der Pol démarre à partir du bruit du circuit
électrique.
2. Quelle est la fonction du terme
régime d’oscillations entretenu.
s2
a2
? Justifier, en particulier, l’existence d’un
Nous supposons dans la suite que le régime d’oscillations entretenu est établi, et que
les oscillations sont quasi-harmoniques de pulsation ω c’est-à-dire que, pour un choix
adéquat de l’origine des temps, on a : s(t) = S cos(ωt), avec S > 0.
3. Faire un bilan d’énergie sur une période. En déduire l’expression de S en fonction de a.
4. A quelle condition la forme harmonique proposée pour s(t) décrit-elle en effet
le comportement de l’oscillateur ?
2
TD E6 : Régime sinusoïdal forcé
1
Méthode des trois voltmètres
Une inductance, un condensateur et une résistance sont connectés en série à une
source, de courant alternatif. A l’aide d’un voltmètre, on mesure les tensions efficaces
aux bornes de chacun des éléments. On obtient respectivement : UL = 100V ; UC =
300V ; UR = 150V .
1. Quelle est la tension efficace aux bornes de l’ensemble des trois éléments ?
2. Quel déphasage existe-t-il entre l’intensité et la tension ?
Bobine en série avec un groupe RC parallèle
A
L
B
b
b
b
e
b
C
R
b
b
Un générateur de tension idéal, délivrant une
tension sinusoïdale de pulsation ω, alimente une
bobine en série avec un ensemble condensateur—résistor en parallèle. L’inductance de la bobine est notée L, la capacité du condensateur C, et
la résistance du résistor R.
b
2
M
La tension
√ délivrée par le générateur sera prise comme référence des déphasages :
e(t) = E 2 cos(ωt). On donne : R = 100Ω, C = 100
µF .
3
1. Quand la pulsation vaut ω = 400rad.s−1 , on observe que l’intensité qui parcourt
le circuit est en phase avec la tension e. En déduire la valeur de L. Application
numérique.
Dans toute la suite de l’exercice, on considère que la pulsation est fixée à cette valeur.
2. La tension d’alimentation a une valeur efficace E = 180V . Donner l’expression
de l’intensité efficace I parcourant le circuit, ainsi que sa valeur numérique.
3. Combien valent les valeurs efficaces des tensions UAB et UBM ?
4. Combien vaut la puissance consommée en moyenne dans le dipôle AM ?
3
Adaptation d’impédance
On considère un circuit électrique fonctionnant en régime sinusoïdal forcé à la
pulsation ω. Ce circuit comporte un générateur mis sous sa forme Thévenin, dont la
fém a pour valeur efficace complexe E g , et pour impédance interne Z g = Rg + jXg ,
ainsi qu’une charge d’impédance complexe Z u = Ru + jXu .
1. Exprimer la valeur efficace complexe I du courant traversant ce circuit en fonction des données de l’exercice.
2. Déterminer la puissance moyenne P fournie par le générateur à la charge.
3. Déterminer la valeur de Z u permettant d’obtenir, pour des caractéristiques du
générateur fixées, une puissance P maximale.
1
(0,0)(5
4
Reconstitution de l’équation différentielle en régime quelconque
Circuit RLC série
On note e la tension aux bornes de la source idéale de tension qui alimente un
1
et
circuit RLC série, et s la tension aux bornes du condensateur. On pose ω0 = √LC
q
Q = R1 CL
1. Le régime sinusoïdal forcé étant établi à la pulsation ω, donner la fonction de
transfert H = ES , S et E étant les amplitudes complexes des tensions s et e respectivement. On pourra faire intervenir avec profit la quantité adimensionnelle
x = ωω0 .
2. Montrer que l’expression du quotient ES permet de reconstituer l’équation différentielle vérifiée par la tension s, pour un régime d’évolution quelconque du
circuit.
Association de condensateurs et de résistances en régime libre
2R
e(t)
b
b
b
b
b
C 2C
b
b
b
s(t)
R
b
Le circuit ci-contre a été étudié en régime
libre, dans le cadre du cours E4. On suppose ici qu’il oscille à une pulsation donnée
ω, pulsation imposée au circuit.
3. Donner, par exemple à l’aide du théorème de Millman, deux relations entre S
et E, amplitudes complexes des tensions s et e respectivement. En déduire une
équation algébrique d’ordre 2 associée à la tension complexe S.
4. En déduire l’équation différentielle vérifiée par s en régime libre.
Association de condensateurs et de bobines en régime libre
kC
L
b
b
C
uB
C
b
uA
b
On suppose que le circuit ci-contre oscille à
une pulsation donnée ω, pulsation imposée
au circuit.
L
b
b
b
b
5. Donner deux relations entre uA et uB , amplitudes complexes des tensions uA
et uB respectivement. En déduire un système d’équations algébriques d’ordre 2
associées aux deux tensions complexes uA et uB .
6. En déduire un système de deux équations différentielles linéaires à coefficients
constants vérifiées par uA et uB en régime libre.
2
TD E7 : Filtres
1
Filtre de Wien
Le filtre de Wien est un filtre passif composé d’un ensemble RC série monté
en série avec un ensemble RC parallèle, les deux conducteurs ohmiques et les deux
condensateurs ayant les mêmes caractéristiques :
C
R
b
b
b
u(t)
v(t)
C
R
b
b
b
b
b
(-1.5,0)(5,4)
u(t) est le signal d’entrée, v(t) le signal de sortie du filtre. Le montage fonctionne en
régime sinusoïdal forcé à la pulsation ω. On définit la pulsation caractéristique ω0 =
1
et la pulsation réduite x = ωω0 . Les quantités u et v désignent les représentations
RC
complexes des tensions réelles u et v.
1. Exprimer la fonction de transfert du filtre, soit H, en fonction de x.
2. De quel type de filtre s’agit-il ? Que vaut son facteur de qualité ?
3. Exprimer, en fonction de ω0 , les pulsations de coupure ω1 et ω2 (ω1 < ω2 ), ainsi
que la bande passante ∆ω = ω2 − ω1 .
2
Filtres RLC série
R
1
R
L
C
b
et le facteur de qualité Q =
e
L
.
C
b
b
√1
LC
i
b
ristique ω0 =
b
b
On considère le circuit RLC série ci-contre, alimenté
par une source idéale de tension délivrant une tension e
sinusoïdale de pulsation ω. On suppose que tout régime
transitoire est terminé. On définit la pulsation caractéq
b
Pour l’entrée e, trois sorties sont envisageables : la tension uC aux bornes du condensateur, la tension uR aux bornes de la résistance, la tension uL aux bornes de la
bobine.
u
1. Pour le filtre caractérisé par H = eC , prévoir le type du filtre à partir d’une
étude aux basses et hautes fréquences. Représenter le diagramme de Bode. On
distinguera les cas Q < √12 et Q > √12 .
2. Mêmes questions pour le filtre caractérisé par H =
3. Mêmes questions pour le filtre caractérisé par H =
uR
.
e
uL
.
e
1
1
3
Modèle équivalent d’un filtre passif
Considérons le filtre suivant.
R
b
b
b
b
Ve
b
b
b
Vs
C
R
(.5,0)(5,4)
Déterminer les caractéristiques du quadripôle équivalent. On rappelle que l’impédance d’entrée du quadripôle est définie quand le filtre fonctionne à vide, et que son
impédance de sortie est définie quand le signal d’entrée, ici Ve , est nul.
4
Montage déphaseur
R
b
R
b
-
b
b
b
R
b
+
b
b
ve
vs
C
b
b
b
Dans le montage ci-contre, l’Amplificateur
Opérationnel est supposé fonctionner en
régime linéaire. Les branchements d’entrée
+ et − de l’AO ont délibérément été omis
sur le schéma ci-contre. La tension d’entrée
ue est sinusoïdale de pulsation ω, et tout
régime transitoire est terminé.
b
b
Etude de stabilité
L’AO est modélisé comme un passe-bas d’ordre 1, de gain statique µ fini et de
v
bande passante ω0 finie. Sa fonction de transfert s’écrit donc : H AO = s = 1+jµ ω
ω0
avec = V+ − V− .
1. Ecrire l’équation différentielle vérifiées par vs .
2. En déduire les polarisations des entrées qui assurent la stabilité du montage.
Fonction de transfert
La stabilité du montage est assurée par un branchement correct des entrées. L’AO
est maintenant supposé idéal.
3. Ecrire la fonction de transfert H =
vs
ve
du montage.
4. Etudier le diagramme de Bode. Justifier le nom de déphaseur donné à ce montage.
2
TD M1 : Cinématique du point
1
Mouvement rectiligne sinusoïdal
Un masse ponctuelle se déplace le long d’un axe orienté noté Ox. Sa position à
l’instant t est repérée par l’abscisse x(t), qui vérifie l’équation différentielle suivante :
ẍ + Kx = 0
où K est une constante réelle strictement positive.
1. (a) Déterminer l’expression de x(t). On introduira deux constantes d’intégration xm et φ, homogènes respectivement à une longueur et à une phase.
(b) Déterminer l’expression de la vitesse de la masse, soit v(t).
A l’instant initial, la position de la particule est notée x0 , et sa vitesse est notée v0 .
2. (a) Exprimer xm et φ en fonction de x0 et v0 .
(b) Comment se simplifient ces expressions dans le cas particulier où x0 = 0 ?
Donner l’équation de la trajectoire.
2
La plus courte durée
Un nageur secouriste A, initialement au point S, veut rejoindre le plus vite possible un enfant E qui semble en difficulté dans l’eau.
Au sol, A avance à une vitesse de norme constante
v1 . Dans l’eau, il avance à une vitesse de norme
constante v2 (avec v2 < v1 ). On note B le point où
A entre dans l’eau. On note T la durée que A met
pour aller de S à E.
1. Montrer que T est une fonction de la seule position de B. Donner l’expression
de cette fonction.
2. Soit B0 la position de B qui correspond au minimum de T . Donner l’équation vérifiée par B0 . (Outre la position de B0 , cette équation fait intervenir les
distances D, d et l.)
3. Mettre en évidence l’analogie entre ce problème et celui de la réfraction d’un
rayon lumineux à la traversée d’un dioptre plan. Commenter.
3
Satellite artificiel
Un satellite artificiel M tourne autour de la Terre. Son mouvement est étudié dans
le référentiel <0 (~ex , ~ey , ~ez ). M est repéré par ses coordonnées polaires.
1
On donne la norme de la vitesse du satellite en P , soit vA = 8640 km.s−1 . On admet
que sa trajectoire est une ellipse d’équation :
OM = r =
p
.
1 + e cos θ
1. Déterminer puis calculer p et e.
On admet que, dans ce type de mouvement, l’accélération est purement radiale.
2. Montrer que, dans ces conditions, r2 θ̇ = cste C. Donner l’expression puis la
valeur de la constante C.
3. Déterminer puis calculer la norme de la vitesse du satellite au point A, soit vA .
4. En remarquant que, au point B, la vitesse du satellite est parallèle au vecteur
P
~ex , montrer que rB = rA +r
.
2
4
Mouvements hélicoïdaux
Une particule M a pour trajectoire une hélice circulaire. Dans un système de
coordonnées cartésiennes adapté à la trajectoire, celle-ci est définie par les expressions
suivantes :

 x = R cosθ
y = Rsinθ

hθ
z = 2π
où R et h sont des constantes réelles strictement positives. h est appelé pas de l’hélice.
(~ex , ~ey , ~ez ) est la base orthonormée correspondant à ce repère cartésien.
Soient les coordonnées cylindriques associées à ce repère cartésien. On notera m le
projeté du point M sur le plan de base xOy, R la distance Om, θ l’angle entre la demidroite orientée Ox et la demi-droite orientée Om, et (~er , ~eθ , ~ez ) la base orthonormée
associée au système des coordonnées cylindriques. ~er est donc le vecteur unitaire porté
par la demi-droite Om, et orienté de O vers m.
1. (a) Déterminer en fonction de θ, θ̇, θ̈, h et R les composantes des vecteurs
position, vitesse, accélération de M dans la base (~er , ~eθ , ~ez ).
(b) Déterminer les modules des vecteurs vitesse et accélération.
(c) Donner les expressions de ces grandeurs dans le cas particulier où la rotation est uniforme, c’est-à-dire où θ̇ = ω avec ω constante réelle strictement
positive.
(d) Même question dans le cas où la rotation est uniformément accélérée, c’està-dire où θ̈ = γT avec γT constante réelle strictement positive. On prendra
θ(0) = 0 et θ̇(0) = 0.
2
La vitesse de la particule M à un instant donné t est représentée par un vecteur ~v (t).
A chaque instant t, on considère le vecteur égal à ~v (t), d’origine le point O. La pointe
de ce vecteur décrit au cours du temps un lieu géométrique appelé hodographe du
mouvement de la particule M . Ici, il s’agit de l’hodographe de pôle O du mouvement
de M .
Déterminer l’hodographe de pôle O du mouvement de M dans les deux cas suivants :
2. (a) La rotation est uniforme.
(b) La rotation est uniformément accélérée.
3
4
TD M2 : Dynamique du point
1
Point matériel sur un plan incliné
Un point matériel M de masse m glisse sans frottement sur un plan incliné d’un
angle α par rapport à l’horizontale.
Le référentiel <g (O ; ~ex , ~ey , ~ez ) est supposé galiléen.
1. (a) Déterminer l’équation différentielle du mouvement.
(b) La résoudre. Initialement, M est en O, et sa vitesse est nulle.
2. Exprimer la norme de la réaction du support en fonction de m, g et α.
2
Point mobile sur une surface
Une particule M de masse m est immobile au sommet Si d’une sphère de centre
O et de rayon r.
A un instant ti que l’on prendra pour origine des
~R
x
temps (ti = 0), on communique à la particule une
~vi
Si
~er
vitesse initiale ~vi tangente à la sphère. La particule
glisse sans frottement sur la sphère puis décolle et
~eθ
quitte la sphère en un point Sf , à un instant noté ~v
θ
tf . On dmettra que, pour ces conditions initiales,
le mouvement de la particule a lieu dans le plan
m~g
r
vertical contenant Si et le vecteur ~vi .
On note θ l’abscisse angulaire du point S coïncidant avec la particule à un instant
courant t. Dans le plan vertical contenant la trajectoire, à un instant t compris entre
~
ti et tf , la particule M , repérée par l’angle θ, est animée de la vitesse ~v . On note R
la réaction de la sphère sur la particule.
1. (a) Exprimer la norme R de la réaction en fonction de x, m, r, g et vi .
(b) Montrer qu’il existe une vitesse critique vc telle que si vi ≥ vc , la particule
quitte la sphère dès le départ en Si . Donner l’expression de vc en fonction
de r et g. Application numérique : r = 90cm, g = 9, 8m.s−2 .
(c) Calculer la longueur du chemin parcouru par la particule sur la sphère si
elle est lâchée en Si avec une vitesse vi = v2c .
3
Enroulement d’un fil autour d’un cylindre fixe
−
Un cylindre d’axe de révolution (O, →
e z ) et de rayon R repose sur un plan horizontal et est fixe par rapport à un référentiel galiléen lié à ce plan, que l’on notera
−
−
−
(O, →
e x, →
e y, →
e z ).
On attache une extrémité d’un fil inextensible, de longueur L0 et de masse négligeable,
au point I0 situé à la base du cylindre. L’autre extrémité du fil est fixée à une particule
matérielle quasi-ponctuelle M de masse m, astreinte à glisser sans frottement sur le
1
−
−
plan horizontal (O, →
e x, →
e y ).
Initialement, le fil est tel que le segment I0 M est tangent au cylindre en I0 . A l’instant
−
t = 0, on communique à la particule M une vitesse →
v 0 horizontale, perpendiculaire au
segment I0 M. On suppose que le fil reste tendu au cours du mouvement. A l’instant
t, on appelle θ l’angle dont s’est enroulé le fil et L la longueur de fil non enroulée sur
−
−
le cylindre. On appelle (→
e r, →
e θ ) la base des coordonnées polaires associée.
1. Donner la relation entre L0 , L, R et θ.
−−→
−
−
On note OM le vecteur position de la particule, →
v sa vitesse, →
a son accélération.
−−→ −
→
−
→
−
2. Donner l’expression, dans la base ( e , e ), des vecteurs OM et →
v . Les comr
θ
posantes de ces vecteurs seront exprimées en fonction de L0 , R, θ et θ̇.
3. (a) Montrer que la norme de la vitesse est constante au cours du mouvement.
(b) En déduire l’équation différentielle :
(L0 − Rθ)θ̇ = v0 .
(c) Montrer que θ vérifie l’équation :
Rθ2
2
(d) En déduire la loi θ(t).
− L0 θ + v0 t = 0.
−
−
−
4. Donner l’expression, dans la base (→
e r, →
e θ ), du vecteur →
a.
5. (a) Exprimer la norme de la tension du fil en fonction de m, v0 et L, puis en
fonction de m, v0 , L0 , R et t.
(b) Expliquer pourquoi le fil cassera avant de s’enrouler complètement autour
du cylindre. Application numérique avec R = 20 cm ; m = 40 g ; L0 = 50
cm ; v0 = 50 cm.s−1 . Le fil rompt si sa tension dépasse la valeur limite
Trup = 5.10−2 N. Déterminer l’angle θrup à l’instant où le fil se rompt, et
l’instant de la rupture trup .
2
TD M3 : Energétique du point
1
L’enfant et sa luge
Un enfant et sa luge, système assimilé à un
point matériel M de masse m, glissent sans
frottement sur une piste (plan incliné de
longueur L faisant un angle α avec l’horizontale). Arrivés en bas, ils continuent leur
trajet sur un plan horizontal où ils sont
freinés par une force de frottements solide
(coefficient f ).
L’enfant démarre avec une vitesse nulle en A. Le référentiel choisi <g est solidaire du
sol, et donc aussi du plan sur lequel descend la luge. Il est supposé galiléen. Pendant
la phase de descente de la luge, la position de celle-ci est repérée par la variable x1 :
−−→
AM = x1~ex1 . Pendant la phase de glissement à l’horizontale, sa position est repérée
−−→
par la variable x : BM = x~ex .
1. (a) En utilisant le théorème de la puissance cinétique, déterminer l’équation
différentielle du mouvement de la luge pendant la phase de descente.
(b) Déterminer la vitesse en B ainsi que la durée de cette phase.
2. (a) En utilisant le théorème de la puissance cinétique, déterminer l’équation
différentielle du mouvement de la luge pendant la phase de glissement à
l’horizontale.
(b) Déterminer la distance d’arrêt D ainsi que la durée entre le début de cette
phase (la luge est en B) et le moment où la luge s’immobilise.
2
Distance minimale d’approche
Une particule α (masse m, charge +2e) est lancée vers un noyau immobile de
charge +Ze. La trajectoire est portée par une demi-droite Ox, dont l’origine O coïncide avec la position du noyau. La particule vient de l’infini sur Ox. Sa vitesse à
l’infini est notée ~v0 .
Le noyau exerce sur la particule α au point M une force de Coulomb répulsive que
l’on peut écrire sous la forme :
K
f~ = 2 ~er
r
avec K =
2Ze2
4π0
et ~er =
−−→
OM
,
r
r notant la distance OM .
1. Exprimer la distance minimale d de la particule au noyau en fonction de Z, e,
0 , m, v0 . Application numérique : Z = 56 ; e = 1, 6.10−19 C ; m = 6, 63.10−27 kg ;
1
0 = 36π
10−9 SI ; v0 = 19200 km.s−1 .
2. Donner l’expression de l’énergie mécanique de la particule en fonction de m et
v0 . Donner sa valeur numérique en MeV.
3
Force dérivant d’un potentiel gravitationnel
En première approximation, la Terre peut être considérée comme ayant une distribution de masse à symétrie sphérique. Sous cette hypothèse, un point matériel de
1
masse m extérieur à la Terre est soumis au potentiel gravitationnel à symétrie sphérique Vs (r) = − µr avec µ = GM m, G étant la constante de gravitation universelle et
M la masse totale de la Terre. Il s’agit là cependant d’une approximation. En réalité,
la distribution de masse dans la Terre n’est pas rigoureusement à symétrie sphérique,
en particulier du fait de l’aplatissement de la planète au voisinage des pôles Nord
et Sud. On peut modéliser l’effet de cette dissymétrie de la répartition de masse sur
l’attraction gravitationnelle exercée par la Terre, enhconsidérant que cet effet
conduit
i
µ
J2 R 2
2
à un potentiel gravitationnel "réel" V (r, λ) = − r 1 − 2 r2 3 sin λ − 1 , avec R
un rayon moyen de la Terre, λ la latitude du point où s’exerce le potentiel, et J2 une
constante adimensionnelle très petite devant l’unité.
Question : Ecrire l’expression de la force d’attraction gravitationnelle exercée par
la Terre sur le point matériel de masse m, dans le cas où l’attraction est modélisée
par le potentiel Vs (r), puis dans celui où ù l’attraction est modélisée par le potentiel
V (r, λ).
4
Mouvement des atomes
Une molécule HCl est modélisée par deux atomes H et Cl séparés par une distance
r sur un axe fixe dans le référentiel d’étude <g , supposé galiléen. L’atome de chlore est
supposé fixe et est pris comme origine du référentiel. L’atome d’hydrogène, assimilé
à un point matériel de masse m, est en mouvement dans <g sous l’action de forces
dérivant d’une énergie potentielle Ep de la forme :
Ep (r) =
K
C
− .
12
r
r
1. (a) Déterminer graphiquement, puis par le calcul la position d’équilibre r0 .
(b) Discuter la stabilité de cet équilibre.
2. Déterminer et calculer l’énergie de dissociation de la molécule HCl.
3. Déterminer la fréquence des petites oscillations de la molécule autour de sa
position d’équilibre. Données : m = 1, 66.10−27 kg ; C = 1, 06.10−138 J.m12 ;
K = 92, 16.10−3 J.m.
5
Mouvement plan du pendule simple
On considère un point matériel de position M et de masse constante m fixé à
l’extrémité d’une tige indéformable inextensible de longueur l, de masse négligeable
devant m. Le pendule ainsi constitué peut être animé d’un mouvement oscillatoire
plan dans un plan vertical, ou dans un plan horizontal.
1. Donner les caractéristiques du mouvement dans un plan vertical. Exprimer, en
particulier, la pulsation du mouvement. L’énergie potentielle est-elle constante ?
2. Mêmes questions pour le mouvement dans un plan horizontal.
3. Montrer que, dans la limite des petites amplitudes, le mouvement dans un plan
vertical est la superposition de deux mouvements dans un plan horizontal.
2
TD M4 : Oscillations forcées
1
Modélisation d’un haut-parleur
La partie mécanique d’un haut-parleur est
modélisée comme un point matériel M
de masse m se déplaçant horizontalement
sans frottement le long de l’axe (O ; ~ex ).
M est relié à un ressort de longueur à vide
l0 et de constante de raideur k, et à un
amortisseur fluide de constante f . Elle est
soumise à une force F~ (t), imposée par le
courant i(t) entrant dans le haut-parleur :
F~ = Ki~ex avec K constante. Le référentiel
du laboratoire, dans lequel le mouvement
est étudié, est supposé galiléen. Le courant
i(t) est sinusoïdal : i(t) = Im cos(ωt).
1. Ecrire l’équation différentielle vérifiée par la position x(t) du point M . La normaliser.
2. On souhaite que le système ait un facteur de qualité Q de valeur donnée. Exprimer la valeur de f correspondante. Application numérique
pour m = 10g ;
p
−1
−1
k = 15000N.m ; K = 200N.A ; Im = 1A ; Q = 1/ (2).
3. Déterminer l’expression de la réponse forcée x(t). La mettre sous la forme x(t) =
Xm cos(ωt + φ). Tracer l’allure de la courbe Xm (ω). Donner la bande passante
du système.
2
Molécule diatomique
Une molécule diatomique est modélisée par un oscillateur harmonique de fréquence propre f0 = 8, 67.1013 Hz. La distance séparant les deux atomes est notée r.
A l’équilibre, r = r0 = 1, 27.10−10 m. Un des deux atomes est pris comme référentiel
d’étude ; le second possède une masse m = 1, 66.10−27 kg et porte une charge électrique q = 1, 6.10−19 C.
On soumet la molécule à un champ électrique sinusoïdal polarisé rectilignement
E(t) = E0 cos(ω0 t).
Dans ce paragraphe, on suppose que l’oscillateur est non amorti.
1. (a) Etablir l’équation différentielle vérifiée par r(t).
(b) Donner la solution générale de l’équation.
(c) D’après ce modèle, la liaison est-elle stable ?
Dans ce paragraphe, on suppose que l’oscillateur est amorti avec un facteur de qualité
Q = 5, 45.105 .
2. (a) Etablir l’équation différentielle vérifiée par r(t).
(b) La résoudre.
(c) D’après ce modèle, la liaison peut-elle être stable ? On admettra que la liaison entre les deux atomes se rompt si la distance les séparant est supérieure
ou égale à 2r0 .
1
3
Principe du sismographe
Un sismographe est un appareil à mesurer l’amplitude d’une secousse sismique,
indépendamment de la pulsation de la secousse. Une masse m est suspendue à l’extrémité d’un ressort sans masse vertical, de raideur k. L’autre extrémité du ressort
est accrochée à un support A mobile selon la direction verticale. Le mouvement de la
masse m est amorti par un frottement visqueux avec un coefficient de frottement b.
Lorsqu’une secousse sismique se produit, elle transmet au support A un mouvement
qui, dans le référentiel d’étude supposé galiléen, est rectiligne harmonique d’équation
horaire xs (t) = Xs cos(Ωt). Nous admettons que Ω est la pulsation de la secousse, et
que Xs est son amplitude.
x
xs (t)
b
b
leq
m
b
O
x (t)
A l’équilibre.
b
m
En mouvement.
1. (a) Etablir l’équation différentielle du mouvement relatif de la masse m, repérée par sa position relative l par rapport au support A.
(b) Le régime d’oscillations forcées étant établi, établir la loi x(t).
2. (a) Montrer que pour des valeurs suffisamment faibles de Ω, l’appareil peut
servir de sismographe.
(b) Pour quelle gamme de la fréquence Ω, l’amplitude du mouvement relatif de
m diffère-t-elle de moins que 1% de l’amplitude de la secousse sismique ?
Application numérique : m = 5 kg, b = 0.4 kg.s−1 , k = 5.0 10−3 N.m−1 .
4
Transparence d’un métal aux ultra-violets
Dans un métal, un électron est soumis à des collisions avec les ions du réseaux,
dont l’effet moyen est représenté (modèle de Drude) par une force de frottement fluide
que nous noterons −h~v , h étant un coefficient de frottement fluide homogène à des
kg.s−1 .
En régime libre, c’est-à-dire quand l’électron n’est excité par aucun champs électrique,
le principe fondamental de la dynamique appliqué à l’électron conduit à l’équation
suivante :
v
v̇ + = 0,
τ
où v(t) représente la vitesse en projection sur un axe de l’électron, dont le mouvement est supposé rectiligne, et où on pose τ = m
, avec m la masse de l’électron.
h
Cette équation faut apparaître le temps de relaxation τ , dont la valeur est proche de
10−14 s.
En régime permanent de conduction, c’est-à-dire quand l’électron est soumis à un
~ 0 , le principe fondamental de la dynamique appliqué à l’élecchamp électrostatique E
tron conduit à l’équation v̇ + τv = − me E0 , dont la solution en régime permanent est
2
v = − eτ
E . Or, en régime permanent, la vitesse moyenne de déplacement ~v des élecm 0
trons est reliée au vecteur densité volumique de courant ~j dans le métal par la relation
~ 0 avec σ0 = n∗ e2 τ la conductivité du métal en
~j = −n∗ e~v , ce qui conduit à ~j = σ0 E
m
régime permanent. En prenant n∗ ≈ 1028 m−3 , e ≈ 10−19 C, τ ≈ 10−14 s, m ≈ 10−30 kg,
on trouve σ0 ≈ 106 S.m−1 , ce qui est en effet l’ordre de grandeur des conductivités
mesurées dans le cas des métaux.
Le métal est maintenu soumis à l’action d’un champ électrique oscillant qui, locale~ =E
~ 0 cos(ωt) avec E
~ 0 un champ électrostatique. Notons σ la
ment, peut s’écrire E
représentation complexe de la conductivité du métal ainsi excité.
1. Montrer que, dans le modèle de Drude, σ se comporte comme un filtre passe-bas
d’ordre 1 dont on donnera la valeur en statique, et la pulsation de coupure.
Nous considérons maintenant que, la pulsation ω étant très grande devant la pulsation
de coupure, la conductivité σ peut être assimilée à son expression asymptotique à
hautes fréquences.
2. Justifier le nom de "modèle non collisionnel du métal" donné à cette approximation.
3. Montrer que la puissance moyenne donnée par le champ au métal est nulle.
Interpréter d’une part en expliquant que ce résultat était prévisible, d’autre
part en considérant la possibilité pour des ondes électromagnétiques ayant des
fréquences suffisamment élevées, de traverser le métal sans être absorbées.
Remarque : Le fait de ne considérer, comme c’est le cas dans les équations ci-dessus,
qu’un électron isolé, et non pas un ensemble statistique d’électrons à l’échelle mésoscopique (que nous pourrions appeler une particule fluide dans un écoulement de
fluide électronique), est une approximation valable dans la limite où la convection
des particules est négligeable. La validité de cette approximation peut être discutée en considérant les termes apparaissant dans l’équation locale de la dynamique des
fluides. Voir (pour ceux qui feront PSI) le cours de mécanique des fluides de deuxième
année.
3
4
TD M5 : Mouvements à force centrale
1
Trajectoire elliptique d’un satellite
On considère un satellite artificiel de masse m assimilé à un point matériel M se
trouvant à t = 0 à ladistance r0 = OM0 . Sa vitesse en ce point est notée v0 . On note
−−→
α l’angle OM 0 , ~v0 .
Déterminer les vitesses et les positions du satellite au périgée et à l’apogée de sa
trajectoire.
Application numérique : m = 1tonne ; r0 = 24075 km ; MT = 5, 97.1024 kg ; v0 =
14650 km.h−1 ; α = 44.
2
Satellite géostationnaire
Un considère un satellite S de masse m piégé par l’attraction gravitationnelle de
la Terre. La masse de celle-ci est notée M , son rayon est noté R, son centre est noté
T . La constante de gravitation universelle est notée G. Le mouvement du satellite est
étudié dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen.
1. Rappelez les définitions du référentiel géocentrique et du référentiel terrestre
local. Nous considérons dans la suite que le plan de l’Equateur est fixe dans le
référentiel géocentrique.
2. A quelle condition S se déplace-t-il à vitesse angulaire constante ? A quelles
conditions supplémentaires est-il géostationnaire ? On précisera en particulier
le plan dans lequel le mouvement a lieu, et on exprimera l’altitude hs d’un tel
satellite en fonction de R, M , G et T0 la période de révolution de la Terre sur
elle-même dans le référentiel géocentrique. Application numérique.
3
Diffusion Rutherford
Dans l’expérience réalisée par le physicien britannique Rutherford en 1911, une
mince feuille d’or est bombardée par des particules α émises par un corps radioactif.
Ces particules ressortent de la feuille en étant plus ou moins déviées : on dit qu’elles
sont diffusées. Un atome d’or sera assimilé à son noyau, supposé ponctuel, de charge
électrique +Ze avec Z = 79. La particule α sera assimilé à un point matériel mobile
M de masse m, de charge électrique +2e. On envisage dans ce problème l’interaction
entre la particule M et un atome d’or, supposé immobile en un point B du référentiel
du laboratoire, lui-même supposé galiléen.
1. Mettre l’énergie potentielle d’interaction Ep entre la particule α et l’atome d’or
sous la forme Ep = Kr , avec K une constante dont on donnera l’expression en
fonction de Z, e et 0 la permittivité électrique du vide.
2. La particule α est-elle dans un état lié ou dans un état de diffusion ? Quelle est
la nature de la trajectoire ?
A l’infini avant qu’elle n’interagisse avec l’atome d’or, la particule α est animée de
la vitesse ~v0 = −v0~ex . La particule se déplace alors rectilignement le long d’une
droite orientée par ~ex et dont la distance au point B, appelée paramètre d’impact, est
notée b. On note ~ey le vecteur unitaire orthogonal à ~ex et orienté de telle sorte que
le moment cinétique de M en B, soit ~σB , est colinéaire et de même sens que ~ez , le
trièdre (~ex , ~ey , ~ez ) étant orthonormé direct.
1
3. Exprimer la norme de ~σB en fonction de b, m et v0 . En déduire l’expression de
la constante des aires C en fonction de b et de v0 .
4. Donner l’expression du vecteur excentricité ~e en fonction de m, b, v0 , K et des
vecteurs ~ex et ~ey . On note γ l’angle orienté (~ex , ~e). Exprimer γ en fonction de
m, b, v0 et K. En déduire, en fonction des mêmes grandeurs, l’expression de
l’angle φ dont la particule α est déviée. Donner l’allure de la courbe φ(b). Ce
résultat permet-il d’interpréter le phénomène de rétrodiffusion, effectivement
observé dans l’expérience de Rutherford ?
5. Donner l’équation de la trajectoire suivie par la particule α.
4
Transfert d’un satellite d’une orbite à une autre
On veut étudier le transfert d’un satellite d’une orbite circulaire de rayon R1 à
une autre orbite circulaire de rayon R2 .
Le transfert se fait sur une ellipse de Hohmann, tangente aux deux trajectoires circulaires. Le temps de fonctionnement des
propulseurs étant négligeable par rapport
à la durée du voyage, l’engin spatial est
donc soumis sur cette ellipse à la seule
force gravitationnelle, dont l’intensité F
est F = µm
, avec m la masse du satellite et
r2
µ une constante homogène à des m3 .s−2 .
1. Exprimer v1 et v2 les vitesses du satellite respectivement sur les trajectoires
circulaires de rayons R1 et R2 .
2. Exprimer v10 et v20 les vitesses du satellite respectivement en P et A (P périgée
et A apogée de la trajectoire elliptique).
3. Exprimer v2 , v10 et v20 en fonction de v1 , R1 et R2 .
4. Donner en fonction de v1 , R1 et R2 les expressions des accroissements de vitesse
respectifs ∆v1 et ∆v2 aux points P et A. Les calculer. Application numérique :
On donne les altitudes du satellite, à savoir respectivement h1 = 210 km et
h2 = 35800 km. µ = 39, 86.1013 m3 .s−2 .
5. (a) Exprimer en fonction des données le coefficient τ caractérisant l’accrois2
sement de vitesse total, que l’on définit comme le rapport τ = ∆v1v+∆v
.
1
Calculer τ .
(b) Exprimer la différence v2 − v1 en fonction de v1 , R1 et R2 . Comparer cette
différence avec ∆v1 + ∆v2 . Interpréter.
2
TD M6 : Référentiels non galiléens
1
Mouvement cycloïdal
Un cycliste avance sur un sol plat, en ligne droite et à vitesse constante par rapport
au sol. Soit v0 la norme de cette vitesse.
On considère en pensée un petit volume de matière, assimilable à un point matériel
M , dans la circonférence de la roue avant de la bicyclette. Cette roue a pour centre de
gravité A et pour rayon R. Son point de contact avec le sol est noté I. Elle roule sur
le sol sans glisser ; on admet que cette hypothèse se traduit par la relation : v0 = Rω.
1. (a) Donner les expressions de la vitesse et de l’accélération de M dans le
référentiel lié à la bicyclette.
(b) Même question dans le référentiel lié à la route.
2. Donner l’équation paramétrique (x(t) ; y(t)) de la trajectoire dans le référentiel
lié à la route. Préciser la position et les propriétés des points remarquables.
2
Anneau sur une circonférence
Une circonférence (C) de centre O0 et de rayon a, située dans le plan vertical,
tourne autour d’une de ses tangentes verticales (O ; ~ez ) d’un mouvement de rotation
→
−
uniforme défini par le vecteur rotation Ω . Le mouvement est étudié dans le référentiel
terrestre local, supposé galiléen, muni d’un repère cartésien (O ; ~ex , ~ey , ~ez ).
circonférence dans le plan (O, ~ey , ~ez )
position quelconque de la circonférence
Un anneau de masse m, assimilable à un point matériel M , est mobile sans frottement
−−→
sur la circonférence. On note θ l’angle entre le vecteur O0 M et la verticale ascendante
passant par O0 .
1. (a) Donner les expressions de la vitesse et de l’accélération de M dans le référentiel lié à la circonférence.
(b) Ecrire, dans ce référentiel, le principe fondamental de la dynamique appliqué à l’anneau.
2. Mêmes questions dans le référentiel terrestre local.
3
Déviation vers l’Est
Soit A un point de la surface de la Terre de latitude λ et soit O le centre de la
Terre. On appelle (<0 ) le référentiel lié à O et en translation par rapport au référentiel
1
de Copernic. (<0 ) est considéré comme galiléen. On appelle (<) le référentiel lié à A
et accompagnant la Terre dans son mouvement de rotation sur elle-même. On définit
un trièdre Axyz fixe dans (<) de la façon suivante : Ax est la tangente au méridien
dirigée vers le Sud ; Ay est la tangente au parallèle en A dirigée vers l’Est ; Az passe
par O et pointe vers le haut. Un point matériel M de masse m est lâché sans vitesse
initiale à l’altitude h au-dessus de A.
Le champ de pesanteur est supposé uniforme (g = 9, 8m.s−2 ). La vitesse angulaire de
rotation de la Terre sur elle-même est notée Ω. Ω se déduit de la période de révolution
de la Terre sur elle-même, qui est de 86160s.
1. Ecrire les équations différentielles régissant le mouvement de M dans le référentiel (<). En déduire la loi y(t).
On choisit comme instant initial, l’instant où le point matériel M est lâché. La durée
de chute tc est très courte devant la durée de révolution de la Terre sur elle-même :
Ωtc << 1.
2. (a) Donner l’expression approchée de la loi y(t) à l’ordre le plus bas par rapport
à la quantité Ωt.
(b) En déduire les expressions approchées de x(t) et z(t) à l’ordre le plus bas
en Ωt.
3. Donner un interprétation physique des termes x(t) et y(t). Comparer les deux
effets.
L’expérience a été faite dans un puits de mine de profondeur 158m, en un point de
latitude λ = 51.
4. Calculer la distance entre le point d’impact du mobile et la trace au fond du
puits de la verticale passant par le point de la surface où le mobile a été lâché.
4
Eau en rotation
Un point matériel M de masse m
est posé dans un cône animé d’un
mouvement de rotation autour de
son axe vertical. La vitesse angulaire de la rotation, notée ω, est
constante. Le référentiel terrestre
local est supposé galiléen.
Les frottements seront négligés.
1. Donner la relation entre α, angle des génératrices du cône par rapport à l’horizontale, et r, distance du point M à l’axe du cône.
2. En déduire la forme de la surface de l’eau dans le cas d’un récipient cylindrique
tournant autour de son axe à vitesse angulaire constante.
2
TD M7 : Système de deux points matériels
1
Chute d’une tige contre un mur
Deux masses identiques m, supposées ponctuelles (points M1 et M2 respectivement), sont fixées aux extrémités d’une tige de longueur 2a, de masse négligeable
devant m.
Le point M1 glisse sans frottement le long
de l’axe vertical (O ; ~uy ) et le point M2
glisse sans frottement le long de l’axe horizontal (O ; ~ux ). Par système, on entend
l’ensemble constitué par les deux masses.
Le référentiel terrestre local est supposé
galiléen.
1. Appliquer au système le théorème de la résultante cinétique.
2. Appliquer le théorème du moment cinétique. On se placera dans le référentiel
barycentrique.
3. Appliquer le théorème de l’énergie cinétique. On se placera dans le référentiel
terrestre.
4. Donner une expression de la durée de chute de l’échelle. (On pourra se contenter
de donner une expression intégrale de cette durée : le calcul de l’intégrale n’est
pas demandé.)
2
Deux patineurs
Deux patineurs de même masse m se tiennent à bout de bras, à la distance
−→
constante 2l : AB = l~ey .
On suppose que la liaison entre les deux
patineurs est rigide et que le mouvement
se fait sans frottement. Le mouvement est
étudié dans le référentiel terrestre local
supposé galiléen.
Initialement, A et B sont sur l’axe (O ; ~ey ).
A t = 0, on communique au patineur B
une vitesse ~v0 = v0~ex .
1. Déterminer le mouvement du centre d’inertie G du système constitué par les
deux patineurs.
2. Déterminer, pour t = 0, la vitesse angulaire du point B dans son mouvement
autour de G.
3. Exprimer la tension des bras.
4. Que devient la vitesse angulaire si la distance entre les deux patineurs diminue
de moitié ?
1
3
Deux points en mouvement rectiligne
Deux points matériels M1 et M2 , de masses respectives m1 et m2 , ainsi qu’un
ressort de masse négligeable devant M1 et M2 , sont astreints à glisser sans frottement
sur un axe horizontal. La distance entre M1 et M2 est notée r. Le ressort est caractérisé
par une constante de raideur k et une longueur au repos l0 . L’axe horizontal est orienté
par un vecteur unitaire ~ex .
La description du mouvement qui suit, est donnée dans le référentiel du laboratoire,
supposé galiléen.
Dans une première phase du mouvement, les points M1 et M2 n’interagissent pas. Le
point M1 est animé d’un mouvement de translation rectiligne à vitesse constante ~v0 .
Le ressort est détendu. Le point M2 et le ressort sont immobiles, et se touchent :
r (t)
ℓ0
t<0:
M1
x
b
b
O
M2
r (t)
ℓ(t)
0 ≤ t ≤ t0 :
O
x
b
b
M1
M2
r (t)
ℓ0
t0 < t :
O
b
b
M1
M2
x
L’origine du repère est prise en O extrémité libre du ressort avant sa compression. Les
abscisses respectives de M1 et M2 sont notées x1 et x2 . Leurs vitesses respectives sont
notées v1 et v2 . L’origine des temps est prise au moment où M1 rencontre l’extrémité
du ressort.
Dans une deuxième phase du mouvement, M1 et M2 interagissent par l’intermédiaire
du ressort, qu’ils compriment à chacune de ses extrémités.
Dans une troisième phase du mouvement, M1 et M2 n’interagissent plus. Le point M2
n’est plus en contact avec le ressort, et il est animé d’un mouvement de translation
rectiligne à vitesse constante. Le ressort est détendu. L’instant où le contact de M2
avec le ressort cesse, est noté τ .
Soit G le centre de masse du système des points matériels. Outre le référentiel du
laboratoire, on pourra se placer dans le référentiel barycentrique, pour lequel on
adoptera le repère cartésien (G, ~ex ). Les abscisses respectives de M1 et M2 dans ce
repère sont notées x∗1 et x∗2 . Leurs vitesses respectives sont notées v1∗ et v2∗ .
Dans la question 1, on se place dans le référentiel du laboratoire.
1. (a) Exprimer la position de G en fonction de x1 , x2 , m1 et m2 .
(b) Exprimer la vitesse de G en fonction de v0 , m1 et m2 .
(c) Donner l’équation horaire du mouvement de G.
2
Dans la question 2, on se place dans le référentiel barycentrique.
2. (a) Déterminer la loi r(t). On pourra considérer le mobile fictif associé au
système des points M1 et M2 .
(b) Exprimer x∗1 et x∗2 en fonction de r.
Dans la question 3, on revient au référentiel du laboratoire.
3. (a) Exprimer x1 et x2 en fonction de x∗1 , x∗2 et xG .
(b) En déduire les équations horaires x1 (t) et x2 (t).
(c) Que valent les vitesses v1 et v2 à l’instant τ − ? Comment évoluent-elles
ultérieurement ?
Dans toute la suite, on se place dans le référentiel du laboratoire. On appelle "système" l’ensemble constitué par les deux masses.
4. (a) Exprimer l’énergie cinétique du système avant l’interaction.
(b) Même question après l’interaction. On pourra considérer le mobile fictif et
utiliser le deuxième théorème de Kœnig.
(c) Comparer les deux valeurs obtenues. Ce résultat était-il prévisible ?
5. Exprimer l’énergie potentielle du système et son énergie cinétique à l’instant τ2 .
Faire leur somme. Commenter : ce résultat était-il prévisible ?
3
4
TD T1 : Introduction à la thermodynamique
1
Fonctionnement d’une thermistance
Une thermistance présente une résistance variable avec la température. Pour une
thermistance, on a les valeurs expérimentales des résistance :
T (K) 273 333
373
R (kΩ) 33,8 3,16 0,994
1. Montrer que ces mesures sont compatibles avec un ajustement de la forme :
R = A exp (B/T ). Déterminer A et B.
On veut utiliser cette thermistance à T0 = 300K pour mesurer de très petites variations de températures.
2. Quelle est la plus petite variation de température que l’on puisse ainsi mettre
en évidence, sachant que l’on peut mesurer une variation de résistance de 10−4
en valeur relative ?
2
Dilatation du mercure dans un thermomètre
Le tube d’un thermomètre est entièrement rempli de mercure.
1. Quelle est la surpression subie par l’enveloppe de verre (supposée indilatable)
lorsque la température augmente de 1°C ? On considèrera que ces variations (de
température, de pression) sont petites, c’est-à-dire assimilables à des quantités
différentielles.
2. En supposant que l’enveloppe de verre peut supporter jusqu’à une surpression de
10 bars, quelle augmentation de température peut-elle supporter sans rupture ?
Données : Les différentes dérivées partielles sont liées par la relation :
∂T
∂V
∂p
× = −1.
∂T V ∂V p ∂p T
Les coefficients thermoélastiques α et χT du mercure sont :
α = 1, 8.10−4 K −1 ; χT = 3, 9.10−11 P a−1 .
3
Transformation d’un gaz parfait
Un cylindre vertical, fermé en ses deux bouts, est séparé en deux compartiments
par un piston coulissant sans frottement. Ce piston, de masse m, de forme cylindrique,
de surface s égale à celle du cylindre, est homogène et a une masse surfacique σ = m/s.
Chaque compartiment contient un gaz parfait. A l’équilibre à la température θ0 = 0C,
les deux compartiments ont même hauteur h0 . Les pressions qui règnent dans les
compartiments inférieur et supérieur sont notées respectivement P0 et P00 . La pression
qui règne dans le compartiment inférieur est P0 = 100cmHg. On chauffe le système
jusqu’à ce qu’il atteigne, à l’équilibre, la température θ1 = 100C.
Quel est le déplacement du piston ?
Application numérique : σ = 136 g.cm−2 ; h0 = 50 cm ; g = 9, 81 m.s−2 .
1
2
TD T2 : Statique des fluides
1
Poussée d’Archimède
Une boule de rayon R est immergée entièrement dans un fluide par rapport auquel
elle est immobile. Le centre de la boule est à la profondeur h par rapport à la surface
libre, soumise à la pression P0 . On note ρ la masse volumique du fluide.
Exprimer la résultante des forces de pression exercées par le fluide sur la boule.
Vérifier qu’elle s’identifie à la valeur prévue par le théorème d’Archimède.
2
Equilibres isothermes d’un gaz parfait
Un tube cylindrique retourné sur une cuve à mercure contient dans sa partie
supérieure un gaz parfait. La hauteur de la colonne gazeuse est h1 = 10cm. Celle de
la colonne de mercure est h01 = 60cm.
On enfonce le tube de d = 20cm, la température restant constante. La nouvelle
hauteur de la colonne de mercure est h02 = 45cm. Calculer h2 et la valeur de la
pression atmosphérique.
3
Forces pressantes sur un barrage
Un barrage plan, de largeur L, retient les
eaux immobiles d’un lac artificiel. La hauteur d’eau est notée h. On note P0 la pression atmosphérique.
Déterminer la résultante des forces de pression exercées sur le barrage, ainsi que la
position du point d’application de cette résultante.
4
Pression atmosphérique en altitude
Calculer la valeur de la pression au sommet du Mont Blanc (altitude 4807 m) dans
le cadre des deux approximations suivantes :
1. la température de l’atmosphère est uniforme (modèle de l’atmosphère isotherme) ;
2. la température de l’atmosphère varie avec l’altitude suivant la loi :
T = T0 − Az ;
où T0 est la température au niveau de la mer. On note p0 la pression au niveau
de la mer, et M la masse molaire équivalente de l’air assimilé à un corps pur.
Données : T0 = 290K ; A = 6, 45.10−3 K.m−1 ; p0 = 1, 013bar ; M = 29g.mol−1 .
5
Manomètre différentiel
Deux récipients cylindriques de même section droite S sont reliés par un tube de
section intérieure s constante. L’ensemble contient deux liquides incompressibles non
miscibles entre eux : l’eau de masse volumique ρ0 , et l’aniline de masse volumique
ρ. L’accélération de la pesanteur est notée g. Initialement, la pression au-dessus des
1
deux liquides est la même, soit P0 . On provoque dans l’atmosphère du récipient de
gauche une surpression ∆P .
1. Exprimer la continuité de la pression à l’interface eau/aniline quand les deux
atmosphères sont à la même pression.
2. (a) Même question quand l’atmosphère du récipient de gauche est en surpression.
(b) En déduire le déplacement ∆h de la surface de séparation entre l’eau et
l’aniline dans le tube. Le résultat sera donné sous la forme du rapport
exprimé en fonction de ρ0 , ρ, g et du rapport Ss .
(c) Application numérique : ρ0 = 0, 998g.cm−3 ; ρ = 1, 024g.cm−3 ; g = 9, 81m.s−2 ;
s
∆h
= 0, 01. Commenter la valeur ∆P
obtenue. Quand une personne parle
S
juste au-dessus du récipient de gauche, observe-t-on un déplacement de la
surface de séparation ?
2
TD T3 : Premier principe
1
Adiabatique et isotherme d’un gaz parfait
Soit un gaz parfait (coefficient isentropique γ) détendu réversiblement depuis un
état initial de pression et température (Pi , Ti ).
1. Comparez la pente de la courbe correspondant à l’évolution isotherme et celle
de la courbe correspondant à l’évolution adiabatique.
2. Au terme de l’évolution adiabatique, le gaz est-il refroidi ou réchauffé ?
2
Expérience de Clément et Desormes
Un récipient de volume V est rempli d’un gaz parfait et relié à un manomètre. Il
est muni d’un robinet permettant la communication avec l’atmosphère. Celle-ci est à
la température T0 et à la pression p0 .
Initialement, le gaz est à la température T0 et à la pression p1 légèrement supérieure
à p0 . Soit h1 la dénivellation du manomètre correspondant à la surpression p1 − p0 .
Le robinet est ouvert et aussitôt refermé.
Un nouvel état d’équilibre s’établit, caractérisé par la pression p2 et la dénivellation
h2 .
1. Représenter, dans un diagramme de Clapeyron, les deux étapes de l’évolution
entre l’état d’équilibre 1 et l’état d’équilibre 2. Interpréter l’hypothèse selon
laquelle les pressions p1 et p2 diffèrent peu de p0 .
2. Exprimer, en fonction d’abord de p0 , p1 et p2 , puis de h1 et h2 , le coefficient γ
caractéristique du gaz.
3
Déplacement irréversible d’un piston
Un cylindre fermé, de section s, à parois calorifugées, est séparé en deux compartiments par un piston lui-même calorifugé, sans masse et pouvant coulisser sans
frottement. L’un des compartiments, de longueur l, contient de l’argon sous la pression P1 à la température T1 . L’autre compartiment, vide de tout gaz, contient un
ressort de raideur K dont les extrémités sont fixées l’une au piston, l’autre au fond
du cylindre. L’argon est assimilé à un gaz parfait.
1
Initialement, le ressort est rendu solidaire du corps du piston par un dispositif de
blocage, et le ressort est au repos : sa longueur est sa longueur à vide. On donne le
nombre de masse de l’argon A = 40 ; son coefficient énergétique γ = 5/3 ; s = 10−2 m2 ;
P1 = 105 P a ; T1 = 273K ; l = 0, 2m ; K = 103 N.m−1 .
1. Calculer le nombre de moles et la masse d’argon.
Le piston est débloqué et abandonné sans vitesse initiale. Le système se met rapidement à l’équilibre.
2. (a) La transformation du gaz peut-elle être considérée comme réversible ?
(b) Calculer la distance x dont s’est déplacé le piston, ainsi que la pression P2
et la température T2 du gaz à l’équilibre.
4
Mesure de la capacité thermique d’un liquide
Dans un calorimètre dont l’équivalent en eau est m0 = 200g, plonge un serpentin
= 1g.s−1 . Le liquide entre à la
parcouru par un courant liquide de débit D = dm
dt
température θ1 = 15C et ressort à la température du calorimètre. Initialement, la
température du calorimètre vaut θ0 = 95C. Au bout de ∆t = 5min de fonctionnement en régime permanent, elle vaut θ2 = 70.8C.
La chaleur massique de l’eau vaut c0 = 4.18J.g −1 .C −1 .
On prend comme système l’ensemble {liquide contenu dans le serpentin à l’instant t
+ masse dm contenue dans le serpentin un instant dt avant son entrée dans le calorimètre + calorimètre}. Il s’agit donc d’un système fermé.
1. En considérant une transformation que l’on définira soigneusement, écrire le
bilan enthalpique du système.
2. On considère que le système est thermiquement isolé. En déduire une équation
différentielle vérifiée par la température θ du calorimètre.
3. Résoudre cette équation. En déduire la capacité thermique du liquide en fonction de m0 , c0 , D, ∆t, θ0 , θ1 et θ2 . Faire l’application numérique.
5
Mise en équilibre thermique d’une résistance
Une résistance électrique de capacité calorifique C est placée dans l’air de température T0 . Lorsque la température de la résistance est T > T0 , on admet que la
quantité de chaleur perdue dans le milieu extérieur pendant une durée dt est de la
forme aC(T ˘T0 )dt, a étant une constante positive. Initialement, la résistance est en
équilibre thermique avec le milieu extérieur à la température T0 . A l’instant t = 0,
on commence à faire passer un courant dans la résistance, qui dissipe par effet Joule
une puissance constante P .
2
Etablir la loi de variation de la température T de la résistance en fonction du temps
t. Que vaut la température au bout d’une durée très grande ?
3
4
TD T4 : Deuxième principe
1
Enoncé de Clausius du second principe
Une manière d’énoncer le second principe a été donnée historiquement par Clausius sous la forme suivante : "Lors d’un transfert thermique, l’énergie ne passe pas
spontanément d’un corps froid à un corps chaud."
A partir des propriétés de l’entropie telles qu’elles sont définies dans le second principe, prouvez cet énoncé.
2
Déplacement d’un piston
Cet exercice fait suite à l’exercice D̈éplacement irréversible d’un pistond̈u TD
associé au chapitre T 3. L’énoncé est identique jusqu’à la question 1 incluse : l’état
d’équilibre initial, caractérisé par P1 et T1 , est le même. Dans le présent exercice, on
considère deux transformations différentes à partir de cet état.
Le piston est débloqué et conduit lentement jusqu’à sa nouvelle position d’équilibre.
1. Calculer la distance x dont s’est déplacé le piston, ainsi que la pression P2 et la
température T2 du gaz à l’équilibre. Calculer la variation d’entropie.
Le piston est débloqué et abandonné sans vitesse initiale. Le système se met rapidement à l’équilibre.
2. Mêmes questions. Comparer avec la transformation précédente. Commenter.
3
Variation d’entropie d’un gaz
Une mole d’hélium est enfermée dans un cylindre dont les parois sont diathermes,
lui-même plongé dans un thermostat à T0 = 273K. On prendra cv,m = 3R/2 pour
capacité thermique molaire de l’hélium.
Initialement, le gaz est à la température T1 = 300K. On le laisse refroidir jusqu’à ce
qu’il soit à l’équilibre thermique.
1. Calculer les variations d’entropie respectivement du gaz, du thermostat et de
l’univers (c’est-à-dire de l’ensemble constitué par le gaz et le thermostat, considéré comme un système isolé).
A partir de l’équilibre précédent, on réduit de moitié le volume du gaz de manière
isotherme et réversible.
2. Mêmes questions.
4
Méthode des mélanges dans un calorimètre
Un calorimètre de capacité thermique C = 150J.K −1 contient initialement une
masse m1 = 200g d’eau à la température ambiante θ1 = 20, 0C. L’ensemble est
en équilibre thermique. On plonge dans l’eau un bloc de fer de masse m2 = 100g
initialement à la température θ2 = 80, 0C. On donne la capacité thermique massique
de l’eau ce = 4, 18kJ.kg −1 .K −1 ; et celle du fer cF e = 452J.kg −1 .K −1 .
Calculer la température finale θf , la variation d’entropie du bloc de fer, l’entropie
créée.
1
2
TD T5 : Changements d’états
1
Fusion de glaçons
Deux glaçons de 10g chacun, initialement à −19C, sont introduits dans un volume
de 250ml d’eau à 25C. Le système constitué initialement par les deux glaçons et l’eau
liquide est supposé isolé.
Décrire l’état final. En donner la température. Calculer la variation d’entropie lors
de l’évolution. Données : l’enthalpie massique de fusion de l’eau est hf us = 333J.g −1 ;
la capacité thermique massique de l’eau liquide vaut cl = 4, 18J.g −1 .K −1 ; celle de la
glace vaut cg = 2, 10J.g −1 .K −1 ; la masse volumique de l’eau est ρ = 1, 0g.cm−3 .
2
Solidification d’une goutte d’eau
La neige artificielle est obtenue en pulvérisant de fines gouttes d’eau liquide à
T1 = 10°C dans l’air ambiant à Te = −15°C. On suppose que la goutte est sphérique
de rayons R = 0, 2mm, et que son évolution est quasi-statique. Soit T sa température.
A l’interface eau−air le flux thermique dφ traversant une surface dS, de l’intérieur
vers l’extérieur de la goutte est donné par dφ = h(T − Te )dS, où h est une constante
positive. On note Tf la température de solidification de l’eau à l’équilibre sous la
pression atmosphérique, lf l’enthalpie massique de fusion de l’eau glace sous la même
pression, c la capacité thermique massique de l’eau liquide et ρ la masse volumique
de l’eau à l’état condensé (indifféremment liquide ou solide). Les valeurs numériques
suivent : Tf = 0°C ; lf = 330 kJ.kg−1 ; c = 4, 18 kJ.kg−1 .K−1 ; ρ = 1000 kg.m−3 ;
h = 65W.K −1 .m−2 .
1. Ecrire l’équation différentielle vérifiée par la température T (t) de la goutte, dans
.
son évolution au cours du temps. La résoudre. On posera τ = ρcR
3h
2. Déterminer l’instant t1 auquel T atteint la valeur Ts = −5°C. Application numérique.
A l’instant t1 , le liquide est métastable (surfusion). A cet instant, la métastabilité
cesse et la température de la goutte revient à Tf . On note x la fraction de liquide
dans le mélange liquide / solide. L’évolution est supposée adiabatique (car rapide) et
isobare.
3. Quelle fonction d’état est-elle constante au cours de l’ensemble de l’évolution ?
4. Déterminer x. Application numérique.
5. Déterminer la durée t2 − t1 nécessaire à la solidification totale de la goutte.
Application numérique.
3
Conditions de liquéfaction
Dans cet exercice, les résultats seront donnés en C et en bars.
La vapeur d’eau est considérée comme un gaz parfait avec γ = 1, 4. La pression de vapeur saturante de l’eau vérifie approximativement, pour des températures
comprises
θ 4
∗
entre 100°C et 200°C, la loi empirique de Duperray : P = 100 ; avec P ∗ en bars
et θ en °C.
Un récipient contient de la vapeur d’eau sous une pression de 10 bars et à la température de 200°C. Le volume étant fixé, on refroidit progressivement le récipient.
1
1. (a) A quelle température la vapeur d’eau commence-t-elle à se condenser ?
Quelle est alors la pression ?
(b) Que valent la température et la pression lorsque la moitié de la vapeur
d’eau est condensée ?
On reprend l’état initial de la question précédente, et on détend cette fois-ci la vapeur
d’eau de façon adiabatique et réversible.
2. A quelle température la vapeur d’eau commence-t-elle à se condenser ? Quelle
est alors la pression ?
2
TD T6 : Machines thermiques dithermes
1
Enoncé de Thomson du second principe
Une manière d’énoncer le second principe a été donnée historiquement par Thomson sous la forme suivante : "Un système en contact avec un seul thermostat ne peut,
au cours d’un cycle, fournir du travail." En d’autres termes : "Il n’existe pas de moteur monotherme."
A partir du second principe, prouvez cet énoncé.
2
Réfrigérateur irréversible
Un réfrigérateur fonctionne entre deux sources de chaleur à températures resp.
Tc = 300K et Tf = 263K. Au cours d’un cycle, Qc et Qf représentent les transferts
thermiques reçus par le fluide thermique resp. de la part de la source chaude et de la
source froide, et W représente le travail reçu par le fluide.
1. Calculer l’efficacité du réfrigérateur supposé fonctionner de manière réversible.
En réalité, le fonctionnement de ce réfrigérateur fait intervenir des phénomènes irréversibles non négligeables. On constate que le rapport des transferts
thermiques
est
Tc Qc lié au rapport des températures des sources par la relation Qf = 1.2 Tf .
2. Calculer l’efficacité du réfrigérateur.
3
Moteur thermique réversible
Une masse m1 = 8, 25g de glace à 0°C est mise en contact avec une masse m2 =
1, 66g de vapeur d’eau à 100°C. Au cours de l’évolution, la pression est constante
valant p0 = 1, 0bar. Le système fermé constitué par les deux masses m1 et m2 est
isolé.
1. Déterminer l’état final et la création d’entropie.
Un moteur réversible fonctionne entre les deux sources précédentes : la glace fond,
la vapeur se condense. L’arrêt du moteur correspond à l’égalité des températures des
deux sources.
2. Déterminer cette température, et le travail total fourni par le moteur.
Données : l’enthalpie massique de fusion de l’eau à 0°C est hf us = 333J.g −1 ; l’enthalpie massique de vaporisation de l’eau à 100°C est hvap = 2250J.g −1 ; la capacité
thermique massique de l’eau liquide vaut c0 = 4, 18J.g −1 .K −1 ; la masse volumique
de l’eau est ρ = 1, 0g.cm−3 .
4
Cycle de Stirling
Un gaz, supposé parfait (coefficient isentropique γ), est contenu dans une enceinte
dont une partie supérieure est chaude (température Tc ) tandis qu’une partie inférieure
est froide (température Tf < Tc ). Les deux parties, reliées par un canal de volume
négligeable, sont fermées par des pistons mobiles. Un certain fonctionnement de cet
ensemble (que nous ne détaillons pas ici) peut être modélisé par un cycle réversible
constitué des quatre étapes suivantes :
1
• étape 1 − 2 : détente isotherme (Tc ) ;
• étape 2 − 3 : refroidissement isochore (Vc ) ;
• étape 3 − 4 : compression isotherme (Tf ) ;
• étape 4 − 1 : chauffage isochore (Vf ).
On note q1 et w1 la chaleur et le travail effectivement donnés par une mole de gaz sur
un cycle, et q2 et w2 la chaleur et le travail effectivement reçus par une mole du gaz
sur un cycle. La chaleur et le travail algébriquement reçus par une mole de gaz sur
un cycle sont donc Q = q2 − q1 et W = w2 − w1 .
1. Représenter le cycle en coordonnées (P, V ) et en coordonnées (T, S).
2. Exprimer W , q1 et q2 en fonction de R, γ, Tc , Tf , Vc et Vf .
. Que devient cette expression dans
3. Exprimer le rendement énergétique η = W
q2
le cas particulier où la chaleur nécessaire au chauffage isochore est entièrement
récupérée au cours du refroidissement isochore ?
2
TD Opérateurs sur les champs
1
Opérateurs sur un champ scalaire
Considérons le champ scalaire U défini, en coordonnées cartésiennes de base
(~ex , ~ey , ~ez ), par l’expression U (x, y, z) = x(y − 1) + y(z − 1) + z 3 .
~
1. Calculer gradU
et ∆U .
2. Donner l’équation du plan tangent à la surface U = 0 au point (0, 0, 0).
2
Opérateurs sur un champ vectoriel
~ défini, en coordonnées cartésiennes de base
Considérons le champ vectoriel W
~
(~ex , ~ey , ~ez ), par l’expression W (x, y, z) = x(y − 1)~ex + y(z − 1) ~ey + z 3~ez .
~ , rot
~ et ∆W
~.
~ W
Calculer div W
3
Champ des vitesses de la houle
Un fluide dans l’état de repos occupe toute la région des z négatifs (z 0 z est un
axe vertical ascendant). La propagation d’une onde de gravitation engendre un mouvement du fluide caractérisé par le champ des vitesses V~ (M ). En tout point M(x, y,
z) à l’instant t, on a :
Vx = aωekz cos(ωt − kx) ;
Vy = 0 ;
Vz = −aωekz sin(ωt − kx) ;
où a est une distance, ω une pulsation, et k le module d’un vecteur d’onde.
1. Exprimer la divergence de ce champ vectoriel. Interpréter.
2. Exprimer le rotationnel de ce champ vectoriel. Interpréter.
4
Ondes sonores à symétrie sphérique
Une cavité sphérique de centre O et de rayon R, pleine d’air dans les conditions
ordinaires, est le siège d’une onde sonore harmonique de pulsation ω, à symétrie sphérique, telle que la surpression acoustique p, exprimée dans le système des coordonnées
sphériques, s’écrit :
p(r, t)=Re(f (r)ejωt ) ;
où f (r) est une fonction de r à valeurs complexes. Les équations conduisent, dans le
cadre de l’approximation acoustique, à :
∆p =
1 ∂2p
c2 ∂t2
;
où c est la célérité des ondes sonores planes dans l’air.
1. Etablir l’équation différentielle vérifiée par f .
2. Résoudre cette équation. On pourra procéder au changement de la fonction
inconnue f à la nouvelle fonction inconnue ψ telle que ψ(r) = rf (r).
1
5
Champ créé par un dipôle électrique oscillant
Une charge −q fixe est placée au point O choisi comme origine. Une charge +q se
déplace sur l’axe Oz selon un mouvement harmonique de position moyenne le point
O, de pulsation ω. Le moment dipolaire variable ainsi constitué est noté p~(t), et on
a donc : p~(t) = p(t)~ez , ~ez étant un vecteur unitaire orienté selon l’axe z. On peut
~ vérifie :
montrer que, loin du dipôle (approximation dipolaire), le potentiel vecteur A
~=
A
r
0
µ0 p (t− c )
~ez
4π
r
;
où c est la célérité des ondes électromagnétiques planes dans le vide, et p0 (t) est la
valeur à l’instant t de la dérivée par rapport au temps de la quantité p(t). De plus,
~ et le potentiel scalaire V vérifient la relation,
on admet que le potentiel vecteur A
appelée relation de jauge de Lorentz :
~ 12 ∂V =0 .
divA+
c ∂t
1. Exprimer le potentiel scalaire V .
2. Montrer que, pour r >> Λ =
négligeable.
c
,
ω
l’un des termes du potentiel scalaire est
2
TD EM1 : Lois générales de
l’électromagnétisme
1
Champ électrique créé par une boule chargée
Soit une boule de centre O, de rayon a, uniformément chargée. La densité volumique de charge locale est notée ρ(t). L’air environnant est assimilé, du point de
vue de ses propriétés électriques, au vide de permittivité électrique 0 . Cette distribution de charge crée en tout point de l’espace à l’instant courant un champ électrique
→
−
E (M, t). On adoptera le système des coordonnées sphériques de centre O.
1. Montrer que le champ électrique est radial et ne dépend que de la distance à
→
−
O, soit r, et du temps : E (M, t) = E(r, t)~er .
2. En considérant un volume adéquat, que l’on définira soigneusement, et en expri→
−
mant le flux de E à travers les surfaces limitant ce volume, donner l’expression
de E(r, t) en fonction de r et de ρ(t).
→
−
3. Le champ E est-il continu à la traversée de la surface de la boule ? Ce résultat
était-il prévisible ?
2
Champ magnétique au voisinage de l’axe d’une
spire
Une spire circulaire parcourue par un courant uniforme crée un champ magnétique,
~
soit B(M
) au point M . L’expression de ce champ est supposée connue sur l’axe de
~
la spire : pour un point M de cote z appartenant à l’axe de la spire, la fonction B(z)
est connue.
1. Montrer que, dans un système de coordonnées cylindriques d’axe l’axe de la
~ peut être écrit sous la forme : B(M
~
spire, le champ B
) = Br (r, z)~er + Bz (r, z)~ez .
2. En définissant, au voisinage d’un point M éloigné d’une distance infinitésimale
dr de l’axe de la spire, un certain volume infinitésimal, et en exprimant le flux
~ à travers les surfaces limitant ce volume, exprimer Br (dr, z) = dBr en
de B
fonction de dr et d’une dérivée de la fonction qui à z associe Bz (0, z).
1
2
TD EM2 : Electrostatique
1
Champ et potentiel créés par un plan chargé
Un plan Π porte des charges électriques dont la densité surfacique σ est non
uniforme. On souhaite calculer le potentiel et le champ électrostatique créés par cette
distribution en un point O de l’espace, distant de Π d’une distance notée a, et tel
que la perpendiculaire ∆ à Π passant par O est axe de symétrie pour la distribution
de charge σ. Plus exactement, au voisinage d’un point M de Π, la densité surfacique
est définie par σ(M ) = σ0 (cos θ)3 , θ désignant l’angle entre ∆ et la droite (OM ).
1. Calculer la charge totale du plan Π.
2. Calculer, en fonction de a, σ0 et 0 , le potentiel et le champ électrostatique en
O.
2
Modèle de membrane cellulaire
Une répartition uniforme de charge électrique, de densité volumique ρ1 , est limitée
par deux plans (A) et (M ) parallèles. Une deuxième répartition uniforme, de densité
volumique ρ2 , est limitée par deux plans (M 0 ) et (B) parallèles. Les plans (A) et (M )
sont distants de a, et de même les plans (M 0 ) et (B). Le tout est plongé dans le vide
de permittivité 0 .
Exprimer la différence de potentiel entre (M ) et (M 0 ).
Application numérique : Les zones
I et II contiennent des cations monovalents de concentrations resp.
C1 et C2 .
On donne : C1 = 5.10−5 mol.l−1 ;
C2 = 3.10−5 mol.l−1 ; a =
1
3.10−8 m ; d = 6.10−9 m ; 4π
=
0
9
−1
9.10 F.m ; charge élémentaire
e = 1, 6.10−19 C ; nombre d’Avogadro N = 6, 0.1023 .
3
Energie potentielle d’une boule chargée
Une boule de rayon R est uniformément chargée en volume, la densité volumique
de charge étant notée ρ.
1. Exprimer, en fonction de ρ, R et 0 , le potentiel électrostatique à la surface de
la sphère.
On souhaite déterminer l’énergie potentielle électrostatique de la boule. A cette fin,
on propose l’expérience de pensée consistant à la construire "couche après couche" : la
boule étant construite avec un rayon courant r (strictement inférieur à R), on amène
de l’infini une quantité de charge dq telle que, répartie uniformément avec la densité
volumique ρ, elle fasse augmenter le rayon courant de la quantité dr. Le nouveau
rayon, à l’issue de cette transformation, vaut donc r + dr.
1
2. (a) Exprimer dq en fonction de ρ, r et dr.
(b) Quel travail élémentaire δW l’opérateur a-t-il fourni dans l’opération consistant à amener la charge dq depuis l’infini jusqu’au pourtour de la boule de
rayon dr ?
(c) En déduire l’expression, que l’on donnera en fonction de ρ, R et 0 , de
l’énergie potentielle électrostatique de la boule.
4
Quadripôle électrostatique
Soit un ensemble de trois charges alignées : deux charges −q situées en deux points
distincts A et B resp., et une charge +2q située en O milieu de [A; B]. On note a la
distance AB.
~ en un point M de l’espace
Calculer le potentiel V puis le champ électrostatique E
situé à grande distance de l’ensemble des trois charges.
5
Interaction entre deux dipôles électrostatiques
Un dipôle électrostatique, de moment dipolaire p~1 , est fixe dans le référentiel
d’étude. On note O sa position, et Ox l’axe orienté dans son sens. A tout point M ,
~ , soit θ.
on peut associer sa distance à O, soit r, et l’angle orienté entre Ox et OM
On définit ainsi, dans tout plan contenant le dipôle et M , un système de coordonnées
polaires dont les vecteurs de base sont notés (~er , ~eθ ). Le champ électrique créé par le
dipôle en M se décompose sur ces deux vecteurs resp. selon Er et Eθ .
~eθ
α
~p2
~er
M
r
θ
O
x
~p1
1. Donner l’expression de Er et Eθ en fonction de p1 , 0 , r et θ. Application
~
numérique : pour p1 = 91 10−10 C.m , calculer l’amplitude du champ
E aux
π
π
points M1 , M2 et M3 de coordonnées resp. (0.1; 0) ; 0.1; 4 ; 0.1; 2 .
Un dipôle électrostatique est placé en M . Il ne peut que pivoter autour de ce point.
−−→
En position d’équilibre, sa direction fait avec OM l’angle orienté α.
2. Exprimer la relation entre θ et α. On tiendra compte d’éventuelles positions
d’équilibre instable. Application numérique : p1 ayant la valeur donnée à la
question 1, calculer α aux trois points M1 , M2 et M3 définis précédemment.
Préciser la stabilité des positions d’équilibre.
Le dipôle p~2 est placé dans le plan perpendiculaire à Ox passant par O, soit en un
point M tel que θ = π2 . Un opérateur extérieur applique un champ électrique uniforme
~ 0 , orienté dans la direction et le sens de Ox. Le moment résultant des deux dipôles
E
est noté p~, soit : p~ = p~1 + p~2 .
3. Donner la valeur de p en fonction de l’intensité E0 du champ extérieur. On
considère que p~ prend sa position d’équilibre stable.
2
TD EM3 : Magnétostatique
1
Expérience de Rowland
Un anneau de centre O, de rayon r, d’axe Oz, est
parcouru par un courant électrique d’intensité I
~ dans
stationnaire. Il crée un champ magnétique B
tout l’espace.
~
Exprimer, en fonction de µ0 , I, r et z, le champ B
en un point M de l’axe, d’abscisse z.
Un disque de centre O, de rayon R, d’axe Ox, porte
une charge électrique Q répartie uniformément à sa
surface. Le disque tourne autour de son axe avec
une vitesse angulaire ω constante.
1. Expliquer pourquoi un champ magnétique apparaît.
On considère un point M de l’axe, d’abscisse z.
~ en M ?
2. Quels sont la direction et le sens de B
Considérons une couronne de centre O, de largeur dr à la surface de la spire. Cette
couronne peut être considérée comme un conducteur filiforme immobile dans le référentiel d’étude, et parcourue par un courant électrique dI.
3. (a) Exprimer dI en fonction de Q, ω, R, r et dr.
~ en M .
(b) Exprimer, en fonction de µ0 , Q, ω, R et z, le champ magnétique B
2
~ au voisinage d’une spire
Champ B
Un anneau circulaire de diamètre d = 2a = 5cm est formé d’un fil métallique de
résistivité % = 1, 8.10−7 Ω.m, de masse volumique ρ = 5, 7.103 kg.m−3 et de faible
section s = 1, 0cm2 .
1. Calculer la résistance électrique R et la masse m de l’anneau.
~ p de l’anneau en un point P de son plan est
2. Le champ magnétique propre B
seulement fonction de la distance r = CM au centre et on admet que la norme
~
Bp (r) de B
p varie, si l’anneau est parcouru par un courant i, selon Bp (r) =
β
i α + a−r où α et β sont des constantes. Expliciter α et β en fonction de la
perméabilité du vide µ0 et de a.
3
Deux fils (1)
Deux fils parallèles portent des densités linéiques de charge électrostatiques constantes
et de signes opposés, soit +λ et −λ. Ils sont traversés par des courants électriques
constants et de sens opposés, dont l’intensité vaut I en valeur absolue.
~ et B
~ créés par cette distribution de sources, sont orthogoMontrer que les champs E
naux en tout point de l’espace.
1
3.1
Deux fils (2)
Deux fils rectilignes verticaux infiniment longs, séparés de la distance a, sont
parcourus par des courants électriques permanents de même intensité I, et de sens
opposés. Ils sont plongés dans le vide, de perméabilité magnétique µ0 . O est situé à
mi-distance des fils, et un système de coordonnées cartésiennes dans le plan horizontal
passant par O, tel que les deux fils coupent le plan aux points A1 et A2 de coordonnées
resp. (− a2 , 0) et (+ a2 , 0). Le fil 1 (passant par A1 ) est parcouru par un courant allant
vers le haut, le fil 2 (passant par A2 ) est parcouru par un courant allant vers le bas.
1. Montrer que le champ magnétique créé par chacun des deux fils 1 et 2 peut
~ i et expliciter les « potentiels magnétostatiques » φ1 et
~ i = ~ez ∧ gradφ
s’écrire B
φ2 créés par les fils 1 et 2.
~
2. Donner les symétries vérifiées par le champ B.
Un point contenu dans le plan perpendiculaire aux deux fils et passant par O, est
distant de r1 du fil 1, et de r2 du fil 2. Ce point peut être repéré, par rapport au point
O et à l’axe Ox, par les coordonnées polaires (ρ, θ). On définit le moment magnétique
M = 2Iµ0 a.
3. Exprimer φ en fonction de r1 et r2 , puis de ρ et θ. Donner le développement
limité de φ à l’ordre le plus bas par rapport à la quantité a/ρ, dans la limite
des grandes valeurs de ρ.
4. En déduire, à la même approximation, les composantes du champ magnétosta~ loin des fils. On donnera l’expression de ces composantes dans la base
tique B
des coordonnées polaires (~eρ , ~eθ ).
5. Écrire l’équation différentielle définissant les lignes du champ magnétique dans
le plan considéré. La résoudre, et tracer plusieurs lignes de champs.
6. Donner la dimension de M . Décrire comment les lignes de champ seraient mo~ 0 uniforme
difiées si on superposait à ce système un champ magnétostatique B
parallèle à l’axe Ox, et orienté dans le sens de cet axe.
2
~ et B
~
TD EM4 : Particules chargées dans E
1
Vitesse relativiste d’un électron
On note me la masse de l’électron et −e sa charge. On note mp la masse du proton
et +e sa charge. Sous une tension U , une particule chargée initialement immobile est
accélérée jusqu’atteindre une vitesse limite constante. On note ve la valeur de cette
vitesse dans le cas de l’électron, vp sa valeur dans le cas du proton.
1. Pour quelle valeur de la tension U la vitesse ve dépasse-t-elle le dixième de
la célérité c de la lumière dans le vide ? Même question pour vp . Application
numérique avec les données suivantes : me = 9, 1.10−31 kg ; me = 1, 7.10−27 kg ;
e = 1, 6.10−19 C.
Un faisceau homocinétique de particules chargées (électron ou proton), après avoir
été accéléré sous la tension U , entre dans une région de l’espace où règne un champ
→
−
magnétique B orthogonal à la direction initiale de la vitesse. On note v la valeur
de la vitesse à l’instant où les particules entrent dans cette région. On prendra g =
9, 8 m.s−2 .
2. Pour quelle valeur de B la force de Lorentz dépasse-t-elle cent fois la valeur du
poids de la particule ? Application numérique dans les cas de l’électron et du
proton. Commenter.
2
Un cyclotron
Le cyclotron est schématisé ci-contre. On lâche au point
O, sans vitesse initiale, une particule de masse m, de
charge négative −q (q > 0).
En vue de dessus, les zones semi-circulaires sont plongées dans un champ magnétique uniforme de module B.
Entre ces zones, deux bandes de largeur d sont plongées
dans deux champs électrostatiques de même direction,
dont les modules sont égaux, mais dont les sens sont
opposés : E1 = E2 = E.
1. (a) Indiquer le sens dans lequel la particule parcourt la cavité.
(b) Quelle est la nature du mouvement de la particule dans la région ? Exprimer la vitesse de la particule lorsque, depuis la région 1, elle entre dans la
région 3. Soit v1 cette vitesse.
(c) Quelle est la nature du mouvement de la particule dans la région 3 ? Préciser les caractéristiques de la trajectoire parcourue.
(d) Exprimer la vitesse de la particule lorsque, depuis la région 2, elle entre
dans la région 4. Soit v2 cette vitesse.
2. Après n passages dans l’une des régions 1 ou 2, quelle est la vitesse vn de la
particule ? Préciser les caractéristiques de la trajectoire parcourue dans celle
des régions 3 ou 4 où la particule se trouve.
3. On peut mesurer la durée passée par la particule dans l’une des régions 3 ou 4.
Montrer que cette durée reste constante au cours du mouvement, et permet de
calculer le rapport q/m.
1
3
Deux électrons et un dipôle magnétique
~ est situé en un point fixe O pris comme
Un dipôle magnétique de moment M
~ = M~ez . Deux
origine d’un système de coordonnées cylindriques dans lequel on a M
électrons sont placés dans le plan perpendiculaire au dipôle et contenant O (noté
ensuite Π), de part et d’autre de O et à la même distance a. Ils sont lâchés tous deux
sans vitesse initiale. On admet que le mouvement des deux électrons a lieu
dans le plan Π.
1. Exprimer le champ magnétique en tout point du plan Π.
2. Ecrire les équations du mouvement vérifiées par chaque électron.
3. Etudier la variation de la norme v de la vitesse de chaque électron en fonction
de sa distance r au point O. Même question pour le moment cinétique σ de
chaque électron par rapport à l’axe Oz.
2
TD CS1 : Structure électronique de l’atome
1
Configurations électroniques interdites
Identifier, parmi les configurations électroniques suivantes, celles qui ne peuvent
pas exister :
a 1s2 2s2 2p7 ;
c 1s2 2s2 2p6 3s2 ;
b 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d12 4s2 ;
d 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 .
2
Configurations électroniques du carbone
Indiquer, parmi les configurations électroniques suivantes, celle(s) qui représente(nt)
l’état fondamental, un état excité ou une configuration interdite de l’élément carbone
(Z = 6).
3
Configurations électroniques du nickel
Classer, par énergie croissante, les diverses configurations de l’atome de nickel
(Z = 28).
a 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s0 ;
b 1s2 2s2 2p6 3s2 3p8 3d6 4s2 ;
c 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d8 4s2 .
1
2
TD CS2 : Classification périodique
1
Energie de première ionisation
Le calcium est le troisième élément de la seconde colonne.
1. Quelle est la configuration électronique de ses atomes dans leur état fondamental ? En déduire son numéro atomique.
Le tableau ci-dessous donne les énergies de première ionisation des atomes des éléments de la période du calcium par ordre croissant de leur numéro atomique en
omettant les éléments du bloc d.
élément
K
Ca
Ga
Ge
As
Se
Br
Kr
Ei,1 (eV ) 4,34 6,11 6,00 7,90 9,81 9,75 11,81 14,00
2. (a) Comment varie globalement l’énergie de première ionisation Ei,1 en fonction de Z ? Que peut-on en déduire ?
(b) Expliquer les deux singularités présentées par le calcium et l’arsenic.
2
Electronégativité de Mulliken
Le tableau ci-dessous donne les énergies de premier attachement électronique et
les énergies de première ionisation de différents halogènes.
élément
F
Cl
Br
I
Z
9
17
35
53
Ei,1 (eV ) 17,4 13,0 11,8 10,5
Eatt,1 (eV ) –3,3 –4,0 –3,8 –3,4
1. Où sont situés les éléments halogènes dans la classification périodique.
2. Déterminer l’électronégativité de Mulliken des halogènes ci-dessus.
3. Comment ces électronégativités varient-elles ? Cette évolution était-elle prévisible ?
1
2
TD CS3 : Structure des édifices
polyatomiques
1
Composés homonucléaires de l’oxygène
1. Ecrire les formules de Lewis de l’atome d’oxygène, de l’ion O− , de l’ion oxyde
O2− .
2. Ecrire la formule de Lewis du dioxygène O2 , de l’ion superoxyde O2− •, de l’ion
peroxyde O22− .
3. Proposer une structure de Lewis de la molécule de peroxyde d’hydrogène H2 O2 .
4. Pour la molécule de trioxygène O3 , proposer une structure de Lewis et, grâce à
la méthode VSEPR, une géométrie.
2
Les oxydes d’azote
1. Donner la formule de Lewis du monoxyde d’azote N O.
Dans certaines conditions de température, cette molécule peut se dimériser en N2 O2 .
2. (a) Justifier la facilité de cette dimérisation, et donner la formule de Lewis
probable du dimère.
(b) Donner la géométrie du dimère, prévue par la méthode VSEPR. Préciser
la valeur des angles de liaison.
3. Donner les quatre formules mésomères du dioxyde d’azote N O2 . Justifier qu’il
se dimérise facilement en N2 O4 . A partir de ces structures, expliquer l’autodissociation de N2 O4 liquide :
N2 O4 (liq) = N O+ + N O3− .
3
Autres composés oxygénés de l’azote
Le dioxyde d’azote N O2 peut donner naissance aux ions nitronium N O2+ et nitrite
N O2− .
1. En se limitant au seul modèle de Lewis, représenter les structures de chacune
de ces trois espèces. Préciser les diverses formules mésomères.
dO vaut 134 dans N O2 ,
2. Prévoir la géométrie de ces trois espèces. L’angle ON
−
115 dans N O2 . Interpréter ces valeurs expérimentales.
4
Structure de la borazine
La borazine est une molécule cyclique de formule brute B3 N3 H6 . On rappelle que
le bore a pour numéro atomique Z = 5.
1. Donner la représentation de Lewis de la borazine.
2. Donner les formules mésomères les plus contributives.
3. Comparer la molécule de la borazine à celle du benzène. Qu’en déduisez-vous
quant à la géométrie de la molécule ?
1
2
TD CS4 : Cristaux
1
Masse volumique du zinc métallique
Le zinc métallique cristallise dans le système hexagonal. Les paramètres de la
maille conventionnelle, déterminés par diffraction des rayons X, ont les valeurs suivantes : a = 266, 5pm ; c = 494, 7pm.
1. En supposant que l’empilement des atomes de zinc est compact dans le plan de
base de la maille conventionnelle, déterminer le rayon de la sphère dure associée
à un atome, soit R.
2. L’empilement des atomes dans l’espace est-il compact ?
3. Déterminer la masse volumique du zinc. On donne la masse molaire du zinc :
M (Zn) = 65, 38g.mol−1 .
2
Rayon des sites interstitiels
Un métal cristallise dans le système cubique faces centrées, l’empilement des
atomes étant compact. Le rayon de l’atome est noté R. Déterminer le rayon maximal
d’un atome pouvant occuper :
1. un site tétraédrique ;
2. un site octaédrique.
3
Le bromure d’ammonium
A température ambiante, le bromure d’ammonium N H4 Br cristallise dans le système cubique simple. La masse volumique µ du cristal vaut µ = 2429 kg.m−3 . L’ion
bromure, dans ce cristal a un rayon r (Br− ) = 195pm. On donne la masse molaire du
bromure d’ammonium : M (N H4 Br) = 97, 9g.mol−1 .
Donner la valeur du rayon ionique de l’ion ammonium.
4
Liaison hydrogène dans la glace de type III
L’une des variétés allotropiques de la glace, dite glace III, a la structure du
diamant : les atomes O occupent les emplacements des atomes de carbone dans
le diamant tandis que les atomes H se placent entre deux atomes O, à distance
d(OH) = 100nm des uns (liaison covalente) et à distance d(OH) = 176nm des autres
(liaison hydrogène).
1. Représenter les atomes d’oxygène de la maille et, pour plus de clarté, l’environnement en atomes d’hydrogène d’un seul des atomes d’oxygène.
2. Quel est le paramètre de la maille ?
3. Combien y a-t-il de molécules d’eau par maille ? Combien y a-t-il de liaisons
hydrogène par maille ?
1
2
TD CC1 : Vitesse de réaction
1
Oxydation de l’ion fer(II) par l’ion cobalt(III)
A 25°C, on mélange 100 ml d’une solution contenant des ions F e2+ à 10−3 mol.l−1 ,
avec 100 ml d’une solution contenant des ions Co3+ à 10-3 mol.l−1 . Les ions F e2+ ,
oxydés par les ions Co3+ , disparaissent selon l’équation : F e2+ +Co3+ = F e3+ +Co2+ .
On mesure [F e2+ ] au cours du temps :
t
20
40
60
80
100 120
2+
[F e ] 2,78 1,92 1,47 1,19 1,00 0,86
où t est en s, et [F e2+ ] en 10−4 mol.l−1 .
1. Montrer que les mesures sont en accord avec une cinétique d’ordre global 2. En
déduire la valeur de k.
2. Comment pourrait-on mesurer les ordres partiels ?
2
Disparition de l’ozone en haute atmosphère
Dans la haute atmosphère, la diminution de la couche d’ozone est provoquée par
la réaction : N O(g) + O3 (g) = N O2 (g) + O2 (g). A 25°C, on mesure la vitesse initiale
de la réaction pour différentes concentrations introduites en réactifs :
Expérience n°
1
2
3
4
5
106 [N O] en mol.l−1
1
1
1
2
3
106 [O3 ] en mol.l−1
3
6
9
9
9
104 v0 en mol.l−1 .s−1
0,66
1,32
1,98
3,96
5,94
1. Déterminer la loi cinétique.
2. En déduire la valeur de k.
3
Dismutation de l’ion hypochlorite
En solution alcaline, l’ion hypochlorite se dismute selon l’équation bilan :
3ClO− = ClO3− + 2Cl− .
On mesure [ClO− ] au cours du temps, dans deux expériences différentes.
3.1
Première expérience
[ClO− ]0 = 1, 27.10−2 mol.l−1 ; [HO− ]0 = 0, 260 mol.l−1 .
t
1
3
10
−
[ClO ] 12,2 11,3 8,9
où t est en 10−3 s, et [ClO− ] en 10−3 mol.l−1 .
1
20 40 100
6,9 4,7 2,9
3.2
Deuxième expérience
[ClO− ]0 = 2, 71.10−2 mol.l−1 ; [HO− ]0 = 0, 495mol.l−1 .
t
2
10
20 30
[ClO− ] 23 14,3 9,7 7,4
50 100
5,0 2,7
où t est en 10−3 s, et [ClO− ] en 10−3 mol.l−1 .
1. Quelles sont les valeurs des ordres partiels par rapport aux ions hypochlorite et
hydroxyde ?
2. En déduire la valeur de k.
4
Oxydation du monoxyde d’azote
Le monoxyde d’azote est oxydé par l’oxygène selon l’équation-bilan :
2N O + O2 = 2N O2 .
Une première série de mesures est réalisée en présence d’un excès de dioxygène. A
l’instant initial, les concentrations des réactifs sont [N O]0 = 10µmol.l−1 et [O2 ]0 =
5, 0.10−3 mol.l−1 . On mesure la concentration en monoxyde d’azote à plusieurs instants :
t
1
2
[N O] 9,6 9,2
4
8
12 20
8,5 7,4 6,5 5,3
30
4,3
où t est en minutes, et [N O] en µmol.l−1 .
Une deuxième série de mesures est réalisée en présence d’un excès de monoxyde
d’azote. A l’instant initial, les concentrations des réactifs sont [N O]0 = 10−3 mol.l−1
et [O2 ]0 = 10µmol.l−1 . On mesure la concentration en dioxygène à plusieurs instants :
t
10 20
[O2 ] 9,3 8,6
30 60 120 240 360
8,0 6,4 4,1 1,7 0,7
où t est en secondes, et [O2 ] en µmol.l−1 .
1. La méthode de la dégénérescence de l’ordre est-elle applicable ? Justifier.
Nous supposons que la réaction admet des ordres partiels par rapport à ses deux
réactifs, soit p pour le monoxyde d’azote et q pour le dioxygène.
2. (a) Montrer que les résultats expérimentaux sont compatibles avec cette hypothèse, et déterminer les valeurs de p et q.
(b) Déterminer la constante de vitesse de la réaction.
3. Calculer, dans les deux expériences, la vitesse de disparition à l’instant initial
du monoxyde d’azote.
2
TD CC2 : Mécanismes réactionnels
1
Oxydation des ions Sn(II) par le dioxygène
Le mécanisme proposé est le suivant :
(1) Sn(II) + O2 →H Sn(III) + HO2 ;
+
(2) Sn(III) + O2 →H Sn(IV ) + HO2 ;
+
(3) HO2 + Sn(II) →H Sn(III) + H2 O2 ;
+
(4) H2 O2 + Sn(II) →H Sn(IV ) + 2H2 O ;
(5) Sn(III) + Sn(III) → Sn(II) +
Sn(IV ) .
+
1. Préciser la nature de chaque étape de ce mécanisme.
2]
) en fonction des constantes de
2. Exprimer la vitesse v de réaction (v = − d[O
dt
vitesse ki , de [Sn(II)] et de [O2 ].
La vitesse de la réaction d’amorçage est très faible devant les vitesses des réactions
de propagation.
3. Comment se simplifie la relation précédente ?
4. Donner la valeur de l’énergie d’activation apparente de la réaction en fonction
des énergies d’activation des étapes concernées.
2
Décomposition du peroxyde d’hydrogène
La décomposition du peroxyde d’hydrogène en milieu acide est accélérée par la
présence d’ions F e2+ . On a proposé le mécanisme suivant :
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
F e2+ + H2 O2 → F e3+ + HO • +HO− ;
HO • +H2 O2 → HO2 • +H2 O ;
HO2 • +H2 O2 → H2 O + O2 + HO• ;
F e2+ + HO• → F e3+ + HO− ;
H3 O+ + HO− = 2H2 O .
1. Quel est le bilan de ce mécanisme ? Peut-on qualifier les ions F e2+ de catalyseurs ? Pourquoi ?
Les radicaux HO• et HO2 • sont très réactifs, et de concentrations telles qu’ils sont
justiciables de l’approximation des états quasi-stationnaires.
2. Exprimer la vitesse de décomposition de H2 O2 en fonction des constantes de
vitesse ki des différentes étapes élémentaires. La réactions admet-elle un ordre ?
3
Cinétique enzymatique
On étudie la transformation d’un substrat S en un produit P catalysée par une
enzyme E. Le mécanisme proposé dans le modèle de Michaëlis-Menten est le suivant :
k1
k3
E+P
E+S
ES
k2
ES est le complexe enzyme-substrat. On note [S]0 et [E]0 les concentrations initiales
en S et E, avec [S]0 >> [E]0 . Au bout d’un temps très court (durée d’induction) la
vitesse de la réaction, que l’on notera r, devient constante.
1
1. (a) En supposant que l’hypothèse de l’état stationnaire peut être appliquée à
ES, donner l’expression de r en fonction des constantes de vitesse ki , de
[E] et de [S]0 .
(b) En exprimant la conservation de E, montrer que r peut se mettre sous la
forme :
V
r=
K
1 + [S]
0
où les constantes V et K seront exprimées en fonctions des constantes de
vitesse ki et de [E]0 .
On considère le cas de la déphosphorylation de l’ATP par la myosine :
AT P → ADP + phosphate inorganique.
A 25C et pH = 7 on obtient les résultats suivants :
r
[AT P ]0
0.067 0.095 0.119 0.149 0.185 0.191 0.195
7.5
12.5 20.0 32.5 62.5 155.0 320.0
où r est en µmol.l−1 .s−1 et [AT P ]0 en µmol.l−1 .
2. Montrer que ces résultats expérimentaux sont en accord avec la loi établie au
1.b.. Donner les valeurs numériques des constantes V et K.
On s’intéresse maintenant à la vitesse de consommation du réactif S, que l’on notera
c. Les conditions expérimentales sont identiques à celles de la question 1.
3. Montrer que c = r. On a donc :
c=
V
K
1 + [S]
0
où les constantes V et K ont des expressions identiques à celles trouvées au 1.
Des valeurs expérimentales de c ont été mesurées à l’instant initial t = 0 pour différentes valeurs de [S]0 :
[S]0
c0
600 500 400 300 200 150 100
67
50
4.44 4.12 3.85 3.47 2.94 2.56 2.04 1.54 1.24
où c0 est en mmol.l−1 .min−1 et [S]0 en mmol.l−1 .
4. Montrer que ces résultats sont en accord avec la loi établie précédemment.
Donner la valeur numérique des constantes V et K.
La cinétique peut faire intervenir deux complexes enzyme-substrat successifs, selon
le mécanisme suivant :
k′1
k1
k3
E+P
E+S
ES
ES′
k2
k′2
Les conditions initiales sont les mêmes qu’à la question 1.
5. On suppose que le principe de l’état stationnaire peut être appliqué à ES et ES 0 .
Montrer que la vitesse de réaction r a une expression identique à la précédente.
On exprimera les constantes K et V en fonctions des constantes de vitesse ki
et de [E]0 .
2
4
Choix entre deux mécanismes
La réaction de décomposition de H2 O2 en phase vapeur est effectuée à 754 K avec
les concentrations initiales suivantes :
[H2 O2 ]0 = 3, 2.10−5 mol.l−1 ; [H2 O]0 = 6, 4.10−4 mol.l−1 .
Quatre actes élémentaires sont susceptibles d’intervenir :
(1)
(2)
(3)
(4)
H2 O2 + H2 O → 2HO • +H2 O ;
HO • +H2 O2 → HO2 • +H2 O ;
HO • +HO2 • → H2 O + O2 ;
HO2 • +HO2 • → H2 O2 + O2 .
On a déterminé les valeurs des constantes de vitesse :
k1 = 42, 9l.mol−1 .s−1 ; k2 = 3.109 l.mol−1 .s−1 ;
k3 = 2.1010 l.mol−1 .s−1 ; k4 = 5.109 l.mol−1 .s−1 .
Deux mécanismes peuvent être envisagés :
(1), (2), (3) : mécanisme A ;
(1), (2), (4) : mécanisme B.
1. Vérifier que les deux mécanismes A et B conduisent à la même équation-bilan
pour la décomposition de H2 O2 , que l’on écrira.
2. Montrer que les deux mécanismes conduisent à la même expression de v, vitesse
volumique de la réaction.
Un échantillon du système en réaction, passé au spectromètre de masse, présente
une concentration stationnaire de l’espèce inférieure à la limite de détection, soit
6.10−7 mol.l−1 .
3. Quel est le mécanisme que l’on doit retenir ?
3
4
TD SA1 : Chimie des solutions
acido-basiques
1
Diagramme de distribution de l’acide citrique
L’acide citrique, de formule brute C6 H8 O7 , est un triacide noté en abrégé H3 A.
Son diagramme de distribution en fonction du pH est donné ci-dessous. Les courbes
tracées représentent le pourcentage de chacune des espèces contenant le groupe "A",
pour une valeur du pH donnée.
1. Identifier l’espèce correspondant à chacune des courbes.
2. En déduire les constantes pKA,i et KA,i . relatives aux trois couples mis en jeu.
250 ml de solution ont été préparés en dissolvant 1, 05g d’acide citrique monohydraté,
soit C6 H8 O7 , H2 O.
3. (a) Calculer la concentration c de la solution.
(b) Déterminer, à partir de c et du diagramme de distribution, la composition
du mélange à pH = 4,5.
2
pH d’un mélange
Quel volume V1 d’acide faible HA faut-il ajouter à un volume V2 = 100 ml de
base BOH pour obtenir une solution de pH = 8,9 ? Les deux solutions ont la même
concentration C = 0, 100mol.l−1 .
Données : pKA (HA/A− ) = 4, 7 ; pKA BOH2+ /BOH = 8, 6.
3
Solutions amphotères
Une solution d’hydrogénosulfite de sodium (N a+ + HSO3− en solution) a pour
concentration c = 25mmol.l−1 .
1. Déterminer le pH de cette solution.
Une solution S est obtenue en mélangeant un volume V1 = 50, 0ml de solution de carbonate de sodium (2N a+ + CO32− en solution) de concentration c1 = 2, 0.10−3 mol.l−1
et un volume V2 = 100, 0ml de solution de dioxyde de carbone (CO2 en solution) de
concentration c2 = 1, 0.10−3 mol.l−1 .
2. (a) Ecrire l’équation de la réaction qui se produit lors du mélange.
(b) En déduire le pH de S.
1
Données :
pKA
pKA
pKA
pKA
4
−
SO2 (aq)/HSO
3
= pKA,1 = 2, 0 ;
HSO3− /SO32− =pKA,2 = 7, 6 ;
0
CO2 (aq)/HCO3− = pKA,1
= 6, 4 ;
−
2−
0
HCO3 /CO3 = pKA,2 = 10, 3.
Titrage d’une monobase faible
On titre V1 = 20ml d’une solution de méthylamine de concentration C1 = 0, 100mol.l−1
par une solution d’acide chlorhydrique de concentration C2 = 0, 200mol.l−1 .
1. Déterminer le volume V2E d’acide versé à l’équivalence.
2. Calculer le pH de la solution pour V2 = 0 et V2 = V2E .
3. La quantité adimensionnelle x étant définie par x = V2 /V2E , donner les expressions pH = f (x) pour 0 < x < 1 et pour 1 < x < 1, 5.
4. Tracer pH = f (x) pour 0 < x < 1, 5.
5. Calculer le pouvoir tampon de la solution pour x = 0, 40, x = 0, 50 et x = 0, 60.
Commenter.
Donnée : pKA CH3 N H3+ /CH3 N H2 = 10, 70.
2
TD SA2 : Complexes en solution aqueuse
1
Complexes du 1,2-diamminoéthane
Le 1,2-diamminoéthane (que l’on pourra noter en abrégé L) est un ligand qui
forme avec les ions N i2+ et Hg 2+ des complexes très stables.
Pour le nickel(II) et ses composés successifs, on donne les constantes de formation
successive :
log Kf 1 = 7, 6 ; log Kf 2 = 6, 4 ; log Kf 3 = 4, 5.
Pour l’ion mercure Hg 2+ et ses complexes successifs, on donne :
log Kf0 1 = 14, 3 ; log Kf0 2 = 9, 0.
1. Pour chacun de ces complexes, donner la constante de formation globale.
2. Sur un axe gradué en pL, donner les domaines de prédominance des ions N i2+ ,
Hg 2+ et de leurs complexes avec L. Peut-on avoir coexistence dans une même solution des complexes N iL2+ et HgL2+ ? Même question pour N iL2+ et HgL2+
2 .
On introduit dans un litre d’eau, sans variation du volume de la solution, 0,07 mol
d’ions Hg 2+ et 0,1 mol du complexe .
3. Déterminer les concentrations des différentes espèces à l’équilibre.
2
Compétition de plusieurs cations centraux pour
un ligand
L’ion E.D.T.A. Y 4− donne des complexes [CaY ]2− avec l’ion calcium Ca2+ (constante
de formation β) et des complexes [M gY ]2− avec l’ion magnésium M g 2+ (constante
de formation β 0 ). On donne :
log(β) = 10, 6 ; log(β 0 ) = 8, 7.
A 10,0 ml de solution contenant le complexe [M gY ]2− en concentration 0,20 mol.l−1 ,
on ajoute 10,0 ml de solution de chlorure de calcium à 0,20 mol.l−1 .
Quelle est la composition de la solution à l’équilibre ?
3
Formule d’un complexe par la méthode de Job
Les espèces M et L sont susceptibles de former un seul complexe, selon :
M + nL = M Ln
où n est un entier. On note βn la constante de cette réaction.
A partir d’une solution S1 de concentration introduite C en M , et d’une solution S2
de même concentration introduite C en L, on prépare un litre d’une solution Sx en
mélangeant (1 − x) litre de S1 et x litre de S2 . Outre x, on définit la grandeur adimensionnelle y = [MCLn ] , où [M Ln ] est la concentration de la solution Sx en complexe
M Ln .
1. (a) Ecrire la relation liant C, n, βn , x et y. Les grandeurs C, n et βn étant des
constantes, y peut être considéré comme une fonction de x, soit y = f (x).
1
(b) Montrer que la fonction f admet un maximum. On note xM et yM les
valeurs correspondant à ce maximum. Exprimer n en fonction de xM .
On mesure l’absorbance A de la solution Sx et, dans les mêmes conditions, celles
A1 et A2 des solutions S1 et S2 . On note l l’épaisseur de liquide traversée. La loi
de Beer-Lambert est supposée vérifiée. A la longueur d’onde utilisée, les coefficients
d’extinction molaire des trois espèces M , L et M Ln sont notés respectivement M ,
L et .
2. Exprimer ∆ = A − (1 − x) A1 − xA2 en fonction de C, n, y, l, M , L et
. Constater que ∆ dépend linéairement de y. En déduire une méthode pour
déterminer expérimentalement la valeur de xM .
Pour le complexe formé entre un ion noté M 3+ et un ligand noté L− , on obtient avec
C = 0, 10mol.l−1 les valeurs de ∆ :
x 0 0,1
0,2
0,3
0,4
0,5 0,6 0,7 0,8
0,9 1,0
∆ 0 0,274 0,578 0,866 1,132 1,38 1,56 1,60 1,36 0,805 0
3. Que vaut n ?
2
TD SA3 : Précipités en solution aqueuse
1
Domaine d’existence d’un précipité
L’ion Ag + donne avec les ions cyanure CN − un précipité AgCN (s) (pKS = 15,9)
et un complexe soluble (log(β2 ) = 21).
Avant tout ajout d’ions cyanure, l’argent est présent en solution exclusivement sous
forme d’ions libres Ag + en concentration 10−2 mol.l−1 . L’ajout d’ions cyanure se fait
sans variation de volume.
Donner les limites du domaine d’existence de AgCN (s). On donnera ces limites en
valeurs de la quantité pCN = − log[CN − ].
2
Précipitation d’hydroxydes
A une solution aqueuse contenant du cobalt exclusivement sous forme d’ions libres
en concentration c = 10−3 mol.l−1 , on ajoute un sel dont la dissolution apporte des
ions hydroxydes. L’effet de dilution est négligé.
1. Sur un axe gradué en pOH, positionner les domaines de prédominance des
ions Co2+ et Co3+ , et d’existence des précipités Co(OH)2 (s), Co(OH)3 (s). On
donne : pKs1 (Co(OH)2 (s)) = 14, 8 ; pKs2 (Co(OH)3 (s)) = 44, 5.
2. Quelles sont les valeurs des concentrations en ions Co2+ et Co3+ à pH = 4 ?
3
pH d’une solution saturée en carbonate de calcium
A 25°C, la solubilité du carbonate de calcium est de 16 mg/l, et les constantes
d’acidités du dioxyde de carbone sont pKA1 = 6, 3 ; pKA2 = 10, 3.
1. Quel est, à 25°C, le pH d’une solution d’eau saturée en carbonate de calcium ?
2. Quel est, à cette température, le produit de solubilité Ks du CaCO3 ?
4
Solubilité du chlorure de plomb
A 50 ml d’une solution S1 saturée en chlorure de plomb(II) P bCl2 , on ajoute 50
ml d’une solution S2 de chlorure de sodium à C2 = 0, 10mol.l−1 . Soit S la solution
obtenue.
Déterminer la solubilité du chlorure de plomb (II) dans S1 , puis dans S.
Donnée : pKS (P bCl2 ) = 4, 7.
1
2
TD SA4 : Oxydoréduction en solution
aqueuse
1
Potentiels d’électrode
Calculer le potentiel de Nernst d’une électrode de platine plongeant dans une
solution aqueuse contenant en concentration :
1. (a) 0,2 mol.l−1 d’ions M nO4− ; 2.10−4 mol.l−1 d’ions M n2+ ; 0,1 mol.l−1 d’ions
H +.
(b) 10−4 mol.l−1 d’ions Cr2 O72− ; 10−3 mol.l−1 d’ions Cr3+ ; 0,1 mol.l−1 d’ions
H +.
Calculer le potentiel d’une électrode d’argent plongeant dans une solution aqueuse
contenant en concentration :
2. (a) 10−3 mol.l−1 d’ions Ag + .
−1
(b) 10−3 mol.l−1 d’ions complexes Ag (N H3 )+
d’ammoniac N H3 .
2 ; 1 mol.l
= 7, 23.
Données : log β2 Ag (N H3 )+
2
couple
E0 (V )
2
M nO4− /M n2+
1,51
Cr2 O72− /Cr3+
1,33
Ag + /Ag(s)
0,80
Une pile au mercure
On étudie le fonctionnement d’une pile mettant en jeu les couples Hg 2+ (aq)/Hg22+
et N O3− /HN O2 . Dans les conditions standard, la force électromotrice de la pile e0
vaut e0 = 20 mV .
1. (a) Ecrire les deux demi-équations relatives aux deux couples concernés.
(b) Sachant que les ions Hg22+ sont oxydés en Hg 2+ , écrire la réaction spontanée se produisant dans la pile.
(c) En supposant que les deux électrodes sont constituées de platine, donner
une écriture schématique de la pile. Où se trouvent respectivement l’anode
et la cathode ?
0
On donne : EN
= 0, 94V .
O− /HN O
3
2
0
2. (a) Que vaut le potentiel standard du couple Hg 2+ (aq)/Hg22+ , soit EHg
2+ (aq)/Hg 2+ ?
2
(b) Au cours d’une certaine durée de fonctionnement de la pile, on mesure qu’il
y a eu formation de 6.10−3 mol d’ions Hg 2+ . Déterminer les variations des
quantités de matière des autres réactifs et produits.
3
La pile Daniell
On réalise une pile Daniell en utilisant deux solutions de 100 ml contenant respectivement des ions Zn2+ (concentration C1 = 0,100 mol.l−1 ) et Cu2+ (concentration
C2 = 0,010 mol.l−1 ).
1
1. Déterminer la réaction spontanée se produisant lorsque la pile débite, ainsi que
la fém de la pile.
Par ajout de soude solide, le pH de la solution de cuivre (II) est amené à 12.
2. (a) Calculer la concentration en ions Cu2+ restant.
(b) Déterminer le potentiel de l’électrode de cuivre. Comparer à celui de l’électrode de zinc. Quel est la nouvelle fém de la pile ?
(c) Quelle est la réaction spontanée se produisant lorsque la pile débite ?
0
0
Données : ECu
2+ /Cu = 0, 337V ; EZn2+ /Zn = −0, 763V ; pKs (Cu(OH)2 (s) = 19, 2.
4
Montage à trois électrodes
Dans le montage ci-dessous, le générateur (1) délivre une tension continue U (1)
variable (−Umax < U < Umax ). Il est supposé idéal. L’intensité du courant électrique
i est mesurée par l’ampèremètre (2). La cuve (3) contient la solution électrolytique
(4) dans laquelle plongent trois électrodes : l’électrode de travail (5), l’électrode de référence (6), la contre-électrode (8). Le voltmètre (7) mesure la d.d.p. entre l’électrode
de travail et l’électrode de référence.
1. Quels sont les rôles respectivement de la contre-électrode et de l’électrode de
référence ?
2. L’électrode de travail est-elle le siège d’une oxydation ou d’une réduction ? On
discutera en fonction du signe de U .
3. Le système est-il à l’équilibre thermochimique ? Quel type d’étude permet-il de
réaliser ?
2
TD Thermochimie : premier principe
1
Température de flamme d’un brûleur
Un brûleur est alimenté en monoxyde de carbone à raison de 60 m3 /h et en air à
raison de 300 m3 /h, à la température θ0 = 25°C, tous les gaz étant secs. On considère
que l’air contient, en quantités de matière, 20% de dioxygène et 80% de diazote.
1. Ecrire l’équation de la réaction qui se produit. Cette réaction est-elle exothermique ou endothermique ?
2. Quelle est la température maximale que peut atteindre la flamme ?
Données :
∆f H 0 (CO, g, T0 = 298K) = −110, 5kJ.mol−1 ;
∆f H 0 (CO2 , g, T0 = 298K) = −393, 6kJ.mol−1 .
On considère que les capacités thermiques molaires standard à pression constante
dépendent de la température selon des lois linéaires. Tous les corps considérés étant
dans l’état vapeur, et les valeurs des C0P,m étant données en J.K−1 .mol−1 , on a :
0
(CO2 , g) = 31, 4 + 2, 0.10−2 .T ;
CP,m
0
CP,m
(CO, g) = 27, 0 + 2, 5.10−3 .T ;
0
CP,m (N2 , g) = 27, 2 + 4, 2.10−3 .T ;
0
CP,m
(O2 , l) = 34, 6 + 1, 1.10−3 .T .
2
Variation de l’enthalpie d’un corps pur avec la
température
Déterminer la variation d’enthalpie d’un système comportant 5,0 moles d’aluminium au cours d’une transformation sous pression constante à 101,3 kPa, où la
température passe de T0 = 298K à T1 = 2900K.
Les données suivantes sont relatives au métal aluminium sous la pression 101,3 kPa :
température de fusion Tf us = 933K ;
chaleur latente de fusion lf us = 397kJ.kg −1 ;
température de vaporisation Tvap = 2740K ;
chaleur latente de vaporisation lvap
=
10500kJ.kg −1 ;
chaleur massique du solide cs = 900J.kg −1 .K −1 ;
chaleur massique du liquide cl = 1090J.kg −1 .K −1 ;
chaleur massique de la vapeur cg = 770J.kg −1 .K −1 ;
masse molaire M = 27, 0g.mol−1 .
3
Combustion de l’éthanol
La combustion de l’éthanol liquide dégage du dioxyde de carbone et de la vapeur
d’eau, conformément à la réaction d’équation :
CH3 CH2 OH(l) + 3O2 (g) = 2CO2 (g) + 3H2 O(g).
On dispose des données suivantes :
1
– enthalpie standard d’atomisation de l’éthanol gazeux ∆atom H0 (CH3 CO2 H, g) =
3214, 0kJ.mol−1 ;
– enthalpie standard de vaporisation de l’éthanol liquide ∆vap H0 (CH3 CO2 H, l) =
43, 0kJ.mol−1 ;
– énergie de la double liaison C = O dans la molécule de CO2 EC=O = 804kJ.mol−1 .
Calculer l’enthalpie standard de la réaction, soit ∆r H 0 . Comparer la valeur obtenue
par ce calcul à la valeur de la même grandeur mesurée à 298 K par une méthode
0
calorimétrique, soit ∆r Hexp
(298K) = −1365kJ.mol−1 .
4
Enthalpie standard d’oxydation du plomb
Le métal plomb est oxydé par le dioxygène de l’air, selon la réaction d’équation :
2P b(s) + O2 (g) = 2P bO(s),
réaction qui, sous la pression standard P 0 = 1bar, est la réaction standard de formation de l’oxyde de plomb. Le plomb et l’oxyde de plomb, sous la pression standard
P 0 , fondent respectivement à 327°C et à 888°C.
Exprimer l’enthalpie standard de cette réaction en fonction de la température, soit
∆r H 0 (T ), dans l’intervalle 298 K à 1000 K.
Données :
– ∆r H0 (298K) = −443, 4kJ.mol−1 ;
– enthalpie molaire de fusion du plomb ∆f us H0 (P b, s) = 5, 1kJ.mol−1 ;
– Les capacités thermiques standard molaires à pression constante sont supposées
constantes dans l’intervalle de températures 298 K à 1000 K. Exprimées en
J.K−1 .mol−1 , elles valent respectivement :
P b(s) : 27 ; P b(l) : 29 ; O2 (g) : 32 ; P bO(s) : 49.
5
Détermination d’une énergie réticulaire
L’énergie réticulaire d’un cristal ionique est définie comme l’énergie interne standard à 0 K de la transformation faisant passer du cristal à ses ions constitutifs à l’état
gazeux et sans interaction les uns avec les autres :
Cx Ay (s) = xC p+ (g) + yAq− (g).
On indique de plus que l’énergie réticulaire du cristal est pratiquement égale à l’enthalpie standard de cette transformation (à toute température).
Déterminer l’énergie réticulaire du cristal d’oxyde de magnésium M gO. Les données
suivantes, exprimées en kJ.mol−1 . sont valables à 298 K :
∆f H0 (M g, g) = 147, 1 ;
∆f H0 (O, g) = 249, 2 ;
∆f H0 (M gO, cristal) = −601, 6 ;
∆ion H0 (M g) = 737, 7 ;
∆ion H0 (M g + ) = 1450, 7 ;
A.E. (O) = 141 ;
A.E. (O− ) = −851.
2
6
Energie de résonance de la pyridine
A 25°C sous 100 kPa, la pyridine est un liquide incolore. Sa
molécule, cyclique et plane, a pour formule brute C5 H5 N . Sa
formule topologique est montrée sur la figure ci-contre.
1. Calculer l’enthalpie standard de formation de la pyridine à l’état vapeur, à
la température 25°C. On utilisera les données suivantes, valables à 25°C, et
exprimées en kJ.mol−1 :
∆f H 0 (H2 O, l) = −285, 8 ;
∆f H 0 (CO2 , g) = −393, 5 ;
∆f H 0 (C, g) = 716, 7.
On indique de plus que la combustion de la pyridine a pour enthalpie standard
de réaction à 25°C : ∆r H 0 = −2782, 3 kJ.mol−1 , et que son enthalpie standard
de vaporisation, à cette température, vaut ∆vap H 0 = +40, 2 kJ.mol−1 .
2. Calculer l’enthalpie standard de formation de la pyridine à l’état vapeur, à
partir des énergies de liaison. On donne les enthalpies moyennes de dissociation
pour les liaisons suivantes (en kJ.mol−1 ) : H˘H : 436 ; C˘C : 345 ; C = C :
615 ; C = N : 615 ; C˘N : 305 ; C˘H : 415 ; N = N : 945.
3. Comparer les valeurs obtenues dans les deux calculs précédents. Pourquoi diffèrentelles ? La différence entre ces deux valeurs est appelée énergie de résonance de
la molécule de pyridine. Calculer sa valeur.
3