Signal 6 Filtrage linéaire

Signal 6 Filtrage linéaire
Lycée Polyvalent de Montbéliard - Physique-Chimie - TSI 1 - 2016-2017
Contenu du programme officiel :
Notions et contenus Capacités exigibles
Signaux périodiques. - Exploiter le spectre d’un signal périodique ; déterminer la composante
continue, le fondamental et les harmoniques.
- Définir la valeur moyenne et la valeur efficace.
Gabarit d’un filtre. Fréquences de coupure. - Reconnaître les gabarits des filtres passe-bas, passe-haut et passe-bande.
Fonction de transfert harmonique. Diagrammes de
Bode.
- Déterminer qualitativement le spectre du signal de sortie d’un filtre, le
spectre du signal d’entrée et le gabarit ou le diagramme de Bode du filtre
étant donnés.
- Prévoir le comportement d’un filtre en hautes et basses fréquences.
- Utiliser une fonction de transfert donnée d’ordre 1 ou 2 et ses représen-
tations graphiques pour l’étude de la réponse d’un système linéaire à une
excitation sinusoïdale, à une somme finie d’excitations sinusoïdales.
- Utiliser les échelles logarithmiques et interpréter les zones rectilignes des
diagrammes de Bode d’après l’expression de la fonction de transfert.
-Mettre en œuvre un dispositif expérimental illustrant la fonc-
tion de filtrage d’un système linéaire.
Modèles simples de filtres passifs : passe-bas et passe-
haut d’ordre 1, passe-bas et passe-bande d’ordre 2.
- Expliquer l’intérêt, pour garantir leur fonctionnement lors de mises en
cascade, de réaliser des filtres de tension de faible impédance de sortie et
forte impédance d’entrée.
- Approche documentaire : expliquer la nature du filtrage introduit par un
dispositif mécanique (sismomètres, amortisseurs, accéléromètre...).
-Étudier le filtrage linéaire d’un signal non sinusoïdal à partir
d’une analyse spectrale.
En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.
Table des matières
1 Rappels sur les signaux périodiques 2
1.1 Définitions................................................ 2
1.2 ThéorèmedeFourier.......................................... 2
2 Le filtre passe-bas du premier ordre 3
2.1 Position du problème et visualisation expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Fonction de transfert, gain et gabarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Le filtre passe-bas du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Le filtrage linéaire 7
4 Le filtre passe-haut du premier ordre 7
5 Deux filtres du second ordre 9
5.1 Le filtre passe-bas du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 Le filtre passe-bande du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6 Associations de filtres 11
Dans le chapitre précédent, nous avons étudié la réponse d’un système à une oscillation forcée. Nous
avons vu que l’amplitude de la réponse dépendait de la fonction de transfert. Ainsi, certaines fréquences
d’entrée ne donnent quasiment aucun signal de sortie, tandis que d’autres fréquences sont amplifiées. Ce
phénomène peut être utilisé avec un objectif de filtrage, c’est-à-dire de couper certaines fréquences. Par
exemple, lorsque l’on écoute la radio, on ne veut garder qu’une seule fréquence et couper les autres. De
même, dans le cas mécanique d’un amortisseur de voiture, on souhaite que les petites oscillations de la
route soient « filtrées » par l’amortisseur pour ne pas être ressenties par les passagers.
Maxime Champion - www.mchampion.fr 1/12

Signal 6 : Filtrage linéaire Maxime Champion
1 Rappels sur les signaux périodiques
1.1 Définitions
Définition. Un signal s(t)est périodique si et seulement si il existe une période Tminimale telle que,
pour tout instant t, on a
s(t+T) = s(t).
Par exemple, le signal s(t) = asin ωt est de période T=2π
ω.
Définition. On définit la valeur moyenne du signal périodique s(t)par la relation
< s(t)>=1
TZT
0
s(t)dt .
Par exemple, le signal s(t) = asin ωt est de valeur moyenne nulle.
Définition. On définit la valeur efficace d’un signal périodique s(t)par la relation
seff =q< s2(t)>=s1
TZT
0
s2(t)dt .
On peut montrer pour un signal sinusoïdal s(t) = asin ωt que seff =a/√2.
La valeur efficace est importante physiquement. En effet, la grandeur physique pertinente n’est pas
l’amplitude des signaux, mais leur énergie et la valeur moyenne de l’énergie. Or l’énergie dépend des
signaux mis au carré. Ainsi, un signal de valeur moyenne nulle transporte une énergie proportionnelle à
s2
eff.
1.2 Théorème de Fourier
Théorème. Tout signal périodique se décompose comme une somme de fonctions sinusoïdales. Ainsi, un
signal s(t)de fréquence fs’écrit
s(t) = c0+
+∞
X
i=1
cisin(2πift +ϕi)
avec c0la valeur moyenne du signal (ou composante continue), ciet ϕides coefficients dépendant du
signal.
Les différents coefficients cireprésentent le spectre du signal.
Par exemple, les trois premières composantes sur signal créneau sont représentées figure 2. Sur la figure 1,
la représentation temporelle de la somme de ces harmoniques. On pourra manipuler l’animation [1] pour
construire des signaux périodiques quelconques.
t
s1(t)
a
t
s2(t)
a
t
s3(t)
a
Fig. 1 – Décomposition de Fourier d’un créneau avec les premières harmoniques
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Fréquence
Amplitude des harmoniques
0f03f05f0
Fondamentale
Premières harmoniques
c1
c3
c5
Fig. 2 – Premières harmoniques d’un signal créneau
2 Le filtre passe-bas du premier ordre
2.1 Position du problème et visualisation expérimentale
On étudie à nouveau le circuit RC détaillé figure 3.
Expérience 1 : Filtre RC avec signal créneau en entrée.
•
Ri(t)
C
•
e(t)s(t)
Fig. 3 – Le filtre RC.
Expérimentalement, on observe pour un signal de
« basse fréquence », le signal de sortie semblent être identique au signal d’entrée ;
« haute fréquence », le signal de sortie est d’amplitude faible et est un signal créneau.
Les termes « basse » et « haute » fréquence seront définis par rapport aux caractéristiques du filtre que
nous verrons par la suite.
Cette même observation peut se traduire sur le spectre du signal, observable directement sur l’oscillo-
scope numérique. Ainsi, pour un signal de
« basse fréquence », le spectre de sortie est très similaire au spectre d’entrée
« haute fréquence », les composantes du spectre d’entrée sont toujours présentes dans le spectre de
sortie, mais leur amplitude est beaucoup plus faible.
Remarque : Nous avions déjà fait cette expérience lorsque nous avons étudié la charge et la
décharge du condensateur, sauf que nous l’avions interprété différemment. Nous avions vu le
signal créneau comme une succession de tensions constantes, alors que nous regardons main-
tenant le signal créneau comme une fonction périodique, et donc nous regardons le circuit RC
comme un oscillateur forcé par toutes les composantes périodiques du signal créneau.
2.2 Fonction de transfert, gain et gabarit
Définition. La fonction de transfert d’un filtre est la grandeur complexe
H(ω) = s(t)
e(t)
avec s(t)le signal de sortie complexe et e(t)le signal d’entrée complexe du filtre.
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Nous avons vu au chapitre précédent qu’un signal excitateur d’amplitude Aet de pulsation ωsortait d’un
système forcé sous la forme d’un signal de sortie toujours de pulsation ωmais d’amplitude A|H(ω)|. Ainsi,
chaque composante sinusoïdale d’un signal périodique quelconque va subir cette dilatation d’amplitude. La
fonction de transfert permet donc de connaître l’effet d’un filtre sur un signal périodique.
Toutefois, le module de la fonction de transfert connaît de grandes variations d’amplitudes. Pour pouvoir
les observer, on étudie la fonction de transfert sous une échelle logarithmique.
Remarque : Le logarithme décimal correspond à l’opération log 10x=x, il correspond à la
mesure de la puissance de 10 d’un nombre. Ainsi, un variation de 1 pour un logarithme décimal
correspond à une multiplication ou une division par 10.
Définition. Le gain d’un filtre est la grandeur
G(ω) = 20 log |H(ω)|
avec log le logarithme décimal. Le gain s’exprime en décibels (dB).
On choisit un facteur multiplication de 20 car
le gain est multiplié par 10 pour manipuler des chiffres usuels ;
on multiplie ensuite par 2 car 20 log |H(ω)|= 10 log |H(ω)|2, or les grandeurs énergétiques sont liées au
carré du module de la fonction de transfert, et ce sont ces grandeurs énergétiques qui nous intéressent.
Définition. Le gabarit d’un filtre est un outil technique pour préciser l’effet souhaité d’un filtre sur une
certaine gamme de fréquence. Il représente le gain en fonction du logarithme décimal de la pulsation.
Propriété. Le gabarit d’un filtre passe-bas a les propriétés suivantes
laisser passer les basses fréquences ;
couper les basses fréquences.
ω
GdB
G1
G2
ω2 ω10
Fig. 4 – Gabarit d’un filtre passe-bas : le gain du filtre devra être une fonction passant dans les zones non
grisées. Ainsi, cela impose un gain supérieur à une certaine limite pour les basses fréquences, et un gain inférieur
à une certaine limite pour les hautes fréquences, qui seront ainsi fortement atténuées.
IUtilisation du gabarit pour prévoir le spectre du signal de sortie
Ainsi, qualitativement, si on suppose que le signal d’entrée du filtre passe-bas est un signal créneau,
la figure 5 permet de comprendre l’utilisation du gabarit pour prévoir les amplitudes des harmoniques du
signal de sortie.
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ω
Amplitude
0ω03ω05ω07ω0
(a) Premières harmoniques d’un si-
gnal créneau avant filtrage
ω
GdB
G1
G2
ω2
ω10
(b) Superposition du gabarit du filtre
avec le spectre du signal d’entrée.
ω
Amplitude
0ω03ω05ω07ω0
(c) Premières harmoniques d’un si-
gnal créneau après filtrage.
Fig. 5 – Utilisation d’un gabarit pour prévoir le signal de sortie. Les amplitudes des harmoniques des pulsations
inférieures à ω1ne sont pas modifiées. Les amplitudes des harmoniques des pulsations supérieures à ω2sont
fortement atténuées. Les pulsation intermédiaire sont faiblement atténuées.
Application 1 : Prévoir qualitativement ce qui se passe si ω0> ω2et si 7ω0< ω1.
2.3 Le filtre passe-bas du premier ordre
IPrévision du caractère passe-bas
Nous étudions le circuit de la figure 3 en régime sinusoïdal forcé.
à « basses fréquences », le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert, la tension de sortie est
égale à la tension d’entrée ;
à « hautes fréquences », le condensateur est équivalent à unfil, la tension de sortie donc nulle.
Ainsi, en basse fréquences le signal n’est pas modifiée alors qu’en haute fréquence le signal de sortie est
nul. Il s’agit bien d’un filtre passe-bas.
ICalcul de la fonction de transfert
La fonction de transfert du système se trouve en faisant directement un pont diviseur de tension en
utilisant les grandeurs complexes. Ainsi, à partir de la figure 3, il vient
s(t) = ZC
ZR+ZC
e(t) = 1/(jCω)
R+ 1/(jCω)e(t).
Propriété. La fonction de transfert d’un filtre passe-bas du premier ordre est
H(ω) = s(t)
e(t)=1
1 + jω
ω0
avec ω0la pulsation de coupure du filtre.
On reconnaît pour le filtre RC la pulsation de coupure ω0=1
RC .
Le filtre est dit du premier ordre car les polynômes en jω du numérateur et du dénominateur de la
fonction de transfert sont d’ordres 1 au maximum.
ILe diagramme de Bode
Définition. Le diagramme de Bode d’un filtre est le double tracé de
le gain du filtre ;
la phase de la fonction de transfert.
Ces deux tracés sont réalisés en fonction du logarithme de la pulsation.
On trace la pulsation sous échelle logarithmique car celle permet de décrire rapidement une grande
gamme de valeur possible, tout en donnant une importance égale à chaque décade de pulsation.
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