Tomographie optique par une technique d`holographie num´erique

J. Opt. 28 (1997) 260–264. Printed in the UK PII: S0150-536X(97)87953-1
Tomographie optique par une
technique d’holographie num´ erique
en faible coh´ erence∗
Etienne Cuche†, Patrick Poscio‡et Christian Depeursinge†
†Institut d’Optique Appliqu´ ee, D´ epartement de Microtechnique, EPFL, CH-1015
Lausanne, Suisse
‡Institut de Recherches en Ophtalmologie, CH-1950 Sion 4, Suisse
Re¸cu le 15 juin 1997, accept´ e le 24 septembre 1997
R´ esum´ e. Des hologrammes digitaux sont enregistr´ es au moyen d’une cam´ era CCD
et sont reconstruits num´ eriquement, en intensit´ e et en phase, par un algorithme
calculant leur transform´ ee de Fresnel discr` ete. L’utilisation d’une source de faible
coh´ erence permet d’effectuer la tomographie d’une sc` ene 3D, sans balayage lat´ eral,
avec une r´ esolution en profondeur ´ egale ` a la longueur de coh´ erence (25 µm) et une
r´ esolution lat´ erale ´ egale ` a la limite de diffraction de l’objectif du microscope utilis´ e
(2,2µm).
Mots cl´ es: Holographie num´ erique, CCD, transform´ ee de Fresnel, tomographie
optique.
Optical tomography by means of a numerical
low-coherence holographic technique
Abstract. Digital holograms are recorded by a CCD camera and are numerically
reconstructed, in intensity and phase, by means of an algorithm which calculates
their discrete Fresnel transform. By using a low-coherence source, the tomography
of a 3D scene can be performed without lateral scanning with a depth resolution
equal to the coherence length (25 µm) and a lateral resolution equal to the diffraction
limit of the microscope objective used (2.2µm).
Keywords: Numerical holography, CCD, Fresnel transform, optical tomography.
1. Introduction
Du fait de la forte diffusion des longueurs d’ondes optiques
par les tissus biologiques, l’application de techniques
d’imagerie optique dans le domaine biom´ edical n´ ecessite
la mise au point de m´ ethodes permettant la vision au
travers de milieux troubles. Diverses techniques per
mettant l’´ elimination des photons ayant subit des diffusions
multiples dans le tissus ont ´ et´ e propos´ ees ces derni` eres
ann´ ees [1].
L’utilisation, r´ ecemment rendue possible, des sources
faiblement coh´ erentes a donn´ e lieu ` al’
´
emergence des
techniques OCT (optical coherence tomography) [2] dont
∗Ce papier qui concerne les applications biom´
edicales de l’optique
a´ et´ e revu avec l’aide g´ en´ ereuse des Professeurs Sigrid Avrillier et
St´ ephane Mottin, organisateurs de OPTDIAG 97.
This paper dealing with biomedical applications of optics has been kindly
reviewed with the help of Professor Sigrid Avrillier and Professor St´ ephane
Mottin, organizers of OPTDIAG 97.
l’efficacit´ ea´ et´ ed
´
emontr´ ee aussi bien in vitro [3] que
in vivo [4,5]. Les techniques OCT bas´ ees sur le principe
de l’interf´ erom´ etrie en faible coh´ erence, effectuent un tri
parmi les photons retrodiffus´ es ou transmis par l’´ echantillon
en fonction de la longueur de leurs trajets optiques. En
modifiant la distance parcourue par une onde de r´ ef´ erence,
on peut effectuer une tomographie de l’´ echantillon en
s´ electionnant la profondeur d’´ emission des photons dits
balistiques ou serpentiles. Du fait de l’accroissement de
leurs trajets optiques, la plupart des photons ayant subit des
diffusions multiples ne sont plus en mesure d’interf´ erer.
Les dispositifs OCT existants actuellement utilisent
un faisceau d’illumination focalis´ e sur l’´ echantillon et
un d´ etecteur ponctuel qui doivent balayer la surface de
l’´ echantillon pour former une image. Ces proc´ edures de
balayages, du fait du temps qu’elles n´ ecessitent, constituent
une limitation ` a l’application clinique des techniques OCT.
Le moyen le plus direct permettant de supprimer
cette op´ eration de balayage lat´ eral consiste ` a´ elargir
0150-536X/97/060260+05$19.50 c 1997 IOP Publishing Ltd

Une technique d’holographie num´ erique
le faisceau d’illumination. Dans ce cas, l’interf´ erence
entre l’onde de r´ ef´ erence et la lumi` ere retrodiffus´ ee (ou
transmise) par l’´ echantillon cr´ eer une distribution planaire
de franges d’interf´ erence qui forme un hologramme. La
mise en œuvre de ces techniques holographiques pose
le probl` eme du choix d’un support d’enregistrement.
En effet, les plaques photographiques traditionnellement
utilis´ ees en holographie doivent ˆ etre abandonn´ ee pour
des raisons pratiques ´ evidentes puisqu’elles n´ ecessitent
un d´ eveloppement chimique pr´ ealable ` a la reconstruction.
De plus, pour les applications biom´ edicales, ce support
d’enregistrement doit ˆ etre suffisamment sensible pour
permettre la d´ etection de la faible intensit´ e du signal
coh´ erent, tout en ´ etant suffisamment rapide pour permettre
l’investigation des tissus vivants. Une solution propos´ ee par
Hyde et al [6] consiste ` a utiliser un cristal photor´ efractif
au moyen duquel l’hologramme peut ˆ etre enregistr´ e,
reconstruit puis effac´ e de mani` ere cyclique.
Les cam´ eras CCD constituent un autre type de d´ etecteur
int´ eressant, combinant rapidit´ e d’acquisition (fr´ equence
vid´ eo et sensibilit´ e (cam´ eras refroidies et intensificateurs
d’images). Dans ce cas, la reconstruction doit ˆ etre effectu´ ee
num´ eriquement car les hologrammes enregistr´ es sont
digitaux. Cette approche num´ erique pr´ esente l’avantage
d’une grande simplicit´ e exp´ erimentale, de plus, comme
nous allons le d´ emontrer ici (voir la section 3), elle permet
de reconstruire la distribution de phase ` a la surface de
l’objet.
De tels proc´ ed´ es d’holographie num´ erique sur supports
d’enregistrement ´ electroniques ont d´ ej` a´ et´ e propos´ es pour
des applications biom´ edicales, en longue coh´ erence,
par Boyer et al [7], pour l’imagerie de cellules en
transillumination et, par Coquoz et al [8], en combinaison
avec la microendoscopie. En faible coh´ erence, mais avec
une technique de reconstruction diff´ erente, Leith et al
[9] et Chen et al [10] ont d´ evelopp´ e diverses techniques
originales pour la vision ` a travers les milieux troubles
en transillumination. Nous proposons ici une nouvelle
m´ ethode en retrodiffusion, inspir´ ee de travaux r´ ecents [11]
dans le domaine de l’holographie num´ erique que nous
avons adapt´ e en faible coh´ erence.
2. La technique exp´ erimentale
Comme on peut le constater sur le sch´ ema pr´ esent´ e
`
a la figure 1, le montage exp´ erimental consiste en un
interf´ erom` etre de Michelson travaillant avec des faisceaux
´
elargis. La source de lumi` ere utilis´ ee est un laser Ti:saphir
puls´ e pour les exp´ eriences en faible coh´ erence et un laser
He–Ne pour les exp´ eriences en longue coh´ erence.
La premi` ere ´ etape consiste ` a´ elargir le diam` etre du
faisceau ´ emis par la source jusqu’` a environ 2 cm au moyen
d’un montage t´ el´ escopique muni d’un filtre spatial. Ensuite,
un cube s´ eparateur partage la lumi` ere en deux parties, d’une
part pour illuminer l’objet et d’autre part pour former une
onde de r´ ef´ erence Rpar r´ eflexion sur un miroir (M). La
lumi` ere retrodiffus´ ee par l’´ echantillon forme l’onde objet
Oqui interf` ere avec l’onde de r´ ef´ erence pour former
l’hologramme. La longueur du trajet optique de l’onde
de r´ ef´ erence peut ˆ etre ajust´ ee au moyen d’une table de
R
O
M
MO
Source θ
CCD
Figure 1. Montage exp´ erimental pour l’holographie
num´ erique.
Figure 1. Experimental set-up for numerical holography.
translation microm´ etrique coupl´ ee au miroir de r´ ef´ erence
(M). Un objectif de microscope (MO) situ´ e en face de
l’objet permet des observations microscopiques.
La distribution d’intensit´ e dans le plan de l’holo-
gramme, IH(x, y) =|R+O|
2est enregistr´
ee par la cam´ era
CCD qui transmet ` a l’ordinateur, via une carte d’acquisition
vid´ eo, un tableau IH(k, l) comportant Nx×Nynombres
entiers, cod´ es sur 8 bits, qui r´ esulte de la digitalisation
bi-dimensionnelle de l’hologramme. Une cam´ era CCD
standard, noir blanc et bon march´ e est utitlis´ ee. Sa surface
photosensible compte Nx×Ny=768×512 pixels, r´
epartis
sur une surface de Lx×Ly=4,83×6,47 mm2. En pratique,
seule la partie centrale de l’image enregistr´ ee (512 ×512
pixels, surface Lx×Lx)est utilis´
ee pour la reconstruction.
Selon un principe bien connu en holographie, pour
que les diff´ erents ordres de diffraction g´ en´ er´ es lors de la
reconstruction puissent ˆ etre observ´ es s´ epar´ ement, l’onde
objet et l’onde de r´ ef´ erence ne doivent pas ˆ etre parall` eles
lors de l’enregistrement. Pour cette raison, le miroir n’est
pas orient´ e perpendiculairement ` a la direction du faisceau
incident et l’onde de r´ ef´ erence tombe sur la cam´ era CCD
avec un angle d’incidence θ.
La conception d’une installation d’holographie num´ er-
ique doit tenir compte de la faible r´ esolution du support
d’enregistrement utilis´ e. En effet, le pouvoir de r´ esolution
des ´ emulsions photosensibles atteint facilement jusqu’` a
2000 lignes mm−1alors que pour une cam´
era CCD, il
se situe typiquement aux alentours de 200 lignes mm−1.
De plus, la taille d’une puce CCD standard n’est que
de quelques millim` etres, alors que la taille d’une plaque
photosensible peut atteindre plusieurs centim` etres. Il r´ esulte
de ces deux limitations que la taille des objets dont on d´ esire
enregistrer l’hologramme est limit´ ee. En d’autre termes,
pour que la digitalisation de l’hologramme par la cam´ era
CCD se fasse sans probl` emes de sous-´ echantillonnage, il
faut que la densit´ e des franges d’interf´ erence n’exc` ede pas
le pouvoir de r´ esolution de la CCD. Comme l’espacement
261

E Cuche et al
entre les franges est inversement proportionnel ` a l’angle
entre les directions de propagation des ondes qui interf` erent,
la faible r´ esolution du support d’enregistrement impose une
valeur maximale pour l’angle θ. Si on consid` ere le cas de
deux ondes planes, on a
θ≤θmax =arcsinλ
41x (1)
o` u1x est la taille d’un pixel et λla longueur d’onde. Dans
notre cas, avec 1x =9,4µm, l’angle d’incidence entre les
deux ondes doit ˆ etre inf´ erieur ` aθmax =0,96◦, ce qui fixe
une taille maximale d’environ 5 mm pour un objet situ´ e` a
30 cm de la cam´ era.
3. La reconstruction num´ erique des hologrammes
En holographie conventionnelle, l’hologramme est d´ evel-
opp´ e puis ´ eclair´ e` a nouveau par l’onde de r´ ef´ erence
dont la diffraction donne lieu ` a la propagation d’un
front d’onde 9qui est une r´ eplique exacte, en intensit´ e
et en phase, du front d’onde ´ emis par l’objet pendant
l’enregistrement. La m´ ethode de reconstruction num´ erique
que nous avons impl´ ement´ ee simule cette reconstruction
optique en calculant l’int´ egrale de Fresnel du produit de
la distribution d’intensit´ e dans le plan de l’hologramme
par l’onde de r´ ef´ erence (R(x, y)IH(x, y)). L’algorithme
utilis´ e consiste simplement en une formulation discr` ete
Figure 2. Un exemple type d’une image en intensit´ e
obtenue par reconstruction num´ erique.
Figure 2. A typical example of an intensity image obtained
by numerical reconstruction.
de la transform´ ee de Fresnel. Pour gagner du temps de
calcul, la double int´ egrale de Fresnel est remplac´ ee par
une transform´ ee de Fourier bi-dimensionnelle par un simple
changement de variable [11,12]. L’expression analytique
de l’algorithme utilis´ e est donn´ ee par l’expression suivante:
9(m1ξ, n1η) =expiπ
λd (m21ξ2+n21η2)
×DFTR(k1x, l1y)IH(k, l)
×expiπ
λd (k21x2+l21y2)m,n
(2)
o` u DFT est l’op´ erateur de transform´ ee de Fourier discr` ete,
R(k1x, l1y) est un tableau de nombres complexes
repr´ esentant l’onde de r´ ef´ erence et dest la distance s´ eparant
le plan de l’hologramme 0xy du plan d’observation 0ξη.Le
temps n´ ecessaire pour la reconstruction d’un hologramme
de 512×512 pixels avec l’algorithme (2) est d’environ 5 s
sur un PC muni d’un microprocesseur Pentium Pro cadenc´ e
`
a 200 MHz.
Les intervalles d’´ echantillonnage dans le plan d’obser-
vation, 1ξ et 1η d´ ependent de la taille des pixels de la
cam´ era CCD (1x ×1y), de la longueur d’onde λet de la
distance de reconstruction d[11,12]:
1ξ =λd
Nx1x =λd Lx
(3)
1η =λd
Ny1y =λd Ly
.(4)
Le front d’onde reconstruit 9(m1ξ, n1η) est un
tableau de nombres complexes dont on peut extraire
l’intensit´ e et la phase en calculant respectivement le module
et l’argument de chacun de ses ´ el´ ements. La figure 2
pr´ esente un exemple typique de reconstruction en intensit´ e,
obtenue ` a partir d’un hologramme enregistr´ e avec un laser
He–Ne et une mire de test USAF en guise d’objet. Cet
exemple a ´ et´ e obtenu sans objectif de microscope. La
distance de reconstruction vaut d=31,0 cm.
Le r´ esultat obtenu (figure 2) est caract´ eristique de
l’holographie hors-axe. Au centre de l’image, on observe
la diffraction d’ordre z´ ero repr´ esent´ ee par une distribution
d’intensit´ e carr´ ee dont la taille est ´ egale ` a celle de la cam´ era
CCD. A droite en haut du plan reconstruit, on observe
l’image jumelle et sym´ etriquement par rapport au centre,
l’image r´ eelle focalis´ ee qui reproduit le motif de la mire de
test USAF.
Un exemple typique de reconstruction de phase est
pr´ esent´ e en perspective 3D ` a la figure 3. La partie
pr´ esent´ ee correspond ` a l’image r´ eelle de la figure 2. Pour
obtenir ce type d’images en phase, il faut que le tableau
complexe R(k1x, l1y) (voir l’´ equation (2) repr´ esente
de fa¸con tr` es pr´ ecise l’onde de r´ ef´ erence utilis´ ee pour
l’enregistrement. Plus pr´ ecis´ ement, l’incidence de l’onde
de r´ ef´ erence sur la cam´ era CCD doit ˆ etre introduite
dans le calcul par l’interm´ ediaire de deux pararam` etres
angulaires, un pour l’azimut et l’autre pour l’incidence,
dont les valeurs doivent ˆ etre d´ efinies au centi` eme de
milliradiant pr` es. Cette information de phase donne une
description compl` ete de l’objet en trois dimensions et offre
262

Une technique d’holographie num´ erique
Figure 3. Une repr´ esentation en perspective 3D de la reconstruction num´ erique de la distribution de phase dans la r´ egion de
l’image r´ eelle (l’´ epaisseur des ´ el´ ements m´ etallis´ e est inf´ erieur ` a 100 nm).
Figure 3. A representation in 3D perspective of the numerical reconstruction of the phase distribution in the region
corresponding to the real image (the thickness of the metallized pattern is less than 100 nm).
Figure 4. Tomographie optique en faible coherence d’une
sc` ene 3D compos´ ee de deux mires r´ efl´ echissantes.
Figure 4. Optical tomography with a low-coherence source.
The 3D scene is composed of two reflective targets.
de nouvelles perspectives dans le domaine de la mesure tr` es
pr´ ecise (∼
=λ/10) de d´
eformations [13]. Cette possibilit´ e
int´ eressante de reconstruction en phase est sp´ ecifique ` ala
m
´
ethode de reconstruction num´ erique que nous utilisons et
la diff´ erencie des technique OCT standards qui ne d´ etecte
que l’intensit´ e retrodiffus´ ee.
4. La tomographie d’une sc` ene 3D
Les r´ esultats pr´ esent´ es ` a la figure 4 ont ´ et´ e obtenus en
utilisant un laser Ti:saphir puls´ e comme source faiblement
coh´ erente. La dur´ ee des impulsions est de 80 fs, ce qui
correspond ` a une longueur de coh´ erence d’environ 25 µm.
La sc` ene 3D tomographi´ ee se compose de deux mires
de test distantes de 70 µm en profondeur et orient´ ees
perpendiculairement l’une par rapport ` a l’autre. Les deux
mires sont munies de lignes m´ etallis´ ees r´ efl´ echissantes au
nombre de 200 lignes mm−1. Un objectif de microscope
d’ouverture num´ erique NA =0,35 et de distance focale
f=8mma´ et´ e utilis´ e. La distance entre l’objet
et l’objectif est 7,75 µm et la distance entre l’objectif
et la cam´ era CCD est d’environ 15 cm. Dans cette
configuration, l’image produite par l’objectif de microscope
est virtuelle et focalis´ ee loin de la cam´ era CCD. La
distance de reconstruction correspondante est d’environ
1,5 m. La figure 4 pr´ esente une s´ erie de clich´ es obtenus
par reconstruction num´ erique d’hologrammes enregistr´ es
pour diff´ erentes positions du miroir r´ efl´ echissant l’onde de
r´ ef´ erence. La premi` ere image fait office de position de
r´ ef´ erence (1z =0µm); elle correspond au cas pour lequel
le miroir est trop proche du cube diviseur pour permettre
l’enregistrement d’un hologramme avec le rayonnement
´
emis par la premi` ere mire. Les dix images suivantes ont ´ et´ e
reconstruites ` a partir d’hologrammes enregistr´ es en reculant
`
a chaque fois le miroir de 15 µm. On constate que la
premi` ere mire qui est orient´ ee horizontalement apparaˆ ıt le
mieux pour 1z =45 µm et que rien n’est reconstruit pour
1z =75 µm qui correspond au cas pour lequel on se situe
exactement entre les deux mires. La seconde mire apparaˆ ıt
le plus clairement 1z =120 µm. On constate qu’elle est
masqu´ ee par la premi` ere mire et qu’on ne reconstruit ses
lignes r´ efl´ echissantes que par segments.
On constate sur le r´ esultat de la figure 4 que les deux
mires, qui sont s´ epar´ ees de 70 µm, sont parfaitement
r´ esolues en profondeur et que chacune d’elles est visible
sur un intervalle d’environ 45 µm. Au vu de ces r´ esultats,
il apparaˆ ıt clairement que deux mires espac´ ees de moins de
263

E Cuche et al
25 µm deviendraient indistinguables, donc que la limite
de r´ esolution en profondeur de la m´ ethode est ´ egale ` a
la longueur de coh´ erence. Dans le plan transverse, les
200 lignes mm−1des mires utilis´
ees ´ etant parfaitement
r´ esolue, on peut dire que la limite de r´ esolution lat´ erale
est inf´ erieure ` a5µm. Des ´ etudes men´ ees avec une mire
de test USAF [14] ont montr´ e qu’une r´ esolution lat´ erale
´
egale ` a la limite de diffraction de l’objectif de microscope
utilis´ e, soit 2,2µm−1, est possible avec cette technique.
5. Conclusion
Nous avons montr´ e que la m´ ethode de reconstruction
num´ erique que nous avons utilis´ e est r´ eellement une
technique d’imagerie holographique en trois dimensions
puisqu’elle permet la reconstruction des distributions
d’intensit´ e et de phase ` a la surface de l’objet. L’algorithme
de reconstruction est robuste, fiable et rapide. 5 s
suffisent pour la reconstruction d’un hologramme de 512×
512 pixels par un ordinateur personnel ´ equip´ e d’un
microprocesseur cadenc´ e` a 200 MHz. La conception du
montage exp´ erimental dans la g´ eom´ etrie hors-axe doit tenir
compte de la faible r´ esolution de la cam´ era CCD qui impose
une valeur maximale pour l’angle d’incidence de l’ordre
d’un degr´ e.
L’utilisation d’une source faiblement coh´ erente permet
d’effectuer la tomographie d’une sc` ene tridimensionnelle
sans balayage lat´ eral. Le balayage en profondeur s’effectue
simplement en modifiant la position du miroir de r´ ef´ erence
le long d’un seul axe. En utilisant un laser Ti:saphir
puls´ e´ emettant des impulsions d’une dur´ ee de 80 fs, la
tomographie d’une sc` ene 3D a ´ et´ e effectu´ ee avec une
r´ esolution en profondeur de l’ordre de la longueur de
coh´ erence (25 µm). La r´ esolution lat´ erale est ´ egale ` ala
limite de diffraction de l’objectif de microscope utilis´ e.
Remerciements
Ces travaux de recherches ont ´ et´ e financ´ es par le Fond
National Suisse de la Recherche Scientifique (subside FN
2053-049628.96/1). Nous remercions Laure Montandon,
Fr´ ed´ eric Bevilaqua, Olivier Coquoz et Ramiro Conde pour
leurs remarques int´ eressantes ` a propos du manuscrit et pour
les discussions que nous avons eu le loisir de partager avec
eux.
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