SAÉ 14 : Des extraterrestres, vraiment? SAÉ 13 : J`ai un doute

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Le raisonnement
géométrique
Exemple de production attendue
Pour démontrer que la somme des mesures des angles
intérieurs d’un triangle est 180°, on peut partir des énoncés
suivants.
1) Par un point extérieur à une droite, on peut tracer une
et une seule parallèle à cette droite.
2) Si une sécante coupe deux droites parallèles, alors
les angles alternes-internes sont isométriques.
Soit un triangle quelconque ABC.
On trace la droite BC. Puis on trace la droite parallèle à BC
qui passe par le point A. Cette droite existe par l’énoncé 1).
∠BAD 艑∠ABC et ∠CAE 艑∠ACB, par l’énoncé 2).
On a donc :
m∠ABC m∠BAC m∠ACB m∠BAD 
m∠BAC m∠CAE 180°.
Pour ce qui est des angles du grand triangle qui ont été
mesurés au Québec, il ne faut pas oublier que la Terre est
une sphère. Si la somme des mesures des angles de ce grand
triangle n’est pas 180°, c’est qu’au moins l’un des deux
énoncés ci-dessus est faux lorsqu’on travaille sur une surface
sphérique.
Exemple de production attendue
Remarque :
Il y existe plusieurs constructions possibles.
Une fois la construction choisie, il y a également plusieurs
démonstrations possibles, autant à cause de la diversité
des propriétés à démontrer qu’à cause de la façon de procéder
dans chaque cas.
Construction de l’agroglyphe
La construction peut être faite à partir des droites
d
1,
d
2et
d
3,
qui sont parallèles et équidistantes, en suivant les étapes
suivantes.
SAÉ 14 : Des extraterrestres,
vraiment?
A
DE
BC
SAÉ 13 : J’ai un doute
5
1. Situer le point E sur la droite d
1, puis les points B et C sur
la droite
d
2de façon que m m . La longueur
du segment BC sera considérée comme l’unité par la suite.
2. Déterminer le milieu du segment BC, puis tracer
un segment du point E jusqu’à ce milieu. Prolonger
ce segment vers la droite
d
3. Situer le point H
à l’intersection de ce prolongement et de la droite
d
3.
3. Situer les points A et D sur la droite
d
2, de façon que
mm1 et que m 2m2.
4. Situer les points F et G sur la droite
d
1, de façon que
mm1.
5. Situer les points I et J sur la droite
d
3, de façon que
mm1.
6. Tracer tous les autres segments de droite entre ces points
permettant de compléter la figure.
Quelques démonstrations
Remarque :
Dans chacune des démonstrations suivantes,
les hypothèses dépendent de la construction choisie.
Les hypothèses peuvent varier si la construction utilisée
est différente de celle ci-dessus.
d1
Ad2
d3
B
E
H
C
F
I
G
J
D
d1
Ad2
d3
B
E
H
C
F
I
11
11
G
J
D
12
1
2
1
2
IJHI
FGEF
BCCDBCAB
d1
d2
d3
B
E
H
C
d1
d2
d3
B
E
C
1
CEBE

Vision 5 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel – Vol. 2 © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
2
Proposition 1 : Les triangles EBH et ECH sont
isométriques.
Hypothèses : • 艑
• passe par le milieu de .
Conclusion : ΔEBH 艑ΔECH
Soit le point K, le point de rencontre des segments EH et BC.
Par hypothèse, le segment EK est la médiane relative à la base
du triangle isocèle EBC. C’est donc aussi une bissectrice
de ce triangle. On a donc ∠BEK 艑∠CEK. Le point H étant
dans le prolongement de EK, on peut aussi affirmer que
∠BEH 艑∠CEH.
Cela permet d’affirmer que les deux triangles EBH et ECH sont
isométriques par la condition minimale d’isométrie CAC.
En effet, 艑par hypothèse, est un côté commun
à ces deux triangles et ∠BEH 艑∠CEH, comme on vient
de le démontrer.
Proposition 2 : Le quadrilatère EBCF est
un parallélogramme.
Hypothèses : •
d
1兾兾
d
2
• m m1
Ce qu’il faut démontrer : 兾兾
兾兾
兾兾 , car ces deux segments se trouvent respectivement
sur les parallèles
d
1et
d
2.
Il reste à démontrer que 兾兾 .
Pour ce faire, on montre d’abord que les deux triangles ECF
et CEB sont isométriques par la condition minimale
d’isométrie CAC.
En effet : 艑par hypothèse;
∠ CEF 艑∠ ECB, car ce sont des angles alternes-
internes relativement aux parallèles
d
1et
d
2;
艑, car il s’agit du même segment.
On peut donc affirmer que ∠ ECF 艑∠ CEB, car les angles
homologues de triangles isométriques sont isométriques.
Il en découle que 兾兾 , car les angles alternes-internes
ECF et CEB relativement aux droites EB et FC sont
isométriques.
FCEB
CEEC
BCEF
FCEB
BCEF
d1
d2
E
CB1
F1
FCEB
BCEF
BCEF
BHCEBE
d1
d2
d3
B
E
H
C
K
BCEH
CEBE
Exemple de production attendue
Supriya a raison. Il est possible de déterminer la mesure
de chaque segment du pylône à partir des mesures de trois
des segments.
Déterminer les trois mesures nécessaires.
Si on observe la représentation du pylône ci-dessous, on peut
supposer que certaines mesures peuvent être déduites d’autres
mesures. Par exemple, la mesure d’un segment à gauche
de l’axe de symétrie peut être déduite de celle de l’image
de ce segment à droite de l’axe de symétrie. De même,
en supposant que l’on est
en présence de triangles
semblables (par exemple,
les triangles JMI, INH,
HOG et GPF paraissent
semblables), on peut
déduire des mesures
de celles relatives à
un seul triangle.
Ainsi, à partir des
mesures de segments
appartenant au triangle
JMI, on peut déduire
les mesures des segments
des autres triangles de
la partie droite du pylône
et, par la suite, celles des
segments de la partie gauche du pylône.
On pose, par supposition, les mesures suivantes :
m1 m
, m2,5 m et m 3.
Déterminer les mesures relatives au triangle JMI.
Par la relation de Pythagore, on peut, dans le triangle
rectangle KLJ, déterminer la mesure du segment LJ :
m⬇1,658 m.
Dans le triangle rectangle MKJ,
on peut déterminer la mesure
du segment ML à l’aide de la
proportion suivante :
d’où m ⬇3,77 m.
Par la relation de Pythagore, on peut, dans le triangle
rectangle MKJ, déterminer la mesure du segment MK :
m⬇4,524 m.
Finalement, à l’aide de la relation de Pythagore, on peut,
dans le triangle rectangle MKI, déterminer la mesure
du segment MI : m ⬇4,633 m.
MI
MK
J
L
K
1 m
3 m
2,5 m
I
M
ML
2,5
m ML 苶
1,658
2,5
LJ
KJKLIK
SAÉ 15 : J’observe ce qui m’entoure
2
s
AJ
L
K
IB
CH
GD
EF
M
N
O
P

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Déterminer le rapport de similitude
des triangles semblables.
On peut affirmer que les triangles JMI et INH sont semblables
par le cas AA de similitude des triangles. En effet, BJ étant
parallèle à CI, les angles MJI et NIH sont isométriques, car il
s’agit d’angles correspondants formés par une droite JF qui
coupe deux droites parallèles.
Pour la même raison, étant parallèle à , les angles
correspondants JIM et IHN sont isométriques.
On peut également affirmer que le quadrilatère MINB est
un losange, car ses côtés opposés sont parallèles, et l’axe
de symétrie permet de constater que m m et que
mm . Comme le quadrilatère MINB est un losange,
on peut affirmer que m m4,633 m.
Le rapport de similitude qui associe le triangle NIH au
triangle MJI est donc
k , soit ⬇0,85.
Ce rapport de similitude permet de trouver les mesures des
segments du triangle NIH à partir des mesures des segments
homologues du triangle MJI : en multipliant chaque mesure
relative au triangle MJI par 0,85.
Une fois les mesures relatives au triangle NIH obtenues,
on peut trouver celles du triangle OHG et celles du triangle
PGF avec un raisonnement analogue, en fonction d’un rapport
k 0,85 d’un triangle à l’autre.
Une fois les mesures des segments à droite de l’axe
de symétrie trouvées, on détermine celles des segments
à gauche de l’axe par symétrie.
4,633
3,77 1,658
m NI
苶
m MJ 苶
IMIN
IMBM
INBN
s
AJ
L
K
IB
CH
GD
EF
M
N
O
P
BHAI
Réactivation 1
a. 1) m∠DIE 120°
Justification : m ∠CIF 60° (le triangle CIF est
équilatéral ),
m∠CID m∠FIE 90°
(les triangles CID et FIE sont rectangles)
et 360 60 290 120.
2) m∠IDE 30°
Justification : m m (le triangle CID est isocèle),
mm (le triangle CIF est
équilatéral ),
mm (le triangle FIE est isocèle),
donc m m et le triangle DIE
est isocèle.
Dans ce triangle, les angles intérieurs
opposés aux côtés isométriques sont
isométriques; on a donc :
m∠IDE m∠IED
Puisque la somme des mesures des
angles intérieurs d’un triangle est 180°,
on peut écrire :
m∠IDE (180° m∠DIE) 2
(180° 120°) 230°
3) m∠DCI 45°
Justification : le triangle rectangle CID est isocèle, donc
isoangle, et (180 90) 245.
4) m∠BCF 75°
Justification : ∠BCF et ∠DCF sont supplémentaires,
car ils forment un angle plat.
m∠DCF m∠DCI m∠ICF 
45° 60° 105° et 180 105 75.
5) m∠GCF 30°
Justification : 兾兾 implique que les angles alternes-
internes GCI et DIC sont isométriques; on
a donc : m ∠GCI m∠DIC 90°;
m∠GCF m∠GCI m∠ICF 
90° 60° 30°
6) m∠CBF 75°
Justification : 兾兾 implique que les angles alternes-
internes BFI et EIF sont isométriques; on a
donc : ∠BFI m∠EIF 90°;
m∠BFC m∠BFI m∠CFI 
90° 60° 30°.
Dans le triangle CBF, la somme des
mesures des angles intérieurs est 180°;
on a donc :
m∠CBF 180° m∠BFC 
m∠BCF 180° 30° 75° 75°
IEBF
DICG
IEID
IEIF
IFIC
ICID
Page 4
5
RÉ

Vision 5 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel – Vol. 2 © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
4
b. 1) Il s’agit d’un triangle isoangle, donc isocèle.
2) Il s’agit d’un triangle scalène.
c. m∠A30°; m ∠Bm∠G105°; m ∠H120°
d. L’aire du triangle CIF est égale à 25 cm2.
L’aire de chacun des triangles CID et FIE est de 50 cm2.
e. Les deux triangles sont équivalents. En effet, il est possible
de découper l’un des triangles pour former l’autre.
La mesure du segment DE est le double de la hauteur
du triangle équilatéral CFI. Ce segment mesure donc
10 cm.
f. Le rapport des aires est égal à 3, soit le carré du rapport
de similitude, qui est .
g. L’aire du triangle ACF est égale à
( 50 25 ) cm2,
soit environ 93,3 cm2.
Démarche :
Soit
x, l’aire du triangle ACF (en cm2). Alors l’aire du
triangle ADE (en cm2) est de 3
x.
La différence entre ces deux surfaces correspond
au quadrilatère CDEF.
Aire du quadrilatère CDEF (en cm2) :
250 225 100 50 .
On a donc l’équation
x ( 100 50 ) 3 x.
En la résolvant, on obtient x 50 25 ⬇93,3.
h. L’aire totale de la mosaïque est de
( 300 150 ) cm2
ou, environ, 559,8 cm2.
Réactivation 2
a. 1) Rotation.
2) Translation.
3) Réflexion.
4) Réflexion.
5) Rotation.
b. Ces situations sont impossibles.
Plusieurs justifications possibles. Exemple :
Les translations, les rotations et les réflexions préservent
les mesures des angles.
Page 5
兹
3
兹
3
兹
3
兹
3
兹
3
兹
3
兹
3
兹
3
兹
3
Soit la figure ci-dessous, obtenue en appliquant
les transformations décrites en a.
On peut en déduire la suite de relations suivantes.
1. ∠4艑∠1, car ∠4 est l’image de ∠1
par une rotation.
2. ∠5艑∠2, car ∠5 est l’image de ∠2
par une translation.
3. ∠8艑∠3, car ∠8 est l’image de ∠3
par une réflexion.
4. ∠7艑∠4, car ∠7 est l’image de ∠4 par
une réflexion; de plus, puisque ∠4艑∠1, on peut
donc affirmer que ∠7艑∠1.
5. ∠6艑∠9, car ∠6 est l’image de ∠9 par
une rotation; de plus, ∠9艑∠10, car ∠9 est l’image
de ∠10 par une réflexion; et, finalement,
∠10 艑∠2, car ∠10 est l’image de ∠2 par
une rotation; on peut donc affirmer que ∠6艑∠2.
À partir de ces relations, on obtient :
m∠3m∠4m∠5m∠6m∠7m∠8
m∠3m∠1m∠2m∠2m∠1
m∠3
2(m ∠1m∠2m∠3)
2180°
360°
c.
Plusieurs réponses possibles. Exemple :
Il est possible de réaliser un dallage avec n’importe quel
quadrilatère en appliquant successivement à ce quadrilatère
et à ses images des rotations de 180° dont les centres sont
situés au milieu des côtés du quadrilatère.
Exemple :
1
45
6
7
8
9
10
2
3
4

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision 5 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel – Vol. 2 5
Réactivation 3
a. Le centre d’homothétie est le point de rencontre des droites
passant par les points et leur image.
b. Le rapport d’homothétie est .
Explication : Si le point O est le centre d’homothétie, si
le point A est un sommet correspondant à un coin de
la petite photo et si le point A' est son image, le rapport
d’homothétie est .
c. Oui, les deux rectangles sont semblables.
Justification : Les angles homologues sont isométriques, ils
mesurent tous 90°, et les côtés homologues ont des
longueurs proportionnelles, les dimensions du petit
rectangle sont de 6 cm sur 4 cm, celles du grand rectangle
sont de 15 cm sur 10 cm, et ) .
d. Les angles homologues sont isométriques et les côtés
homologues ont des longueurs proportionnelles.
e. La photo agrandie mesurera 27,9 cm sur 18,6 cm.
Mise à jour
1. a)
m∠BDC 128°
Exemple de démarche :
m∠ABC m∠ACB (180° 76°) 252°
m∠DBC m∠DCB 52° 226°
m∠BDC 180° 226° 128°
A
D
CB
76°
Page 10
10
4
15
6
m A'O
苶
m AO 苶
5
2
Page 6 b)
m∠BDC 128°
Exemple de démarche :
m∠ACB 76°
m∠ABC 180° 276° 28°
m∠DBC 28° 214°
m∠DCB 76° 238°
m∠BDC 180° 38° 14° 128°
c) La mesure de l’angle BDC est la même.
d)
Plusieurs formulations possibles pour la conjecture.
Exemple :
Dans un triangle ABC, si et sont les bissectrices
des angles B et D et si
a est la mesure de l’angle A
en degrés, alors la mesure de l’angle BDC en degrés
est de .
2.
Plusieurs réponses possibles. Exemples :
• Il faut que deux côtés adjacents du quadrilatère soient
isométriques et forment un angle droit.
• Il faut que les deux diagonales du quadrilatère soient
isométriques et forment un angle droit.
• Il faut que deux côtés adjacents du quadrilatère soient
perpendiculaires, tout comme les deux diagonales.
3. a) Un cerf-volant.
b) Un rectangle.
c) Un losange.
180  a
2
CDBD
A
D
CB
76°