énoncé

Spé ψ
ψψ
ψ 2011-2012 page 1/4 Devoir n°1
Spé ψ
ψψ
ψ 2011-2012 Devoir n°1
MÉCANIQUE DU POINT
Ce problème porte sur l’étude sommaire du confinement d’un électron (de masse m et de charge –q)
dans une petite région de l’espace à l’aide d’un champ électromagnétique.
On se place dans le cadre de la mécanique newtonienne et on néglige toutes les forces autres que les for-
ces électromagnétiques. L’électron se déplace dans le référentiel R(O, x, y z) , supposé galiléen ; on appelle res-
pectivement
, ,
x y z
e e e
les vecteurs unitaires des axes Ox, Oy et Oz. Suivant les questions, on repérera un point
de l’espace par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z) ou cylindriques (r, θ, z) avec
2 2
r x y
= +
.
Données numériques :
Charge d’un électron (va-
leur absolue) q = 1,6×10
–19
C Vitesse de la lumière dans le vide c = 3×10
8
m⋅s
–1
Masse d’un électron m = 9,1×10
–31
kg Perméabilité du vide µ
0
= 4π×10
–7
H⋅m
–1
Partie I
M OUVEMENT DE L ’ ELECTRON DANS UN CHAMP MAGNETIQUE UNIFORME
L’électron, se déplaçant dans le vide, est soumis à l’action d’un champ magnétique uniforme et perma-
nent (indépendant du temps). Le champ magnétique est colinéaire à Oz:
z
B B e
= (B > 0). On pose
C
/
qB m
ω = .
À l’instant initial, l’électron se trouve en O avec la vitesse 00 0
x z
x z
v v e v e
= + (v
0x
et v
0z
sont des cons-
tantes positives).
I-1) Déterminer la coordonnée z(t) de l’électron à l’instant t.
I-2) On étudie la projection du mouvement de l’électron dans le plan Oxy.
a) Déterminer les composantes v
x
et v
y
de la vitesse de l’électron en fonction de v
0x
, ω
C
et du
temps t.
b) En déduire les coordonnées x(t) et y(t) de l’électron à l’instant t.
c) Montrer que la projection de la trajectoire de l’électron dans le plan Oxy est un cercle Γ de
centre H et de rayon r
H
. Déterminer les coordonnées x
H
et y
H
de H, le rayon r
H
et la fréquence de révolution f
C
de
l’électron sur ce cercle en fonction de v
0x
et ω
C
. Tracer, avec soin, le cercle Γ dans le plan Oxy. Préciser en parti-
culier le sens de parcours de l’électron sur Γ.
d) Application numérique : calculer la fréquence f
C
pour B = 1,0 T.
e) Tracer l’allure de la trajectoire de l’électron dans l’espace. L’électron est-il confiné au voisi-
nage de O ?
I-3) Pour étudier la projection du mouvement de l’électron dans le plan xOy, on adopte un autre point de
vue en se plaçant dans le référentiel R’ qui est en rotation uniforme par rapport à R à la vitesse angulaire ω
C
autour d’un axe passant par H et parallèle à Oz.
a) En utilisant la formule de composition des vitesses et les résultats obtenus à la question I-2,
déterminer la vitesse
(
)
'
v P
R
de la particule P dans le référentiel R’.
b) La particule subit une force de la part d’un champ magnétique dans ce référentiel ?
c) Montrer que dans ce référentiel, la particule est soumise à un champ électrique constant
'
E
R
que l’on exprimera en fonction de B et v
0 x
.

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ψψ
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Partie II
M OUVEMENT DE L ’ ELECTRON DANS UN CHAMP ELECTRIQUE QUADRUPOLAIRE
À l’aide d’électrodes de forme appropriée (cf figures 1 et 2), on crée autour du point O, dans une zone
vide de charges, un champ électrostatique
E
quadrupolaire de révolution autour de l’axe Oz, dérivant du poten-
tiel
(
)
(
)
2 2 2
0 1 2
, ,
V x y z x y z
= α + α + + α où α
0
, α
1
et α
2
sont des constantes..
On peut également mettre V sous la forme
(
)
2 2
0 1 2
,
V r z r z
= α + α + α .
II-1) Étude du potentiel V et du champ
E
.
a) On admet que le potentiel V vérifie l’équation
222
2 2 2
0
VVV
x y z
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
en tout point en dehors des électrodes. En déduire une
relation entre α
1
et α
2
.
b) Les surfaces internes des électrodes E
A1
et E
A2
, de révolu-
tion autour de Oz, ont pour équation :
2 2 2
0
2 2
r z z
− = − (les points A
1
et A
2
de la figure 2 ont respectivement pour ordonnées +z
0
et –z
0
sur l’axe Oz). Ces
électrodes sont au potentiel nul (cf figure 3).
La surface interne de l’électrode latérale E
B
également de révolution
autour de Oz , a pour équation :
2 2 2
0
2
r z r
− =
(le point B de la figure 2 est à
la distance r
0
de l’axe Oz). Cette électrode est au potentiel V
0
(V
0
> 0). On
définit la constante positive d par
2 2 2
0 0
4 2
d r z
= + .
Exprimer le potentiel V(r, z) en fonction de d, z
0
, V
0
, r et z.
c) Calculer les composantes cartésiennes E
x
,E
y
et E
z
du champ
E
en un point M en fonction de
d, V
0
, x, y, z. (On rappelle que
( )
grad
E V
= − en régime statique.)
II-2) Mouvement d’un électron dans le champ quadrupolaire
a) Écrire les trois équations différentielles du mouvement en projection sur les axes Ox, Oy et
Oz. On introduira la constante
0
0
2
eV
md
ω = .
b) Montrer que le mouvement de l’électron suivant Oz (mouvement longitudinal) est périodique
et déterminer sa fréquence f
0
en fonction de ω
0
.
c) Application numérique : r
0
= 3,0 mm, z
0
= 2,0 mm, V
0
= 10 V. Calculer f
0
. Comparer les va-
leurs numériques de f
0
et de f
C
.

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d) Montrer que le mouvement de l’électron dans le plan Oxy (mouvement transversal) n’est pas
borné. Il n’y a donc pas confinement de l’électron au voisinage de O dans le champ quadrupolaire.
II-3) Le principe de l’analyseur à piège à ions repose sur le piégeage de la matière ionisée au voisinage
d’une position d’équilibre stable. Le composant principal est un piège de Paul, mis au point dans les années 1950
par le physicien allemand Wolfgang Paul. Ce travail lui vaudra d’être récompensé par une partie du prix Nobel
de physique, en 1989.
L’idée de Wolfgang Paul est de contourner l’impossibilité de piéger une particule chargée à l’aide seu-
lement d’un potentiel électrique purement statique, en utilisant un potentiel oscillant de pulsation Ω, de sorte que
(
)
0 M
cos
V V t
= Ω
, sans champ magnétique.
Dans le cas où Ω >> ω
0
, on montre que tout se passe, approximativement, comme si la particule évoluait
avec une énergie potentielle :
( )
( )
4
2 2 2
0
P2
, , 4
16
m
E x y z x y z
ω
= + +
Ω
a) Montrer que la force subie par la particule vérifie la relation
(
)
P
grad
F E
= − . Écrire les
nouvelles équations différentielles vérifiées par x, y et z.
b) Montrer que le mouvement de la particule est un mouvement oscillant sur chacun des axes.
Exprimer les pulsations d’oscillation ω
X
, ω
Y
et ω
Z
sur Ox, Oy et Oz en fonction de ω
0
et Ω. La particule est -elle
piégée ?
c) À t = 0, la particule est injectée dans le piège en O avec une vitesse
(
)
0
x z
v v e e
= + . Calculer
les trois fonctions x(t), y(t) et z(t).
d) Tracer sur les mêmes axes l’allure des courbes représentatives des fonctions x(t) et z(t).
e) En déduire l’allure de la trajectoire de la particule. Indiquer le sens de parcours.
Partie III
M OUVEMENT DE L ’ ELECTRON DANS LES CHAMPS MAGNETIQUE ET ELECTRIQUE
L’électron est maintenant soumis simultanément au champ magnétique
B
de la Partie I et au champ
électrique quadrupolaire statique
E
des questions II-1 et II-2.
III-1) Écrire les trois équations différentielles du mouvement en projection sur les axes Ox, Oy et Oz. On
utilisera les constantes ω
C
et ω
0
.
III-2) Montrer que le mouvement longitudinal suivant l’axe Oz, déterminé à la question II-2-b) n’est pas
modifié.
III-3) Pour déterminer le mouvement transversal dans le plan Oxy, on utilise la variable complexe
u = x + iy.
a) Écrire l’équation différentielle vérifiée par u.
b) Montrer que l’électron sera confiné autour de O si la pulsation ω
C
est supérieure à une cer-
taine valeur ω
C0
que l’on exprimera en fonction de ω
0
. En déduire la valeur minimale B
0
de B qui permet le
confinement de l’électron. Exprimer B
0
en fonction de V
0
, d, m et q.
c) On suppose dorénavant ω
C
>> ω
0
, ce qu’indiquaient les valeurs numériques précédentes. Dé-
terminer, dans ce cas, u en fonction de deux pulsations ω
1
et ω
2
(ω
1
< ω
2
), du temps et de deux constantes
d’intégration A
1
et A
2
qu’on ne cherchera pas à déterminer (la constante A
1
est associée à la pulsation ω
1
et la
constante A
2
à la pulsation ω
2
). Exprimer ω
1
et ω
2
en fonction de ω
0
et ω
C
(compte tenu de ω
C
>> ω
0
).
d) Application numérique : calculer les fréquences f
1
et f
2
associées aux pulsations ω
1
et ω
2
.
e) Montrer qu’à chaque pulsation ω
1
ou ω
2
est associé un mouvement circulaire de l’électron.
III-4) Le mouvement de l’électron apparaît donc comme la superposition de trois mouvements :
(1) un mouvement circulaire à la pulsation ω
1
dans le plan Oxy;
(2) un second mouvement circulaire à la pulsation ω
2
dans le plan Oxy;

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ψ 2011-2012 page 4/4 Devoir n°1
(3) un mouvement sinusoïdal longitudinal à la pulsation ω
0
le long de l’axe Oz.
Compte tenu des valeurs numériques des différentes pulsations et en supposant A
2
nettement plus petit
que A
1
, tracer l’allure de la projection de la trajectoire de l’électron dans le plan Oxy, puis l’allure générale de la
trajectoire dans l’espace.
Partie IV
Amortissement du mouvement de l’électron par rayonnement
Toute particule chargée accélérée émet une onde électromagnétique. L’énergie de ce rayonnement étant
prélevée sur l’énergie mécanique, il en résulte un amortissement des oscillations qu’on se propose de caractériser
dans cette partie.
IV-1) On considère le mouvement longitudinal de l’électron suivant l’axe Oz. Montrer qu’à ce mouve-
ment, de pulsation ω
0
,on peut associer une énergie mécanique
2
2 2
M 0
1 1
2 2
dz
E m m z
dt
= + ω .
IV-2) L’amplitude des oscillations variant lentement, on définit l’amplitude quadratique moyenne z
m
des
oscillations de l’électron par :
( ) ( )
0
2
2
0
1
' '
T t
mt
z t z t dt
T
+
=∫ , avec T
0
= 2π/ω
0
beaucoup plus petite que les durées
caractéristiques de l’amplitude et de l’énergie mécanique.
a) Exprimer E
M
(t) en fonction de m, ω
0
et z
m
(t); puis en fonction de m, ω
0
et de la valeur quadra-
tique moyenne a
m
(t) de l’accélération longitudinale
2
2
d z
dz
de l’électron suivant Oz.
b) La puissance moyenne P
m
(t) rayonnée par l’électron est donnée par la relation :
( ) ( )
2 2
0
6
m m
t q a t
c
µ
=π P .
De ce fait, l’énergie mécanique E
M
(t) diminue lentement avec une constante de temps τ
0
très grande de-
vant la période T
0
d’oscillation de l’électron suivant Oz. Écrire l’équation qui lie E
M
(t) et P
m
(t) et en déduire
l’équation différentielle que vérifie l’énergie E
M
(t).
c) Montrer que l’énergie décroît de manière exponentielle et exprimer la constante de temps τ
0
en fonction de m, q, c, µ
0
et ω
0
.
d) Application numérique : calculer τ
0
et comparer la valeur obtenue à celle de la période T
0
.
IV-3) On considère le mouvement transversal de l’électron dans le plan Oxy. On admet (même si cela
n’est pas tout à fait vrai, les ordres de grandeur sont respectés) que les résultats précédents sont transposables
directement et indépendamment aux deux mouvements circulaires de pulsations ω
1
et ω
2
; on suppose donc que
l’expression de la constante de temps τ en fonction de la pulsation ω (cf question IV-2-c) est inchangée.
a) Application numérique : calculer les constantes de temps τ
1
et τ
2
associées respectivement aux
mouvements circulaires de pulsations ω
1
et ω
2
.
b) Expliquer pourquoi on peut ainsi supposer que le mouvement circulaire associé à la pulsation
ω
2
a un rayon R
2
nettement plus petit que celui R
1
associé à la pulsation ω
1
(cf question III-4).