Consulter

Physique
MECANIQUE DU POINT MATERIEL
EXERCICE D’ ORAL
-EXERCICE 13.4• ENONCE :
« Effet Zeeman »
• On considère un électron de masse m et de charge –e, élastiquement lié au noyau par une
force de rappel :
!!!!"
"
F = − mω 02 OM
(O est le centre du noyau et M est la position de l’électron).
• L’atome est placé dans un champ magnétique uniforme et permanent :
• On suppose que l’on a
"
"
B = Bez .
eB
# 1 , et on limitera les calculs à l’ordre 1 en cet infiniment petit.
mω 0
• On négligera l’action de la pesanteur.
1) Que représente la grandeur
ω0 ?
2) Ecrire les équations du mouvement dans le référentiel d’étude (lié au noyau) supposé galiléen,
en utilisant un repère cartésien ; en déduire z(t).
3) On cherche des solutions x(t) et y(t) à variations temporelles sinusoïdales, et l’on pose :
x(t ) = ℜ{ X exp(iω t )}
et
Montrer qu’il n’existe que 2 pulsations possibles
y(t ) = ℜ{Y exp(iω t )}
ω1 et ω 2 , et les calculer en fonction de
ω 0 , e, m et B .
A quoi correspondent ces 2 pulsations ?
4) Pour chacune d’elles, déterminer le rapport
Y
; en déduire la forme de la trajectoire dans le
X
plan xOy.
Page 1
Christian MAIRE
 EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la
consultation individuelle et privée sont interdites.
Physique
MECANIQUE DU POINT MATERIEL
EXERCICE D’ ORAL
• CORRIGE :
« Effet Zeeman »
1) Dans le référentiel lié au noyau, supposé galiléen, le PFD appliqué à l’électron (en l’absence de
champ magnétique) s’écrit :
!!!!"
!!!!"
!!!!"
!!!!" "
d 2 OM
d 2 OM
2
2
m
=
−
m
ω
OM
⇒
+
ω
OM
= 0 : le système correspond à un oscillateur spatial de
0
0
dt 2
dt 2
pulsation propre ω 0 .
• Cette pulsation correspond également à une pulsation de résonance du mouvement de
l’électron, dans le cas où il serait « excité » par un champ électrique harmonique : l’énergie du
champ excitateur serait alors absorbée ⇒ la pulsation ω 0 est également associée aux niveaux
d’absorption de l’atome considéré.
2) En présence du champ magnétique, le PFD s’écrit maintenant :
!!!!"
!!!!"
!!!!" " "
"
d 2 OM
" dOM dx " dy " dz "
"
2
m
= − mω 0 OM − ev ∧ B , avec v =
= ex + ey + ez et B = Bez
2
dt
dt
dt
dt
dt
• En projection dans un repère cartésien, il vient :
 d 2x
dy
2
 m dt 2 = − mω 0 x − eB × dt

dx
 d2y
2
 m 2 = − mω 0 y + eB ×
dt
 dt
2
 d z
2
m 2 = − mω 0 z
dt

⇒
z (t ) = Z 0 cos(ω 0t + ϕ )
( Z0
et ϕ dépendant des C.I)
dx
d2 x
3) En notation complexe, on a :
= iω x et
= −ω 2 x ⇒ après simplification par exp(iω t ) ,
2
dt
dt
les équations en x(t) et y(t) précédentes deviennent :
− mω 2 X = − mω 02 X − iω eBY

2
2
 − mω Y = − mω 0 Y + iω eB X
⇒
 m(ω 02 − ω 2 ) X + iω eBY = 0

2
2
−iω eB X + m(ω 0 − ω )Y = 0
(1)
(2)
• Ce système linéaire et homogène admet des solutions autres que (0,0) à la seule condition
que son déterminant soit nul, ce qui se traduit par :
(ω 02 − ω 2 )2 −
ω 2 e2 B 2
ω eB  2
ω eB 
ω eB

2
2
= 0 ⇒  ω 02 − ω 2 +
− ω 02 = 0
 ω 0 − ω +
=0 ⇒ ω ±
2
m
m 
m 
m

• Le discriminant de chaque équation du second degré vaut :
∆=
e2 B 2
+ 4ω 02 $ (2ω 0 )2 , compte tenu de l’approximation proposée par l’énoncé ; en retenant
2
m
les 2 seules solutions positives, il vient :
ω1 = ω 0 −
eB
2m
ω2 = ω0 +
et
"
eB
2m
⇒ en présence de B , les fréquences propres de l’électron, ainsi que les niveaux d’absorption de
l’atome, sont légèrement modifiés : c’est « l’effet Zeeman ».
Page 2
Christian MAIRE
 EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la
consultation individuelle et privée sont interdites.
Physique
MECANIQUE DU POINT MATERIEL
EXERCICE D’ ORAL
4) En reportant les expressions non simplifiées de
ω1 et ω 2 dans la relation (1) par exemple,
on obtient :
♦ pour
Y
= i ⇒ si x(t ) est de la forme x(t ) = A cos ω1t , alors y (t ) = − A sin ω1t
X
ω = ω1 :
x 2 (t ) + y 2 (t ) = A2 ⇒ dans le plan xOy, la trajectoire de la particule est un CERCLE, décrit
dans le sens horaire (à t=0, la particule se trouve en (A ; 0) et en ω1t = π / 2 , la particule se
⇒
trouve en (0 ; -A), où A est supposé positif).
♦ pour
y (t ) = A sin ω 2t
ω = ω2 :
⇒
la
Y
= −i
X
⇒ cette fois, si
trajectoire
est
toujours
x(t ) est de la forme
un
cercle,
mais
x(t ) = A cos ω 2t , alors
décrit
dans
le
sens
trigonométrique.
Page 3
Christian MAIRE
 EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la
consultation individuelle et privée sont interdites.