Chapitre 3 1 Particule libre sur un cercle

Universit´e Denis Diderot Paris 7
M´ecanique Quantique 36U3MQ35
Chapitre 3
1Particule libre sur un cercle
Consid´erons l’exemple d’une particule libre qui se d´eplace sur un cercle de rayon R`a une
dimension. Utilisons comme coordonn´ee sur le cercle la variable xqui mesure la longueur de
l’arc d’une origine donn´ee au point consid´er´e. Alors x= 0 et x= 2πR repr´esentent le mˆeme
point. Dans la limite o`u Rtend vers l’infini ce probl`eme se r´eduit `a celui d’une particule qui se
d´eplace `a une dimension sur une droite.
En physique classique, le mouvement est tr`es simple: la particule se d´eplace `a une vitesse
constante. Cette vitesse pouvant prendre des valeurs arbitraires (en m´ecanique non-relativiste).
La position de la particule est donn´ee par x(t) = vt [2πR]. L’´energie de la particule est donn´ee
par son ´energie cin´etique 1
2mv2.
1.1 Onde plane
Une particule avec une impulsion pest d´ecrite, selon l’hypothese de de Broglie, par une onde
plane
φ(x) = Aeikx,(1.1)
o`u kest le vecteur d’onde (p= ¯hk) et Aest une constante de normalisation telle que R2πR
0|φ|2dx =
1 ou bien A=1
√2πR . Comme xet x+ 2πR repr´esentent le mˆeme point sur le cercle on devrait
avoir φ(x) = φ(x+ 2πR). Cette condition s’´ecrit comme eik2πR = 1 ou bien k=n
Rqui implique
p= ¯hn
R,(1.2)
o`u nest un entier relatif. Les impulsions possibles de la particule sur le cercle sont donc
quantifi´ees. Voila une premi`ere diff´erence importante par rapport au cas classique. Une particule
avec impulsion pa une densit´e de probabilit´e de pr´esence en xdonn´ee par |A|2. La particule
est donc compl`etement d´elocalis´ee sur le cercle ! Il n’est donc pas possible d’avoir une particule
ayant une impulsion donn´ee qui soit localis´ee. C’est une deuxi`eme diff´erence importante par
rapport `a la physique classique.
Supposons maintenant que la fonction d’onde φ(x) est quelconque mais p´eriodique avec
p´eriode 2πR. Le th´eor`eme de Fourier nous dit que cette fonction admet un d´eveloppement
en s´erie de Fourier :
φ(x) = ∞
X
n=−∞
cn
√2πRein x
R,(1.3)
o`u les coefficients de Fourier cnsont d´etermin´es par la relation
cn=1
√2πR Z2πR
0
φ(x)e−in x
Rdx. (1.4)

La condition de normalisation de la fonction d’onde s´ecrit comme
Z|φ(x)|2dx = 1 = ∞
X
n=−∞ |cn|2.(1.5)
C’est l’´egalit´e de Plancherel-Parseval. La derni`ere ´egalit´e s’obtient en ´ecrivant le d´eveloppement (1.3)
pour φet son complexe conjugu´e pour avoir
Z|φ(x)|2dx =ZX
nX m
cnc∗
m
2πR ei(n−m)x
Rdx, (1.6)
ensuite l’int´egration sur xdonne
1
2πR Z2πR
0
ei(n−m)x
Rdx =δn,m.(1.7)
Le d´eveloppement en s´erie de Fourier est un d´eveloppement en onde plane, ceci sugg`ere le
sens physique des coefficients de Fourier cn
Septi`eme principe : Les valeurs possibles de l’impulsion d’une particule sur le cercle sont n¯h/R
o`u nest un entier relatif. Si la particule est d´ecrite par la fonction d’onde φ(x) alors la probabilit´e
qu’une mesure de l’impulsion de la particule donne le r´esultat ¯hn
Rest |cn|2.
L’´egalit´e de Plancherel-Parseval garantit que la somme des probabilit´es vaut bien l’unit´e.
Exemple : Quelle est la distribution en impulsion de la fonction d’onde φ(x) = 1
√asi −a
2< x < a 2et
φ(x) = 0 ailleurs ? On a
cn=ra
2πR
sin na
2R
na
2R
.(1.8)
La probabilit´e maximale est donc pour n= 0 et vaut a
2πR , la “largeur” de la distribution est d’ordre
∆n=2πR
a. C’est `a dire que les valeurs les plus probables de nsont 0 ±∆n. On a donc ∆p=2π¯h a. Plus
la particule est localis´ee (c’est `a dire plus aest petit) et plus ∆pest grand. C’est un cas particulier du
principe de Heisenberg que nous verrons plus tard ∆x∆p≥¯h
2.
1.2 Etats stationnaires
Les ´etats stationnaires qui sont des fonctions d’onde d´ecrivant une particule avec une ´energie
donn´ee sont des solutions de l’´equation de Schr¨odinger ind´ependante du temps
−¯h2
2mφ00(x) = Eφ(x).(1.9)
La fonction d’onde est p´eriodique de p´eriode 2πR. Si l’on mutiple l’´equation pr´ec´edente par φ∗
et que l’on utilise R2πR
0φ∗φ00 =−R|φ0|2on trouve
E=¯h2
2mZ2πR
0|φ0(x)|2dx. (1.10)
L’´energie est donc positive. Notons 2mE
¯h2par q2. L’´equation (1.9) s’´ecrit alors comme
φ00(x) + q2φ(x) = 0.(1.11)
2

Ses solutions sont des combinaisons lin´eaires de eiqx et e−iqx. La p´eriodicit´e de la fonction d’onde
impose la condition
q=n
R,(1.12)
o`u nest un entier. Les valeurs possibles de l’´energie sont donc discr`etes et donn´ees par
En=n2¯h2
2mR2.(1.13)
A chaque niveau d’´energie avec n6= 0 sont associ´es les deux fonctions d’onde normalis´ees
1
√2πRe±inx
R.(1.14)
On dit que les niveaux n6= 0 sont d´eg´en´er´es avec d´eg´en´erescence ´egale `a deux.
Les ´etats stationnaires sont donc des ondes planes, tout comme les ´etats avec impulsion
donn´ee. Pour d´eterminer les probabilit´es d’obtenir une valeur donn´ee de l’´energie Emil suffit
d’´ecrire le d´eveloppement en s´erie de Fourier de la fonction d’onde. Il correspond au d´eveloppement
en ´etats stationnaires d´ecrit dans le chapitre pr´ec´edent. La probabilit´e de trouver Emcomme
valeur de l’´energie est donc |cm|2+|c−m|2si m6= 0 et la probabilit´e de trouver une ´energie nulle
est |c0|2.
Exemple : Le sixi`eme principe appliqu´e `a φ(x) = 1
√asi −a
2< x < a 2et φ(x) = 0 ailleurs donne la
probabilit´e |cn|2+|c−n|2d’obtenir l’´energie En. Les cnsont les coefficients de Fourier d´etermin´es en
(1.8).
1.3 Evolution dans le temps
Si la fonction d’onde `a l’instant initial est donn´ee par le d´eveloppement en s´erie de Fourier
ψ(x, 0) = ∞
X
n=−∞
cn
√2πRein x
R,(1.15)
alors, comme chaque onde plane est un ´etat stationnaire, on a
ψ(x, t) = ∞
X
n=−∞
cne−i
E|n|t
¯h
√2πR ein x
R.(1.16)
1.4 Paquet d’onde et limite classique
Consid´erons le paquet d’onde
ψ(x, 0) = 1
√2πR
1
√2∆N
N0+∆N
X
n=N0−∆N
ein x
R.(1.17)
Il d´ecrit une particule avec une impulsion comprise entre ¯h(N0−∆N)/R et ¯h(N0+ ∆N)/R)
avec une distribution de probabilit´e ´egale `a 1
2∆N. La somme est une somme g´eom´etrique qui
peut ˆetre calcul´ee
ψ(x, 0) = 1
√4π∆NReiN0x
R sin (2∆N+1)x
2R
sin x
2R!.(1.18)
3

La particule est donc localis´ee autour de l’origine avec une largeur de l’ordre ∆x=2πR
∆N.
La fonction d’onde `a l’instant ts’´ecrit comme
ψ(x, t) = 1
√2πR
1
√2∆N
∆N
X
n=−∆N
e−i(n+N0)2¯ht
2mR2ei(n+N0)x
R.(1.19)
Supposons maintenant que N0est beaucoup plus grand que ∆Net que ∆N >> 1. On a
alors ∆x`a t= 0 beaucoup plus petit que R. De plus on a (n+N0)2≈N2
0+ 2nN0, la somme
dans (1.19) avec cette approximation peut ˆetre effectu´ee et on obtient
ψ(x, t)≈1
√4π∆NReiN0x
Re−iN2
0¯ht
2mR2 sin (2∆N+1)(x−xt)
2R
sin (x−xt)
2R!,(1.20)
avec
xt=¯hN0
mR t. (1.21)
La particule est donc localis´ee `a l’instant ten xtqui s’´ecrit comme < p > t/m o`u <p>est la
valeur moyenne de l’impulsion ¯hN0/R. On retrouve donc la limite classique d’une particule avec
une impulsion <p>et localis´ee en xt. Cette limite classique est valable donc si les conditions
N0>> ∆N >> 1 sont remplies : les nombres quantiques sont ´elev´es et la fonction d’onde est
une superposition d’un grand nombre d’´etats (un “ paquet d’onde”).
Exemple : un syst`eme macroscopique R= 1met p= (1 ±10−6)Kgms−1alors N0de l’ordre
de 1034 et ∆Nde l’ordre de 1028 ceci conduit `a une incertitude quantique sur la position de
l’ordre de 10−28 !
4