Chapitre 3 1 Particule libre sur un cercle

Université Denis Diderot Paris 7
Mécanique Quantique 36U3MQ35
Chapitre 3
1
Particule libre sur un cercle
Considérons l’exemple d’une particule libre qui se déplace sur un cercle de rayon R à une
dimension. Utilisons comme coordonnée sur le cercle la variable x qui mesure la longueur de
l’arc d’une origine donnée au point considéré. Alors x = 0 et x = 2πR représentent le même
point. Dans la limite où R tend vers l’infini ce problème se réduit à celui d’une particule qui se
déplace à une dimension sur une droite.
En physique classique, le mouvement est très simple: la particule se déplace à une vitesse
constante. Cette vitesse pouvant prendre des valeurs arbitraires (en mécanique non-relativiste).
La position de la particule est donnée par x(t) = vt [2πR]. L’énergie de la particule est donnée
par son énergie cinétique 21 mv 2 .
1.1
Onde plane
Une particule avec une impulsion p est décrite, selon l’hypothese de de Broglie, par une onde
plane
φ(x) = Aeikx ,
(1.1)
R 2πR 2
où k est le vecteur d’onde (p = h̄k) et A est une constante de normalisation telle que 0 |φ| dx =
1
. Comme x et x + 2πR représentent le même point sur le cercle on devrait
1 ou bien A = √2πR
avoir φ(x) = φ(x + 2πR). Cette condition s’écrit comme eik2πR = 1 ou bien k =
n
p = h̄ ,
R
n
R
qui implique
(1.2)
où n est un entier relatif. Les impulsions possibles de la particule sur le cercle sont donc
quantifiées. Voila une première différence importante par rapport au cas classique. Une particule
avec impulsion p a une densité de probabilité de présence en x donnée par |A|2 . La particule
est donc complètement délocalisée sur le cercle ! Il n’est donc pas possible d’avoir une particule
ayant une impulsion donnée qui soit localisée. C’est une deuxième différence importante par
rapport à la physique classique.
Supposons maintenant que la fonction d’onde φ(x) est quelconque mais périodique avec
période 2πR. Le théorème de Fourier nous dit que cette fonction admet un développement
en série de Fourier :
∞
X
x
c
√ n ein R ,
φ(x) =
(1.3)
2πR
n=−∞
où les coefficients de Fourier cn sont déterminés par la relation
1
cn = √
2πR
Z
0
2πR
x
φ(x)e−in R dx.
(1.4)
La condition de normalisation de la fonction d’onde sécrit comme
Z
∞
X
2
|φ(x)| dx = 1 =
|cn |2 .
(1.5)
n=−∞
C’est l’égalité de Plancherel-Parseval. La dernière égalité s’obtient en écrivant le développement (1.3)
pour φ et son complexe conjugué pour avoir
Z
Z XX
cn c∗m i(n−m) x
R dx,
|φ(x)|2 dx =
e
2πR
n m
(1.6)
ensuite l’intégration sur x donne
1
2πR
Z
2πR
x
ei(n−m) R dx = δn,m .
(1.7)
0
Le développement en série de Fourier est un développement en onde plane, ceci suggère le
sens physique des coefficients de Fourier cn
Septième principe : Les valeurs possibles de l’impulsion d’une particule sur le cercle sont nh̄/R
où n est un entier relatif. Si la particule est décrite par la fonction d’onde φ(x) alors la probabilité
n
qu’une mesure de l’impulsion de la particule donne le résultat h̄ R
est |cn |2 .
L’égalité de Plancherel-Parseval garantit que la somme des probabilités vaut bien l’unité.
Exemple : Quelle est la distribution en impulsion de la fonction d’onde φ(x) =
φ(x) = 0 ailleurs ? On a
r
na
a sin 2R
cn =
na .
2πR 2R
√1
a
si − a2 < x <
a
2
et
(1.8)
a
La probabilité maximale est donc pour n = 0 et vaut 2πR
, la “largeur” de la distribution est d’ordre
2πR
∆n = a . C’est à dire que les valeurs les plus probables de n sont 0 ± ∆n. On a donc ∆p = 2πh̄
a . Plus
la particule est localisée (c’est à dire plus a est petit) et plus ∆p est grand. C’est un cas particulier du
principe de Heisenberg que nous verrons plus tard ∆x∆p ≥ h̄2 .
1.2
Etats stationnaires
Les états stationnaires qui sont des fonctions d’onde décrivant une particule avec une énergie
donnée sont des solutions de l’équation de Schrödinger indépendante du temps
−h̄2 00
φ (x) = Eφ(x).
2m
(1.9)
La fonction d’ondeR est périodiqueRde période 2πR. Si l’on mutiple l’équation précédente par φ∗
2πR
et que l’on utilise 0 φ∗ φ00 = − |φ0 |2 on trouve
h̄2
E=
2m
L’énergie est donc positive. Notons
2mE
h̄2
Z
2πR
|φ0 (x)|2 dx.
(1.10)
0
par q 2 . L’équation (1.9) s’écrit alors comme
φ00 (x) + q 2 φ(x) = 0.
2
(1.11)
Ses solutions sont des combinaisons linéaires de eiqx et e−iqx . La périodicité de la fonction d’onde
impose la condition
n
q= ,
(1.12)
R
où n est un entier. Les valeurs possibles de l’énergie sont donc discrètes et données par
En = n2
h̄2
.
2mR2
(1.13)
A chaque niveau d’énergie avec n 6= 0 sont associés les deux fonctions d’onde normalisées
√
nx
1
e±i R .
2πR
(1.14)
On dit que les niveaux n 6= 0 sont dégénérés avec dégénérescence égale à deux.
Les états stationnaires sont donc des ondes planes, tout comme les états avec impulsion
donnée. Pour déterminer les probabilités d’obtenir une valeur donnée de l’énergie Em il suffit
d’écrire le développement en série de Fourier de la fonction d’onde. Il correspond au développement
en états stationnaires décrit dans le chapitre précédent. La probabilité de trouver Em comme
valeur de l’énergie est donc |cm |2 + |c−m |2 si m 6= 0 et la probabilité de trouver une énergie nulle
est |c0 |2 .
Exemple : Le sixième principe appliqué à φ(x) = √1a si − a2 < x < a2 et φ(x) = 0 ailleurs donne la
probabilité |cn |2 + |c−n |2 d’obtenir l’énergie En . Les cn sont les coefficients de Fourier déterminés en
(1.8).
1.3
Evolution dans le temps
Si la fonction d’onde à l’instant initial est donnée par le développement en série de Fourier
ψ(x, 0) =
∞
X
√
n=−∞
cn in x
e R,
2πR
(1.15)
alors, comme chaque onde plane est un état stationnaire, on a
E
t
|n|
∞
X
cn e−i h̄ in x
√
ψ(x, t) =
e R.
2πR
n=−∞
1.4
(1.16)
Paquet d’onde et limite classique
Considérons le paquet d’onde
1
1
√
ψ(x, 0) = √
2πR 2∆N
N0X
+∆N
x
ein R .
(1.17)
n=N0 −∆N
Il décrit une particule avec une impulsion comprise entre h̄(N0 − ∆N )/R et h̄(N0 + ∆N )/R)
1
avec une distribution de probabilité égale à 2∆N
. La somme est une somme géométrique qui
peut être calculée
!
+1)x
sin (2∆N
x
1
iN0 R
2R
ψ(x, 0) = √
e
.
(1.18)
x
sin 2R
4π∆N R
3
La particule est donc localisée autour de l’origine avec une largeur de l’ordre ∆x =
2πR
∆N .
La fonction d’onde à l’instant t s’écrit comme
ψ(x, t) = √
1
1
√
2πR 2∆N
∆N
X
e−i
(n+N0 )2 h̄t
2mR2
x
ei(n+N0 ) R .
(1.19)
n=−∆N
Supposons maintenant que N0 est beaucoup plus grand que ∆N et que ∆N >> 1. On a
alors ∆x à t = 0 beaucoup plus petit que R. De plus on a (n + N0 )2 ≈ N02 + 2nN0 , la somme
dans (1.19) avec cette approximation peut être effectuée et on obtient
!
(2∆N +1)(x−xt )
2
sin
x −i N0 h̄t
1
iN0 R
2R
ψ(x, t) ≈ √
e
,
(1.20)
e 2mR2
t)
4π∆N R
sin (x−x
2R
avec
h̄N0
t.
(1.21)
mR
La particule est donc localisée à l’instant t en xt qui s’écrit comme < p > t/m où < p > est la
valeur moyenne de l’impulsion h̄N0 /R. On retrouve donc la limite classique d’une particule avec
une impulsion < p > et localisée en xt . Cette limite classique est valable donc si les conditions
N0 >> ∆N >> 1 sont remplies : les nombres quantiques sont élevés et la fonction d’onde est
une superposition d’un grand nombre d’états (un “ paquet d’onde”).
xt =
Exemple : un système macroscopique R = 1m et p = (1 ± 10−6 )Kgms−1 alors N0 de l’ordre
de 1034 et ∆N de l’ordre de 1028 ceci conduit à une incertitude quantique sur la position de
l’ordre de 10−28 !
4